Sousední úhly trojúhelníku. Přilehlé a vertikální úhly

Co je sousední úhel

Roh- Tento geometrický obrazec(obr. 1), tvořené dvěma paprsky OA a OB (strany úhlu), vycházejícími z jednoho bodu O (vrcholu úhlu).

PŘILEŽITÉ ROHY- dva úhly, jejichž součet je 180°. Každý z těchto úhlů doplňuje druhý do plného úhlu.

Sousední úhly- (Agles adjacets) ty, které mají společný vrchol a společnou stranu. Většinou se tento název vztahuje k úhlům, jejichž zbývající dvě strany leží v opačných směrech jedné protažené přímky.

Dva úhly se nazývají sousední, pokud mají jednu stranu společnou, a ostatní strany těchto úhlů jsou doplňkové polopřímky.

rýže. 2

Na obrázku 2 sousedí úhly alb a a2b. Mají společnou stranu b a strany a1, a2 jsou další polopřímky.

rýže. 3

Obrázek 3 ukazuje přímku AB, bod C se nachází mezi body A a B. Bod D je bod neležící na přímce AB. Ukazuje se, že úhly BCD a ACD spolu sousedí. Mají společnou stranu CD a strany CA a CB jsou další polopřímky přímky AB, protože body A, B jsou odděleny počátečním bodem C.

Věta o sousedním úhlu

Teorém: součet sousedních úhlů je 180°

Důkaz:
Úhly a1b a a2b spolu sousedí (viz obr. 2) Paprsek b prochází mezi stranami a1 a a2 rozvinutého úhlu. Proto je součet úhlů a1b a a2b roven rozvinutému úhlu, tedy 180°. Věta byla prokázána.

Úhel rovný 90° se nazývá pravý úhel. Z věty o součtu sousedních úhlů vyplývá, že úhel sousedící s pravým úhlem je také pravý úhel. Úhel menší než 90° se nazývá ostrý a úhel větší než 90° se nazývá tupý. Protože součet sousedních úhlů je 180°, pak úhel sousedící s ostrým úhlem je úhel tupý. Úhel sousedící s tupým úhlem je ostrý úhel.

Sousední úhly- dva úhly se společným vrcholem, z nichž jedna strana je společná a zbývající strany leží na stejné přímce (neshodují se). Součet sousedních úhlů je 180°.

Definice 1.Úhel je část roviny ohraničená dvěma paprsky se společným počátkem.

Definice 1.1.Úhel je obrazec skládající se z bodu - vrcholu úhlu - a dvou různých polopřímek vycházejících z tohoto bodu - stran úhlu.
Například úhel BOC na obr. 1 Uvažujme nejprve dvě protínající se přímky. Když se přímky protínají, tvoří úhly. Existují speciální případy:

Definice 2. Pokud jsou strany úhlu dalšími polopřímkami jedné přímky, pak se úhel nazývá rozvinutý.

Definice 3. Pravý úhel je úhel o velikosti 90 stupňů.

Definice 4.Úhel menší než 90 stupňů se nazývá ostrý úhel.

Definice 5.Úhel větší než 90 stupňů a menší než 180 stupňů se nazývá tupý úhel.
protínající se čáry.

Definice 6. Dva úhly, z nichž jedna strana je společná a ostatní strany leží na stejné přímce, se nazývají sousední.

Definice 7.Úhly, jejichž strany na sebe navazují, se nazývají svislé úhly.
Na obrázku 1:
sousední: 1 a 2; 2 a 3; 3 a 4; 4 a 1
vertikální: 1 a 3; 2 a 4
Věta 1. Součet sousedních úhlů je 180 stupňů.
Pro důkaz uvažujte na obr. 4 sousední úhly AOB a BOC. Jejich součet je rozvinutý úhel AOC. Součet těchto sousedních úhlů je tedy 180 stupňů.

rýže. 4

Spojení mezi matematikou a hudbou

„Při přemýšlení o umění a vědě, o jejich vzájemných souvislostech a rozporech jsem došel k závěru, že matematika a hudba jsou na krajních pólech lidského ducha, že veškerá tvůrčí duchovní činnost člověka je omezena a určována těmito dvěma antipody a že všechno leží mezi nimi, co lidstvo vytvořilo na poli vědy a umění.“
G. Neuhaus
Zdálo by se, že umění je od matematiky velmi abstraktní oblast. Spojení mezi matematikou a hudbou je však určeno historicky i vnitřně, přestože matematika je nejabstraktnější z věd a hudba je nejabstraktnější formou umění.
Souzvuk určuje příjemný zvuk struny
Tento hudební systém byl založen na dvou zákonech, které nesou jména dvou velkých vědců – Pythagoras a Archytas. Toto jsou zákony:
1. Dvě znějící struny určují konsonanci, pokud jejich délky souvisí jako celá čísla tvořící trojúhelníkové číslo 10=1+2+3+4, tzn. jako 1:2, 2:3, 3:4. Navíc, čím menší je číslo n v poměru n:(n+1) (n=1,2,3), tím je výsledný interval konsonantnější.
2. Frekvence kmitání ozvučné struny je nepřímo úměrná její délce l.
w = a:l,
kde a je koeficient charakterizující fyzikální vlastnosti struny.

Nabídnu vám i vtipnou parodii na hádku dvou matematiků =)

Geometrie kolem nás

Geometrie v našem životě nemá malý význam. Vzhledem k tomu, že když se rozhlédnete kolem sebe, nebude těžké si všimnout, že jsme obklopeni různými geometrickými tvary. Setkáváme se s nimi všude: na ulici, ve třídě, doma, v parku, v tělocvičně, ve školní jídelně, v podstatě kdekoliv jsme. Tématem dnešní lekce jsou ale sousední uhlíky. Podívejme se tedy kolem sebe a zkusme v tomto prostředí najít úhly pohledu. Když se podíváte pozorně na okno, můžete vidět, že některé větve stromů tvoří sousední rohy a v přepážkách na bráně můžete vidět mnoho vertikálních úhlů. Uveďte své vlastní příklady sousedních úhlů, které pozorujete ve svém okolí.

Cvičení 1.

1. Na stole na stojanu na knihy je kniha. Jaký úhel svírá?
2. Ale student pracuje na notebooku. Jaký úhel zde vidíte?
3. Jaký úhel svírá fotorámeček na stojanu?
4. Myslíte si, že je možné, aby dva sousední úhly byly stejné?

Úkol 2.

Před vámi je geometrický obrazec. Co je to za postavu, pojmenujte ji? Nyní pojmenujte všechny sousední úhly, které můžete vidět na tomto geometrickém obrazci.

Úkol 3.

Zde je obrázek kresby a malby. Pozorně si je prohlédněte a řekněte mi, jaké druhy ryb vidíte na obrázku a jaké úhly na obrázku vidíte.

Řešení problému

Matematický diktát k opakování dříve probrané látky

Řešit problémy:

1. Může se součet 3 úhlů vytvořených průsečíkem 2 přímek rovnat 100°? 370°?
2. Na obrázku najděte všechny dvojice sousedních úhlů. A nyní vertikální úhly. Pojmenujte tyto úhly.

3. Musíte najít úhel, který je třikrát větší než jeho sousední.
4. Dvě přímky se vzájemně protínaly. V důsledku tohoto průniku vznikly čtyři rohy. Určete hodnotu kteréhokoli z nich za předpokladu, že:

a) součet 2 úhlů ze čtyř je 84°;
b) rozdíl mezi 2 úhly je 45°;
c) jeden úhel je 4krát menší než druhý;
d) součet tří těchto úhlů je 290°.

Shrnutí lekce

1. pojmenuj úhly, které se tvoří, když se protnou 2 přímky?
2. Pojmenujte všechny možné dvojice úhlů na obrázku a určete jejich typ.

Domácí práce:

1. Najděte poměr stupňů sousedních úhlů, když je jeden z nich o 54° větší než druhý.
2. Najděte úhly, které se vytvoří, když se protnou 2 přímky, za předpokladu, že jeden z úhlů je roven součtu 2 dalších úhlů, které k němu přiléhají.
3. Je nutné najít sousední úhly, když osička jednoho z nich svírá se stranou druhého úhel o 60° větší než druhý úhel.
4. Rozdíl mezi 2 sousedními úhly je roven třetině součtu těchto dvou úhlů. Určete hodnoty 2 sousedních úhlů.
5. Rozdíl a součet 2 sousedních úhlů jsou v poměru 1:5. Najděte sousední úhly.
6. Rozdíl mezi dvěma sousedními je 25 % jejich součtu. Jak spolu souvisí hodnoty 2 sousedních úhlů? Určete hodnoty 2 sousedních úhlů.

otázky:

1. co je úhel?
2. Jaké typy úhlů existují?
3. Jaká je vlastnost sousedních úhlů?

Dva úhly se nazývají sousední, pokud mají jednu stranu společnou, a ostatní strany těchto úhlů jsou komplementární paprsky. Na obrázku 20 sousedí úhly AOB a BOC.

Součet sousedních úhlů je 180°

Věta 1. Součet sousedních úhlů je 180°.

Důkaz. Paprsek OB (viz obr. 1) prochází mezi stranami rozvinutého úhlu. Proto ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Z věty 1 vyplývá, že pokud jsou dva úhly stejné, pak jsou stejné i jejich sousední úhly.

Vertikální úhly jsou stejné

Dva úhly se nazývají svislé, pokud strany jednoho úhlu jsou komplementárními paprsky stran druhého. Úhly AOB a COD, BOD a AOC, vytvořené v průsečíku dvou přímek, jsou svislé (obr. 2).

Věta 2. Vertikální úhly jsou stejné.

Důkaz. Uvažujme vertikální úhly AOB a COD (viz obr. 2). Úhel BOD sousedí s každým z úhlů AOB a COD. Podle věty 1 ∠ AOB + ∠ BSK = 180°, ∠ CHSK + ∠ BSK = 180°.

Z toho usuzujeme, že ∠ AOB = ∠ COD.

Důsledek 1. Úhel sousedící s pravým úhlem je pravý úhel.

Uvažujme dvě protínající se přímky AC a BD (obr. 3). Tvoří čtyři rohy. Pokud je jeden z nich přímý (úhel 1 na obr. 3), pak jsou zbývající úhly také pravé (úhly 1 a 2, 1 a 4 sousedí, úhly 1 a 3 jsou svislé). V tomto případě říkají, že tyto čáry se protínají v pravém úhlu a nazývají se kolmé (nebo vzájemně kolmé). Kolmost přímek AC a BD je označena následovně: AC ⊥ BD.

Osa kolmice k segmentu je přímka kolmá k tomuto segmentu a procházející jeho středem.

AN - kolmá k přímce

Uvažujme přímku a a bod A, který na ní neleží (obr. 4). Spojme bod A úsečkou s bodem H přímkou ​​a. Úsek AN se nazývá kolmice vedená z bodu A k přímce a, pokud jsou úsečky AN a a kolmé. Bod H se nazývá základna kolmice.

Kreslení čtverce

Následující věta je pravdivá.

Věta 3. Z libovolného bodu, který neleží na přímce, lze k této přímce nakreslit kolmici a navíc pouze jednu.

Pro nakreslení kolmice z bodu na přímku ve výkresu použijte kreslicí čtverec (obr. 5).

Komentář. Formulace věty se obvykle skládá ze dvou částí. Jedna část hovoří o tom, co je dáno. Tato část se nazývá podmínka věty. Druhá část hovoří o tom, co je třeba dokázat. Tato část se nazývá závěr věty. Například podmínkou věty 2 je, že úhly jsou svislé; závěr - tyto úhly jsou stejné.

Jakoukoli větu lze podrobně vyjádřit slovy tak, že její podmínka začíná slovem „pokud“ a její závěr slovem „pak“. Například větu 2 lze podrobně vyjádřit takto: „Pokud jsou dva úhly svislé, pak jsou stejné.

Příklad 1 Jeden ze sousedních úhlů je 44°. Čemu se rovná ten druhý?

Řešení. Stupňovou míru jiného úhlu označme x, tedy podle věty 1.
44° + x = 180°.
Řešením výsledné rovnice zjistíme, že x = 136°. Proto je druhý úhel 136°.

Příklad 2 Nechť úhel CHSK na obrázku 21 je 45°. Jaké jsou úhly AOB a AOC?

Řešení. Úhly COD a AOB jsou vertikální, proto jsou podle věty 1.2 stejné, tj. ∠ AOB = 45°. Úhel AOC sousedí s úhlem COD, což znamená podle věty 1.
∠ AOC = 180° - ∠ CHSK = 180° - 45° = 135°.

Příklad 3 Najděte sousední úhly, pokud je jeden z nich 3x větší než druhý.

Řešení. Míru stupně menšího úhlu označme x. Pak míra stupně většího úhlu bude 3x. Protože součet sousedních úhlů je roven 180° (věta 1), pak x + 3x = 180°, odkud x = 45°.
To znamená, že sousední úhly jsou 45° a 135°.

Příklad 4. Součet dvou vertikálních úhlů je 100°. Najděte velikost každého ze čtyř úhlů.

Řešení. Nechť obrázek 2 splňuje podmínky úlohy Vertikální úhly COD k AOB jsou stejné (Věta 2), což znamená, že jejich míry jsou také stejné. Tedy ∠ CHSK = ∠ AOB = 50° (jejich součet podle podmínky je 100°). Úhel BOD (také úhel AOC) sousedí s úhlem COD, a proto podle věty 1
∠ BSK = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Dvě přímky BA a BC (obr. 13), protínající se ve stejném bodě B, svírají v bodě B úhel.

Definice úhlu. Úhel je neurčitá část roviny ohraničená dvěma protínajícími se přímkami. Úhel je veličina, která určuje sklon jedné přímky k druhé.

Strany rohu. Protínající se čáry se nazývají strany úhlu.

Horní roh. Průsečík dvou přímek se nazývá vrchol úhlu. Velikost úhlu nezávisí na délce stran, takže strany úhlu lze prodlužovat donekonečna.

Název úhlu. A) Úhly se nazývají písmenem ve vrcholu; tak ten úhel je zatracený. 13 se nazývá úhel B. b) Pokud je ve vrcholu několik úhlů, pak se úhly nazývají tři písmena stojící ve vrcholu a jeho dvou stranách. V tomto případě se písmeno nahoře vyslovuje a píše uprostřed.

Do prdele. 13 úhel B se nazývá úhel ABC. Přímky BA a BC jsou dvě strany a bod B je vrchol úhlu.

Tedy úhel ABC je úhel B nebo

úhel ABC = úhel B.

Značka úhlu. Slovo úhel je někdy nahrazeno znaménkem∠ .

Předchozí rovnost je tedy reprezentována písemně:

V případě, že z bodu vychází několik čar, je v bodě B několik úhlů.

Do prdele. Z bodu B vychází 14 přímek BA, BC, BD a ve vrcholu B jsou úhly ABC, CBD, ABD.

Sousední úhly. Dva úhly se nazývají sousední, když mají společný vrchol na jedné společné straně a další dva leží na obou stranách společné strany.

Úhly ABC a CBD (obr. 14) jsou sousední úhly. Mají společný vrchol B, společnou stranu BC a dvě další strany BA a BD leží jedna nad a druhá pod společnou stranou BC.

Úhly mění svou velikost, pokud se mění sklon jedné strany k druhé. Ze dvou úhlů, které mají společný vrchol, se úhel, ve kterém je druhý úhel umístěn, nazývá hlavní úhel. Na výkresu 14

ug ABD > ang. ABC a ug. CBD< уг. ABD.

Abychom měli představu o vzájemné velikosti dvou úhlů, které mají různé vrcholy, jeden úhel se překrývá s druhým. Při superponování se jejich vrcholy sloučí na jedné straně, pak směr druhé strany umožní porovnat jejich hodnoty. Pro porovnání dvou úhlů ABC a DEF (obr. 15) je úhel DEF superponován s úhlem ABC tak, že strana EF jde podél strany BC, bod E se shoduje s bodem B; pak strana ED může zaujmout tři polohy: může se shodovat se stranou BA, může padat dovnitř a vně úhlu ABC.

a) Pokud se přímka ED shoduje s přímkou ​​BA, úhly se nazývají stejné

ug ABC = ang. DEF.

b) Pokud přímka ED spadá do úhlu ABC a zaujme polohu BG, úhel ABC bude větší než úhel DEF

ug ABC > ang. DEF.

c) Pokud přímka ED spadá mimo úhel ABC ve směru BH, úhel ABC je menší než úhel DEF

ug ABC< уг. DEF.

Sčítání, odečítání, násobení a dělení úhlů. Dva sousední úhly ABC a CBD (obr. 14) svírají jeden úhel ABC. Úhel ABD se nazývá součet úhlů ABC a CBD. To je písemně vyjádřeno rovností:

∠ABD = ∠ABC + ∠CBD (a)

Z rovnosti (a) vyplývá rovnost:

∠ABC = ∠ABD - ∠CBD

∠CBD = ∠ABD - ∠ABC,

tj. úhel ABC je rozdíl mezi úhly ABD a CBD a úhel CBD je rozdíl mezi úhly ABD a ABC.

Je-li v bodě O (obr. 16) více stejných sousedních úhlů, tj. jestliže

∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE,

pak úhel AOC rovný součtu úhlů AOB a BOC se rovná dvěma úhlům AOB,

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC, další. ∠AOC = 2AOB.

Úhel AOD se rovná třem úhlům AOB

Naopak úhel AOB je poloviční úhel AOC, třetinový úhel AOD, jeden čtvrtinový úhel AOE.

AOB = 1/2 AOC = 1/3 AOD = 1/4 AOE.

Z toho usuzujeme úhly jako veličiny lze nejen sčítat a odečítat, ale také násobit a dělit abstraktním číslem.

Pokud dvou sousedních úhlů ACD a DCB (obr. 17) dvě strany CA a CB leží na stejné přímce, nazýváme je sousední.

. Sousední úhly jsou ty, ve kterých je jedna strana společná a další dvě leží na stejné přímce.

Jestliže přímka CD, otáčející se kolem bodu C, zaujme polohu CE, pak se úhel ACD, klesající, změní v úhel ACE a úhel BCD, rostoucí, se změní v úhel BCE. Čára CD, pokračující v otáčení, může zaujmout takovou polohu, že se dva sousední úhly srovnají. Když jsou dva sousední úhly ACD a DCB stejné (obrázek 18), jsou nazývány správné úhly.

V tomto případě se přímka CD nazývá kolmá k přímce AB nebo jednoduše kolmá k přímce AB.

Na výkresu 19 je nakreslen jeden pravý úhel bez dalšího vedle něj.

Pravý úhel je jeden ze stejných sousedních úhlů.

Kolmice je přímka, která svírá s jinou přímkou ​​pravý úhel.

Na obrázku 18 se úhly ACD a DCB, které zůstávají přilehlé a stejné, nazývají pravé úhly. Čára DC bude kolmá na čáru AB. Tento vzájemný vztah dvou čar se někdy vyjadřuje písemně: CD ⊥ AB.

Protože přímka AB bude také kolmá k přímce CD, pak přímka AB a CD budou vzájemně kolmé, tj. pokud CD ⊥ AB, pak AB ⊥ CD.

Kolmá podrážka. Bod vzájemného setkání dvou kolmých přímek se nazývá pata kolmice.

Bod C (obr. 18) je spodní část kolmého CD.

V každém bodě na přímce AB můžete nakreslit kolmici k přímce AB.

Kreslit kolmici k přímce (AB) z bodu ležícího na přímce znamená sestrojit kolmici. Nakreslit kolmici (DC) k přímce (AB) z bodu (D) ležícího mimo přímku znamená snížit kolmici(Obrázek 18).

Šikmá linie . Jakákoli přímka, která není kolmá k jiné, se nazývá přímka k ní nakloněná.

Na výkresu 20 bude čára CE nakloněna k čáře AB a čára CD bude kolmá k čáře AB.

Úhel ECB je menší než pravý a úhel ACE je více než pravý. Úhel ECB se nazývá ostrý a úhel ACE se nazývá tupý.

Ostrý roh každý úhel je menší než pravý úhel, A tupý úhel existuje úhel větší než pravý úhel.

Stejné a rozdílné úhly. Dva ostré nebo dva tupé úhly se nazývají identické a dva úhly, jeden ostrý a druhý tupý, se nazývají opačné.

Nakloněná čára CE svírá (obr. 20) s přímkou ​​AB dva sousední úhly, z nichž jeden je menší a druhý větší než úhel pravý, to znamená, že jeden je ostrý a druhý tupý.

Věta 3. Z bodu vzatého na přímce lze k němu sestrojit pouze jednu kolmici.

Dana přímka AB a na ní bod C (obr. 20).

Nutno doložit, že k němu lze obnovit pouze jednu kolmici.

Důkaz. Předpokládejme, že je možné sestrojit dvě kolmice (obr. 20) CD a CE z bodu C k přímce AB. Podle vlastnosti kolmice

ug DCB = ang. ACD(a)
ug BCE = ang. ESO.

Aplikujeme-li úhel ECD na první část poslední nerovnosti, dostaneme nerovnost

ug BCE + ang. ECD > ang. ACE, nebo ug. BCD > ang. ESO.

Nahrazení ug v této nerovnosti. BCD o úhel ACD (a), který je mu rovný, dostaneme

ug DCA > ang. ESO,

nerovnost je zjevně absurdní, protože část nemůže být větší než její celek, proto předpoklad, že lze sestrojit dvě kolmice, vede k absurditě, proto je mylný. Nepravdivost předpokladu je založena na úvaze, že ze správné pozice nelze vyvodit nesprávný závěr, proto je naše věta pravdivá.

Metoda dokazování platnosti dané věty poukázáním na nemožnost a nesmyslnost jakéhokoli jiného předpokladu se nazývá metoda důkazu kontradikcí nebo metoda redukce do absurdity.

Věta 4. Všechny pravé úhly jsou stejné.

Předpokládejme, že máme dva páry pravých úhlů: jeden pár je tvořen úhly ACD a DCB a druhý je tvořen úhly EGH a HGF, tedy CD ⊥ AB a HG ⊥ EF (obr. 21).

Musíte dokázat, že pravé úhly jsou stejné.

Důkaz. Položme přímku EF na přímku AB s bodem G na bod C, pak přímka GH půjde podél přímky CD, protože z bodu C lze sestrojit pouze jednu kolmici, proto pravý úhel DCB = pravý úhel HGF.

Závěr. Pravý úhel je konstantní hodnota.

Měření úhlů. Při měření úhlů se jako srovnávací jednotka bere pravý úhel jako konstantní hodnota. Jeho hodnota je označena písmenem d.

V tomto případě
každý ostrý úhel< d,
každý tupý úhel > d.

Všechny úhly jsou vyjádřeny pomocí pravých úhlů. Takže například říkají: daný úhel je ½ d, 2/3 d atd.

Věta 5. Součet dvou sousedních úhlů se rovná dvěma pravým úhlům.

Jsou dány sousední úhly ACD a DCB (obr. 22).

Musíme dokázat, že ACD + DCB = 2d.

Důkaz. Z bodu C sestrojíme kolmici k CE

ACD = ACE + ECD = d + ECD
DCB = ECB - ECD = d - ECD

Přidáním těchto rovností máme:

ACD + DCB = ACE + ECB = 2d (což je potřeba dokázat).

Dva sousední úhly se vzájemně doplňují se dvěma pravými úhly, a proto se nazývají doplňkové úhly.

Vyplývá to z věty 5 následek. Jeden pár sousedních úhlů se rovná druhému páru sousedních úhlů.

Věta 6(opak věty 5). Pokud je součet dvou sousedních úhlů roven dvěma pravým úhlům, pak další dvě strany leží na stejné přímce.

Nechť je součet dvou sousedních úhlů ACD a DCB roven dvěma pravým úhlům (obr. 23).

Musíme dokázat, že ACB je přímka.

Důkaz. Předpokládejme, že ACB je přerušovaná čára a že pokračováním čáry AC je čára CE

Dvě veličiny rovnající se téže třetině jsou tedy stejné (axiom 3).

ACD + DCB = ACD + DCE

odkud se bere při kontrakci?

závěr je absurdní (část se rovná celku, viz os. 1), proto je přímka ACB přímka (což bylo potřeba dokázat).

Věta 7. Součet úhlů, které mají vrchol ve stejném bodě a jsou umístěny na stejné straně přímky, se rovná dvěma pravým úhlům.

Jsou dány úhly ACD, DCE, ECF, FCG, GCB, které mají společný vrchol v bodě C a nacházejí se na jedné straně úsečky AB (obr. 24).

To je nutné prokázat

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d.

Důkaz. Víme, že součet dvou sousedních úhlů ACF a FCB se rovná dvěma pravým úhlům (bod 5).

Protože ACF = ACD + DCE + ECF a FCB = FCG + GCB, pak nahrazením úhlů ACF a FCB jejich hodnotami, zjistíme:

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d (což bylo potřeba dokázat).

Věta 8. Součet všech úhlů kolem jednoho bodu se rovná čtyřem pravým úhlům.

Jsou dány úhly AOB, BOC, COD, DOE, EOA, které mají společný vrchol O a nacházejí se kolem bodu O (obr. 25).

To je nutné prokázat

AOB + BOC + COD + DOE + EOA = 4d.

Důkaz. Pokračujme stranou EO ve směru OG (obr. 25), pak

Podobný

GOB + BOC + COD + DOE = 2d.

Přidáním těchto rovností máme:

EOA + AOG + GOB + BOC + COD + DOE = 4d.

Protože AOG + GOB = AOB, tak

EOA + AOB + BOC + COD + DOE = 4d (NE).

Úhel ACB s úhlem DCE a úhel BCD s úhlem ACE se nazývají vertikální (obr. 26).

Vertikální úhly. Vertikální úhly jsou takové úhly, ve kterých jsou strany jednoho tvořeny pokračováním stran druhého úhlu.

Věta 9. Vertikální úhly jsou si navzájem rovné.

Jsou uvedeny vertikální úhly (výkres 26) ACB a DCE, stejně jako BCD a ACE.

Musíte dokázat, že ACB = DCE a BCD = ACE.

Důkaz. Na základě věty 5 platí následující rovnosti:

ACB + BCD = 2d (jako součet dvou sousedních úhlů)
BCD + DCE = 2d

proto,

ACB + BCD = BCD + DCE

odkud, odečítání stejný úhel BCD, najdeme

Podobným způsobem je dokázáno, že

∠BCD = ∠ACE.

Equisekant (osy ) je čára rozdělující úhel na polovinu.

Na výkresu 27 má BD ose, jestliže ∠ABD = ∠DBC.

Věta 10.

Jsou uvedeny sousední úhly ACB a BCD (obrázek 28). Jejich osy CF a CE půlí sousední úhly BCD a BCA, odtud BCF = FCD, ACE = ECB.

Musíme dokázat, že EC ⊥ CF.

Důkaz. Podle stavu

ECB = ½ ACB, BCF = ½ BCD

Přidáním těchto rovností máme:

ECB + BCF = 1/2 ACB + 1/2 BCD = 1/2 (ACB + BCD).

Protože ACB + BCD = 2d, pak

ECB + BCF = ½ · 2d = d.

Protože ECB + BCF = ECF, pak

Úhel ECF je pravý úhel, tj. úsečky CE a CF jsou vzájemně kolmé (CPH).

Každý úhel, v závislosti na jeho velikosti, má svůj vlastní název:

Typ úhlu	Velikost ve stupních	Příklad
Pikantní	Méně než 90°
Rovný	Rovná se 90°. Ve výkresu je pravý úhel obvykle označen symbolem nakresleným z jedné strany úhlu na druhou.
Otupit	Více než 90°, ale méně než 180°
Rozšířený	Rovná se 180° Přímý úhel se rovná součtu dvou pravých úhlů a pravý úhel je polovina přímého úhlu.
Konvexní	Více než 180°, ale méně než 360°
Plný	Rovná se 360°

Dva úhly se nazývají přilehlý, pokud mají jednu stranu společnou a další dvě strany tvoří přímku:

Úhly MOP A PON přilehlé, od paprsku OP- společná strana a další dvě strany - OM A NA vytvořit přímku.

Společná strana sousedních úhlů se nazývá šikmé až rovné, na kterém leží další dvě strany, pouze v případě, kdy sousední úhly nejsou stejné. Pokud jsou sousední úhly stejné, bude jejich společná strana stejná kolmý.

Součet sousedních úhlů je 180°.

Dva úhly se nazývají vertikální, pokud strany jednoho úhlu doplňují strany druhého úhlu k přímkám:

Úhly 1 a 3, stejně jako úhly 2 a 4, jsou svislé.

Vertikální úhly jsou stejné.

Dokažme, že svislé úhly jsou stejné:

Součet ∠1 a ∠2 je přímý úhel. A součet ∠3 a ∠2 je přímý úhel. Takže tyto dvě částky jsou stejné:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

V této rovnosti je vlevo i vpravo identický člen - ∠2. Rovnost nebude porušena, pokud bude tento výraz vlevo a vpravo vynechán. Pak to dostaneme.