સત્તાઓનો સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર. ડિગ્રી અને તેના ગુણધર્મો

કેવી રીતે - (બરોળના કોષો નિષ્ફળ ગયા....) જેટલી જ હદે (કલ્ચર સુપરનેટન્ટ્સ...)

જૈવિક શબ્દોનો રશિયન-અંગ્રેજી શબ્દકોશ. - નોવોસિબિર્સ્ક: ક્લિનિકલ ઇમ્યુનોલોજી સંસ્થા. માં અને. સેલેડત્સોવ. 1993-1999.

અન્ય શબ્દકોશોમાં "જેટલી જ હદ સુધી" શું છે તે જુઓ:

સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી- 1. સિસ્ટમ્સ વિશ્લેષણમાં રેખીય સમીકરણોસ્વતંત્ર સમીકરણોની સંખ્યા અને અજાણ્યાઓની સંખ્યા વચ્ચેનો તફાવત. જો S. ની સંખ્યા. શૂન્ય બરાબર છે, તો સિસ્ટમ પાસે અનન્ય ઉકેલ છે. 2. ગાણિતિક આંકડાઓમાં, સંખ્યાઓ દર્શાવે છે... ... આર્થિક અને ગાણિતિક શબ્દકોશ

જ્યારે કોઈ ઉત્પાદન, તે માંસ, માછલી અથવા શાકભાજી હોય, કાપવાથી લઈને રસોઈ સુધીની તમામ કામગીરીઓમાંથી પસાર થઈ જાય છે અને જ્યારે વાનગી લગભગ તૈયાર થઈ જાય છે, તો પછી, જો બધું યોગ્ય રીતે કરવામાં આવ્યું હોય, તો પણ તેનો સંપૂર્ણ સ્વાદ હોતો નથી. કંઈક અભાવ છે. આ…… મહાન જ્ઞાનકોશરાંધણકળા

આ શબ્દના અન્ય અર્થો છે, જુઓ સ્વતંત્રતા (અર્થો). આ શબ્દના અન્ય અર્થો છે, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી (અર્થ) જુઓ. ગતિ લાક્ષણિકતાઓની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી યાંત્રિક સિસ્ટમ. સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા... ...વિકિપીડિયા

ક્રિયાવિશેષણ, કણ અને જોડાણ. I. adv. 1. પૂછપરછ. સંજોગો, છબી, કાર્યવાહીની પદ્ધતિ વિશે પ્રશ્ન સૂચવે છે: કેવી રીતે? [ચેટસ્કી:] આહ! ભાગ્યની રમત કેવી રીતે સમજવી? ગ્રિબોયેડોવ, વિટથી અફસોસ. આ પુટ્ટી તેના ખિસ્સામાં કેવી રીતે આવી? ચેખોવ, સ્ટેપ્પે....... નાનો શૈક્ષણિક શબ્દકોશ

સંસ્કૃતિની શ્રેણીઓ દ્વારા ઈતિહાસને સમજવો, ઈતિહાસની પ્રક્રિયાગત માળખાના મૂલ્ય અને સિમેન્ટીક સામગ્રી. 20મી સદીમાં પ્રતીકવાદી અને અસાધારણ ઘટનાના પ્રત્યક્ષ અને પરોક્ષ પ્રભાવ હેઠળ. ફિલોસોફર સંસ્કૃતિથી લઈને વિભાવનાઓ... સાંસ્કૃતિક અભ્યાસનો જ્ઞાનકોશ

- (મેટિયર, સબસ્ટન્સ, મેટેરી, સ્ટૉફ, મેટર) ભાવના, બળ, સ્વરૂપ, દેખાવ અને ખાલીપણાના અર્થમાં વિરોધ કરે છે. પ્રાચીનકાળથી ઉદ્દભવેલી આવી નકારાત્મક વ્યાખ્યા, કોઈપણ માટે આધાર તરીકે સેવા આપી શકતી નથી વૈજ્ઞાનિક માહિતી o વી. વિજ્ઞાન... ...

- ... વિકિપીડિયા

ઇમારતોની અંદર. O. મુખ્યત્વે માનવ વ્યવસાય માટે બનાવાયેલ ઇમારતો પર લાગુ થાય છે, પરંતુ તે અન્ય હેતુઓ માટે ઇમારતોમાં પણ સ્થાપિત થાય છે, જેમ કે: ગ્રીનહાઉસમાં, પ્રાણીઓ માટેના પરિસરમાં (બિન-આબોહવાવાળા અથવા ઉચ્ચ મૂલ્યના) અને ... ... જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ F.A. Brockhaus અને I.A. એફ્રોન

શૈક્ષણિક ડિગ્રી અને શીર્ષકો એ વિજ્ઞાન અને ઉચ્ચ શિક્ષણમાં લાયકાત પ્રણાલી છે, જે વૈજ્ઞાનિક અને વૈજ્ઞાનિક-શિક્ષણશાસ્ત્રના કર્મચારીઓને તેમની શૈક્ષણિક કારકિર્દીના વ્યક્તિગત તબક્કામાં રેન્કિંગ કરવાની મંજૂરી આપે છે. હાલમાં માં રશિયન ફેડરેશનએનાયત... વિકિપીડિયા

ભગવદ ગીતા સાથે ભેળસેળ ન કરવી. ભગવદ ગીતા જેમ તે છે... વિકિપીડિયા

ઇકોનોમેટ્રિક્સ એ એક વિજ્ઞાન છે જે ગાણિતિક અને આંકડાકીય પદ્ધતિઓ અને મોડેલોનો ઉપયોગ કરીને આર્થિક વસ્તુઓ અને પ્રક્રિયાઓ વચ્ચેના ચોક્કસ માત્રાત્મક અને ગુણાત્મક સંબંધોનો અભ્યાસ કરે છે. ઇકોનોમેટ્રિક્સ વિષયની વ્યાખ્યા ચાર્ટરમાં આપવામાં આવી હતી... ... વિકિપીડિયા

પુસ્તકો

• જંગલી. તમારી જાતને શોધવાના માર્ગ તરીકે ખતરનાક પ્રવાસ, ચેરીલ સ્ટ્રેઇડ. આ પુસ્તક શું છે જ્યારે જીવન બ્લેક એન્ડ વ્હાઇટ બની જાય છે, જ્યારે ગુમાવવા માટે કંઈ નથી હોતું, કોઈ ધ્યેય નથી, ભવિષ્ય નથી, જીવવાની કોઈ ઈચ્છા નથી, લોકો ક્યારેક ભયાવહ વસ્તુઓ કરવાનું નક્કી કરે છે. તમારી માતાને ગુમાવવી, તમારા લગ્નને બરબાદ કરવી...
• કેવી રીતે ઓછું ખાવું. ગિલિયન રિલે દ્વારા ખાદ્ય વ્યસન પર કાબુ મેળવવો. ખોરાકનું વ્યસન એ એક ખતરનાક રોગ છે આધુનિક સમાજ. હજારો લોકો એક યા બીજી રીતે અસરગ્રસ્ત છે. પરંતુ જો આપણે અન્ય પ્રકારના વ્યસનના જોખમો વિશે સક્રિયપણે વાત કરીએ - ઉદાહરણ તરીકે, નિકોટિન...

આ લેખમાં આપણે શોધીશું કે તે શું છે ની ડિગ્રી. અહીં આપણે સંખ્યાની શક્તિની વ્યાખ્યા આપીશું, જ્યારે આપણે કુદરતી ઘાતાંકથી શરૂ કરીને અને અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે સમાપ્ત થતા તમામ સંભવિત ઘાતાંકનો વિગતવાર વિચાર કરીશું. સામગ્રીમાં તમને ઉદભવતી તમામ સૂક્ષ્મતાને આવરી લેતા ડિગ્રીના ઘણા ઉદાહરણો મળશે.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની ઘાત, સંખ્યાનો વર્ગ, સંખ્યાનો ઘન

સાથે શરૂઆત કરીએ. આગળ જોઈને, ચાલો કહીએ કે કુદરતી ઘાતાંક n સાથે સંખ્યા a ની શક્તિની વ્યાખ્યા a માટે આપવામાં આવી છે, જેને આપણે કહીશું. ડિગ્રીના આધારે, અને n, જેને આપણે કહીશું ઘાત. અમે એ પણ નોંધીએ છીએ કે પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી ઉત્પાદન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, તેથી નીચેની સામગ્રીને સમજવા માટે તમારે સંખ્યાઓના ગુણાકારની સમજ હોવી જરૂરી છે.

વ્યાખ્યા.

કુદરતી ઘાતાંક n સાથે સંખ્યાની શક્તિએ n સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ છે, જેનું મૂલ્ય n પરિબળના ઉત્પાદન જેટલું છે, જેમાંથી દરેક a ની બરાબર છે, એટલે કે, .
ખાસ કરીને, ઘાતાંક 1 સાથેની સંખ્યા a ની શક્તિ એ સંખ્યા પોતે છે, એટલે કે, 1 =a.

ડિગ્રી વાંચવાના નિયમો વિશે તરત જ ઉલ્લેખ કરવો યોગ્ય છે. નોટેશન a n ને વાંચવાની સાર્વત્રિક રીત છે: “a to the power of n”. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, નીચેના વિકલ્પો પણ સ્વીકાર્ય છે: “a થી nth ઘાત” અને “a ની nth શક્તિ”. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો પાવર 8 12 લઈએ, આ છે “બારમા ઘાતની આઠ”, અથવા “આઠની બારમી ઘાત” અથવા “આઠની બારમી ઘાત”.

સંખ્યાની બીજી શક્તિ, તેમજ સંખ્યાની ત્રીજી શક્તિના પોતાના નામ છે. સંખ્યાની બીજી શક્તિ કહેવાય છે નંબરનો વર્ગ કરો, ઉદાહરણ તરીકે, 7 2 "સાત વર્ગ" અથવા "સાત નંબરનો વર્ગ" તરીકે વાંચવામાં આવે છે. સંખ્યાની ત્રીજી શક્તિ કહેવાય છે ઘન સંખ્યા, ઉદાહરણ તરીકે, 5 3 ને "પાંચ ઘન" તરીકે વાંચી શકાય છે અથવા તમે "નંબર 5 નો ઘન" કહી શકો છો.

લાવવાનો સમય છે કુદરતી ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના ઉદાહરણો. ચાલો ડિગ્રી 5 7 થી શરૂઆત કરીએ, અહીં 5 એ ડિગ્રીનો આધાર છે, અને 7 એ ઘાતાંક છે. ચાલો બીજું ઉદાહરણ આપીએ: 4.32 એ આધાર છે, અને કુદરતી સંખ્યા 9 – ઘાતાંક (4.32) 9 .

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે છેલ્લા ઉદાહરણમાં, પાવર 4.32 નો આધાર કૌંસમાં લખાયેલ છે: વિસંગતતાઓને ટાળવા માટે, અમે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓથી અલગ હોય તેવા પાવરના તમામ પાયા કૌંસમાં મૂકીશું. ઉદાહરણ તરીકે, અમે કુદરતી ઘાતાંક સાથે નીચેની ડિગ્રી આપીએ છીએ , તેમના પાયા કુદરતી સંખ્યાઓ નથી, તેથી તેઓ કૌંસમાં લખેલા છે. ઠીક છે, સંપૂર્ણ સ્પષ્ટતા માટે, આ બિંદુએ આપણે ફોર્મ (−2) 3 અને −2 3 ના રેકોર્ડમાં સમાયેલ તફાવત બતાવીશું. અભિવ્યક્તિ (−2) 3 એ 3 ના કુદરતી ઘાતાંક સાથે −2 ની ઘાત છે, અને અભિવ્યક્તિ −2 3 (તે −(2 3) તરીકે લખી શકાય છે) સંખ્યાને અનુરૂપ છે, ઘાત 2 3 નું મૂલ્ય .

નોંધ કરો કે a^n ફોર્મના ઘાતાંક n સાથે સંખ્યા a ની શક્તિ માટે એક સંકેત છે. વધુમાં, જો n એ બહુ-મૂલ્યવાળી કુદરતી સંખ્યા છે, તો ઘાત કૌંસમાં લેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 4^9 એ 4 9 ની શક્તિ માટે અન્ય સંકેત છે. અને અહીં “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) ચિહ્નનો ઉપયોગ કરીને ડિગ્રી લખવાના કેટલાક વધુ ઉદાહરણો છે. નીચેનામાં, આપણે મુખ્યત્વે n ફોર્મના ડિગ્રી નોટેશનનો ઉપયોગ કરીશું.

પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની શક્તિને વધારતા વિપરિત સમસ્યાઓમાંની એક એ છે કે શક્તિનો આધાર શોધવાની સમસ્યા જાણીતું મૂલ્યડિગ્રી અને જાણીતા સૂચક. આ કાર્ય તરફ દોરી જાય છે.

તે જાણીતું છે કે તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહમાં પૂર્ણાંકો અને અપૂર્ણાંકનો સમાવેશ થાય છે, અને દરેક અપૂર્ણાંકને હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. અમે પાછલા ફકરામાં પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી વ્યાખ્યાયિત કરી છે, તેથી, તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વ્યાખ્યા પૂર્ણ કરવા માટે, આપણે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથે સંખ્યા a ની ડિગ્રીનો અર્થ આપવો જરૂરી છે, જ્યાં m એ પૂર્ણાંક છે અને n એ કુદરતી સંખ્યા છે. ચાલો તે કરીએ.

ચાલો ફોર્મના અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીને ધ્યાનમાં લઈએ. પાવર-ટુ-પાવર મિલકત માન્ય રહેવા માટે, સમાનતા હોવી આવશ્યક છે . જો આપણે પરિણામી સમાનતાને ધ્યાનમાં લઈએ અને આપણે કેવી રીતે નક્કી કર્યું, તો તે સ્વીકારવું તાર્કિક છે જો આપેલ m, n અને a માટે અભિવ્યક્તિનો અર્થ થાય.

તે તપાસવું સરળ છે કે પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના તમામ ગુણધર્મો માન્ય છે (આ તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના વિભાગ ગુણધર્મોમાં કરવામાં આવ્યું હતું).

ઉપરોક્ત તર્ક અમને નીચેના બનાવવાની મંજૂરી આપે છે નિષ્કર્ષ: જો m, n અને a આપવામાં આવે તો અભિવ્યક્તિનો અર્થ થાય છે, તો અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથે a ની ઘાતને m ની ઘાત a નું nમું મૂળ કહેવાય છે.

આ વિધાન આપણને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વ્યાખ્યાની નજીક લાવે છે. માત્ર m, n અને a અભિવ્યક્તિનો અર્થ શું છે તેનું વર્ણન કરવાનું બાકી છે. m, n અને a પર મુકવામાં આવેલા પ્રતિબંધોના આધારે, ત્યાં બે મુખ્ય અભિગમો છે.

સકારાત્મક m માટે a≥0 અને નકારાત્મક m માટે a>0 લઈને a પર અવરોધ લાદવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો છે (કારણ કે m≤0 માટે m ની ડિગ્રી 0 વ્યાખ્યાયિત નથી). પછી આપણને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની નીચેની વ્યાખ્યા મળે છે.

વ્યાખ્યા.

અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથે ધન સંખ્યા a ની શક્તિ, જ્યાં m એ પૂર્ણાંક છે અને n એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે, એ m ની ઘાતની સંખ્યા a નું nth મૂળ કહેવાય છે, એટલે કે, .

શૂન્યની અપૂર્ણાંક શક્તિ પણ એકમાત્ર ચેતવણી સાથે નક્કી કરવામાં આવે છે કે સૂચક હકારાત્મક હોવો જોઈએ.

વ્યાખ્યા.

અપૂર્ણાંક હકારાત્મક ઘાતાંક m/n સાથે શૂન્યની શક્તિ, જ્યાં m એ ધન પૂર્ણાંક છે અને n એ કુદરતી સંખ્યા છે, તે તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે .
જ્યારે ડિગ્રી નિર્ધારિત ન હોય, એટલે કે, અપૂર્ણાંક નકારાત્મક ઘાતાંક સાથે સંખ્યા શૂન્યની ડિગ્રીનો કોઈ અર્થ નથી.

એ નોંધવું જોઈએ કે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની આ વ્યાખ્યા સાથે, એક ચેતવણી છે: કેટલાક નકારાત્મક a અને કેટલાક m અને n માટે, અભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ છે, અને અમે a≥0 શરત રજૂ કરીને આ કિસ્સાઓને કાઢી નાખ્યા છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રવેશો અર્થપૂર્ણ છે અથવા , અને ઉપર આપેલ વ્યાખ્યા આપણને એમ કહેવા દબાણ કરે છે કે ફોર્મના અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓ અર્થ નથી, કારણ કે આધાર નકારાત્મક ન હોવો જોઈએ.

અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથે ડિગ્રી નક્કી કરવા માટેનો બીજો અભિગમ એ છે કે મૂળના સમાન અને વિષમ ઘાતાંકને અલગથી ધ્યાનમાં લેવાનો. આ અભિગમ માટે વધારાની શરતની જરૂર છે: સંખ્યા a ની શક્તિ, જેનો ઘાતાંક છે , તે સંખ્યા a ની શક્તિ માનવામાં આવે છે, જેનો ઘાતાંક અનુરૂપ અપૂર્ણ અપૂર્ણાંક છે (અમે નીચે આ સ્થિતિનું મહત્વ સમજાવીશું. ). એટલે કે, જો m/n એ અફર અપૂર્ણાંક છે, તો પછી કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા k માટે ડિગ્રી પ્રથમ દ્વારા બદલવામાં આવે છે.

સમ n અને ધન m માટે, અભિવ્યક્તિ કોઈપણ બિન-નકારાત્મક a માટે અર્થપૂર્ણ બને છે (ઋણાત્મક સંખ્યાનું સમ રુટ અર્થમાં નથી હોતું); શૂન્ય દ્વારા). અને વિષમ n અને ધન m માટે, સંખ્યા a કોઈપણ હોઈ શકે છે (કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે વિષમ ડિગ્રીનું મૂળ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે), અને ઋણ m માટે, સંખ્યા a શૂન્યથી અલગ હોવી જોઈએ (જેથી કોઈ ભાગાકાર ન હોય શૂન્ય).

ઉપરોક્ત તર્ક આપણને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની આ વ્યાખ્યા તરફ દોરી જાય છે.

વ્યાખ્યા.

m/n ને અફર અપૂર્ણાંક, m પૂર્ણાંક અને n ને કુદરતી સંખ્યા થવા દો. કોઈપણ ઘટાડી શકાય તેવા અપૂર્ણાંક માટે, ડિગ્રી દ્વારા બદલવામાં આવે છે. અફર અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથે સંખ્યાની શક્તિ માટે છે



ચાલો આપણે સમજાવીએ કે શા માટે ઘટાડી શકાય તેવા અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડીગ્રીને પહેલા અફર કરી શકાય તેવા ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી દ્વારા બદલવામાં આવે છે. જો આપણે ડિગ્રીને માત્ર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ, અને અપૂર્ણાંક m/n ની અસ્પષ્ટતા વિશે કોઈ આરક્ષણ ન કર્યું, તો પછી આપણને નીચેની જેવી પરિસ્થિતિઓનો સામનો કરવો પડશે: 6/10 = 3/5 થી, પછી સમાનતા હોવી જોઈએ , પરંતુ , એ.

જો આપણે આઠમી શક્તિને અવગણીએ, તો આપણે અહીં શું જોશું? ચાલો 7મા ધોરણનો કાર્યક્રમ યાદ કરીએ. તો, તમને યાદ છે? આ સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટેનું સૂત્ર છે, એટલે કે વર્ગોનો તફાવત! અમને મળે છે:

ચાલો છેદને ધ્યાનથી જોઈએ. તે અંશના પરિબળોમાંના એક જેવું લાગે છે, પરંતુ શું ખોટું છે? શરતોનો ક્રમ ખોટો છે. જો તેઓ ઉલટાવી દેવામાં આવે, તો નિયમ લાગુ થઈ શકે છે.

પરંતુ તે કેવી રીતે કરવું? તે તારણ આપે છે કે તે ખૂબ જ સરળ છે: છેદની સમાન ડિગ્રી અમને અહીં મદદ કરે છે.

જાદુઈ રીતે શરતો સ્થાનો બદલી. આ "ઘટના" કોઈપણ અભિવ્યક્તિને સમાન અંશે લાગુ પડે છે: અમે કૌંસમાંના ચિહ્નોને સરળતાથી બદલી શકીએ છીએ.

પરંતુ તે યાદ રાખવું અગત્યનું છે: બધા ચિહ્નો એક જ સમયે બદલાય છે!

ચાલો ઉદાહરણ પર પાછા જઈએ:

અને ફરીથી સૂત્ર:

સમગ્રઆપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ કહીએ છીએ, તેમના વિરોધી (એટલે ​​​​કે, " " ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે) અને સંખ્યા.

હકારાત્મક પૂર્ણાંક, અને તે કુદરતીથી અલગ નથી, પછી બધું બરાબર પાછલા વિભાગની જેમ દેખાય છે.

હવે નવા કેસો જોઈએ. ચાલો સમાન સૂચક સાથે પ્રારંભ કરીએ.

શૂન્ય ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા એક સમાન છે:

હંમેશની જેમ, ચાલો આપણે આપણી જાતને પૂછીએ: આવું કેમ છે?

ચાલો આધાર સાથે અમુક ડિગ્રી ધ્યાનમાં લઈએ. ઉદાહરણ તરીકે લો અને વડે ગુણાકાર કરો:

તેથી, અમે સંખ્યાનો ગુણાકાર કર્યો, અને અમને તે જ વસ્તુ મળી - . તમારે કઈ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવો જોઈએ જેથી કંઈપણ બદલાય નહીં? તે સાચું છે, ચાલુ. અર્થ.

આપણે મનસ્વી નંબર સાથે તે જ કરી શકીએ છીએ:

ચાલો નિયમનું પુનરાવર્તન કરીએ:

શૂન્ય ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા એક સમાન છે.

પરંતુ ઘણા નિયમોમાં અપવાદો છે. અને અહીં તે પણ છે - આ એક સંખ્યા છે (આધાર તરીકે).

એક તરફ, તે કોઈપણ ડિગ્રીની સમાન હોવી જોઈએ - ભલે તમે શૂન્યને પોતે કેટલો ગુણાકાર કરો, તમે હજી પણ શૂન્ય મેળવશો, આ સ્પષ્ટ છે. પરંતુ બીજી બાજુ, શૂન્ય શક્તિની કોઈપણ સંખ્યાની જેમ, તે સમાન હોવી જોઈએ. તો આમાં કેટલું સાચું છે? ગણિતશાસ્ત્રીઓએ સામેલ ન થવાનું નક્કી કર્યું અને શૂન્યથી શૂન્ય શક્તિ વધારવાનો ઇનકાર કર્યો. એટલે કે, હવે આપણે માત્ર શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી, પણ તેને વધારીને શૂન્ય શક્તિ સુધી પણ લઈ શકતા નથી.

ચલો આગળ વધીએ. કુદરતી સંખ્યાઓ અને સંખ્યાઓ ઉપરાંત, પૂર્ણાંકોમાં નકારાત્મક સંખ્યાઓનો પણ સમાવેશ થાય છે. નકારાત્મક શક્તિ શું છે તે સમજવા માટે, ચાલો છેલ્લી વખત કરીએ: કેટલીક સામાન્ય સંખ્યાને સમાન સંખ્યા દ્વારા નકારાત્મક શક્તિમાં ગુણાકાર કરીએ:

અહીંથી તમે જે શોધી રહ્યાં છો તે વ્યક્ત કરવાનું સરળ છે:

હવે ચાલો પરિણામી નિયમને મનસ્વી ડિગ્રી સુધી વિસ્તારીએ:

તેથી, ચાલો એક નિયમ બનાવીએ:

નકારાત્મક શક્તિવાળી સંખ્યા એ સકારાત્મક શક્તિ સાથે સમાન સંખ્યાની પરસ્પર છે. પરંતુ તે જ સમયે આધાર શૂન્ય હોઈ શકતો નથી:(કારણ કે તમે વિભાજન કરી શકતા નથી).

ચાલો સારાંશ આપીએ:

I. કેસમાં અભિવ્યક્તિ વ્યાખ્યાયિત નથી. તો પછી.

II. શૂન્ય ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા એક સમાન છે: .

III. ઋણ ઘાતની શૂન્યની બરાબર ન હોય તેવી સંખ્યા એ સકારાત્મક ઘાતની સમાન સંખ્યાનો વ્યસ્ત છે: .

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેના કાર્યો:

સારું, હંમેશની જેમ, સ્વતંત્ર ઉકેલો માટે ઉદાહરણો:

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે સમસ્યાઓનું વિશ્લેષણ:

હું જાણું છું, મને ખબર છે, સંખ્યાઓ ડરામણી છે, પરંતુ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પર તમારે કંઈપણ માટે તૈયાર રહેવું પડશે! આ ઉદાહરણો ઉકેલો અથવા તેમના ઉકેલોનું વિશ્લેષણ કરો જો તમે તેમને ઉકેલી શકતા નથી અને તમે પરીક્ષામાં સરળતાથી તેનો સામનો કરવાનું શીખી શકશો!

ચાલો ઘાતાંક તરીકે “યોગ્ય” સંખ્યાઓની શ્રેણીને વિસ્તૃત કરવાનું ચાલુ રાખીએ.

હવે વિચાર કરીએ તર્કસંગત સંખ્યાઓ.કઈ સંખ્યાઓને તર્કસંગત કહેવામાં આવે છે?

જવાબ: દરેક વસ્તુ જે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં અને પૂર્ણાંકો છે, અને.

તે શું છે તે સમજવા માટે "અપૂર્ણાંક ડિગ્રી", અપૂર્ણાંકને ધ્યાનમાં લો:

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને ઘાતમાં વધારીએ:

હવે ચાલો નિયમ વિશે યાદ કરીએ "ડિગ્રી થી ડિગ્રી":

પાવર મેળવવા માટે કઈ સંખ્યા વધારવાની જરૂર છે?

આ ફોર્મ્યુલેશન એ મી ડિગ્રીના મૂળની વ્યાખ્યા છે.

ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં: સંખ્યા () ની મી ઘાતનું મૂળ એ એક સંખ્યા છે જે, જ્યારે ઘાત સુધી વધારવામાં આવે છે, તે બરાબર છે.

એટલે કે, મી પાવરનું મૂળ એ પાવર વધારવાની વ્યસ્ત ક્રિયા છે: .

તે તારણ આપે છે કે. દેખીતી રીતે આ ખાસ કેસવિસ્તૃત કરી શકાય છે:.

હવે આપણે અંશ ઉમેરીએ છીએ: તે શું છે? પાવર-ટુ-પાવર નિયમનો ઉપયોગ કરીને જવાબ મેળવવા માટે સરળ છે:

પરંતુ આધાર કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે છે? છેવટે, બધી સંખ્યાઓમાંથી રુટ કાઢી શકાતો નથી.

કોઈ નહીં!

ચાલો નિયમ યાદ રાખીએ: કોઈ પણ સંખ્યાને સમ ઘાતમાં વધારીને ધન સંખ્યા છે. એટલે કે, નકારાત્મક સંખ્યાઓમાંથી પણ મૂળ કાઢવાનું અશક્ય છે!

આનો અર્થ એ છે કે આવી સંખ્યાઓને સમ છેદ સાથે અપૂર્ણાંક શક્તિ સુધી વધારી શકાતી નથી, એટલે કે, અભિવ્યક્તિનો કોઈ અર્થ નથી.

અભિવ્યક્તિ વિશે શું?

પરંતુ અહીં એક સમસ્યા ઊભી થાય છે.

સંખ્યાને અન્ય, ઘટાડી શકાય તેવા અપૂર્ણાંકના સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, અથવા.

અને તે તારણ આપે છે કે તે અસ્તિત્વમાં છે, પરંતુ અસ્તિત્વમાં નથી, પરંતુ આ એક જ સંખ્યાના માત્ર બે અલગ અલગ રેકોર્ડ છે.

અથવા બીજું ઉદાહરણ: એકવાર, પછી તમે તેને લખી શકો છો. પરંતુ જો આપણે સૂચકને અલગ રીતે લખીશું, તો આપણે ફરીથી મુશ્કેલીમાં આવીશું: (એટલે ​​​​કે, અમને સંપૂર્ણપણે અલગ પરિણામ મળ્યું!).

આવા વિરોધાભાસને ટાળવા માટે, અમે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે માત્ર હકારાત્મક આધાર ઘાતાંક.

તેથી જો:

• - કુદરતી સંખ્યા;
• - પૂર્ણાંક;

ઉદાહરણો:

તર્કસંગત ઘાતાંક મૂળ સાથે અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરવા માટે ખૂબ જ ઉપયોગી છે, ઉદાહરણ તરીકે:

પ્રેક્ટિસ કરવા માટે 5 ઉદાહરણો

તાલીમ માટે 5 ઉદાહરણોનું વિશ્લેષણ

1. ડિગ્રીના સામાન્ય ગુણધર્મો વિશે ભૂલશો નહીં:

2. અહીં આપણે યાદ રાખીએ છીએ કે આપણે ડિગ્રીઓનું કોષ્ટક શીખવાનું ભૂલી ગયા છીએ:

છેવટે - આ છે અથવા. ઉકેલ આપોઆપ મળી જાય છે: .

સારું, હવે સૌથી મુશ્કેલ ભાગ આવે છે. હવે અમે તેને આકૃતિ કરીશું અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી.

અહીં ડિગ્રીના તમામ નિયમો અને ગુણધર્મો અપવાદ સિવાય, તર્કસંગત ઘાતાંકવાળી ડિગ્રી માટે બરાબર સમાન છે.

છેવટે, વ્યાખ્યા દ્વારા, અતાર્કિક સંખ્યાઓ એવી સંખ્યાઓ છે જે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાતી નથી, જ્યાં અને પૂર્ણાંકો છે (એટલે ​​​​કે, અતાર્કિક સંખ્યાઓ તર્કસંગત સંખ્યાઓ સિવાયની બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે).

પ્રાકૃતિક, પૂર્ણાંક અને તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીનો અભ્યાસ કરતી વખતે, દરેક વખતે અમે ચોક્કસ “ઇમેજ”, “સામાન્યતા” અથવા વધુ પરિચિત શબ્દોમાં વર્ણન બનાવીએ છીએ.

ઉદાહરણ તરીકે, કુદરતી ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી એ સંખ્યા છે જે પોતાના દ્વારા ઘણી વખત ગુણાકાર કરવામાં આવે છે;

...શૂન્ય શક્તિની સંખ્યા- આ તે છે, જેમ કે, એક નંબર પોતે એક વાર ગુણાકાર કરે છે, એટલે કે, તેઓએ હજી સુધી તેનો ગુણાકાર કરવાનું શરૂ કર્યું નથી, જેનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા પોતે પણ હજી દેખાઈ નથી - તેથી પરિણામ ફક્ત એક ચોક્કસ "ખાલી સંખ્યા" છે , એટલે કે સંખ્યા;

...નકારાત્મક પૂર્ણાંક ડિગ્રી- એવું લાગે છે કે કેટલીક "વિપરીત પ્રક્રિયા" આવી છે, એટલે કે, સંખ્યા પોતે ગુણાકાર કરવામાં આવી ન હતી, પરંતુ વિભાજિત થઈ હતી.

માર્ગ દ્વારા, વિજ્ઞાનમાં જટિલ સૂચક સાથેની ડિગ્રીનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે, એટલે કે, સૂચક પણ નથી વાસ્તવિક સંખ્યા.

પરંતુ શાળામાં અમે આવી મુશ્કેલીઓ વિશે વિચારતા નથી; તમને સંસ્થામાં આ નવા ખ્યાલોને સમજવાની તક મળશે.

જ્યાં અમને ખાતરી છે કે તમે જશો! (જો તમે આવા ઉદાહરણો ઉકેલતા શીખો તો :))

દાખ્લા તરીકે:

તમારા માટે નક્કી કરો:

ઉકેલોનું વિશ્લેષણ:

1. ચાલો પાવરને પાવર વધારવા માટેના સામાન્ય નિયમથી શરૂઆત કરીએ:

હવે સૂચક જુઓ. શું તે તમને કંઈપણ યાદ અપાવતું નથી? ચાલો વર્ગોના તફાવતના સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટેના સૂત્રને યાદ કરીએ:

આ બાબતે,

તે તારણ આપે છે કે:

જવાબ: .

2. અમે ઘાતાંકમાં અપૂર્ણાંકને સમાન સ્વરૂપમાં ઘટાડીએ છીએ: કાં તો બંને દશાંશ અથવા બંને સામાન્ય. અમને મળે છે, ઉદાહરણ તરીકે:

જવાબ: 16

3. કંઈ ખાસ નથી, અમે ડિગ્રીના સામાન્ય ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

ઉચ્ચ સ્તર

ડિગ્રીનું નિર્ધારણ

ડિગ્રી એ ફોર્મની અભિવ્યક્તિ છે: , જ્યાં:

• — ડિગ્રી આધાર;
• - ઘાતાંક.

કુદરતી સૂચક સાથે ડિગ્રી (n = 1, 2, 3,...)

સંખ્યાને પ્રાકૃતિક શક્તિ n સુધી વધારવાનો અર્થ એ છે કે સંખ્યાને પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરવો:

પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી (0, ±1, ±2,...)

જો ઘાત છે હકારાત્મક પૂર્ણાંકસંખ્યા:

બાંધકામ શૂન્ય ડિગ્રી સુધી:

અભિવ્યક્તિ અનિશ્ચિત છે, કારણ કે, એક તરફ, કોઈપણ ડિગ્રી આ છે, અને બીજી બાજુ, મી ડિગ્રી સુધીની કોઈપણ સંખ્યા આ છે.

જો ઘાત છે નકારાત્મક પૂર્ણાંકસંખ્યા:

(કારણ કે તમે વિભાજન કરી શકતા નથી).

શૂન્ય વિશે ફરી એકવાર: અભિવ્યક્તિ કિસ્સામાં વ્યાખ્યાયિત નથી. તો પછી.

ઉદાહરણો:

તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિ

• - કુદરતી સંખ્યા;
• - પૂર્ણાંક;

ઉદાહરણો:

ડિગ્રીના ગુણધર્મો

સમસ્યાઓ હલ કરવાનું સરળ બનાવવા માટે, ચાલો સમજવાનો પ્રયાસ કરીએ: આ ગુણધર્મો ક્યાંથી આવી? ચાલો તેમને સાબિત કરીએ.

ચાલો જોઈએ: શું છે અને?

એ-પ્રાયોરી:

તેથી, આ અભિવ્યક્તિની જમણી બાજુએ આપણને નીચેનું ઉત્પાદન મળે છે:

પરંતુ વ્યાખ્યા પ્રમાણે તે ઘાતાંક સાથેની સંખ્યાની શક્તિ છે, એટલે કે:

Q.E.D.

ઉદાહરણ : અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ઉકેલ : .

ઉદાહરણ : અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ઉકેલ : આપણા નિયમમાં એ નોંધવું જરૂરી છે જરૂરીત્યાં સમાન કારણો હોવા જોઈએ. તેથી, અમે શક્તિઓને આધાર સાથે જોડીએ છીએ, પરંતુ તે એક અલગ પરિબળ રહે છે:

બીજી મહત્વપૂર્ણ નોંધ: આ નિયમ - માત્ર શક્તિના ઉત્પાદન માટે!

કોઈ પણ સંજોગોમાં તમે તે લખી શકતા નથી.

અગાઉની મિલકતની જેમ, ચાલો ડિગ્રીની વ્યાખ્યા તરફ વળીએ:

ચાલો આ કાર્યને આ રીતે ફરીથી ગોઠવીએ:

તે તારણ આપે છે કે અભિવ્યક્તિ પોતે જ વખતથી ગુણાકાર થાય છે, એટલે કે, વ્યાખ્યા અનુસાર, આ સંખ્યાની મી શક્તિ છે:

સારમાં, આને "સૂચકને કૌંસમાંથી બહાર કાઢવું" કહી શકાય. પરંતુ તમે આ ક્યારેય કરી શકતા નથી: !

ચાલો સંક્ષિપ્ત ગુણાકારના સૂત્રો યાદ રાખીએ: આપણે કેટલી વાર લખવા માગીએ છીએ? પરંતુ છેવટે, આ સાચું નથી.

નકારાત્મક આધાર સાથે પાવર.

આ બિંદુ સુધી આપણે ફક્ત તે કેવું હોવું જોઈએ તેની ચર્ચા કરી છે અનુક્રમણિકાડિગ્રી પરંતુ આધાર શું હોવો જોઈએ? ની સત્તાઓમાં કુદરતી સૂચક આધાર હોઈ શકે છે કોઈપણ સંખ્યા .

ખરેખર, આપણે કોઈપણ સંખ્યાને એકબીજા વડે ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ, પછી ભલે તે સકારાત્મક હોય, નકારાત્મક હોય અથવા તો હોય. ચાલો વિચાર કરીએ કે કયા ચિહ્નો ("" અથવા "") પાસે હકારાત્મક અને નકારાત્મક સંખ્યાઓની ડિગ્રી હશે?

ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા હકારાત્મક કે નકારાત્મક છે? એ? ?

પ્રથમ સાથે, બધું સ્પષ્ટ છે: ભલે આપણે એકબીજા દ્વારા કેટલી હકારાત્મક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીએ, પરિણામ હકારાત્મક હશે.

પરંતુ નકારાત્મક થોડી વધુ રસપ્રદ છે. અમને 6ઠ્ઠા ધોરણનો સરળ નિયમ યાદ છે: "માઈનસ માટે માઈનસ વત્તા આપે છે." એટલે કે, અથવા. પરંતુ જો આપણે () વડે ગુણાકાર કરીએ તો આપણને - મળે છે.

અને તેથી જાહેરાત અનંત: દરેક અનુગામી ગુણાકાર સાથે ચિહ્ન બદલાશે. અમે નીચેની રચના કરી શકીએ છીએ સરળ નિયમો:

1. સમડિગ્રી, - નંબર હકારાત્મક.
2. ઋણ સંખ્યા સુધી વધારી એકીડિગ્રી, - નંબર નકારાત્મક.
3. કોઈપણ ડિગ્રી માટે ધન સંખ્યા એ ધન સંખ્યા છે.
4. કોઈપણ શક્તિ માટે શૂન્ય એ શૂન્ય સમાન છે.

નીચેના અભિવ્યક્તિઓમાં શું ચિહ્ન હશે તે તમારા માટે નક્કી કરો:

શું તમે મેનેજ કર્યું? અહીં જવાબો છે:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

પ્રથમ ચાર ઉદાહરણોમાં, હું આશા રાખું છું કે બધું સ્પષ્ટ છે? અમે ફક્ત આધાર અને ઘાતાંકને જોઈએ છીએ અને યોગ્ય નિયમ લાગુ કરીએ છીએ.

ઉદાહરણ તરીકે 5) બધું લાગે છે તેટલું ડરામણી પણ નથી: છેવટે, આધાર શું સમાન છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી - ડિગ્રી સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે પરિણામ હંમેશા હકારાત્મક રહેશે. ઠીક છે, સિવાય કે જ્યારે આધાર શૂન્ય હોય. આધાર સમાન નથી, તે છે? દેખીતી રીતે નથી, ત્યારથી (કારણ કે).

ઉદાહરણ 6) હવે એટલું સરળ નથી. અહીં તમારે શોધવાની જરૂર છે કે જે ઓછું છે: અથવા? જો આપણે તે યાદ રાખીએ, તો તે સ્પષ્ટ થાય છે કે, જેનો અર્થ છે કે આધાર શૂન્ય કરતા ઓછો છે. એટલે કે, અમે નિયમ 2 લાગુ કરીએ છીએ: પરિણામ નકારાત્મક હશે.

અને ફરીથી આપણે ડિગ્રીની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

બધું હંમેશની જેમ છે - અમે ડિગ્રીની વ્યાખ્યા લખીએ છીએ અને તેમને એકબીજા દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ, તેમને જોડીમાં વિભાજીત કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:

છેલ્લા નિયમને જોઈએ તે પહેલાં, ચાલો થોડા ઉદાહરણો ઉકેલીએ.

અભિવ્યક્તિઓની ગણતરી કરો:

ઉકેલો :

જો આપણે આઠમી શક્તિને અવગણીએ, તો આપણે અહીં શું જોશું? ચાલો 7મા ધોરણનો કાર્યક્રમ યાદ કરીએ. તો, તમને યાદ છે? આ સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટેનું સૂત્ર છે, એટલે કે વર્ગોનો તફાવત!

અમને મળે છે:

ચાલો છેદને ધ્યાનથી જોઈએ. તે અંશના પરિબળોમાંના એક જેવું લાગે છે, પરંતુ શું ખોટું છે? શરતોનો ક્રમ ખોટો છે. જો તેઓ ઉલટાવી દેવામાં આવે, તો નિયમ 3 લાગુ થઈ શકે છે પરંતુ કેવી રીતે? તે તારણ આપે છે કે તે ખૂબ જ સરળ છે: છેદની સમાન ડિગ્રી અમને અહીં મદદ કરે છે.

જો તમે તેને વડે ગુણાકાર કરો તો કંઈ બદલાતું નથી, ખરું ને? પરંતુ હવે તે આના જેવું બહાર આવ્યું છે:

જાદુઈ રીતે શરતો સ્થાનો બદલી. આ "ઘટના" કોઈપણ અભિવ્યક્તિને સમાન અંશે લાગુ પડે છે: અમે કૌંસમાંના ચિહ્નોને સરળતાથી બદલી શકીએ છીએ. પરંતુ તે યાદ રાખવું અગત્યનું છે: બધા ચિહ્નો એક જ સમયે બદલાય છે!અમને ન ગમતી માત્ર એક ગેરલાભ બદલીને તમે તેને બદલી શકતા નથી!

ચાલો ઉદાહરણ પર પાછા જઈએ:

અને ફરીથી સૂત્ર:

તો હવે છેલ્લો નિયમ:

અમે તેને કેવી રીતે સાબિત કરીશું? અલબત્ત, હંમેશની જેમ: ચાલો ડિગ્રીના ખ્યાલને વિસ્તૃત કરીએ અને તેને સરળ બનાવીએ:

સારું, હવે ચાલો કૌંસ ખોલીએ. કુલ કેટલા અક્ષરો છે? ગુણક દ્વારા વખત - આ તમને શું યાદ અપાવે છે? આ ઓપરેશનની વ્યાખ્યા કરતાં વધુ કંઈ નથી ગુણાકાર: ત્યાં માત્ર ગુણક હતા. એટલે કે, આ, વ્યાખ્યા દ્વારા, ઘાતાંક સાથેની સંખ્યાની શક્તિ છે:

ઉદાહરણ:

અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી

સરેરાશ સ્તર માટે ડિગ્રી વિશેની માહિતી ઉપરાંત, અમે અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીનું વિશ્લેષણ કરીશું. ડિગ્રીના બધા નિયમો અને ગુણધર્મો અહીં અપવાદ સિવાય, તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી માટે બરાબર સમાન છે - છેવટે, વ્યાખ્યા દ્વારા, અતાર્કિક સંખ્યાઓ એવી સંખ્યાઓ છે જે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાતી નથી, જ્યાં અને પૂર્ણાંકો છે (એટલે ​​​​કે , અતાર્કિક સંખ્યાઓ પરિમાણીય સંખ્યાઓ સિવાયની બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે).

પ્રાકૃતિક, પૂર્ણાંક અને તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીનો અભ્યાસ કરતી વખતે, દરેક વખતે અમે ચોક્કસ “ઇમેજ”, “સામાન્યતા” અથવા વધુ પરિચિત શબ્દોમાં વર્ણન બનાવીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી એ સંખ્યા છે જે પોતાના દ્વારા ઘણી વખત ગુણાકાર કરવામાં આવે છે; શૂન્ય ઘાતની સંખ્યા એ છે, જેમ કે તે હતી, એક સંખ્યા પોતે એક વાર ગુણાકાર કરે છે, એટલે કે, તેઓએ હજી સુધી તેનો ગુણાકાર કરવાનું શરૂ કર્યું નથી, જેનો અર્થ છે કે સંખ્યા પોતે પણ હજી દેખાઈ નથી - તેથી પરિણામ ફક્ત ચોક્કસ છે "ખાલી સંખ્યા", એટલે કે સંખ્યા; પૂર્ણાંક નકારાત્મક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી - એવું લાગે છે કે કેટલીક "વિપરીત પ્રક્રિયા" આવી છે, એટલે કે, સંખ્યા પોતે ગુણાકાર કરવામાં આવી ન હતી, પરંતુ વિભાજિત થઈ હતી.

અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની કલ્પના કરવી અત્યંત મુશ્કેલ છે (જેમ કે 4-પરિમાણીય જગ્યાની કલ્પના કરવી મુશ્કેલ છે). તે તદ્દન ગાણિતિક પદાર્થ છે જે ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ડિગ્રીના ખ્યાલને સંખ્યાઓની સમગ્ર જગ્યા સુધી વિસ્તારવા માટે બનાવ્યો છે.

માર્ગ દ્વારા, વિજ્ઞાનમાં જટિલ ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે, એટલે કે, ઘાતાંક વાસ્તવિક સંખ્યા પણ નથી. પરંતુ શાળામાં અમે આવી મુશ્કેલીઓ વિશે વિચારતા નથી; તમને સંસ્થામાં આ નવા ખ્યાલોને સમજવાની તક મળશે.

તો આપણે જોઈએ તો શું કરવું અતાર્કિક સૂચકડિગ્રી? અમે તેનાથી છૂટકારો મેળવવા માટે અમારા શ્રેષ્ઠ પ્રયાસો કરી રહ્યા છીએ :)

દાખ્લા તરીકે:

તમારા માટે નક્કી કરો:

જવાબો:

1. ચાલો સ્ક્વેર ફોર્મ્યુલાના તફાવતને યાદ કરીએ. જવાબ:.
2. અમે અપૂર્ણાંકને સમાન સ્વરૂપમાં ઘટાડીએ છીએ: કાં તો બંને દશાંશ અથવા બંને સામાન્ય. અમને મળે છે, ઉદાહરણ તરીકે: .
3. કંઈ ખાસ નથી, અમે ડિગ્રીના સામાન્ય ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

વિભાગ અને મૂળભૂત સૂત્રોનો સારાંશ

ડીગ્રીફોર્મની અભિવ્યક્તિ કહેવાય છે: , જ્યાં:

પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી

એક ડિગ્રી જેની ઘાત એક કુદરતી સંખ્યા છે (એટલે ​​​​કે, પૂર્ણાંક અને ધન).

તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિ

ડિગ્રી, જેનો ઘાતાંક ઋણ અને અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે.

અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી

એક ડિગ્રી જેનો ઘાતાંક અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક અથવા મૂળ છે.

ડિગ્રીના ગુણધર્મો

ડિગ્રીની વિશેષતાઓ.

• ઋણ સંખ્યા સુધી વધારી સમડિગ્રી, - નંબર હકારાત્મક.
• ઋણ સંખ્યા સુધી વધારી એકીડિગ્રી, - નંબર નકારાત્મક.
• કોઈપણ ડિગ્રી માટે ધન સંખ્યા એ ધન સંખ્યા છે.
• શૂન્ય એ કોઈપણ શક્તિ સમાન છે.
• શૂન્ય ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા સમાન છે.

હવે તમારી પાસે શબ્દ છે...

તમને લેખ કેવો લાગ્યો? નીચે કોમેન્ટમાં લખો કે તમને તે ગમ્યું કે નહીં.

ડિગ્રી પ્રોપર્ટીઝનો ઉપયોગ કરીને તમારા અનુભવ વિશે અમને કહો.

કદાચ તમારી પાસે પ્રશ્નો છે. અથવા સૂચનો.

ટિપ્પણીઓમાં લખો.

અને તમારી પરીક્ષા માટે સારા નસીબ!

ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે: 5+5+5+5+5+5=5x6. આવી અભિવ્યક્તિ એ કહેવાય છે કે સમાન પદોનો સરવાળો ઉત્પાદનમાં ફોલ્ડ કરવામાં આવે છે. અને ઊલટું, જો આપણે આ સમાનતાને જમણેથી ડાબેથી વાંચીએ, તો આપણને જણાય છે કે આપણે સમાન પદોનો સરવાળો વિસ્તાર્યો છે. એ જ રીતે, તમે અનેક સમાનના ઉત્પાદનને સંકુચિત કરી શકો છો ગુણક 5x5x5x5x5x5=5 6.

એટલે કે, છ સરખા અવયવોને 5x5x5x5x5x5 ગુણાકાર કરવાને બદલે, તેઓ 5 6 લખે છે અને "પાંચથી છઠ્ઠી ઘાત" કહે છે.

અભિવ્યક્તિ 5 6 એ સંખ્યાની શક્તિ છે, જ્યાં:

5 - ડિગ્રી આધાર;

6 - ઘાત

ક્રિયાઓ કે જેના દ્વારા સમાન અવયવોનું ઉત્પાદન ઘટાડીને ઘાત કહેવામાં આવે છે શક્તિમાં વધારો.

સામાન્ય રીતે, આધાર “a” અને ઘાતાંક “n” સાથેની ડિગ્રી નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવે છે

સંખ્યા a ને ઘાત n સુધી વધારવાનો અર્થ એ છે કે n પરિબળનું ઉત્પાદન શોધવું, જેમાંથી દરેક a ની બરાબર છે.

જો ડિગ્રી “a” નો આધાર 1 ની બરાબર હોય, તો કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા n માટે ડિગ્રીનું મૂલ્ય 1 ની બરાબર હશે. ઉદાહરણ તરીકે, 1 5 =1, 1 256 =1

જો તમે નંબર “a” ને વધારીને કરો પ્રથમ ડિગ્રી, પછી આપણને નંબર a મળે છે: a 1 = a

જો તમે કોઈપણ સંખ્યાને આના પર વધારશો શૂન્ય ડિગ્રી, પછી ગણતરીના પરિણામે આપણને એક મળે છે. a 0 = 1

સંખ્યાની બીજી અને ત્રીજી શક્તિ વિશેષ માનવામાં આવે છે. તેઓ તેમના માટે નામો સાથે આવ્યા: બીજી ડિગ્રી કહેવામાં આવે છે નંબરનો વર્ગ કરો, ત્રીજું - સમઘનઆ નંબર.

કોઈપણ શક્તિને શક્તિ સુધી વધારી શકાય છે સંખ્યા- હકારાત્મક, નકારાત્મક અથવા શૂન્ય. આ કિસ્સામાં, નીચેના નિયમો લાગુ પડતા નથી:

જ્યારે ધન સંખ્યાની શક્તિ શોધીએ છીએ, ત્યારે આપણને મળે છે હકારાત્મક સંખ્યા.

કુદરતી શક્તિ માટે શૂન્યની ગણતરી કરતી વખતે, આપણને શૂન્ય મળે છે.

x મી · x n = x m + n

ઉદાહરણ તરીકે: 7 1.7 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

પ્રતિ સમાન પાયા સાથે સત્તાઓનું વિભાજન કરોઅમે આધારને બદલતા નથી, પરંતુ ઘાતાંક બાદબાકી :

x મી / x n = x m - n , ક્યાં, m > n,

ઉદાહરણ તરીકે: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

ગણતરી કરતી વખતે શક્તિને સત્તામાં વધારવીઅમે આધારને બદલતા નથી, પરંતુ ઘાતાંકને એકબીજા દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ.

(મી. પર ) એન = y m n

ઉદાહરણ તરીકે: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) એન = x n · y m ,

ઉદાહરણ તરીકે:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

અનુસાર ગણતરીઓ કરતી વખતે ઘાત અપૂર્ણાંક આપણે આપેલ ઘાતમાં અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને વધારીએ છીએ

(x/y)n = x n / y n

ઉદાહરણ તરીકે: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

ડિગ્રી ધરાવતા સમીકરણો સાથે કામ કરતી વખતે ગણતરીઓનો ક્રમ.

કૌંસ વિના અભિવ્યક્તિઓની ગણતરી કરતી વખતે, પરંતુ શક્તિઓ ધરાવે છે, સૌ પ્રથમ, ઘાતીકરણ હાથ ધરવામાં આવે છે, પછી ક્રિયાઓ ગુણાકારઅને વિભાજન, અને માત્ર પછી કામગીરી વધુમાંઅને બાદબાકી.

જો તમારે કૌંસ ધરાવતા અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરવાની જરૂર હોય, તો પ્રથમ કૌંસમાં ઉપર દર્શાવેલ ક્રમમાં ગણતરી કરો અને પછી બાકીની ક્રિયાઓ ડાબેથી જમણે તે જ ક્રમમાં કરો.

વ્યાવહારિક ગણતરીઓમાં ખૂબ જ વ્યાપક રીતે, ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે શક્તિઓના તૈયાર કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.