Съседни ъгли на триъгълник. Съседни и вертикални ъгли

Какво е съседен ъгъл

Ъгъл- Това геометрична фигура(фиг. 1), образуван от два лъча OA и OB (страни на ъгъла), излизащи от една точка O (върх на ъгъла).

СЪСЕДНИ ЪГЛИ- два ъгъла, чиято сума е 180°. Всеки от тези ъгли допълва другия до пълния ъгъл.

Съседни ъгли- (Agles adjacets) тези, които имат общ връх и обща страна. Най-често това име се отнася до ъгли, на които останалите две страни лежат в противоположни посоки на една права линия, прекарана през нея.

Два ъгъла се наричат ​​съседни, ако едната им страна е обща, а другите страни на тези ъгли са допълващи се полуправи.

ориз. 2

На фигура 2 ъглите a1b и a2b са съседни. Те имат обща страна b, а страните a1, a2 са допълнителни полуправи.

ориз. 3

Фигура 3 показва права линия AB, точка C е разположена между точки A и B. Точка D е точка, която не лежи на права AB. Оказва се, че ъглите BCD и ACD са съседни. Те имат обща страна CD, а страните CA и CB са допълнителни полуправи на правата AB, тъй като точките A, B са разделени от началната точка C.

Теорема за съседен ъгъл

Теорема:сумата от съседните ъгли е 180°

Доказателство:
Ъгли a1b и a2b са съседни (виж фиг. 2) Лъч b минава между страните a1 и a2 на разгънатия ъгъл. Следователно сумата от ъглите a1b и a2b е равна на развития ъгъл, тоест 180°. Теоремата е доказана.

Ъгъл, равен на 90°, се нарича прав ъгъл. От теоремата за сбора на съседните ъгли следва, че ъгъл, съседен на прав ъгъл, също е прав ъгъл. Ъгъл, по-малък от 90°, се нарича остър, а ъгъл, по-голям от 90°, тъп. Тъй като сумата от съседните ъгли е 180°, тогава ъгълът, съседен на остър ъгъл, е тъп ъгъл. Ъгъл, съседен на тъп ъгъл, е остър ъгъл.

Съседни ъгли- два ъгъла с общ връх, едната от които е обща, а останалите страни лежат на една и съща права линия (не съвпадат). Сумата от съседните ъгли е 180°.

Определение 1.Ъгълът е част от равнина, ограничена от два лъча с общо начало.

Определение 1.1.Ъгълът е фигура, състояща се от точка - върха на ъгъла - и две различни полулинии, излизащи от тази точка - страните на ъгъла.
Например ъгъл BOC на Фиг.1 Нека първо разгледаме две пресичащи се прави. Когато правите линии се пресичат, те образуват ъгли. Има специални случаи:

Определение 2.Ако страните на ъгъла са допълнителни полулинии на една права линия, тогава ъгълът се нарича развит.

Определение 3.Прав ъгъл е ъгъл с размери 90 градуса.

Определение 4.Ъгъл, по-малък от 90 градуса, се нарича остър ъгъл.

Определение 5.Ъгъл, по-голям от 90 градуса и по-малък от 180 градуса, се нарича тъп ъгъл.
пресичащи се линии.

Определение 6.Два ъгъла, едната страна на които е обща, а другите страни лежат на една и съща права, се наричат ​​съседни.

Определение 7.Ъгли, чиито страни се продължават една в друга, се наричат ​​вертикални ъгли.
На фигура 1:
съседни: 1 и 2; 2 и 3; 3 и 4; 4 и 1
вертикални: 1 и 3; 2 и 4
Теорема 1.Сумата от съседните ъгли е 180 градуса.
За доказателство разгледайте фиг. 4 съседни ъгъла AOB и BOC. Тяхната сума е разгънатият ъгъл AOC. Следователно сумата от тези съседни ъгли е 180 градуса.

ориз. 4

Връзката между математиката и музиката

„Мислейки за изкуството и науката, за техните взаимни връзки и противоречия, стигнах до извода, че математиката и музиката са на крайните полюси на човешкия дух, че цялата творческа духовна дейност на човека се ограничава и определя от тези два антипода и че всичко е създадено от човечеството в областта на науката и изкуството."
Г. Нойхаус
Изглежда, че изкуството е много абстрактна област от математиката. Връзката между математиката и музиката обаче е обусловена както исторически, така и вътрешно, въпреки факта, че математиката е най-абстрактната наука, а музиката е най-абстрактната форма на изкуство.
Консонансът определя приятния звук на струната
Тази музикална система се основава на два закона, които носят имената на двама велики учени - Питагор и Архит. Това са законите:
1. Две звучащи струни определят съзвучието, ако дължините им са съотнесени като цели числа, образуващи триъгълно число 10=1+2+3+4, т.е. като 1:2, 2:3, 3:4. Освен това, колкото по-малко е числото n в отношението n:(n+1) (n=1,2,3), толкова по-консонантен е резултантният интервал.
2. Честотата на трептене w на звучащата струна е обратно пропорционална на нейната дължина l.
w = a:l,
където a е коефициент, характеризиращ физическите свойства на струната.

Ще ви предложа и една забавна пародия за спор между двама математици =)

Геометрията около нас

Геометрията в нашия живот е от не малко значение. Поради факта, че когато се огледате, няма да е трудно да забележите, че сме заобиколени от различни геометрични фигури. Срещаме ги навсякъде: на улицата, в класната стая, у дома, в парка, във физкултурния салон, в училищното кафене, всъщност където и да сме. Но темата на днешния урок са съседните въглища. Така че нека се огледаме и се опитаме да намерим ъгли в тази среда. Ако погледнете внимателно прозореца, можете да видите, че някои клони на дървета образуват съседни ъгли, а в преградите на портата можете да видите много вертикални ъгли. Дайте свои примери за съседни ъгли, които наблюдавате във вашата среда.

Упражнение 1.

1. На масата на стойка за книги има книга. Какъв ъгъл образува?
2. Но ученикът работи на лаптоп. Какъв ъгъл виждате тук?
3. Какъв ъгъл образува рамката за снимка върху стойката?
4. Мислите ли, че е възможно два съседни ъгъла да са равни?

Задача 2.

Пред вас е геометрична фигура. Що за фигура е това, назовете го? Сега назовете всички съседни ъгли, които можете да видите на тази геометрична фигура.

Задача 3.

Ето изображение на рисунка и картина. Разгледайте ги внимателно и ми кажете какви видове риби виждате на снимката и под какви ъгли виждате на снимката.

Разрешаване на проблем

Математически диктовки за преговор на научен материал

Решавам проблеми:

1. Може ли сумата от 3 ъгъла, образувани от пресичането на 2 прави, да е равна на 100°? 370°?
2. На фигурата намерете всички двойки съседни ъгли. А сега вертикалните ъгли. Назовете тези ъгли.

3. Трябва да намерите ъгъл, когато той е три пъти по-голям от прилежащия му.
4. Две прави се пресичат. В резултат на това пресичане се образуваха четири ъгъла. Определете стойността на който и да е от тях, при условие че:

а) сборът на 2 ъгъла от четири е 84°;
б) разликата между 2 ъгъла от тях е 45°;
в) единият ъгъл е 4 пъти по-малък от втория;
г) сборът на три от тези ъгли е 290°.

Обобщение на урока

1. назовете ъглите, които се образуват при пресичане на 2 прави?
2. Назовете всички възможни двойки ъгли на фигурата и определете вида им.

Домашна работа:

1. Намерете отношението на градусните мерки на съседни ъгли, когато един от тях е с 54° по-голям от втория.
2. Намерете ъглите, които се образуват при пресичане на 2 прави, при условие че един от ъглите е равен на сумата от други 2 съседни на него ъгъла.
3. Необходимо е да се намерят съседни ъгли, когато ъглополовящата на един от тях образува ъгъл със страната на втория, който е с 60° по-голям от втория ъгъл.
4. Разликата между 2 съседни ъгъла е равна на една трета от сбора на тези два ъгъла. Определете стойностите на 2 съседни ъгъла.
5. Разликата и сборът на 2 съседни ъгъла са съответно в отношение 1:5. Намерете съседни ъгли.
6. Разликата между две съседни е 25% от сбора им. Как се свързват стойностите на 2 съседни ъгъла? Определете стойностите на 2 съседни ъгъла.

Въпроси:

1. Какво е ъгъл?
2. Какви видове ъгли има?
3. Какво е свойството на съседните ъгли?

Два ъгъла се наричат ​​съседни, ако едната им страна е обща, а другите страни на тези ъгли са допълващи се лъчи. На фигура 20 ъглите AOB и BOC са съседни.

Сумата от съседните ъгли е 180°

Теорема 1. Сборът от съседните ъгли е 180°.

Доказателство. Между страните на разгънатия ъгъл минава лъч OB (виж фиг. 1). Ето защо ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

От теорема 1 следва, че ако два ъгъла са равни, то и съседните им ъгли са равни.

Вертикалните ъгли са равни

Два ъгъла се наричат ​​вертикални, ако страните на единия ъгъл са допълнителни лъчи на страните на другия. Ъглите AOB и COD, BOD и AOC, образувани при пресичането на две прави, са вертикални (фиг. 2).

Теорема 2. Вертикалните ъгли са равни.

Доказателство. Нека разгледаме вертикалните ъгли AOB и COD (виж фиг. 2). Ъгъл BOD е съседен на всеки от ъглите AOB и COD. По теорема 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

От това заключаваме, че ∠ AOB = ∠ COD.

Следствие 1. Ъгъл, съседен на прав ъгъл, е прав ъгъл.

Да разгледаме две пресичащи се прави AC и BD (фиг. 3). Те образуват четири ъгъла. Ако един от тях е прав (ъгъл 1 на фиг. 3), то останалите ъгли също са прави (ъгли 1 и 2, 1 и 4 са съседни, ъгли 1 и 3 са вертикални). В този случай те казват, че тези линии се пресичат под прав ъгъл и се наричат ​​перпендикулярни (или взаимно перпендикулярни). Перпендикулярността на правите AC и BD се означава по следния начин: AC ⊥ BD.

Перпендикулярна ъглополовяща на отсечка е права, перпендикулярна на тази отсечка и минаваща през средата му.

AN - перпендикуляр на права

Да разгледаме права a и точка A, която не лежи на нея (фиг. 4). Нека свържем точка A с отсечка с точка H с права линия a. Отсечката AN се нарича перпендикуляр, прекаран от точка A към права a, ако правите AN и a са перпендикулярни. Точка H се нарича основа на перпендикуляра.

Рисуване на квадрат

Следната теорема е вярна.

Теорема 3. От всяка точка, която не лежи на линия, е възможно да се начертае перпендикуляр на тази линия и освен това само един.

За да начертаете перпендикуляр от точка към права линия в чертеж, използвайте чертожен квадрат (фиг. 5).

Коментирайте. Формулировката на теоремата обикновено се състои от две части. Една част говори за даденото. Тази част се нарича условие на теоремата. Другата част говори за това какво трябва да се докаже. Тази част се нарича заключение на теоремата. Например условието на теорема 2 е, че ъглите са вертикални; заключение - тези ъгли са равни.

Всяка теорема може да бъде изразена подробно с думи, така че нейното условие да започва с думата „ако“, а заключението й с думата „тогава“. Например, теорема 2 може да бъде изложена подробно, както следва: „Ако два ъгъла са вертикални, тогава те са равни.“

Пример 1.Един от съседните ъгли е 44°. На какво е равно другото?

Решение. Нека означим градусната мярка на друг ъгъл с x, тогава съгласно теорема 1.
44° + x = 180°.
Решавайки полученото уравнение, намираме, че x = 136°. Следователно другият ъгъл е 136°.

Пример 2.Нека ъгълът COD на фигура 21 е 45°. Какви са ъглите AOB и AOC?

Решение. Ъглите COD и AOB са вертикални, следователно по теорема 1.2 те са равни, т.е. ∠ AOB = 45°. Ъгъл AOC е съседен на ъгъл COD, което означава според Теорема 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Пример 3.Намерете съседни ъгли, ако единият от тях е 3 пъти по-голям от другия.

Решение. Нека означим градусната мярка на по-малкия ъгъл с x. Тогава градусната мярка на по-големия ъгъл ще бъде 3x. Тъй като сумата от съседните ъгли е равна на 180° (теорема 1), то x + 3x = 180°, откъдето x = 45°.
Това означава, че съседните ъгли са 45° и 135°.

Пример 4.Сборът от два вертикални ъгъла е 100°. Намерете размера на всеки от четирите ъгъла.

Решение. Нека условията на задачата съответстват на фигура 2. Вертикалните ъгли COD към AOB са равни (теорема 2), което означава, че градусните им мерки също са равни. Следователно ∠ COD = ∠ AOB = 50° (сумата им според условието е 100°). Ъгъл BOD (също ъгъл AOC) е съседен на ъгъл COD и следователно по теорема 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Две прави BA и BC (фиг. 13), пресичащи се в една и съща точка B, образуват ъгъл в точка B.

Определение на ъгъл. Ъгълът е неопределена част от равнина, ограничена от две пресичащи се прави линии. Ъгълът е величина, която определя наклона на една права линия спрямо друга.

Страни на ъгъла. Пресичащите се прави се наричат ​​страни на ъгъла.

Горен ъгъл. Пресечната точка на две прави се нарича връх на ъгъла. Размерът на ъгъла не зависи от дължината на страните, така че страните на ъгъла могат да бъдат удължени за неопределено време.

Име на ъгъл. а) Ъглите се наричат ​​с буквата на върха; така че ъгълът е проклет. 13 се нарича ъгъл B. b) Ако има няколко ъгъла на върха, тогава ъглите се наричат ​​три букви, стоящи на върха и двете му страни. В този случай буквата отгоре се произнася и пише в средата.

Мамка му. 13 ъгъл B се нарича ъгъл ABC. Правите BA и BC са две страни, а точка B е върха на ъгъла.

Така ъгъл ABC е ъгъл B или

ъгъл ABC = ъгъл B.

Знак за ъгъл. Думата ъгъл понякога се заменя със знака∠ .

Така предишното равенство е представено писмено:

В случай, че няколко линии излизат от точка, има няколко ъгъла в точка B.

Мамка му. От точка B излизат 14 прави BA, BC, BD и във върха B има ъгли ABC, CBD, ABD.

Съседни ъгли. Два ъгъла се наричат ​​съседни, когато имат общ връх, една обща страна, а другите два лежат от двете страни на общата страна.

Ъглите ABC и CBD (фиг. 14) са съседни ъгли. Те имат общ връх B, обща страна BC, а други две страни BA и BD лежат едната над, а другата под общата страна BC.

Ъглите променят големината си, ако се промени наклонът на едната страна към другата. От два ъгъла, които имат общ връх, ъгълът, в който се вписва другият ъгъл, се нарича голям ъгъл. На чертеж 14

ug. ABD > анг. ABC и ug. CBD< уг. ABD.

За да имате представа за взаимната големина на два ъгъла, които имат различни върхове, единият ъгъл се наслагва върху другия. Когато се наслагват, техните върхове се комбинират от едната страна, тогава посоката на другата страна ще направи възможно сравняването на техните стойности. За да сравним два ъгъла ABC и DEF (фиг. 15), ъгъл DEF се наслагва върху ъгъл ABC, така че страната EF минава покрай страната BC, точка E съвпада с точка B; тогава страната ED може да заеме три положения: може да съвпада със страната BA, може да попада вътре и извън ъгъла ABC.

а) Ако правата ED съвпада с правата BA, ъглите се наричат ​​равни

ug. ABC = анг. DEF.

b) Ако линията ED попада в ъгъл ABC и заеме позиция BG, ъгъл ABC ще бъде по-голям от ъгъл DEF

ug. ABC > анг. DEF.

в) Ако линията ED попада извън ъгъл ABC в посока BH, ъгъл ABC е по-малък от ъгъл DEF

ug. ABC< уг. DEF.

Събиране, изваждане, умножение и деление на ъгли.Два съседни ъгъла ABC и CBD (фиг. 14) образуват един ъгъл ABC. Ъгъл ABD се нарича сбор от ъгли ABC и CBD. Това се изразява писмено чрез равенството:

∠ABD = ∠ABC + ∠CBD (a)

От равенство (а) следва равенството:

∠ABC = ∠ABD - ∠CBD

∠CBD = ∠ABD - ∠ABC,

т.е. ъгъл ABC е разликата между ъглите ABD и CBD, а ъгълът CBD е разликата между ъглите ABD и ABC.

Ако в точка O (фиг. 16) има няколко равни съседни ъгли, т.е.

∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE,

тогава ъгъл AOC, равен на сумата от ъгли AOB и BOC, е равен на два ъгъла AOB,

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC, следващ. ∠AOC = 2AOB.

Ъгъл AOD е равен на три ъгъла AOB

Обратно, ъгъл AOB е половин ъгъл AOC, една трета ъгъл AOD, една четвърт ъгъл AOE.

AOB = ½ AOC = 1/3 AOD = ¼ AOE.

От това заключаваме, че ъглите като количества могат не само да се събират и изваждат, но също така да се умножават и делят на абстрактно число.

Ако от два съседни ъгъла ACD и DCB (фиг. 17), двете страни CA и CB лежат на една и съща права, те се наричат ​​съседни.

. Съседни ъгли са тези, при които едната страна е обща, а другите две лежат на една права.

Ако правата CD, завъртайки се около точка C, заеме позиция CE, тогава ъгълът ACD, намалявайки, ще се превърне в ъгъл ACE, а ъгълът BCD, нараствайки, ще се превърне в ъгъл BCE. Линията CD, продължавайки да се върти, може да заеме такава позиция, че два съседни ъгъла да станат равни. Когато два съседни ъгъла ACD и DCB са равни (Фигура 18), те се наричат прави ъгли.

В този случай правата CD се нарича перпендикулярна на правата AB или просто перпендикулярна на правата AB.

На чертеж 19 един прав ъгъл е начертан без друг прилежащ към него.

Прав ъгъл е един от равни съседни ъгли.

Перпендикулярът е права линия, която образува прав ъгъл с друга линия.

На чертеж 18 ъглите ACD и DCB, оставайки съседни и равни, се наричат ​​прави ъгли. Правата DC ще бъде перпендикулярна на правата AB. Тази взаимна връзка на две линии понякога се изразява писмено: CD ⊥ AB.

Тъй като правата AB също ще бъде перпендикулярна на правата CD, тогава правата AB и CD ще бъдат взаимно перпендикулярни, т.е. ако CD ⊥ AB, то AB ⊥ CD.

Перпендикулярна подметка. Точката на взаимно срещане на две перпендикулярни прави се нарича подножие на перпендикуляра.

Точка C (фиг. 18) е дъното на перпендикуляра CD.

Във всяка точка от правата AB можете да начертаете перпендикуляр към правата AB.

Да се ​​начертае перпендикуляр на права (AB) от точка, лежаща на правата, означава да се построи перпендикуляр. Да начертаете перпендикуляр (DC) към права (AB) от точка (D), разположена извън правата, означава да намалите перпендикуляра(Фигура 18).

Наклонена линия . Всяка права, която не е перпендикулярна на друга, се нарича права, наклонена към нея.

В чертеж 20 правата CE ще бъде наклонена спрямо правата AB, а линията CD ще бъде перпендикулярна на правата AB.

Ъгъл ECB е по-малък от прав, а ъгъл ACE е повече от прав. Ъгъл ECB се нарича остър, а ъгъл ACE тъп.

Остър ъгъл има всеки ъгъл по-малък от прав ъгъл, А тъп ъгъл има ъгъл, по-голям от прав ъгъл.

Еднакви и различни ъгли. Два остри или два тъпи ъгъла се наричат ​​еднакви, а два ъгъла, единият остър, а другият тъп, противоположни.

Наклонената CE образува (фиг. 20) с правата AB два съседни ъгъла, от които единият е по-малък, а другият по-голям от правия ъгъл, тоест единият е остър, а другият е тъп.

Теорема 3. От точка, взета на права линия, може да се построи само един перпендикуляр към нея.

Данаправа AB и точка C върху нея (фиг. 20).

Изисква се за доказване, че към него може да се възстанови само един перпендикуляр.

Доказателство. Да приемем, че е възможно да се построят два перпендикуляра (фиг. 20) CD и CE от точка C към правата AB. Според свойството на перпендикуляр

ug. DCB = анг. ACD(a)
ug. BCE = анг. ACE.

Ако приложим ъгъла ECD към първата част на последното неравенство, получаваме неравенството

ug. пр. н. е. + анг. ECD > анг. ACE или ug. BCD > анг. ACE.

Заменяйки ug в това неравенство. BCD от ъгъл ACD (a), равен на него, получаваме

ug. DCA > анг. ACE,

неравенството очевидно е абсурдно, тъй като една част не може да бъде по-голяма от своето цяло, следователно предположението, че могат да се построят два перпендикуляра, води до абсурд, следователно е невярно. Грешността на предположението се основава на съображението, че неправилно заключение не може да бъде извлечено от правилна позиция, следователно нашата теорема е вярна.

Методът за доказване на валидността на дадена теорема чрез посочване на невъзможността и абсурдността на всяко друго предположение се нарича метод на доказателство от противоречие или метод на свеждане до абсурд.

Теорема 4. Всички прави ъгли са равни.

Да предположим, че имаме две двойки прави ъгли: едната двойка е съставена от ъгли ACD и DCB, а другата е съставена от ъгли EGH и HGF, следователно CD ⊥ AB и HG ⊥ EF (фиг. 21).

Трябва да докажете, че правите ъгли са равни.

Доказателство. Нека насложим правата EF върху правата AB с точка G върху точката C, тогава правата GH ще минава по правата CD, тъй като от точка C може да се построи само един перпендикуляр, следователно прав ъгъл DCB = прав ъгъл HGF.

Заключение. Правият ъгъл е постоянна стойност.

Мярка на ъгли. При измерване на ъгли правият ъгъл като постоянна стойност се приема като единица за сравнение. Стойността му се обозначава с буквата d.

В такъв случай
всеки остър ъгъл< d,
всеки тъп ъгъл > d.

Всички ъгли се изразяват с помощта на прави ъгли. Така например казват: даден ъгъл е ½ d, 2/3 d и т.н.

Теорема 5. Сборът от два съседни ъгъла е равен на два прави ъгъла.

Дадени са съседни ъгли ACD и DCB (фиг. 22).

Трябва да докажем, че ACD + DCB = 2d.

Доказателство. От точка C построяваме перпендикуляр на CE, тогава

ACD = ACE + ECD = d + ECD
DCB = ECB - ECD = d - ECD

Добавяйки тези равенства, имаме:

ACD + DCB = ACE + ECB = 2d (което трябваше да се докаже).

Два съседни ъгъла се допълват до два прави ъгъла и затова се наричат ​​допълнителни ъгли.

Следва от теорема 5 следствие. Една двойка съседни ъгли е равна на друга двойка съседни ъгли.

Теорема 6(обратното на теорема 5). Ако сумата от два съседни ъгъла е равна на два прави ъгъла, тогава другите две страни лежат на една и съща права линия.

Нека сборът от два съседни ъгъла ACD и DCB е равен на два прави ъгъла (фиг. 23).

Трябва да докажем, че ACB е права линия.

Доказателство. Тогава нека приемем, че ACB е начупена линия и че продължението на правата AC е правата CE

Следователно две количества, равни на една и съща трета, са равни (аксиома 3).

ACD + DCB = ACD + DCE

откъде идва по време на контракция?

заключението е абсурдно (частта е равна на цялото, виж ос. 1), следователно правата ACB е права линия (което трябваше да се докаже).

Теорема 7. Сборът от ъгли, които имат връх в една и съща точка и са разположени от една и съща страна на права линия, е равен на два прави ъгъла.

Дадени са ъгли ACD, DCE, ECF, FCG, GCB, имащи общ връх в точка C и разположени от едната страна на правата AB (фиг. 24).

Изисква се това да се докаже

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d.

Доказателство. НИЕ знаем, че сборът от два съседни ъгъла ACF и FCB е равен на два прави ъгъла (точка 5).

Тъй като ACF = ACD + DCE + ECF и FCB = FCG + GCB, замествайки ъглите ACF и FCB с техните стойности, намираме:

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d (което трябваше да се докаже).

Теорема 8. Сборът от всички ъгли около една точка е равен на четири прави ъгъла.

Дадени са ъгли AOB, BOC, COD, DOE, EOA, имащи общ връх O и разположени около точка O (фиг. 25).

Изисква се това да се докаже

AOB + BOC + COD + DOE + EOA = 4d.

Доказателство. Тогава нека продължим страната EO в посока OG (фиг. 25).

Подобен

GOB + BOC + COD + DOE = 2d.

Добавяйки тези равенства, имаме:

EOA + AOG + GOB + BOC + COD + DOE = 4d.

Тъй като AOG + GOB = AOB, тогава

EOA + AOB + BOC + COD + DOE = 4d (НЕ).

Ъгъл ACB с ъгъл DCE и ъгъл BCD с ъгъл ACE се наричат ​​вертикални (фиг. 26).

Вертикални ъгли. Вертикалните ъгли са тези ъгли, при които страните на единия са съставени от продължението на страните на другия ъгъл.

Теорема 9. Вертикалните ъгли са равни един на друг.

Дадени са вертикалните ъгли (чертеж 26) ACB и DCE, както и BCD и ACE.

Трябва да докажете, че ACB = DCE и BCD = ACE.

Доказателство. Въз основа на теорема 5 са ​​валидни следните равенства:

ACB + BCD = 2d (като сбор от два съседни ъгъла)
BCD + DCE = 2d

следователно,

ACB + BCD = BCD + DCE

откъде, изваждане равен ъгъл BCD, намираме

По подобен начин се доказва, че

∠BCD = ∠ACE.

Еквисеканс (ъглополовяща ) има линия, разделяща ъгъла наполовина.

На чертеж 27 BD има ъглополовяща, ако ∠ABD = ∠DBC.

Теорема 10.

Дадени са съседни ъгли ACB и BCD (Фигура 28). Техните ъглополовящи CF и CE разполовяват съседни ъгли BCD и BCA, следователно BCF = FCD, ACE = ECB.

Трябва да докажем, че EC ⊥ CF.

Доказателство. По условие

ECB = ½ ACB, BCF = ½ BCD

Добавяйки тези равенства, имаме:

ECB + BCF = ½ ACB + ½ BCD = ½ (ACB + BCD).

Тъй като ACB + BCD = 2d, тогава

ECB + BCF = ½ · 2d = d.

Тъй като ECB + BCF = ECF, тогава

Ъгъл ECF е прав ъгъл, т.е. правите CE и CF са взаимно перпендикулярни (CPH).

Всеки ъгъл, в зависимост от размера си, има свое име:

Тип ъгъл	Размер в градуси	Пример
Пикантен	По-малко от 90°
Направо	Равен на 90°. На чертежа прав ъгъл обикновено се обозначава със символ, начертан от едната страна на ъгъла към другата.
Тъп	Повече от 90°, но по-малко от 180°
Разширено	Равен на 180° Правият ъгъл е равен на сбора от два прави ъгъла, а правият ъгъл е половината от прав ъгъл.
Изпъкнал	Повече от 180°, но по-малко от 360°
Пълна	Равен на 360°

Двата ъгъла се наричат съседен, ако едната им страна е обща, а другите две страни образуват права линия:

Ъгли МОПИ PONсъседен, тъй като гредата OP- общата страна, а другите две страни - ОМИ НАобразуват права линия.

Общата страна на съседните ъгли се нарича косо към право, върху който лежат другите две страни, само в случай, че съседните ъгли не са равни помежду си. Ако съседните ъгли са равни, тогава общата им страна ще бъде перпендикулярен.

Сумата от съседните ъгли е 180°.

Двата ъгъла се наричат вертикален, ако страните на единия ъгъл допълват страните на другия ъгъл до прави линии:

Ъгли 1 и 3, както и ъгли 2 и 4 са вертикални.

Вертикалните ъгли са равни.

Нека докажем, че вертикалните ъгли са равни:

Сборът от ∠1 и ∠2 е прав ъгъл. И сумата от ∠3 и ∠2 е прав ъгъл. Така че тези две суми са равни:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

В това равенство отляво и отдясно има еднакъв член - ∠2. Равенството няма да бъде нарушено, ако този член отляво и отдясно бъде пропуснат. Тогава го разбираме.