Čtyřboká pyramida je mnohostěn, jehož základna je čtverec a všechny jeho boční plochy jsou stejné rovnoramenné trojúhelníky.
Tento mnohostěn má mnoho různých vlastností:
- Jeho boční okraje a přilehlé úhly vzepětí jsou si navzájem rovné;
- Plochy bočních ploch jsou stejné;
- U paty pravidelného čtyřbokého jehlanu leží čtverec;
- Výška pokleslá z vrcholu pyramidy protíná bod, kde se protínají úhlopříčky základny.
Všechny tyto vlastnosti usnadňují nalezení. Poměrně často je však kromě toho nutné vypočítat objem mnohostěnu. K tomu použijte vzorec pro objem čtyřúhelníkové pyramidy:
To znamená, že objem pyramidy se rovná jedné třetině součinu výšky pyramidy a plochy základny. Protože se rovná součinu jeho stejných stran, okamžitě zadáme vzorec pro plochu čtverce do výrazu pro objem.
Uvažujme příklad výpočtu objemu čtyřbokého jehlanu.
Nechť je dán čtyřboký jehlan, jehož podstavou je čtverec o straně a = 6 cm Boční plocha jehlanu je b = 8 cm. 
Abychom našli objem daného mnohostěnu, potřebujeme délku jeho výšky. Proto ji najdeme aplikací Pythagorovy věty. Nejprve si spočítejme délku úhlopříčky. V modrém trojúhelníku to bude přepona. Za zmínku také stojí, že úhlopříčky čtverce jsou si navzájem rovné a v průsečíku jsou rozděleny na polovinu: 
Nyní z červeného trojúhelníku najdeme výšku h, kterou potřebujeme. Bude se rovnat: 
Dosadíme potřebné hodnoty a zjistíme výšku pyramidy:
Nyní, když známe výšku, můžeme dosadit všechny hodnoty do vzorce pro objem pyramidy a vypočítat požadovanou hodnotu:
Touto cestou, znát pár jednoduché vzorce, dokázali jsme vypočítat objem pravidelného čtyřbokého jehlanu. Pamatujte, že tato hodnota se měří v kubických jednotkách.
Definice 1. Pyramida se nazývá pravidelná, pokud její základna je pravidelný mnohoúhelník a vrchol takové pyramidy se promítá do středu její základny.
Definice 2. Pyramida se nazývá pravidelná, pokud její základna je pravidelný mnohoúhelník a její výška prochází středem základny.
Prvky pravidelné pyramidy
- Výška boční plochy nakreslené z jejího vrcholu se nazývá apotéma. Na obrázku je označen jako segment ON
- Nazývá se bod spojující boční hrany a neležící v rovině podstavy vrchol pyramidy(O)
- Trojúhelníky, které mají společnou stranu se základnou a jeden z vrcholů shodný s vrcholem, se nazývají boční plochy(AOD, DOC, COB, AOB)
- Nazývá se kolmý segment vedený vrcholem jehlanu k rovině jeho základny výška pyramidy(OK)
- Diagonální řez pyramidy- jedná se o úsek procházející vrcholem a úhlopříčkou základny (AOC, BOD)
- Polygon, který nepatří k vrcholu pyramidy, se nazývá základnu pyramidy(ABECEDA)
Pokud na základně pravidelná pyramida leží trojúhelník, čtyřúhelník atd. pak se to jmenuje pravidelný trojúhelníkový , čtyřúhelníkový atd.
Trojúhelníková pyramida existuje čtyřstěn – čtyřstěn.
Vlastnosti pravidelné pyramidy
Pro řešení úloh je nutné znát vlastnosti jednotlivých prvků, které se v podmínce většinou vynechávají, jelikož se má za to, že by to měl student znát od začátku.
- boční žebra jsou stejná mezi sebou
- apotémy jsou si rovny
- boční plochy jsou stejné mezi sebou (v tomto případě jsou jejich plochy, strany a základny stejné), to znamená, že jsou to stejné trojúhelníky
- všechny boční plochy jsou stejné rovnoramenné trojúhelníky
- v každé pravidelné pyramidě můžete umístit a popsat kouli kolem ní
- pokud se středy vepsané a opsané koule shodují, pak se součet rovinných úhlů na vrcholu jehlanu rovná π a každý z nich je π/n, kde n je počet stran základny polygon
- Plocha bočního povrchu pravidelné pyramidy se rovná polovině součinu obvodu základny a apotému
- kolem základny pravidelné pyramidy lze opsat kruh (viz také poloměr opsané kružnice trojúhelníku)
- všechny boční plochy tvoří rovinu základny pravidelného jehlanu stejné úhly
- všechny výšky bočních ploch jsou navzájem stejné
Pokyny pro řešení problémů. Výše uvedené vlastnosti by měly pomoci v praktickém řešení. Pokud potřebujete najít úhly sklonu tváří, jejich povrch atd., pak obecná technika spočívá v rozdělení celé objemové postavy na samostatné ploché postavy a pomocí jejich vlastností k nalezení jednotlivých prvků pyramidy, protože mnoho prvků jsou společné několika postavám.
Je nutné rozbít celou trojrozměrnou postavu na jednotlivé prvky - trojúhelníky, čtverce, segmenty. Dále aplikujte znalosti z kurzu planimetrie na jednotlivé prvky, což značně zjednodušuje hledání odpovědi.
Vzorce pro pravidelnou pyramidu
Vzorce pro zjištění objemu a boční plochy:
Označení:
V - objem pyramidy
S - základní plocha
h - výška pyramidy
Sb - lateral surface area
a - apotém (nezaměňovat s α)
P - obvod základny
n - počet stran základny
b - délka bočního žebra
α - plochý úhel na vrcholu pyramidy
Tento vzorec pro zjištění objemu lze použít pouze Pro správná pyramida:
, Kde
V - objem pravidelné pyramidy
h - výška pravidelného jehlanu
n je počet stran pravidelného mnohoúhelníku, který je základnou pravidelného jehlanu
a - délka strany pravidelného mnohoúhelníku
Pravidelná komolá pyramida
Pokud nakreslíme řez rovnoběžný se základnou jehlanu, pak se těleso uzavřené mezi těmito rovinami a boční plochou nazývá komolá pyramida. Tato část pro komolou pyramidu je jednou z jejích základen.
Výška boční plochy (což je rovnoramenný lichoběžník) se nazývá - apotém pravidelné komolé pyramidy.
Komolá pyramida se nazývá pravidelná, pokud pyramida, ze které byla odvozena, je pravidelná.
- Vzdálenost mezi základnami komolého jehlanu se nazývá výška komolého jehlanu
- Všechno tváře pravidelné komolé pyramidy jsou rovnostranné (rovnoramenné) lichoběžníky
Poznámky
Viz také: speciální případy (vzorce) pro pravidelnou pyramidu:
Jak používat zde uvedené teoretické materiály
k vyřešení vašeho problému:
- apotéma- výška boční plochy pravidelného jehlanu, která se kreslí z jeho vrcholu (apotém je navíc délka kolmice, která je snížena ze středu pravidelného mnohoúhelníku na jednu z jeho stran);
- boční plochy (ASB, BSC, CSD, DSA) - trojúhelníky, které se stýkají ve vrcholu;
- boční žebra ( TAK JAKO , B.S. , C.S. , D.S. ) — společné strany bočních ploch;
- vrchol pyramidy (t. S) - bod, který spojuje boční žebra a který neleží v rovině základny;
- výška ( TAK ) - kolmý segment protažený vrcholem jehlanu k rovině jeho základny (konce takového segmentu budou vrcholem jehlanu a základnou kolmice);
- diagonální část pyramidy- část pyramidy, která prochází vrcholem a úhlopříčkou základny;
- základna (ABECEDA) - mnohoúhelník, který nepatří k vrcholu jehlanu.
Vlastnosti pyramidy.
1. Když mají všechny boční okraje stejnou velikost, pak:
- je snadné popsat kruh poblíž základny pyramidy a vrchol pyramidy se promítne do středu tohoto kruhu;
- boční žebra svírají s rovinou základny stejné úhly;
- Navíc to platí i naopak, tzn. když boční žebra svírají s rovinou základny stejné úhly nebo když lze kolem základny jehlanu popsat kruh a vrchol jehlanu se bude promítat do středu tohoto kruhu, znamená to, že všechny boční hrany pyramidy jsou stejně velké.
2. Když mají boční plochy úhel sklonu k rovině základny stejné hodnoty, pak:
- je snadné popsat kruh poblíž základny pyramidy a vrchol pyramidy se promítne do středu tohoto kruhu;
- výšky bočních ploch jsou stejně dlouhé;
- plocha boční plochy se rovná ½ součinu obvodu základny a výšky boční plochy.
3. Kouli lze popsat kolem jehlanu, pokud je na základně jehlanu mnohoúhelník, kolem kterého lze popsat kruh (nutná a postačující podmínka). Střed koule bude průsečíkem rovin, které procházejí středy hran jehlanu kolmo k nim. Z této věty vyvozujeme, že kouli lze popsat jak kolem libovolného trojúhelníku, tak kolem libovolné pravidelné pyramidy.
4. Kouli lze vepsat do jehlanu, pokud se roviny os vnitřních dihedrálních úhlů jehlanu protnou v 1. bodě (nutná a postačující podmínka). Tento bod se stane středem koule.
Nejjednodušší pyramida.
Na základě počtu úhlů je základna pyramidy rozdělena na trojúhelníkovou, čtyřhrannou a tak dále.
Bude tam pyramida trojúhelníkový, čtyřúhelníkový, a tak dále, když základna pyramidy je trojúhelník, čtyřúhelník a tak dále. Trojúhelníkový jehlan je čtyřstěn – čtyřstěn. Čtyřúhelníkové - pětiúhelníkové a tak dále.
