IN હમણાં હમણાંકાર્ય C2 માં એવી સમસ્યાઓ છે જેમાં પ્લેન સાથે પોલિહેડ્રોનનો એક વિભાગ બનાવવો અને તેનો વિસ્તાર શોધવો જરૂરી છે. આ કાર્ય ડેમો સંસ્કરણમાં પ્રસ્તાવિત છે. તેના ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણના ક્ષેત્ર દ્વારા ક્રોસ-વિભાગીય વિસ્તાર શોધવાનું ઘણીવાર અનુકૂળ હોય છે. પ્રસ્તુતિ આવા ઉકેલ માટે એક સૂત્ર અને સમસ્યાનું વિગતવાર વિશ્લેષણ પ્રદાન કરે છે, જે રેખાંકનોની શ્રેણી સાથે છે.
ડાઉનલોડ કરો:
પૂર્વાવલોકન:
પ્રસ્તુતિ પૂર્વાવલોકનોનો ઉપયોગ કરવા માટે, એક Google એકાઉન્ટ બનાવો અને તેમાં લોગ ઇન કરો: https://accounts.google.com
સ્લાઇડ કૅપ્શન્સ:
ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2014ની તૈયારી. તેના ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણના ક્ષેત્ર દ્વારા ક્રોસ-વિભાગીય વિસ્તાર શોધવો. કાર્ય C2 ગણિત શિક્ષક MBOU માધ્યમિક શાળા નંબર 143 ની ક્રાસ્નોયાર્સ્ક ન્યાઝકીના ટી.વી.
ચાલો નીચેની સમસ્યાના ઉકેલને ધ્યાનમાં લઈએ: લંબચોરસ સમાંતરમાં, . સમાંતર પાઈપનો વિભાગ B અને D બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે અને પ્લેન ABC સાથે એક ખૂણો બનાવે છે. ક્રોસ-વિભાગીય વિસ્તાર શોધો. તેના ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણના ક્ષેત્ર દ્વારા ક્રોસ-વિભાગીય વિસ્તાર શોધવાનું ઘણીવાર અનુકૂળ હોય છે. તેના ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણના ક્ષેત્ર દ્વારા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવું એ નીચેની આકૃતિ દ્વારા સરળતાથી સમજાવવામાં આવે છે:
CH એ ત્રિકોણ ABC ની ઊંચાઈ છે, C 'H એ ત્રિકોણ ABC "ની ઊંચાઈ છે, જે ત્રિકોણ ABC નું ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ છે. જમણા ત્રિકોણ CHC થી ": ત્રિકોણ ABC નો વિસ્તાર " ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે ABC એટલે, ત્રિકોણ ABC નું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ ABC ના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે ' ત્રિકોણ ABC અને ત્રિકોણ ABC ના વિમાનો વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઈન દ્વારા વિભાજિત થાય છે, જે ત્રિકોણ ABC નું ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ છે.
કોઈપણ બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રોના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, તેથી બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ તેના ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણના ક્ષેત્ર જેટલુ છે જે વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઈન દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. બહુકોણના વિમાનો અને તેના પ્રક્ષેપણ. અમે અમારી સમસ્યાને ઉકેલવા માટે આ હકીકતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (સ્લાઇડ 2 જુઓ). ઉકેલ યોજના નીચે મુજબ છે: A) એક વિભાગ બનાવો. બી) આધારના પ્લેન પર તેના ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ શોધો. સી) ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણનો વિસ્તાર શોધો. ડી) ક્રોસ-વિભાગીય વિસ્તાર શોધો.
1. પ્રથમ આપણે આ વિભાગ બનાવવાની જરૂર છે. દેખીતી રીતે, સેગમેન્ટ BD સેક્શન પ્લેન અને બેઝ પ્લેનનો છે, એટલે કે, તે પ્લેનના આંતરછેદની લાઇનથી સંબંધિત છે:
બે વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો એ બે લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે જે વિમાનોના આંતરછેદની રેખા તરફ દોરવામાં આવે છે અને આ વિમાનોમાં રહે છે. બિંદુ O એ આધારના કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ છે. OC - વિમાનોના આંતરછેદની રેખાને કાટખૂણે, જે બેઝના પ્લેનમાં આવેલું છે:
2. કાટખૂણેની સ્થિતિ નક્કી કરો, જે વિભાગના પ્લેનમાં આવેલું છે. (યાદ રાખો કે જો કોઈ સીધી રેખા ત્રાંસી એકના પ્રક્ષેપણ માટે લંબરૂપ હોય, તો તે ત્રાંસી રેખા માટે પણ લંબરૂપ હોય છે. અમે ત્રાંસી એકને તેના પ્રક્ષેપણ (OC) દ્વારા અને પ્રક્ષેપણ અને ત્રાંસા વચ્ચેના ખૂણો દ્વારા જોઈએ છીએ) . ચાલો OC ₁ અને OC વચ્ચે કોણ COC ₁ ની સ્પર્શક શોધીએ
તેથી, કટીંગ પ્લેન અને બેઝ પ્લેન વચ્ચેનો ખૂણો OC ₁ અને OC વચ્ચેના ખૂણો કરતા વધારે છે. એટલે કે, વિભાગ કંઈક આ રીતે સ્થિત છે: K એ OP અને A ₁C₁, LM||B₁D₁ નું આંતરછેદ બિંદુ છે.
તેથી, અમારો વિભાગ અહીં છે: 3. ચાલો BLMD વિભાગના પ્રક્ષેપણને બેઝ પ્લેન પર શોધીએ. આ કરવા માટે, આપણે પોઈન્ટ L અને M ના અંદાજો શોધીએ છીએ.
ચતુષ્કોણ BL ₁M₁D - બેઝ પ્લેન પર વિભાગનું પ્રક્ષેપણ. 4. BL ₁M₁D ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો. આ કરવા માટે, ત્રિકોણ BCD ના ક્ષેત્રફળમાંથી ત્રિકોણ L ₁CM₁ ના ક્ષેત્રફળને બાદ કરો. ત્રિકોણ L ₁CM₁ નું ક્ષેત્રફળ શોધો. ત્રિકોણ L ₁CM₁ ત્રિકોણ BCD સમાન છે. ચાલો સમાનતા ગુણાંક શોધીએ.
આ કરવા માટે, ત્રિકોણ OPC અને OKK₁ ને ધ્યાનમાં લો: પરિણામે, ત્રિકોણ L₁CM₁ નું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ BCD ના ક્ષેત્રફળના 4/25 છે (સમાન આકૃતિઓના ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર સમાનતા ગુણાંકના ચોરસ સમાન છે) . પછી ચતુષ્કોણ BL₁M₁Dનું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ BCD ના ક્ષેત્રફળના 1-4/25=21/25 જેટલું છે અને તે બરાબર છે
5. હવે ચાલો 6 શોધીએ. અને અંતે આપણને મળે છે: જવાબ: 112
વિષય પર: પદ્ધતિસરના વિકાસ, પ્રસ્તુતિઓ અને નોંધો
"એન્જિનિયરિંગ કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ" શિસ્તમાં પરીક્ષણ કાર્ય ચાર સમાવે છે પરીક્ષણ કાર્યોઅનુપાલન સ્થાપિત કરવા માટે. કાર્યો પૂર્ણ કરવા માટે 15-20 મિનિટ ફાળવવામાં આવે છે....
ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2014ની તૈયારી. ડેરિવેટિવ્ઝ અને એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝની એપ્લિકેશન (ઓપન યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામ ટાસ્ક બેંકમાંથી B8 પ્રોટોટાઇપ્સ)
સાથે રજૂઆત ટૂંકા અભ્યાસક્રમયુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કાર્યોની ઓપન બેંકમાંથી વિવિધ B8 પ્રોટોટાઇપ્સના સિદ્ધાંતો અને ઉકેલો. માટે વાપરી શકાય છે ઇન્ટરેક્ટિવ વ્હાઇટબોર્ડઅથવા સ્વયં તૈયારી માટે વિદ્યાર્થીઓના પીસી....
ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2014ની તૈયારી. કાર્ય C1 નો ઉકેલ.
સામગ્રી ટાસ્ક C1 (ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ) અને અંતરાલ સાથે સંબંધિત મૂળ પસંદ કરવાની 4 રીતોના ઉકેલો પ્રદાન કરે છે: ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ, ફંક્શન ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, જડ બળ...
પ્લેનનો વિચાર કરો પી અને તેને છેદતી સીધી રેખા . દો એ - અવકાશમાં એક મનસ્વી બિંદુ. ચાલો આ બિંદુ દ્વારા એક સીધી રેખા દોરીએ , રેખાની સમાંતર . દો . ડોટ બિંદુનું પ્રક્ષેપણ કહેવાય છે એપ્લેન માટે પીઆપેલ સીધી રેખા સાથે સમાંતર ડિઝાઇન સાથે . વિમાન પી , જેના પર અવકાશના બિંદુઓ પ્રક્ષેપિત થાય છે તેને પ્રોજેક્શન પ્લેન કહેવામાં આવે છે.
p - પ્રક્ષેપણ પ્લેન;
- સીધી ડિઝાઇન; ;
; ; ;
ઓર્થોગોનલ ડિઝાઇનસમાંતર ડિઝાઇનનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે. ઓર્થોગોનલ ડિઝાઇન એ સમાંતર ડિઝાઇન છે જેમાં ડિઝાઇન લાઇન પ્રોજેક્શન પ્લેન પર લંબ છે. ટેકનિકલ ડ્રોઇંગમાં ઓર્થોગોનલ ડિઝાઇનનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે, જ્યાં એક આકૃતિ ત્રણ પ્લેન પર પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે - આડી અને બે ઊભી.
વ્યાખ્યા:
બિંદુનું ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ એમપ્લેન માટે પીઆધાર કહેવાય છે એમ 1લંબ MM 1, બિંદુ પરથી ઘટીને એમપ્લેન માટે પી.
હોદ્દો: , 
, .
વ્યાખ્યા: આકૃતિનું ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ એફપ્લેન માટે પીપ્લેનના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે જે આકૃતિના બિંદુઓના સમૂહના ઓર્થોગોનલ અંદાજો છે એફપ્લેન માટે પી.
ઓર્થોગોનલ ડિઝાઇન જેવી ખાસ કેસસમાંતર ડિઝાઇન સમાન ગુણધર્મો ધરાવે છે:
p - પ્રક્ષેપણ પ્લેન;
- સીધી ડિઝાઇન; ;
1) ;
2) , .
- સમાંતર રેખાઓના અંદાજો સમાંતર છે.
ફ્લેટ ફિગરનો પ્રોજેક્શન એરિયા
પ્રમેય: ચોક્કસ સમતલ પર સમતલ બહુકોણના પ્રક્ષેપણનું ક્ષેત્રફળ, બહુકોણના સમતલ અને પ્રક્ષેપણ સમતલ વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઇન દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવેલ અનુમાનિત બહુકોણના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે.
સ્ટેજ 1: અંદાજિત આકૃતિ એ એક ત્રિકોણ ABC છે, જેની બાજુ AC પ્રક્ષેપણ પ્લેન a (પ્રક્ષેપણ પ્લેન a ની સમાંતર) માં આવેલું છે.
આપેલ:
સાબિત કરો:
પુરાવો:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. ત્રણ કાટખૂણેના પ્રમેય દ્વારા;
ВD - ઊંચાઈ; B 1 D - ઊંચાઈ;
5. - ડાયહેડ્રલ કોણનો રેખીય કોણ;
6. ; ; ; 
;
તબક્કો 2: અંદાજિત આકૃતિ ABC ત્રિકોણ છે, જેની કોઈ પણ બાજુ પ્રક્ષેપણ સમતલ a માં નથી અને તેની સમાંતર નથી.
આપેલ:
સાબિત કરો:
પુરાવો:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(સ્ટેજ 1);
5. ; ; ;
(સ્ટેજ 1);
સ્ટેજ: રચાયેલ આકૃતિ એક મનસ્વી બહુકોણ છે.
પુરાવો:
બહુકોણને એક શિરોબિંદુમાંથી ત્રિકોણની મર્યાદિત સંખ્યામાં દોરેલા કર્ણ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જેમાંથી પ્રત્યેક પ્રમેય સાચું છે. તેથી, પ્રમેય બધા ત્રિકોણના ક્ષેત્રોના સરવાળા માટે પણ સાચું હશે જેમના પ્લેન પ્રોજેક્શન પ્લેન સાથે સમાન કોણ બનાવે છે.
ટિપ્પણી: સાબિત થયેલ પ્રમેય બંધ વળાંક દ્વારા બંધાયેલ કોઈપણ સમતલ આકૃતિ માટે માન્ય છે.
કસરતો:
1. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો જેનું પ્લેન એક ખૂણા પર પ્રક્ષેપણ સમતલ તરફ વળેલું હોય, જો તેનું પ્રક્ષેપણ એ બાજુ a સાથેનો નિયમિત ત્રિકોણ હોય.
2. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો કે જેનું પ્લેન કોણ પર પ્રક્ષેપણ સમતલ તરફ વળેલું હોય, જો તેનું પ્રક્ષેપણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ 10 સે.મી.ની બાજુ અને 12 સે.મી.ના આધાર સાથે.
3. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો કે જેનું પ્લેન એક ખૂણા પર પ્રક્ષેપણ સમતલ તરફ વળેલું હોય, જો તેનું પ્રક્ષેપણ 9, 10 અને 17 સેમી બાજુઓ સાથેનો ત્રિકોણ હોય.
4. ટ્રેપેઝોઈડના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો, જેનું પ્લેન એક ખૂણા પર પ્રક્ષેપણ સમતલ તરફ વળેલું છે, જો તેનું પ્રક્ષેપણ સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઈડ છે, જેનો મોટો આધાર 44 સેમી છે, બાજુ 17 સેમી છે અને કર્ણ છે. 39 સેમી છે.
5. 8 સે.મી.ની બાજુ સાથે નિયમિત ષટ્કોણના પ્રક્ષેપણ ક્ષેત્રની ગણતરી કરો, જેનું પ્લેન એક ખૂણા પર પ્રક્ષેપણ સમતલ તરફ વળેલું છે.
6. 12 સે.મી.ની બાજુ અને તીવ્ર ખૂણો ધરાવતો સમચતુર્ભુજ આપેલ સમતલ સાથે એક ખૂણો બનાવે છે. આ પ્લેન પર રોમ્બસના પ્રક્ષેપણના ક્ષેત્રની ગણતરી કરો.
7. 20 સે.મી.ની બાજુ અને 32 સે.મી.ના કર્ણ સાથેનો સમચતુર્ભુજ આપેલ સમતલ સાથેનો ખૂણો બનાવે છે. આ પ્લેન પર રોમ્બસના પ્રક્ષેપણના ક્ષેત્રની ગણતરી કરો.
8. આડી સમતલ પર છત્રનું પ્રક્ષેપણ એ બાજુઓ અને સાથેનો લંબચોરસ છે. છત્રનું ક્ષેત્રફળ શોધો જો બાજુના ચહેરાઓ એક ખૂણા પર આડી સમતલ તરફ વળેલા સમાન લંબચોરસ હોય, અને છત્રનો મધ્ય ભાગ પ્રોજેક્શન પ્લેનનો ચોરસ સમાંતર હોય.
11. "અવકાશમાં રેખાઓ અને વિમાનો" વિષય પરની કસરતો:
ત્રિકોણની બાજુઓ 20 સે.મી., 65 સે.મી., 75 સે.મી.ની બરાબર છે. ત્રિકોણના મોટા ખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી, 60 સે.મી. જેટલો લંબ તેના સમતલ તરફ દોરવામાં આવે છે. લંબના છેડાથી અંતર શોધો. ત્રિકોણની મોટી બાજુ.
2. પ્લેનથી સે.મી.ના અંતરે સ્થિત બિંદુ પરથી, બે ઝુકાવ દોરવામાં આવે છે, જે સમતલ સાથેના ખૂણા બનાવે છે અને તેમની વચ્ચે એક કાટખૂણો બનાવે છે. વલણવાળા વિમાનોના આંતરછેદના બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો.
3. નિયમિત ત્રિકોણની બાજુ 12 સેમી છે. બિંદુ M પસંદ કરવામાં આવે છે જેથી ત્રિકોણના તમામ શિરોબિંદુઓ સાથે બિંદુ M ને જોડતા ભાગો તેના સમતલ સાથે ખૂણા બનાવે. બિંદુ M થી ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ અને બાજુઓ સુધીનું અંતર શોધો.
4. એક પ્લેન ચોરસની બાજુમાંથી ચોરસના કર્ણના ખૂણા પર દોરવામાં આવે છે. ચોરસની બે બાજુઓ સમતલ તરફ વળેલી હોય તેવા ખૂણા શોધો.
5. સમદ્વિબાજુ જમણા ત્રિકોણનો પગ એક ખૂણા પર કર્ણમાંથી પસાર થતા સમતલ તરફ વળેલું છે. સાબિત કરો કે પ્લેન a અને ત્રિકોણના પ્લેન વચ્ચેનો કોણ બરાબર છે.
6. ત્રિકોણ ABC અને DBC ના વિમાનો વચ્ચેનો ડાયહેડ્રલ કોણ બરાબર છે. AD શોધો જો AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.
"અવકાશમાં રેખાઓ અને વિમાનો" વિષય પર પરીક્ષણ પ્રશ્નો
1. સ્ટીરિયોમેટ્રીના મૂળભૂત ખ્યાલોની યાદી બનાવો. સ્ટીરિયોમેટ્રીના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો ઘડવો.
2. ધરીઓમાંથી પરિણામો સાબિત કરો.
3. અવકાશમાં બે રેખાઓની સાપેક્ષ સ્થિતિ શું છે? છેદતી, સમાંતર અને ત્રાંસી રેખાઓની વ્યાખ્યા આપો.
4. ત્રાંસી રેખાઓની નિશાની સાબિત કરો.
5. રેખા અને વિમાનની સાપેક્ષ સ્થિતિ શું છે? આંતરછેદ, સમાંતર રેખાઓ અને વિમાનોની વ્યાખ્યા આપો.
6. રેખા અને સમતલ વચ્ચેની સમાંતરતાની નિશાની સાબિત કરો.
7. બે વિમાનોની સાપેક્ષ સ્થિતિ શું છે?
8. સમાંતર વિમાનો વ્યાખ્યાયિત કરો. એક ચિહ્ન સાબિત કરો કે બે વિમાનો સમાંતર છે. સમાંતર વિમાનો વિશે રાજ્ય પ્રમેય.
9. સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો કોણ વ્યાખ્યાયિત કરો.
10. રેખા અને સમતલની લંબરૂપતાની નિશાની સાબિત કરો.
11. કાટખૂણેનો આધાર, ઝોકનો આધાર, પ્લેન પર ઝોકનું પ્રક્ષેપણ વ્યાખ્યાયિત કરો. એક બિંદુથી પ્લેન પર પડતી કાટખૂણે અને વળેલી રેખાઓના ગુણધર્મો બનાવો.
12. સીધી રેખા અને પ્લેન વચ્ચેના ખૂણોને વ્યાખ્યાયિત કરો.
13. ત્રણ લંબ વિશે પ્રમેય સાબિત કરો.
14. ડાઇહેડ્રલ એંગલ, ડાયહેડ્રલ એન્ગલના રેખીય કોણની વ્યાખ્યા આપો.
15. બે વિમાનોની લંબરૂપતાની નિશાની સાબિત કરો.
16. બે જુદા જુદા બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર વ્યાખ્યાયિત કરો.
17. બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર વ્યાખ્યાયિત કરો.
18. બિંદુથી પ્લેન સુધીનું અંતર વ્યાખ્યાયિત કરો.
19. સીધી રેખા અને તેની સમાંતર સમતલ વચ્ચેનું અંતર વ્યાખ્યાયિત કરો.
20. સમાંતર વિમાનો વચ્ચેનું અંતર વ્યાખ્યાયિત કરો.
21. છેદતી રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર વ્યાખ્યાયિત કરો.
22. પ્લેન પરના બિંદુના ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણને વ્યાખ્યાયિત કરો.
23. પ્લેન પર આકૃતિના ઓર્થોગોનલ પ્રોજેક્શનને વ્યાખ્યાયિત કરો.
24. પ્લેન પર અંદાજોના ગુણધર્મો ઘડવો.
25. સમતલ બહુકોણના પ્રક્ષેપણ ક્ષેત્ર પર એક પ્રમેય ઘડવો અને સાબિત કરો.
હું લંબચોરસ ટેટ્રેહેડ્રોનના ચહેરાના અંદાજો માટેના સૂત્રના પ્રશ્ન પર વિચાર કરીશ. પ્રથમ, હું પ્લેન α માં પડેલા સેગમેન્ટની ઓર્થોગોનલ ડિઝાઈનને ધ્યાનમાં લઈશ, જે સીધી રેખા l=α∩π ની સાપેક્ષમાં આ સેગમેન્ટના સ્થાનના બે કિસ્સાઓ પ્રકાશિત કરે છે.
કેસ 1.
AB∥l(ફિગ. 8). સેગમેન્ટ A 1 B 1, જે સેગમેન્ટ AB નું ઓર્થોગોનલ પ્રોજેક્શન છે, તે સેગમેન્ટ AB ની સમાન અને સમાંતર છે.
ચોખા. 8
કેસ 2.
CD⊥l(ફિગ. 8). ત્રણ લંબના પ્રમેય દ્વારા, રેખા C 1 D 1, જે રેખા CD નું ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ છે, તે પણ રેખા l પર લંબ છે. તેથી, ∠CEC 1 એ પ્લેન α અને પ્રોજેક્શન પ્લેન π વચ્ચેનો ખૂણો છે, એટલે કે, જ્યાં C 0 D = C 1 D 1. તેથી |C 1 D 1 |=|CD|∙cosφ
હવે હું ત્રિકોણની ઓર્થોગોનલ ડિઝાઇનના પ્રશ્ન પર વિચાર કરીશ.
પ્લેન પર ત્રિકોણના ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણનું ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણના પ્લેન અને પ્રોજેક્શન પ્લેન વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઇન દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવેલા અનુમાનિત ત્રિકોણના ક્ષેત્ર જેટલું છે.
પુરાવો.ત્રિકોણનો પ્રોજેક્શન વિસ્તાર. ત્રણ લંબના પ્રમેય મુજબ, રેખા B 1 H 1 - રેખા BH નું ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ - રેખા l પર લંબ છે, તેથી, સેગમેન્ટ B 1 H 1 એ ત્રિકોણ A 1 B 1 C 1 ની ઊંચાઈ છે. . એ કારણે . આમ, .
a) પ્રક્ષેપિત ત્રિકોણ ABC ની એક બાજુ, ઉદાહરણ તરીકે AC, સીધી રેખા l=α∩π (ફિગ. 9) ની સમાંતર રહેવા દો અથવા તેના પર સૂઈ જાઓ.
પછી તેની ઊંચાઈ VN સીધી રેખા l માટે લંબરૂપ છે, અને તેનો વિસ્તાર બરાબર છે, એટલે કે.
ચોખા. 9
b) રચાયેલ ત્રિકોણ ABC ની કોઈપણ બાજુ સીધી રેખા l (ફિગ. 10) ની સમાંતર નથી. હું રેખા l ની સમાંતર ત્રિકોણના દરેક શિરોબિંદુ દ્વારા એક રેખા દોરીશ. આમાંની એક રેખા અન્ય બે વચ્ચે આવેલી છે (આકૃતિમાં તે રેખા m છે), અને તેથી, ત્રિકોણ ABC ને અનુક્રમે BH અને CE ઊંચાઈવાળા ત્રિકોણ ABD અને ACD માં વિભાજિત કરે છે, તેમની સામાન્ય બાજુ AD (અથવા તેની ચાલુતા) તરફ દોરવામાં આવે છે. , જે સમાંતર l છે. રેખા m 1 - રેખા m નું ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ - ત્રિકોણ A 1 B 1 C 1 - ત્રિકોણ ABC નું ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ - ત્રિકોણ A 1 B 1 D 1 અને A 1 C 1 D 1 માં પણ વિભાજિત કરે છે, જ્યાં. (9) અને (10) ને ધ્યાનમાં લેતા, મને મળે છે
ભૂમિતિ
10મા ધોરણ માટે પાઠ યોજનાઓ
પાઠ 56
વિષય. બહુકોણના ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણનો વિસ્તાર
પાઠનો હેતુ: બહુકોણના ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણના ક્ષેત્ર પરના પ્રમેયનો અભ્યાસ કરવો, સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે શીખેલા પ્રમેયને લાગુ કરવામાં વિદ્યાર્થીઓની કુશળતા વિકસાવવા.
સાધન: સ્ટીરિયોમેટ્રિક સેટ, ક્યુબ મોડલ.
વર્ગો દરમિયાન
I. હોમવર્ક તપાસી રહ્યું છે
1. બે વિદ્યાર્થીઓ બોર્ડ પર સમસ્યાઓ નંબર 42, 45ના ઉકેલોનું પુનઃઉત્પાદન કરે છે.
2. આગળનો પ્રશ્ન.
1) બે વિમાનો વચ્ચેનો કોણ છેદાય છે તે વ્યાખ્યાયિત કરો.
2) વચ્ચેનો કોણ શું છે:
a) સમાંતર વિમાનો;
b) લંબરૂપ વિમાનો?
3) બે વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો કઈ મર્યાદામાં બદલાઈ શકે છે?
4) શું તે સાચું છે કે સમાંતર વિમાનોને છેદે છે તે વિમાન તેમને સમાન ખૂણા પર છેદે છે?
5) શું તે સાચું છે કે જે વિમાન કાટખૂણે છેદે છે તે સમાન ખૂણા પર છેદે છે?
3. વિદ્યાર્થીઓએ બોર્ડ પર ફરીથી બનાવેલી સમસ્યાઓ નંબર 42, 45ના ઉકેલની ચોકસાઈ તપાસવી.
II. નવી સામગ્રીની સમજ અને જાગૃતિ
વિદ્યાર્થીઓ માટે સોંપણી
1. સાબિત કરો કે ત્રિકોણનો પ્રક્ષેપણ વિસ્તાર, જેની એક બાજુ પ્રક્ષેપણ સમતલમાં છે, તે તેના ક્ષેત્રફળના ગુણાંક અને બહુકોણના સમતલ અને પ્રક્ષેપણ સમતલ વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઇન સમાન છે.
2. કેસ માટે પ્રમેય સાબિત કરો જ્યારે જાળીનો ત્રિકોણ એવો હોય કે જેમાં એક બાજુ પ્રક્ષેપણ સમતલની સમાંતર હોય.
3. કેસ માટે પ્રમેય સાબિત કરો જ્યારે જાળીનો ત્રિકોણ એવો હોય કે જેમાં કોઈ પણ બાજુ પ્રક્ષેપણ સમતલની સમાંતર ન હોય.
4. કોઈપણ બહુકોણ માટે પ્રમેય સાબિત કરો.
સમસ્યા ઉકેલવાની
1. બહુકોણના ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણનું ક્ષેત્રફળ શોધો જેનો વિસ્તાર 50 cm2 છે અને બહુકોણના સમતલ અને તેના પ્રક્ષેપણ વચ્ચેનો ખૂણો 60° છે.
2. બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો જો આ બહુકોણના ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણનું ક્ષેત્રફળ 50 cm2 હોય, અને બહુકોણના સમતલ અને તેના પ્રક્ષેપણ વચ્ચેનો ખૂણો 45° હોય.
3. બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ 64 cm2 છે, અને ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણનું ક્ષેત્રફળ 32 cm2 છે. બહુકોણના વિમાનો અને તેના પ્રક્ષેપણ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.
4. અથવા કદાચ બહુકોણના ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણનું ક્ષેત્રફળ આ બહુકોણના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે?
5. ક્યુબની ધાર a ની બરાબર છે. આ આધાર પર 30°ના ખૂણા પર બેઝની ટોચ પરથી પસાર થતા પ્લેન દ્વારા ક્યુબનો ક્રોસ-સેક્શનલ વિસ્તાર શોધો અને બધી બાજુની કિનારીઓને છેદે છે. (જવાબ.)
6. પાઠ્યપુસ્તકમાંથી સમસ્યા નંબર 48 (1, 3) (પૃષ્ઠ 58).
7. પાઠ્યપુસ્તકમાંથી સમસ્યા નંબર 49 (2) (પૃષ્ઠ 58).
8. લંબચોરસની બાજુઓ 20 અને 25 સે.મી. છે. તેનું પ્લેન પરનું પ્રક્ષેપણ તેના જેવું જ છે. પ્રક્ષેપણની પરિમિતિ શોધો. (જવાબ: 72 cm અથવા 90 cm.)
III. ગૃહ કાર્ય
§4, ફકરો 34; પરીક્ષણ પ્રશ્ન નંબર 17; સમસ્યાઓ નં. 48 (2), 49 (1) (પૃ. 58).
IV. પાઠનો સારાંશ
વર્ગ માટે પ્રશ્ન
1) બહુકોણના ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણના ક્ષેત્ર પર એક પ્રમેય જણાવો.
2) બહુકોણના ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણનો વિસ્તાર હોઈ શકે છે? મોટો વિસ્તારબહુકોણ?
3) કાટકોણ ત્રિકોણ ABC ના કર્ણ AB દ્વારા, સમતલ α એ ત્રિકોણના સમતલના 45° ના ખૂણા પર અને લંબરૂપ CO ને સમતલ α તરફ દોરવામાં આવે છે. AC = 3 cm, BC = 4 cm. સૂચવે છે કે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચા છે અને કયા ખોટા છે:
a) ABC અને α વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો કોણ સમાન SMO, જ્યાં બિંદુ H એ ત્રિકોણ ABC ની ઊંચાઈ SM નો આધાર છે;
b) CO = 2.4 સેમી;
c) ત્રિકોણ AOC એ પ્લેન α પર ત્રિકોણ ABC નું ઓર્થોગોનલ પ્રક્ષેપણ છે;
d) ત્રિકોણ AOB નું ક્ષેત્રફળ 3 cm2 છે.
(જવાબ: a) સાચો; b) ખોટું; c) ખોટું; ડી) સાચું.)
બહુકોણ ઓર્થોગોનલ પ્રોજેક્શન પ્રમેયનો વિગતવાર પુરાવો
જો ફ્લેટનું પ્રક્ષેપણ છે n -એક પ્લેન પર જાઓ, તો પછી બહુકોણના પ્લેન અને વચ્ચેનો ખૂણો ક્યાં છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમતલ બહુકોણનો પ્રક્ષેપણ વિસ્તાર પ્રક્ષેપિત બહુકોણના ક્ષેત્રફળ અને પ્રક્ષેપણ સમતલ અને પ્રક્ષેપિત બહુકોણના સમતલ વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઇનના ગુણાંક જેટલો છે.
પુરાવો. આઈ સ્ટેજ ચાલો પહેલા ત્રિકોણ માટે સાબિતી લઈએ. ચાલો 5 કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ.
1 કેસ. પ્રક્ષેપણ વિમાનમાં આવેલા .
અનુક્રમે પ્લેન પરના બિંદુઓના અનુમાનો હોઈએ. અમારા કિસ્સામાં. ચાલો માની લઈએ. ઊંચાઈ રહેવા દો, પછી ત્રણ લંબના પ્રમેય દ્વારા આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ કે - ઊંચાઈ (- વલણનું પ્રક્ષેપણ, - તેનો આધાર અને સીધી રેખા વલણના પાયામાંથી પસાર થાય છે, અને).
ચાલો વિચાર કરીએ. તે લંબચોરસ છે. કોસાઇનની વ્યાખ્યા દ્વારા:
બીજી બાજુ, ત્યારથી અને, પછી વ્યાખ્યા દ્વારા વિમાનોના અર્ધ-પ્લેન દ્વારા અને સીમા સીધી રેખા સાથે રચાયેલ ડાયહેડ્રલ કોણનો રેખીય કોણ છે, અને, તેથી, તેનું માપ પણ વચ્ચેના ખૂણાનું માપ છે. ત્રિકોણના પ્રક્ષેપણના વિમાનો અને ત્રિકોણ પોતે, એટલે કે.
ચાલો વિસ્તારનો ગુણોત્તર શોધીએ:
નોંધ કરો કે જ્યારે પણ સૂત્ર સાચું રહે છે. આ બાબતે
કેસ 2. માત્ર પ્રક્ષેપણ વિમાનમાં આવેલું છે અને તે પ્રક્ષેપણ વિમાનની સમાંતર છે .
અનુક્રમે પ્લેન પરના બિંદુઓના અનુમાનો હોઈએ. અમારા કિસ્સામાં.
ચાલો બિંદુ દ્વારા એક સીધી રેખા દોરીએ. અમારા કિસ્સામાં, સીધી રેખા પ્રક્ષેપણ સમતલને છેદે છે, જેનો અર્થ છે, લેમ્મા દ્વારા, સીધી રેખા પણ પ્રક્ષેપણ વિમાનને છેદે છે. આને બિંદુ પર રહેવા દો ત્યારથી, પછી બિંદુઓ એ જ સમતલમાં રહે છે, અને કારણ કે તે પ્રક્ષેપણ સમતલની સમાંતર છે, તો પછી રેખા અને સમતલની સમાંતરતાના સંકેતના પરિણામે તે તેને અનુસરે છે. તેથી, તે સમાંતરગ્રામ છે. ચાલો ધ્યાનમાં લઈએ અને. તેઓ ત્રણ બાજુઓ પર સમાન છે (સામાન્ય બાજુ સમાંતરગ્રામની વિરુદ્ધ બાજુઓ જેવી છે). નોંધ કરો કે ચતુષ્કોણ એક લંબચોરસ છે અને તે સમાન છે (પગ અને કર્ણ સાથે), તેથી, ત્રણ બાજુઓ પર સમાન છે. એ કારણે.
લાગુ પડતા કેસ 1 માટે: , એટલે કે.
કેસ 3. માત્ર પ્રક્ષેપણ વિમાનમાં આવેલું છે અને તે પ્રક્ષેપણ વિમાનની સમાંતર નથી .
બિંદુને પ્રક્ષેપણ પ્લેન સાથે રેખાના આંતરછેદનું બિંદુ બનવા દો. નોંધ કરો કે અને. 1 કિસ્સામાં: i. આમ આપણે તે મેળવીએ છીએ
કેસ 4 શિરોબિંદુઓ પ્રોજેક્શન પ્લેનમાં આવેલા નથી . ચાલો કાટખૂણે જોઈએ. ચાલો આ કાટખૂણોમાંથી સૌથી નાનો લઈએ. તેને લંબરૂપ થવા દો. તે ચાલુ થઈ શકે છે કે તે ફક્ત અથવા માત્ર છે. પછી અમે તેને કોઈપણ રીતે લઈશું.
ચાલો આપણે સેગમેન્ટ પરના બિંદુમાંથી એક બિંદુને અલગ રાખીએ, જેથી કરીને, અને સેગમેન્ટ પરના બિંદુથી, એક બિંદુ, જેથી કરીને. આ બાંધકામ શક્ય છે કારણ કે તે કાટખૂણે સૌથી નાનું છે. નોંધ કરો કે તે એક પ્રક્ષેપણ છે અને, બાંધકામ દ્વારા. ચાલો તે સાબિત કરીએ અને સમાન છીએ.
ચતુર્ભુજને ધ્યાનમાં લો. શરત અનુસાર - એક સમતલ પર લંબ, તેથી, પ્રમેય અનુસાર, તેથી. બાંધકામ દ્વારા, પછી સમાંતરગ્રામની લાક્ષણિકતાઓના આધારે (સમાંતર અને સમાન વિરુદ્ધ બાજુઓ દ્વારા) આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે તે સમાંતરગ્રામ છે. મતલબ, . એ જ રીતે, તે સાબિત થાય છે કે, . તેથી, અને ત્રણ બાજુઓ પર સમાન છે. એ કારણે. નોંધ કરો કે અને, સમાંતરગ્રામની વિરુદ્ધ બાજુઓ તરીકે, તેથી, વિમાનોની સમાંતરતાને આધારે, . આ વિમાનો સમાંતર હોવાથી, તેઓ પ્રોજેક્શન પ્લેન સાથે સમાન કોણ બનાવે છે.
અગાઉના કેસો લાગુ પડે છે:.
કેસ 5 પ્રોજેક્શન પ્લેન બાજુઓને છેદે છે . ચાલો સીધી રેખાઓ જોઈએ. તેઓ પ્રક્ષેપણ સમતલ પર લંબ છે, તેથી પ્રમેય દ્વારા તેઓ સમાંતર છે. બિંદુઓ પર ઉત્પત્તિ સાથેના સહદિશ કિરણો પર, અમે અનુક્રમે સમાન ભાગોનું કાવતરું કરીશું, જેથી શિરોબિંદુઓ પ્રક્ષેપણ સમતલની બહાર રહે. નોંધ કરો કે તે એક પ્રક્ષેપણ છે અને, બાંધકામ દ્વારા. ચાલો બતાવીએ કે તે સમાન છે.
ત્યારથી અને, બાંધકામ દ્વારા, પછી. તેથી, સમાંતરગ્રામની લાક્ષણિકતા અનુસાર (બે સમાન અને સમાંતર બાજુઓ પર), તે સમાંતરગ્રામ છે. તે સમાન રીતે સાબિત થાય છે અને તે સમાંતરગ્રામ છે. પરંતુ પછી, અને (વિરોધી બાજુઓ તરીકે), તેથી ત્રણ બાજુઓ પર સમાન છે. મતલબ, .
વધુમાં, અને તેથી, વિમાનોની સમાંતરતાના આધારે. આ વિમાનો સમાંતર હોવાથી, તેઓ પ્રોજેક્શન પ્લેન સાથે સમાન કોણ બનાવે છે.
લાગુ પડતા કેસ 4 માટે:.
II સ્ટેજ ચાલો શિરોબિંદુમાંથી દોરેલા કર્ણનો ઉપયોગ કરીને સપાટ બહુકોણને ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરીએ: પછી, ત્રિકોણ માટેના અગાઉના કિસ્સાઓ અનુસાર: .
Q.E.D.
