વિદ્યાર્થીઓ માટે શરૂઆતથી સંભાવના સિદ્ધાંત. પ્રોગ્રામરો માટે ગણિત: સંભાવના સિદ્ધાંત

જ્યારે કોઈ સિક્કો ઉછાળવામાં આવે છે, ત્યારે આપણે કહી શકીએ કે તે માથા ઉપર ઉતરશે, અથવા સંભાવના આ 1/2 છે. અલબત્ત, આનો અર્થ એ નથી કે જો સિક્કો 10 વખત ફેંકવામાં આવે તો તે 5 વખત માથા પર અવશ્ય ઉતરશે. જો સિક્કો "વાજબી" હોય અને જો તેને ઘણી વખત ફેંકવામાં આવે, તો માથા અડધા સમયે ખૂબ જ નજીક આવશે. આમ, બે પ્રકારની સંભાવનાઓ છે: પ્રાયોગિક અને સૈદ્ધાંતિક .

પ્રાયોગિક અને સૈદ્ધાંતિક સંભાવના

જો આપણે કોઈ સિક્કાને ઘણી વખત ફ્લિપ કરીએ - 1000 કહો - અને ગણીએ કે તે કેટલી વાર માથા પર ઉતરે છે, તો અમે તે સંભવિતતા નક્કી કરી શકીએ છીએ કે તે માથા પર ઉતરે છે. જો માથા 503 વખત ફેંકવામાં આવે, તો અમે તેના ઉતરાણની સંભાવનાની ગણતરી કરી શકીએ છીએ:
503/1000, અથવા 0.503.

આ પ્રાયોગિક સંભાવનાની વ્યાખ્યા. સંભાવનાની આ વ્યાખ્યા માહિતીના અવલોકન અને અભ્યાસમાંથી આવે છે અને તે એકદમ સામાન્ય અને ખૂબ જ ઉપયોગી છે. અહીં, ઉદાહરણ તરીકે, કેટલીક સંભાવનાઓ છે જે પ્રાયોગિક રીતે નક્કી કરવામાં આવી હતી:

1. સ્ત્રીને સ્તન કેન્સર થવાની સંભાવના 1/11 છે.

2. જો તમે શરદીગ્રસ્ત વ્યક્તિને ચુંબન કરો છો, તો પછી તમને પણ શરદી થવાની સંભાવના 0.07 છે.

3. જેલમાંથી હમણાં જ છૂટેલી વ્યક્તિની જેલમાં પાછા ફરવાની 80% તક હોય છે.

જો આપણે સિક્કો ઉછાળવાનો વિચાર કરીએ અને ધ્યાનમાં લઈએ કે તે માથું અથવા પૂંછડીઓ આવે તેવી શક્યતા છે, તો આપણે માથા મેળવવાની સંભાવનાની ગણતરી કરી શકીએ છીએ: 1/2. આ સંભાવનાની સૈદ્ધાંતિક વ્યાખ્યા છે. અહીં કેટલીક અન્ય સંભાવનાઓ છે જે ગણિતનો ઉપયોગ કરીને સૈદ્ધાંતિક રીતે નક્કી કરવામાં આવી છે:

1. જો એક રૂમમાં 30 લોકો હોય, તો તેમાંથી બેનો જન્મદિવસ એક જ હોય ​​તેવી સંભાવના (વર્ષ સિવાય) 0.706 છે.

2. સફર દરમિયાન, તમે કોઈને મળો છો, અને વાતચીત દરમિયાન તમને ખબર પડે છે કે તમારી પાસે પરસ્પર મિત્ર છે. લાક્ષણિક પ્રતિક્રિયા: "આ ન હોઈ શકે!" હકીકતમાં, આ વાક્ય યોગ્ય નથી, કારણ કે આવી ઘટનાની સંભાવના ખૂબ ઊંચી છે - ફક્ત 22% થી વધુ.

આમ, અવલોકન અને માહિતી સંગ્રહ દ્વારા પ્રાયોગિક સંભાવનાઓ નક્કી કરવામાં આવે છે. સૈદ્ધાંતિક સંભાવનાઓ ગાણિતિક તર્ક દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. પ્રાયોગિક અને સૈદ્ધાંતિક સંભાવનાઓના ઉદાહરણો, જેમ કે ઉપર ચર્ચા કરવામાં આવી છે, અને ખાસ કરીને જેની આપણે અપેક્ષા રાખતા નથી, તે આપણને સંભાવનાના અભ્યાસના મહત્વ તરફ દોરી જાય છે. તમે પૂછી શકો છો, "સાચી સંભાવના શું છે?" હકીકતમાં, એવું કંઈ નથી. ચોક્કસ મર્યાદામાં રહેલી સંભાવનાઓ પ્રાયોગિક રીતે નક્કી કરી શકાય છે. અમે સૈદ્ધાંતિક રીતે જે સંભાવનાઓ મેળવીએ છીએ તેની સાથે તેઓ એકરૂપ થઈ શકે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે. એવી પરિસ્થિતિઓ છે કે જેમાં બીજા કરતા એક પ્રકારની સંભાવના નક્કી કરવી ખૂબ સરળ છે. ઉદાહરણ તરીકે, સૈદ્ધાંતિક સંભાવનાનો ઉપયોગ કરીને ઠંડા પકડવાની સંભાવના શોધવા માટે તે પૂરતું હશે.

પ્રાયોગિક સંભાવનાઓની ગણતરી

ચાલો પહેલા સંભાવનાની પ્રાયોગિક વ્યાખ્યા પર વિચાર કરીએ. આવી સંભાવનાઓની ગણતરી માટે આપણે જે મૂળભૂત સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ તે નીચે મુજબ છે.

સિદ્ધાંત P (પ્રાયોગિક)

જો કોઈ પ્રયોગ કે જેમાં n અવલોકનો કરવામાં આવે છે, n અવલોકનોમાં m વખત પરિસ્થિતિ અથવા ઘટના E થાય છે, તો ઘટનાની પ્રાયોગિક સંભાવના P (E) = m/n કહેવાય છે.

ઉદાહરણ 1 સમાજશાસ્ત્રીય સર્વેક્ષણ. આયોજન કરવામાં આવ્યું પ્રાયોગિક અભ્યાસડાબા હાથના, જમણા હાથવાળા અને એવા લોકોની સંખ્યા નક્કી કરવા કે જેમના બંને હાથ સમાન રીતે વિકસિત છે. પરિણામો ગ્રાફમાં બતાવવામાં આવ્યા છે.

a) વ્યક્તિ જમણા હાથની છે તેની સંભાવના નક્કી કરો.

b) વ્યક્તિ ડાબા હાથની છે તેની સંભાવના નક્કી કરો.

c) સંભાવના નક્કી કરો કે વ્યક્તિ બંને હાથમાં સમાન રીતે અસ્ખલિત છે.

d) મોટાભાગની પ્રોફેશનલ બોલિંગ એસોસિએશન ટુર્નામેન્ટ 120 ખેલાડીઓ સુધી મર્યાદિત છે. આ પ્રયોગના ડેટાના આધારે, કેટલા ખેલાડીઓ ડાબા હાથના હોઈ શકે છે?

ઉકેલ

a)જમણા હાથવાળા લોકોની સંખ્યા 82 છે, ડાબા હાથવાળાઓની સંખ્યા 17 છે, અને જેઓ બંને હાથમાં સમાન રીતે અસ્ખલિત છે તેમની સંખ્યા 1 છે. અવલોકનોની કુલ સંખ્યા 100 છે. આમ, સંભાવના એક વ્યક્તિ જમણા હાથની છે તે પી
P = 82/100, અથવા 0.82, અથવા 82%.

b) વ્યક્તિ ડાબા હાથની છે તેવી સંભાવના P છે, જ્યાં
P = 17/100, અથવા 0.17, અથવા 17%.

c) સંભાવના છે કે વ્યક્તિ બંને હાથમાં સમાન રીતે અસ્ખલિત છે P, જ્યાં
P = 1/100, અથવા 0.01, અથવા 1%.

d) 120 બોલરો, અને (b) પાસેથી આપણે અપેક્ષા રાખી શકીએ કે 17% ડાબા હાથના છે. અહીંથી
120 માંથી 17% = 0.17.120 = 20.4,
એટલે કે, અમે લગભગ 20 ખેલાડીઓ ડાબા હાથની અપેક્ષા રાખી શકીએ છીએ.

ઉદાહરણ 2 ગુણવત્તા નિયંત્રણ . ઉત્પાદક માટે તેના ઉત્પાદનોની ગુણવત્તાને ઉચ્ચ સ્તરે રાખવી ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. હકીકતમાં, કંપનીઓ આ પ્રક્રિયાને સુનિશ્ચિત કરવા માટે ગુણવત્તા નિયંત્રણ નિરીક્ષકોને ભાડે રાખે છે. ધ્યેય ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની ન્યૂનતમ સંભવિત સંખ્યાનું ઉત્પાદન કરવાનો છે. પરંતુ કંપની દરરોજ હજારો ઉત્પાદનોનું ઉત્પાદન કરતી હોવાથી, તે ખામીયુક્ત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે દરેક ઉત્પાદનનું પરીક્ષણ કરવાનું પરવડે નહીં. કેટલા ટકા ઉત્પાદનો ખામીયુક્ત છે તે શોધવા માટે, કંપની ઘણા ઓછા ઉત્પાદનોનું પરીક્ષણ કરે છે.
USDA એ જરૂરી છે કે ઉત્પાદકો દ્વારા વેચવામાં આવેલા 80% બીજ અંકુરિત થવા જોઈએ. એક કૃષિ કંપની જે બિયારણનું ઉત્પાદન કરે છે તેની ગુણવત્તા નક્કી કરવા માટે, જેનું ઉત્પાદન કરવામાં આવ્યું હતું તેમાંથી 500 બીજ વાવવામાં આવે છે. આ પછી, ગણતરી કરવામાં આવી કે 417 બીજ અંકુરિત થયા.

a) બીજ અંકુરિત થવાની સંભાવના કેટલી છે?

b) શું બીજ સરકારી ધોરણોને પૂર્ણ કરે છે?

ઉકેલ a) આપણે જાણીએ છીએ કે રોપાયેલા 500 બીજમાંથી 417 અંકુરિત થયા. બીજ અંકુરણની સંભાવના P, અને
પી = 417/500 = 0.834, અથવા 83.4%.

b) અંકુરિત બીજની ટકાવારી જરૂરિયાત મુજબ 80% થી વધી ગઈ હોવાથી, બીજ સરકારી ધોરણોને પૂર્ણ કરે છે.

ઉદાહરણ 3 ટેલિવિઝન રેટિંગ્સ. આંકડા મુજબ, યુનાઇટેડ સ્ટેટ્સમાં ટેલિવિઝન ધરાવતા 105,500,000 ઘરો છે. દર અઠવાડિયે, કાર્યક્રમો જોવા વિશેની માહિતી એકત્રિત અને પ્રક્રિયા કરવામાં આવે છે. એક સપ્તાહમાં, 7,815,000 ઘરોએ સીબીએસ પરની હિટ કોમેડી શ્રેણી "એવરીબડી લવ્સ રેમન્ડ" અને NBC (સ્રોત: નીલ્સન મીડિયા સંશોધન) પરની હિટ શ્રેણી "લો એન્ડ ઓર્ડર" માં 8,302,000 ઘરો જોડાયા. આપેલ અઠવાડિયા દરમિયાન એક ઘરના ટીવીને "એવરીબડી લવ્સ રેમન્ડ" સાથે "લો એન્ડ ઓર્ડર" માટે ટ્યુન કરવામાં આવે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલએક ઘરનું ટીવી "એવરીબડી લવ્સ રેમન્ડ" ને ટ્યુન કરે તેવી સંભાવના P છે, અને
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
ઘરના ટીવીને કાયદો અને વ્યવસ્થા સાથે ટ્યુન કરવાની તક P છે, અને
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%.
આ ટકાવારીઓને રેટિંગ કહેવામાં આવે છે.

સૈદ્ધાંતિક સંભાવના

ધારો કે અમે કોઈ પ્રયોગ કરી રહ્યા છીએ, જેમ કે સિક્કો અથવા ડાર્ટ્સ ફેંકવા, ડેકમાંથી કાર્ડ દોરવા અથવા એસેમ્બલી લાઇન પર ગુણવત્તા માટે ઉત્પાદનોનું પરીક્ષણ કરવું. આવા પ્રયોગના દરેક સંભવિત પરિણામને કહેવામાં આવે છે નિર્ગમન . તમામ સંભવિત પરિણામોનો સમૂહ કહેવામાં આવે છે પરિણામ જગ્યા . ઘટના તે પરિણામોનો સમૂહ છે, એટલે કે, પરિણામોની જગ્યાનો સબસેટ.

ઉદાહરણ 4 ડાર્ટ્સ ફેંકવું. ધારો કે ડાર્ટ ફેંકવાના પ્રયોગમાં, ડાર્ટ લક્ષ્યને અથડાવે છે. નીચેનામાંથી દરેક શોધો:

b) પરિણામ જગ્યા

ઉકેલ
a) પરિણામો છે: કાળો (B), હિટ રેડ (R) અને હિટ વ્હાઇટ (B).

b) પરિણામોની જગ્યા છે (કાળાને મારવું, લાલ મારવું, સફેદ મારવું), જેને ફક્ત (H, K, B) તરીકે લખી શકાય.

ઉદાહરણ 5 ડાઇસ ફેંકવું. ડાઇ એ છ બાજુઓ ધરાવતું ઘન છે, જેમાં પ્રત્યેક પર એકથી છ બિંદુઓ હોય છે.


ધારો કે આપણે ડાઇ ફેંકીએ છીએ. શોધો
a) પરિણામો
b) પરિણામ જગ્યા

ઉકેલ
a) પરિણામો: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) પરિણામની જગ્યા (1, 2, 3, 4, 5, 6).

અમે સંભાવના દર્શાવીએ છીએ કે ઘટના E P(E) તરીકે થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, "સિક્કો માથા પર ઉતરશે" ને H દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે. પછી P(H) એ સંભાવનાને રજૂ કરે છે કે સિક્કો માથા પર ઉતરશે. જ્યારે પ્રયોગના તમામ પરિણામોની સમાન સંભાવના હોય છે, ત્યારે તે સમાન સંભાવના હોવાનું કહેવાય છે. સમાન રીતે સંભવિત હોય તેવી ઘટનાઓ અને ન હોય તેવી ઘટનાઓ વચ્ચેનો તફાવત જોવા માટે, નીચે દર્શાવેલ લક્ષ્યને ધ્યાનમાં લો.

લક્ષ્ય A માટે, કાળા, લાલ અને સફેદ સેક્ટરો સમાન હોવાથી, કાળા, લાલ અને સફેદ સાથે અથડાવાની ઘટનાઓ સમાન રીતે સંભવિત છે. જો કે, લક્ષ્ય B માટે, આ રંગો સાથેના ઝોન સમાન નથી, એટલે કે, તેમને મારવા સમાન રીતે સંભવિત નથી.

સિદ્ધાંત P (સૈદ્ધાંતિક)

જો કોઈ ઘટના E એ n માંથી m રીતે થઈ શકે છે, તો પરિણામ અવકાશ S માંથી સમાન સંભવિત પરિણામો શક્ય છે, તો સૈદ્ધાંતિક સંભાવના ઘટનાઓ, P(E) છે
P(E) = m/n.

ઉદાહરણ 6 3 મેળવવા માટે ડાઇ રોલ કરવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલએક ડાઇસ પર 6 સમાન સંભવિત પરિણામો છે અને 3 નંબરને ફેરવવાની માત્ર એક જ શક્યતા છે. પછી P એ P(3) = 1/6 હશે.

ઉદાહરણ 7ડાઇ પર સમ સંખ્યાને રોલ કરવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલઈવેન્ટ એ ઈવેન નંબર ફેંકવાની છે. આ 3 રીતે થઈ શકે છે (જો તમે 2, 4 અથવા 6 રોલ કરો છો). સમાન સંભવિત પરિણામોની સંખ્યા 6 છે. પછી સંભાવના P(પણ) = 3/6, અથવા 1/2.

અમે પ્રમાણભૂત 52 કાર્ડ ડેક સાથે સંકળાયેલા સંખ્યાબંધ ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીશું. આ ડેકમાં નીચેની આકૃતિમાં બતાવેલ કાર્ડ્સનો સમાવેશ થાય છે.

ઉદાહરણ 8કાર્ડ્સના સારી રીતે શફલ્ડ ડેકમાંથી એસ દોરવાની સંભાવના શું છે?

ઉકેલત્યાં 52 પરિણામો છે (ડેકમાં કાર્ડ્સની સંખ્યા), તે સમાન સંભાવના છે (જો ડેક સારી રીતે શફલ્ડ કરવામાં આવે તો), અને એસ દોરવાની 4 રીતો છે, તેથી P સિદ્ધાંત અનુસાર, સંભાવના
P(એસ દોરો) = 4/52, અથવા 1/13.

ઉદાહરણ 9ધારો કે, આપણે જોયા વિના, 3 લાલ દડા અને 4 લીલા દડાવાળી થેલીમાંથી એક બોલ પસંદ કરીએ. લાલ બોલ પસંદ કરવાની સંભાવના શું છે?

ઉકેલકોઈપણ બોલ દોરવાના 7 સમાન સંભવિત પરિણામો છે, અને લાલ બોલ દોરવાની રીતોની સંખ્યા 3 હોવાથી, આપણને મળે છે.
P(લાલ બોલની પસંદગી) = 3/7.

નીચેના નિવેદનો સિદ્ધાંત P ના પરિણામો છે.

સંભાવનાના ગુણધર્મો

a) જો ઘટના E ન બની શકે, તો P(E) = 0.
b) જો ઘટના E બનવાની નિશ્ચિત હોય તો P(E) = 1.
c) ઘટના E થવાની સંભાવના 0 થી 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1 ની સંખ્યા છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સિક્કાના ટૉસમાં, સિક્કો તેની ધાર પર ઉતરે તેવી ઘટનાની શૂન્ય સંભાવના છે. સિક્કો કાં તો હેડ અથવા પૂંછડી છે તેની સંભાવના 1 છે.

ઉદાહરણ 10ચાલો ધારીએ કે 52-કાર્ડના ડેકમાંથી 2 કાર્ડ દોરવામાં આવ્યા છે. તે બંને શિખરો હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ 52 કાર્ડ્સના સારી રીતે શફલ્ડ ડેકમાંથી 2 કાર્ડ્સ દોરવાની રીતોની સંખ્યા n 52 C 2 છે. 52 માંથી 13 પત્તાં સ્પેડ્સ હોવાથી, 2 સ્પેડ્સ દોરવા માટે m માર્ગોની સંખ્યા 13 C 2 છે. પછી,
P(2 શિખરો ખેંચીને) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

ઉદાહરણ 11ધારો કે 6 પુરુષો અને 4 સ્ત્રીઓના જૂથમાંથી 3 લોકોની રેન્ડમલી પસંદગી કરવામાં આવી છે. 1 પુરુષ અને 2 મહિલાઓની પસંદગી થવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ 10 લોકોના જૂથમાંથી ત્રણ લોકોને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા 10 C 3 છે. એક પુરુષને 6 C 1 રીતે પસંદ કરી શકાય છે, અને 2 સ્ત્રીઓને 4 C 2 રીતે પસંદ કરી શકાય છે. ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ, 1 પુરુષ અને 2 સ્ત્રીઓને પસંદ કરવાના માર્ગોની સંખ્યા 6 C 1 છે. 4 C 2 . પછી, 1 પુરુષ અને 2 મહિલાઓની પસંદગી થવાની સંભાવના છે
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

ઉદાહરણ 12 ડાઇસ ફેંકવું. બે પાસાઓ પર કુલ 8 રોલ કરવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલદરેક ડાઇસમાં 6 સંભવિત પરિણામો છે. પરિણામો બમણા થાય છે, એટલે કે ત્યાં 6.6 અથવા 36 સંભવિત રીતો છે જેમાં બે ડાઇસ પરની સંખ્યાઓ દેખાઈ શકે છે. (તે વધુ સારું છે જો સમઘન અલગ હોય, કહો કે એક લાલ છે અને બીજો વાદળી છે - આ પરિણામની કલ્પના કરવામાં મદદ કરશે.)

સંખ્યાઓની જોડી જે 8 સુધી ઉમેરે છે તે નીચેની આકૃતિમાં બતાવવામાં આવી છે. 5 છે શક્ય માર્ગો 8 ની બરાબર રકમ પ્રાપ્ત કરવી, તેથી સંભાવના 5/36 છે.

પરિચય

ઘણી બાબતો આપણા માટે અગમ્ય છે કારણ કે આપણા ખ્યાલો નબળા છે;
પરંતુ કારણ કે આ વસ્તુઓ આપણા ખ્યાલોની શ્રેણીમાં સમાવિષ્ટ નથી.
કોઝમા પ્રુત્કોવ

માધ્યમિક વિશેષતામાં ગણિતનો અભ્યાસ કરવાનો મુખ્ય ધ્યેય શૈક્ષણિક સંસ્થાઓવિદ્યાર્થીઓને અન્ય પ્રોગ્રામ શિસ્તનો અભ્યાસ કરવા માટે જરૂરી ગાણિતિક જ્ઞાન અને કૌશલ્યોનો સમૂહ આપવાનો છે જે ગણિતનો એક અથવા બીજી ડિગ્રી સુધી ઉપયોગ કરે છે, વ્યવહારુ ગણતરીઓ કરવાની ક્ષમતા માટે, તાર્કિક વિચારસરણીની રચના અને વિકાસ માટે.

આ કાર્યમાં, ગણિતના વિભાગની તમામ મૂળભૂત વિભાવનાઓ "સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડાશાસ્ત્રના ફંડામેન્ટલ્સ", જે કાર્યક્રમ અને માધ્યમિક વ્યવસાયિક શિક્ષણના રાજ્ય શૈક્ષણિક ધોરણો (રશિયન ફેડરેશનના શિક્ષણ મંત્રાલય. એમ., 2002) દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવે છે. ), સતત રજૂ કરવામાં આવે છે, મુખ્ય પ્રમેય ઘડવામાં આવે છે, જેમાંથી મોટા ભાગના સાબિત થતા નથી. મુખ્ય સમસ્યાઓ અને તેમને હલ કરવાની પદ્ધતિઓ અને વ્યવહારિક સમસ્યાઓના નિરાકરણ માટે આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવા માટેની તકનીકો ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. પ્રસ્તુતિ વિગતવાર ટિપ્પણીઓ અને અસંખ્ય ઉદાહરણો સાથે છે.

પદ્ધતિસરની સૂચનાઓનો ઉપયોગ અભ્યાસ કરવામાં આવતી સામગ્રી સાથે પ્રારંભિક પરિચય માટે, વ્યાખ્યાનોની નોંધ લેતી વખતે, વ્યવહારુ વર્ગોની તૈયારી કરવા, પ્રાપ્ત જ્ઞાન, કુશળતા અને ક્ષમતાઓને એકીકૃત કરવા માટે કરી શકાય છે. આ ઉપરાંત, માર્ગદર્શિકા અંડરગ્રેજ્યુએટ વિદ્યાર્થીઓ માટે સંદર્ભ સાધન તરીકે પણ ઉપયોગી થશે, જે તેમને અગાઉ જે અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો તે ઝડપથી યાદ કરી શકશે.

કાર્યના અંતે એવા ઉદાહરણો અને કાર્યો છે જે વિદ્યાર્થીઓ સ્વ-નિયંત્રણ મોડમાં કરી શકે છે.

માર્ગદર્શિકા અંશકાલિક અને પૂર્ણ-સમયના વિદ્યાર્થીઓ માટે બનાવાયેલ છે.

મૂળભૂત ખ્યાલો

સંભાવના સિદ્ધાંત સામૂહિક રેન્ડમ ઘટનાઓના ઉદ્દેશ્ય પેટર્નનો અભ્યાસ કરે છે. તે ગાણિતિક આંકડાઓનો સૈદ્ધાંતિક આધાર છે, જે અવલોકન પરિણામોને એકત્રિત કરવા, વર્ણન કરવા અને પ્રક્રિયા કરવા માટેની પદ્ધતિઓના વિકાસ સાથે કામ કરે છે. અવલોકનો દ્વારા (પરીક્ષણો, પ્રયોગો), એટલે કે. માં અનુભવ વ્યાપક અર્થમાંશબ્દો, વાસ્તવિક દુનિયાની ઘટનાઓનું જ્ઞાન થાય છે.

અમારી વ્યવહારિક પ્રવૃત્તિઓમાં, આપણે ઘણીવાર એવી ઘટનાઓનો સામનો કરીએ છીએ કે જેના પરિણામની આગાહી કરી શકાતી નથી, જેનું પરિણામ તક પર આધારિત છે.

અવ્યવસ્થિત ઘટનાને તેની ઘટનાઓની સંખ્યા અને અજમાયશની સંખ્યાના ગુણોત્તર દ્વારા વર્ગીકૃત કરી શકાય છે, જેમાંના દરેકમાં, તમામ અજમાયશની સમાન પરિસ્થિતિઓ હેઠળ, તે થઈ શકે છે અથવા ન પણ થઈ શકે છે.

સંભાવના સિદ્ધાંત એ ગણિતની એક શાખા છે જેમાં રેન્ડમ અસાધારણ ઘટના (ઘટનાઓ)નો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે અને જ્યારે તેનું સામૂહિક પુનરાવર્તન થાય છે ત્યારે પેટર્ન ઓળખવામાં આવે છે.

ગાણિતિક આંકડા એ ગણિતની એક શાખા છે જે વૈજ્ઞાનિક રીતે આધારિત તારણો મેળવવા અને નિર્ણયો લેવા માટે આંકડાકીય માહિતી એકત્રિત કરવા, વ્યવસ્થિત કરવા, પ્રક્રિયા કરવા અને તેનો ઉપયોગ કરવાની પદ્ધતિઓના અભ્યાસ સાથે વ્યવહાર કરે છે.

આ કિસ્સામાં, આંકડાકીય માહિતીને સંખ્યાઓના સમૂહ તરીકે સમજવામાં આવે છે જે અભ્યાસ હેઠળની વસ્તુઓની લાક્ષણિકતાઓની માત્રાત્મક લાક્ષણિકતાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે અમને રસ ધરાવે છે. આંકડાકીય માહિતી ખાસ રચાયેલ પ્રયોગો અને અવલોકનોના પરિણામે મેળવવામાં આવે છે.

તેમના સાર દ્વારા આંકડાકીય માહિતી ઘણા રેન્ડમ પરિબળો પર આધાર રાખે છે, તેથી ગાણિતિક આંકડા સંભાવના સિદ્ધાંત સાથે નજીકથી સંબંધિત છે, જે તેનો સૈદ્ધાંતિક આધાર છે.

I. સંભાવના. સંભાવનાઓના ઉમેરણ અને ગુણાકારના સિદ્ધાંતો

1.1. સંયોજનશાસ્ત્રની મૂળભૂત વિભાવનાઓ

ગણિતની શાખામાં, જેને સંયોજનશાસ્ત્ર કહેવામાં આવે છે, સમૂહોની વિચારણા અને આ સમૂહોના ઘટકોના વિવિધ સંયોજનોની રચનાને લગતી કેટલીક સમસ્યાઓ હલ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે 10 જુદી જુદી સંખ્યાઓ 0, 1, 2, 3,: , 9 લઈએ અને તેનું સંયોજન કરીએ, તો આપણને વિવિધ સંખ્યાઓ મળશે, ઉદાહરણ તરીકે 143, 431, 5671, 1207, 43, વગેરે.

આપણે જોઈએ છીએ કે આમાંના કેટલાક સંયોજનો ફક્ત અંકોના ક્રમમાં અલગ પડે છે (ઉદાહરણ તરીકે, 143 અને 431), અન્ય - તેમાં સમાવિષ્ટ અંકોમાં (ઉદાહરણ તરીકે, 5671 અને 1207), અને અન્ય પણ અંકોની સંખ્યામાં ભિન્ન છે. (ઉદાહરણ તરીકે, 143 અને 43).

આમ, પરિણામી સંયોજનો વિવિધ શરતોને સંતોષે છે.

રચનાના નિયમોના આધારે, ત્રણ પ્રકારના સંયોજનોને ઓળખી શકાય છે: ક્રમચયો, પ્લેસમેન્ટ, સંયોજનો.

ચાલો પહેલા ખ્યાલથી પરિચિત થઈએ કારણભૂત.

બધાનું ઉત્પાદન કુદરતી સંખ્યાઓ 1 થી n સુધી સમાવેશ કહેવાય છે n-ફેક્ટોરિયલ અને લખો.

ગણતરી કરો: a) ; b) ; વી).

ઉકેલ. એ).

b) ત્યારથી , પછી આપણે તેને કૌંસની બહાર મૂકી શકીએ છીએ

પછી આપણને મળે છે

વી) .

પુનઃ ગોઠવણો.

n તત્વોના સંયોજન કે જે તત્વોના ક્રમમાં એકબીજાથી ભિન્ન હોય તેને ક્રમચય કહેવામાં આવે છે.

ક્રમચયો પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે પી એન , જ્યાં n એ દરેક ક્રમચયમાં સમાવિષ્ટ ઘટકોની સંખ્યા છે. ( આર- ફ્રેન્ચ શબ્દનો પ્રથમ અક્ષર ક્રમચય- પુન: ગોઠવણી).

ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને ક્રમચયોની સંખ્યાની ગણતરી કરી શકાય છે

અથવા ફેક્ટોરિયલનો ઉપયોગ કરીને:

ચાલો તે યાદ કરીએ 0!=1 અને 1!=1.

ઉદાહરણ 2. એક શેલ્ફ પર છ અલગ-અલગ પુસ્તકો કેટલી રીતે ગોઠવી શકાય?

ઉકેલ. માર્ગોની આવશ્યક સંખ્યા 6 તત્વોના ક્રમચયોની સંખ્યા જેટલી છે, એટલે કે.

પ્લેસમેન્ટ.

તરફથી પોસ્ટિંગ્સ mમાં તત્વો nદરેકમાં, આવા સંયોજનોને કહેવામાં આવે છે જે એકબીજાથી ક્યાં તો તત્વો દ્વારા (ઓછામાં ઓછું એક), અથવા તેમની ગોઠવણીના ક્રમ દ્વારા અલગ પડે છે.

સ્થાનો પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, જ્યાં m- બધા ઉપલબ્ધ ઘટકોની સંખ્યા, n- દરેક સંયોજનમાં તત્વોની સંખ્યા. ( A-પ્રથમ અક્ષર ફ્રેન્ચ શબ્દ વ્યવસ્થા, જેનો અર્થ થાય છે "પ્લેસમેન્ટ, ક્રમમાં મૂકવું").

તે જ સમયે, એવું માનવામાં આવે છે nm

સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્લેસમેન્ટની સંખ્યાની ગણતરી કરી શકાય છે

,

તે થી તમામ સંભવિત પ્લેસમેન્ટની સંખ્યા mદ્વારા તત્વો nઉત્પાદન સમાન છે nસળંગ પૂર્ણાંકો, જેમાંથી સૌથી મોટો છે m.

ચાલો આ સૂત્રને ફેક્ટોરિયલ સ્વરૂપમાં લખીએ:

ઉદાહરણ 3. પાંચ અરજદારો માટે વિવિધ પ્રોફાઇલના સેનેટોરિયમમાં ત્રણ વાઉચર વિતરિત કરવાના કેટલા વિકલ્પો સંકલિત કરી શકાય છે?

ઉકેલ. વિકલ્પોની આવશ્યક સંખ્યા 3 તત્વોના 5 ઘટકોની પ્લેસમેન્ટની સંખ્યા જેટલી છે, એટલે કે.

.

સંયોજનો.

સંયોજનો એ તમામ સંભવિત સંયોજનો છે mદ્વારા તત્વો n, જે ઓછામાં ઓછા એક તત્વ દ્વારા એકબીજાથી અલગ છે (અહીં mઅને n-કુદરતી સંખ્યાઓ, અને n m).

ના સંયોજનોની સંખ્યા mદ્વારા તત્વો nદ્વારા સૂચવવામાં આવે છે ( સાથે- ફ્રેન્ચ શબ્દનો પ્રથમ અક્ષર સંયોજન- સંયોજન).

સામાન્ય રીતે, ની સંખ્યા mદ્વારા તત્વો nથી પ્લેસમેન્ટની સંખ્યા જેટલી mદ્વારા તત્વો n, થી ક્રમચયોની સંખ્યા વડે ભાગ્યા nતત્વો:

પ્લેસમેન્ટ અને ક્રમચયોની સંખ્યા માટે ફેક્ટોરિયલ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

ઉદાહરણ 4. 25 લોકોની ટીમમાં, તમારે ચોક્કસ વિસ્તારમાં કામ કરવા માટે ચારને ફાળવવાની જરૂર છે. આ કેટલી રીતે કરી શકાય?

ઉકેલ. પસંદ કરેલા ચાર લોકોના ક્રમમાં કોઈ ફરક પડતો નથી, તેથી આ કરવાની રીતો છે.

આપણે પ્રથમ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ છીએ

.

વધુમાં, સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, સંયોજનોના મૂળભૂત ગુણધર્મોને વ્યક્ત કરે છે:

(વ્યાખ્યા દ્વારા તેઓ ધારે છે અને);

.

1.2. સંયુક્ત સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

કાર્ય 1. ફેકલ્ટીમાં 16 વિષયોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. તમારે સોમવાર માટે તમારા શેડ્યૂલ પર 3 વિષયો મૂકવાની જરૂર છે. આ કેટલી રીતે કરી શકાય?

ઉકેલ. 16 માંથી ત્રણ આઇટમ શેડ્યૂલ કરવાની ઘણી રીતો છે કારણ કે તમે 3 દ્વારા 16 આઇટમનું પ્લેસમેન્ટ ગોઠવી શકો છો.

કાર્ય 2. 15 ઑબ્જેક્ટમાંથી, તમારે 10 ઑબ્જેક્ટ પસંદ કરવાની જરૂર છે. આ કેટલી રીતે કરી શકાય?

કાર્ય 3. સ્પર્ધામાં ચાર ટીમોએ ભાગ લીધો હતો. તેમની વચ્ચે બેઠકોની વહેંચણી માટે કેટલા વિકલ્પો શક્ય છે?

.

સમસ્યા 4. જો 80 સૈનિકો અને 3 અધિકારીઓ હોય તો ત્રણ સૈનિકો અને એક અધિકારીનું પેટ્રોલિંગ કેટલી રીતે બનાવી શકાય?

ઉકેલ. તમે પેટ્રોલિંગ પર સૈનિક પસંદ કરી શકો છો

રીતે, અને રીતે અધિકારીઓ. કોઈપણ અધિકારી સૈનિકોની દરેક ટુકડી સાથે જઈ શકે છે, ત્યાં ફક્ત ઘણા રસ્તાઓ છે.

કાર્ય 5. શોધો, જો તે જાણીતું હોય તો.

ત્યારથી, અમને મળે છે

,

,

સંયોજનની વ્યાખ્યા દ્વારા તે અનુસરે છે કે , . તે. .

1.3. રેન્ડમ ઇવેન્ટનો ખ્યાલ. ઘટનાઓના પ્રકાર. ઘટનાની સંભાવના

આપેલ શરતોના સમૂહ હેઠળ અનુભવાયેલી કોઈપણ ક્રિયા, ઘટના, વિવિધ પરિણામો સાથેનું અવલોકન, કહેવામાં આવશે. પરીક્ષણ

આ ક્રિયા અથવા અવલોકનનું પરિણામ કહેવાય છે ઘટના .

જો આપેલ પરિસ્થિતિઓમાં કોઈ ઘટના બની શકે કે ન થઈ શકે, તો તેને કહેવામાં આવે છે રેન્ડમ . જ્યારે કોઈ ઘટના ચોક્કસ બનવાની હોય ત્યારે તેને કહેવામાં આવે છે વિશ્વસનીય , અને કિસ્સામાં જ્યારે તે દેખીતી રીતે ન થઈ શકે, - અશક્ય.

ઘટનાઓ કહેવામાં આવે છે અસંગત , જો તેમાંથી માત્ર એક જ દરેક વખતે દેખાવાનું શક્ય હોય.

ઘટનાઓ કહેવામાં આવે છે સંયુક્ત , જો, આપેલ શરતો હેઠળ, આમાંની એક ઘટનાની ઘટના એ જ પરીક્ષણ દરમિયાન બીજી ઘટનાને બાકાત રાખતી નથી.

ઘટનાઓ કહેવામાં આવે છે વિરુદ્ધ , જો પરીક્ષણ શરતો હેઠળ તેઓ, માત્ર પરિણામો હોવાને કારણે, અસંગત છે.

ઘટનાઓ સામાન્ય રીતે લેટિન મૂળાક્ષરોના મોટા અક્ષરોમાં સૂચવવામાં આવે છે: એ બી સી ડી, : .

ઘટનાઓની સંપૂર્ણ સિસ્ટમ A 1 , A 2 , A 3 , : , A n એ અસંગત ઘટનાઓનો સમૂહ છે, જેમાંથી ઓછામાં ઓછી એકની ઘટના આપેલ પરીક્ષણ દરમિયાન ફરજિયાત છે.

જો સંપૂર્ણ સિસ્ટમમાં બે અસંગત ઘટનાઓ હોય, તો આવી ઘટનાઓને વિરુદ્ધ કહેવામાં આવે છે અને તેને A અને નિયુક્ત કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ. બોક્સમાં 30 ક્રમાંકિત બોલ છે. નીચેનામાંથી કઈ ઘટનાઓ અશક્ય, વિશ્વસનીય અથવા વિપરીત છે તે નક્કી કરો:

ક્રમાંકિત બોલ લીધો (એ);

એક સમાન નંબર સાથે બોલ મળ્યો (IN);

એક વિષમ નંબર સાથે બોલ મળ્યો (સાથે);

નંબર વગરનો બોલ મળ્યો (ડી).

તેમાંથી કોણ સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે?

ઉકેલ . એ- વિશ્વસનીય ઘટના; ડી- અશક્ય ઘટના;

માં અને સાથે- વિપરીત ઘટનાઓ.

ઇવેન્ટ્સના સંપૂર્ણ જૂથમાં સમાવેશ થાય છે એઅને ડી, વીઅને સાથે.

ઘટનાની સંભાવનાને રેન્ડમ ઘટનાની ઉદ્દેશ્ય સંભાવનાના માપ તરીકે ગણવામાં આવે છે.

1.4. સંભાવનાની ઉત્તમ વ્યાખ્યા

એક સંખ્યા જે ઘટના બનવાની ઉદ્દેશ્ય સંભાવનાના માપને વ્યક્ત કરે છે તેને કહેવામાં આવે છે સંભાવના આ ઘટના અને પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે R(A).

વ્યાખ્યા. ઘટનાની સંભાવના એપરિણામોની સંખ્યા m નો ગુણોત્તર છે જે આપેલ ઘટનાની ઘટનાની તરફેણ કરે છે એ, નંબર પર nતમામ પરિણામો (અસંગત, માત્ર શક્ય અને સમાન રીતે શક્ય), એટલે કે. .

તેથી, ઘટનાની સંભાવના શોધવા માટે, પરીક્ષણના વિવિધ પરિણામોને ધ્યાનમાં લીધા પછી, તમામ સંભવિત અસંગત પરિણામોની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. n,અમને રસ હોય તેવા પરિણામોની સંખ્યા પસંદ કરો અને ગુણોત્તરની ગણતરી કરો mપ્રતિ n.

નીચેના ગુણધર્મો આ વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે:

કોઈપણ પરીક્ષણની સંભાવના એ બિન-નકારાત્મક સંખ્યા છે જે એક કરતા વધુ ન હોય.

ખરેખર, જરૂરી ઇવેન્ટ્સની સંખ્યા m અંદર છે. બંને ભાગોમાં વિભાજન n, અમને મળે છે

2. વિશ્વસનીય ઘટનાની સંભાવના એક સમાન છે, કારણ કે .

3. અશક્ય ઘટનાની સંભાવના શૂન્ય છે, ત્યારથી.

સમસ્યા 1. 1000 ટિકિટોની લોટરીમાં, 200 વિજેતાઓ છે. એક ટિકિટ રેન્ડમ પર લેવામાં આવે છે. આ ટિકિટ વિજેતા હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ. વિવિધ પરિણામોની કુલ સંખ્યા છે n=1000. જીતવા માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા m=200 છે. સૂત્ર મુજબ, આપણને મળે છે

.

સમસ્યા 2. 18 ભાગોના બેચમાં 4 ખામીયુક્ત છે. 5 ભાગો રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે આ 5 ભાગોમાંથી બે ખામીયુક્ત હશે.

ઉકેલ. તમામ સમાન રીતે શક્ય સ્વતંત્ર પરિણામોની સંખ્યા n 18 બાય 5 ના સંયોજનોની સંખ્યાની બરાબર એટલે કે.

ચાલો સંખ્યા m ગણીએ જે ઘટના A ની તરફેણ કરે છે. અવ્યવસ્થિત રીતે લેવામાં આવેલા 5 ભાગોમાં, 3 સારા અને 2 ખામીયુક્ત હોવા જોઈએ. હાલના 4 ખામીયુક્ત ભાગોમાંથી બે ખામીયુક્ત ભાગો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા 4 બાય 2 ના સંયોજનોની સંખ્યા જેટલી છે:

ઉપલબ્ધ 14 ગુણવત્તાવાળા ભાગોમાંથી ત્રણ ગુણવત્તાવાળા ભાગો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા બરાબર છે

.

સારા ભાગોના કોઈપણ જૂથને ખામીયુક્ત ભાગોના કોઈપણ જૂથ સાથે જોડી શકાય છે, તેથી સંયોજનોની કુલ સંખ્યા mજેટલી થાય છે

ઘટના A ની આવશ્યક સંભાવના એ આ ઘટનાને અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યાના ગુણોત્તર સમાન છે અને તમામ સમાન રીતે શક્ય સ્વતંત્ર પરિણામોની સંખ્યા n છે:

.

મર્યાદિત સંખ્યામાં ઘટનાઓનો સરવાળો એ ઘટના છે જેમાં ઓછામાં ઓછી એક ઘટનાનો સમાવેશ થાય છે.

બે ઘટનાઓનો સરવાળો પ્રતીક A+B અને સરવાળો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે n A 1 +A 2 + : +A n પ્રતીક સાથેની ઘટનાઓ.

સંભાવના ઉમેરણ પ્રમેય.

બે અસંગત ઘટનાઓના સરવાળાની સંભાવના આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓના સરવાળા જેટલી છે.

કોરોલરી 1. જો ઘટના A 1, A 2, :,A n સંપૂર્ણ સિસ્ટમ બનાવે છે, તો આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન છે.

કોરોલરી 2. વિરોધી ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો અને એક સમાન છે.

.

સમસ્યા 1. 100 લોટરી ટિકિટો છે. તે જાણીતું છે કે 5 ટિકિટ 20,000 રુબેલ્સ જીતે છે, 10 ટિકિટ 15,000 રુબેલ્સ જીતે છે, 15 ટિકિટ 10,000 રુબેલ્સ જીતે છે, 25 ટિકિટ 2,000 રુબેલ્સ જીતે છે. અને બાકીના માટે કંઈ નથી. સંભવિતતા શોધો કે ખરીદેલી ટિકિટ ઓછામાં ઓછી 10,000 રુબેલ્સની જીત મેળવશે.

ઉકેલ. A, B અને Cને એવી ઘટનાઓ બનવા દો કે જેમાં ખરીદેલી ટિકિટ અનુક્રમે 20,000, 15,000 અને 10,000 રુબેલ્સ જેટલી જીત મેળવે છે. કારણ કે ઘટનાઓ A, B અને C અસંગત છે, તો પછી

કાર્ય 2. ચાલુ બાહ્યટેકનિકલ શાળા શહેરોમાંથી ગણિતમાં પરીક્ષણો મેળવે છે A, Bઅને સાથે. શહેરમાંથી ટેસ્ટ પેપર મળવાની સંભાવના એ 0.6 ની બરાબર, શહેરમાંથી IN- 0.1. સંભાવના શોધો કે આગામી પરીક્ષણશહેરમાંથી આવશે સાથે.

"અકસ્માત આકસ્મિક નથી"... કોઈ ફિલોસોફરે કહ્યું હોય તેવું લાગે છે, પરંતુ હકીકતમાં, અવ્યવસ્થિતતાનો અભ્યાસ કરવો એ ગણિતના મહાન વિજ્ઞાનનું ભાગ્ય છે. ગણિતમાં, સંભાવના સિદ્ધાંત દ્વારા તક સાથે વ્યવહાર કરવામાં આવે છે. સૂત્રો અને કાર્યોના ઉદાહરણો, તેમજ આ વિજ્ઞાનની મુખ્ય વ્યાખ્યાઓ લેખમાં રજૂ કરવામાં આવશે.

સંભાવના સિદ્ધાંત શું છે?

સંભાવના સિદ્ધાંત એ ગાણિતિક શાખાઓમાંની એક છે જે રેન્ડમ ઘટનાઓનો અભ્યાસ કરે છે.

તેને થોડું સ્પષ્ટ કરવા માટે, ચાલો એક નાનું ઉદાહરણ આપીએ: જો તમે સિક્કો ઉપર ફેંકો છો, તો તે માથા અથવા પૂંછડી પર ઉતરી શકે છે. જ્યારે સિક્કો હવામાં હોય, ત્યારે આ બંને સંભાવનાઓ શક્ય છે. એટલે કે, સંભાવના સંભવિત પરિણામોગુણોત્તર 1:1 છે. જો કોઈ 36 કાર્ડ્સના ડેકમાંથી દોરવામાં આવે છે, તો સંભાવના 1:36 તરીકે દર્શાવવામાં આવશે. એવું લાગે છે કે અહીં અન્વેષણ કરવા અને આગાહી કરવા માટે કંઈ નથી, ખાસ કરીને ગાણિતિક સૂત્રોની મદદથી. જો કે, જો તમે કોઈ ચોક્કસ ક્રિયાને ઘણી વખત પુનરાવર્તિત કરો છો, તો તમે ચોક્કસ પેટર્નને ઓળખી શકો છો અને તેના આધારે, અન્ય પરિસ્થિતિઓમાં ઘટનાઓના પરિણામની આગાહી કરી શકો છો.

ઉપરોક્ત તમામનો સારાંશ આપવા માટે, શાસ્ત્રીય અર્થમાં સંભાવના સિદ્ધાંત સંખ્યાત્મક મૂલ્યમાં સંભવિત ઘટનાઓમાંથી એકની ઘટનાની શક્યતાનો અભ્યાસ કરે છે.

ઈતિહાસના પાનામાંથી

સંભવિતતાનો સિદ્ધાંત, સૂત્રો અને પ્રથમ કાર્યોના ઉદાહરણો દૂરના મધ્ય યુગમાં દેખાયા, જ્યારે પત્તાની રમતોના પરિણામની આગાહી કરવાનો પ્રયાસ પ્રથમ વખત થયો.

શરૂઆતમાં, સંભાવના સિદ્ધાંતને ગણિત સાથે કોઈ લેવાદેવા ન હતી. તે પ્રયોગમૂલક તથ્યો અથવા ઘટનાના ગુણધર્મો દ્વારા ન્યાયી ઠેરવવામાં આવ્યું હતું જે વ્યવહારમાં પુનઃઉત્પાદિત કરી શકાય છે. ગાણિતિક શિસ્ત તરીકે આ ક્ષેત્રમાં પ્રથમ કાર્ય 17મી સદીમાં દેખાયા. સ્થાપકો બ્લેઝ પાસ્કલ અને પિયર ફર્મેટ હતા. તેઓએ લાંબા સમય સુધી જુગારનો અભ્યાસ કર્યો અને અમુક દાખલાઓ જોયા, જેના વિશે તેઓએ લોકોને જણાવવાનું નક્કી કર્યું.

આ જ ટેકનિકની શોધ ક્રિસ્ટીઅન હ્યુજેન્સ દ્વારા કરવામાં આવી હતી, જો કે તે પાસ્કલ અને ફર્મેટના સંશોધનના પરિણામોથી પરિચિત ન હતા. "સંભાવના સિદ્ધાંત" ની વિભાવના, સૂત્રો અને ઉદાહરણો, જે શિસ્તના ઇતિહાસમાં પ્રથમ માનવામાં આવે છે, તેમના દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા.

જેકબ બર્નૌલી, લેપ્લેસ અને પોઈસનના પ્રમેયની કૃતિઓ પણ કોઈ નાની મહત્વની નથી. તેઓએ સંભાવના સિદ્ધાંતને ગાણિતિક શિસ્તની જેમ વધુ બનાવ્યો. સંભાવના સિદ્ધાંત, સૂત્રો અને મૂળભૂત કાર્યોના ઉદાહરણોને તેમનું વર્તમાન સ્વરૂપ કોલમોગોરોવના સ્વયંસિદ્ધને આભારી છે. તમામ ફેરફારોના પરિણામે, સંભાવના સિદ્ધાંત ગાણિતિક શાખાઓમાંની એક બની ગઈ.

સંભાવના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વિભાવનાઓ. ઘટનાઓ

આ શિસ્તનો મુખ્ય ખ્યાલ "ઇવેન્ટ" છે. ત્યાં ત્રણ પ્રકારની ઘટનાઓ છે:

• વિશ્વસનીય.તે જે કોઈપણ રીતે થશે (સિક્કો પડી જશે).
• અશક્ય.ઘટનાઓ કે જે કોઈપણ સંજોગોમાં થશે નહીં (સિક્કો હવામાં લટકતો રહેશે).
• રેન્ડમ.જે થશે કે નહીં થાય. તેઓ વિવિધ પરિબળોથી પ્રભાવિત થઈ શકે છે જેની આગાહી કરવી ખૂબ મુશ્કેલ છે. જો આપણે સિક્કા વિશે વાત કરીએ, તો પછી રેન્ડમ પરિબળો જે પરિણામને અસર કરી શકે છે: શારીરિક લાક્ષણિકતાઓસિક્કા, તેનો આકાર, પ્રારંભિક સ્થિતિ, ફેંકવાનું બળ, વગેરે.

ઉદાહરણોમાંની તમામ ઘટનાઓ કેપિટલ લેટિન અક્ષરોમાં દર્શાવેલ છે, P ના અપવાદ સાથે, જેની ભૂમિકા અલગ છે. દાખ્લા તરીકે:

• A = "વિદ્યાર્થીઓ પ્રવચન આપવા આવ્યા હતા."
• Ā = "વિદ્યાર્થીઓ વ્યાખ્યાનમાં આવ્યા ન હતા."

વ્યવહારિક કાર્યોમાં, ઘટનાઓ સામાન્ય રીતે શબ્દોમાં લખવામાં આવે છે.

માનૂ એક સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓઘટનાઓ - તેમની સમાન શક્યતા. એટલે કે, જો તમે સિક્કો ટૉસ કરો છો, તો તે પડે ત્યાં સુધી પ્રારંભિક પતનના તમામ પ્રકારો શક્ય છે. પરંતુ ઘટનાઓ પણ સમાન રીતે શક્ય નથી. આવું ત્યારે થાય છે જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ ઈરાદાપૂર્વક પરિણામને પ્રભાવિત કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, "લેબલ" પત્તા ની રમતઅથવા ડાઇસ જેમાં ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર સ્થાનાંતરિત થાય છે.

ઘટનાઓ સુસંગત અને અસંગત પણ હોઈ શકે છે. સુસંગત ઘટનાઓ એકબીજાની ઘટનાને બાકાત રાખતી નથી. દાખ્લા તરીકે:

• A = "વિદ્યાર્થી પ્રવચનમાં આવ્યો."
• B = "વિદ્યાર્થી પ્રવચનમાં આવ્યો."

આ ઘટનાઓ એકબીજાથી સ્વતંત્ર છે, અને તેમાંથી એકની ઘટના અન્યની ઘટનાને અસર કરતી નથી. અસંગત ઘટનાઓ એ હકીકત દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે એકની ઘટના બીજાની ઘટનાને બાકાત રાખે છે. જો આપણે સમાન સિક્કા વિશે વાત કરીએ, તો પછી "પૂંછડીઓ" ના નુકશાન સમાન પ્રયોગમાં "માથાઓ" ના દેખાવને અશક્ય બનાવે છે.

ઘટનાઓ પર ક્રિયાઓ

ઘટનાઓને ગુણાકાર અને ઉમેરી શકાય છે; તે મુજબ, તાર્કિક જોડાણો "AND" અને "OR" શિસ્તમાં રજૂ કરવામાં આવે છે.

રકમ એ હકીકત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે કે ઘટના A અથવા B, અથવા બે, એક સાથે થઈ શકે છે. જો તેઓ અસંગત હોય, તો છેલ્લો વિકલ્પ અશક્ય છે; ક્યાં તો A અથવા B રોલ કરવામાં આવશે.

ઘટનાઓના ગુણાકારમાં એક જ સમયે A અને B ના દેખાવનો સમાવેશ થાય છે.

હવે આપણે મૂળભૂત બાબતો, સંભાવના સિદ્ધાંત અને સૂત્રોને વધુ સારી રીતે યાદ રાખવા માટે ઘણા ઉદાહરણો આપી શકીએ છીએ. નીચે સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો.

વ્યાયામ 1: કંપની ત્રણ પ્રકારના કામ માટે કોન્ટ્રાક્ટ મેળવવાની સ્પર્ધામાં ભાગ લે છે. સંભવિત ઘટનાઓ જે થઈ શકે છે:

• A = "ફર્મ પ્રથમ કરાર પ્રાપ્ત કરશે."
• A 1 = "ફર્મને પ્રથમ કરાર પ્રાપ્ત થશે નહીં."
• B = "ફર્મને બીજો કરાર પ્રાપ્ત થશે."
• B 1 = "ફર્મને બીજો કરાર પ્રાપ્ત થશે નહીં"
• C = "ફર્મને ત્રીજો કરાર પ્રાપ્ત થશે."
• C 1 = "ફર્મને ત્રીજો કરાર પ્રાપ્ત થશે નહીં."

ઘટનાઓ પર ક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને, અમે નીચેની પરિસ્થિતિઓને વ્યક્ત કરવાનો પ્રયાસ કરીશું:

• K = "કંપનીને તમામ કોન્ટ્રાક્ટ પ્રાપ્ત થશે."

ગાણિતિક સ્વરૂપમાં, સમીકરણનું નીચેનું સ્વરૂપ હશે: K = ABC.

• M = "કંપનીને એક પણ કરાર પ્રાપ્ત થશે નહીં."

M = A 1 B 1 C 1.

ચાલો કાર્યને જટિલ બનાવીએ: H = "કંપનીને એક કરાર પ્રાપ્ત થશે." કંપની કયો કોન્ટ્રાક્ટ (પ્રથમ, બીજો કે ત્રીજો) મેળવશે તે જાણી શકાયું નથી, તેથી સંભવિત ઘટનાઓની સમગ્ર શ્રેણી રેકોર્ડ કરવી જરૂરી છે:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

અને 1 બીસી 1 એ ઘટનાઓની શ્રેણી છે જ્યાં પેઢીને પ્રથમ અને ત્રીજો કરાર પ્રાપ્ત થતો નથી, પરંતુ બીજો પ્રાપ્ત થાય છે. અન્ય સંભવિત ઘટનાઓ યોગ્ય પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેકોર્ડ કરવામાં આવી હતી. શિસ્તમાં υ ચિહ્ન સંયોજક "OR" સૂચવે છે. જો આપણે ઉપરના ઉદાહરણને માનવ ભાષામાં ભાષાંતર કરીએ, તો કંપનીને ત્રીજો કરાર અથવા બીજો અથવા પ્રથમ કરાર પ્રાપ્ત થશે. તેવી જ રીતે, તમે "સંભાવના સિદ્ધાંત" શિસ્તમાં અન્ય શરતો લખી શકો છો. ઉપરોક્ત પ્રસ્તુત સમસ્યાઓ ઉકેલવાના સૂત્રો અને ઉદાહરણો તમને આ જાતે કરવામાં મદદ કરશે.

ખરેખર, સંભાવના

કદાચ, આ ગાણિતિક શિસ્તમાં, ઘટનાની સંભાવના એ કેન્દ્રિય ખ્યાલ છે. સંભાવનાની 3 વ્યાખ્યાઓ છે:

• ઉત્તમ;
• આંકડાકીય;
• ભૌમિતિક

સંભાવનાના અભ્યાસમાં દરેકનું પોતાનું સ્થાન છે. સંભાવના સિદ્ધાંત, સૂત્રો અને ઉદાહરણો (9મું ગ્રેડ) મુખ્યત્વે શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરે છે, જે આના જેવું લાગે છે:

• પરિસ્થિતિ A ની સંભાવના એ પરિણામોની સંખ્યાના ગુણોત્તર જેટલી છે જે તેની ઘટનાને તમામ સંભવિત પરિણામોની સંખ્યાની તરફેણ કરે છે.

સૂત્ર આના જેવું દેખાય છે: P(A)=m/n.

A વાસ્તવમાં એક ઘટના છે. જો A ની વિરુદ્ધનો કેસ દેખાય, તો તેને Ā અથવા A 1 તરીકે લખી શકાય.

m એ સંભવિત અનુકૂળ કેસોની સંખ્યા છે.

n - બધી ઘટનાઓ જે બની શકે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, A = "હાર્ટ સૂટનું કાર્ડ દોરો." પ્રમાણભૂત ડેકમાં 36 કાર્ડ્સ છે, તેમાંથી 9 હૃદયના છે. તદનુસાર, સમસ્યા હલ કરવા માટેનું સૂત્ર આના જેવું દેખાશે:

P(A)=9/36=0.25.

પરિણામે, ડેકમાંથી હાર્ટ સ્યુટનું કાર્ડ દોરવામાં આવશે તેવી સંભાવના 0.25 હશે.

ઉચ્ચ ગણિત તરફ

હવે તે થોડું જાણીતું બન્યું છે કે સંભાવનાનો સિદ્ધાંત શું છે, સૂત્રો અને શાળાના અભ્યાસક્રમમાં આવતી સમસ્યાઓ ઉકેલવાના ઉદાહરણો. જો કે, ઉચ્ચ ગણિતમાં પણ સંભાવના સિદ્ધાંત જોવા મળે છે, જે યુનિવર્સિટીઓમાં ભણાવવામાં આવે છે. મોટેભાગે તેઓ સિદ્ધાંતની ભૌમિતિક અને આંકડાકીય વ્યાખ્યાઓ અને જટિલ સૂત્રો સાથે કાર્ય કરે છે.

સંભાવનાનો સિદ્ધાંત ખૂબ જ રસપ્રદ છે. સંભવિતતાની આંકડાકીય (અથવા આવર્તન) વ્યાખ્યા સાથે - સૂત્રો અને ઉદાહરણો (ઉચ્ચ ગણિત) નાનું ભણવાનું શરૂ કરવું વધુ સારું છે.

આંકડાકીય અભિગમ શાસ્ત્રીય અભિગમ સાથે વિરોધાભાસી નથી, પરંતુ સહેજ તેને વિસ્તૃત કરે છે. જો પ્રથમ કિસ્સામાં તે નક્કી કરવું જરૂરી હતું કે ઘટના કઈ સંભાવના સાથે બનશે, તો આ પદ્ધતિમાં તે કેટલી વાર થશે તે સૂચવવું જરૂરી છે. અહીં "રિલેટિવ ફ્રીક્વન્સી" નો નવો ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવ્યો છે, જેને W n (A) દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે. સૂત્ર ક્લાસિકથી અલગ નથી:

જો આગાહી માટે શાસ્ત્રીય સૂત્રની ગણતરી કરવામાં આવે છે, તો પછી આંકડાકીય સૂત્રની ગણતરી પ્રયોગના પરિણામો અનુસાર કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે એક નાનું કાર્ય લઈએ.

તકનીકી નિયંત્રણ વિભાગ ગુણવત્તા માટે ઉત્પાદનોની તપાસ કરે છે. 100 ઉત્પાદનોમાંથી, 3 નબળી ગુણવત્તાની હોવાનું જણાયું હતું. ગુણવત્તાયુક્ત ઉત્પાદનની આવર્તન સંભાવના કેવી રીતે શોધવી?

A = "ગુણવત્તાવાળા ઉત્પાદનનો દેખાવ."

W n (A)=97/100=0.97

આમ, ગુણવત્તાયુક્ત ઉત્પાદનની આવર્તન 0.97 છે. તમને 97 ક્યાંથી મળ્યા? જે 100 ઉત્પાદનોની ચકાસણી કરવામાં આવી હતી, તેમાંથી 3 નબળી ગુણવત્તાની હોવાનું જણાયું હતું. આપણે 100માંથી 3 બાદ કરીએ છીએ અને 97 મેળવીએ છીએ, આ ગુણવત્તાયુક્ત માલની રકમ છે.

સંયોજનશાસ્ત્ર વિશે થોડું

સંભાવના સિદ્ધાંતની બીજી પદ્ધતિને સંયોજનશાસ્ત્ર કહેવામાં આવે છે. તેનો મૂળ સિદ્ધાંત એ છે કે જો ચોક્કસ પસંદગી A કરી શકાય તો m અલગ રસ્તાઓ, અને B ની પસંદગી n અલગ અલગ રીતે છે, પછી A અને B ની પસંદગી ગુણાકાર દ્વારા કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, શહેર A થી શહેર B તરફ જતા 5 રસ્તાઓ છે. શહેર B થી શહેર C સુધીના 4 રસ્તાઓ છે. તમે શહેર A થી શહેર C સુધી કેટલી રીતે જઈ શકો છો?

તે સરળ છે: 5x4=20, એટલે કે, તમે બિંદુ A થી બિંદુ C સુધી વીસ અલગ અલગ રીતે મેળવી શકો છો.

ચાલો કાર્યને જટિલ બનાવીએ. સોલિટેરમાં કાર્ડ મૂકવાની કેટલી રીતો છે? ડેકમાં 36 કાર્ડ્સ છે - આ પ્રારંભિક બિંદુ છે. માર્ગોની સંખ્યા શોધવા માટે, તમારે પ્રારંભિક બિંદુથી એક સમયે એક કાર્ડ "બાદબાકી" કરવાની અને ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

એટલે કે, 36x35x34x33x32...x2x1= પરિણામ કેલ્ક્યુલેટર સ્ક્રીન પર બંધ બેસતું નથી, તેથી તેને ફક્ત 36! તરીકે નિયુક્ત કરી શકાય છે. હસ્તાક્ષર "!" સંખ્યાની બાજુમાં દર્શાવે છે કે સંખ્યાઓની સમગ્ર શ્રેણી એકસાથે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

સંયોજનશાસ્ત્રમાં ક્રમચય, સ્થાન અને સંયોજન જેવા ખ્યાલો છે. તેમાંના દરેકનું પોતાનું સૂત્ર છે.

સમૂહના ઘટકોના ક્રમબદ્ધ સમૂહને ગોઠવણી કહેવામાં આવે છે. પ્લેસમેન્ટને પુનરાવર્તિત કરી શકાય છે, એટલે કે, એક તત્વનો ઘણી વખત ઉપયોગ કરી શકાય છે. અને પુનરાવર્તન વિના, જ્યારે તત્વોનું પુનરાવર્તન થતું નથી. n એ બધા તત્વો છે, m એ તત્વો છે જે પ્લેસમેન્ટમાં ભાગ લે છે. પુનરાવર્તન વિના પ્લેસમેન્ટ માટેનું સૂત્ર આના જેવું દેખાશે:

A n m =n!/(n-m)!

n તત્વોના જોડાણો કે જે ફક્ત પ્લેસમેન્ટના ક્રમમાં અલગ પડે છે તેને ક્રમચય કહેવામાં આવે છે. ગણિતમાં તે આના જેવું દેખાય છે: P n = n!

m ના n તત્વોના સંયોજનો એવા સંયોજનો છે જેમાં તે કયા તત્વો હતા અને તેમની કુલ સંખ્યા કેટલી છે તે મહત્વનું છે. સૂત્ર આના જેવો દેખાશે:

A n m =n!/m!(n-m)!

બર્નૌલીનું સૂત્ર

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, તેમજ દરેક વિદ્યાશાખામાં, તેમના ક્ષેત્રમાં ઉત્કૃષ્ટ સંશોધકોની કૃતિઓ છે જેઓ તેને લાવ્યા છે. નવું સ્તર. આમાંનું એક કાર્ય છે બર્નોલી સૂત્ર, જે તમને સ્વતંત્ર પરિસ્થિતિઓમાં બનતી ચોક્કસ ઘટનાની સંભાવના નક્કી કરવા દે છે. આ સૂચવે છે કે પ્રયોગમાં A ની ઘટના અગાઉની અથવા પછીની અજમાયશમાં સમાન ઘટનાની ઘટના અથવા બિન-ઘટના પર આધારિત નથી.

બર્નૌલીનું સમીકરણ:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

દરેક અજમાયશ માટે ઘટના (A) બનવાની સંભાવના (p) સ્થિર છે. n પ્રયોગોની સંખ્યામાં બરાબર m વખત પરિસ્થિતિ ઉત્પન્ન થવાની સંભાવના ઉપર પ્રસ્તુત સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવશે. તદનુસાર, પ્રશ્ન એ ઊભો થાય છે કે નંબર q કેવી રીતે શોધી શકાય.

જો ઘટના A ઘણી વખત p બને ​​છે, તે મુજબ, તે ન પણ બની શકે. એકમ એવી સંખ્યા છે જેનો ઉપયોગ શિસ્તમાં પરિસ્થિતિના તમામ પરિણામોને નિયુક્ત કરવા માટે થાય છે. તેથી, q એ એક સંખ્યા છે જે ઘટના ન બનવાની શક્યતા દર્શાવે છે.

હવે તમે બર્નૌલીનું સૂત્ર (સંભાવના સિદ્ધાંત) જાણો છો. અમે નીચે સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો (પ્રથમ સ્તર) પર વિચાર કરીશું.

કાર્ય 2:સ્ટોર મુલાકાતી 0.2 સંભાવના સાથે ખરીદી કરશે. 6 મુલાકાતીઓ સ્વતંત્ર રીતે સ્ટોરમાં પ્રવેશ્યા. મુલાકાતી ખરીદી કરશે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ: કેટલા મુલાકાતીઓએ ખરીદી કરવી જોઈએ તે અજ્ઞાત હોવાથી, એક અથવા તમામ છ, તેથી બર્નૌલી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તમામ સંભવિત સંભાવનાઓની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.

A = "મુલાકાતી ખરીદી કરશે."

આ કિસ્સામાં: p = 0.2 (કાર્યમાં સૂચવ્યા મુજબ). તદનુસાર, q=1-0.2 = 0.8.

n = 6 (કારણ કે સ્ટોરમાં 6 ગ્રાહકો છે). m સંખ્યા 0 (એક પણ ગ્રાહક ખરીદી કરશે નહીં) થી 6 સુધી બદલાશે (સ્ટોર પરના બધા મુલાકાતીઓ કંઈક ખરીદશે). પરિણામે, અમને ઉકેલ મળે છે:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.

કોઈ પણ ખરીદદાર 0.2621 સંભાવના સાથે ખરીદી કરશે નહીં.

બર્નૌલીના સૂત્ર (સંભાવના સિદ્ધાંત)નો ઉપયોગ અન્ય કેવી રીતે થાય છે? નીચે સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો (બીજા સ્તર)

ઉપરના ઉદાહરણ પછી, C અને r ક્યાં ગયા તે અંગે પ્રશ્નો ઉભા થાય છે. p ના સાપેક્ષ, 0 ની ઘાતની સંખ્યા એકની બરાબર હશે. C માટે, તે સૂત્ર દ્વારા શોધી શકાય છે:

C n m = n! /m!(n-m)!

કારણ કે પ્રથમ ઉદાહરણમાં m = 0, અનુક્રમે, C = 1, જે સૈદ્ધાંતિક રીતે પરિણામને અસર કરતું નથી. નવા ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને, ચાલો એ જાણવાનો પ્રયાસ કરીએ કે બે મુલાકાતીઓ સામાન ખરીદવાની સંભાવના શું છે.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

સંભાવનાનો સિદ્ધાંત એટલો જટિલ નથી. બર્નૌલીનું સૂત્ર, જેનાં ઉદાહરણો ઉપર રજૂ કરવામાં આવ્યા છે, તે આનો સીધો પુરાવો છે.

પોઈસનનું સૂત્ર

પોઈસનના સમીકરણનો ઉપયોગ ઓછી સંભાવનાની રેન્ડમ પરિસ્થિતિઓની ગણતરી કરવા માટે થાય છે.

મૂળભૂત સૂત્ર:

P n (m)=λ m/m! × e (-λ) .

આ કિસ્સામાં λ = n x p. અહીં એક સરળ પોઈસન સૂત્ર (સંભાવના સિદ્ધાંત) છે. અમે નીચે સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો પર વિચાર કરીશું.

કાર્ય 3: ફેક્ટરીએ 100,000 ભાગોનું ઉત્પાદન કર્યું. ખામીયુક્ત ભાગની ઘટના = 0.0001. બેચમાં 5 ખામીયુક્ત ભાગો હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

જેમ તમે જોઈ શકો છો, લગ્ન એક અસંભવિત ઘટના છે, અને તેથી પોઈસન સૂત્ર (સંભાવના સિદ્ધાંત) નો ઉપયોગ ગણતરી માટે થાય છે. આ પ્રકારની સમસ્યાઓ હલ કરવાના ઉદાહરણો શિસ્તના અન્ય કાર્યોથી અલગ નથી; અમે આપેલ સૂત્રમાં જરૂરી ડેટાને બદલીએ છીએ:

A = "રેન્ડમલી પસંદ કરેલ ભાગ ખામીયુક્ત હશે."

p = 0.0001 (કાર્ય શરતો અનુસાર).

n = 100000 (ભાગોની સંખ્યા).

m = 5 (ખામીયુક્ત ભાગો). અમે ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:

R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0.0375.

બર્નૌલી સૂત્ર (સંભાવના સિદ્ધાંત)ની જેમ, ઉપર લખેલા ઉકેલોના ઉદાહરણો, પોઈસન સમીકરણમાં અજ્ઞાત e છે. હકીકતમાં, તે સૂત્ર દ્વારા શોધી શકાય છે:

e -λ = લિમ n ->∞ (1-λ/n) n .

જો કે, ત્યાં વિશિષ્ટ કોષ્ટકો છે જેમાં e ના લગભગ તમામ મૂલ્યો છે.

ડી મોઇવરે-લાપ્લેસ પ્રમેય

જો બર્નોલી સ્કીમમાં ટ્રાયલ્સની સંખ્યા પૂરતી મોટી હોય, અને તમામ સ્કીમમાં ઘટના A બનવાની સંભાવના સમાન હોય, તો પછી ઘટના A ની ઘટનાની સંભાવના પરીક્ષણોની શ્રેણીમાં ચોક્કસ સંખ્યા દ્વારા શોધી શકાય છે. લેપ્લેસનું સૂત્ર:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

લેપ્લેસનું સૂત્ર (સંભાવના સિદ્ધાંત) વધુ સારી રીતે યાદ રાખવા માટે, સમસ્યાઓના ઉદાહરણો મદદ કરવા નીચે આપેલા છે.

પ્રથમ, ચાલો X m શોધીએ, ડેટા (તે બધા ઉપર સૂચિબદ્ધ છે) ને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ અને 0.025 મેળવો. કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ϕ(0.025) નંબર શોધીએ છીએ, જેનું મૂલ્ય 0.3988 છે. હવે તમે બધા ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલી શકો છો:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03.

આમ, ફ્લાયર બરાબર 267 વખત કામ કરશે તેવી સંભાવના 0.03 છે.

બેઝ સૂત્ર

બેયસ સૂત્ર (સંભાવ્યતા સિદ્ધાંત), જેની મદદથી સમસ્યાઓ ઉકેલવાના ઉદાહરણો નીચે આપવામાં આવશે, તે એક સમીકરણ છે જે તેની સાથે સંકળાયેલા સંજોગોના આધારે ઘટનાની સંભાવનાનું વર્ણન કરે છે. મૂળભૂત સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A અને B ચોક્કસ ઘટનાઓ છે.

P(A|B) એ શરતી સંભાવના છે, એટલે કે, ઘટના A બની શકે છે જો કે ઘટના B સાચી હોય.

P (B|A) - ઘટના B ની શરતી સંભાવના.

તેથી, ટૂંકા અભ્યાસક્રમ "પ્રોબેબિલિટી થિયરી" નો અંતિમ ભાગ એ બેયસ સૂત્ર છે, જેની સાથે સમસ્યાઓના ઉકેલોના ઉદાહરણો નીચે છે.

કાર્ય 5: ત્રણ કંપનીના ફોન વેરહાઉસમાં લાવવામાં આવ્યા હતા. તે જ સમયે, પ્રથમ પ્લાન્ટમાં ઉત્પાદિત ફોનનો હિસ્સો 25% છે, બીજામાં - 60%, ત્રીજામાં - 15%. તે પણ જાણીતું છે કે પ્રથમ ફેક્ટરીમાં ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની સરેરાશ ટકાવારી 2% છે, બીજામાં - 4%, અને ત્રીજામાં - 1%. તમારે સંભવિતતા શોધવાની જરૂર છે કે રેન્ડમલી પસંદ કરેલ ફોન ખામીયુક્ત હશે.

A = "રેન્ડમલી પસંદ કરેલ ફોન."

B 1 - ફોન કે જેનું ઉત્પાદન પ્રથમ ફેક્ટરીએ કર્યું હતું. તદનુસાર, પ્રારંભિક B 2 અને B 3 દેખાશે (બીજા અને ત્રીજા ફેક્ટરીઓ માટે).

પરિણામે આપણને મળે છે:

P (B 1) = 25%/100% = 0.25; P(B 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - આમ અમને દરેક વિકલ્પની સંભાવના મળી.

હવે તમારે ઇચ્છિત ઇવેન્ટની શરતી સંભાવનાઓ શોધવાની જરૂર છે, એટલે કે, કંપનીઓમાં ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની સંભાવના:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0.02;

P(A/B 2) = 0.04;

P (A/B 3) = 0.01.

ચાલો હવે ડેટાને બેયસ ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ અને મેળવીએ:

P (A) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305.

આ લેખ સંભાવના સિદ્ધાંત, સૂત્રો અને સમસ્યા હલ કરવાના ઉદાહરણો રજૂ કરે છે, પરંતુ આ એક વિશાળ શિસ્તના આઇસબર્ગની માત્ર ટોચ છે. અને જે બધું લખવામાં આવ્યું છે તે પછી, જીવનમાં સંભાવનાના સિદ્ધાંતની જરૂર છે કે કેમ તે પ્રશ્ન પૂછવો તાર્કિક હશે. એક સામાન્ય વ્યક્તિ માટે જવાબ આપવો મુશ્કેલ છે; જેકપોટ જીતવા માટે એક કરતા વધુ વાર તેનો ઉપયોગ કરનાર વ્યક્તિને પૂછવું વધુ સારું છે.

સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા ખ્યાલ પર આધારિત છે સંભવિત અનુભવ,અથવા સંભાવના પ્રયોગ. તેનું પરિણામ અનેક સંભવિત પરિણામોમાંથી એક છે, જેને કહેવાય છે પ્રાથમિક પરિણામો, અને એવી અપેક્ષા રાખવાનું કોઈ કારણ નથી કે સંભવિત પ્રયોગનું પુનરાવર્તન કરતી વખતે કોઈપણ પ્રાથમિક પરિણામ અન્ય કરતા વધુ વખત દેખાશે. ઉદાહરણ તરીકે, એક સંભવિત પ્રયોગને ધ્યાનમાં લો જેમાં ડાઇસ ફેંકવાનો સમાવેશ થાય છે. આ પ્રયોગનું પરિણામ એ ક્યુબની બાજુઓ પર દોરેલા 6 બિંદુઓમાંથી એકનું નુકસાન છે.

આમ, આ પ્રયોગમાં 6 પ્રાથમિક પરિણામો છે:

અને તેમાંથી દરેક સમાન રીતે અપેક્ષિત છે.

ઘટનાશાસ્ત્રીય સંભાવના પ્રયોગમાં પ્રાથમિક પરિણામોના સમૂહનો મનસ્વી ઉપગણ છે. ડાઇ ફેંકવાના માનવામાં આવેલા ઉદાહરણમાં, ઘટના છે, ઉદાહરણ તરીકે, સમાન સંખ્યાના પોઈન્ટનું નુકસાન, જેમાં પ્રાથમિક પરિણામોનો સમાવેશ થાય છે.

ઇવેન્ટની સંભાવના એ સંખ્યા છે:

ઘટનાને બનાવતા પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા ક્યાં છે (કેટલીકવાર તેઓ કહે છે કે આ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા છે જે ઘટનાની ઘટનાની તરફેણ કરે છે), અને તે તમામ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા છે.

અમારા ઉદાહરણમાં:

સંયોજનશાસ્ત્રના તત્વો.

ઘણા સંભવિત પ્રયોગોનું વર્ણન કરતી વખતે, પ્રાથમિક પરિણામોને સંયોજનશાસ્ત્રના નીચેના પદાર્થોમાંથી એક (સીમિત સમૂહોનું વિજ્ઞાન) વડે ઓળખી શકાય છે.

પુનઃ ગોઠવણીસંખ્યાઓની પુનરાવર્તિતતા વિના આ સંખ્યાઓની મનસ્વી ક્રમબદ્ધ રજૂઆત છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ સંખ્યાઓના સમૂહ માટે 6 અલગ અલગ ક્રમચયો છે:

, , , , , .

ક્રમચયોની મનસ્વી સંખ્યા સમાન છે

(પ્રાકૃતિક શ્રેણીમાં સળંગ સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન, 1 થી શરૂ થાય છે).

નું સંયોજનસમૂહના કોઈપણ ઘટકોનો એક મનસ્વી અવ્યવસ્થિત સમૂહ છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ સંખ્યાઓના સમૂહ માટે 3 બાય 2 ના 3 જુદા જુદા સંયોજનો છે:

મનસ્વી જોડી માટે, , માંથી સંયોજનોની સંખ્યા બરાબર છે

દાખ્લા તરીકે,

હાયપરજીઓમેટ્રિક વિતરણ.

નીચેના સંભવિત પ્રયોગને ધ્યાનમાં લો. ત્યાં એક બ્લેક બોક્સ છે જેમાં સફેદ અને કાળા દડા છે. દડા સમાન કદના છે અને સ્પર્શ માટે અસ્પષ્ટ છે. પ્રયોગમાં રેન્ડમ પર બોલ દોરવાનો સમાવેશ થાય છે. ઘટના જેની સંભાવના શોધવાની જરૂર છે તે એ છે કે આમાંના કેટલાક દડા સફેદ છે અને બાકીના કાળા છે.

ચાલો બધા દડાઓને 1 થી ની સંખ્યાઓ સાથે ફરીથી નંબર કરીએ. નંબરો 1, ¼ સફેદ દડાઓને અનુરૂપ થવા દો, અને નંબરો , ¼, કાળા દડાને અનુરૂપ છે. આ પ્રયોગમાં પ્રાથમિક પરિણામ એ સમૂહમાંથી તત્વોનો અક્રમબદ્ધ સમૂહ છે, એટલે કે, દ્વારાનું સંયોજન. પરિણામે, તમામ પ્રાથમિક પરિણામો છે.

ચાલો ઘટનાની ઘટના માટે અનુકૂળ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા શોધીએ. અનુરૂપ સમૂહોમાં "સફેદ" અને "કાળો" નંબરો હોય છે. તમે "સફેદ" નંબરોમાંથી ત્રણ રીતે નંબરો અને "કાળા" નંબરોમાંથી નંબરો ¾ રીતે પસંદ કરી શકો છો. સફેદ અને કાળા સેટને મનસ્વી રીતે જોડી શકાય છે, તેથી ઇવેન્ટ માટે અનુકૂળ માત્ર પ્રાથમિક પરિણામો છે.

ઘટનાની સંભાવના છે

પરિણામી સૂત્રને હાઇપરજીઓમેટ્રિક વિતરણ કહેવામાં આવે છે.

સમસ્યા 5.1.બોક્સમાં સમાન પ્રકારના 55 પ્રમાણભૂત અને 6 ખામીયુક્ત ભાગો છે. અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલા ત્રણ ભાગોમાંથી ઓછામાં ઓછો એક ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ.કુલ 61 ભાગો છે, અમે 3 લઈએ છીએ. પ્રાથમિક પરિણામ એ 61 બાય 3 નું સંયોજન છે. તમામ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા બરાબર છે. અનુકૂળ પરિણામોને ત્રણ જૂથોમાં વહેંચવામાં આવ્યા છે: 1) આ તે પરિણામો છે જેમાં 1 ભાગ ખામીયુક્ત છે અને 2 સારા છે; 2) 2 ભાગો ખામીયુક્ત છે, અને 1 સારો છે; 3) બધા 3 ભાગો ખામીયુક્ત છે. પહેલા પ્રકારના સેટની સંખ્યા બરાબર છે, બીજા પ્રકારના સેટની સંખ્યા બરાબર છે, અને ત્રીજા પ્રકારના સેટની સંખ્યા બરાબર છે. પરિણામે, ઘટનાની ઘટના પ્રાથમિક પરિણામો દ્વારા તરફેણ કરવામાં આવે છે. ઘટનાની સંભાવના છે

ઘટનાઓનું બીજગણિત

પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યા આપેલ અનુભવથી સંબંધિત તમામ પ્રાથમિક પરિણામોનો સમૂહ છે.

રકમબે ઘટનાઓને ઘટના કહેવામાં આવે છે જેમાં ઘટના અથવા ઘટના સાથે સંબંધિત પ્રાથમિક પરિણામોનો સમાવેશ થાય છે.

કામબે ઘટનાઓને ઘટના કહેવામાં આવે છે જેમાં પ્રાથમિક પરિણામોનો સમાવેશ થાય છે જે એક સાથે ઘટનાઓ અને .

ઘટનાઓ અને જો અસંગત કહેવાય.

ઘટના કહેવાય છે વિરુદ્ધઇવેન્ટ, જો ઇવેન્ટને તે તમામ પ્રાથમિક પરિણામો દ્વારા પસંદ કરવામાં આવે છે જે ઇવેન્ટ સાથે સંબંધિત નથી. વિશેષ રીતે, , .

સમ પ્રમેય.

વિશેષ રીતે, .

શરતી સંભાવનાઘટના, જો કે ઘટના બની હોય, તો આંતરછેદ સાથે જોડાયેલા પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા સાથે સંબંધિત પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યાના ગુણોત્તરને કહેવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઘટનાની શરતી સંભાવના ક્લાસિકલ પ્રોબેબિલિટી ફોર્મ્યુલા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જેમાં નવી સંભાવના જગ્યા છે. ઘટનાની શરતી સંભાવના દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

ઉત્પાદન પ્રમેય. .

ઘટનાઓ કહેવામાં આવે છે સ્વતંત્ર, જો . સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે, ઉત્પાદન પ્રમેય સંબંધ આપે છે.

સરવાળો અને ઉત્પાદન પ્રમેયનું પરિણામ નીચેના બે સૂત્રો છે.

કુલ સંભાવના સૂત્ર. પૂર્વધારણાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ અસંગત ઘટનાઓનો એક મનસ્વી સમૂહ છે , ¼, , જે એકસાથે સમગ્ર સંભાવના જગ્યા બનાવે છે:

આ પરિસ્થિતિમાં, મનસ્વી ઘટના માટે, કુલ સંભાવના સૂત્ર તરીકે ઓળખાતું સૂત્ર માન્ય છે,

લેપ્લેસ ફંક્શન ક્યાં છે , , . લેપ્લેસ ફંક્શન ટેબ્યુલેટેડ છે, અને આપેલ મૂલ્ય આપેલ તેના મૂલ્યો, સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડાઓ પરના કોઈપણ પાઠ્યપુસ્તકમાં મળી શકે છે.

સમસ્યા 5.3.તે જાણીતું છે કે ભાગોના મોટા બેચમાં 11% ખામી છે. પરીક્ષણ માટે 100 ભાગો પસંદ કરવામાં આવ્યા છે. તેમની વચ્ચે 14 થી વધુ ખામીયુક્ત ન હોવાની સંભાવના શું છે? Moivre-Laplace પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને જવાબનો અંદાજ કાઢો.

ઉકેલ.અમે બર્નૌલી ટેસ્ટ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ, જ્યાં , , . સફળતા એ ખામીયુક્ત ભાગની શોધ માનવામાં આવે છે, અને સફળતાની સંખ્યા અસમાનતાને સંતોષે છે. આથી,

સીધી ગણતરી આપે છે:

, , , , , , , , , , , , , , .

આથી, . હવે ચાલો Moivre-Laplace અભિન્ન પ્રમેય લાગુ કરીએ. અમને મળે છે:

ફંક્શન મૂલ્યોના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, ફંક્શનની વિચિત્રતાને ધ્યાનમાં લઈને, આપણે મેળવીએ છીએ

અંદાજિત ગણતરીની ભૂલ ઓળંગતી નથી.

રેન્ડમ ચલો

રેન્ડમ ચલ એ સંભવિત પ્રયોગની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતા છે, જે પ્રાથમિક પરિણામોનું કાર્ય છે. જો , , ¼, પ્રાથમિક પરિણામોનો સમૂહ છે, તો રેન્ડમ ચલ એ નું કાર્ય છે. જો કે, તે બધાને સૂચિબદ્ધ કરીને રેન્ડમ વેરીએબલને દર્શાવવું વધુ અનુકૂળ છે શક્ય મૂલ્યોઅને સંભાવનાઓ જેની સાથે તે આ મૂલ્ય લે છે.

આ કોષ્ટકને વિતરણ કાયદો કહેવામાં આવે છે રેન્ડમ ચલ. કારણ કે ઘટનાઓ સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે, સંભવિત સામાન્યકરણનો કાયદો સંતુષ્ટ છે

રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા, અથવા સરેરાશ મૂલ્ય, રેન્ડમ ચલના મૂલ્યો અને અનુરૂપ સંભાવનાઓના ઉત્પાદનોના સરવાળા જેટલી સંખ્યા છે.

રેન્ડમ ચલનું વિક્ષેપ (ગાણિતિક અપેક્ષાની આસપાસ મૂલ્યોના ફેલાવાની ડિગ્રી) એ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા છે,

તે બતાવી શકાય છે

તીવ્રતા

રેન્ડમ ચલનું સરેરાશ ચોરસ વિચલન કહેવાય છે.

રેન્ડમ ચલ માટેનું વિતરણ કાર્ય એ સમૂહમાં પડવાની સંભાવના છે, એટલે કે

તે એક બિન-નકારાત્મક, બિન-ઘટતું કાર્ય છે જે 0 થી 1 સુધીના મૂલ્યો લે છે. રેન્ડમ ચલ માટે કે જેમાં મૂલ્યોનો મર્યાદિત સમૂહ હોય છે, તે એક પીસવાઇઝ કોન્સ્ટન્ટ ફંક્શન છે જે સ્ટેટ પોઈન્ટ પર બીજા પ્રકારનું વિરામ ધરાવે છે. વધુમાં, અને ડાબી બાજુએ સતત છે.

સમસ્યા 5.4.એક પછી એક બે ડાઇસ ફેંકવામાં આવે છે. જો એક ડાઇસ પર એક, ત્રણ અથવા પાંચ પોઇન્ટ દેખાય છે, તો ખેલાડી 5 રુબેલ્સ ગુમાવે છે. જો બે અથવા ચાર પોઇન્ટ રોલ કરવામાં આવે છે, તો ખેલાડીને 7 રુબેલ્સ મળે છે. જો છ પોઇન્ટ રોલ કરવામાં આવે છે, તો ખેલાડી 12 રુબેલ્સ ગુમાવે છે. રેન્ડમ મૂલ્ય xબે ડાઇસ રોલ માટે ખેલાડીની ચૂકવણી છે. વિતરણ કાયદો શોધો x, વિતરણ કાર્યનું કાવતરું બનાવો, ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા શોધો x.

ઉકેલ.ચાલો પહેલા વિચારીએ કે ડાઇ ફેંકતી વખતે ખેલાડીની જીત કેટલી બરાબર છે. ઘટનાને દો કે 1, 3 અથવા 5 પોઈન્ટ રોલ કરવામાં આવે છે. પછી, જીત રુબેલ્સ હશે. ઘટનાને દો કે 2 અથવા 4 પોઇન્ટ રોલ કરવામાં આવે છે. પછી, જીત રુબેલ્સ હશે. છેલ્લે, ઇવેન્ટનો અર્થ 6 રોલિંગ થવા દો. પછી જીત રુબેલ્સ જેટલી છે.

હવે ચાલો ઘટનાઓના તમામ સંભવિત સંયોજનોને ધ્યાનમાં લઈએ અને બે ડાઇસ થ્રો સાથે, અને આવા દરેક સંયોજન માટે વિજેતા મૂલ્યો નક્કી કરીએ.

જો કોઈ ઘટના આવી હોય, તો પછી, તે જ સમયે.

જો કોઈ ઘટના આવી હોય, તો પછી, તે જ સમયે.

એ જ રીતે, જ્યારે આપણે મેળવીએ છીએ, .

અમે બધા મળેલા રાજ્યો અને આ રાજ્યોની કુલ સંભાવનાઓ કોષ્ટકમાં લખીએ છીએ:

અમે સંભવિત નોર્મલાઇઝેશનના કાયદાની પરિપૂર્ણતા તપાસીએ છીએ: વાસ્તવિક લાઇન પર તમારે આ અંતરાલમાં આવતા રેન્ડમ ચલની સંભાવના નક્કી કરવામાં સક્ષમ બનવાની જરૂર છે 1) અને ઝડપથી ઘટીને, ¼,