Řešení lineárních nehomogenních diferenciálních rovnic vyšších řádů Lagrangovou metodou. ÓDA

Podívejme se nyní na lineární nehomogenní rovnici
. (2)
Nechť y 1 ,y 2 ,.., y n je fundamentální systém řešení a buď obecné řešení příslušné homogenní rovnice L(y)=0. Podobně jako v případě rovnic prvního řádu budeme hledat řešení rovnice (2) ve tvaru
. (3)
Ujistíme se, že řešení v této podobě existuje. K tomu dosadíme funkci do rovnice. Abychom tuto funkci dosadili do rovnice, najdeme její derivace. První derivace se rovná
. (4)
Při výpočtu druhé derivace se na pravé straně (4) objeví čtyři členy, při výpočtu třetí derivace se objeví osm členů atd. Proto je pro usnadnění dalších výpočtů první člen v (4) nastaven na nulu. Když to vezmeme v úvahu, druhá derivace je rovna
. (5)
Ze stejných důvodů jako dříve jsme v (5) také nastavili první člen rovný nule. Nakonec je n-tá derivace
. (6)
Dosazením získaných hodnot derivací do původní rovnice máme
. (7)
Druhý člen v (7) je roven nule, protože funkce y j , j=1,2,..,n jsou řešením odpovídající homogenní rovnice L(y)=0. Kombinací s předchozím získáme systém algebraických rovnic pro hledání funkcí C" j (x)
(8)
Determinant této soustavy je Wronského determinant fundamentální soustavy řešení y 1 ,y 2 ,..,y n příslušné homogenní rovnice L(y)=0 a není tedy roven nule. V důsledku toho existuje jedinečné řešení systému (8). Po jejím nalezení získáme funkce C" j (x), j=1,2,…,n, a následně C j (x), j=1,2,…,n Dosazením těchto hodnot do (3), získáme řešení lineární nehomogenní rovnice.
Nastíněná metoda se nazývá metoda variace libovolné konstanty nebo Lagrangeova metoda.

Příklad č. 1. Najdeme obecné řešení rovnice y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Uvažujme odpovídající homogenní rovnici y"" + 4y" + 3y = 0. Kořeny její charakteristické rovnice r 2 + 4r + 3 = 0 se rovná -1 a -3. Základní soustavu řešení homogenní rovnice tedy tvoří funkce y 1 = e - x a y 2 = e -3 x. Řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Abychom našli derivace C" 1 , C" 2, sestavíme soustavu rovnic (8)
C' 1 ·e -x +C' 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
řešení, které najdeme , Integrací získaných funkcí máme
Konečně se dostáváme

Příklad č. 2. Řešit lineárně diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty metodou proměnných libovolných konstant:

y(0) = 1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Řešení:
Tato diferenciální rovnice se týká lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty.
Budeme hledat řešení rovnice ve tvaru y = e rx. K tomu sestavíme charakteristickou rovnici lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty:
r2-6 r + 8 = 0
D = (-6)2-418 = 4

Kořeny charakteristické rovnice: r 1 = 4, r 2 = 2
V důsledku toho se základní systém řešení skládá z funkcí: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
Obecné řešení homogenní rovnice má tvar: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Hledejte konkrétní řešení metodou variace libovolné konstanty.
Abychom našli derivace C" i, sestavíme soustavu rovnic:
C' 1 · e 4x + C' 2 · e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Vyjádřeme C" 1 z první rovnice:
C"i = -c2e-2x
a nahraďte ho druhým. V důsledku toho dostaneme:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Integrujeme získané funkce C" i:
C1 = 2ln(e-2x +2) - e-2x + C*1
C2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Protože y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x, zapíšeme výsledné výrazy ve tvaru:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Obecné řešení diferenciální rovnice má tedy tvar:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
nebo
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Pojďme najít konkrétní řešení za podmínky:
y(0) = 1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Dosazením x = 0 do nalezené rovnice dostaneme:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3 ln3
Najdeme první derivaci získaného obecného řešení:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Dosazením x = 0 dostaneme:
y’(0) = 2(2C1+C2+4ln(3)+ln(3)-2) = 4C1 + 2C2 +10 ln(3)-4 = 10ln3

Dostaneme soustavu dvou rovnic:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3 ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
nebo
C*1+C*2=2
4C1 + 2C2 = 4
nebo
C*1+C*2=2
2C1 + C2 = 2
Od: C1 = 0, C*2 = 2
Soukromé řešení bude napsáno takto:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Je uvažována metoda řešení lineárních nehomogenních diferenciálních rovnic vyšších řádů s konstantními koeficienty metodou variace Lagrangeových konstant. Lagrangeova metoda je také použitelná pro řešení libovolných lineárních nehomogenních rovnic, pokud je znám základní systém řešení homogenní rovnice.

Obsah

Viz také:

Lagrangeova metoda (variace konstant)

Uvažujme lineární nehomogenní diferenciální rovnici s konstantními koeficienty libovolného n-tého řádu:
(1) .
Metoda variace konstanty, kterou jsme uvažovali pro rovnici prvního řádu, je použitelná i pro rovnice vyššího řádu.

Řešení se provádí ve dvou fázích. V prvním kroku zahodíme pravou stranu a vyřešíme homogenní rovnici. Výsledkem je řešení obsahující n libovolných konstant. Ve druhé fázi měníme konstanty. To znamená, že věříme, že tyto konstanty jsou funkcemi nezávisle proměnné x a najdeme tvar těchto funkcí.

Sice zde uvažujeme rovnice s konstantními koeficienty, ale Lagrangeova metoda je také použitelná pro řešení libovolných lineárních nehomogenních rovnic. K tomu je však třeba znát fundamentální systém řešení homogenní rovnice.

Krok 1. Řešení homogenní rovnice

Stejně jako v případě rovnic prvního řádu nejprve hledáme obecné řešení homogenní rovnice, přičemž pravou nehomogenní stranu přirovnáme k nule:
(2) .
Obecné řešení této rovnice je:
(3) .
Zde jsou libovolné konstanty; - n lineárně nezávislých řešení homogenní rovnice (2), které tvoří fundamentální systém řešení této rovnice.

Krok 2. Variace konstant - nahrazení konstant funkcemi

Ve druhé fázi se budeme zabývat variací konstant. Jinými slovy, nahradíme konstanty funkcemi nezávisle proměnné x:
.
To znamená, že hledáme řešení původní rovnice (1) v následujícím tvaru:
(4) .

Pokud dosadíme (4) do (1), dostaneme jednu diferenciální rovnici pro n funkcí. V tomto případě můžeme tyto funkce spojit s dalšími rovnicemi. Pak dostanete n rovnic, ze kterých lze určit n funkcí. Lze psát další rovnice

K dosazení navrženého řešení (4) do původní rovnice (1) potřebujeme najít derivace prvních n řádů funkce zapsané ve tvaru (4). Diferencujeme (4) pomocí pravidel derivování součtu a součinu:
.
Seskupíme členy. Nejprve si zapíšeme termíny s deriváty , a poté termíny s deriváty :

.
Uložme funkcím první podmínku:
(5.1) .
Pak výraz pro první derivaci s ohledem na bude mít jednodušší tvar:
(6.1) .

Stejnou metodou najdeme druhou derivaci:

.
Položme na funkce druhou podmínku:
(5.2) .
Pak
(6.2) .
A tak dále. V dalších podmínkách přirovnáváme členy obsahující derivace funkcí k nule.

Zvolíme-li tedy pro funkce následující další rovnice:
(5.k) ,
pak první derivace s ohledem na will mají nejjednodušší tvar:
(6.k) .
Zde .

Najděte n-tou derivaci:
(6.n)
.

Dosaďte do původní rovnice (1):
(1) ;

.
Vezměme v úvahu, že všechny funkce splňují rovnici (2):
.
Pak součet členů obsahujících nulu dává nulu. V důsledku toho dostaneme:
(7) .

V důsledku toho jsme obdrželi systém lineárních rovnic pro derivace:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Při řešení tohoto systému najdeme výrazy pro derivace jako funkci x.
.
Integrací získáme:

Zde jsou konstanty, které již nezávisí na x. Dosazením do (4) získáme obecné řešení původní rovnice. Všimněte si, že k určení hodnot derivací jsme nikdy nepoužili skutečnost, že koeficienty a i jsou konstantní. Proto Lagrangeova metoda je použitelná pro řešení libovolných lineárních nehomogenních rovnic

, pokud je známa základní soustava řešení homogenní rovnice (2).

Příklady

Řešte rovnice metodou variací konstant (Lagrange).

Řešení příkladů >> > Viz také:
Řešení rovnic prvního řádu metodou variace konstanty (Lagrangeova)
Řešení rovnic vyšších řádů Bernoulliho metodou

Řešení lineárních nehomogenních diferenciálních rovnic vyšších řádů s konstantními koeficienty lineární substitucí

Přednáška 44. Lineární nehomogenní rovnice 2. řádu. Metoda variace libovolných konstant. Lineární nehomogenní rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty. (speciální pravá strana).

Sociální proměny. Stát a církev. Dekretem z 10. listopadu 1917 byl zničen třídní systém, zrušeny předrevoluční hodnosti, tituly a vyznamenání. Byla zavedena volba soudců; byla provedena sekularizace občanských poměrů. Bylo zavedeno bezplatné školství a lékařská péče (výnos z 31. října 1918). Ženy měly stejná práva jako muži (dekrety z 16. a 18. prosince 1917). Manželský dekret zavedl institut civilního sňatku.

Dekretem Rady lidových komisařů z 20. ledna 1918 byla církev oddělena od státu a od školství. Většina církevního majetku byla zkonfiskována. Patriarcha moskevský a všeruský Tichon (zvolen 5. listopadu 1917) 19. ledna 1918 proklínal sovětskou moc a vyzval k boji proti bolševikům.

Uvažujme lineární nehomogenní rovnici druhého řádu

Struktura obecného řešení takové rovnice je určena následující větou:

Věta 1. Obecné řešení nehomogenní rovnice (1) je reprezentováno jako součet nějakého konkrétního řešení této rovnice a obecného řešení odpovídající homogenní rovnice

Důkaz. Je nutné prokázat, že částka

je obecné řešení rovnice (1). Nejprve dokažme, že funkce (3) je řešením rovnice (1).

Dosazení součtu do rovnice (1) místo na, budeme mít

Protože existuje řešení rovnice (2), je výraz v prvních závorkách shodně roven nule. Protože existuje řešení rovnice (1), výraz v druhé závorce je roven f(x). Proto je rovnost (4) identita. Tím je první část věty dokázána.

Dokažme druhé tvrzení: výraz (3) je generálřešení rovnice (1). Musíme dokázat, že libovolné konstanty obsažené v tomto výrazu lze vybrat tak, aby byly splněny počáteční podmínky:

ať už jsou čísla jakákoli x 0, y 0 a (pokud jen x 0 byla převzata z oblasti, kde funkce a 1, a 2 A f(x) kontinuální).

Všimněte si, že může být zastoupena ve formě . Pak na základě podmínek (5) budeme mít

Pojďme tento systém vyřešit a určit C 1 A C 2. Přepišme systém do tvaru:

Všimněte si, že determinant tohoto systému je Wronského determinant pro funkce v 1 A ve 2 na místě x=x 0. Protože tyto funkce jsou lineárně nezávislé na podmínce, Wronského determinant není roven nule; proto systém (6) má určité řešení C 1 A C 2, tj. existují takové významy C 1 A C 2, podle kterého vzorec (3) určuje řešení rovnice (1) splňující dané počáteční podmínky. Q.E.D.

Pojďme k obecná metoda hledání dílčích řešení nehomogenní rovnice.

Napišme obecné řešení homogenní rovnice (2)

Budeme hledat konkrétní řešení nehomogenní rovnice (1) ve tvaru (7), uvažovat C 1 A C 2 jako některé dosud neznámé funkce z X.

Rozlišujme rovnost (7):

Pojďme si vybrat funkce, které hledáte C 1 A C 2 aby platila rovnost

Pokud vezmeme v úvahu tuto dodatečnou podmínku, pak první derivace bude mít tvar

Když nyní tento výraz odlišíme, zjistíme:

Dosazením do rovnice (1) dostaneme

Výrazy v prvních dvou závorkách se stanou nulou, protože y 1 A y 2– řešení homogenní rovnice. Poslední rovnost má tedy podobu

Funkce (7) tedy bude řešením nehomogenní rovnice (1), pokud funkce C 1 A C 2 splnit rovnice (8) a (9). Vytvořme soustavu rovnic z rovnic (8) a (9).

Protože determinant tohoto systému je Wronského determinant pro lineárně nezávislá řešení y 1 A y 2 rovnice (2), pak se nerovná nule. Proto při řešení systému najdeme obě určité funkce X:

Řešením tohoto systému najdeme , odkud v důsledku integrace získáme . Dále dosadíme nalezené funkce do vzorce, získáme obecné řešení nehomogenní rovnice, kde jsou libovolné konstanty.

Metoda variace libovolné konstanty neboli Lagrangeova metoda je dalším způsobem řešení lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu a Bernoulliho rovnice.

Lineární diferenciální rovnice prvního řádu jsou rovnice tvaru y’+p(x)y=q(x). Pokud je na pravé straně nula: y’+p(x)y=0, pak je to lineární homogenní Rovnice 1. řádu. V souladu s tím rovnice s nenulovou hodnotou pravá strana, y’+p(x)y=q(x), — heterogenní Lineární rovnice 1. řádu.

Metoda variace libovolné konstanty (Lagrangeova metoda) je následující:

1) Hledáme obecné řešení homogenní rovnice y’+p(x)y=0: y=y*.

2) V obecném řešení nepovažujeme C za konstantu, ale za funkci x: C = C (x). Najdeme derivaci obecného řešení (y*)‘ a dosadíme výsledný výraz za y* a (y*)‘ do počáteční podmínky. Z výsledné rovnice najdeme funkci C(x).

3) V obecném řešení homogenní rovnice místo C dosadíme nalezený výraz C(x).

Podívejme se na příklady metody variování libovolné konstanty. Vezměme stejné úkoly jako v, porovnejme průběh řešení a přesvědčme se, že se získané odpovědi shodují.

1) y'=3x-y/x

Přepišme rovnici do standardního tvaru (na rozdíl od Bernoulliho metody, kde jsme potřebovali formu zápisu pouze k tomu, abychom viděli, že rovnice je lineární).

y’+y/x=3x (I). Nyní postupujeme podle plánu.

1) Řešte homogenní rovnici y’+y/x=0. Toto je rovnice s oddělitelnými proměnnými. Představte si y’=dy/dx, náhradní: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Obě strany rovnice vynásobíme dx a vydělíme xy≠0: dy/y=-dx/x. Pojďme integrovat:

2) Ve výsledném obecném řešení homogenní rovnice nebudeme C uvažovat konstantu, ale funkci x: C=C(x). Odtud

Výsledné výrazy dosadíme do podmínky (I):

Pojďme integrovat obě strany rovnice:

zde C je již nějaká nová konstanta.

3) V obecném řešení homogenní rovnice y=C/x, kde jsme předpokládali C=C(x), tedy y=C(x)/x, místo C(x) dosadíme nalezený výraz x³ +C: y=(x3+C)/x nebo y=x2+C/x. Dostali jsme stejnou odpověď jako při řešení Bernoulliho metodou.

Odpověď: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Zde je rovnice již zapsána ve standardním tvaru, není třeba ji transformovat.

1) Řešte homogenní lineární rovnici y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Pojďme integrovat:

Abychom získali pohodlnější formu zápisu, vezmeme exponent na mocninu C jako nové C:

Tato transformace byla provedena, aby bylo pohodlnější najít derivát.

2) Ve výsledném obecném řešení lineární homogenní rovnice neuvažujeme C ne konstantu, ale funkci x: C=C(x). Za této podmínky

Výsledné výrazy y a y’ dosadíme do podmínky:

Vynásobte obě strany rovnice číslem

Integrujeme obě strany rovnice pomocí vzorce integrace po částech, dostaneme:

Zde C již není funkcí, ale obyčejnou konstantou.

3) V obecném řešení homogenní rovnice

nahraďte nalezenou funkci C(x):

Dostali jsme stejnou odpověď jako při řešení Bernoulliho metodou.

Metoda variace libovolné konstanty je také použitelná pro řešení.

y'x+y=-xy².

Rovnici uvedeme do standardního tvaru: y’+y/x=-y² (II).

1) Řešte homogenní rovnici y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Obě strany rovnice vynásobíme dx a vydělíme y: dy/y=-dx/x. Nyní pojďme integrovat:

Výsledné výrazy dosadíme do podmínky (II):

Pojďme to zjednodušit:

Získali jsme rovnici se separovatelnými proměnnými pro C a x:

Zde C je již obyčejná konstanta. Během integračního procesu jsme místo C(x) napsali jednoduše C, abychom nepřetěžovali zápis. A na závěr jsme se vrátili k C(x), abychom si C(x) nepletli s novým C.

3) V obecném řešení homogenní rovnice y=C(x)/x dosadíme nalezenou funkci C(x):