VIII . Skupiny konstrukčních úloh.
Řešení skupin úloh pomocí pomocného trojúhelníku.
Podstatou metody je konstrukce pomocných trojúhelníků a využití jejich vlastností a nově získaných prvků ke konečnému vyřešení úlohy.
Konstrukční analýza se skládá z následujících kroků:
Hledejte ve své analýze pomocný trojúhelník.
Pokud se objeví nové prvky, s jejichž pomocí lze sestrojit trojúhelník ABC, pak bylo cíle dosaženo.
Pokud se tak nestane, pak lze možná sestrojit další pomocný trojúhelník, který chybějící prvky poskytne.
Podívejme se na podstatu metody na příkladech.
Úkol 1. Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC ( b= C) Od A, h b .
Hledáme pomocný trojúhelník. Je zřejmé, že je vhodné považovat trojúhelník CDB za takový trojúhelník.
To dá úhel C, tedy úhel ABC. Existuje tedy a, úhel B, úhel C, což znamená, že můžeme sestrojit trojúhelník ABC. Schematicky to zapíšeme takto:
(a, h b) → Δ CDB →< C.
(A,< B, < C) → Δ ABC.
Úkoly pro samostatné řešení:
S využitím úvah podobných výše uvedeným doporučujeme sestrojit rovnoramenný trojúhelník (b=c) s použitím následujících dat:
A)< А, h b ;
b)< В, h с;
G)< В, h b ;
E)< С, h b .
Úkol 2. Sestrojte trojúhelník pomocí poloměru r kružnice vepsané, úhlu A a úhlu B.
Nechť jsem středem kružnice vepsané do trojúhelníku ABC.
(r; ½< А) → Δ AID → |AD|;
(r; ½< В) → Δ ВID → |ВD|;
(|AD| + |ВD| = |AB|) → (c,< А, < В) → Δ ABC.
Úkoly pro samostatné řešení:
Sestrojte trojúhelník pomocí následujících prvků:
a) a, hc, hb; b) a, ha, hb; c) a, ma, mb;
G)< A, l A , b; д) R, h а, m a ; е) a, R, h b ;
g) b, h b, mb (kde m jsou mediány, l jsou osy, h jsou výšky).
Na vlastní pěst:
Řešení skupin problémů vycházejících z toho hlavního.
Hlavní úkol:
sestrojte kosočtverec ABCD pomocí úhlopříčky BD a výšky BM. (ΔBHD →< BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);
postavte lichoběžník na čtyřech stranách.
Sestrojte trojúhelník pomocí dvou stran a úhlu mezi nimi.
Hlavní úkol:
Sestrojte pravoúhlý trojúhelník podél dvou stran.
Sestrojte kosočtverec podél dvou úhlopříček.
Sestrojte obdélník se dvěma nestejnými stranami.
Sestrojte rovnoběžník pomocí dvou úhlopříček a úhlu mezi nimi.
Sestrojte obdélník pomocí úhlopříček a úhlu mezi nimi.
Sestrojte trojúhelník pomocí strany a dvou sousedních úhlů.
Úkoly pro samostatné řešení:
Hlavní úkol:
Sestrojte rovnoramenný trojúhelník pomocí jeho základny a sousedního úhlu.
Sestrojte pravoúhlý trojúhelník pomocí nohy a přilehlého ostrého úhlu.
Sestrojte kosočtverec pomocí úhlu a úhlopříčky procházející vrcholem tohoto úhlu.
Sestrojte rovnoramenný trojúhelník na základě výšky a vrcholového úhlu.
Sestrojte čtverec podél dané úhlopříčky.
Sestrojte pravoúhlý trojúhelník pomocí přepony a ostrého úhlu.
Úkoly pro samostatné řešení:
Hlavní úkol:
Sestrojte rovnoramenný trojúhelník podél strany a rohu na základně.
Sestrojte rovnoramenný trojúhelník pomocí jeho bočního a vrcholového úhlu.
Sestrojte trojúhelník pomocí tří stran.
Úkoly pro samostatné řešení:
Hlavní úkol:
Sestrojte pomocí základny a stran rovnoramenný trojúhelník.
Po stranách a úhlopříčkách sestrojte kosočtverec.
Sestrojte rovnoběžník pomocí dvou nestejných stran a úhlopříčky.
Sestrojte rovnoběžník pomocí strany a dvou úhlopříček.
Sestrojte pravoúhlý trojúhelník pomocí nohy a přepony.
Úkoly pro samostatné řešení:
Sestrojte rovnoramenný trojúhelník podél výšky a strany.
Sestrojte rovnoramenný trojúhelník pomocí základny a kolmice od konce základny ke straně.
Sestrojte rovnoběžník pomocí jeho základny, výšky a úhlopříčky.
Sestrojte kosočtverec podél jeho výšky a úhlopříčky.
Sestrojte rovnoramenný trojúhelník pomocí strany a výšky, která je z něj snížena.
Sestrojte trojúhelník pomocí jeho základny, výšky a strany.
Literatura:
B. I. Argunov, M. B. Balk „Geometrické konstrukce v rovině“, M, „Prosveshchenie“ 1955.
Glazer G.I. „Historie matematiky ve škole“ IV – VI ročníky, M, „Osvícení“, 1981.
I. Goldenblant „Zkušenosti s řešením geometrických konstrukčních úloh“ „Matematika ve škole“ č. 3, 1946
I. A. Kushnir „O jednom způsobu řešení konstrukčních problémů“ „Matematika ve škole“ č. 2, 1984
A. I. Mostovoy „Použijte různé metody pro řešení konstrukčních problémů“ „Matematika ve škole“ č. 5, 1983
Učebnice A. A. Popova „Matematika“. „Čeljabinský stát Vysoká škola pedagogická“, 2005
E. M. Selezneva, M. N. Serebryakova „Geometrické konstrukce ve stupních I – V střední škola„Metodický vývoj. Sverdlovsk, 1974
Jak sestrojit rovnoramenný trojúhelník? To lze snadno provést pomocí pravítka, tužky a poznámkových bloků.
Začneme konstrukci rovnoramenného trojúhelníku od základny. Aby byl vzor sudý, počet buněk na základně musí být sudé číslo.
Rozdělte segment - základnu trojúhelníku - na polovinu.
Vrchol trojúhelníku lze zvolit v libovolné výšce od základny, vždy však přesně nad středem.
Jak sestrojit ostrý rovnoramenný trojúhelník?
Úhly na základně rovnoramenného trojúhelníku mohou být pouze ostré. Aby byl rovnoramenný trojúhelník ostrý, musí být ostrý i úhel ve vrcholu.
Chcete-li to provést, vyberte vrchol trojúhelníku výše, mimo základnu.
Čím vyšší je vrchol, tím menší je vrcholový úhel. Úhly na základně se odpovídajícím způsobem zvětšují.
Jak sestrojit tupý rovnoramenný trojúhelník?
Jak se vrchol rovnoramenného trojúhelníku blíží k základně, míra stupně úhlu ve vrcholu se zvětšuje.
To znamená, že abychom sestrojili rovnoramenný tupoúhelný trojúhelník, vybereme nižší vrchol.
Jak sestrojit rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník?
Chcete-li sestrojit rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, musíte vybrat vrchol ve vzdálenosti rovné polovině základny (to je způsobeno vlastnostmi rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku).
Pokud je například délka základny 6 buněk, pak vrchol trojúhelníku umístíme do výšky 3 buněk nad střed základny. Poznámka: v tomto případě je každá buňka v rozích na základně rozdělena diagonálně.
Konstrukce rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku může být zahájena z vrcholu.
Vybereme vrchol a z něj v pravém úhlu položíme stejné segmenty nahoru a doprava. Toto jsou strany trojúhelníku.
Spojíme je a dostaneme rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník.
Sestavení rovnoramenného trojúhelníku pomocí kružítka a pravítka bez dělení budeme uvažovat v jiném tématu.
Rovnoramenné je takhle trojúhelník, ve kterém jsou délky jeho dvou stran navzájem stejné.
Při řešení problémů k tématu "Rovnoramenný trojúhelník" je nutné použít následující známé vlastnosti:
1.
Úhly protilehlých stejných stran jsou si navzájem rovné.
2.
Osy, mediány a nadmořské výšky byly čerpány stejné úhly, jsou si navzájem rovny.
3.
Osa, medián a nadmořská výška nakreslené k základně rovnoramenného trojúhelníku se vzájemně shodují.
4.
Střed kružnice a střed kružnice opsané leží na výšce, a tedy na střednici a ose přitažené k základně.
5.
Úhly, které jsou stejné v rovnoramenném trojúhelníku, jsou vždy ostré.
Trojúhelník je rovnoramenný, pokud má následující znamení:
1.
Dva úhly trojúhelníku jsou stejné.
2.
Výška se shoduje s mediánem.
3.
Osa se shoduje s mediánem.
4.
Výška se shoduje s osou.
5.
Dvě výšky trojúhelníku jsou stejné.
6.
Dvě osy trojúhelníku jsou stejné.
7.
Dva mediány trojúhelníku jsou stejné.
Zvažme několik problémů na toto téma "Rovnoramenný trojúhelník" a poskytnout jejich podrobné řešení.
Úkol 1.
V rovnoramenném trojúhelníku je výška k základně 8 a základna ke straně 6:5 Najděte vzdálenost od vrcholu trojúhelníku k průsečíku jeho os.
Řešení.
Nechť je dán rovnoramenný trojúhelník ABC (Obr. 1).
1) Protože AC: BC = 6: 5, pak AC = 6x a BC = 5x. ВН – výška nakreslená k základně AC trojúhelníku ABC.
Protože bod H je středem AC (podle vlastnosti rovnoramenného trojúhelníku), pak HC = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.
BC2 = VN2 + NS2;
(5x)2 = 82 + (3x)2;
x = 2, tedy
AC = 6x = 6 2 = 12 a
BC = 5x = 5 2 = 10.
3) Protože průsečík os trojúhelníku je středem kružnice, která je do něj vepsána, pak
OH = r. Poloměr kružnice vepsané do trojúhelníku ABC zjistíme pomocí vzorce
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (12 · 8) = 48;
p = 1/2 (AB + BC + AC); p = 1/2 · (10 + 10 + 12) = 16, pak OH = r = 48/16 = 3.
Odtud VO = VN – OH; VO = 8 – 3 = 5.
Odpověď: 5.
Úkol 2.
V rovnoramenném trojúhelníku ABC je nakreslena osa AD. Plochy trojúhelníků ABD a ADC jsou 10 a 12. Najděte ztrojenou plochu čtverce sestrojeného ve výšce tohoto trojúhelníku nakresleného k základně AC.
Řešení.
Uvažujme trojúhelník ABC - rovnoramenný, AD - osa úhlu A (obr. 2).
1) Zapišme si obsahy trojúhelníků BAD a DAC:
S BAD = 1/2 · AB · AD · sin α; S DAC = 1/2 · AC · AD · sin α.
2) Najděte poměr ploch:
S BAD /S DAC = (1/2 · AB · AD · sin α) / (1/2 · AC · AD · sin α) = AB/AC.
Protože S BAD = 10, S DAC = 12, pak 10/12 = AB/AC;
AB/AC = 5/6, pak nechť AB = 5x a AC = 6x.
AN = 1/2 AC = 1/2 · 6x = 3x.
3) Z trojúhelníku ABN - obdélníkový podle Pythagorovy věty AB 2 = AN 2 + BH 2;
25x 2 = VN 2 + 9x 2;
4) S A ВС = 1/2 · АС · ВН; S A B C = 1/2 · 6x · 4x = 12x2.
Protože S A BC = S BAD + S DAC = 10 + 12 = 22, pak 22 = 12x 2 ;
x 2 = 11/6; VN 2 = 16x 2 = 16 11/6 = 1/3 8 11 = 88/3.
5) Plocha čtverce se rovná VN 2 = 88/3; 3 88/3 = 88.
Odpověď: 88.
Úkol 3.
V rovnoramenném trojúhelníku je základna 4 a strana 8. Najděte druhou mocninu výšky snížené na stranu.
Řešení.
V trojúhelníku ABC - rovnoramenný BC = 8, AC = 4 (obr. 3).
1) ВН – výška nakreslená k základně AC trojúhelníku ABC.
Protože bod H je středem AC (podle vlastnosti rovnoramenného trojúhelníku), pak HC = 1/2 AC = 1/2 4 = 2.
2) Z trojúhelníku VNS - obdélníkový podle Pythagorovy věty BC 2 = VN 2 + NS 2;
64 = VN 2 + 4;
3) S ABC = 1/2 · (AC · BH), stejně jako S ABC = 1/2 · (AM · BC), pak dáme rovnítko mezi pravé strany vzorců, dostaneme
1/2 · AC · BH = 1/2 · AM · BC;
AM = (AC BH)/BC;
AM = (√60 · 4)/8 = (2√15 · 4)/8 = √15.
Odpověď: 15.
Úkol 4.
V rovnoramenném trojúhelníku se základna a výška na ní snížená rovna 16. Najděte poloměr kružnice opsané tomuto trojúhelníku.
Řešení.
V trojúhelníku ABC – rovnoramenná základna AC = 16, ВН = 16 – výška nakreslená k základně AC (obr. 4).
1) AN = NS = 8 (podle vlastnosti rovnoramenného trojúhelníku).
2) Z trojúhelníku VNS - obdélníkového podle Pythagorovy věty
BC2 = VN2 + NS2;
BC 2 = 8 2 + 16 2 = (8 2) 2 + 8 2 = 8 2 4 + 8 2 = 8 2 5;
3) Uvažujme trojúhelník ABC: podle věty o sinech 2R = AB/sin C, kde R je poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABC.
sin C = BH/BC (z trojúhelníku VNS podle definice sinus).
sin C = 16/(8√5) = 2/√5, pak 2R = 8√5/(2/√5);
2R = (8√5 · √5)/2; R = 10.
Odpověď: 10.
Úkol 5.
Délka nadmořské výšky k základně rovnoramenného trojúhelníku je 36 a poloměr vepsané kružnice je 10. Najděte plochu trojúhelníku.
Řešení.
Nechť je dán rovnoramenný trojúhelník ABC.
1) Protože střed kružnice vepsané do trojúhelníku je průsečíkem jejích os, pak O ϵ VN a AO je osa úhlu A a také OH = r = 10 (obr. 5).
2) VO = VN – OH; VO = 36 – 10 = 26.
3) Uvažujme trojúhelník ABN. Podle věty o ose úhlu trojúhelníku
AB/AN = VO/OH;
AB/AN = 26/10 = 13/5, pak nechť AB = 13x a AN = 5x.
Podle Pythagorovy věty AB 2 = AN 2 + VN 2;
(13x)2 = 362 + (5x)2;
169x 2 = 25x 2 + 36 2;
144x 2 = (12 · 3) 2;
144x2 = 144 9;
x = 3, pak AC = 2 · AN = 10x = 10 · 3 = 30.
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (36 · 30) = 540;
Odpověď: 540.
Úkol 6.
V rovnoramenném trojúhelníku se dvě strany rovnají 5 a 20. Najděte sečnu úhlu na základně trojúhelníku.
Řešení.
1) Předpokládejme, že strany trojúhelníku jsou 5 a základna je 20.
Pak 5 + 5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (obr. 6).
2) Nechť LC = x, pak BL = 20 – x. Podle věty o ose úhlu trojúhelníku
AB/AC = BL/LC;
20/5 = (20 – x)/x,
pak 4x = 20 – x;
LC = 4; BL = 20 – 4 = 16.
3) Použijme vzorec pro sečnu úhlu trojúhelníku:
AL 2 = AB AC – BL LC,
pak AL 2 = 20 5 – 4 16 = 36;
Odpověď: 6.
Máte ještě otázky? Nevíte, jak řešit problémy s geometrií?
Chcete-li získat pomoc od lektora, zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!
webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.
