રેન્ડમ ચલ

§ 1. રેન્ડમ વેરીએબલનો ખ્યાલ.

ભૌતિકશાસ્ત્ર અને અન્ય પ્રાકૃતિક વિજ્ઞાનમાં સમય, લંબાઈ, જથ્થા, વજન વગેરે જેવા વિવિધ સ્વભાવના ઘણાં વિવિધ પ્રમાણ છે. અચળ માત્રા એ એવો જથ્થો છે જે માત્ર એક નિશ્ચિત મૂલ્ય લે છે. જથ્થાઓ જે વિવિધ મૂલ્યો લઈ શકે છે તેને ચલ કહેવામાં આવે છે. જો તે લઈ શકે તેવા મૂલ્યોનો સમૂહ ઉલ્લેખિત હોય તો જથ્થાને આપવામાં આવે છે. જો તે અસ્પષ્ટપણે જાણીતું હોય કે ચોક્કસ શરતો બનાવવામાં આવે ત્યારે જથ્થામાંથી કયું મૂલ્ય લેશે, તો પછી તેને "સામાન્ય", નિર્ધારિત જથ્થો તરીકે બોલવામાં આવે છે. આવા જથ્થાનું ઉદાહરણ એ શબ્દમાં અક્ષરોની સંખ્યા છે. બહુમતી ભૌતિક જથ્થોસહજ માપન ચોકસાઈવાળા સાધનોનો ઉપયોગ કરીને માપવામાં આવે છે અને ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાના અર્થમાં, તે "સામાન્ય" નથી. આ પ્રકારના "અસામાન્ય" જથ્થાઓને કહેવામાં આવે છે રેન્ડમ . રેન્ડમ ચલો માટે, સેટને સંભવિત મૂલ્યોનો સમૂહ કહેવો યોગ્ય છે. રેન્ડમ ચલ ચોક્કસ સંભાવના સાથે એક અથવા અન્ય મૂલ્ય લે છે. નોંધ કરો કે તમામ જથ્થાઓને રેન્ડમ ગણી શકાય, કારણ કે નિર્ણાયક જથ્થો એ રેન્ડમ ચલ છે જે દરેક મૂલ્યને એકની સમાન સંભાવના સાથે લે છે. ઉપર જણાવેલ દરેક વસ્તુ રેન્ડમ ચલોનો અભ્યાસ કરવા માટે પૂરતો આધાર છે.

વ્યાખ્યા. રેન્ડમ ચલ એક એવો જથ્થો છે જે, પ્રયોગના પરિણામે, એક અથવા બીજા (પરંતુ આવશ્યકપણે માત્ર એક જ) મૂલ્ય લઈ શકે છે, અને તે પ્રયોગ પહેલાં, કયું મૂલ્ય અગાઉથી જાણીતું નથી.

રેન્ડમ ચલની વિભાવના એ સંભાવના સિદ્ધાંતમાં મૂળભૂત ખ્યાલ છે અને તેના ઉપયોગોમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે.

રેન્ડમ ચલો સૂચવવામાં આવે છે: , અને તેમના મૂલ્યો, અનુક્રમે: .

રેન્ડમ ચલોના બે મુખ્ય વર્ગો છે: અલગ અને સતત.

વ્યાખ્યા. અલગ રેન્ડમ ચલ એક રેન્ડમ ચલ છે જેના સંભવિત મૂલ્યોની સંખ્યા મર્યાદિત અથવા ગણતરીપાત્ર છે.

ઉદાહરણો અલગ રેન્ડમ ચલ:

1. - ત્રણ શોટ સાથે હિટ રેટ. સંભવિત મૂલ્યો:

2. - ટુકડાઓમાંથી ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યા. સંભવિત મૂલ્યો:

3. - પ્રથમ હિટ પહેલા શોટની સંખ્યા. સંભવિત મૂલ્યો:

વ્યાખ્યા. સતત રેન્ડમ ચલ આવા રેન્ડમ ચલ કહેવાય છે શક્ય મૂલ્યોજે બિન-સતત ચોક્કસ અંતરાલ (મર્યાદિત અથવા અનંત) ભરે છે.

ઉદાહરણો સતત રેન્ડમ ચલ:

1. - જ્યારે બંદૂકમાંથી ફાયરિંગ કરવામાં આવે ત્યારે અસરના બિંદુથી લક્ષ્ય સુધીની રેન્જમાં રેન્ડમ વિચલન.

કારણ કે અસ્ત્ર આપેલ શસ્ત્ર માટે શક્ય અસ્ત્ર ફ્લાઇટ રેન્જના લઘુત્તમ અને મહત્તમ મૂલ્યો દ્વારા મર્યાદિત અંતરાલમાં કોઈપણ બિંદુને હિટ કરી શકે છે, રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો લઘુત્તમ અને મહત્તમ મૂલ્યો વચ્ચેના અંતરને ભરે છે.

2. - રડાર માપનમાં ભૂલો.

3. - ઉપકરણનો ઓપરેટિંગ સમય.

રેન્ડમ ચલ એ અમુક રેન્ડમ ઘટનાની એક પ્રકારની અમૂર્ત અભિવ્યક્તિ છે. દરેક રેન્ડમ ઇવેન્ટ એક અથવા વધુ રેન્ડમ ચલો સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે જે તેને લાક્ષણિકતા આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, લક્ષ્ય પર શૂટિંગ કરતી વખતે, તમે નીચેના રેન્ડમ ચલોને ધ્યાનમાં લઈ શકો છો: લક્ષ્ય પર હિટની સંખ્યા, લક્ષ્ય પર હિટની આવર્તન, લક્ષ્યના ચોક્કસ ક્ષેત્રોને હિટ કરતી વખતે સ્કોર કરેલા પોઇન્ટ્સની સંખ્યા વગેરે.

§ 2 સંભાવના વિતરણના કાયદા

રેન્ડમ ચલ.

વ્યાખ્યા. રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદો એ કોઈપણ સંબંધ છે જે રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો અને અનુરૂપ સંભાવનાઓ વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે.

જો આપણે ફંક્શનની વ્યાખ્યાને યાદ કરીએ, તો વિતરણ કાયદો એ એક કાર્ય છે જેની વ્યાખ્યાનું ડોમેન રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોની શ્રેણી છે, અને પ્રશ્નમાં ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણીમાં સંભવિતતાઓનો સમાવેશ થાય છે. રેન્ડમ ચલના મૂલ્યો.

2.1. વિતરણ શ્રેણી

ચાલો એક અલગ રેન્ડમ ચલને ધ્યાનમાં લઈએ જેના સંભવિત મૂલ્યો આપણને જાણીતા છે. પરંતુ રેન્ડમ વેરીએબલના મૂલ્યોને જાણવું દેખીતી રીતે અમને તેનું સંપૂર્ણ વર્ણન કરવાની મંજૂરી આપતું નથી, કારણ કે આપણે એ કહી શકતા નથી કે સમાન શરતો હેઠળ પ્રયોગનું પુનરાવર્તન કરતી વખતે આપણે રેન્ડમ ચલના ચોક્કસ સંભવિત મૂલ્યોની કેટલી વાર અપેક્ષા રાખવી જોઈએ. આ કરવા માટે, તમારે સંભાવના વિતરણનો કાયદો જાણવાની જરૂર છે.

પ્રયોગના પરિણામે, એક અલગ રેન્ડમ ચલ તેના સંભવિત મૂલ્યોમાંથી એક પર લે છે, એટલે કે. નીચેનામાંથી એક ઘટના બનશે:

જે અસંગત ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે.

આ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ:

અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણનો સૌથી સરળ નિયમ એ એક ટેબલ છે જે રેન્ડમ ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યો અને અનુરૂપ સંભાવનાઓ દર્શાવે છે:

આ ટેબલ કહેવામાં આવે છે વિતરણની નજીક રેન્ડમ ચલ.

સ્પષ્ટતા માટે, વિતરણ શ્રેણી ગ્રાફ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે:

આ તૂટેલી રેખા કહેવાય છે વિતરણ બહુકોણ . આ એક અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાયદાને સ્પષ્ટ કરવાના સ્વરૂપોમાંનું એક પણ છે.

રેન્ડમ ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યોની સંભાવનાઓના સરવાળાનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા વિતરણ બહુકોણના ઓર્ડિનેટનો સરવાળો એક સમાન છે.

ઉદાહરણ 1.ટાર્ગેટ પર ત્રણ ગોળી ચલાવવામાં આવી હતી. દરેક શોટ સાથે હિટની સંભાવના 0.7 છે. હિટની સંખ્યા માટે વિતરણ શ્રેણી દોરો.

રેન્ડમ ચલ - "હિટ્સની સંખ્યા" 0 થી 3 - x સુધીના મૂલ્યો લઈ શકે છે, અને આ કિસ્સામાં સંભાવનાઓ બર્નૌલી સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

.

પરીક્ષા

ઉદાહરણ 2.કલરમાં 4 સફેદ અને 6 કાળા દડા હોય છે. 4 બોલ રેન્ડમ દોરવામાં આવે છે. રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદો શોધો - "પસંદ કરેલામાં સફેદ દડાઓની સંખ્યા."

આ રેન્ડમ ચલ 0 થી 4 - x સુધીના મૂલ્યો લઈ શકે છે. ચાલો રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોની સંભાવનાઓ શોધીએ.

આપણે ચકાસી શકીએ છીએ કે પ્રાપ્ત સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન છે.

2.2. વિતરણ કાર્ય.

સતત રેન્ડમ ચલ માટે વિતરણ શ્રેણી બનાવી શકાતી નથી, કારણ કે તે અનંત ઘણા મૂલ્યો લે છે. અલગ અને સતત રેન્ડમ ચલ બંને માટે યોગ્ય વધુ સાર્વત્રિક વિતરણ કાયદો એ વિતરણ કાર્ય છે.

વ્યાખ્યા. રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય (અભિન્ન વિતરણ કાયદો) એ અસમાનતાને પરિપૂર્ણ કરવાની સંભાવનાની સોંપણી છે, એટલે કે.

(1)

આમ, વિતરણ કાર્ય એ સંભાવનાની બરાબર છે કે પ્રયોગના પરિણામે રેન્ડમ ચલ બિંદુની ડાબી બાજુએ આવે છે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલ માટે જેના માટે આપણે વિતરણ શ્રેણી જાણીએ છીએ:

વિતરણ કાર્ય આના જેવું દેખાશે:

એક અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાર્યનો ગ્રાફ એ એક અવિચ્છેદિત પગલું આકૃતિ છે. સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ.

ઉદાહરણ 3વિતરણની શ્રેણી આપવામાં આવે છે. વિતરણ કાર્ય શોધો અને તેને પ્લોટ કરો

એ-પ્રાયોરી,

વિતરણ કાર્યની મિલકતો

1 વિતરણ કાર્ય એ બિન-નકારાત્મક કાર્ય છે જેની કિંમતો 0 અને 1 ની વચ્ચે છે, એટલે કે.

2 અંતરાલમાં દેખાતા રેન્ડમ ચલની સંભાવના અંતરાલના અંતે વિતરણ કાર્યના મૂલ્યો વચ્ચેના તફાવતની બરાબર છે:

3 વિતરણ કાર્ય એ બિન-ઘટતું કાર્ય છે, એટલે કે. જ્યારે થાય છે: ;

ચાલો આપણે સમાનતા (2) પરની મર્યાદામાં પસાર કરીએ. રેન્ડમ ચલના અંતરાલમાં પડવાની સંભાવનાને બદલે, આપણે રેન્ડમ ચલના બિંદુ મૂલ્યની સંભાવના મેળવીએ છીએ, એટલે કે.

આ મર્યાદાનું મૂલ્ય તેના પર નિર્ભર કરે છે કે શું બિંદુ એ ફંક્શનની સાતત્યનો એક બિંદુ છે, અથવા શું આ બિંદુએ ફંક્શનમાં વિરામ છે. જો કાર્ય બિંદુ પર સતત હોય, તો મર્યાદા 0 છે, એટલે કે. . જો આ બિંદુએ ફંક્શનમાં વિરામ (પ્રકાર 1) હોય, તો મર્યાદા બિંદુ પર ફંક્શન જમ્પના મૂલ્યની બરાબર છે.

સતત રેન્ડમ ચલમાં સતત વિતરણ કાર્ય હોવાથી, તે મર્યાદાની સમાનતા (3) થી શૂન્ય સુધી અનુસરે છે કે સતત રેન્ડમ ચલના કોઈપણ નિશ્ચિત મૂલ્યની સંભાવના શૂન્ય છે. આ એ હકીકતને અનુસરે છે કે સતત રેન્ડમ ચલના અસંખ્ય સંભવિત મૂલ્યો છે. આમાંથી, ખાસ કરીને, તે અનુસરે છે કે નીચેની સંભાવનાઓ એકરુપ છે:

વિતરણ કાર્યના આપેલ ગુણધર્મો નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે: વિતરણ કાર્ય એ બિન-નકારાત્મક બિન-ઘટતું કાર્ય છે જે શરતોને સંતોષે છે: કન્વર્સ સ્ટેટમેન્ટ પણ ધરાવે છે: એકવિધ રીતે વધતું સતત કાર્ય જે શરતોને સંતોષે છે

કેટલાક સતત રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય છે. જો આ જથ્થાના મૂલ્યો ચોક્કસ અંતરાલ પર કેન્દ્રિત હોય, તો આ કાર્યનો આલેખ નીચે પ્રમાણે યોજનાકીય રીતે દર્શાવી શકાય છે:

ચાલો વિચાર કરીએ ઉદાહરણ.સતત રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય નીચે પ્રમાણે સ્પષ્ટ થયેલ છે:

"" ની કિંમત શોધો, ગ્રાફ બનાવો અને સંભાવના શોધો

સતત રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય સતત હોવાથી, તે સતત કાર્ય છે, અને સમાનતા સંતુષ્ટ હોવી આવશ્યક છે:

અથવા, એટલે કે

ચાલો આ ફંક્શનને પ્લોટ કરીએ

ચાલો જરૂરી સંભાવના શોધીએ

ટિપ્પણી.વિતરણ કાર્ય, ક્યારેક પણ કહેવાય છે વિતરણનો અભિન્ન કાયદો . નીચે આપણે બરાબર શા માટે સમજાવીશું.

2.3 વિતરણની ઘનતા .

સ્વતંત્ર વિતરણ કાર્યનો ઉપયોગ કરવાથી

રેન્ડમ વેરીએબલ કોઈપણ બિંદુએ આપણે સંભવિત મૂલ્યોની સંભાવના નક્કી કરી શકીએ છીએ, પછી તે એક અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાયદાને વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરે છે.

જો કે, સંખ્યાત્મક અક્ષ પરના ચોક્કસ બિંદુના નાના પડોશમાં સતત રેન્ડમ ચલના વિતરણની પ્રકૃતિને વિતરણ કાર્ય પરથી નક્કી કરવું મુશ્કેલ છે.

વિવિધ બિંદુઓની નજીક સતત રેન્ડમ ચલના વિતરણની પ્રકૃતિનું વધુ દ્રશ્ય પ્રતિનિધિત્વ નામના કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે. વિતરણ ઘનતા (અથવા વિભેદક વિતરણ કાયદો)

વિતરણ કાર્ય સાથે સતત રેન્ડમ ચલ રહેવા દો. ચાલો પ્રાથમિક વિભાગમાં આવતા આ રેન્ડમ ચલની સંભાવના શોધીએ.

સૂત્ર (2) મુજબ, અમારી પાસે છે

ચાલો આ સમાનતાને વડે વિભાજીત કરીએ

ડાબી બાજુનો સંબંધ કહેવાય છે સરેરાશ સંભાવના વિભાગની એકમ લંબાઈ દીઠ.

ફંક્શનને ડિફરન્ટિએબલ ગણીને, ચાલો આ સમાનતાની મર્યાદા પર આગળ વધીએ

વ્યાખ્યા.પ્રાથમિક વિભાગ પર સતત રેન્ડમ ચલની સંભાવનાના ગુણોત્તરની મર્યાદાને આ વિભાગની લંબાઈ પર કહેવામાં આવે છે. વિતરણ ઘનતા સતત રેન્ડમ જથ્થો અને પરિણામે સૂચિત કરવામાં આવે છે,

વિતરણ ઘનતા બતાવે છે કે પ્રયોગોનું પુનરાવર્તન કરતી વખતે બિંદુના ચોક્કસ પડોશમાં રેન્ડમ ચલ કેટલી વાર દેખાય છે.

વિતરણ ઘનતા ગ્રાફને દર્શાવતો વળાંક કહેવામાં આવે છે વિતરણ વળાંક.

જો રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો ચોક્કસ અંતરાલ ભરે છે, તો પછી આ અંતરાલની બહાર.

વ્યાખ્યા.રેન્ડમ ચલ કહેવાય છે સતત , જો તેનું વિતરણ કાર્ય સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત હોય છે, અને વિતરણ ઘનતા દરેક જગ્યાએ સતત હોય છે, પોઈન્ટની મર્યાદિત સંખ્યાના સંભવિત અપવાદ સાથે (1લી પ્રકારના વિરામ બિંદુઓ).

ઘનતા વિતરણ ગુણધર્મો

1. વિતરણ ઘનતા બિન-નકારાત્મક છે, એટલે કે.

(આ એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે જે બિન-ઘટતા કાર્યનું વ્યુત્પન્ન છે).

2. સતત રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય

અમે વિતરણ ઘનતાના અભિન્ન સમાન છીએ (અને તેથી તે અભિન્ન વિતરણ કાયદો છે), એટલે કે.

ખરેખર, (કાર્યના વિભેદકની વ્યાખ્યા દ્વારા). આથી,

વિતરણ ઘનતા ગ્રાફ પર, વિતરણ કાર્ય

છાયાવાળા વિસ્તારના વિસ્તાર દ્વારા રજૂ થાય છે.

3. રેન્ડમ વેરીએબલના ક્ષેત્રમાં પડવાની સંભાવના આ અંતરાલ પર વિતરણ ઘનતાના અભિન્ન ભાગ જેટલી છે, એટલે કે.

ખરેખર,

4. વિતરણ ઘનતાની અનંત મર્યાદાઓ પરનું અભિન્ન એકતા સમાન છે, એટલે કે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વિતરણ ઘનતા આલેખ હેઠળની આકૃતિનો વિસ્તાર 1 ની બરાબર છે. ખાસ કરીને, જો રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો વિસ્તારમાં કેન્દ્રિત હોય, તો

ઉદાહરણ.વિતરણ ઘનતાને કાર્ય દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવા દો

શોધો: a) પરિમાણનું મૂલ્ય; b) વિતરણ કાર્ય c) સંભાવનાની ગણતરી કરો કે રેન્ડમ ચલ સેગમેન્ટમાંથી મૂલ્ય લેશે.

a) મિલકત દ્વારા 4, . પછી

b) મિલકત 2 દ્વારા, જો

જો, .

આમ,

c) મિલકત 3 દ્વારા,

§ 3. રેન્ડમની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ

ઘણી વ્યવહારુ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, રેન્ડમ ચલની તમામ સંભવિત લાક્ષણિકતાઓ જાણવાની જરૂર નથી. કેટલીકવાર વિતરણ કાયદાની કેટલીક સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ જાણવા માટે તે પૂરતું છે.

સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ ચોક્કસ વિતરણની સૌથી નોંધપાત્ર લાક્ષણિકતાઓને સંક્ષિપ્ત સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

દરેક રેન્ડમ ચલ માટે, સૌ પ્રથમ, તેનું સરેરાશ મૂલ્ય જાણવું જરૂરી છે, જેની આસપાસ આ મૂલ્યના તમામ સંભવિત મૂલ્યોને જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે, તેમજ ચોક્કસ સંખ્યા જે આ મૂલ્યોના વિખેરવાની ડિગ્રીને દર્શાવે છે. સરેરાશ

પોઝિશન લાક્ષણિકતાઓ અને સ્કેટરિંગ લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચે તફાવત બનાવવામાં આવે છે. સૌથી વધુ એક મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓસ્થિતિ એ ગાણિતિક અપેક્ષા છે.

3.1 ગાણિતિક અપેક્ષા (સરેરાશ મૂલ્ય).

ચાલો સૌપ્રથમ સંભાવનાઓ સાથે સંભવિત મૂલ્યો ધરાવતાં એક અલગ રેન્ડમ ચલને ધ્યાનમાં લઈએ

વ્યાખ્યા. ગાણિતિક અપેક્ષા એક અલગ રેન્ડમ ચલ એ આ ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યો અને તેમની સંભાવનાઓના ઉત્પાદનોનો સરવાળો છે, એટલે કે.

નહિંતર, ગાણિતિક અપેક્ષા સૂચવવામાં આવે છે

ઉદાહરણ.વિતરણ શ્રેણી આપવા દો:

ચાલો હવે સતત રેન્ડમ ચલને ધ્યાનમાં લઈએ, જેનાં તમામ સંભવિત મૂલ્યો અંતરાલમાં સમાયેલ છે.

ચાલો આ સેગમેન્ટને આંશિક સેગમેન્ટમાં વિભાજીત કરીએ, જેની લંબાઈ આપણે સૂચવીએ છીએ: , અને દરેક આંશિક અંતરાલમાં આપણે અનુક્રમે મનસ્વી બિંદુ લઈએ છીએ.

કારણ કે ઉત્પાદન એ પ્રાથમિક વિભાગ પર આવતા રેન્ડમ ચલની સંભાવનાની લગભગ સમાન છે, તો પછી ઉત્પાદનોનો સરવાળો એક અલગ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષાની વ્યાખ્યા સાથે સાદ્રશ્ય દ્વારા સંકલિત, સતત રેન્ડમ ચલ Let ની ગાણિતિક અપેક્ષાની લગભગ સમાન છે.

પછી

વ્યાખ્યા. ગાણિતિક અપેક્ષા સતત રેન્ડમ ચલને નીચેના ચોક્કસ અભિન્ન કહેવામાં આવે છે:

(2)

જો સતત રેન્ડમ ચલ સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર મૂલ્યો લે છે, તો પછી

ઉદાહરણ.સતત રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતા આપવા દો:

પછી તેની ગાણિતિક અપેક્ષા છે:

ગાણિતિક અપેક્ષાના ખ્યાલમાં એક સરળ યાંત્રિક અર્થઘટન છે. રેન્ડમ ચલના સંભવિત વિતરણને સીધી રેખા સાથે એકમ સમૂહના વિતરણ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. એક અલગ રેન્ડમ ચલ જે સંભાવનાઓ સાથે મૂલ્યો લે છે તે સીધી રેખાને અનુરૂપ છે કે જેના પર લોકો બિંદુઓ પર કેન્દ્રિત છે. સતત રેન્ડમ ચલ સમગ્ર રેખા સાથે અથવા આ રેખાના મર્યાદિત સેગમેન્ટ પર દળના સતત વિતરણને અનુરૂપ છે. પછી ગાણિતિક અપેક્ષા છે ગુરુત્વાકર્ષણના કેન્દ્રનું વિભાજન .

ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મ

1. અચળ મૂલ્યની ગાણિતિક અપેક્ષા અચળ મૂલ્યની સમાન છે:

2. સતત પરિબળને ગાણિતિક અપેક્ષા ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:

3. રેન્ડમ ચલોના બીજગણિતીય સરવાળાની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના બીજગણિત સરવાળા જેટલી છે:

4. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ઉત્પાદનની સમાન છે:

5. રેન્ડમ ચલના તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી વિચલનની ગાણિતિક અપેક્ષા શૂન્યની બરાબર છે:

3.2. રેન્ડમ ચલનો મોડ અને મધ્યક.

રેન્ડમ ચલની સ્થિતિની આ બે વધુ લાક્ષણિકતાઓ છે.

વ્યાખ્યા. ફેશન એક અલગ રેન્ડમ ચલને તેની સૌથી સંભવિત કિંમત કહેવામાં આવે છે. સતત રેન્ડમ ચલ માટે, મોડ એ ફંક્શનના મહત્તમ બિંદુ છે.

જો વિતરણ બહુકોણ (એક અલગ રેન્ડમ ચલ માટે) અથવા વિતરણ વળાંક (સતત રેન્ડમ ચલ માટે) બે અથવા વધુ મહત્તમ બિંદુઓ ધરાવે છે, તો વિતરણને અનુક્રમે બિમોડલ અથવા મલ્ટિમોડલ કહેવામાં આવે છે.

જો ત્યાં કોઈ મહત્તમ બિંદુ નથી, તો વિતરણને એન્ટિમોડલ કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. મધ્યક રેન્ડમ ચલ એ તેનું મૂલ્ય છે, જેની સાપેક્ષે તે સમાન રીતે સંભવિત છે કે રેન્ડમ ચલનું મોટું અથવા નાનું મૂલ્ય પ્રાપ્ત થશે, એટલે કે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ તે બિંદુનો એબ્સીસા છે કે જેના પર વિતરણ ઘનતા ગ્રાફ (વિતરણ બહુકોણ) હેઠળનો વિસ્તાર અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલો છે.

ઉદાહરણ.રેન્ડમ ચલની ઘનતાને જોતાં:

આ રેન્ડમ ચલનો મધ્યક શોધો.

ચાલો સ્થિતિ પરથી મધ્યક શોધીએ . અમારા કિસ્સામાં,

ચાર મૂળમાંથી, તમારે 0 અને 2 ની વચ્ચે હોય તે પસંદ કરવું આવશ્યક છે, એટલે કે.

ટિપ્પણી. જો રેન્ડમ ચલનું વિતરણ યુનિમોડલ અને સપ્રમાણ (સામાન્ય) હોય, તો સ્થિતિની ત્રણેય લાક્ષણિકતાઓ: ગાણિતિક અપેક્ષા, સ્થિતિ અને મધ્ય, એકરૂપ થાય છે.

3.3 વિચલન અને પ્રમાણભૂત વિચલન.

અવલોકન કરાયેલ રેન્ડમ ચલોના મૂલ્યો સામાન્ય રીતે અમુક સરેરાશ મૂલ્યની આસપાસ વધુ કે ઓછા વધઘટ થાય છે. આ ઘટનાને તેના સરેરાશ મૂલ્યની આસપાસ રેન્ડમ ચલનું સ્કેટરિંગ કહેવામાં આવે છે. સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ જે દર્શાવે છે કે રેન્ડમ મૂલ્યના સંભવિત મૂલ્યોને સરેરાશની આસપાસ કેવી રીતે જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે તેને સ્કેટરિંગ લાક્ષણિકતાઓ કહેવામાં આવે છે. ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મ 5 થી તે અનુસરે છે કે સરેરાશ મૂલ્યમાંથી રેન્ડમ જથ્થાના મૂલ્યોનું રેખીય વિચલન સ્કેટરિંગની લાક્ષણિકતા તરીકે સેવા આપી શકતું નથી, કારણ કે હકારાત્મક અને નકારાત્મક વિચલનો એકબીજાને "રદ" કરે છે. તેથી, રેન્ડમ ચલના સ્કેટરિંગની મુખ્ય લાક્ષણિકતા એ સરેરાશમાંથી રેન્ડમ ચલના વર્ગ વિચલનની ગાણિતિક અપેક્ષા તરીકે ગણવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. ભિન્નતા તેને ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવામાં આવે છે - તેની ગાણિતિક અપેક્ષા (સરેરાશ મૂલ્ય) માંથી રેન્ડમ ચલનું વર્ગ વિચલન, એટલે કે.

(3)

(4) સતત રેન્ડમ ચલ માટે:

(5)

પરંતુ, આ સ્કેટરિંગ લાક્ષણિકતાની સગવડ હોવા છતાં, રેન્ડમ ચલ પોતે અને તેની ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે અનુરૂપ સ્કેટરિંગ લાક્ષણિકતા હોવી ઇચ્છનીય છે.

તેથી, અન્ય સ્કેટરિંગ લાક્ષણિકતા રજૂ કરવામાં આવે છે, જેને કહેવામાં આવે છે પ્રમાણભૂત વિચલન અને રાવ - વેલા પરભિન્નતામાંથી, એટલે કે. .

ભિન્નતાની ગણતરી કરવા માટે, નીચેના પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે.

પ્રમેય.રેન્ડમ ચલનો ભિન્નતા રેન્ડમ ચલના વર્ગની ગાણિતિક અપેક્ષા અને તેની ગાણિતિક અપેક્ષાના વર્ગ વચ્ચેના તફાવત જેટલો છે, એટલે કે.

હકીકતમાં, વ્યાખ્યા દ્વારા

કારણ કે.

વિક્ષેપ ગુણધર્મો:

1. સતત રેન્ડમ ચલનું વિચલન શૂન્ય છે, એટલે કે.

2. રેન્ડમ ચલનો સતત પરિબળ ચોરસ સાથેના ભિન્નતામાંથી લેવામાં આવે છે, એટલે કે.

3. બે રેન્ડમ ચલોના બીજગણિતના સરવાળાનું વિચલન તેમના ચલોના સરવાળા જેટલું છે, એટલે કે.

પરિણામ 2 અને 3 ગુણધર્મોમાંથી:

ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ..

ઉદાહરણ 1.એક અલગ રેન્ડમ ચલની વિતરણ શ્રેણી આપવામાં આવે છે. તેનું પ્રમાણભૂત વિચલન શોધો.

પહેલા આપણે શોધીએ

પછી પ્રમાણભૂત વિચલન

ઉદાહરણ 2. સતત રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતા આપવા દો:

તેનું વિચલન અને પ્રમાણભૂત વિચલન શોધો.

3.4 રેન્ડમ ચલોની ક્ષણો.

ત્યાં બે પ્રકારની ક્ષણો છે: પ્રારંભિક અને કેન્દ્રિય.

વ્યાખ્યા. ઓર્ડરની પ્રારંભિક ક્ષણ રેન્ડમ

જથ્થાને જથ્થાની ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવામાં આવે છે, એટલે કે. .

એક અલગ રેન્ડમ ચલ માટે:

સતત રેન્ડમ ચલ માટે:

ખાસ કરીને, ગાણિતિક અપેક્ષા એ 1લી ક્રમની પ્રારંભિક ક્ષણ છે.

વ્યાખ્યા. કેન્દ્રીય ક્ષણ અડધા ઓર્ડર છે રેન્ડમ ચલ એ મૂલ્યની ગાણિતિક અપેક્ષા છે, એટલે કે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલ માટે:

સતત માટે -

1લી ક્રમની કેન્દ્રિય ક્ષણ શૂન્યની બરાબર છે (ગાણિતિક અપેક્ષાની મિલકત 5); ; વિતરણ ઘનતા આલેખની અસમપ્રમાણતા (સ્ક્યુનેસ) ની લાક્ષણિકતા. કહેવાય છે અસમપ્રમાણતા ગુણાંક.

વિતરણની તીક્ષ્ણતાને દર્શાવવા માટે સેવા આપે છે.

વ્યાખ્યા. વધારાની રેન્ડમ ચલ એ સંખ્યા છે

સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલ માટે, સંબંધ તેથી, વિતરણ વણાંકો જે સામાન્ય કરતાં વધુ પોઇન્ટેડ હોય છે તેમાં સકારાત્મક કર્ટોસિસ હોય છે (), અને જે વધુ ફ્લેટ-ટોપ હોય છે તેમાં નકારાત્મક કર્ટોસિસ () હોય છે.

ઉદાહરણ.રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતા આપવા દો:

આ રેન્ડમ વેરીએબલના skewness ગુણાંક અને kurtosis શોધો.

ચાલો આ માટે જરૂરી મુદ્દાઓ શોધીએ:

પછી અસમપ્રમાણતા ગુણાંક: (નકારાત્મક અસમપ્રમાણતા).

એક સતત રેન્ડમ ચલ X ને વિતરણ કાર્ય દ્વારા નિર્દિષ્ટ થવા દો એફ(એક્સ) . ચાલો ધારીએ કે રેન્ડમ ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યો સેગમેન્ટના છે [ એ, બી].

વ્યાખ્યા. ગાણિતિક અપેક્ષાસતત રેન્ડમ ચલ X, જેનાં સંભવિત મૂલ્યો સેગમેન્ટ સાથે સંબંધિત છે, તેને ચોક્કસ અભિન્ન કહેવામાં આવે છે

જો રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોને સમગ્ર આંકડાકીય ધરી પર ગણવામાં આવે, તો ગાણિતિક અપેક્ષા સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:

આ કિસ્સામાં, અલબત્ત, એવું માનવામાં આવે છે કે અયોગ્ય અભિન્ન કન્વર્જ થાય છે.

વ્યાખ્યા. ભિન્નતાસતત રેન્ડમ ચલ એ તેના વિચલનના વર્ગની ગાણિતિક અપેક્ષા છે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલના ભિન્નતા સાથે સામ્યતા દ્વારા, વ્યવહારિક રીતે ભિન્નતાની ગણતરી કરવા માટે, સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે:

વ્યાખ્યા. પ્રમાણભૂત વિચલનવિચલનનું વર્ગમૂળ કહેવાય છે.

વ્યાખ્યા. ફેશનએક અલગ રેન્ડમ ચલના M0 ને તેની સૌથી સંભવિત કિંમત કહેવામાં આવે છે. સતત રેન્ડમ ચલ માટે, મોડ એ રેન્ડમ ચલનું મૂલ્ય છે કે જેના પર વિતરણ ઘનતા મહત્તમ હોય છે.

જો અલગ રેન્ડમ ચલ માટે વિતરણ બહુકોણ અથવા સતત રેન્ડમ ચલ માટે વિતરણ વળાંક બે અથવા વધુ મેક્સિમા ધરાવે છે, તો આવા વિતરણને કહેવામાં આવે છે બિમોદલઅથવા મલ્ટિમોડલ.

જો વિતરણમાં લઘુત્તમ હોય પરંતુ મહત્તમ ન હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે એન્ટિમોડલ.

વ્યાખ્યા. મધ્યકરેન્ડમ વેરીએબલ X નું MD એ તેનું મૂલ્ય છે જેની તુલનામાં તે રેન્ડમ ચલનું મોટું કે નાનું મૂલ્ય મેળવવાની સમાન સંભાવના છે.

ભૌમિતિક રીતે, મધ્યબિંદુ એ બિંદુનો એબ્સીસા છે કે જેના પર વિતરણ વળાંક દ્વારા મર્યાદિત વિસ્તાર અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલો છે.

નોંધ કરો કે જો વિતરણ યુનિમોડલ છે, તો મોડ અને મધ્ય ગાણિતિક અપેક્ષા સાથે મેળ ખાય છે.

વ્યાખ્યા. શરૂઆતની ક્ષણવિશે કે રેન્ડમ ચલ X એ મૂલ્ય X ની ગાણિતિક અપેક્ષા છે કે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલ માટે: .

.

પ્રથમ ક્રમની પ્રારંભિક ક્ષણ ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન છે.

વ્યાખ્યા.કેન્દ્રીય ક્ષણવિશે કેરેન્ડમ ચલ X એ મૂલ્યની ગાણિતિક અપેક્ષા છે

એક અલગ રેન્ડમ ચલ માટે: .

સતત રેન્ડમ ચલ માટે: .

પ્રથમ ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણ હંમેશા શૂન્ય હોય છે, અને બીજી ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણ વિખેરવાની સમાન હોય છે. ત્રીજો ક્રમ કેન્દ્રિય ક્ષણ વિતરણની અસમપ્રમાણતાને દર્શાવે છે.

વ્યાખ્યા. ત્રીજા ક્રમના કેન્દ્રિય ક્ષણનો પ્રમાણભૂત વિચલન અને ત્રીજી શક્તિના ગુણોત્તરને કહેવામાં આવે છે અસમપ્રમાણતા ગુણાંક.

વ્યાખ્યા. વિતરણની ટોચ અને સપાટતા દર્શાવવા માટે, એક જથ્થો કહેવાય છે વધારાની.

ગણવામાં આવતા જથ્થાઓ ઉપરાંત, કહેવાતા નિરપેક્ષ ક્ષણોનો પણ ઉપયોગ થાય છે:

સંપૂર્ણ પ્રારંભિક ક્ષણ: .

સંપૂર્ણ કેન્દ્રિય ક્ષણ: .

પ્રથમ ક્રમની સંપૂર્ણ કેન્દ્રિય ક્ષણ કહેવામાં આવે છે અંકગણિત એટલે વિચલન.

ઉદાહરણ.ઉપર ચર્ચા કરેલ ઉદાહરણ માટે, રેન્ડમ ચલ X ની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા નક્કી કરો.

ઉદાહરણ.એક ભઠ્ઠીમાં 6 સફેદ અને 4 કાળા દડા હોય છે. એક બોલને તેમાંથી સળંગ પાંચ વખત દૂર કરવામાં આવે છે, અને દરેક વખતે દૂર કરાયેલ બોલ પાછો ફરે છે અને દડાને મિશ્રિત કરવામાં આવે છે. એક્સટ્રેક્ટેડ સફેદ દડાઓની સંખ્યાને રેન્ડમ ચલ X તરીકે લઈને, આ મૂલ્ય માટે વિતરણ કાયદો બનાવો, તેની ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપ નક્કી કરો.

દરેક પ્રયોગમાંના દડા પાછા આવે છે અને મિશ્રિત થાય છે, તેથી પરીક્ષણોને સ્વતંત્ર ગણી શકાય (અગાઉના પ્રયોગનું પરિણામ બીજા પ્રયોગમાં ઘટના બનવાની અથવા ઘટના ન બનવાની સંભાવનાને અસર કરતું નથી).

આમ, દરેક પ્રયોગમાં સફેદ બોલ દેખાવાની સંભાવના સતત અને સમાન હોય છે

આમ, સતત પાંચ અજમાયશના પરિણામે, સફેદ દડો બિલકુલ દેખાતો નથી, અથવા એક વાર, બે વાર, ત્રણ, ચાર કે પાંચ વખત દેખાઈ શકે છે.

વિતરણ કાયદો બનાવવા માટે, તમારે આ દરેક ઘટનાઓની સંભાવનાઓ શોધવાની જરૂર છે.

1) સફેદ બોલ બિલકુલ દેખાતો ન હતો:

2) સફેદ બોલ એકવાર દેખાયો:

3) સફેદ બોલ બે વાર દેખાશે: .

4) સફેદ બોલ ત્રણ વખત દેખાશે:

અલગ રેન્ડમ ચલ અને તેના વિતરણનો કાયદો

રેન્ડમ ઘટનાની વિભાવના સાથે, સંભાવના સિદ્ધાંત પણ વધુ અનુકૂળ ખ્યાલનો ઉપયોગ કરે છે રેન્ડમ ચલ.

વ્યાખ્યા. રેન્ડમ ચલએક એવો જથ્થો છે જે, પ્રયોગના પરિણામે, તેના સંભવિત મૂલ્યોમાંથી એક લે છે, અને તે અગાઉથી જાણી શકાતું નથી કે કયું મૂલ્ય.

અમે લેટિન મૂળાક્ષરો ( X, Y, Z,…), અને તેમના સંભવિત અર્થો અનુરૂપ નાના અક્ષરોમાં સૂચવવામાં આવે છે ( x i, y i,…).

ઉદાહરણો:ડાઇ ફેંકતી વખતે મેળવેલા પોઈન્ટની સંખ્યા; 10 સિક્કાના ટૉસમાં કોટ ઓફ આર્મ્સના દેખાવની સંખ્યા; લક્ષ્ય પર પ્રથમ હિટ થાય ત્યાં સુધી શોટની સંખ્યા; અસર પર લક્ષ્યના કેન્દ્રથી છિદ્ર સુધીનું અંતર.

તે નોંધી શકાય છે કે સૂચિબદ્ધ રેન્ડમ ચલો માટે સંભવિત મૂલ્યોનો સમૂહ છે વિવિધ પ્રકાર: પ્રથમ બે જથ્થા માટેતે મર્યાદિત છે (અનુક્રમે 6 અને 11 મૂલ્યો), ત્રીજા જથ્થા માટેમૂલ્યોનો સમૂહ અનંત છે અને સમૂહનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે કુદરતી સંખ્યાઓ, એ ચોથા માટે- સેગમેન્ટના તમામ બિંદુઓ જેની લંબાઈ લક્ષ્યની ત્રિજ્યા જેટલી છે. આમ, પ્રથમ ત્રણ જથ્થાઓ માટે આપણે એકબીજાથી અલગ પડેલા વ્યક્તિગત (અલગ) મૂલ્યોમાંથી મૂલ્યોનો સમૂહ મેળવીએ છીએ, અને ચોથા માટે તે સતત ક્ષેત્રનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ સૂચક મુજબ, રેન્ડમ ચલોને બે જૂથોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: સ્વતંત્ર અને સતત.

વ્યાખ્યા. અલગ, જો તે ચોક્કસ સંભાવનાઓ સાથે અલગ, અલગ શક્ય મૂલ્યો લે છે. એક અલગ રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોની સંખ્યા મર્યાદિત અથવા અનંત હોઈ શકે છે.

વ્યાખ્યા. રેન્ડમ ચલ કહેવાય છે સતત, જો તેના સંભવિત મૂલ્યોનો સમૂહ અમુક મર્યાદિત અથવા અનંત અંતરાલને સંપૂર્ણપણે ભરે છે. સતત રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોની સંખ્યા અનંત છે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલનો ઉલ્લેખ કરવા માટે, તમારે તેના સંભવિત મૂલ્યો અને સંભાવનાઓ જાણવાની જરૂર છે કે જેની સાથે આ મૂલ્યો સ્વીકારવામાં આવે છે. તેમની વચ્ચેના પત્રવ્યવહારને કહેવામાં આવે છે વિતરણનો કાયદોરેન્ડમ ચલ. તે કોષ્ટક, સૂત્ર અથવા ગ્રાફના સ્વરૂપમાં હોઈ શકે છે.

એક કોષ્ટક કે જે એક અલગ રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો અને તેમની અનુરૂપ સંભાવનાઓને સૂચિબદ્ધ કરે છે તેને કહેવામાં આવે છે વિતરણની નજીક:

નોંધ કરો કે જે ઘટના રેન્ડમ ચલ તેના સંભવિત મૂલ્યોમાંથી એક લે છે તે વિશ્વસનીય છે, તેથી, અથવા

કાર્ય.સિક્કો 5 વખત ફેંકવામાં આવે છે. રેન્ડમ મૂલ્ય એક્સ- કોટ ઓફ આર્મ્સ ડ્રોપ્સની સંખ્યા. રેન્ડમ ચલના વિતરણોની શ્રેણી બનાવો એક્સ.

ઉકેલ. તે સ્પષ્ટ છે કે એક્સ 5 મૂલ્યો લઈ શકે છે: 0, 1, 2, 3, 4, 5, તે જ એક્સ= 0, 1, 2, 3, 4, 5. શરત દ્વારા, . ચાલો બર્નૌલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દરેક મૂલ્યની સંભાવનાની ગણતરી કરીએ:

આર્મ્સનો કોટ એકવાર પણ દેખાશે નહીં (k = 0): .

અથવા .

આર્મ્સનો કોટ એકવાર દેખાશે (k = 1):
.

આર્મ્સનો કોટ બે વાર દેખાશે (k = 2):

આર્મ્સનો કોટ ત્રણ વખત દેખાશે (k = 3):

આર્મ્સનો કોટ ચાર વખત દેખાશે (k = 4):

આર્મ્સનો કોટ પાંચ વખત દેખાશે (k = 5):

તેથી, વિતરણ શ્રેણી આના જેવી લાગે છે:

આ કિસ્સામાં, સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન છે:

ગ્રાફિકલી, એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો તરીકે રજૂ કરી શકાય છે વિતરણ બહુકોણ- કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે પ્લેનના બિંદુઓને જોડતી તૂટેલી રેખા ( x i, p i). એટલે કે, રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો એબ્સીસા અક્ષ સાથે પ્લોટ કરવામાં આવે છે, અને આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે પ્લોટ કરવામાં આવે છે. સ્પષ્ટતા માટે, પરિણામી બિંદુઓ સીધી રેખા વિભાગો દ્વારા જોડાયેલા છે. વિતરણ બહુકોણ, વિતરણ શ્રેણીની જેમ, સંપૂર્ણપણે રેન્ડમ ચલનું લક્ષણ ધરાવે છે અને તે વિતરણ કાયદાના સ્વરૂપોમાંનું એક છે.

નોલેજ બેઝમાં તમારું સારું કામ મોકલો સરળ છે. નીચેના ફોર્મનો ઉપયોગ કરો

વિદ્યાર્થીઓ, સ્નાતક વિદ્યાર્થીઓ, યુવા વૈજ્ઞાનિકો કે જેઓ તેમના અભ્યાસ અને કાર્યમાં જ્ઞાન આધારનો ઉપયોગ કરે છે તેઓ તમારા ખૂબ આભારી રહેશે.

પર પોસ્ટ કરવામાં આવ્યું http://www.allbest.ru/

અલગ રેન્ડમ ચલો

કેટલાક પરીક્ષણો હાથ ધરવા દો, જેનું પરિણામ અસંગત રેન્ડમ ઇવેન્ટ્સમાંથી એક છે (ઇવેન્ટ્સની સંખ્યા કાં તો મર્યાદિત અથવા ગણતરીપાત્ર છે, એટલે કે, ઇવેન્ટ્સને ક્રમાંકિત કરી શકાય છે). દરેક પરિણામ ચોક્કસ સાથે સંકળાયેલું છે વાસ્તવિક સંખ્યા, એટલે કે, મૂલ્યો સાથેનું વાસ્તવિક કાર્ય X રેન્ડમ ઘટનાઓના સમૂહ પર આપવામાં આવે છે. આ કાર્ય X કહેવાય છે અલગ રેન્ડમ કદ("સ્વચ્છ" શબ્દનો ઉપયોગ થાય છે કારણ કે રેન્ડમ ચલના મૂલ્યો વ્યક્તિગત સંખ્યાઓ છે, જે સતત કાર્યોની વિરુદ્ધ છે). રેન્ડમ ઘટનાઓના આધારે રેન્ડમ ચલના મૂલ્યો બદલાતા હોવાથી, મુખ્ય રસ એ સંભાવનાઓમાં છે કે જેની સાથે રેન્ડમ ચલ વિવિધ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો પર લે છે. રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદો એ કોઈપણ સંબંધ છે જે રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો અને અનુરૂપ સંભાવનાઓ વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે. વિતરણનો કાયદો વિવિધ સ્વરૂપો લઈ શકે છે. એક અલગ રેન્ડમ ચલ માટે, વિતરણ કાયદો એ સંખ્યાઓની જોડીનો સમૂહ છે (), જ્યાં રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો છે અને તે સંભાવનાઓ છે જેની સાથે તે આ મૂલ્યો લે છે: . જેમાં.

કેટલીક સંકલન પ્રણાલીમાં જોડીને પોઈન્ટ તરીકે ગણી શકાય. આ બિંદુઓને સીધી રેખા વિભાગો સાથે જોડીને, અમે વિતરણ કાયદાની ગ્રાફિકલ રજૂઆત મેળવીએ છીએ - એક વિતરણ બહુકોણ. મોટેભાગે, એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો કોષ્ટકના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે જેમાં જોડીઓ દાખલ કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ. સિક્કો બે વાર ફેંકવામાં આવે છે. આ કસોટીમાં પ્રતીકોની સંખ્યાના વિતરણ માટે કાયદો બનાવો.

ઉકેલ. રેન્ડમ વેરીએબલ X એ આપેલ કસોટીમાં "કોટ ઓફ આર્મ્સ" દેખાય તે સંખ્યા છે. દેખીતી રીતે, X ત્રણ મૂલ્યોમાંથી એક લઈ શકે છે: 0, 1, 2. સિક્કાના એક ટૉસ દરમિયાન "આર્મ્સનો કોટ" દેખાવાની સંભાવના p = 0.5 છે, અને "પૂંછડીઓ" બહાર પડવાની સંભાવના q = 1 છે. - p = 0.5. અમે સંભાવનાઓ શોધીએ છીએ કે જેની સાથે રેન્ડમ ચલ બર્નૌલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સૂચિબદ્ધ મૂલ્યો લે છે:

અમે વિતરણ કોષ્ટકના રૂપમાં રેન્ડમ ચલ X નો વિતરણ કાયદો લખીએ છીએ

નિયંત્રણ:

અલગ અલગ રેન્ડમ ચલોના વિતરણના કેટલાક નિયમો, જે ઘણી વખત વિવિધ સમસ્યાઓના ઉકેલમાં આવે છે, તેમને વિશેષ નામો પ્રાપ્ત થયા છે: ભૌમિતિક વિતરણ, હાયપરજીઓમેટ્રિક વિતરણ, દ્વિપદી વિતરણ, પોઈસન વિતરણ અને અન્ય.

ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન F(x) નો ઉપયોગ કરીને ડિસક્રીટ રેન્ડમ વેરીએબલનો ડિસ્ટ્રિબ્યુશન લો સ્પષ્ટ કરી શકાય છે, જે રેન્ડમ વેરિયેબલ X અંતરાલ પર મૂલ્યો લેશે ????х?: F(x) = P(X

ફંક્શન F(x) સમગ્ર વાસ્તવિક ધરી પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને તેમાં નીચેના ગુણધર્મો છે:

1) ? ? F(x) ? 1;

2) F(x) - બિન-ઘટતું કાર્ય;

3) F(??) = 0, F(+?) = 1;

4) F(b) - F(a) = P(a ? X< b) - вероятность того, что случайная величина Х примет значения на промежутке 2 =(1-2.3) 2 =1.69

2 =(2-2.3) 2 =0.09

2 =(5-2.3) 2 =7.29

ચાલો વર્ગ વિચલનના વિતરણનો નિયમ લખીએ:

ઉકેલ: ચાલો ગાણિતિક અપેક્ષા M(x) શોધીએ:

M(x)=2*0.1+3*0.6+5*0.3=3.5

ચાલો રેન્ડમ ચલ X 2 ના વિતરણનો કાયદો લખીએ

ચાલો ગાણિતિક અપેક્ષા M(x 2) શોધીએ:

M(x 2)=4*0.1+9*0.6+25*0.3=13.5

જરૂરી તફાવત છે D(x)=M(x 2)- 2 =13.3-(3.5) 2 =1.05

વિક્ષેપ ગુણધર્મો

1. સ્થિર મૂલ્ય C નું વિચલન શૂન્ય છે: D(C)=0

2. અચળ અવયવને ચોરસ કરીને વિક્ષેપ ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે. D(Cx)=C 2 D(x)

3. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનો તફાવત આ ચલોના ચલોના સરવાળા જેટલો છે. D(X 1 +X 2 +...X n)=D(X 1)+D(X 2)+...D(X n)

4. દ્વિપદી વિતરણનો તફાવત એ એક અજમાયશ D(X)=npq માં અજમાયશની સંખ્યા અને ઘટનાની ઘટના અને બિન-ઘટનાની સંભાવનાના ગુણાંક સમાન છે.

તેના સરેરાશ મૂલ્યની આસપાસ રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોના વિક્ષેપનો અંદાજ કાઢવા માટે, વિક્ષેપ ઉપરાંત, કેટલીક અન્ય લાક્ષણિકતાઓનો પણ ઉપયોગ થાય છે. આમાં પ્રમાણભૂત વિચલનનો સમાવેશ થાય છે.

વ્યાખ્યા. રેન્ડમ ચલ X નું પ્રમાણભૂત વિચલન એ ભિન્નતાનું વર્ગમૂળ છે:

ઉદાહરણ 8. રેન્ડમ ચલ X વિતરણ કાયદા દ્વારા આપવામાં આવે છે

y(x) નું પ્રમાણભૂત વિચલન શોધો

ઉકેલ: ચાલો X ની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધીએ:

M(x)=2*0.1+3*0.4+10*0.5=6.4

ચાલો X 2 ની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધીએ:

M(x 2)=2 2 *0.1+3 2 *0.4+10 2 *0.5=54

ચાલો તફાવત શોધીએ:

D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6.4 2 =13.04

જરૂરી પ્રમાણભૂત વિચલન

y(X)=vD(X)=v13.04?3.61

પ્રમેય. પરસ્પર સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોની મર્યાદિત સંખ્યાના સરવાળાનું પ્રમાણભૂત વિચલન આ ચલોના પ્રમાણભૂત વિચલનોના વર્ગોના સરવાળાના વર્ગમૂળ જેટલું છે:

રેન્ડમ ચલો

રેન્ડમ ચલનો ખ્યાલ સંભાવના સિદ્ધાંત અને તેના ઉપયોગોમાં મૂળભૂત છે. રેન્ડમ વેરીએબલ્સ, ઉદાહરણ તરીકે, એક ડાઇસના એક જ ફેંકા દરમિયાન મેળવેલા પોઈન્ટની સંખ્યા, આપેલ સમયગાળા દરમિયાન ક્ષીણ થયેલા રેડિયમ અણુઓની સંખ્યા, ચોક્કસ સમયગાળા દરમિયાન ટેલિફોન એક્સચેન્જમાં કૉલ્સની સંખ્યા, વિચલન. યોગ્ય રીતે સમાયોજિત તકનીકી પ્રક્રિયા વગેરે સાથેના ભાગના ચોક્કસ કદના નજીવા મૂલ્યમાંથી.

આમ, રેન્ડમ કદએક ચલ જથ્થો છે જે પ્રયોગના પરિણામે, એક અથવા અન્ય સંખ્યાત્મક મૂલ્ય લઈ શકે છે.

નીચેનામાં આપણે બે પ્રકારના રેન્ડમ ચલોને ધ્યાનમાં લઈશું - અલગ અને સતત.

1. અલગ રેન્ડમ ચલો

રેન્ડમ ચલ *ને ધ્યાનમાં લો, જેનાં સંભવિત મૂલ્યો સંખ્યાઓનો મર્યાદિત અથવા અનંત ક્રમ બનાવે છે x1 , x2 , . .., xn, . .. . ફંક્શન આપવા દો p(x), જેનું મૂલ્ય દરેક બિંદુએ x=xi(i=1,2,. ..) જથ્થો મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવના સમાન છે xi.

આવા રેન્ડમ ચલ કહેવામાં આવે છે અલગ (તૂટક તૂટક). કાર્ય p(x)કહેવાય છે કાયદા દ્વારા વિતરણ સંભાવનાઓ રેન્ડમ જથ્થો, અથવા ટૂંકમાં, કાયદા દ્વારા વિતરણ. આ કાર્ય ક્રમ બિંદુઓ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે x1 , x2 , . .., xn, . .. . દરેક ટેસ્ટમાં રેન્ડમ ચલ હંમેશા તેના ફેરફારની શ્રેણીમાંથી અમુક મૂલ્ય લે છે, પછી

ઉદાહરણ1. રેન્ડમ વેરીએબલ એ પોઈન્ટની સંખ્યા છે જે એક વાર ડાઈ ફેંકવામાં આવે ત્યારે દેખાય છે. સંભવિત મૂલ્યો 1, 2, 3, 4, 5 અને 6 નંબરો છે. વધુમાં, આમાંના કોઈપણ મૂલ્યો લેશે તેવી સંભાવના સમાન અને 1/6 જેટલી છે. શું હશે વિતરણ કાયદો? ( ઉકેલ)

ઉદાહરણ2. રેન્ડમ ચલ એ ઘટનાની ઘટનાની સંખ્યા હોવા દો એએક પરીક્ષણમાં, અને P(A)=p. સંભવિત મૂલ્યોના સમૂહમાં 2 નંબરો 0 અને 1 હોય છે: =0 , જો ઘટના એથયું નથી અને =1 , જો ઘટના એથયું આમ,

ચાલો ધારીએ કે તે ઉત્પન્ન થાય છે nસ્વતંત્ર પરીક્ષણો, જેમાંથી દરેકના પરિણામે ઘટના બની શકે કે ન પણ થઈ શકે એ. ઘટનાની સંભાવના થવા દો એદરેક ટેસ્ટ પર સમાન છે પી એખાતે nસ્વતંત્ર પરીક્ષણો. પરિવર્તનની શ્રેણીમાં તમામ પૂર્ણાંકોનો સમાવેશ થાય છે 0 પહેલાં nવ્યાપક. સંભાવના વિતરણ કાયદો p(m)બર્નૌલીના સૂત્ર (13") દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

બર્નૌલીના સૂત્ર અનુસાર સંભાવના વિતરણનો નિયમ ઘણીવાર કહેવામાં આવે છે દ્વિપદી, કારણ કે પીn(m)રજૂ કરે છે mદ્વિપદી વિસ્તરણની મી મુદત.

રેન્ડમ ચલને કોઈપણ બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંક મૂલ્ય લેવા દો, અને

જ્યાં અમુક હકારાત્મક સ્થિરતા છે. આ કિસ્સામાં, રેન્ડમ વેરીએબલ ઉપર વિતરિત હોવાનું કહેવાય છે કાયદો પોઈસન, નોંધ કરો કે જ્યારે k=0મૂકવો જોઈએ 0!=1 .

જેમ આપણે જાણીએ છીએ, મોટી સંખ્યામાં માટે nસ્વતંત્ર પરીક્ષણ સંભાવના પીn(m)અપમાનજનક mવખતની ઘટનાઓ એબર્નૌલીના સૂત્ર દ્વારા નહીં, પરંતુ લેપ્લેસના સૂત્ર દ્વારા શોધવાનું વધુ અનુકૂળ છે [જુઓ. સૂત્ર (15)]. જો કે, બાદમાં ઓછી સંભાવના સાથે મોટી ભૂલો આપે છે આરઘટનાની ઘટના એએક પરીક્ષણમાં. આ કિસ્સામાં, સંભાવનાની ગણતરી કરવી પીn(m)પોઈસન સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે, જેમાં આપણે મૂકવું જોઈએ.

પોઈસનનું સૂત્ર પરીક્ષણોની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે બર્નૌલીના સૂત્રના મર્યાદિત કેસ તરીકે મેળવી શકાય છે. nઅને જેમ જેમ સંભાવના શૂન્યની નજીક આવે છે.

ઉદાહરણ3. 1000 ભાગોનો સમૂહ પ્લાન્ટ પર પહોંચ્યો. ભાગ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના 0.001 છે. પહોંચેલા ભાગોમાં 5 ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના કેટલી છે? ( ઉકેલ)

પોઈસન વિતરણ ઘણીવાર અન્ય સમસ્યાઓમાં જોવા મળે છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, જો ટેલિફોન ઓપરેટર એક કલાકમાં સરેરાશ મેળવે છે એનકૉલ્સ, તે કેવી રીતે બતાવી શકાય, સંભાવના આર(કે)તેણી એક મિનિટમાં શું પ્રાપ્ત કરશે kકૉલ્સ, પોઈસન સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત થાય છે, જો આપણે મૂકીએ.

જો રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો મર્યાદિત ક્રમ બનાવે છે x1 , x2 , . .., xn, તો પછી રેન્ડમ ચલની સંભાવના વિતરણનો નિયમ નીચેના કોષ્ટકના સ્વરૂપમાં સ્પષ્ટ થયેલ છે, જેમાં

આ ટેબલ કહેવામાં આવે છે નજીક વિતરણરેન્ડમ ચલ. સ્પષ્ટપણે કાર્ય p(x)ગ્રાફ તરીકે દર્શાવી શકાય છે. આ કરવા માટે, અમે પ્લેન પર લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ લઈએ છીએ.

અમે આડી અક્ષ સાથે રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો અને વર્ટિકલ અક્ષ સાથે ફંક્શનના મૂલ્યોનું કાવતરું કરીશું. કાર્યનો આલેખ p(x)ફિગમાં બતાવેલ છે. 2. જો તમે આ ગ્રાફના બિંદુઓને સીધી રેખાના ભાગો સાથે જોડો છો, તો તમને એક આકૃતિ મળશે બહુકોણ વિતરણ.

ઉદાહરણ4. ઘટના દો એ-- ડાઇ ફેંકતી વખતે એક બિંદુનો દેખાવ; Р(A)=1/6. રેન્ડમ ચલનો વિચાર કરો - ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા એડાઇસના દસ થ્રો સાથે. કાર્ય મૂલ્યો p(x)(વિતરણ કાયદો) નીચેના કોષ્ટકમાં આપેલ છે:

સંભાવનાઓ p(xi) પર બર્નૌલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવી n=10. માટે x>6તેઓ વ્યવહારીક રીતે શૂન્ય સમાન છે. ફંક્શન p(x) નો ગ્રાફ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 3.

રેન્ડમ ચલ અને તેના ગુણધર્મોનું સંભવિત વિતરણ કાર્ય

કાર્યને ધ્યાનમાં લો F(x), સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત: દરેક માટે એક્સઅર્થ F(x)એક અલગ રેન્ડમ વેરીએબલ કરતાં ઓછું મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવનાની બરાબર છે એક્સ, એટલે કે

આ કાર્ય કહેવામાં આવે છે કાર્ય વિતરણ સંભાવનાઓ, અથવા ટૂંકમાં, કાર્ય વિતરણ.

ઉદાહરણ1. ઉદાહરણ 1, બિંદુ 1 માં આપેલ રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય શોધો. ( ઉકેલ)

ઉદાહરણ2. ઉદાહરણ 2, પગલું 1 માં આપેલ રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય શોધો. ( ઉકેલ)

વિતરણ કાર્ય જાણવું F(x), રેન્ડમ ચલ અસમાનતાઓને સંતોષે છે તેવી સંભાવના શોધવી સરળ છે.

ઘટનાને ધ્યાનમાં લો કે રેન્ડમ વેરીએબલ નાની કિંમત પર લેશે. આ ઘટના બે અસંગત ઘટનાઓના સરવાળામાં વિભાજિત થાય છે: 1) રેન્ડમ ચલ મૂલ્યો નાના લે છે, એટલે કે. ; 2) રેન્ડમ ચલ અસમાનતાને સંતોષતા મૂલ્યો લે છે. વધારાના સ્વયંસિદ્ધનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ

પરંતુ વિતરણ કાર્યની વ્યાખ્યા દ્વારા F(x)[સે.મી. સૂત્ર (18)], અમારી પાસે છે

તેથી,

આમ, સંભાવના હિટ અલગ રેન્ડમ જથ્થો વી અંતરાલ ની સમાન વધારો કાર્યો વિતરણ પર આ અંતરાલ.

ચાલો વિચાર કરીએપાયાનીગુણધર્મોકાર્યોવિતરણો

1°. કાર્ય વિતરણ છે બિન-ઘટતું.

હકીકતમાં, દો< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то. Поэтому из формулы (19) следует, что

2°. મૂલ્યો કાર્યો વિતરણ સંતોષવું અસમાનતા .

આ મિલકત એ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે F(x)સંભાવના તરીકે વ્યાખ્યાયિત [જુઓ સૂત્ર (18)]. તે સ્પષ્ટ છે કે * અને.

3°. સંભાવના જાઓ, શું અલગ રેન્ડમ તીવ્રતા સ્વીકારશે એક થી શક્ય મૂલ્યો xi, ની સમાન ઝપાટાબંધ કાર્યો વિતરણ વી બિંદુ xi.

ખરેખર, દો xi- અલગ રેન્ડમ ચલ દ્વારા લેવામાં આવેલ મૂલ્ય, અને. સૂત્ર (19) માં ધારીએ તો, આપણને મળે છે

પરની મર્યાદામાં, અંતરાલમાં આવતા રેન્ડમ ચલની સંભાવનાને બદલે, અમે સંભવિતતા મેળવીએ છીએ કે મૂલ્ય આપેલ મૂલ્ય લેશે xi:

બીજી બાજુ, આપણે મેળવીએ છીએ, એટલે કે. કાર્યની મર્યાદા F(x)જમણી બાજુએ, કારણ કે તેથી, મર્યાદામાં, સૂત્ર (20) ફોર્મ લે છે

તે અર્થ p(xi) ફંક્શન જમ્પની સમાન** xi. આ ગુણધર્મ ફિગમાં સ્પષ્ટપણે દર્શાવવામાં આવ્યો છે. 4 અને અંજીર. 5.

સતત રેન્ડમ ચલો

અલગ રેન્ડમ ચલો ઉપરાંત, જેનાં સંભવિત મૂલ્યો સંખ્યાઓનો મર્યાદિત અથવા અનંત ક્રમ બનાવે છે જે કોઈપણ અંતરાલને સંપૂર્ણપણે ભરતા નથી, ત્યાં ઘણી વખત રેન્ડમ ચલો હોય છે જેના સંભવિત મૂલ્યો ચોક્કસ અંતરાલ બનાવે છે. આવા રેન્ડમ ચલનું ઉદાહરણ એ યોગ્ય રીતે સમાયોજિત તકનીકી પ્રક્રિયા સાથેના ભાગના ચોક્કસ કદના નજીવા મૂલ્યમાંથી વિચલન છે. સંભવિત વિતરણના કાયદાનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રકારના રેન્ડમ ચલોનો ઉલ્લેખ કરી શકાતો નથી p(x). જો કે, તેઓ સંભાવના વિતરણ કાર્યનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે F(x). આ ફંક્શનને બરાબર એ જ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમ કે એક અલગ રેન્ડમ ચલના કિસ્સામાં:

આમ, અહીં પણ કાર્ય F(x)સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર વ્યાખ્યાયિત, અને બિંદુ પર તેની કિંમત એક્સરેન્ડમ વેરીએબલ કરતાં ઓછું મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવનાની બરાબર છે એક્સ.

ફોર્મ્યુલા (19) અને ગુણધર્મો 1° અને 2° કોઈપણ રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાર્ય માટે માન્ય છે. પુરાવા એક અલગ જથ્થાના કિસ્સામાં સમાન રીતે હાથ ધરવામાં આવે છે.

રેન્ડમ ચલ કહેવાય છે સતત, જો તેના માટે બિન-નકારાત્મક પીસવાઇઝ સતત ફંક્શન હોય* જે કોઈપણ મૂલ્યોને સંતોષે છે xસમાનતા

કાર્ય કહેવાય છે ઘનતા વિતરણ સંભાવનાઓ, અથવા ટૂંકમાં, ઘનતા વિતરણ. જો x 1 2 , પછી અમારી પાસે સૂત્રો (20) અને (22) પર આધારિત છે

એક ક્ષેત્ર તરીકે અભિન્નતાના ભૌમિતિક અર્થના આધારે, આપણે કહી શકીએ કે અસમાનતાઓને પરિપૂર્ણ કરવાની સંભાવના આધાર સાથે વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડના વિસ્તાર જેટલી છે. , ઉપર વળાંક દ્વારા બંધાયેલ છે (ફિગ. 6).

ત્યારથી, અને સૂત્ર (22) પર આધારિત

ફોર્મ્યુલા (22) નો ઉપયોગ કરીને, અમે વિતરણ ઘનતાને સતત ** ગણીને, ઉપલા બાઉન્ડ ચલના સંદર્ભમાં અવિભાજ્યના વ્યુત્પન્ન તરીકે શોધીએ છીએ:

નોંધ કરો કે સતત રેન્ડમ ચલ માટે વિતરણ કાર્ય F(x)કોઈપણ સમયે સતત એક્સ, જ્યાં કાર્ય સતત છે. આ હકીકત પરથી અનુસરે છે કે F(x)આ બિંદુઓ પર અલગ છે.

સૂત્ર (23) પર આધારિત, ધારી રહ્યા છીએ x 1 =x, અમારી પાસે

કાર્યની સાતત્યતાને કારણે F(x)અમે તે મેળવીએ છીએ

આથી

આમ, સંભાવના જાઓ, શું સતત રેન્ડમ તીવ્રતા કદાચ સ્વીકારો કોઈપણ અલગ અર્થ X, ની સમાન શૂન્ય.

તે અનુસરે છે કે દરેક અસમાનતાની પરિપૂર્ણતામાં સમાવિષ્ટ ઘટનાઓ

તેમની પાસે સમાન સંભાવના છે, એટલે કે.

હકીકતમાં, ઉદાહરણ તરીકે,

ટિપ્પણી.જેમ આપણે જાણીએ છીએ, જો કોઈ ઘટના અશક્ય છે, તો તેની ઘટનાની સંભાવના શૂન્ય છે. સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા સાથે, જ્યારે પરીક્ષણ પરિણામોની સંખ્યા મર્યાદિત હોય છે, ત્યારે કન્વર્ઝ પ્રસ્તાવ પણ ધરાવે છે: જો કોઈ ઘટનાની સંભાવના શૂન્ય હોય, તો ઘટના અશક્ય છે, કારણ કે આ કિસ્સામાં કોઈ પણ પરીક્ષણ પરિણામ તેની તરફેણ કરતું નથી. સતત રેન્ડમ ચલના કિસ્સામાં, તેના સંભવિત મૂલ્યોની સંખ્યા અનંત છે. સંભાવના કે આ જથ્થો ચોક્કસ મૂલ્ય લેશે x 1 આપણે જોયું તેમ, શૂન્ય બરાબર છે. જો કે, તે આનાથી અનુસરતું નથી કે આ ઘટના અશક્ય છે, કારણ કે પરીક્ષણના પરિણામે રેન્ડમ ચલ, ખાસ કરીને, મૂલ્ય લઈ શકે છે. x 1 . તેથી, સતત રેન્ડમ ચલના કિસ્સામાં, અંતરાલમાં આવતા રેન્ડમ ચલની સંભાવના વિશે વાત કરવી અર્થપૂર્ણ છે, અને તે સંભવિતતા વિશે નહીં કે તે અમુક ચોક્કસ મૂલ્ય લેશે.

તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, રોલર બનાવતી વખતે, અમને સંભવિતતામાં રસ નથી કે તેનો વ્યાસ નજીવા મૂલ્ય જેટલો હશે. અમારા માટે મહત્વની બાબત એ છે કે રોલરનો વ્યાસ સહનશીલતા શ્રેણીની અંદર છે.

ઉદાહરણ.સતત રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:

ફંક્શન ગ્રાફ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 7. આપેલ રેન્ડમ વેરીએબલનું વિતરણ કાર્ય શોધો. ( ઉકેલ)

આગળના બે ફકરા સતત રેન્ડમ ચલોના વિતરણને સમર્પિત છે જે વ્યવહારમાં વારંવાર આવે છે - સમાન અને સામાન્ય વિતરણ.

* ફંક્શનને સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર પીસવાઈઝ સતત કહેવામાં આવે છે જો તે કાં તો કોઈપણ સેગમેન્ટ પર સતત હોય અથવા તેમાં પ્રથમ પ્રકારના વિરામ બિંદુઓની મર્યાદિત સંખ્યા હોય.

** ચલ ઉપલા બાઉન્ડ સાથે ઇન્ટિગ્રલને અલગ પાડવાનો નિયમ, મર્યાદિત નીચલા બાઉન્ડના કિસ્સામાં ઉતરી આવ્યો છે, તે અનંત નીચલા બાઉન્ડ સાથેના પૂર્ણાંકો માટે માન્ય રહે છે. ખરેખર,

અભિન્ન હોવાથી

ત્યાં એક સ્થિર મૂલ્ય છે.

રેન્ડમ ચલો

રેન્ડમ ચલોનો અર્થ રેન્ડમ ઘટનાઓની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, રેન્ડમ ચલ એ એવા પ્રયોગોના આંકડાકીય પરિણામો છે કે જેની કિંમતો (આપેલ સમયે) અગાઉથી અનુમાન કરી શકાતી નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના મૂલ્યોને રેન્ડમ ગણી શકાય:

2. ચોક્કસ દિવસે આપેલ પ્રસૂતિ હોસ્પિટલમાં જન્મેલા બાળકોમાં છોકરાઓની ટકાવારી.

3. ચોક્કસ દિવસ દરમિયાન ચોક્કસ વેધશાળામાં દૃશ્યમાન સૂર્યના સ્થળોની સંખ્યા અને વિસ્તાર.

4. આ વ્યાખ્યાન માટે મોડા પડેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા.

5. સ્ટોક એક્સચેન્જ પર ડોલર વિનિમય દર (કહો, MICEX પર), જો કે તે સામાન્ય લોકોને લાગે તેટલો "રેન્ડમ" ન હોઈ શકે.

6. ચોક્કસ એન્ટરપ્રાઇઝમાં આપેલ દિવસે સાધનોની નિષ્ફળતાની સંખ્યા.

અનુરૂપ લાક્ષણિકતાના તમામ સંભવિત મૂલ્યોનો સમૂહ અલગ છે કે સતત છે તેના આધારે રેન્ડમ ચલોને અલગ અને સતતમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

આ વિભાજન તેના બદલે મનસ્વી છે, પરંતુ પર્યાપ્ત સંશોધન પદ્ધતિઓ પસંદ કરતી વખતે ઉપયોગી છે. જો રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોની સંખ્યા મર્યાદિત હોય અથવા તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહ સાથે તુલનાત્મક હોય (એટલે ​​​​કે પુનઃક્રમાંકિત કરી શકાય), તો ફાઈનપ્રિન્ટ pdfFactory ટ્રાયલ વર્ઝન http://www.fineprint.com સાથે બનાવેલ રેન્ડમ ચલ PDF સ્વતંત્ર કહેવાય છે. નહિંતર, તેને સતત કહેવામાં આવે છે, જો કે વાસ્તવમાં તે ગર્ભિત રીતે માનવામાં આવે છે કે વાસ્તવમાં સતત રેન્ડમ ચલો કેટલાક સરળ સંખ્યાત્મક અંતરાલ (સેગમેન્ટ, અંતરાલ) માં તેમનું મૂલ્ય લે છે. ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 4 અને 6 હેઠળ ઉપર આપેલા રેન્ડમ ચલો અલગ હશે, અને સતત - નંબર 1 અને 3 (સ્પોટ એરિયા) હેઠળ. કેટલીકવાર રેન્ડમ ચલમાં મિશ્ર અક્ષર હોય છે. જેમ કે, ઉદાહરણ તરીકે, ડોલર (અથવા કોઈ અન્ય ચલણ) નો વિનિમય દર છે, જે વાસ્તવમાં ફક્ત મૂલ્યોનો એક અલગ સેટ લે છે, પરંતુ તે જ સમયે તે ધ્યાનમાં લેવું અનુકૂળ છે કે તેના મૂલ્યોનો સમૂહ "સતત" છે.

રેન્ડમ ચલો અલગ અલગ રીતે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

અલગ રેન્ડમ ચલો સામાન્ય રીતે તેમના વિતરણ કાયદા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. અહીં, રેન્ડમ ચલ X ની દરેક સંભવિત કિંમત x1, x2,... આ મૂલ્યની સંભાવના p1,p2,... સાથે સંકળાયેલ છે. પરિણામ એ એક ટેબલ છે જેમાં બે પંક્તિઓ છે:

આ રેન્ડમ ચલના વિતરણનો નિયમ છે.

વિતરણ કાયદા દ્વારા સતત રેન્ડમ ચલોનો ઉલ્લેખ કરી શકાતો નથી, કારણ કે તેમની ખૂબ જ વ્યાખ્યા દ્વારા તેમના મૂલ્યોને ફરીથી નંબર આપી શકાતા નથી અને તેથી તેમને કોષ્ટકના રૂપમાં સેટ કરવાનું અહીં બાકાત રાખવામાં આવ્યું છે. જો કે, સતત રેન્ડમ ચલો માટે સ્પષ્ટ કરવાની બીજી રીત છે (લાગુ, માર્ગ દ્વારા, સ્વતંત્ર ચલ માટે પણ) - આ વિતરણ કાર્ય છે:

ઘટનાની સંભાવના જેટલી છે, જે એ છે કે રેન્ડમ ચલ X આપેલ સંખ્યા x કરતા ઓછું મૂલ્ય લેશે.

ઘણીવાર, વિતરણ કાર્યને બદલે, અન્ય કાર્યનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે - રેન્ડમ ચલ X ના વિતરણની ઘનતા f(x). તેને કેટલીકવાર વિભેદક વિતરણ કાર્ય પણ કહેવામાં આવે છે, અને આ પરિભાષામાં F(x) છે. સંચિત વિતરણ કાર્ય કહેવાય છે. આ બે કાર્યો પરસ્પર નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને એકબીજાને નિર્ધારિત કરે છે:

જો રેન્ડમ ચલ અલગ હોય, તો તેના માટે વિતરણ કાર્યનો ખ્યાલ પણ અર્થપૂર્ણ છે, આ કિસ્સામાં, વિતરણ કાર્યનો આલેખ આડા વિભાગોનો સમાવેશ કરે છે, જેમાંથી પ્રત્યેક pi ની સમાન રકમ દ્વારા અગાઉના એકની ઉપર સ્થિત છે; .

અલગ જથ્થાના મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણો છે, ઉદાહરણ તરીકે, દ્વિપક્ષી રીતે વિતરિત જથ્થાઓ (બર્નોલી વિતરણ), જેના માટે ફાઈનપ્રિન્ટ pdfFactory ટ્રાયલ વર્ઝન http://www.fineprint.com સાથે PDF બનાવવામાં આવી છે.

n pk(1-p)n-k= !()!

જ્યાં p એ વ્યક્તિગત ઘટનાની સંભાવના છે (તેને કેટલીકવાર પરંપરાગત રીતે "સફળતાની સંભાવના" કહેવામાં આવે છે). આ રીતે ક્રમિક સજાતીય પરીક્ષણોની શ્રેણીના પરિણામોનું વિતરણ કરવામાં આવે છે (બર્નોલી યોજના). દ્વિપદી વિતરણનો મર્યાદિત કિસ્સો (જેમ જેમ ટ્રાયલ્સની સંખ્યા વધે છે) તે પોઈસન વિતરણ છે, જેના માટે

pk=?k/k!exp(-?),

ક્યાં?>0 કેટલાક હકારાત્મક પરિમાણ છે.

સતત વિતરણનું સૌથી સરળ ઉદાહરણ સમાન વિતરણ છે. તે 1/(b-a) ની બરાબર સેગમેન્ટ પર સતત વિતરણ ઘનતા ધરાવે છે, અને આ સેગમેન્ટની બહાર ઘનતા 0 છે.

સતત વિતરણનું અત્યંત મહત્વનું ઉદાહરણ સામાન્ય વિતરણ છે. તે બે પરિમાણો m અને દ્વારા સ્પષ્ટ થયેલ છે? (ગાણિતિક અપેક્ષા અને પ્રમાણભૂત વિચલન - નીચે જુઓ), તેની વિતરણ ઘનતાનું સ્વરૂપ છે:

1 સમાપ્તિ(-(x-m)2/2?2)

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં સામાન્ય વિતરણની મૂળભૂત ભૂમિકા એ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવી છે કે, કેન્દ્રીય મર્યાદા પ્રમેય (સીએલટી) ને કારણે, મોટી સંખ્યામાં રેન્ડમ ચલોનો સરવાળો કે જે જોડી પ્રમાણે સ્વતંત્ર છે (રેન્ડમની સ્વતંત્રતાની વિભાવના માટે નીચે જુઓ. ચલ) અથવા નબળા આશ્રિત સામાન્ય કાયદા અનુસાર આશરે વિતરિત કરવામાં આવે છે. તે અનુસરે છે કે રેન્ડમ ચલ, જેની રેન્ડમનેસ મોટી સંખ્યામાં નબળા આશ્રિત રેન્ડમ પરિબળોને લાદવાને કારણે થાય છે, તે લગભગ સામાન્ય રીતે વિતરિત તરીકે ગણી શકાય (તેને કંપોઝ કરતા પરિબળો કેવી રીતે વિતરિત કરવામાં આવ્યા હતા તે ધ્યાનમાં લીધા વિના). બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સામાન્ય વિતરણ કાયદો ખૂબ જ સાર્વત્રિક છે.

રેન્ડમ વેરિયેબલ્સનો અભ્યાસ કરતી વખતે ઉપયોગમાં લેવા માટે ઘણી સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ છે. તેમાંથી, અમે ગાણિતિક અપેક્ષાને પ્રકાશિત કરીએ છીએ

રેન્ડમ ચલ, ભિન્નતાના સરેરાશ મૂલ્યની બરાબર

D(X)=M(X-M(X))2,

સરેરાશ મૂલ્યમાંથી રેન્ડમ ચલના સ્ક્વેર વિચલનની ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન, અને એક વધુ, વ્યવહારમાં અનુકૂળ, વધારાનું મૂલ્ય (મૂળ રેન્ડમ ચલ જેવા જ પરિમાણનું):

પ્રમાણભૂત વિચલન કહેવાય છે. અમે ધારીશું (આ આગળ સ્પષ્ટ કર્યા વિના) કે તમામ લેખિત અવિભાજ્ય અસ્તિત્વ ધરાવે છે (એટલે ​​​​કે, સમગ્ર સંખ્યાત્મક અક્ષ પર કન્વર્જ થાય છે). જેમ જાણીતું છે, વિક્ષેપ અને પ્રમાણભૂત વિચલન તેના સરેરાશ મૂલ્યની આસપાસ રેન્ડમ ચલના છૂટાછવાયાની ડિગ્રી દર્શાવે છે. FinePrint pdfFactory ટ્રાયલ વર્ઝન http://www.fineprint.com વડે બનાવેલ ભિન્નતા PDF જેટલી નાની છે, રેન્ડમ વેરીએબલના મૂલ્યો તેના સરેરાશ મૂલ્યની આસપાસ જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, પોઈસન વિતરણ માટે અપેક્ષિત મૂલ્ય ? પોઈસન વિતરણ માટેનો તફાવત?, સમાન વિતરણ (b-a)2/12 માટે, અને સામાન્ય વિતરણ માટે તે?2 ની બરાબર છે. નીચેનામાં, ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપના નીચેના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે:

1. M(X+Y)= M(X)+M(Y).

3. D(cX)=c2D(X), જ્યાં c એ મનસ્વી સ્થિર સંખ્યા છે.

4. D(X+A)=D(A) એક મનસ્વી સ્થિરાંક (નોન-રેન્ડમ) મૂલ્ય A માટે.

રેન્ડમ ચલ?=U-MU ને કેન્દ્રીય કહેવામાં આવે છે. પ્રોપર્ટી 1 થી તે અનુસરે છે કે M?=M(U-MU)=M(U)-M(U)=0, એટલે કે, તેનું સરેરાશ મૂલ્ય 0 છે (આ તે છે જેની સાથે તેનું નામ જોડાયેલું છે). વધુમાં, ગુણધર્મ 4ના આધારે આપણી પાસે D(?)=D(U) છે.

ભિન્નતા અને સંબંધિત જથ્થાની ગણતરી માટે વ્યવહારમાં ઉપયોગમાં લેવા માટે અનુકૂળ એક ઉપયોગી સંબંધ પણ છે:

5. D(X)=M(X2)-M(X)2

રેન્ડમ ચલ X અને Y ને સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે જો તેમના મનસ્વી મૂલ્યો માટે અનુક્રમે x અને y, ઘટનાઓ અને સ્વતંત્ર હોય. ઉદાહરણ તરીકે, ઇલેક્ટ્રિકલ નેટવર્કમાં વોલ્ટેજ માપવાના પરિણામો અને એન્ટરપ્રાઇઝના મુખ્ય પાવર એન્જિનિયરની વૃદ્ધિ સ્વતંત્ર હશે (દેખીતી રીતે...). પરંતુ આ વિદ્યુત નેટવર્કની શક્તિ અને એન્ટરપ્રાઇઝમાં મુખ્ય પાવર એન્જિનિયરનો પગાર હવે હંમેશા સ્વતંત્ર ગણી શકાય નહીં.

જો રેન્ડમ ચલ X અને Y સ્વતંત્ર હોય, તો નીચેના ગુણધર્મો પણ ધરાવે છે (જે મનસ્વી રેન્ડમ ચલો માટે ન હોઈ શકે):

5. M(XY)=M(X)M(Y).

6. D(X+Y)=D(X)+D(Y).

વ્યક્તિગત રેન્ડમ ચલ X,Y,... ઉપરાંત, રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમોનો પણ અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, રેન્ડમ ચલોની જોડી (X,Y) ને નવા રેન્ડમ ચલ તરીકે ગણી શકાય કે જેના મૂલ્યો દ્વિ-પરિમાણીય વેક્ટર છે. બહુ-પરિમાણીય રેન્ડમ ચલ તરીકે ઓળખાતા રેન્ડમ ચલોની મોટી સંખ્યામાં સિસ્ટમોને સમાન રીતે ગણી શકાય. આ પ્રકારના જથ્થાની સિસ્ટમો તેમના વિતરણ કાર્ય દ્વારા પણ નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ માટે આ ફંક્શન ફોર્મ ધરાવે છે

F(x,y)=P,

એટલે કે, તે ઘટનાની સંભાવના જેટલી છે કે રેન્ડમ ચલ X આપેલ નંબર x કરતાં ઓછું મૂલ્ય લેશે, અને રેન્ડમ ચલ Y આપેલ નંબર y કરતાં ઓછું મૂલ્ય લેશે. આ ફંક્શનને રેન્ડમ ચલ X અને Y નું સંયુક્ત વિતરણ કાર્ય પણ કહેવામાં આવે છે. તમે સરેરાશ વેક્ટરને પણ ધ્યાનમાં લઈ શકો છો - ગાણિતિક અપેક્ષાનું કુદરતી એનાલોગ, પરંતુ વિક્ષેપને બદલે તમારે સેકન્ડ-ઓર્ડર મોમેન્ટ્સ તરીકે ઓળખાતી ઘણી સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓનો અભ્યાસ કરવો પડશે. આ, સૌપ્રથમ, બે આંશિક ભિન્નતા DX અને DY PDF છે જે FinePrint pdfFactory ટ્રાયલ વર્ઝન http://www.fineprint.com X અને Y ના રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ સાથે બનાવેલ છે, જેને અલગથી ગણવામાં આવે છે, અને બીજું, સહપ્રવર્તન ક્ષણ, વધુ વિગતવાર નીચે ચર્ચા કરવામાં આવી છે. .

જો રેન્ડમ ચલ X અને Y સ્વતંત્ર છે, તો પછી

F(x,y)=FX(x)FY(y)

રેન્ડમ ચલ X અને Y ના વિતરણ કાર્યોનું ઉત્પાદન અને તેથી સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોની જોડીનો અભ્યાસ મોટે ભાગે ફક્ત X અને Y નો અલગથી અભ્યાસ કરવા માટે ઘટાડી દેવામાં આવે છે.

રેન્ડમ ચલો

ઉપર અમે એવા પ્રયોગોને ધ્યાનમાં લીધા કે જેના પરિણામો રેન્ડમ ઘટનાઓ છે. જો કે, ઘણીવાર પ્રયોગના પરિણામોને ચોક્કસ જથ્થાના સ્વરૂપમાં માત્રાત્મક રીતે રજૂ કરવાની જરૂર હોય છે, જેને રેન્ડમ ચલ કહેવાય છે. રેન્ડમ ચલ એ સંભાવના સિદ્ધાંતમાં અભ્યાસનો બીજો (રેન્ડમ ઘટના પછી) મુખ્ય પદાર્થ છે અને રેન્ડમ ઘટનાઓના સંગ્રહ કરતાં રેન્ડમ પરિણામ સાથેના અનુભવનું વર્ણન કરવાની વધુ સામાન્ય રીત પ્રદાન કરે છે.

રેન્ડમ પરિણામો સાથેના પ્રયોગો પર વિચાર કરતી વખતે, અમે પહેલેથી જ રેન્ડમ ચલો સાથે કામ કરતા હતા. આમ, અજમાયશની શ્રેણીમાં સફળતાની સંખ્યા એ રેન્ડમ ચલનું ઉદાહરણ છે. રેન્ડમ ચલોના અન્ય ઉદાહરણો છે: સમયના એકમ દીઠ ટેલિફોન એક્સચેન્જમાં કૉલ્સની સંખ્યા; આગામી કૉલ માટે રાહ જોવાનો સમય; આંકડાકીય ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ગણવામાં આવતા કણોની સિસ્ટમમાં આપેલ ઊર્જા સાથેના કણોની સંખ્યા; આપેલ વિસ્તારમાં સરેરાશ દૈનિક તાપમાન, વગેરે.

રેન્ડમ ચલ એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે તે જે મૂલ્ય લેશે તેની ચોક્કસ આગાહી કરવી અશક્ય છે, પરંતુ બીજી બાજુ, તેના સંભવિત મૂલ્યોનો સમૂહ સામાન્ય રીતે જાણીતો છે. તેથી ટ્રાયલના ક્રમમાં સફળતાની સંખ્યા માટે, આ સમૂહ મર્યાદિત છે, કારણ કે સફળતાઓની સંખ્યા મૂલ્યો લઈ શકે છે. રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોનો સમૂહ વાસ્તવિક અર્ધ-અક્ષ સાથે સુસંગત હોઈ શકે છે, જેમ કે પ્રતીક્ષા સમય વગેરેના કિસ્સામાં.

ચાલો રેન્ડમ પરિણામ સાથેના પ્રયોગોના ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લઈએ, જેના વર્ણન માટે સામાન્ય રીતે રેન્ડમ ઘટનાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, અને રેન્ડમ ચલનો ઉલ્લેખ કરીને સમકક્ષ વર્ણન રજૂ કરીએ.

1). અનુભવના પરિણામને ઘટના કે ઘટના બનવા દો. પછી આ પ્રયોગ રેન્ડમ ચલ સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે જે બે મૂલ્યો લે છે, ઉદાહરણ તરીકે, અને સંભાવનાઓ સાથે અને, અને સમાનતાઓ થાય છે: અને. આમ, એક અનુભવને સંભાવનાઓ સાથેના બે પરિણામો દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે અને, અથવા તે જ અનુભવને બે મૂલ્યો અને સંભાવનાઓ સાથે રેન્ડમ ચલ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

2). ડાઇ ફેંકવાના પ્રયોગનો વિચાર કરો. અહીં, પ્રયોગનું પરિણામ ઘટનાઓમાંની એક હોઈ શકે છે, જ્યાં - સંખ્યા સાથે બાજુનો દેખાવ. સંભાવનાઓ. ચાલો રેન્ડમ ચલનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રયોગનું સમકક્ષ વર્ણન રજૂ કરીએ જે સંભાવનાઓ સાથે મૂલ્યો લઈ શકે.

3). સ્વતંત્ર અજમાયશનો ક્રમ અસંગત ઘટનાઓના સંપૂર્ણ જૂથ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે, જ્યાં અજમાયશની શ્રેણીમાં સફળતાના દેખાવનો સમાવેશ કરતી ઘટના છે; અને ઘટનાની સંભાવના બર્નોલી સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, એટલે કે અહીં તમે રેન્ડમ ચલ દાખલ કરી શકો છો - સફળતાઓની સંખ્યા, જે સંભાવનાઓ સાથે મૂલ્યો લે છે. આમ, સ્વતંત્ર અજમાયશનો ક્રમ તેમની સંભાવનાઓ સાથેની રેન્ડમ ઘટનાઓ અથવા મૂલ્યો શું લે છે તેની સંભાવનાઓ સાથે રેન્ડમ ચલ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.

4). જો કે, રેન્ડમ પરિણામ સાથેના દરેક પ્રયોગ માટે રેન્ડમ ચલ અને રેન્ડમ ઘટનાઓના સમૂહ વચ્ચે આટલો સરળ પત્રવ્યવહાર નથી. ઉદાહરણ તરીકે, એવા પ્રયોગને ધ્યાનમાં લો કે જેમાં કોઈ બિંદુ રેન્ડમ રીતે સેગમેન્ટ પર ફેંકવામાં આવે છે. અહીં રેન્ડમ ચલ રજૂ કરવું સ્વાભાવિક છે - બિંદુ જ્યાં પડે છે તે સેગમેન્ટ પરનું સંકલન. આમ, આપણે રેન્ડમ ઘટના વિશે વાત કરી શકીએ છીએ, જ્યાં સંખ્યા છે. જો કે, આ ઘટનાની સંભાવના. તમે તેને અલગ રીતે કરી શકો છો - સેગમેન્ટને અસંખ્ય અસંબંધિત ભાગોમાં વિભાજીત કરો અને રેન્ડમ વેરીએબલ અંતરાલમાંથી મૂલ્યો લે છે તે હકીકતમાં સમાવિષ્ટ રેન્ડમ ઇવેન્ટ્સને ધ્યાનમાં લો. પછી સંભાવનાઓ મર્યાદિત માત્રામાં છે. જો કે, આ પદ્ધતિમાં પણ નોંધપાત્ર ખામી છે, કારણ કે સેગમેન્ટ્સ મનસ્વી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. આ ખામીને દૂર કરવા માટે, ફોર્મના સેગમેન્ટ્સને ધ્યાનમાં લો જ્યાં ચલ છે. પછી અનુરૂપ સંભાવના એ દલીલનું કાર્ય છે. આ રેન્ડમ ચલના ગાણિતિક વર્ણનને જટિલ બનાવે છે, પરંતુ તે જ સમયે વર્ણન (29.1) અનન્ય બને છે, અને વિભાગોની પસંદગીમાં અસ્પષ્ટતા દૂર થાય છે.

ધ્યાનમાં લીધેલા દરેક ઉદાહરણો માટે, સંભાવનાની જગ્યા નક્કી કરવી સરળ છે, પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યા ક્યાં છે, ઘટનાઓનું બીજગણિત (સબસેટ્સ) છે અને કોઈપણ માટે વ્યાખ્યાયિત સંભાવના છે. ઉદાહરણ તરીકે, છેલ્લા ઉદાહરણમાં, - માં સમાયેલ તમામ સેગમેન્ટ્સનું બીજગણિત છે.

ધ્યાનમાં લેવાયેલા ઉદાહરણો રેન્ડમ ચલની નીચેની વ્યાખ્યા તરફ દોરી જાય છે.

એક સંભાવના જગ્યા રહેવા દો. રેન્ડમ ચલ એ એક-મૂલ્યવાળું વાસ્તવિક કાર્ય છે, જે તેના પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, જેના માટે ફોર્મની પ્રાથમિક ઘટનાઓનો સમૂહ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે એક ઘટના (એટલે ​​કે સંબંધિત છે) છે.

આમ, વ્યાખ્યા માટે જરૂરી છે કે દરેક વાસ્તવિક સમૂહ માટે, અને આ સ્થિતિ ખાતરી કરે છે કે દરેક માટે ઘટનાની સંભાવના વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. આ ઘટના સામાન્ય રીતે ટૂંકી એન્ટ્રી દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

સંભાવના વિતરણ કાર્ય

ફંક્શનને રેન્ડમ ચલનું પ્રોબેબિલિટી ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન કહેવામાં આવે છે.

ફંક્શનને કેટલીકવાર સંક્ષિપ્તમાં કહેવામાં આવે છે - વિતરણ કાર્ય, અને તે પણ - રેન્ડમ ચલની સંભાવના વિતરણનો અભિન્ન કાયદો. ફંક્શન એ રેન્ડમ ચલની સંપૂર્ણ લાક્ષણિકતા છે, એટલે કે, તે રેન્ડમ ચલના તમામ ગુણધર્મોનું ગાણિતિક વર્ણન છે અને આ ગુણધર્મોને વર્ણવવાની કોઈ વધુ વિગતવાર રીત નથી.

ચાલો વ્યાખ્યાના નીચેના મહત્વના લક્ષણની નોંધ લઈએ (30.1). ઘણીવાર કાર્યને અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

(30.1) મુજબ, કાર્ય યોગ્ય સતત છે. આ મુદ્દાની નીચે વધુ વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવશે. જો આપણે વ્યાખ્યા (30.2) નો ઉપયોગ કરીએ, તો - ડાબી બાજુએ સતત છે, જે સંબંધમાં સખત અસમાનતાના ઉપયોગનું પરિણામ છે (30.2). ફંક્શન્સ (30.1) અને (30.2) એ રેન્ડમ ચલના સમકક્ષ વર્ણનો છે, કારણ કે સૈદ્ધાંતિક મુદ્દાઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે અને સમસ્યાઓ ઉકેલતી વખતે કઈ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે તે મહત્વનું નથી. નિશ્ચિતતા માટે, નીચે પ્રમાણે આપણે ફક્ત વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીશું (30.1).

ચાલો ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવવાના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ. રેન્ડમ ચલને સંભાવનાઓ સાથે, અને મૂલ્યો લેવા દો. આમ, આ રેન્ડમ ચલ શૂન્ય સંભાવના સાથે દર્શાવેલ મૂલ્યો સિવાય અન્ય મૂલ્યો લે છે:, કોઈપણ માટે,. અથવા તેઓ કહે છે તેમ, રેન્ડમ ચલ તેના કરતાં અન્ય મૂલ્યો લઈ શકતું નથી. તે નિશ્ચિતતા માટે રહેવા દો. ચાલો અંતરાલો માટે ફંક્શનની કિંમતો શોધીએ: 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7). પ્રથમ અંતરાલ પર, તેથી વિતરણ કાર્ય. 2). તો પછી. દેખીતી રીતે રેન્ડમ ઘટનાઓ અને અસંગત, તેથી, સંભાવનાઓ ઉમેરવા માટેના સૂત્ર અનુસાર. શરત મુજબ, ઘટના અશક્ય છે અને, એ. એ કારણે. 3). તે પછી રહેવા દો. અહીં પ્રથમ શબ્દ છે, અને બીજો, કારણ કે ઘટના અશક્ય છે. આમ, શરત સંતોષતા કોઈપણ માટે. 4). તે પછી રહેવા દો. 5). તો પછી. 6) જ્યારે અમારી પાસે હોય. 7) જો, તો. ગણતરીના પરિણામો ફિગમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. ફંક્શનનો 30.1 ગ્રાફ. વિરામ બિંદુઓ પર, જમણી બાજુના કાર્યની સાતત્ય દર્શાવવામાં આવે છે.

સંભાવના વિતરણ કાર્યના મૂળભૂત ગુણધર્મો

ચાલો વિતરણ કાર્યના મુખ્ય ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ, જે વ્યાખ્યામાંથી સીધા અનુસરે છે:

1. ચાલો નોટેશન રજૂ કરીએ:. પછી તે વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે. અહીં અભિવ્યક્તિને શૂન્ય સંભાવના સાથે અશક્ય ઘટના તરીકે ગણવામાં આવે છે.

2. તે દો. પછી તે કાર્યની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે. રેન્ડમ ઘટના વિશ્વસનીય છે અને તેની સંભાવના એક જેટલી છે.

3. રેન્ડમ ઘટનાની સંભાવના જેમાં એ હકીકત છે કે રેન્ડમ ચલ એ અંતરાલમાંથી મૂલ્ય લે છે તે નીચેની સમાનતા દ્વારા કાર્ય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

આ સમાનતા સાબિત કરવા માટે, સંબંધને ધ્યાનમાં લો.

ઘટનાઓ અને અસંગત છે, તેથી, (31.3) માંથી સંભાવનાઓ ઉમેરવાના સૂત્ર અનુસાર તે તેને અનુસરે છે અને સૂત્ર (31.2) સાથે સુસંગત છે, ત્યારથી અને.

4. કાર્ય બિન-ઘટતું છે. પુરાવા માટે, ચાલો જોઈએ. આ કિસ્સામાં, સમાનતા (31.2) માન્ય છે. તેની ડાબી બાજુ છે કારણ કે સંભાવના અંતરાલમાંથી મૂલ્યો લે છે. તેથી, સમાનતાની જમણી બાજુ (31.2) બિન-નકારાત્મક છે:, અથવા. આ સમાનતા શરત હેઠળ મેળવવામાં આવે છે, તેથી, બિન-ઘટતું કાર્ય છે.

5. કાર્ય દરેક બિંદુ પર યોગ્ય સતત છે, એટલે કે.

જ્યાં કોઈપણ ક્રમ જમણી તરફ વલણ ધરાવે છે, એટલે કે. અને.

આ સાબિત કરવા માટે, ચાલો ફંક્શનને આ રીતે રજૂ કરીએ:

હવે, સંભાવનાની ગણનાપાત્ર ઉમેરણના સ્વયંસિદ્ધના આધારે, વાંકડિયા કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ સમાન છે, આમ કાર્યની યોગ્ય સાતત્યતા સાબિત થાય છે.

આમ, દરેક સંભાવના વિતરણ કાર્યમાં 1-5 ગુણધર્મો હોય છે. કન્વર્સ સ્ટેટમેન્ટ પણ સાચું છે: જો તે શરતો 1-5 ને સંતોષે છે, તો તેને કેટલાક રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાર્ય તરીકે ગણી શકાય.

એક અલગ રેન્ડમ ચલનું સંભવિત વિતરણ કાર્ય

રેન્ડમ ચલને અલગ કહેવામાં આવે છે જો તેના મૂલ્યોનો સમૂહ મર્યાદિત અથવા ગણતરીપાત્ર હોય.

અલગ રેન્ડમ ચલના સંપૂર્ણ સંભવિત વર્ણન માટે જે મૂલ્યો લે છે, તે સંભવિતતાઓને સ્પષ્ટ કરવા માટે પૂરતું છે કે રેન્ડમ ચલ મૂલ્ય લે છે. જો અને આપવામાં આવે છે, તો પછી સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલના સંભવિત વિતરણ કાર્યને આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે:

અહીં સારાંશ બધા સૂચકાંકો પર હાથ ધરવામાં આવે છે જે સ્થિતિને સંતોષે છે.

ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ વેરીએબલનું પ્રોબેબિલિટી ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન ક્યારેક કહેવાતા યુનિટ જમ્પ ફંક્શન દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

આ કિસ્સામાં, તે સ્વરૂપ લે છે જો રેન્ડમ ચલ મૂલ્યોનો મર્યાદિત સમૂહ લે છે, અને (32.4) માં સમીકરણની ઉપલી મર્યાદા બરાબર સેટ કરવામાં આવે છે જો રેન્ડમ ચલ મૂલ્યોનો ગણી શકાય એવો સમૂહ લે છે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલના સંભાવના વિતરણ કાર્યોનો ગ્રાફ બનાવવાનું ઉદાહરણ ફકરા 30 માં ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યું હતું.

સંભાવના વિતરણ ઘનતા

રેન્ડમ વેરીએબલને વિભેદક સંભાવના વિતરણ કાર્ય કરવા દો, પછી કાર્યને રેન્ડમ ચલની સંભાવના વિતરણ ઘનતા (અથવા સંભાવના ઘનતા) કહેવામાં આવે છે, અને રેન્ડમ ચલને સતત રેન્ડમ ચલ કહેવામાં આવે છે.

ચાલો સંભાવના ઘનતાના મૂળભૂત ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ.

વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યામાંથી સમાનતા નીચે મુજબ છે:

કાર્યના ગુણધર્મો અનુસાર, સમાનતા ધરાવે છે. તેથી (33.2) ફોર્મ લે છે:

આ સંબંધ ફંક્શનનું નામ સમજાવે છે. ખરેખર, (33.3) મુજબ, કાર્ય એ બિંદુ પર એકમ અંતરાલ દીઠ સંભાવના છે, ત્યારથી. આમ, સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સંભવિત ઘનતા (33.3) એ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં જાણીતા અન્ય જથ્થાઓની ઘનતાની વ્યાખ્યાઓ જેવી જ છે, જેમ કે વર્તમાન ઘનતા, પદાર્થની ઘનતા, ચાર્જ ઘનતા વગેરે.

2. બિન-ઘટતું કાર્ય હોવાથી, તેનું વ્યુત્પન્ન એ બિન-નકારાત્મક કાર્ય છે:

3. તે (33.1) થી અનુસરે છે, ત્યારથી. આમ, સમાનતા સાચી છે

4. ત્યારથી, તે સંબંધમાંથી અનુસરે છે (33.5)

સમાનતા જેને સામાન્યીકરણ સ્થિતિ કહેવાય છે. તેની ડાબી બાજુ ચોક્કસ ઘટનાની સંભાવના છે.

5. પછી તેને અનુસરવા દો (33.1)

આ સંબંધ એપ્લિકેશન્સ માટે મહત્વપૂર્ણ છે કારણ કે તે સંભવિતતા ઘનતા કાર્ય દ્વારા અથવા સંભાવના વિતરણ કાર્ય દ્વારા સંભવિતતાની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. જો આપણે તેને મુકીએ, તો સંબંધ (33.6) (33.7) થી અનુસરે છે.

ફિગ માં. આકૃતિ 33.1 વિતરણ કાર્ય અને સંભાવના ઘનતા ગ્રાફના ઉદાહરણો બતાવે છે.

નોંધ કરો કે સંભાવના વિતરણ ઘનતામાં અનેક મેક્સિમા હોઈ શકે છે. દલીલનું મૂલ્ય કે જેના પર ઘનતા મહત્તમ હોય તેને રેન્ડમ ચલના વિતરણનો મોડ કહેવામાં આવે છે. જો ઘનતામાં એક કરતા વધુ મોડ હોય, તો તેને મલ્ટિમોડલ કહેવામાં આવે છે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલની સંભાવના ઘનતા

વિતરણ અલગ સંભાવના ઘનતા

રેન્ડમ ચલને સંભાવનાઓ સાથે મૂલ્યો લેવા દો. પછી તેની સંભાવના વિતરણ કાર્ય એ છે કે એકમ જમ્પ કાર્ય ક્યાં છે. રેન્ડમ ચલની સંભાવના ઘનતા તેના વિતરણ કાર્ય પરથી, સમાનતાને ધ્યાનમાં લઈને નક્કી કરી શકાય છે. જો કે, આ કિસ્સામાં ગાણિતિક મુશ્કેલીઓ એ હકીકતને કારણે ઊભી થાય છે કે (34.1) માં સમાવિષ્ટ એકમ જમ્પ ફંક્શનમાં પ્રથમ પ્રકારનું વિરામ છે. તેથી, એક બિંદુ પર કાર્યનું કોઈ વ્યુત્પન્ન નથી.

આ જટિલતાને દૂર કરવા માટે, -ફંક્શન રજૂ કરવામાં આવ્યું છે. એકમ જમ્પ ફંક્શનને નીચેની સમાનતા દ્વારા -ફંક્શન દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે:

પછી ઔપચારિક રીતે, એક અલગ રેન્ડમ ચલની વ્યુત્પન્નતા અને સંભાવના ઘનતા કાર્યના વ્યુત્પન્ન તરીકે સંબંધ (34.1) પરથી નક્કી કરવામાં આવે છે:

કાર્ય (34.4) માં સંભાવના ઘનતાના તમામ ગુણધર્મો છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. એક અલગ રેન્ડમ ચલને સંભાવનાઓ સાથે મૂલ્યો લેવા દો, અને દો. પછી રેન્ડમ ચલ સેગમેન્ટમાંથી મૂલ્ય લેશે તેવી સંભાવનાની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઘનતાના સામાન્ય ગુણધર્મોના આધારે કરી શકાય છે:

અહીં, કારણ કે શરત દ્વારા નિર્ધારિત કાર્યનો એકવચન બિંદુ એકીકરણના ડોમેનની અંદર સ્થિત છે, અને એકવચન બિંદુ પર એકીકરણના ડોમેનની બહાર સ્થિત છે. આમ.

કાર્ય માટે (34.4) નોર્મલાઇઝેશનની સ્થિતિ પણ સંતુષ્ટ છે:

નોંધ કરો કે ગણિતમાં, ફોર્મની નોટેશન (34.4) ખોટી (ખોટી) ગણવામાં આવે છે, અને નોટેશન (34.2) સાચી માનવામાં આવે છે. આ એ હકીકતને કારણે છે કે - શૂન્ય દલીલ સાથેનું કાર્ય છે, અને તે અસ્તિત્વમાં નથી તેવું કહેવાય છે. બીજી બાજુ, (34.2) માં ફંક્શન ઇન્ટિગ્રલ હેઠળ સમાયેલ છે. વધુમાં, (34.2) ની જમણી બાજુ કોઈપણ માટે મર્યાદિત મૂલ્ય છે, એટલે કે. -ફંક્શનનું અભિન્ન અંગ અસ્તિત્વમાં છે. આ હોવા છતાં, ભૌતિકશાસ્ત્ર, તકનીકી અને સંભવિતતા સિદ્ધાંતના અન્ય કાર્યક્રમોમાં, ફોર્મ (34.4) માં ઘનતાની રજૂઆતનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે, જે, સૌપ્રથમ, વ્યક્તિને ગુણધર્મો - કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને સાચા પરિણામો મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે, અને બીજું, સ્પષ્ટ ભૌતિક છે. અર્થઘટન

ઘનતા અને સંભાવના વિતરણ કાર્યોના ઉદાહરણો

35.1. રેન્ડમ ચલને અંતરાલ પર સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે જો તેની સંભાવના વિતરણ ઘનતા

નોર્મલાઇઝેશન કન્ડિશનમાંથી નંબર ક્યાં નક્કી થાય છે:

(35.1) ને (35.2) માં અવેજી સમાનતા તરફ દોરી જાય છે, જેના ઉકેલનું સ્વરૂપ છે:.

સમાનરૂપે વિતરિત રેન્ડમ ચલનું સંભવિત વિતરણ કાર્ય સૂત્ર (33.5) નો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે, જે ઘનતા દ્વારા નક્કી કરે છે:

ફિગ માં. આકૃતિ 35.1 ફંક્શનના ગ્રાફ અને એકસરખી રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલ બતાવે છે.

35.2. રેન્ડમ ચલને સામાન્ય (અથવા ગૌસીયન) કહેવામાં આવે છે જો તેની સંભાવના વિતરણ ઘનતા હોય:

જ્યાં, સંખ્યાઓને ફંક્શન પેરામીટર કહેવાય છે. જ્યારે ફંક્શન તેની મહત્તમ કિંમત લે છે:. પરિમાણ અસરકારક પહોળાઈનો અર્થ ધરાવે છે. આ ભૌમિતિક અર્થઘટન ઉપરાંત, પરિમાણોમાં સંભવિત અર્થઘટન પણ છે, જેની પછીથી ચર્ચા કરવામાં આવશે.

પ્રતિ (35.4) સંભાવના વિતરણ કાર્ય માટે અભિવ્યક્તિને અનુસરે છે

લેપ્લેસ કાર્ય ક્યાં છે. ફિગ માં. 35.2 ફંક્શનના ગ્રાફ અને સામાન્ય રેન્ડમ ચલ બતાવે છે. નોટેશનનો ઉપયોગ વારંવાર એ દર્શાવવા માટે થાય છે કે રેન્ડમ ચલમાં પરિમાણો સાથે સામાન્ય વિતરણ છે.

35.3. રેન્ડમ ચલમાં કોચી સંભાવના ઘનતા કાર્ય હોય છે જો

આ ઘનતા વિતરણ કાર્યને અનુરૂપ છે

35.4. રેન્ડમ ચલને ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે જો તેની સંભાવના વિતરણ ઘનતાનું સ્વરૂપ હોય તો:

ચાલો તેની સંભાવના વિતરણ કાર્ય નક્કી કરીએ. જ્યારે તે (35.8) થી અનુસરે છે. તો પછી

35.5. રેન્ડમ ચલનું રેલેની સંભાવના વિતરણ ફોર્મની ઘનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

આ ઘનતા એ પર અને તેની સમાન સંભાવના વિતરણ કાર્યને અનુરૂપ છે.

35.6. ચાલો ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન અને ડિસક્રીટ રેન્ડમ ચલની ઘનતા બાંધવાના ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લઈએ. રેન્ડમ ચલને સ્વતંત્ર અજમાયશના ક્રમમાં સફળતાની સંખ્યા બનવા દો. પછી રેન્ડમ ચલ બર્નૌલીના સૂત્ર દ્વારા નિર્ધારિત સંભાવના સાથે મૂલ્યો લે છે:

જ્યાં, એક પ્રયોગમાં સફળતા અને નિષ્ફળતાની સંભાવનાઓ છે. આમ, રેન્ડમ ચલના સંભવિત વિતરણ કાર્યનું સ્વરૂપ છે

એકમ જમ્પ કાર્ય ક્યાં છે. તેથી વિતરણ ઘનતા:

ડેલ્ટા કાર્ય ક્યાં છે.

એકવચન રેન્ડમ ચલો

અલગ અને સતત રેન્ડમ ચલો ઉપરાંત, કહેવાતા એકવચન રેન્ડમ ચલો પણ છે. આ રેન્ડમ ચલો એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે તેમની સંભાવના વિતરણ કાર્ય સતત છે, પરંતુ વૃદ્ધિ બિંદુઓ શૂન્ય માપનો સમૂહ બનાવે છે. ફંક્શનનો વૃદ્ધિ બિંદુ એ તેની દલીલનું મૂલ્ય છે જેમ કે વ્યુત્પન્ન.

આમ, કાર્યની વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં લગભગ દરેક જગ્યાએ. એક કાર્ય જે આ સ્થિતિને સંતોષે છે તેને એકવચન પણ કહેવાય છે. એકવચન વિતરણ કાર્યનું ઉદાહરણ કેન્ટર વળાંક (ફિગ. 36.1) છે, જે નીચે પ્રમાણે બાંધવામાં આવ્યું છે. પર અને પર આધાર રાખે છે. પછી અંતરાલને ત્રણ સમાન ભાગો (સેગમેન્ટ્સ) માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે અને આંતરિક સેગમેન્ટ માટે મૂલ્ય નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે - જમણી અને ડાબી બાજુના નજીકના સેગમેન્ટમાં પહેલાથી નિર્ધારિત મૂલ્યોના અડધા સરવાળા તરીકે. આ બિંદુએ, કાર્ય માટે, તેની કિંમત અને મૂલ્ય સાથે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ મૂલ્યોનો અડધો સરવાળો સમાન છે અને આંતરિક સેગમેન્ટ પરની કિંમત નક્કી કરે છે. પછી સેગમેન્ટો ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે અને તેમાંના દરેકને ત્રણ સમાન સેગમેન્ટમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે અને જમણી અને ડાબી બાજુની સૌથી નજીક આપેલ ફંક્શન મૂલ્યોના અડધા સરવાળા તરીકે આંતરિક સેગમેન્ટ્સ પર ફંક્શન નક્કી કરવામાં આવે છે. આમ, જ્યારે ફંક્શન સંખ્યાઓના અડધા સરવાળા જેવું હોય છે અને. એ જ રીતે ઇન્ટરવલ ફંક્શન પર. ફંક્શન પછી અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેના પર, વગેરે.

...

સમાન દસ્તાવેજો

રેન્ડમ ચલો. એક અલગ રેન્ડમ ચલનું કાર્ય અને સંભાવના વિતરણ ઘનતા. એકવચન રેન્ડમ ચલો. રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા. ચેબીશેવની અસમાનતા. ક્ષણો, ક્યુમ્યુલન્ટ્સ અને લાક્ષણિક કાર્ય.

અમૂર્ત, 12/03/2007 ઉમેર્યું


સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડાઓની વિભાવનાઓ, વ્યવહારમાં તેમની અરજી. રેન્ડમ ચલની વ્યાખ્યા. રેન્ડમ ચલોના પ્રકારો અને ઉદાહરણો. એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો. સતત રેન્ડમ ચલના વિતરણના નિયમો.

અમૂર્ત, 10/25/2015 ઉમેર્યું


આપેલ અંતરાલમાં રેન્ડમ ચલ X પડવાની સંભાવના. રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાર્યનું પ્લોટિંગ. રેન્ડમ પર લેવામાં આવેલ ઉત્પાદન ધોરણને પૂર્ણ કરે છે તેની સંભાવના નક્કી કરવી. એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો.

પરીક્ષણ, 01/24/2013 ઉમેર્યું


અલગ રેન્ડમ ચલો અને તેમના વિતરણો. કુલ સંભાવના સૂત્ર અને બેયસ સૂત્ર. ગાણિતિક અપેક્ષાના સામાન્ય ગુણધર્મો. રેન્ડમ ચલનો ભિન્નતા. રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય. સંભાવનાની ક્લાસિકલ વ્યાખ્યા.

ટેસ્ટ, 12/13/2010 ઉમેર્યું


સતત રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય. સિસ્ટમની સતત રેન્ડમ ચલ, સંભાવના વિતરણ ઘનતાની ગાણિતિક અપેક્ષા. સહવર્તન. સહસંબંધ ગુણાંક.

લેબોરેટરી વર્ક, 08/19/2002 ઉમેર્યું


રેન્ડમ ચલની સૌથી સાર્વત્રિક લાક્ષણિકતા તરીકે વિતરણ કાર્યની વિશેષતાઓ. તેના ગુણધર્મોનું વર્ણન, ભૌમિતિક અર્થઘટનનો ઉપયોગ કરીને તેમની રજૂઆત. એક અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણની સંભાવનાની ગણતરી કરવાની નિયમિતતા.

પ્રસ્તુતિ, 11/01/2013 ઉમેર્યું


બર્નૌલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વિવિધ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ નક્કી કરવી. એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો દોરો, રેન્ડમ ચલ, સંભાવના ઘનતાના ગાણિતિક અપેક્ષા, વિક્ષેપ અને પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરો.

પરીક્ષણ, 10/31/2013 ઉમેર્યું


ઘટના બનવાની સંભાવના શોધવા માટે બર્નોલીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો. એક અલગ રેન્ડમ ચલનો ગ્રાફ પ્લોટિંગ. અભિન્ન વિતરણ કાર્યના ગાણિતિક અપેક્ષા અને ગુણધર્મો. સતત રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય.

પરીક્ષણ, 01/29/2014 ઉમેર્યું


સંભાવનાનો સિદ્ધાંત અને સામૂહિક રેન્ડમ ઘટનાના દાખલાઓ. અસમાનતા અને ચેબીશેવનું પ્રમેય. રેન્ડમ ચલની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ. વિતરણ ઘનતા અને ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ. ગૌસીયન રેન્ડમ ચલનું લાક્ષણિક કાર્ય.

અમૂર્ત, 01/24/2011 ઉમેર્યું


રેન્ડમ ચલના ગાણિતિક અપેક્ષા, ભિન્નતા, વિતરણ કાર્ય અને પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી. રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદો. ઇવેન્ટની સંભાવનાની ઉત્તમ વ્યાખ્યા. વિતરણ ઘનતા શોધવી.

શૈક્ષણિક સંસ્થા "બેલારુસિયન રાજ્ય

કૃષિ એકેડમી"

ઉચ્ચ ગણિત વિભાગ

માર્ગદર્શિકા

ફેકલ્ટી ઓફ એકાઉન્ટિંગ ફોર કોરસપોન્ડન્સ એજ્યુકેશન (NISPO) ના વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા "રેન્ડમ વેરીએબલ્સ" વિષયનો અભ્યાસ કરવા માટે

ગોર્કી, 2013

રેન્ડમ ચલો

અલગ અને સતત રેન્ડમ ચલ

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં મુખ્ય ખ્યાલોમાંની એક ખ્યાલ છે રેન્ડમ ચલ . રેન્ડમ ચલ એક એવો જથ્થો છે જે, પરીક્ષણના પરિણામે, તેના ઘણા સંભવિત મૂલ્યોમાંથી માત્ર એક જ લે છે, અને તે અગાઉથી જાણી શકાતું નથી કે કયું મૂલ્ય.

રેન્ડમ ચલો છે સ્વતંત્ર અને સતત . ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલ (DRV) એક રેન્ડમ ચલ છે જે એકબીજાથી અલગ પડેલા મર્યાદિત સંખ્યામાં મૂલ્યો લઈ શકે છે, એટલે કે. જો આ જથ્થાના સંભવિત મૂલ્યોની પુનઃગણતરી કરી શકાય. સતત રેન્ડમ ચલ (CRV) રેન્ડમ ચલ છે, જેનાં તમામ સંભવિત મૂલ્યો સંખ્યા રેખાના ચોક્કસ અંતરાલને સંપૂર્ણપણે ભરે છે.

રેન્ડમ ચલોને લેટિન મૂળાક્ષરો X, Y, Z, વગેરેના મોટા અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. રેન્ડમ ચલોના સંભવિત મૂલ્યો અનુરૂપ નાના અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

રેકોર્ડ
એટલે કે "એક રેન્ડમ ચલની સંભાવના એક્સ 0.28 ની બરાબર 5 નું મૂલ્ય લેશે.

ઉદાહરણ 1 . ડાઇસ એકવાર ફેંકવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, 1 થી 6 સુધીની સંખ્યાઓ દેખાઈ શકે છે, જે પોઈન્ટની સંખ્યા દર્શાવે છે. ચાલો રેન્ડમ ચલ દર્શાવીએ એક્સ=(રોલ્ડ પોઈન્ટ્સની સંખ્યા). પરીક્ષણના પરિણામે આ રેન્ડમ ચલ છ મૂલ્યોમાંથી માત્ર એક જ લઈ શકે છે: 1, 2, 3, 4, 5 અથવા 6. તેથી, રેન્ડમ ચલ એક્સ DSV છે.

ઉદાહરણ 2 . જ્યારે પથ્થર ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે તે ચોક્કસ અંતરે જાય છે. ચાલો રેન્ડમ ચલ દર્શાવીએ એક્સ=(સ્ટોન ફ્લાઇટ અંતર). આ રેન્ડમ ચલ ચોક્કસ અંતરાલમાંથી કોઈપણ, પરંતુ માત્ર એક, મૂલ્ય લઈ શકે છે. તેથી, રેન્ડમ ચલ એક્સત્યાં NSV છે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો

એક અલગ રેન્ડમ ચલ એ જે મૂલ્યો લઈ શકે છે અને આ મૂલ્યો જેની સાથે લેવામાં આવે છે તેની સંભાવનાઓ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. એક અલગ રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યો અને તેમની અનુરૂપ સંભાવનાઓ વચ્ચેના પત્રવ્યવહારને કહેવામાં આવે છે. એક અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદો .

જો તમામ સંભવિત મૂલ્યો જાણીતા છે
રેન્ડમ ચલ એક્સઅને સંભાવનાઓ
આ મૂલ્યોનો દેખાવ, પછી એવું માનવામાં આવે છે કે DSV ના વિતરણનો કાયદો એક્સજાણીતું છે અને કોષ્ટક સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે:

DSV વિતરણ કાયદો ગ્રાફિકલી ચિત્રિત કરી શકાય છે જો બિંદુઓ લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં દર્શાવવામાં આવે છે
,
, …,
અને તેમને સીધી રેખાના ભાગો સાથે જોડો. પરિણામી આકૃતિને વિતરણ બહુકોણ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 3 . સફાઈ માટે બનાવાયેલ અનાજમાં 10% નીંદણ હોય છે. 4 અનાજ રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા. ચાલો રેન્ડમ ચલ દર્શાવીએ એક્સ=(પસંદ કરેલ ચારમાંથી નીંદણની સંખ્યા). DSV વિતરણ કાયદો બનાવો એક્સઅને વિતરણ બહુકોણ.

ઉકેલ . ઉદાહરણ શરતો અનુસાર. પછી:

ચાલો DSV X ના વિતરણ કાયદાને કોષ્ટકના રૂપમાં લખીએ અને વિતરણ બહુકોણ બનાવીએ:

એક અલગ રેન્ડમ ચલની અપેક્ષા

એક અલગ રેન્ડમ ચલના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો તેની લાક્ષણિકતાઓ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. આ લક્ષણો પૈકી એક છે અપેક્ષિત મૂલ્ય રેન્ડમ ચલ.

DSV વિતરણ કાયદો જાણીએ એક્સ:

ગાણિતિક અપેક્ષા ડીએસવી એક્સઆ જથ્થાના દરેક મૂલ્યના ઉત્પાદનોનો સરવાળો અને અનુરૂપ સંભાવના છે:
.

રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા તેના તમામ મૂલ્યોના અંકગણિત સરેરાશ જેટલી હોય છે. તેથી, વ્યવહારિક સમસ્યાઓમાં, આ રેન્ડમ ચલનું સરેરાશ મૂલ્ય ઘણીવાર ગાણિતિક અપેક્ષા તરીકે લેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 8 . શૂટર 0.1, 0.45, 0.3 અને 0.15 ની સંભાવનાઓ સાથે 4, 8, 9 અને 10 પોઇન્ટ મેળવે છે. એક શોટ વડે પોઈન્ટની સંખ્યાની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો.

ઉકેલ . ચાલો રેન્ડમ ચલ દર્શાવીએ એક્સ=(પૉઇન્ટની સંખ્યા) પછી . આમ, એક શોટ સાથે મેળવેલા પોઈન્ટ્સની અપેક્ષિત સરેરાશ સંખ્યા 8.2 છે, અને 10 શોટ સાથે - 82.

મુખ્ય ગુણધર્મો ગાણિતિક અપેક્ષાઓ છે:

.

.

, ક્યાં
,
.

.

, ક્યાં એક્સઅને વાય

તફાવત
કહેવાય છે વિચલન રેન્ડમ ચલ એક્સતેની ગાણિતિક અપેક્ષાથી. આ તફાવત રેન્ડમ ચલ છે અને તેની ગાણિતિક અપેક્ષા શૂન્ય છે, એટલે કે.
.

એક અલગ રેન્ડમ ચલનો ભિન્નતા

રેન્ડમ ચલને દર્શાવવા માટે, ગાણિતિક અપેક્ષા ઉપરાંત, અમે પણ ઉપયોગ કરીએ છીએ વિક્ષેપ , જે તેની ગાણિતિક અપેક્ષાની આસપાસ રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોના ફેલાવા (સ્પ્રેડ)નો અંદાજ લગાવવાનું શક્ય બનાવે છે. સમાન ગાણિતિક અપેક્ષાઓ સાથે બે સજાતીય રેન્ડમ ચલોની સરખામણી કરતી વખતે, "શ્રેષ્ઠ" મૂલ્ય તે જ ગણવામાં આવે છે જેનો ફેલાવો ઓછો હોય, એટલે કે. ઓછું વિક્ષેપ.

ભિન્નતા રેન્ડમ ચલ એક્સતેને તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલના વર્ગ વિચલનની ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવામાં આવે છે: .

પ્રાયોગિક સમસ્યાઓમાં, ભિન્નતાની ગણતરી કરવા માટે સમકક્ષ સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે.

વિક્ષેપના મુખ્ય ગુણધર્મો છે:

.

.

, ક્યાં એક્સઅને વાયસ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ છે.

વિક્ષેપ તેની ગાણિતિક અપેક્ષાની આસપાસ રેન્ડમ ચલનો ફેલાવો દર્શાવે છે અને, જેમ કે સૂત્રમાંથી જોઈ શકાય છે, તે રેન્ડમ ચલના એકમોની તુલનામાં ચોરસ એકમોમાં માપવામાં આવે છે. તેથી, રેન્ડમ ચલના ફેલાવાના માપનના એકમોને મૂલ્યના માપનના એકમો સાથે સુમેળ કરવા માટે, અમે પરિચય આપીએ છીએ પ્રમાણભૂત વિચલન
.

ઉદાહરણ 9 . DSV નું વિક્ષેપ અને પ્રમાણભૂત વિચલન શોધો એક્સ, વિતરણ કાયદા દ્વારા આપવામાં આવે છે:

ઉકેલ . DSV તફાવત એક્સસૂત્ર દ્વારા ગણતરી

ચાલો આ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધીએ: . ચાલો રેન્ડમ ચલ માટે વિતરણ કાયદો લખીએ
:

,
.

જ્ઞાનના સ્વ-નિયંત્રણ માટેના પ્રશ્નો

રેન્ડમ ચલ શું છે?

કયા રેન્ડમ ચલને અલગ કહેવામાં આવે છે અને કોને સતત કહેવામાં આવે છે?

અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાયદાને શું કહેવાય છે?

અલગ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા શું છે અને તેના મુખ્ય ગુણધર્મો શું છે?

રેન્ડમ ચલનું તેની ગાણિતિક અપેક્ષાથી વિચલન શું છે?

ડિસક્રીટ રેન્ડમ વેરીએબલનું વિચલન શું કહેવાય છે અને તેના મુખ્ય ગુણધર્મો શું છે?

પ્રમાણભૂત વિચલન શા માટે રજૂ કરવામાં આવે છે અને તેની ગણતરી કેવી રીતે કરવામાં આવે છે?

સ્વતંત્ર કાર્ય માટે કાર્યો