તર્કસંગત સંખ્યાઓની સિસ્ટમની અભિવ્યક્ત ભૌમિતિક રજૂઆત નીચે પ્રમાણે મેળવી શકાય છે.
ચોખા. 8. સંખ્યા અક્ષ
ચોક્કસ સીધી રેખા પર, "સંખ્યા અક્ષ" પર, અમે 0 થી 1 સુધીના સેગમેન્ટને ચિહ્નિત કરીએ છીએ (ફિગ. 8). આ એકમ સેગમેન્ટની લંબાઈને સેટ કરે છે, જે સામાન્ય રીતે કહીએ તો, મનસ્વી રીતે પસંદ કરી શકાય છે. ધન અને ઋણ પૂર્ણાંકો પછી સંખ્યાના અક્ષ પર સમાન અંતરના બિંદુઓના સમૂહ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, એટલે કે, સકારાત્મક સંખ્યાઓને જમણી બાજુએ ચિહ્નિત કરવામાં આવે છે, અને ઋણ સંખ્યાઓ બિંદુ 0 ની ડાબી બાજુએ હોય છે. છેદ સાથે સંખ્યાઓ દર્શાવવા માટે, આપણે દરેકને વિભાજીત કરીએ છીએ. સમાન ભાગોમાં એકમ લંબાઈના પરિણામી ભાગો; વિભાજન બિંદુઓ છેદ સાથે અપૂર્ણાંકનું પ્રતિનિધિત્વ કરશે. જો આપણે આ બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને અનુરૂપ મૂલ્યો માટે કરીએ છીએ, તો દરેક તર્કસંગત સંખ્યા સંખ્યાના અક્ષ પરના અમુક બિંદુ દ્વારા દર્શાવવામાં આવશે. અમે આ મુદ્દાઓને "તર્કસંગત" કહેવા માટે સંમત થઈશું; સામાન્ય રીતે, આપણે સમાનાર્થી તરીકે "તર્કસંગત સંખ્યા" અને "તર્કસંગત બિંદુ" શબ્દોનો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રકરણ I, § 1 માં, કુદરતી સંખ્યાઓ માટે અસમાનતા સંબંધ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો હતો. સંખ્યાત્મક અક્ષ પર આ સંબંધ નીચે પ્રમાણે પ્રતિબિંબિત થાય છે: જો કુદરતી સંખ્યા A એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા B કરતા ઓછી છે, પછી બિંદુ A એ બિંદુ B ની ડાબી બાજુએ આવેલું છે. કારણ કે નિર્દેશિત ભૌમિતિક સંબંધ તર્કસંગત બિંદુઓની કોઈપણ જોડી માટે સ્થાપિત થયેલ હોવાથી, અંકગણિત અસમાનતા સંબંધને આ રીતે સામાન્ય બનાવવાનો પ્રયાસ કરવો સ્વાભાવિક છે વિચારણા હેઠળના મુદ્દાઓ માટે આ ભૌમિતિક ક્રમને સાચવવા માટે. જો આપણે નીચેની વ્યાખ્યા સ્વીકારીએ તો આ શક્ય છે: અમે કહીએ છીએ કે તર્કસંગત સંખ્યા A પરિમેય સંખ્યા કરતા ઓછી છે અથવા જો તફાવત હકારાત્મક હોય તો સંખ્યા B સંખ્યા કરતા મોટી છે. તે (એટ) અનુસરે છે કે વચ્ચેના બિંદુઓ (સંખ્યાઓ) તે છે જે
એક સાથે પોઈન્ટની આવી દરેક જોડી, તેમની વચ્ચેના તમામ બિંદુઓ સાથે, તેને સેગમેન્ટ (અથવા સેગમેન્ટ) કહેવામાં આવે છે અને તેને સૂચિત કરવામાં આવે છે (અને એકલા મધ્યવર્તી બિંદુઓના સમૂહને અંતરાલ (અથવા અંતરાલ) કહેવામાં આવે છે), સૂચવવામાં આવે છે.
મૂળ 0 થી મનસ્વી બિંદુ A નું અંતર, ધન સંખ્યા તરીકે ગણવામાં આવે છે, તેને A નું સંપૂર્ણ મૂલ્ય કહેવામાં આવે છે અને તે પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.
"સંપૂર્ણ મૂલ્ય" ની વિભાવના નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે: જો , પછી જો પછી તે સ્પષ્ટ છે કે જો સંખ્યાઓ સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે, તો સમાનતા સાચી છે જો તેમની પાસે હોય વિવિધ ચિહ્નો, તે . આ બે પરિણામોને એકસાથે મૂકીને આપણે સામાન્ય અસમાનતા પર પહોંચીએ છીએ
જે સંકેતોને ધ્યાનમાં લીધા વિના સાચું છે
મૂળભૂત મહત્વની હકીકત નીચેના વાક્ય દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે: તર્કસંગત બિંદુઓ સંખ્યા રેખા પર દરેક જગ્યાએ ગીચતાથી સ્થિત છે. આ વિધાનનો અર્થ એ છે કે દરેક અંતરાલ, ભલે ગમે તેટલો નાનો હોય, તેમાં તર્કસંગત બિંદુઓ હોય છે. જણાવેલ વિધાનની માન્યતા ચકાસવા માટે, આટલી મોટી સંખ્યા લેવા માટે તે પૂરતું છે કે અંતરાલ ( આપેલ અંતરાલ કરતા ઓછો હશે; પછી ફોર્મના ઓછામાં ઓછા એક બિંદુ આપેલ અંતરાલની અંદર હશે. તેથી, ત્યાં સંખ્યાના અક્ષ પર એવો કોઈ અંતરાલ નથી (સૌથી નાનો પણ, કલ્પનીય), જેની અંદર કોઈ તર્કસંગત બિંદુઓ ન હોય. અહીંથી વધુ પરિણામ આવે છે: દરેક અંતરાલમાં અસંખ્ય તર્કસંગત બિંદુઓ હોય છે. ખરેખર, જો ચોક્કસ અંતરાલ સમાયેલ હોય માત્ર મર્યાદિત સંખ્યામાં તર્કસંગત બિંદુઓ, તો પછી આવા બે પડોશી બિંદુઓ દ્વારા રચાયેલા અંતરાલની અંદર, હવે તર્કસંગત બિંદુઓ રહેશે નહીં, અને આ હમણાં જ જે સાબિત થયું છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
“સમૂહ”, “તત્વ”, “તત્વનું સમૂહ સાથે સંબંધ” ની વિભાવનાઓ ગણિતની પ્રાથમિક વિભાવનાઓ છે. એક ટોળું- કોઈપણ વસ્તુઓનો કોઈપણ સંગ્રહ (સેટ). .
A એ સમૂહ B નો સબસેટ છે,જો સમૂહ A નું દરેક તત્વ સમૂહ Bનું તત્વ છે, એટલે કે. AÌB Û (ХОА Þ ХОВ).
બે સેટ સમાન છે, જો તેઓ સમાન ઘટકો ધરાવે છે. અમે સમૂહ-સૈદ્ધાંતિક સમાનતા વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ (સંખ્યાઓ વચ્ચે સમાનતા સાથે ગેરસમજ ન થવી): A=B Û AÌB Ù VA.
બે સેટનું યુનિયનઓછામાં ઓછા એક સેટ સાથે જોડાયેલા તત્વોનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે. KHOAÈV Û KHOAÚ KHOV.
આંતરછેદસમૂહ A અને સમૂહ B બંને સાથે જોડાયેલા તમામ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે: хОАХВ Û хОА Ù хОВ.
તફાવત A ના તમામ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે જે B સાથે સંબંધિત નથી, એટલે કે. xО A\B Û xОА ÙхПВ.
કાર્ટેશિયન ઉત્પાદનસેટ A અને B નો C=A´B એ તમામ સંભવિત જોડીનો સમૂહ છે ( x,y), જ્યાં પ્રથમ તત્વ એક્સદરેક જોડીમાં A, અને તેનું બીજું તત્વ હોય છે ખાતેવી નું છે.
કાર્ટેશિયન ઉત્પાદન A´B નો સબસેટ F કહેવાય છે મેપિંગ સેટ A થી B સેટ કરો , જો શરત પૂરી થાય છે: (" એક્સ OA)($! જોડી ( x.y)ÎF). તે જ સમયે તેઓ લખે છે: એ વી.
"ડિસ્પ્લે" અને "ફંક્શન" શબ્દો સમાનાર્થી છે. જો ("хОА)($! уУВ): ( x,y)ઓએફ, પછી તત્વ ખાતેÎ INકહેવાય છે માર્ગ એક્સ F દર્શાવતી વખતે અને તેને આ રીતે લખો: ખાતે=F( એક્સ). તત્વ એક્સતે જ સમયે છે પ્રોટોટાઇપ (શક્ય પૈકી એક) તત્વ y.
ચાલો વિચાર કરીએ તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ પ્ર - તમામ પૂર્ણાંકોનો સમૂહ અને તમામ અપૂર્ણાંકોનો સમૂહ (સકારાત્મક અને નકારાત્મક). દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને એક ભાગ તરીકે દર્શાવી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, 1 =4/3=8/6=12/9=…. આવી ઘણી રજૂઆતો છે, પરંતુ તેમાંથી માત્ર એક અફર છે .
IN કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાને અપૂર્ણાંક p/q તરીકે વિશિષ્ટ રીતે રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં pÎZ, qÎN, સંખ્યાઓ p, q કોપ્રાઈમ છે.
સમૂહના ગુણધર્મો Q:
1. અંકગણિત કામગીરી હેઠળ બંધ.સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર, વધારવાનું પરિણામ કુદરતી ડિગ્રી, તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ભાગાકાર (0 વડે ભાગાકાર સિવાય) એ તર્કસંગત સંખ્યા છે: ; ; 
.
2. વ્યવસ્થિતતા: (" x, yÎQ, x¹y)®( x
વધુમાં: 1) a>b, b>c Þ a>c; 2)a -બી.
3. ઘનતા. કોઈપણ બે તર્કસંગત સંખ્યાઓ વચ્ચે x, yત્યાં ત્રીજી તર્કસંગત સંખ્યા છે (ઉદાહરણ તરીકે, c= ):
("x, yÎQ, x<y)($cÎQ): ( એક્સ
સેટ Q પર તમે 4 અંકગણિત કામગીરી કરી શકો છો, રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો હલ કરી શકો છો, પરંતુ ફોર્મના ચતુર્ભુજ સમીકરણો x 2 =a, aÎ N હંમેશા સેટ Q માં ઉકેલી શકાય તેવું નથી.
પ્રમેય.કોઈ નંબર નથી xÎQ, જેનો વર્ગ 2 છે.
g આવો અપૂર્ણાંક રહેવા દો એક્સ=p/q, જ્યાં સંખ્યાઓ p અને q કોપ્રાઈમ છે અને એક્સ 2 =2. પછી (p/q) 2 =2. આથી,
(1) ની જમણી બાજુ 2 વડે વિભાજ્ય છે, જેનો અર્થ થાય છે કે p 2 એ એક સમાન સંખ્યા છે. આમ p=2n (n-પૂર્ણાંક). પછી q એ એક વિષમ સંખ્યા હોવી જોઈએ.
(1) પર પાછા ફરીએ છીએ, આપણી પાસે 4n 2 =2q 2 છે. તેથી q 2 =2n 2. એ જ રીતે, અમે ખાતરી કરીએ છીએ કે q 2 વડે વિભાજ્ય છે, એટલે કે. q એ સમ સંખ્યા છે. પ્રમેય contradiction.n દ્વારા સાબિત થાય છે
તર્કસંગત સંખ્યાઓની ભૌમિતિક રજૂઆત.કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળમાંથી 1, 2, 3... વખત જમણી બાજુએ એકમ સેગમેન્ટ મૂકીને, આપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને અનુરૂપ સંકલન રેખા પર બિંદુઓ મેળવીએ છીએ. તે જ રીતે ડાબી તરફ સ્થળાંતર કરીને, આપણે નકારાત્મક પૂર્ણાંકોને અનુરૂપ બિંદુઓ મેળવીએ છીએ. ચાલો લઈએ 1/q(q= 2,3,4 … ) એકમ સેગમેન્ટનો ભાગ અને અમે તેને મૂળની બંને બાજુએ મૂકીશું આરએકવાર અમે ફોર્મની સંખ્યાઓને અનુરૂપ રેખાના બિંદુઓ મેળવીએ છીએ ±p/q (pОZ, qON).જો p, q પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની તમામ જોડીમાંથી પસાર થાય છે, તો સીધી રેખા પર આપણી પાસે અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓને અનુરૂપ તમામ બિંદુઓ છે. આમ, સ્વીકૃત પદ્ધતિ અનુસાર, દરેક તર્કસંગત સંખ્યા સંકલન રેખા પરના એક બિંદુને અનુલક્ષે છે.
શું દરેક બિંદુ માટે એક જ તર્કસંગત સંખ્યાનો ઉલ્લેખ કરવો શક્ય છે? શું રેખા સંપૂર્ણ રીતે તર્કસંગત સંખ્યાઓથી ભરેલી છે?
તે તારણ આપે છે કે સંકલન રેખા પર એવા બિંદુઓ છે જે કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાઓને અનુરૂપ નથી. અમે એકમ સેગમેન્ટ પર સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવીએ છીએ. બિંદુ N એ તર્કસંગત સંખ્યાને અનુરૂપ નથી, કારણ કે જો ON=x- તર્કસંગત રીતે, પછી x 2 = 2, જે ન હોઈ શકે.
સીધી રેખા પર બિંદુ N જેવા અનંત ઘણા બધા બિંદુઓ છે. ચાલો સેગમેન્ટના તર્કસંગત ભાગો લઈએ x=ON,તે એક્સ. જો આપણે તેમને જમણી બાજુએ ખસેડીએ, તો પછી કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યા આમાંના કોઈપણ સેગમેન્ટના દરેક છેડાને અનુરૂપ નહીં હોય. ધારી રહ્યા છીએ કે સેગમેન્ટની લંબાઈ તર્કસંગત સંખ્યા દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે x=, અમને તે મળે છે x=- તર્કસંગત. આ ઉપર જે સાબિત થયું હતું તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
સંકલન રેખા પરના દરેક બિંદુ સાથે ચોક્કસ તર્કસંગત સંખ્યાને સાંકળવા માટે તર્કસંગત સંખ્યાઓ પૂરતી નથી.
ચાલો બાંધીએ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ R દ્વારા અનંત દશાંશ.
"કોર્નર" ડિવિઝન અલ્ગોરિધમ મુજબ, કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાને મર્યાદિત અથવા અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. જ્યારે p/q અપૂર્ણાંકના છેદમાં 2 અને 5 સિવાય કોઈ મુખ્ય પરિબળ નથી, એટલે કે. q=2 m ×5 k, પછી પરિણામ અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંક p/q=a 0,a 1 a 2 …a n હશે. અન્ય અપૂર્ણાંકમાં માત્ર અનંત દશાંશ વિસ્તરણ હોઈ શકે છે.
અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકને જાણીને, તમે તર્કસંગત સંખ્યા શોધી શકો છો જેની તે રજૂઆત છે. પરંતુ કોઈપણ મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંકને નીચેનામાંથી કોઈ એક રીતે અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:
a 0 ,a 1 a 2 …a n = a 0 ,a 1 a 2 …a n 000…=a 0 ,a 1 a 2 …(a n -1)999… (2)
ઉદાહરણ તરીકે, અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક માટે એક્સ=0,(9) આપણી પાસે 10 છે એક્સ=9,(9). જો આપણે મૂળ સંખ્યાને 10xમાંથી બાદ કરીએ, તો આપણને 9 મળશે એક્સ=9 અથવા 1=1,(0)=0,(9).
તમામ તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહ અને તમામ અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકના સમૂહ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત થાય છે જો આપણે સમયગાળામાં સંખ્યા 9 સાથે અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંકને અનુરૂપ અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક સાથે નંબર 0 સાથે ઓળખીએ. નિયમ મુજબ સમયગાળો (2).
ચાલો આવા અનંત સામયિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરવા માટે સંમત થઈએ કે જેમાં સમયગાળામાં નંબર 9 નથી. જો સમયગાળામાં 9 નંબર સાથેનો અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક તર્કની પ્રક્રિયામાં ઉદ્ભવે છે, તો અમે તેને સમયગાળામાં શૂન્ય સાથે અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક સાથે બદલીશું, એટલે કે. 1,999 ને બદલે... અમે 2,000 લઈશું...
અતાર્કિક સંખ્યાની વ્યાખ્યા.અનંત દશાંશ સામયિક અપૂર્ણાંકો ઉપરાંત, બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકો છે. ઉદાહરણ તરીકે, 0.1010010001... અથવા 27.1234567891011... (કુદરતી સંખ્યાઓ દશાંશ બિંદુ પછી સળંગ દેખાય છે).
±a 0, a 1 a 2 …a n … (3) સ્વરૂપના અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંકને ધ્યાનમાં લો.
આ અપૂર્ણાંક “+” અથવા “–” ચિહ્ન, બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક a 0 અને દશાંશ સ્થાનોનો ક્રમ a 1 , a 2 ,…, a n ,… (દશાંશ સ્થાનોના સમૂહમાં દસ સંખ્યાઓનો સમાવેશ કરીને નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે. : 0, 1, 2,…, 9).
ચાલો ફોર્મના કોઈપણ અપૂર્ણાંકને કૉલ કરીએ (3) વાસ્તવિક (વાસ્તવિક) સંખ્યા.જો અપૂર્ણાંક (3) ની સામે “+” ચિહ્ન હોય, તો તે સામાન્ય રીતે અવગણવામાં આવે છે અને 0 , a 1 a 2 …a n … (4) લખવામાં આવે છે.
અમે ફોર્મના નંબર પર કૉલ કરીશું (4) બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા,અને એવા કિસ્સામાં જ્યારે ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા a 0 , a 1 , a 2 , …, a n શૂન્યથી અલગ હોય, – હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા. જો "-" ચિહ્ન અભિવ્યક્તિમાં લેવામાં આવે છે (3), તો આ નકારાત્મક સંખ્યા છે.
તર્કસંગત અને અતાર્કિક સંખ્યાઓના સમૂહોનું જોડાણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ બનાવે છે (QÈJ=R). જો અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક (3) સામયિક છે, તો તે એક તર્કસંગત સંખ્યા છે, જ્યારે અપૂર્ણાંક બિન-સામયિક છે, તે અતાર્કિક છે.
બે બિન-ઋણાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ a=a 0 ,a 1 a 2 …a n …, b=b 0 ,b 1 b 2 …b n….કહેવાય છે સમાન(તેઓ લખેછે a=b), જો a n = b nખાતે n=0,1,2… સંખ્યા a એ સંખ્યા b કરતા ઓછી છે(તેઓ લખેછે a<b), જો ક્યાં તો a 0 અથવા a 0 = b 0અને આવી સંખ્યા છે મી,શું a k =b k (k=0,1,2,…m-1),એ એક મી , એટલે કે a Û (a 0 Ú ($mÎN: a k =b k (k= ), a m ). ખ્યાલ " એ>b».
મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યાઓની તુલના કરવા માટે, અમે ખ્યાલ રજૂ કરીએ છીએ " સંખ્યાનું મોડ્યુલસ a» . વાસ્તવિક સંખ્યાનું મોડ્યુલસ a=±a 0 , a 1 a 2 …a n …આ એક બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા છે જે સમાન અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે, પરંતુ "+" ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે, એટલે કે. ½ એ½= a 0 , a 1 a 2 …a n …અને ½ એ½³0. જો A -બિન-નકારાત્મક, bનકારાત્મક સંખ્યા છે, પછી ધ્યાનમાં લો a>b. જો બંને સંખ્યાઓ નકારાત્મક હોય ( a<0, b<0 ), તો આપણે ધારીશું કે: 1) a=b, જો ½ એ½ = ½ b½; 2) એ , જો ½ એ½ > ½ b½.
સેટની ગુણધર્મો આર:
આઈ. ઓર્ડરના ગુણધર્મો:
1. વાસ્તવિક સંખ્યાઓની દરેક જોડી માટે એઅને bત્યાં એક અને માત્ર એક સંબંધ છે: a=b, a
2. જો a
3. જો a , પછી ત્યાં c નંબર છે જેવો a< с .
II. સરવાળો અને બાદબાકીની કામગીરીના ગુણધર્મો:
4. a+b=b+a(સમુદાયિકતા).
5. (a+b)+c=a+(b+c) (સંગઠન).
6. a+0=a.
7. a+(-a)= 0.
8. થી a Þ a+c
III. ગુણાકાર અને ભાગાકાર કામગીરીના ગુણધર્મો:
9. a×b=b×a .
10. (a×b)×c=a×(b×c).
11. a×1=a.
12. а×(1/а)=1 (а¹0).
13. (a+b)×c = ac + bc(વિતરણ)
14. જો a અને c>0, પછી а×с
IV. આર્કિમીડિયન મિલકત("cÎR)($nÎN) : (n>c).
નંબર cÎR ગમે તે હોય, ત્યાં nÎN જેમ કે n>c છે.
વી. વાસ્તવિક સંખ્યાઓની સાતત્ય ગુણધર્મ.બે નોન-ખાલી સેટ AÌR અને BÌR કોઈપણ તત્વ જેવા રહેવા દો એ OA હવે રહેશે નહીં ( a£ b) કોઈપણ તત્વ bОB. પછી ડેડેકાઇન્ડનો સાતત્ય સિદ્ધાંતસંખ્યા c ના અસ્તિત્વનો દાવો કરે છે જેમ કે બધા માટે એОА અને bОB નીચેની સ્થિતિ ધરાવે છે: a£c£ b:
("AÌR, BÌR):(" aÎA, bÎB ® a£b)($cÎR): (" aÎA, bÎB® a£c£b).
અમે સંખ્યા રેખા પરના બિંદુઓના સમૂહ સાથે સમૂહ R ને ઓળખીશું, અને વાસ્તવિક સંખ્યાના બિંદુઓને કૉલ કરીશું.
વાસ્તવિક નંબરો II
§ 37 તર્કસંગત સંખ્યાઓની ભૌમિતિક રજૂઆત
દો Δ લંબાઈના એકમ તરીકે લેવાયેલ સેગમેન્ટ છે, અને l - મનસ્વી સીધી રેખા (ફિગ. 51). ચાલો તેના પર થોડો મુદ્દો લઈએ અને તેને O અક્ષરથી નિયુક્ત કરીએ.
દરેક સકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યા m / n ચાલો બિંદુને સીધી રેખા સાથે મેચ કરીએ l , ના અંતરે C ની જમણી બાજુએ પડેલો m / n લંબાઈના એકમો.
ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 2 એ બિંદુ A ને અનુરૂપ હશે, જે લંબાઈના 2 એકમોના અંતરે O ની જમણી બાજુએ પડેલો છે, અને નંબર 5/4 બિંદુ Bને અનુરૂપ હશે, O ની જમણી બાજુએ 5 ના અંતરે પડેલો છે. /4 લંબાઈના એકમો. દરેક નકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યા k / l ચાલો | ના અંતરે O ની ડાબી બાજુએ આવેલી સીધી રેખા સાથે બિંદુને સાંકળીએ k / l | લંબાઈના એકમો. તેથી, સંખ્યા - 3 લંબાઈના 3 એકમોના અંતરે O ની ડાબી બાજુએ આવેલા બિંદુ Cને અનુરૂપ હશે, અને સંખ્યા - 3/2 થી બિંદુ D, O ની ડાબી બાજુએ 3/ ના અંતરે પડેલો હશે. લંબાઈના 2 એકમો. અંતે, અમે તર્કસંગત સંખ્યા "શૂન્ય" ને બિંદુ O સાથે સાંકળીએ છીએ.
દેખીતી રીતે, પસંદ કરેલ પત્રવ્યવહાર સાથે, સમાન તર્કસંગત સંખ્યાઓ (ઉદાહરણ તરીકે, 1/2 અને 2/4) સમાન બિંદુને અનુરૂપ હશે, અને રેખાના વિવિધ બિંદુઓ સમાન સંખ્યાઓને અનુરૂપ નહીં હોય. ચાલો ધારીએ કે સંખ્યા m / n બિંદુ P અનુલક્ષે છે, અને સંખ્યા k / l બિંદુ Q. પછી જો m / n > k / l , પછી બિંદુ P બિંદુ Q ની જમણી બાજુએ આવશે (ફિગ. 52, a); જો m / n < k / l , પછી બિંદુ P બિંદુ Q (ફિગ. 52, b) ની ડાબી બાજુએ સ્થિત થશે.
તેથી, કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાને ભૌમિતિક રીતે રેખા પરના કેટલાક સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત બિંદુ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. શું વિરુદ્ધ નિવેદન સાચું છે? શું રેખા પરના દરેક બિંદુને અમુક તર્કસંગત સંખ્યાની ભૌમિતિક છબી તરીકે ગણી શકાય? અમે આ મુદ્દાના નિર્ણયને § 44 સુધી મુલતવી રાખીશું.
કસરતો
296. નીચેની તર્કસંગત સંખ્યાઓને એક રેખા પર બિંદુઓ તરીકે દોરો:
3; - 7 / 2 ; 0 ; 2,6.
297. તે જાણીતું છે કે બિંદુ A (ફિગ. 53) સેવા આપે છે ભૌમિતિક છબીતર્કસંગત સંખ્યા 1/3. કઈ સંખ્યાઓ B, C અને D બિંદુઓને દર્શાવે છે?
298. એક રેખા પર બે બિંદુઓ આપવામાં આવે છે, જે તર્કસંગત સંખ્યાઓની ભૌમિતિક રજૂઆત તરીકે સેવા આપે છે એ અને b a + b અને a - b .
299. એક રેખા પર બે બિંદુઓ આપવામાં આવે છે, જે તર્કસંગત સંખ્યાઓની ભૌમિતિક રજૂઆત તરીકે સેવા આપે છે a + b અને a - b . આ રેખા પર સંખ્યાઓ દર્શાવતા બિંદુઓ શોધો એ અને b .
ટિકિટ 1
તર્કસંગતસંખ્યાઓ - p/q સ્વરૂપમાં લખેલી સંખ્યાઓ, જ્યાં q એ કુદરતી સંખ્યા છે. સંખ્યા, અને p એ પૂર્ણાંક છે.
બે સંખ્યાઓ a=p1/q1 અને b=p2/q2 સમાન કહેવાય જો p1q2=p2q1, અને p2q1 અને a>b જો p1q2
ટિકિટ 2
જટિલ સંખ્યાઓ.જટિલ સંખ્યાઓ
બીજગણિતીય સમીકરણ એ ફોર્મનું સમીકરણ છે: P n ( x) = 0, જ્યાં P n ( x) - બહુપદી n- ઓહ ડિગ્રી. વાસ્તવિક સંખ્યાઓ એક દંપતિ xઅને ખાતેચાલો તેને આદેશિત કહીએ જો તે સૂચવવામાં આવે કે તેમાંથી કોને પ્રથમ ગણવામાં આવે છે અને કોને બીજા ગણવામાં આવે છે. ઓર્ડર કરેલ જોડી સંકેત: ( x, y). જટિલ સંખ્યા એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓની મનસ્વી ક્રમાંકિત જોડી છે. z = (x, y- જટિલ સંખ્યા.
x- વાસ્તવિક ભાગ z, y- કાલ્પનિક ભાગ z. જો x= 0 અને y= 0, પછી z= 0. z 1 = (x 1 , y 1) અને z 2 = (x 2 , y 2) ને ધ્યાનમાં લો.
વ્યાખ્યા 1. z 1 = z 2 જો x 1 = x 2 અને y 1 = y 2.
વિભાવનાઓ > અને< для комплексных чисел не вводятся.
જટિલ સંખ્યાઓનું ભૌમિતિક પ્રતિનિધિત્વ અને ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપ.
M( x, y) « z = x + iy.
½ OM½ = r =½ z½ = .(ચિત્ર)
r એ જટિલ સંખ્યાનું મોડ્યુલસ કહેવાય છે z.
j એ જટિલ સંખ્યાની દલીલ કહેવાય છે z. તે ± 2p ની ચોકસાઈ સાથે નક્કી કરવામાં આવે છે n.
એક્સ= rcosj, y= rsinj.
z= x+ iy= r(cosj + i sinj) જટિલ સંખ્યાઓનું ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપ છે.
વિધાન 3.
= (કોસ + iપાપ),
= (કોસ + iપાપ), પછી
= (cos(+ ) + iપાપ(+ )),
= (cos(- )+ i sin(- )) ¹0 પર.
વિધાન 4.
જો z=r(cosj+ i sinj), પછી "કુદરતી n:
= (cos nj + iપાપ એનજે),
ટિકિટ 3
દો એક્સ- ઓછામાં ઓછા એક નંબર (બિન-ખાલી સમૂહ) ધરાવતો સંખ્યાત્મક સમૂહ.
xÎ એક્સ- xમાં સમાયેલ છે એક્સ. ; xÏ એક્સ- xસંબંધ નથી એક્સ.
વ્યાખ્યા: એક ટોળું એક્સજો સંખ્યા હોય તો ઉપર (નીચે) બાઉન્ડેડ કહેવાય છે એમ(m) જેમ કે કોઈપણ માટે x Î એક્સઅસમાનતા ધરાવે છે x £ એમ (x ³ m), જ્યારે નંબર એમસમૂહની ઉપલી (નીચલી) બાઉન્ડ કહેવાય છે એક્સ. એક ટોળું એક્સજો $ ઉપર બંધાયેલ હોવાનું કહેવાય છે એમ, " x Î એક્સ: x £ એમ. વ્યાખ્યાઉપરથી અમર્યાદિત સેટ. એક ટોળું એક્સઉપરથી અનબાઉન્ડ હોવાનું કહેવાય છે જો " એમ $ x Î એક્સ: x> M. વ્યાખ્યાએક ટોળું એક્સબાઉન્ડેડ કહેવાય છે જો તે ઉપર અને નીચે બંધાયેલ હોય, એટલે કે $ એમ, mઆવા કે " x Î એક્સ: m £ x £ એમ.ઓગ્રે mn-va ની સમકક્ષ વ્યાખ્યા: સેટ એક્સબાઉન્ડેડ કહેવાય છે જો $ એ > 0, " x Î એક્સ: ½ x½£ એ. વ્યાખ્યા: ઉપર બંધાયેલ સમૂહની સૌથી નાની ઉપલી સીમા એક્સતેને તેનું સર્વોચ્ચ કહેવામાં આવે છે, અને તેને Sup તરીકે સૂચવવામાં આવે છે એક્સ
(સર્વોચ્ચ). =સુપ એક્સ. એ જ રીતે, કોઈ ચોક્કસ નક્કી કરી શકે છે
નીચેની ધાર. સમકક્ષ વ્યાખ્યાચોક્કસ ઉપલા સીમા:
સંખ્યાને સમૂહનો સર્વોચ્ચ કહેવામાં આવે છે એક્સ, જો: 1) " x Î એક્સ: એક્સ£ (આ સ્થિતિ દર્શાવે છે કે તે ઉપરની સીમાઓમાંથી એક છે). 2) " < $ x Î એક્સ: એક્સ> (આ સ્થિતિ દર્શાવે છે કે -
ઉપલા ચહેરાઓમાંથી સૌથી નાનો).
સુપ્રિ એક્સ= :
1. " xÎ એક્સ: x £ .
2. " < $ xÎ એક્સ: x> .
inf એક્સ(infimum) ચોક્કસ infimum છે. ચાલો પ્રશ્ન ઉઠાવીએ: શું દરેક બાઉન્ડેડ સેટમાં ચોક્કસ ધાર હોય છે?
ઉદાહરણ: એક્સ= {x: x>0) પાસે સૌથી નાની સંખ્યા નથી.
ચોક્કસ ટોચ (નીચે) ચહેરાના અસ્તિત્વ પર પ્રમેય. કોઈપણ બિન-ખાલી ઉપલી (નીચલી) મર્યાદા xÎR ચોક્કસ ઉપલા (નીચલા) ચહેરા ધરાવે છે.
સંખ્યાત્મક સંખ્યાઓની અલગતા પર પ્રમેય:▀▀▄
ટિકિટ 4
જો દરેક કુદરતી સંખ્યા n (n=1,2,3..) ને અનુરૂપ સંખ્યા Xn સોંપવામાં આવે, તો તેઓ કહે છે કે તે વ્યાખ્યાયિત અને આપવામાં આવે છે અનુગામી x1, x2..., લખો (Xn), (Xn). ઉદાહરણ: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,...મર્યાદાનું નામ. ઉપરથી (નીચેથી) જો સંખ્યાત્મક ધરી પર પડેલા બિંદુઓનો સમૂહ x=x1,x2,…xn ઉપરથી મર્યાદિત હોય (નીચેથી), એટલે કે. $C:Xn£C" ક્રમ મર્યાદા:સંખ્યા a એ ક્રમની મર્યાદા કહેવાય છે જો કોઈપણ ε>0 $ : N (N=N/(ε)). "n>N અસમાનતા |Xn-a|<ε. Т.е. – ε
ખાતે n>એન.
મર્યાદાની વિશિષ્ટતાબાઉન્ડેડ અને કન્વર્જન્ટ ક્રમ
પ્રોપર્ટી1: કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સની માત્ર એક મર્યાદા હોય છે.
પુરાવો: વિરોધાભાસ દ્વારા ચાલો એઅને bકન્વર્જન્ટ સિક્વન્સની મર્યાદા (x n), અને a એ b ની બરાબર નથી. અનંત સિક્વન્સ (α n )=(x n -a) અને (β n )=(x n -b) ને ધ્યાનમાં લો. કારણ કે બધા તત્વો b.m. સિક્વન્સ (α n -β n ) ની સમાન કિંમત b-a છે, પછી b.m ની મિલકત દ્વારા. ક્રમ b-a=0 એટલે કે b=a અને અમે એક વિરોધાભાસ પર પહોંચ્યા છીએ.
પ્રોપર્ટી2: કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ બંધાયેલ છે.
પુરાવો: એક કન્વર્જન્ટ સિક્વન્સ (x n) ની મર્યાદા હોવા દો, પછી α n =x n -a એ b.m નું એક તત્વ છે. સિક્વન્સ ચાલો કોઈપણ ε>0 લઈએ અને N ε: / x n -a/ શોધવા માટે તેનો ઉપયોગ કરીએ< ε при n>એન ε . ચાલો ε+/а/, /х1/, /х2/,…,/х N ε-1 /,х N ε નંબરોમાંથી સૌથી મોટી b દ્વારા દર્શાવીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે / x n /
નોંધ: બાઉન્ડેડ સિક્વન્સ કન્વર્જન્ટ ન હોઈ શકે.
ટિકિટ 6
ક્રમ a n ને અમર્યાદિત કહેવાય છે, જેનો અર્થ છે કે આ ક્રમ પછીની મર્યાદા 0 છે.
a n – અનંત Û lim(n ® + ¥)a n =0 એટલે કે, કોઈપણ ε>0 માટે N અસ્તિત્વમાં છે જેમ કે કોઈપણ n>N |a n |<ε
પ્રમેય.અનંતનો સરવાળો એ અનંત છે.
a n b n ®infinitesimal Þ a n +b n – અનંત.
પુરાવો.
a n - અનંત Û "ε>0 $ N 1:" n >N 1 Þ |a n |<ε
b n - અનંત Û "ε>0 $ N 2:" n >N 2 Þ |b n |<ε
ચાલો N=max(N 1 ,N 2 ) સેટ કરીએ, પછી કોઈપણ n>N Þ માટે બંને અસમાનતાઓ એકસાથે સંતુષ્ટ થાય છે:
|a n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>એન
ચાલો આપણે "ε 1 >0 સેટ કરીએ, ε=ε 1 /2 સેટ કરીએ. પછી કોઈપણ ε 1 >0 $N=maxN 1 N 2 માટે: " n>N Þ |a n +b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
એ n + b n – અનંત છે.
પ્રમેયઅનંતનું ઉત્પાદન એ અનંત છે.
a n ,b n – અનંત Þ a n b n – અનંત.
પુરાવા:
ચાલો "ε 1 >0 સેટ કરીએ, ε=Öε 1 મુકો, કારણ કે આ ε>0 માટે a n અને b n અનંત છે, પછી N 1 છે: " n>N Þ |a n |<ε
$N 2: " n>N 2 Þ |b n |<ε
ચાલો N=max (N 1 ;N 2) લઈએ, પછી "n>N = |a n |<ε
|a n b n |=|a n ||b n |<ε 2 =ε 1
" ε 1 >0 $N:"n>N |a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n =0 Û a n b n – અનંત, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.
પ્રમેયબાઉન્ડેડ ક્રમ અને અનંત ક્રમનું ઉત્પાદન એ અનંત ક્રમ છે
અને n એ બાઉન્ડેડ ક્રમ છે
a n – અનંત ક્રમ Þ a n a n – અનંત ક્રમ.
સાબિતી: કારણ કે n એ Û $С>0 સાથે બંધાયેલ છે: "nО એનÞ |a n |£C
ચાલો સેટ કરીએ "ε 1 >0; સેટ કરો ε=ε 1 /C; કારણ કે n એ અનંત છે, પછી ε>0 $N:"n>NÞ |a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε 1 >0 $N: "n>N Þ |a n a n |=Cε=ε 1 Þ lim(n ® ¥) a n a n = 0Û a n a n – અનંત ક્રમ કહેવાય છે બીબીપી(ક્રમમાં) જો તેઓ લખે છે. દેખીતી રીતે, BBP મર્યાદિત નથી. વિરુદ્ધ નિવેદન સામાન્ય રીતે ખોટું છે (ઉદાહરણ). જો મોટા લોકો માટે nસભ્યો, પછી આનો અર્થ એ થાય કે જલદી લખો. પ્રવેશનો અર્થ એ જ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે અનંત મોટા સિક્વન્સ a n =2 n ;
b n =(-1) n 2 n ;c n =-2 n વ્યાખ્યા(અનંત મોટા સિક્વન્સ) 1) lim(n ® ¥)a n =+¥, જો "ε>0$N:"n>N Þ a n >ε જ્યાં ε મનસ્વી રીતે નાનો હોય. 2) lim(n ® ¥)a n =-¥, જો "ε>0 $N:"n>N Þ a n<-ε 3) લિમ(n ® ¥)a n =¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |a n |>ε ટિકિટ 7 પ્રમેય “મોનોટોનના કન્વર્જન્સ પર. છેલ્લા" કોઈપણ મોનોટોનિક સિક્વન્સ કન્વર્જન્ટ હોય છે, એટલે કે. મર્યાદા છે. દસ્તાવેજક્રમ (xn) ને એકવિધ રીતે વધવા દો. અને ઉપરથી મર્યાદિત છે. X – સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ જે સંમેલન અનુસાર આ ક્રમના તત્વને સ્વીકારે છે. પ્રમેય સંખ્યામાં મર્યાદિત છે, તેથી, અનુસાર પ્રમેય તેની મર્યાદિત ચોક્કસ ઉપલી મર્યાદા છે. ફેસ supX xn®supX (અમે supX ને x* દ્વારા દર્શાવીએ છીએ). કારણ કે x* ચોક્કસ ટોચ. ચહેરો, પછી xn£x* " n. n>m માટે બીજી અસમાનતા x*-e£xn£x*+e ½xn-x*1 ની સમકક્ષ છે ટિકિટ 8 ઘાતાંક અથવા સંખ્યા e આર-રોમન નંબર સામાન્ય શબ્દ સાથેનો ક્રમ xn=(1+1/n)^n (પાવર n સુધી)(1) . તે તારણ આપે છે કે ક્રમ (1) એકવિધ રીતે વધે છે, ઉપરથી બંધાયેલ છે અને કન્વર્જન્ટ છે; આ ક્રમની મર્યાદાને ઘાતાંકીય કહેવામાં આવે છે અને તે પ્રતીક e»2.7128... દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. નંબર ઇ ટિકિટ 9 નેસ્ટેડ સેગમેન્ટ્સનો સિદ્ધાંત સંખ્યા રેખાને સેગમેન્ટનો ક્રમ આપવા દો,,...,,... તદુપરાંત, આ વિભાગો નીચેનાને સંતોષે છે. શરત: 1) દરેક અનુગામી એક પાછલા એકમાં નેસ્ટેડ છે, એટલે કે. М, "n=1,2,…; 2) સેગમેન્ટ ®0 ની લંબાઈ જેમ n વધે છે, એટલે કે. લિમ(n®¥)(bn-an)=0. ઉલ્લેખિત સંતો સાથેના ક્રમને નેસ્ટેડ કહેવામાં આવે છે. પ્રમેયનેસ્ટેડ સેગમેન્ટ્સના કોઈપણ ક્રમમાં એક જ બિંદુ c હોય છે જે એકસાથે અનુક્રમના તમામ સેગમેન્ટ્સ સાથે સંબંધિત હોય છે, જેમાં તેઓ સંકુચિત હોય તેવા તમામ સેગમેન્ટ્સના સામાન્ય બિંદુ સાથે હોય છે. દસ્તાવેજ(an) - ઘટનાના વિભાગોના ડાબા છેડાઓનો ક્રમ. એકવિધ રીતે બિન-ઘટતી અને ઉપર સંખ્યા b1 દ્વારા બંધાયેલ છે. (bn) - જમણા છેડાઓનો ક્રમ એકવિધ રીતે વધતો નથી, તેથી ઘટનાના આ ક્રમ. કન્વર્જન્ટ, એટલે કે ત્યાં સંખ્યાઓ છે c1=lim(n®¥)an અને c2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - તેમની સામાન્ય કિંમત. ખરેખર, તેની મર્યાદા lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) શરત 2) o= lim(n®¥) છે (bn- an)=с2-с1=> с1=с2=с તે સ્પષ્ટ છે કે t.c તમામ વિભાગો માટે સામાન્ય છે, કારણ કે "n an£c£bn. હવે આપણે સાબિત કરીશું કે તે એક છે. ચાલો આપણે માની લઈએ કે $ એ બીજું c' છે જેની સાથે તમામ સેગમેન્ટ્સ સંકુચિત છે. જો આપણે કોઈપણ બિન-છેદતા સેગમેન્ટ્સ c અને c' લઈએ, તો એક બાજુએ સિક્વન્સ (an), (bn) ની આખી "પૂંછડી" બિંદુ c" ની નજીકમાં સ્થિત હોવી જોઈએ (કારણ કે an અને bn એકબીજા સાથે જોડાય છે. c અને c' વારાફરતી). વિરોધાભાસ સાચો છે. ટિકિટ 10 બોલ્ઝાનો-વેયરસ્ટ્રાસ પ્રમેય
કોઈપણ કટમાંથી. પછીથી તમે મેળાવડાને પસંદ કરી શકો છો. સબસિલેબસ 1. ક્રમ મર્યાદિત હોવાથી, પછી $m અને M, જેમ કે " m£xn£M, " n. D1= – સેગમેન્ટ જેમાં તમામ ટી-કી સિક્વન્સ આવેલા છે. ચાલો તેને અડધા ભાગમાં વહેંચીએ. ઓછામાં ઓછા એક અર્ધમાં અનંત હશે નંબર t-kપછી D2 એ અડધો ભાગ છે જ્યાં અનંત સંખ્યામાં t-k સિક્વન્સ આવેલા છે. અમે તેને અડધા ભાગમાં વહેંચીએ છીએ. ઓછામાં ઓછા એક અર્ધભાગમાં નેગ. D2 માં અનંત સંખ્યામાં ક્રમ છે. આ અડધા D3 છે. વિભાજન સેગમેન્ટ D3... વગેરે. અમે નેસ્ટેડ સેગમેન્ટ્સનો ક્રમ મેળવીએ છીએ, જેની લંબાઈ 0 હોય છે. નેસ્ટેડ સેગમેન્ટ્સ વિશેના નિયમ અનુસાર, $ એકમો. ટી-કા એસ, બિલાડી. સંબંધિત બધા સેગમેન્ટ્સ D1, કોઈપણ t-tu Dn1. સેગમેન્ટ D2 માં હું બિંદુ xn2 પસંદ કરું છું, જેથી n2>n1. સેગમેન્ટ D3 માં... વગેરે. પરિણામે, છેલ્લો શબ્દ xnkÎDk છે. ટિકિટ 11 ટિકિટ 12 મૂળભૂત નિષ્કર્ષમાં, અમે સંખ્યાત્મક ક્રમના કન્વર્જન્સ માટેના માપદંડના પ્રશ્નને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. ચાલો એટલે કે: અમને નીચેનું નિવેદન મળ્યું: જો ક્રમ કન્વર્જ થાય, તો શરત સંતોષાય છે કોચી: સંખ્યા ક્રમ કે જે કોચી સ્થિતિને સંતોષે છે તેને કહેવામાં આવે છે મૂળભૂત. તે સાબિત કરી શકાય છે કે વાતચીત પણ સાચી છે. આમ, ક્રમના કન્વર્જન્સ માટે અમારી પાસે માપદંડ (જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ) છે. કોચી માપદંડ. ક્રમમાં મર્યાદા હોય તે માટે, તે મૂળભૂત હોવું જરૂરી અને પૂરતું છે. કોચી માપદંડનો બીજો અર્થ.ક્રમ સભ્યો અને ક્યાં nઅને m- પર મર્યાદા વિના કોઈપણ આસન્ન. ટિકિટ 13 એકતરફી મર્યાદા. વ્યાખ્યા 13.11.નંબર એકાર્યની મર્યાદા કહેવાય છે y = f(x) ખાતે એક્સ, માટે પ્રયત્નશીલ x 0ડાબે (જમણે), જો એવું હોય તો | f(x)-A|<ε при x 0 - x< δ
(x - x 0< δ
). હોદ્દો: પ્રમેય 13.1 (મર્યાદાની બીજી વ્યાખ્યા).કાર્ય y=f(x)ખાતે ધરાવે છે X,માટે પ્રયત્નશીલ એક્સ 0, મર્યાદા બરાબર એ, જો અને માત્ર જો આ બિંદુએ તેની બંને એકતરફી મર્યાદા અસ્તિત્વમાં હોય અને સમાન હોય એ. પુરાવો. 1) જો, પછી અને માટે x 0 - x< δ, и для x - x 0< δ
|f(x) - એ|<ε, то есть 1) જો, તો δ 1 છે: | f(x) - એ| < ε при x 0 - x< δ 1 и δ 2: |f(x) - એ| < ε при x - x 0<
δ2. δ 1 અને δ 2 નંબરોમાંથી નાનાને પસંદ કરીને અને તેને δ તરીકે લઈએ, તો આપણે તે માટે મેળવીએ છીએ | x - x 0| < δ |f(x) - એ| < ε, то есть . Теорема доказана. ટિપ્પણી. મર્યાદા 13.7 ની વ્યાખ્યામાં સમાવિષ્ટ આવશ્યકતાઓની સમાનતા અને એકતરફી મર્યાદાના અસ્તિત્વ અને સમાનતા માટેની શરતો સાબિત થઈ હોવાથી, આ સ્થિતિને મર્યાદાની બીજી વ્યાખ્યા ગણી શકાય. વ્યાખ્યા 4 (હેઈન મુજબ) નંબર એફંક્શનની મર્યાદા કહેવાય છે જો દલીલ મૂલ્યોની કોઈપણ BBP, અનુરૂપ કાર્ય મૂલ્યોનો ક્રમ એ. વ્યાખ્યા 4 (કોચી અનુસાર). નંબર એજો કહેવાય છે. તે સાબિત થયું છે કે આ વ્યાખ્યાઓ સમાન છે. ટિકિટ 14 અને 15 એક બિંદુ પર કાર્ય મર્યાદાના ગુણધર્મો 1) જો કોઈ મર્યાદા હોય, તો તે એક જ છે 2) જો tka x0 માં ફંકશનની મર્યાદા f(x) lim(x®x0)f(x)=A lim(x®x0)g(x)£B=> પછી આ કિસ્સામાં $ એ સરવાળો, તફાવત, ઉત્પાદન અને ભાગની મર્યાદા છે. આ 2 કાર્યોનું વિભાજન. a) લિમ(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B b) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B c) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B ડી) લિમ(x®x0)C=C e) lim(x®x0)C*f(x)=C*A પ્રમેય 3. જો ( જવાબ એ ) પછી $ એ પડોશ કે જેમાં અસમાનતા છે >B (resp પ્રમેય 3 માં ધારી રહ્યા છીએ B=0, અમને મળે છે: જો ( જવાબ), પછી $ , તમામ બિંદુઓ પર, જે હશે >0 (ઉત્તર<0),
તે કાર્ય તેની મર્યાદાની નિશાની સાચવે છે. પ્રમેય 4(અસમાનતાની મર્યાદા પર પસાર થવા પર). જો કોઈ બિંદુના અમુક પડોશમાં (કદાચ આ બિંદુ સિવાય) સ્થિતિ સંતુષ્ટ હોય અને આ કાર્યોની બિંદુ પર મર્યાદા હોય, તો પછી. ભાષામાં અને. ચાલો ફંક્શનનો પરિચય આપીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે ટી ની નજીકમાં. પછી, કાર્યના સંરક્ષણ પરના પ્રમેય દ્વારા, આપણી પાસે તેની મર્યાદાનું મૂલ્ય છે, પરંતુ પ્રમેય 5.(એક મધ્યવર્તી કાર્યની મર્યાદા પર). (1) જો ટિકિટ 16 વ્યાખ્યા 14.1.કાર્ય y=α(x) ને અનંતમાં કહેવાય છે x→x 0,જો અનંત તત્વોના ગુણધર્મો. 1. બે અનંતનો સરવાળો અનંત છે. પુરાવો. જો α(x) અને β(x) – પર અનંત x→x 0, પછી ત્યાં δ 1 અને δ 2 અસ્તિત્વમાં છે જે | α(x)|<ε/2 и |β(x)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|<ε, то есть |(α(x)+β(x))-0|<ε. Следовательно, ટિપ્પણી. તે અનુસરે છે કે અનંત સિમિત સંખ્યાઓની કોઈપણ મર્યાદિત સંખ્યાનો સરવાળો અનંત છે. 2. જો α( એક્સ) – પર અનંત x→x 0, એ f(x) - ચોક્કસ પડોશમાં બંધાયેલ કાર્ય x 0, તે α(x)f(x) – પર અનંત x→x 0. પુરાવો. ચાલો એક નંબર પસંદ કરીએ એમજેમ કે | f(x)| કોરોલરી 1. સીમિત સંખ્યા દ્વારા અનંતનો ગુણાંક એ અનંત છે. કોરોલરી 2. બે કે તેથી વધુ અનંતનું ઉત્પાદન એ અનંત છે. કોરોલરી 3. અનંતનું એક રેખીય સંયોજન અનંત છે. 3. (મર્યાદાની ત્રીજી વ્યાખ્યા). જો , તો આ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત એ છે કે કાર્ય f(x) ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે f(x)=A+α(x), ક્યાં α(x) – પર અનંત x→x 0. પુરાવો. 1)
ચાલો પછી | f(x)-A|<ε при x→x 0, તે જ α(x)=f(x)-A- પર અનંત x→x 0 .આથી , f(x)=A+α(x). 2) ચાલો f(x)=A+α(x). પછી ટિપ્પણી. આમ, મર્યાદાની બીજી વ્યાખ્યા પ્રાપ્ત થાય છે, જે અગાઉના બેની સમકક્ષ છે. અનંત મોટા કાર્યો. વ્યાખ્યા 15.1. ફંક્શન f(x) એ x x 0 જો માટે અનંતપણે મોટું હોવાનું કહેવાય છે અનંત મોટા માટે, તમે અનંત નાના માટે સમાન વર્ગીકરણ સિસ્ટમ દાખલ કરી શકો છો, એટલે કે: 1. અનંત મોટા f(x) અને g(x) ને સમાન ક્રમના જથ્થા ગણવામાં આવે છે જો 2. જો , તો પછી f(x) ને g(x) કરતા ઉચ્ચ ક્રમમાં અનંતપણે મોટો ગણવામાં આવે છે. 3. અનંત રીતે મોટા f(x) ને અનંત મોટા g(x) ની તુલનામાં kth ક્રમની માત્રા કહેવામાં આવે છે. ટિપ્પણી. નોંધ કરો કે x કોઈપણ k માટે x k કરતા ઉચ્ચ ક્રમમાં અનંતપણે મોટો છે (a>1 અને x માટે), અને લોગ a x એ x k ની કોઈપણ શક્તિ કરતાં નીચા ક્રમમાં અનંતપણે મોટો છે. પ્રમેય 15.1. જો α(x) અનંતપણે x→x 0 જેટલું નાનું હોય, તો 1/α(x) x→x 0 જેટલું મોટું હોય. પુરાવો. ચાલો તે સાબિત કરીએ કે |x - x 0 |< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, |1/α(x)|>M. આનો અર્થ છે, એટલે કે, 1/α(x) x→x 0 જેટલો અનંત મોટો છે. ટિકિટ 17 પ્રમેય 14.7 (પ્રથમ નોંધપાત્ર મર્યાદા). . પુરાવો. મૂળ પર કેન્દ્ર સાથે એકમ ત્રિજ્યાના વર્તુળને ધ્યાનમાં લો અને ધારો કે કોણ AOB બરાબર x (રેડિયન) છે. ચાલો ત્રિકોણ AOB, સેક્ટર AOB અને ત્રિકોણ AOC ના ક્ષેત્રોની સરખામણી કરીએ, જ્યાં સીધી રેખા OS એ બિંદુ (1;0)માંથી પસાર થતા વર્તુળની સ્પર્શક છે. તે સ્પષ્ટ છે કે. આકૃતિઓના ક્ષેત્રો માટે અનુરૂપ ભૌમિતિક સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે આમાંથી મેળવીએ છીએ કે §1.1. વાસ્તવિક સંખ્યાઓ વાસ્તવિક સંખ્યાઓને બે વર્ગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: તર્કસંગત સંખ્યાઓનો વર્ગ અને અતાર્કિક સંખ્યાઓનો વર્ગ. તર્કસંગતએવી સંખ્યાઓ છે જેમાં ફોર્મ , જ્યાં હોય છે mઅને nકોપ્રાઈમ પૂર્ણાંકો છે, પરંતુ ઉદાહરણ તરીકે, નંબર વાસ્તવિક સંખ્યાઓને બીજગણિતમાં પણ વિભાજિત કરી શકાય છે - તર્કસંગત ગુણાંક સાથે બહુપદીના મૂળ (આમાં, ખાસ કરીને, બધી તર્કસંગત સંખ્યાઓ - સમીકરણના મૂળનો સમાવેશ થાય છે. તમામ પ્રાકૃતિક, પૂર્ણાંક અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સેટને નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે: એનઝેડ, આર §1.2. સંખ્યા રેખા પર વાસ્તવિક સંખ્યાઓની છબી. અંતરાલ ભૌમિતિક રીતે (સ્પષ્ટતા માટે), વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અનંત (બંને દિશામાં) સીધી રેખા પરના બિંદુઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. સંખ્યાત્મક
ધરી. આ હેતુ માટે, વિચારણા હેઠળની લીટી પર એક બિંદુ લેવામાં આવે છે (મૂળ બિંદુ 0 છે), હકારાત્મક દિશા સૂચવવામાં આવે છે, તીર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે (સામાન્ય રીતે જમણી બાજુએ) અને સ્કેલનું એક એકમ પસંદ કરવામાં આવે છે, જે અનિશ્ચિત સમય માટે બાજુ પર રાખવામાં આવે છે. બિંદુ 0 ની બંને બાજુએ. આ રીતે પૂર્ણાંકો દર્શાવવામાં આવે છે. એક દશાંશ સ્થાન સાથે સંખ્યા દર્શાવવા માટે, તમારે દરેક સેગમેન્ટને દસ ભાગો વગેરેમાં વિભાજીત કરવાની જરૂર છે. આમ, દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા સંખ્યા રેખા પરના બિંદુ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. દરેક બિંદુ પર પાછા પ્રતીક ચોખા. 1.1. સંખ્યા અક્ષ. ચોખા. 1.2. અંતરાલ ચોખા. 1.3. બંધ અંતરાલ "બધી સંખ્યાઓનો સમૂહ (બિંદુ)" શબ્દોને બાદ કરતા xજેમ કે", વગેરે, અમે આગળ નોંધીએ છીએ: §1.3. વાસ્તવિક સંખ્યાનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય (અથવા મોડ્યુલસ). દાખ્લા તરીકે, ભૌમિતિક અર્થ થાય છે બિંદુ અંતર aમૂળ માટે. જો આપણી પાસે બે બિંદુઓ હોય અને , તો તેમની વચ્ચેનું અંતર તરીકે રજૂ કરી શકાય સંપૂર્ણ જથ્થાના ગુણધર્મો. 1. વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે 2. સરવાળો અને તફાવતનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય નિરપેક્ષ મૂલ્યોના સરવાળા કરતાં વધી જતું નથી: 3. 4. 5. 6. અસમાનતા 7. અસમાનતા 8. §1.4. કેટલાક ખ્યાલો અને સંકેતો 1
. ખ્યાલ સેટગણિતમાં મૂળભૂત બાબતોમાંનું એક છે, પ્રારંભિક, સાર્વત્રિક - અને તેથી તેને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતું નથી. તે ફક્ત વર્ણવી શકાય છે (સમાનાર્થી સાથે બદલીને): તે એક સંગ્રહ છે, કેટલીક વસ્તુઓ, વસ્તુઓનો સંગ્રહ, કેટલીક લાક્ષણિકતાઓ દ્વારા સંયુક્ત. આ પદાર્થો કહેવામાં આવે છે તત્વોભીડ ઉદાહરણો: કિનારા પર રેતીના ઘણા દાણા, બ્રહ્માંડમાં તારાઓ, વર્ગખંડમાં વિદ્યાર્થીઓ, સમીકરણના મૂળ, સેગમેન્ટના બિંદુઓ. સમૂહો કે જેના તત્વો નંબરો છે તેને કહેવામાં આવે છે સંખ્યાત્મક સમૂહો. કેટલાક પ્રમાણભૂત સમૂહો માટે, વિશિષ્ટ સંકેત રજૂ કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, એન,ઝેડ,આર-§ 1.1 જુઓ. દો એ- ઘણા અને xતેનું તત્વ છે, પછી તેઓ લખે છે: જો xસમૂહના તત્વો માટે સામાન્ય હોદ્દો છે એ, પછી તેઓ લખે છે સમૂહ કહેવાય છે અંતિમ, જો તે ઘટકોની મર્યાદિત સંખ્યા ધરાવે છે. જો, સમૂહમાં N કઈ પણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા લેવામાં આવી હોય તો પણ એત્યાં N કરતાં વધુ તત્વો છે એકહેવાય છે અનંતસમૂહ: તેમાં અસંખ્ય તત્વો છે. જો સમૂહ દરેક તત્વ ^એઘણાની છે બી, તે બંને સમૂહોના ઘટકોનો સમૂહ એઅને બીકહેવાય છે એકીકરણસેટ કરે છે અને સૂચવવામાં આવે છે જો સમૂહોના તત્વો વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરી શકાય, તો તેઓ કહે છે કે આ સમૂહો સમકક્ષ છે અને લખે છે. 2
. ચાલો ત્યાં બે નિવેદનો, બે હકીકતો: અને પ્રવેશ: 
કુદરતી સંખ્યાની સાથે, તમે બીજી કુદરતી સંખ્યાને છેલ્લી અસમાનતામાં બદલી શકો છો 
,પછી
અને બિંદુના અમુક પડોશમાં (કદાચ બિંદુ સિવાય) સ્થિતિ (2) સંતુષ્ટ છે, તો પછી કાર્યની બિંદુમાં મર્યાદા છે અને આ મર્યાદા બરાબર છે એ.શરત દ્વારા (1) $ માટે (અહીં બિંદુનો સૌથી નાનો પડોશી છે). પરંતુ તે પછી, શરત (2) ને લીધે, મૂલ્ય પણ બિંદુના પડોશમાં સ્થિત થશે એ,તે .
, તે જ α(x)+β(x) - અનંત.
અર્થ | f(x)-A|<ε при |x - x 0| < δ(ε). Cледовательно, .
, અથવા sinx
વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સાથે પ્રથમ પરિચય શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં થાય છે. દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા મર્યાદિત અથવા અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
. (તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સમૂહ અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે પ્ર). બાકીના વાસ્તવિક નંબરો કહેવામાં આવે છે અતાર્કિક. તર્કસંગત સંખ્યાઓ મર્યાદિત અથવા અનંત સામયિક અપૂર્ણાંક (સામાન્ય અપૂર્ણાંકની જેમ) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, પછી તે અને માત્ર તે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ જે અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંકો દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે તે અતાર્કિક હશે.
- તર્કસંગત, અને 
, 
, 
અને તેથી વધુ. - અતાર્કિક સંખ્યાઓ.
) - અને ગુણાતીત લોકો માટે - બાકીના બધા (ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓ 
અને અન્ય).
(શબ્દોના પ્રારંભિક અક્ષરો નેચરલ, ઝાહલ, રેએલ).
સેગમેન્ટની લંબાઈ જેટલી વાસ્તવિક સંખ્યાને અનુલક્ષે છે 
અને “+” અથવા “–” ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે, જે બિંદુ મૂળની જમણી બાજુએ છે કે ડાબી બાજુએ છે તેના આધારે. આ રીતે, તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ અને સંખ્યા અક્ષ પરના તમામ બિંદુઓના સમૂહ વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત થાય છે. શબ્દો "વાસ્તવિક સંખ્યા" અને "સંખ્યા અક્ષ બિંદુ" તરીકે વપરાય છે સમાનાર્થી 
અમે વાસ્તવિક સંખ્યા અને તેને અનુરૂપ બિંદુ બંને દર્શાવીશું. સકારાત્મક સંખ્યાઓ બિંદુ 0 ની જમણી બાજુએ સ્થિત છે, નકારાત્મક સંખ્યાઓ ડાબી બાજુએ સ્થિત છે. જો 
, પછી સંખ્યા અક્ષ પર બિંદુ 
બિંદુની ડાબી બાજુએ આવેલું છે 
. બિંદુ દો 
સંખ્યાને અનુલક્ષે છે, પછી નંબરને બિંદુનું સંકલન કહેવામાં આવે છે, લખો 
; વધુ વખત બિંદુ પોતે નંબર તરીકે સમાન અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. બિંદુ 0 એ કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ છે. અક્ષ પણ પત્ર દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે 
(ફિગ. 1.1).
બધા નંબરોનો સેટ પડેલો છે વચ્ચેઆપેલ સંખ્યાઓ અને તેને અંતરાલ અથવા અંતરાલ કહેવામાં આવે છે; છેડા તેના સંબંધમાં હોઈ શકે અથવા ન પણ હોય. ચાલો આની સ્પષ્ટતા કરીએ. દો 
. સંખ્યાઓનો સમૂહ જે સ્થિતિને સંતોષે છે 
, એક અંતરાલ (સંકુચિત અર્થમાં) અથવા ખુલ્લું અંતરાલ કહેવાય છે, જે પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે 
(ફિગ. 1.2).
સંખ્યાઓનો સમૂહ જેમ કે 
બંધ અંતરાલ (સેગમેન્ટ, સેગમેન્ટ) કહેવાય છે અને તે દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે 
; સંખ્યા અક્ષ પર તે નીચે પ્રમાણે ચિહ્નિત થયેલ છે:
તે ખુલ્લા અંતરથી ફક્ત બે બિંદુઓ (અંત) અને . પરંતુ આ તફાવત મૂળભૂત, નોંધપાત્ર છે, કારણ કે આપણે પછીથી જોઈશું, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે કાર્યોના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરીએ છીએ.
અને 
, સૂચિત 
અને 
અર્ધ-ખુલ્લા અથવા અર્ધ-બંધ અંતરાલો (ક્યારેક: અર્ધ-અંતરો);
અથવા 
અર્થ: 
અથવા 
અને નિયુક્ત થયેલ છે 
અથવા 
;
અથવા 
અર્થ 
અથવા 
અને નિયુક્ત થયેલ છે 
અથવા 
;
, સૂચિત 
બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ. બેજ 
"અનંત" પ્રતીકો; તેમને અયોગ્ય અથવા આદર્શ નંબરો કહેવામાં આવે છે. 
વ્યાખ્યા. સંપૂર્ણ મૂલ્ય (અથવા મોડ્યુલ)નંબરને જ નંબર કહેવામાં આવે છે જો 
અથવા 
જો 
. સંપૂર્ણ મૂલ્ય પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે 
. તેથી, 
, 
, 
.
(અથવા 
). દાખ્લા તરીકે, 
પછી અંતર 
.
, 
, તે જ 
.
. 
1) જો 
, તે 
. 2) જો 
, તે . ▲
.
, પછી મિલકત 2 દ્વારા: 
, એટલે કે 
. તેવી જ રીતે, જો તમે કલ્પના કરો છો 
, પછી આપણે અસમાનતા પર પહોંચીએ છીએ 
▲ 
- વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે: કેસો ધ્યાનમાં લો 
અને 
. 
, આપેલ છે તે 
તે જ વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે.
,
, અર્થ 
. આ અસમાનતા પોઈન્ટ દ્વારા સંતોષાય છે જે વચ્ચે આવેલા છે 
અને 
.
અસમાનતા સમાન 
, એટલે કે . આ લંબાઈના બિંદુ પર કેન્દ્રિત અંતરાલ છે 
. તે કહેવાય છે 
બિંદુની પડોશ (સંખ્યા). જો 
, પછી પડોશીને પંચર કહેવામાં આવે છે: આ છે અથવા 
. (ફિગ.1.4).
જ્યાંથી તે અસમાનતાને અનુસરે છે 
(
) અસમાનતાની સમકક્ષ છે 
અથવા 
; અને અસમાનતા 
જેના માટે પોઈન્ટનો સમૂહ વ્યાખ્યાયિત કરે છે 
, એટલે કે આ સેગમેન્ટની બહાર પડેલા બિંદુઓ છે 
, બરાબર: 
અને 
.
ચાલો સેટ થિયરી, ગાણિતિક તર્ક અને આધુનિક ગણિતની અન્ય શાખાઓમાંથી કેટલાક વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાતા ખ્યાલો અને સંકેતો રજૂ કરીએ.
; વાંચે છે " xસંબંધ ધરાવે છે એ» ( 
તત્વો માટે સમાવેશ ચિહ્ન). જો પદાર્થ xમાં સમાવેલ નથી એ, પછી તેઓ લખે છે 
; વાંચે છે: " xસંબંધ નથી એ" દાખ્લા તરીકે, 
એન; 8,51
એન; પરંતુ 8.51 
આર.
. જો બધા તત્વોનું હોદ્દો લખવાનું શક્ય હોય, તો લખો 
, 
વગેરે. સમૂહ કે જેમાં એક પણ તત્વ ન હોય તેને ખાલી સમૂહ કહેવામાં આવે છે અને તે પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે ; ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણના મૂળ (વાસ્તવિક) નો સમૂહ 
ત્યાં ખાલી છે.
સમૂહનો ભાગ અથવા સબસેટ કહેવાય છે બીઅને લખો 
; વાંચે છે " એમાં સમાયેલ છે બી» ( 
સેટ માટે એક સમાવેશ ચિહ્ન છે). દાખ્લા તરીકે, એનઝેડઆર.જો 
, પછી તેઓ કહે છે કે સેટ એઅને બીસમાન છે અને લખો 
. નહિંતર તેઓ લખે છે 
. ઉદાહરણ તરીકે, જો 
, એ 
સમીકરણના મૂળનો સમૂહ 
, તે .
(ક્યારેક 
). સાથે જોડાયેલા તત્વોનો સમૂહ અને એઅને બી, કહેવાય છે આંતરછેદસેટ કરે છે અને સૂચવવામાં આવે છે 
. સમૂહના તમામ ઘટકોનો સમૂહ ^એ, જેમાં સમાવિષ્ટ નથી બી, કહેવાય છે તફાવતસેટ કરે છે અને સૂચવવામાં આવે છે 
. આ કામગીરી નીચે પ્રમાણે યોજનાકીય રીતે રજૂ કરી શકાય છે:
. કોઈપણ સેટ એ, કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહની સમકક્ષ એન= કહેવાય છે ગણતરીપાત્રઅથવા ગણતરીપાત્રબીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમૂહને ગણવાયોગ્ય કહેવામાં આવે છે જો તેના તત્વોને ક્રમાંકિત અને અનંતમાં ગોઠવી શકાય અનુગામી 
, જેમાંના બધા સભ્યો અલગ છે: 
ખાતે 
, અને તે ફોર્મમાં લખી શકાય છે. અન્ય અનંત સમૂહો કહેવામાં આવે છે અસંખ્ય. ગણતરીપાત્ર, સેટ સિવાય એન,ત્યાં હશે, ઉદાહરણ તરીકે, સેટ 
, ઝેડ.તે તારણ આપે છે કે તમામ તર્કસંગત અને બીજગણિત સંખ્યાઓના સેટ ગણી શકાય તેવા છે, અને તમામ અતાર્કિક, ગુણાતીત, વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અને કોઈપણ અંતરાલના બિંદુઓના સમકક્ષ સેટ અગણિત છે. તેઓ કહે છે કે બાદમાં સાતત્યની શક્તિ છે (શક્તિ એ અનંત સમૂહ માટે તત્વોની સંખ્યા (સંખ્યા) ની વિભાવનાનું સામાન્યીકરણ છે).
. પ્રતીક 
અર્થ છે: “જો સાચું હોય, તો સાચું અને” અથવા “તે અનુસરે છે”, “એટલે કે સમીકરણના મૂળમાં અંગ્રેજીમાંથી ગુણધર્મ છે અસ્તિત્વમાં છે- અસ્તિત્વમાં છે.
, અથવા 
, મતલબ: મિલકત ધરાવતો (ઓછામાં ઓછો એક) પદાર્થ છે 
. અને રેકોર્ડિંગ 
, અથવા 
, મતલબ: દરેક પાસે મિલકત છે. ખાસ કરીને, અમે લખી શકીએ છીએ: 
અને .
