Решаване на линейни нехомогенни диференциални уравнения от по-високи редове по метода на Лагранж. ОДА

Нека сега разгледаме линейното нехомогенно уравнение
. (2)
Нека y 1 ,y 2 ,.., y n е фундаментална система от решения и нека е общото решение на съответното хомогенно уравнение L(y)=0. Подобно на случая на уравнения от първи ред, ние ще търсим решение на уравнение (2) във формата
. (3)
Нека се уверим, че решение в тази форма съществува. За да направим това, заместваме функцията в уравнението. За да заместим тази функция в уравнението, намираме нейните производни. Първата производна е равна на
. (4)
При изчисляване на втората производна от дясната страна на (4) ще се появят четири члена, при изчисляване на третата производна ще се появят осем члена и т.н. Следователно, за удобство на по-нататъшни изчисления, първият член в (4) е равен на нула. Като вземем това предвид, втората производна е равна на
. (5)
По същите причини, както преди, в (5) ние също поставяме първия член равен на нула. И накрая, n-тата производна е
. (6)
Замествайки получените стойности на производните в оригиналното уравнение, имаме
. (7)
Вторият член в (7) е равен на нула, тъй като функциите y j , j=1,2,..,n, са решения на съответното хомогенно уравнение L(y)=0. Комбинирайки с предишното, получаваме система от алгебрични уравнения за намиране на функциите C" j (x)
(8)
Детерминантата на тази система е детерминантата на Вронски на фундаменталната система от решения y 1 ,y 2 ,..,y n на съответното хомогенно уравнение L(y)=0 и следователно не е равна на нула. Следователно има уникално решение за системата (8). След като го намерихме, получаваме функциите C" j (x), j=1,2,…,n, и следователно C j (x), j=1,2,…,n Замествайки тези стойности в (3), получаваме решение на линейно нехомогенно уравнение.
Представеният метод се нарича метод на вариация на произволна константа или метод на Лагранж.

Пример №1. Нека намерим общото решение на уравнението y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Разгледайте съответното хомогенно уравнение y"" + 4y" + 3y = 0. Корените на неговото характеристично уравнение r 2 + 4r + 3 = 0 са равни на -1 и -3. Следователно основната система от решения на хомогенно уравнение се състои от функциите y 1 = e - x и y 2 = e -3 x. Търсим решение на нехомогенното уравнение във формата y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. За да намерим производните C" 1 , C" 2 съставяме система от уравнения (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
решавайки което, намираме , Интегрирайки получените функции, имаме
Накрая получаваме

Пример №2. Решете линейно диференциални уравнениявтори ред с постоянни коефициенти по метода на вариране на произволни константи:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Решение:
Това диференциално уравнение се отнася до линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти.
Ще търсим решение на уравнението във вида y = e rx. За да направим това, съставяме характеристичното уравнение на линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Корени на характеристичното уравнение: r 1 = 4, r 2 = 2
Следователно основната система от решения се състои от функциите: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
Общото решение на хомогенното уравнение има формата: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Търсене на конкретно решение чрез метода на промяна на произволна константа.
За да намерим производните на C" i, съставяме система от уравнения:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Нека изразим C" 1 от първото уравнение:
C" 1 = -c 2 e -2x
и го заменете във втория. В резултат получаваме:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Интегрираме получените функции C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Тъй като y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x, записваме получените изрази във формата:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Така общото решение на диференциалното уравнение има формата:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
или
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Нека намерим конкретно решение при условие:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Замествайки x = 0 в намереното уравнение, получаваме:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Намираме първата производна на полученото общо решение:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Замествайки x = 0, получаваме:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Получаваме система от две уравнения:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
или
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
или
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
От: C 1 = 0, C * 2 = 2
Частното решение ще бъде написано като:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Разгледан е метод за решаване на линейни нехомогенни диференциални уравнения от по-високи редове с постоянни коефициенти по метода на вариацията на константите на Лагранж. Методът на Лагранж е приложим и за решаване на всякакви линейни нехомогенни уравнения, ако е известна основната система от решения на хомогенното уравнение.

Съдържание

Вижте също:

Метод на Лагранж (вариация на константи)

Разгледайте линейно нехомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти от произволен n-ти ред:
(1) .
Методът на вариация на константа, който разгледахме за уравнение от първи ред, е приложим и за уравнения от по-висок ред.

Решението се извършва на два етапа. В първата стъпка отхвърляме дясната страна и решаваме хомогенното уравнение. В резултат на това получаваме решение, съдържащо n произволни константи. На втория етап променяме константите. Тоест, ние вярваме, че тези константи са функции на независимата променлива x и намираме формата на тези функции.

Въпреки че тук разглеждаме уравнения с постоянни коефициенти, но Методът на Лагранж е приложим и за решаване на всякакви линейни нехомогенни уравнения. За да направите това обаче, трябва да се знае фундаменталната система от решения на хомогенното уравнение.

Стъпка 1. Решаване на хомогенното уравнение

Както в случая на уравнения от първи ред, първо търсим общо решение на хомогенното уравнение, приравнявайки дясната нехомогенна страна на нула:
(2) .
Общото решение на това уравнение е:
(3) .
Ето произволни константи; - n линейно независими решения на хомогенно уравнение (2), които образуват фундаментална система от решения на това уравнение.

Стъпка 2. Вариация на константи - замяна на константи с функции

На втория етап ще се занимаваме с вариацията на константите. С други думи, ще заменим константите с функции на независимата променлива x:
.
Тоест, ние търсим решение на първоначалното уравнение (1) в следната форма:
(4) .

Ако заместим (4) в (1), получаваме едно диференциално уравнение за n функции. В този случай можем да свържем тези функции с допълнителни уравнения. След това получавате n уравнения, от които могат да бъдат определени n функции. Могат да се напишат допълнителни уравнения различни начини. Но ще направим това така, че решението да има най-простата форма. За да направите това, когато диференцирате, трябва да приравните към нула членовете, съдържащи производни на функциите. Нека демонстрираме това.

За да заместим предложеното решение (4) в оригиналното уравнение (1), трябва да намерим производните на първите n реда на функцията, записана във формата (4). Диференцираме (4), използвайки правилата за диференциране на сбор и произведение:
.
Нека групираме членовете. Първо записваме термините с производни на , а след това и термините с производни на :

.
Нека наложим първото условие на функциите:
(5.1) .
Тогава изразът за първата производна по отношение на ще има по-проста форма:
(6.1) .

Използвайки същия метод, намираме втората производна:

.
Нека наложим второ условие на функциите:
(5.2) .
Тогава
(6.2) .
И така нататък. В допълнителни условия ние приравняваме членове, съдържащи производни на функции, на нула.

Така, ако изберем следните допълнителни уравнения за функциите:
(5.k) ,
тогава първите производни по отношение на ще имат най-простата форма:
(6.k) .
Тук .

Намерете n-тата производна:
(6.n)
.

Заместете в оригиналното уравнение (1):
(1) ;

.
Нека вземем предвид, че всички функции отговарят на уравнение (2):
.
Тогава сумата от условията, съдържащи дава нула. В резултат получаваме:
(7) .

В резултат на това получихме система от линейни уравнения за производни:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Решавайки тази система, намираме изрази за производни като функция на x. Интегрирайки, получаваме:
.
Ето константи, които вече не зависят от x. Замествайки в (4), получаваме общо решение на първоначалното уравнение.

Обърнете внимание, че за определяне на стойностите на производните никога не сме използвали факта, че коефициентите a i са постоянни. Ето защо Методът на Лагранж е приложим за решаване на всякакви линейни нехомогенни уравнения, ако е известна фундаменталната система от решения на хомогенното уравнение (2).

Примери

Решете уравнения, като използвате метода на вариацията на константите (Лагранж).

Решение на примери >>>

Вижте също: Решаване на уравнения от първи ред по метода на вариация на константа (Лагранж)
Решаване на уравнения от по-висок ред по метода на Бернули
Решаване на линейни нехомогенни диференциални уравнения от по-висок ред с постоянни коефициенти чрез линейно заместване

Лекция 44. Линейни нехомогенни уравнения от втори ред. Метод на вариация на произволни константи. Линейни нееднородни уравнения от втори ред с постоянни коефициенти. (специална дясна страна).

Социални трансформации. Държава и църква.

Социалната политика на болшевиките до голяма степен е продиктувана от техния класов подход.С указ от 10 ноември 1917 г. класовата система е унищожена, предреволюционните звания, звания и награди са премахнати. Установен е изборът на съдии; е извършена секуларизация на гражданските държави. Създадени са безплатно образование и медицинско обслужване (указ от 31 октомври 1918 г.). На жените са дадени равни права с мъжете (укази от 16 и 18 декември 1917 г.). Указът за брака въвежда института на гражданския брак.

С декрет на Съвета на народните комисари от 20 януари 1918 г. църквата е отделена от държавата и от образователната система. По-голямата част от църковното имущество е конфискувано. Патриархът на Москва и цяла Русия Тихон (избран на 5 ноември 1917 г.) на 19 януари 1918 г. анатемосва съветската власт и призовава за борба срещу болшевиките.

Да разгледаме линейно нехомогенно уравнение от втори ред

Структурата на общото решение на такова уравнение се определя от следната теорема:

Теорема 1.Общото решение на нехомогенното уравнение (1) се представя като сума от някакво конкретно решение на това уравнение и общото решение на съответното хомогенно уравнение

Доказателство. Необходимо е да се докаже, че сумата

е общо решение на уравнение (1). Нека първо докажем, че функция (3) е решение на уравнение (1).

Заместване на сумата в уравнение (1) вместо при, ще има

Тъй като има решение на уравнение (2), изразът в първите скоби е идентично равен на нула. Тъй като има решение на уравнение (1), изразът във вторите скоби е равен на f(x). Следователно равенството (4) е тъждество. Така първата част от теоремата е доказана.

Нека докажем второто твърдение: израз (3) е общрешение на уравнение (1). Трябва да докажем, че произволните константи, включени в този израз, могат да бъдат избрани така, че да са изпълнени началните условия:

каквито и да са числата x 0, y 0и (ако само х 0е взет от района, където функционира 1, 2И f(x)непрекъснато).

Забелязвайки, че може да бъде представен във формата . Тогава, въз основа на условия (5), ще имаме

Нека решим тази система и да определим C 1И C 2. Нека пренапишем системата във формата:

Обърнете внимание, че детерминантата на тази система е детерминантата на Wronski за функциите на 1И на 2в точката x=x 0. Тъй като тези функции са линейно независими по условие, детерминантата на Вронски не е равна на нула; следователно система (6) има определено решение C 1И C 2, т.е. има такива значения C 1И C 2, при което формула (3) определя решението на уравнение (1), удовлетворяващо зададените начални условия. Q.E.D.

Да преминем към общ методнамиране на частични решения на нехомогенно уравнение.

Нека напишем общото решение на хомогенното уравнение (2)

Ще търсим частно решение на нехомогенното уравнение (1) във вида (7), като вземем предвид C 1И C 2като някои все още неизвестни функции от Х.

Нека разграничим равенството (7):

Нека изберем функциите, които търсите C 1И C 2така че равенството е в сила

Ако вземем предвид това допълнително условие, тогава първата производна ще приеме формата

Разграничавайки сега този израз, намираме:

Замествайки в уравнение (1), получаваме

Изразите в първите две скоби стават нула, тъй като y 1И y 2– решения на еднородно уравнение. Следователно последното равенство приема формата

Така функция (7) ще бъде решение на нехомогенното уравнение (1), ако функциите C 1И C 2удовлетворяват уравнения (8) и (9). Нека създадем система от уравнения от уравнения (8) и (9).

Тъй като детерминантата на тази система е детерминантата на Вронски за линейно независими решения y 1И y 2уравнение (2), то не е равно на нула. Следователно, решавайки системата, ще намерим и двете определени функции на х:

Решавайки тази система, намираме , откъдето в резултат на интегрирането получаваме . След това заместваме намерените функции във формулата и получаваме общо решение на нехомогенното уравнение, където са произволни константи.

Методът на вариация на произволна константа или методът на Лагранж е друг начин за решаване на линейни диференциални уравнения от първи ред и уравнението на Бернули.

Линейните диференциални уравнения от първи ред са уравнения от вида y’+p(x)y=q(x). Ако има нула от дясната страна: y’+p(x)y=0, тогава това е линейно хомогененУравнение от 1-ви ред. Съответно, уравнение с различно от нула правилната страна, y’+p(x)y=q(x), — разнородниЛинейно уравнение от 1-ви ред.

Метод на вариация на произволна константа (метод на Лагранж) е както следва:

1) Търсим общо решение на хомогенното уравнение y’+p(x)y=0: y=y*.

2) В общото решение считаме C не за константа, а за функция на x: C = C (x). Намираме производната на общото решение (y*)’ и заместваме получения израз за y* и (y*)’ в първоначалното условие. От полученото уравнение намираме функцията C(x).

3) В общото решение на хомогенното уравнение вместо C заместваме намерения израз C(x).

Нека разгледаме примери за метода на вариация на произволна константа. Нека вземем същите задачи като в, сравнете напредъка на решението и се уверете, че получените отговори съвпадат.

1) y’=3x-y/x

Нека пренапишем уравнението в стандартна форма (за разлика от метода на Бернули, където се нуждаехме от нотната форма само за да видим, че уравнението е линейно).

y’+y/x=3x (I). Сега продължаваме по план.

1) Решете хомогенното уравнение y’+y/x=0. Това е уравнение с разделими променливи. Представете си y’=dy/dx, заместете: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Умножаваме двете страни на уравнението по dx и делим на xy≠0: dy/y=-dx/x. Нека интегрираме:

2) В полученото общо решение на хомогенното уравнение ще разглеждаме C не като константа, а като функция на x: C=C(x). Оттук

Заместваме получените изрази в условие (I):

Нека интегрираме двете страни на уравнението:

тук C вече е някаква нова константа.

3) В общото решение на хомогенното уравнение y=C/x, където приехме C=C(x), тоест y=C(x)/x, вместо C(x) заместваме намерения израз x³ +C: y=(x³ +C)/x или y=x²+C/x. Получихме същия отговор, както при решаването по метода на Бернули.

Отговор: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Тук уравнението вече е написано в стандартна форма, няма нужда да го трансформирате.

1) Решете хомогенното линейно уравнение y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Нека интегрираме:

За да получим по-удобна форма на запис, ние приемаме експонентата на степен C като новото C:

Тази трансформация беше извършена, за да бъде по-удобно намирането на производната.

2) В полученото общо решение на линейното хомогенно уравнение разглеждаме C не като константа, а като функция на x: C=C(x). При това условие

Заместваме получените изрази y и y’ в условието:

Умножете двете страни на уравнението по

Интегрираме двете страни на уравнението, използвайки формулата за интегриране по части, получаваме:

Тук C вече не е функция, а обикновена константа.

3) В общото решение на хомогенното уравнение

заместваме намерената функция C(x):

Получихме същия отговор, както при решаването по метода на Бернули.

Методът на вариация на произволна константа също е приложим към решението.

y'x+y=-xy².

Привеждаме уравнението в стандартна форма: y’+y/x=-y² (II).

1) Решете хомогенното уравнение y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Умножаваме двете страни на уравнението по dx и делим на y: dy/y=-dx/x. Сега нека интегрираме:

Заместваме получените изрази в условие (II):

Нека опростим:

Получихме уравнение с разделими променливи за C и x:

Тук C вече е обикновена константа. По време на процеса на интегриране ние написахме просто C вместо C(x), за да не претоварваме нотацията. И накрая се върнахме на C(x), за да не объркаме C(x) с новото C.

3) В общото решение на хомогенното уравнение y=C(x)/x заместваме намерената функция C(x):