ક્યુબ્સ ફોર્મ્યુલાનો તફાવત શું ઓળખ કહેવાય છે. સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો

ચોરસનો તફાવત

ચાલો $a^2-b^2$ વર્ગોના તફાવત માટે સૂત્ર મેળવીએ.

આ કરવા માટે, નીચેના નિયમ યાદ રાખો:

જો આપણે અભિવ્યક્તિમાં કોઈપણ મોનોમિયલ ઉમેરીએ અને તે જ મોનોમિયલ બાદ કરીએ, તો આપણને સાચી ઓળખ મળે છે.

ચાલો આપણી અભિવ્યક્તિમાં ઉમેરીએ અને તેમાંથી મોનોમિયલ $ab$ બાદ કરીએ:

કુલ મળીને, અમને મળે છે:

એટલે કે, બે મોનોમિયલ્સના વર્ગો વચ્ચેનો તફાવત તેમના તફાવત અને તેમના સરવાળાના ગુણાંક જેટલો છે.

ઉદાહરણ 1

ઉત્પાદન તરીકે પ્રસ્તુત કરો $(4x)^2-y^2$

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\જમણે)(2x+y)\]

સમઘનનો સરવાળો

ચાલો $a^3+b^3$ ક્યુબ્સના સરવાળા માટે સૂત્ર મેળવીએ.

ચાલો સામાન્ય પરિબળોને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીએ:

ચાલો કૌંસમાંથી $\left(a+b\right)$ લઈએ:

કુલ મળીને, અમને મળે છે:

એટલે કે, બે મોનોમિયલ્સના ક્યુબ્સનો સરવાળો તેમના સરવાળાના ગુણાંક અને તેમના તફાવતના આંશિક વર્ગ જેટલો છે.

ઉદાહરણ 2

ઉત્પાદન તરીકે પ્રસ્તુત કરો $(8x)^3+y^3$

આ અભિવ્યક્તિ નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

સ્ક્વેર ફોર્મ્યુલાના તફાવતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ:

\[(2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

સમઘનનું તફાવત

ચાલો $a^3-b^3$ ક્યુબ્સના તફાવત માટે સૂત્ર મેળવીએ.

આ કરવા માટે, અમે ઉપરોક્ત સમાન નિયમનો ઉપયોગ કરીશું.

ચાલો આપણી અભિવ્યક્તિમાં ઉમેરીએ અને તેમાંથી $a^2b\ અને\ (ab)^2$ બાદ કરીએ:

ચાલો સામાન્ય પરિબળોને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીએ:

ચાલો કૌંસમાંથી $\left(a-b\right)$ લઈએ:

કુલ મળીને, અમને મળે છે:

એટલે કે, બે મોનોમિયલ્સના ક્યુબ્સનો તફાવત તેમના સરવાળાના અપૂર્ણ વર્ગ દ્વારા તેમના તફાવતના ગુણાંક જેટલો છે.

ઉદાહરણ 3

ઉત્પાદન તરીકે પ્રસ્તુત કરો $(8x)^3-y^3$

આ અભિવ્યક્તિ નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

સ્ક્વેર ફોર્મ્યુલાના તફાવતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ:

\[(2x))^3-y^3=\left(2x-y\જમણે)(4x^2+2xy+y^2)\]

વર્ગોના તફાવત અને સરવાળો અને ક્યુબ્સના તફાવત માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓનું ઉદાહરણ

ઉદાહરણ 4

તે બહાર પરિબળ.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

ઉકેલ:

a) $((a+5))^2-9$

\[((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

સ્ક્વેર ફોર્મ્યુલાના તફાવતને લાગુ કરવાથી, આપણને મળે છે:

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\જમણે)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\જમણે)(a) +8)\]

ચાલો આ અભિવ્યક્તિને ફોર્મમાં લખીએ:

ચાલો ક્યુબ્સનું સૂત્ર લાગુ કરીએ:

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

ચાલો આ અભિવ્યક્તિને ફોર્મમાં લખીએ:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\જમણે)^3-x^3\]

ચાલો ક્યુબ્સનું સૂત્ર લાગુ કરીએ:

\[(\left(\frac(1)(3)\જમણે))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\જમણે)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\જમણે)\]

સંક્ષિપ્ત ગુણાકારના સૂત્રો અથવા નિયમોનો ઉપયોગ અંકગણિતમાં થાય છે, ખાસ કરીને બીજગણિતમાં, મોટા બીજગણિતીય અભિવ્યક્તિઓનું મૂલ્યાંકન કરવાની પ્રક્રિયાને ઝડપી બનાવવા માટે. ઘણાબધા બહુપદીઓનો ગુણાકાર કરવા માટે બીજગણિતમાં અસ્તિત્વમાં છે તેવા નિયમોમાંથી સૂત્રો પોતે લેવામાં આવ્યા છે.

આ સૂત્રોનો ઉપયોગ પૂરતો પૂરો પાડે છે ઓપરેશનલ સોલ્યુશનવિવિધ ગાણિતિક સમસ્યાઓ, અને અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવામાં પણ મદદ કરે છે. બીજગણિત પરિવર્તનના નિયમો તમને અભિવ્યક્તિ સાથે કેટલાક મેનિપ્યુલેશન્સ કરવા દે છે, જેના પગલે તમે સમાનતાની ડાબી બાજુએ જમણી બાજુની અભિવ્યક્તિ મેળવી શકો છો અથવા સમાનતાની જમણી બાજુનું રૂપાંતર કરી શકો છો (ડાબી બાજુની અભિવ્યક્તિ મેળવવા માટે સમાન ચિહ્ન પછી).

મેમરીમાંથી સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટે ઉપયોગમાં લેવાતા સૂત્રોને જાણવું અનુકૂળ છે, કારણ કે તે ઘણીવાર સમસ્યાઓ અને સમીકરણોને ઉકેલવા માટે ઉપયોગમાં લેવાય છે. નીચે આ સૂચિમાં સમાવિષ્ટ મુખ્ય સૂત્રો અને તેમના નામ છે.

સરવાળોનો ચોરસ

સરવાળાના વર્ગની ગણતરી કરવા માટે, તમારે પ્રથમ પદના વર્ગનો સમાવેશ થતો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે, પ્રથમ પદના ગુણાંકના બમણા અને બીજા અને બીજાના વર્ગનો. અભિવ્યક્તિના સ્વરૂપમાં, આ નિયમ નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે: (a + c)² = a² + 2ac + c².

ચોરસ તફાવત

તફાવતના વર્ગની ગણતરી કરવા માટે, તમારે પ્રથમ નંબરના વર્ગનો સમાવેશ કરતા સરવાળાની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, પ્રથમ નંબરના ગુણાંકના બમણા અને બીજા (વિરુદ્ધ ચિન્હ સાથે લેવામાં આવે છે) અને બીજા નંબરના વર્ગનો સમાવેશ થાય છે. અભિવ્યક્તિના સ્વરૂપમાં, આ નિયમ આના જેવો દેખાય છે: (a - c)² = a² - 2ac + c².

ચોરસનો તફાવત

બે સંખ્યાઓના વર્ગના તફાવત માટેનું સૂત્ર આ સંખ્યાઓના સરવાળા અને તેમના તફાવતના ગુણાંક જેટલું છે. અભિવ્યક્તિના સ્વરૂપમાં, આ નિયમ આના જેવો દેખાય છે: a² - с² = (a + с)·(a - с).

સરવાળાનું ઘન

બે પદોના સરવાળાના ક્યુબની ગણતરી કરવા માટે, તમારે પ્રથમ પદના ઘનનો સમાવેશ કરતા સરવાળાની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, પ્રથમ પદ અને બીજાના વર્ગના ગુણાંકને ત્રણ ગણો કરો, પ્રથમ પદના ગુણાંકને ત્રણ ગણો કરો અને બીજા શબ્દનો ચોરસ, અને બીજા શબ્દનું ઘન. અભિવ્યક્તિના સ્વરૂપમાં, આ નિયમ આના જેવો દેખાય છે: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

સમઘનનો સરવાળો

સૂત્ર મુજબ, તે આ પદોના સરવાળાના ગુણાંક અને તેમના અપૂર્ણ વર્ગના તફાવતની બરાબર છે. અભિવ્યક્તિના સ્વરૂપમાં, આ નિયમ આના જેવો દેખાય છે: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).

ઉદાહરણ.બે સમઘન ઉમેરીને રચાયેલી આકૃતિના જથ્થાની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. ફક્ત તેમની બાજુઓના કદ જાણીતા છે.

જો બાજુના મૂલ્યો નાના હોય, તો ગણતરીઓ સરળ છે.

જો બાજુઓની લંબાઈ બોજારૂપ સંખ્યામાં દર્શાવવામાં આવે છે, તો આ કિસ્સામાં "સમઘનનો સરવાળો" સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો વધુ સરળ છે, જે ગણતરીઓને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવશે.

તફાવત સમઘન

ઘન તફાવત માટેની અભિવ્યક્તિ આના જેવી લાગે છે: પ્રથમ પદની ત્રીજી શક્તિના સરવાળા તરીકે, પ્રથમ પદના વર્ગના નકારાત્મક ગુણાંકને બીજા દ્વારા ત્રણ ગણો કરો, પ્રથમ પદના ગુણાંકને બીજાના વર્ગ દ્વારા ત્રણ ગણો કરો. અને બીજા શબ્દનું ઋણ ઘન. ગાણિતિક અભિવ્યક્તિના સ્વરૂપમાં, તફાવતનો ઘન આના જેવો દેખાય છે: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

સમઘનનું તફાવત

ક્યુબ્સ ફોર્મ્યુલાનો તફાવત ક્યુબ્સના સરવાળાથી માત્ર એક ચિહ્નથી અલગ પડે છે. આમ, ક્યુબ્સનો તફાવત એ આ સંખ્યાઓના તફાવત અને સરવાળાના તેમના અપૂર્ણ વર્ગના ગુણાંક સમાન સૂત્ર છે. ફોર્મમાં, ક્યુબ્સનો તફાવત આના જેવો દેખાય છે: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).

ઉદાહરણ.વાદળી ક્યુબના જથ્થામાંથી પીળી વોલ્યુમેટ્રિક આકૃતિ, જે એક ક્યુબ પણ છે, બાદબાકી કર્યા પછી રહેલ આકૃતિના વોલ્યુમની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. નાના અને મોટા સમઘનનું માત્ર બાજુનું કદ જાણીતું છે.

જો બાજુના મૂલ્યો નાના હોય, તો ગણતરીઓ એકદમ સરળ છે. અને જો બાજુઓની લંબાઈ નોંધપાત્ર સંખ્યામાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, તો પછી "સમઘનનો તફાવત" (અથવા "ક્યૂબ ઑફ ડિફરન્સ") શીર્ષકવાળા સૂત્રને લાગુ કરવા યોગ્ય છે, જે ગણતરીઓને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવશે.

અગાઉના પાઠોમાં, અમે બહુપદીને પરિબળ કરવાની બે રીતો જોઈ: સામાન્ય પરિબળને કૌંસની બહાર મૂકવું અને જૂથ પદ્ધતિ.

આ પાઠમાં આપણે બહુપદીના પરિબળની બીજી રીત જોઈશું સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને.

અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે દરેક સૂત્ર ઓછામાં ઓછા 12 વખત લખો. વધુ સારી રીતે યાદ રાખવા માટે, એક નાની ચીટ શીટ પર તમામ સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો લખો.

ચાલો યાદ કરીએ કે ક્યુબ્સ ફોર્મ્યુલાનો તફાવત કેવો દેખાય છે.

ક્યુબ્સ ફોર્મ્યુલાનો તફાવત યાદ રાખવા માટે ખૂબ સરળ નથી, તેથી અમે તેને યાદ રાખવા માટે એક વિશિષ્ટ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરીએ છીએ.

તે સમજવું અગત્યનું છે કે કોઈપણ સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્ર પણ કાર્ય કરે છે વિપરીત બાજુ.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. તે સમઘનનું તફાવત પરિબળ જરૂરી છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે “27a 3” “(3a) 3” છે, જેનો અર્થ છે કે ક્યુબ્સ ફોર્મ્યુલાના તફાવત માટે, “a” ને બદલે આપણે “3a” નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

અમે ક્યુબ્સ ફોર્મ્યુલાના તફાવતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. “a 3” ની જગ્યાએ આપણી પાસે “27a 3” છે, અને “b 3” ની જગ્યાએ, જેમ કે સૂત્રમાં છે, ત્યાં “b 3” છે.

ક્યુબ્સના તફાવતને વિરુદ્ધ દિશામાં લાગુ કરવું

ચાલો બીજું ઉદાહરણ જોઈએ. તમારે સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બહુપદીના ઉત્પાદનને ક્યુબ્સના તફાવતમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે બહુપદીનું ઉત્પાદન “(x − 1)(x 2 + x + 1)” ક્યુબ્સ ફોર્મ્યુલા “” ના તફાવતની જમણી બાજુ જેવું લાગે છે, ફક્ત “a” ને બદલે “x” છે, અને તેની જગ્યાએ "b" માંથી "1" છે.

“(x − 1)(x 2 + x + 1)” માટે આપણે ક્યુબ્સ ફોર્મ્યુલાના તફાવતનો વિરુદ્ધ દિશામાં ઉપયોગ કરીએ છીએ.

ચાલો એક વધુ જટિલ ઉદાહરણ જોઈએ. બહુપદીના ઉત્પાદનને સરળ બનાવવા માટે તે જરૂરી છે.

જો આપણે "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)" સાથે સરખામણી કરીએ તો જમણી બાજુક્યુબ્સ ફોર્મ્યુલાનો તફાવત
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)", તો તમે સમજી શકશો કે પ્રથમ કૌંસમાંથી "a" ની જગ્યાએ "y 2" છે, અને "b" ની જગ્યાએ "1" છે.

સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો.

સંક્ષિપ્ત ગુણાકારના સૂત્રોનો અભ્યાસ: સરવાળોનો વર્ગ અને બે અભિવ્યક્તિઓના તફાવતનો વર્ગ; બે અભિવ્યક્તિઓના ચોરસનો તફાવત; સરવાળાનું ઘન અને બે અભિવ્યક્તિઓના તફાવતનું ઘન; બે સમીકરણોના સમઘનનો સરવાળો અને તફાવત.

ઉદાહરણો ઉકેલતી વખતે સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ.

અભિવ્યક્તિઓ, પરિબળ બહુપદીને સરળ બનાવવા અને બહુપદીને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવા માટે, સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સંક્ષિપ્ત ગુણાકારના સૂત્રો હૃદયથી જાણવાની જરૂર છે.

ચાલો a, b R. પછી:

1. બે સમીકરણોના સરવાળાનો વર્ગ બરાબર છેપ્રથમ અભિવ્યક્તિનો વર્ગ વત્તા પ્રથમ અભિવ્યક્તિના ઉત્પાદનના બમણા અને બીજી વત્તા બીજી અભિવ્યક્તિનો વર્ગ.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. બે સમીકરણોના તફાવતનો વર્ગ બરાબર છેપ્રથમ અભિવ્યક્તિનો વર્ગ, પ્રથમ અભિવ્યક્તિના ગુણાંકના બમણા ઓછા અને બીજી વત્તા બીજી અભિવ્યક્તિનો વર્ગ.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. ચોરસનો તફાવતબે અભિવ્યક્તિઓ આ અભિવ્યક્તિઓ અને તેમના સરવાળાના તફાવતના ઉત્પાદનના સમાન છે.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. સરવાળાનું ઘનબે સમીકરણો એ પ્રથમ અભિવ્યક્તિના ઘન વત્તા પ્રથમ અભિવ્યક્તિના વર્ગના ગુણાંકના ત્રણ ગણા અને બીજા વત્તા પ્રથમ અભિવ્યક્તિના ગુણાંકના ત્રણ ગણા અને બીજાના વર્ગ વત્તા બીજી અભિવ્યક્તિના ઘન સમાન છે.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. તફાવત સમઘનબે સમીકરણો પ્રથમ અભિવ્યક્તિના ઘન સમાન છે, પ્રથમ અભિવ્યક્તિના વર્ગના ગુણાંકના ત્રણ ગણા ઓછા અને બીજા વત્તા પ્રથમ અભિવ્યક્તિના ગુણાંકના ત્રણ ગણા અને બીજા સમીકરણના વર્ગના ઘનત્વના ઘન.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. સમઘનનો સરવાળોબે અભિવ્યક્તિઓ પ્રથમ અને બીજા અભિવ્યક્તિઓના સરવાળાના ગુણાંક અને આ અભિવ્યક્તિઓના તફાવતના અપૂર્ણ વર્ગના સમાન છે.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. સમઘનનું તફાવતબે અભિવ્યક્તિઓ આ અભિવ્યક્તિઓના સરવાળાના અપૂર્ણ વર્ગ દ્વારા પ્રથમ અને બીજા અભિવ્યક્તિઓના તફાવતના ઉત્પાદનની સમાન છે.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

ઉદાહરણો ઉકેલતી વખતે સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ.

ઉદાહરણ 1.

ગણત્રી

a) બે સમીકરણોના સરવાળાના વર્ગ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે છે

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) બે સમીકરણોના તફાવતના વર્ગ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

ઉદાહરણ 2.

ગણત્રી

બે સમીકરણોના વર્ગોના તફાવત માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ

ઉદાહરણ 3.

અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો

(x - y) 2 + (x + y) 2

ચાલો સરવાળાના વર્ગ અને બે સમીકરણોના તફાવતના વર્ગ માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

એક કોષ્ટકમાં સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)