Bodové těleso je vrženo pod úhlem k horizontále. Pohyb tělesa vrženého pod úhlem k horizontále

V tomto článku se budeme zabývat analýzou situace, kdy je tělo vrženo pod úhlem k horizontále. Může to být házení kamene ručně, vystřelení granátu z děla, vystřelení šípu z luku a tak dále. Všechny tyto situace jsou z matematického hlediska popsány stejně.

Funkce pohybu v úhlu k horizontále

Jaké jsou podobnosti mezi výše uvedenými příklady z fyzikálního hlediska? Spočívá v povaze sil působících na těleso. Při volném letu tělesa na něj působí pouze dvě síly:

• Gravitace.
• Windage.

Pokud je hmota tělesa dostatečně velká a jeho tvar je špičatý (projektil, šíp), pak lze odpor vzduchu zanedbat.

Pohyb tělesa vrženého pod úhlem k horizontu je tedy problém, ve kterém se objevuje pouze gravitace. Právě ta určuje tvar trajektorie, která je s dobrou přesností popsána parabolickou funkcí.

Pohybové rovnice po parabolické trajektorii. Rychlost

Tělo bylo odhozeno šikmo k horizontu. Jak můžete popsat jeho pohyb? Protože jediná síla působící při letu tělesa směřuje dolů, je její vodorovná složka nulová. Tato skutečnost znamená, že horizontální pohyb objektu je jednoznačně určen počátečními podmínkami (úhel hodu nebo výstřelu θ a rychlost v). Vertikální pohyb tělesa je názorným příkladem rovnoměrně zrychleného pohybu, kde roli zrychlení hraje konstanta g (9,81 m/s2).

Vezmeme-li v úvahu výše uvedené, můžeme pro rychlost letícího tělesa v čase t napsat dvě složky:

v x = v * cos(6);

v y = v * sin(θ) - g * t

Jak je vidět, složka v x nezávisí na čase a zůstává konstantní po celou dráhu letu (důsledek nepřítomnosti vnějších sil ve směru osy x). Složka v y má maximum v počátečním časovém okamžiku. A pak začne klesat, až se v maximálním bodě vzletu tělesa stane nulou. Poté změní znaménko a v okamžiku pádu se ukáže, že je roven modulu počáteční složky v y, tedy v*sin(θ).

Zapsané rovnice nám umožňují určit rychlost tělesa vrženého pod úhlem k horizontále v každém okamžiku t. Jeho modul se bude rovnat:

v = √ (v x 2 + v y 2) = √ (v 2 * cos 2 (θ) + v 2 * sin 2 (θ) - 2 * v* sin (θ) * g * t + g 2 * t 2) =

= √ (v 2 - 2 * v * sin(θ) * g * t + g 2 * t 2)

Pohybové rovnice po parabolické trajektorii. Rozsah letu

Tělo bylo odhozeno šikmo k horizontu. Jak daleko to poletí? Problém s rozsahem se týká změny souřadnic x. Tuto hodnotu lze zjistit integrací obou složek rychlosti v průběhu času. V důsledku integrace získáme vzorce:

x = v * cos (8) * t + x 0;

y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + y 0

Rozdíl mezi souřadnicemi x a x 0 je dosah letu. Pokud předpokládáme, že x 0 = 0, pak se rozsah bude rovnat x, k jehož zjištění potřebujete vědět, jak dlouho t bude těleso ve vzduchu.

Druhá rovnice umožňuje vypočítat tento čas za předpokladu, že je známa hodnota y 0 (výška h, ze které je těleso vrženo). Když objekt dokončí svůj pohyb (spadne na zem), jeho souřadnice y se stane nulou. Pojďme si spočítat čas, kdy se tak stane. máme:

v * sin(θ) * t - g * t2/2 + h = 0

Před námi je úplná kvadratická rovnost. Řešíme to přes diskriminant:

D = v2 * sin 2 (0) - 4 * (-g/2) * h = v2 * sin 2 (0) + 2 * g * h;

t = (-v * sin(θ) ± √D)/(2 * (-g/2))

Záporný kořen zahodíme. Dostáváme následující letový čas:

t = (v * sin(θ) + √ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h))/g

Nyní tuto hodnotu dosadíme do rovnice pro letový dosah. Dostáváme:

x = v * cos(θ) * (v * sin(θ)+√ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h))/g

Pokud je těleso vrženo ze země, tedy h = 0, pak se tento vzorec výrazně zjednoduší. A bude to vypadat takto:

x = 2 * v 2 * cos(θ) * sin(θ)/g = v 2 * sin(2 * θ)/g

Poslední výraz byl získán pomocí vztahu mezi goniometrické funkce sinus a kosinus (redukční vzorce).

Protože sinus má maximální hodnotu pro pravý úhel, pak je maximálního letového dosahu dosaženo, když je těleso odhozeno (vystřeleno) z povrchu země pod úhlem 45°, a tento dosah se rovná:

Výška těla vrženého pod úhlem k horizontále

Nyní si určíme další důležitý parametr – výšku, do které se může hozený předmět zvednout. K tomu samozřejmě stačí uvažovat pouze změnu souřadnice y.

Těleso je tedy vrženo pod úhlem k horizontu, do jaké výšky vyletí? Tato výška bude odpovídat nulové složce rychlosti v y. Máme rovnici:

v y = v * sin(θ) - g * t = 0

Pojďme řešit rovnici. Dostáváme:

Nyní musíte tento čas dosadit do výrazu pro souřadnici y. Dostáváme:

y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = v 2 * sin 2 (θ)/g - g/2* v 2 * sin 2 (θ)/g 2 + h =

V2 * sin 2 (θ)/(2 * g) + h

Tento vzorec udává, že maximální výšky, na rozdíl od letového dosahu, je dosaženo, pokud je tělo vrženo přísně svisle (θ = 90). V tomto případě se dostáváme ke vzorci:

Je zajímavé, že ve všech vzorcích uvedených v tomto článku se tělesná hmotnost neobjevuje. Charakteristika parabolická dráha nezávisí na něm, ale pouze při absenci odporu vzduchu.

Při studiu mechanického pohybu ve fyzice poté, co se seznámí s rovnoměrným a rovnoměrně zrychleným pohybem objektů, přejdou k uvažování o pohybu tělesa pod úhlem k horizontu. V tomto článku se tomuto problému budeme věnovat podrobněji.

Jaký je pohyb tělesa pod úhlem k horizontále?

K tomuto typu pohybu předmětu dochází, když člověk vyhodí kámen do vzduchu, dělo vystřelí dělovou kouli nebo brankář odkopne fotbalový míč od branky. Všechny takové případy zvažuje balistická věda.

Zaznamenaný typ pohybu objektů ve vzduchu nastává podél parabolické trajektorie. Obecně není provádění příslušných výpočtů jednoduchou záležitostí, protože je nutné vzít v úvahu odpor vzduchu, rotaci těla během letu, rotaci Země kolem své osy a některé další faktory.

V tomto článku nebudeme brát v úvahu všechny tyto faktory, ale zvážíme danou problematiku z čistě teoretického hlediska. Přesto výsledné vzorce docela dobře popisují trajektorie pohybujících se těles krátké vzdálenosti.

Získání vzorců pro uvažovaný typ pohybu

Vynesme těla k horizontu pod úhlem. V tomto případě budeme brát v úvahu pouze jednu jedinou sílu působící na letící objekt – gravitaci. Protože působí svisle dolů (rovnoběžně s osou y a proti ní), pak s ohledem na horizontální a vertikální složku pohybu můžeme říci, že první bude mít charakter rovnoměrného přímočarého pohybu. A druhý je rovnoměrně pomalý (stejnoměrně zrychlený) lineární pohyb se zrychlením g. To znamená, že složky rychlosti přes hodnotu v 0 (počáteční rychlost) a θ (úhel směru pohybu tělesa) budou zapsány následovně:

v x = v 0 *cos(θ)

v y = v 0 *sin(θ)-g*t

První vzorec (pro v x) je vždy platný. Pokud jde o druhý, zde je třeba poznamenat jednu nuanci: znaménko mínus je umístěno před součinem g*t pouze v případě, že vertikální složka v 0 *sin(θ) směřuje nahoru. Ve většině případů se to stane, ale pokud hodíte těleso z výšky a míříte dolů, pak ve výrazu pro v y byste měli před g*t dát znaménko „+“.

Po integraci vzorců pro složky rychlosti v průběhu času a při zohlednění počáteční výšky h letu tělesa získáme rovnice pro souřadnice:

x = v 0 *cos(θ)*t

y = h+v 0 *sin(0)*t-g*t2/2

Výpočet letového dosahu

Uvažujeme-li ve fyzice pohyb tělesa k horizontu pod úhlem užitečným pro praktickou aplikaci, ukazuje se, že jde o výpočet doletu. Pojďme si to definovat.

Vzhledem k tomu, že tento pohyb je rovnoměrný pohyb bez zrychlení, stačí do něj dosadit letový čas a získat požadovaný výsledek. Dosah letu je určen výhradně pohybem podél osy x (rovnoběžně s horizontem).

Dobu, po kterou těleso zůstane ve vzduchu, lze vypočítat nastavením souřadnice y na nulu. máme:

0 = h+v 0 *sin(0)*t-g*t2/2

Tuto kvadratickou rovnici vyřešíme přes diskriminant, dostaneme:

D = b 2 - 4*a*c = v 0 2 *sin 2 (θ) - 4*(-g/2)*h = v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h,

t = (-b±√D)/(2*a) = (-v 0 *sin(θ)±√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/(-2* g/2) =

= (v0*sin(0)+√(v02 *sin 2 (0) + 2*g*h))/g.

V posledním výrazu je jeden kořen se znaménkem mínus vyřazen z důvodu jeho nevýznamnosti fyzický význam. Dosazením doby letu t do výrazu pro x získáme rozsah letu l:

l = x = v 0 *cos(θ)*(v 0 *sin(θ)+√(v 02 *sin 2 (0) + 2*g*h))/g.

Nejjednodušší způsob, jak analyzovat tento výraz, je, pokud je počáteční výška nula (h=0), pak dostaneme jednoduchý vzorec:

l = v02 *sin(2*0)/g

Tento výraz udává, že maximálního dosahu letu lze dosáhnout, pokud je těleso vrženo pod úhlem 45 o (sin(2*45 o) = m1).

Maximální výška zdvihu

Kromě letové vzdálenosti je užitečné zjistit i výšku nad zemí, do které se může tělo vznést. Protože tento typ pohybu je popsán parabolou, jejíž větve směřují dolů, je maximální výška zdvihu jejím extrémem. Ten se vypočítá řešením rovnice pro t derivaci y:

dy/dt = d(h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2)/dt = v 0 *sin(θ)-gt=0 =>

=> t = v 0 *sin(θ)/g.

Dosazením tohoto času do rovnice pro y dostaneme:

y = h+v 0 *sin(θ)*v 0 *sin(θ)/g-g*(v 0 *sin(θ)/g) 2 /2 = h + v 0 2 *sin 2 (θ)/( 2 x g).

Tento výraz znamená, že tělo se zvedne do své maximální výšky, pokud je vrženo svisle nahoru (sin 2 (90 o) = 1).

Instrukce

Nechť je těleso vrženo pod úhlem α k horizontu s počáteční rychlostí v0. Nechť jsou počáteční souřadnice tělesa nulové: x(0)=0, y(0)=0. Při průmětech na souřadnicové osy se počáteční rychlost rozloží na dvě složky: v0(x) a v0(y). Obecně stejná rychlost. Podél osy Ox je rychlost konvenčně považována za konstantní, zatímco podél osy Oy se mění pod vlivem . Gravitační zrychlení g lze považovat za přibližně 10 m/s².

Úhel α, pod kterým je těleso vrženo, není dán náhodou. Jeho prostřednictvím můžete popsat počáteční rychlost v souřadnicových osách. Tedy v0(x)=v0·cos(α), v0(y)=v0·sin(α). Nyní můžeme získat funkci souřadnicových složek rychlosti: v(x)=const=v0(x)=v0·cos(α), v(y)=v0(y)-g·t=v0·sin( α)-g·t.

Souřadnice x a y tělesa závisí na čase t. Můžeme tedy vytvořit dvě rovnice závislosti: x=x0+v0(x) t+a(x) t²/2, y=y0+v0(y) t+a(y) t²/2. Protože x0=0, a(x)=0, pak x=v0(x) t=v0 cos(α) t. Je také známo, že y0=0, a(y)=-g (znak „ “ se objeví, protože směr gravitačního zrychlení g a kladný směr osy Oy jsou opačné). Proto y=v0·sin(α)·t-g·t²/2.

Dobu letu lze vyjádřit z rychlostního vzorce s vědomím, že v maximálním bodě se tělo na okamžik zastaví (v = 0) a doby „vzestupu“ a „klesání“ jsou stejné. Takže při dosazení v(y)=0 do rovnice v(y)=v0·sin(α)-g·t vyjde: 0=v0·sin(α)-g·t(p), kde t (p) – špičkový čas, „t vertex“. Proto t(p)=v0·sin(α)/g. Celková doba letu pak bude vyjádřena jako t=2·v0·sin(α)/g.

Stejný vzorec lze získat jiným způsobem, matematicky, z rovnice pro souřadnici y=v0·sin(α)·t-g·t²/2. Tuto rovnici lze přepsat do mírně upraveného tvaru: y=-g/2·t²+v0·sin(α)·t. Je vidět, že se jedná o kvadratickou závislost, kde y je funkce, t je argument. Vrcholem paraboly popisující trajektorii je bod t(p)=[-v0·sin(α)]/[-2g/2]. Mínusy a dvojky se ruší, takže t(p)=v0·sin(α)/g. Označíme-li maximální výšku jako H a zapamatujeme si, že bod vrcholu je vrchol paraboly, po které se těleso pohybuje, pak H=y(t(p))=v0²sin²(α)/2g. To znamená, že abyste získali výšku, musíte do rovnice pro souřadnici y dosadit „vrchol t“.

Doba letu je tedy zapsána jako t=2·v0·sin(α)/g. Chcete-li jej změnit, musíte odpovídajícím způsobem změnit počáteční rychlost a úhel sklonu. Čím vyšší rychlost, tím déle tělo letí. S úhlem je to poněkud složitější, protože čas nezávisí na úhlu samotném, ale na jeho sinusu. Maximum možný význam sinus – jednota – se dosahuje při úhlu sklonu 90°. To znamená, že tělo letí nejdéle, když je vrženo svisle nahoru.

Rozsah letu je konečná souřadnice x. Pokud dosadíme již zjištěnou dobu letu do rovnice x=v0·cos(α)·t, pak snadno zjistíme, že L=2v0²sin(α)cos(α)/g. Zde se můžete přihlásit trigonometrický vzorec dvojitý úhel 2sin(α)cos(α)=sin(2α), pak L=v0²sin(2α)/g. Sinus dvou alf je roven jedné, když 2α=n/2, α=n/4. Dosah letu je tedy maximální, pokud je těleso vrženo pod úhlem 45°.

Toto je kreativní úkol pro mistrovskou třídu informatiky pro školáky na FEFU.
Účelem úkolu je zjistit, jak se změní trajektorie tělesa, pokud se vezme v úvahu odpor vzduchu. Je třeba si také zodpovědět otázku, zda letová vzdálenost ještě dosáhne maximální hodnoty při úhlu vrhu 45°, pokud se vezme v úvahu odpor vzduchu.

Část „Analytický výzkum“ nastiňuje teorii. Tuto část lze přeskočit, ale měla by vám být většinou jasná, protože... Ó většinu z toho jste se naučili ve škole.
Část "Numerical Study" obsahuje popis algoritmu, který musí být implementován na počítači. Algoritmus je jednoduchý a stručný, takže by ho měl zvládnout každý.

Analytický výzkum

Zapišme si druhý Newtonův zákon: .
Zrychlení v každém časovém okamžiku je (okamžitá) rychlost změny rychlosti, tj. derivace rychlosti s ohledem na čas: .

Proto lze 2. Newtonův zákon přepsat takto:
, kde je výslednice všech sil působících na těleso.
Jelikož na těleso působí gravitační síla a síla odporu vzduchu, pak
.

Budeme zvažovat tři případy:
1) Síla odporu vzduchu je 0: .
2) Síla odporu vzduchu směřuje opačně k vektoru rychlosti a její velikost je úměrná rychlosti: .
3) Síla odporu vzduchu směřuje opačně k vektoru rychlosti a její velikost je úměrná druhé mocnině rychlosti: .

Podívejme se nejprve na 1. případ.
V tomto případě , nebo .


Z toho vyplývá (stejnoměrně zrychlený pohyb).
Protože ( r- vektor poloměru), pak .
Odtud .
Tento vzorec není nic jiného než známý vzorec pro zákon pohybu tělesa při rovnoměrně zrychleném pohybu.
Od té doby .
Vzhledem k tomu, že obojí , získáme skalární rovnosti z poslední vektorové rovnosti:

Pojďme analyzovat výsledné vzorce.
Pojďme najít doba letu těla. Zrovnoprávnění y na nulu, dostaneme se

Z tohoto vzorce vyplývá, že maximálního dosahu letu je dosaženo při .
Teď pojďme najít rovnice nástavby traktoru. K tomu se vyjádřeme t přes x

A dosadíme výsledný výraz za t do rovnosti pro y.

Výsledná funkce y(x) je kvadratická funkce, jejím grafem je parabola, jejíž větve směřují dolů.
Pohyb tělesa vrženého šikmo k horizontu (bez zohlednění odporu vzduchu) je popsán v tomto videu.

Nyní zvažte druhý případ: .

Druhý zákon má formu ,
odtud .
Zapišme tuto rovnost ve skalárním tvaru:

Máme dvě lineární diferenciální rovnice.
První rovnice má řešení

To lze ověřit dosazením této funkce do rovnice pro v x a do výchozího stavu .
Zde e = 2,718281828459... je Eulerovo číslo.
Druhá rovnice má řešení

Protože , , pak za přítomnosti odporu vzduchu bývá pohyb těla rovnoměrný, na rozdíl od případu 1, kdy se rychlost neomezeně zvyšuje.
Následující video říká, že parašutista se nejprve pohybuje zrychleným tempem a poté se začne pohybovat rovnoměrně (ještě před otevřením padáku).

Tento nelineární systém diferenciální rovnice . Tento systém nelze řešit explicitně, proto je nutné použít numerickou simulaci.

Numerická studie

Budeme uvažovat druhý případ, kdy je síla odporu vzduchu určena vzorcem . Všimněte si, že kdy k= 0 dostaneme první případ.

Rychlost těla se řídí následujícími rovnicemi:

Složky zrychlení jsou napsány na levé straně těchto rovnic .
Připomeňme, že zrychlení je (okamžitá) rychlost změny rychlosti, tedy derivace rychlosti s ohledem na čas.
Pravé strany rovnic obsahují složky rychlosti. Tyto rovnice tedy ukazují, jak souvisí rychlost změny rychlosti s rychlostí.

Pokusme se najít řešení těchto rovnic pomocí numerických metod. K tomu uvádíme na časové ose pletivo: vyberme číslo a uvažujme časové okamžiky tvaru: .

Naším úkolem je přibližně vypočítat hodnoty v uzlech mřížky.

Nahradíme zrychlení v rovnicích ( okamžitá rychlost změny rychlosti) podle průměrná rychlost změny rychlosti s ohledem na pohyb tělesa za určitou dobu:

Nyní dosadíme získané aproximace do našich rovnic.

Výsledné vzorce nám umožňují vypočítat hodnoty funkcí na dalším uzlu mřížky, pokud jsou známy hodnoty těchto funkcí v předchozím uzlu mřížky.

Pomocí popsané metody můžeme získat tabulku přibližných hodnot složek rychlosti.

Jak najít zákon pohybu tělesa, tzn. tabulka přibližných hodnot souřadnic x(t), y(t)? Rovněž!
máme

Hodnota vx[j] je rovna hodnotě funkce a stejná pro ostatní pole.
Teď už zbývá jen napsat smyčku, uvnitř které budeme počítat vx přes již vypočítanou hodnotu vx[j] a to samé se zbytkem polí. Cyklus bude j od 1 do N.
Nezapomeňte inicializovat počáteční hodnoty vx, vy, x, y podle vzorců, x 0 = 0, y 0 = 0.

V Pascalu a C jsou funkce sin(x) a cos(x) pro výpočet sinus a kosinus. Všimněte si, že tyto funkce mají argument v radiánech.

Musíte sestavit graf pohybu těla během k= 0 a k> 0 a porovnejte výsledné grafy. Grafy lze vytvářet v Excelu.
Všimněte si, že výpočetní vzorce jsou tak jednoduché, že pro výpočty můžete používat pouze Excel a dokonce ani programovací jazyk.
V budoucnu však budete muset vyřešit problém v CATS, ve kterém je třeba vypočítat čas a rozsah letu tělesa, kde se bez programovacího jazyka neobejdete.

Upozorňujeme, že můžete test váš program a zkontrolujte své grafy porovnáním výsledků výpočtů, kdy k= 0 s přesné vzorce uvedené v části "Analytický výzkum".

Experimentujte se svým programem. Ujistěte se, že pokud neexistuje odpor vzduchu ( k= 0) maximálního dosahu letu při pevné počáteční rychlosti je dosaženo pod úhlem 45°.
A co odpor vzduchu? V jakém úhlu je dosaženo maximálního dosahu letu?

Obrázek ukazuje trajektorie tělesa v proti 0 = 10 m/s, α = 45°, G= 9,8 m/s2, m= 1 kg, k= 0 a 1 získaná numerickou simulací při Δ t = 0,01.

Můžete se seznámit s nádhernou prací žáků 10. ročníku z Troitsku, prezentovanou na konferenci „Start in Science“ v roce 2011. Práce je věnována modelování pohybu tenisového míčku hozeného pod úhlem k horizontu (s přihlédnutím ke vzduchu odpor). Používá se jak numerické modelování, tak experiment v plném měřítku.

Tento kreativní úkol vám tedy umožňuje seznámit se s metodami matematického a numerického modelování, které se v praxi aktivně využívají, ale ve škole se málo studují. Tyto metody byly například použity při realizaci jaderných a vesmírných projektů v SSSR v polovině 20. století.

Pokud je těleso vrženo pod úhlem k horizontu, pak na něj za letu působí gravitační síla a síla odporu vzduchu. Pokud se odporová síla zanedbá, pak zbývá pouze gravitace. V důsledku 2. Newtonova zákona se těleso pohybuje se zrychlením rovným zrychlení gravitace; průměty zrychlení na souřadnicové osy ax = 0, ay = - g.

Obrázek 1. Kinematické charakteristiky tělesa vrženého pod úhlem k horizontále

Jakýkoli složitý pohyb hmotného bodu lze znázornit jako superpozici nezávislých pohybů podél souřadnicových os a ve směru různých os se typ pohybu může lišit. V našem případě lze pohyb letícího tělesa znázornit jako superpozici dvou nezávislých pohybů: rovnoměrný pohyb podél vodorovné osy (osa X) a rovnoměrně zrychlený pohyb podél svislé osy (osa Y) (obr. 1) .

Projekce rychlosti těla se proto mění s časem takto:

kde $v_0$ je počáteční rychlost, $(\mathbf \alpha )$ je úhel vrhání.

Při naší volbě počátku jsou počáteční souřadnice (obr. 1) $x_0=y_0=0$. Pak dostaneme:

(1)

Pojďme analyzovat vzorce (1). Určíme dobu pohybu vrženého tělesa. Abychom to udělali, nastavme souřadnici y rovnou nule, protože v okamžiku přistání je výška těla nulová. Odtud dostaneme dobu letu:

Druhá časová hodnota, při které je výška nula, je nula, což odpovídá okamžiku náhozu, tzn. tato hodnota má i fyzický význam.

Dosah letu získáme z prvního vzorce (1). Letový dosah je hodnota x souřadnice na konci letu, tzn. v čase rovném $t_0$. Dosazením hodnoty (2) do prvního vzorce (1) dostaneme:

Z tohoto vzorce je vidět, že největšího dosahu letu je dosaženo při úhlu odhozu 45 stupňů.

Maximální výšku zdvihu vrženého tělesa lze získat z druhého vzorce (1). Chcete-li to provést, musíte do tohoto vzorce dosadit hodnotu času rovnající se polovině doby letu (2), protože Ve středu trajektorie je maximální výška letu. Provádíme výpočty, dostáváme

Z rovnic (1) lze získat rovnici trajektorie tělesa, tzn. rovnice týkající se souřadnic x a y tělesa během pohybu. K tomu je třeba vyjádřit čas z první rovnice (1):

a dosaďte ji do druhé rovnice. Pak dostaneme:

Tato rovnice je rovnicí trajektorie pohybu. Je vidět, že se jedná o rovnici paraboly s jejími větvemi dolů, jak je naznačeno znaménkem „-“ před kvadratickým členem. Je třeba si uvědomit, že úhel házení $\alpha $ a jeho funkce jsou zde prostě konstanty, tzn. konstantní čísla.

Těleso je vrženo rychlostí v0 pod úhlem $(\mathbf \alpha )$ k horizontu. Doba letu $t = 2 s$. Do jaké výšky Hmax se těleso zvedne?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

Zákon pohybu tělesa má tvar:

$$\left\( \begin(pole)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(pole) \right.$ $

Vektor počáteční rychlosti tvoří úhel $(\mathbf \alpha )$ s osou OX. Proto,

\ \ \

Kámen je vržen z vrcholu hory pod úhlem = 30$()^\circ$ k horizontu s počáteční rychlostí $v_0 = 6 m/s$. Úhel nakloněné roviny = 30$()^\circ$. Jak daleko od místa vrhání kámen dopadne?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

Počátek souřadnic umístíme do bodu házení, OX - podél nakloněné roviny dolů, OY - kolmo na nakloněnou rovinu nahoru. Kinematické vlastnosti pohybu:

Zákon pohybu:

$$\left\( \begin(pole)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(pole) \right.$$ \

Dosazením výsledné hodnoty $t_В$ zjistíme $S$: