બિંદુથી લીટી સુધીનું સૂત્ર. પ્લેન પર આપેલ બિંદુથી આપેલ સીધી રેખા સુધીનું અંતર શોધવાની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

પ્લેન પર સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો.

વ્યાખ્યા.

બિંદુથી રેખા સુધીના અંતર માટે સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ

વિકલ્પ 1

પ્લેન પર એક સીધી રેખા આપવા દો l: કુહાડી + દ્વારા + c= 0 અને ડોટ એમ 1(x 1;y 1), આ લાઇનથી સંબંધિત નથી. ચાલો એક બિંદુથી એક રેખા સુધીનું અંતર શોધીએ. બિંદુથી અંતર ρ હેઠળ એમ 1સીધી રેખા સુધી lસેગમેન્ટની લંબાઈ સમજો M0એમ 1⏊ l.

અંતર નક્કી કરવા માટે, લીટીના સામાન્ય વેક્ટર માટે એકમ વેક્ટર કોલિનિયરનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે.

સમજૂતી:બિંદુ થી M0સીધી રેખામાં આવેલું છે l, તો પછી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ આ રેખાના સમીકરણને સંતોષવા જોઈએ, એટલે કે. કુહાડી 0 + 0 દ્વારા + c= 0વિકલ્પ 2

જો બિંદુ M(x 0, y 0) આપવામાં આવે, તો રેખા Ax + Bу + C = 0 નું અંતર આ રીતે નક્કી થાય છે. .

પુરાવો.બિંદુ M 1 (x 1, y 1) એ બિંદુ M થી આપેલ સીધી રેખા પર પડતા કાટખૂણેનો આધાર બનવા દો. પછી બિંદુઓ M અને M 1 વચ્ચેનું અંતર:(1) કોઓર્ડિનેટ્સ x 1 અને y 1 સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલ તરીકે શોધી શકાય છે: સિસ્ટમનું બીજું સમીકરણ એ આપેલ બિંદુ M 0 માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ છે જે આપેલ રેખાને લંબ છે. જો આપણે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કરીએ: A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + બાય 0 + C = 0, પછી, હલ કરીને, આપણને મળે છે: આ સમીકરણોને સમીકરણ (1) માં બદલીને, આપણે શોધીએ છીએ: . પ્રમેય સાબિત થયો છે.

આકારોની સપાટીના ક્ષેત્રફળ અને તેમના જથ્થાની ગણતરી કરતી વખતે વિવિધ ભૌમિતિક વસ્તુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાની ક્ષમતા મહત્વપૂર્ણ છે. આ લેખમાં આપણે અવકાશમાં અને પ્લેનમાં બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર કેવી રીતે શોધી શકાય તે પ્રશ્ન પર વિચારણા કરીશું.

રેખાનું ગાણિતિક વર્ણન

બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર કેવી રીતે શોધવું તે સમજવા માટે, તમારે આ ભૌમિતિક પદાર્થોની ગાણિતિક વ્યાખ્યાના પ્રશ્નને સમજવાની જરૂર છે.

બિંદુ સાથે બધું સરળ છે; તે કોઓર્ડિનેટ્સના સમૂહ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, જેની સંખ્યા અવકાશના પરિમાણને અનુરૂપ છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્લેનમાં આ બે કોઓર્ડિનેટ્સ છે, ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યામાં - ત્રણ.

એક-પરિમાણીય ઑબ્જેક્ટ માટે - એક સીધી રેખા, તેનું વર્ણન કરવા માટે વિવિધ પ્રકારના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ચાલો તેમાંથી ફક્ત બે જ ધ્યાનમાં લઈએ.

પ્રથમ પ્રકારને વેક્ટર સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. નીચે ત્રિ-પરિમાણીય અને દ્વિ-પરિમાણીય જગ્યામાં રેખાઓ માટે અભિવ્યક્તિઓ છે:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0; z 0) + α × (a; b; c);
(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

આ અભિવ્યક્તિઓમાં, શૂન્ય સૂચકાંકો સાથેના કોઓર્ડિનેટ્સ એ બિંદુનું વર્ણન કરે છે કે જેના દ્વારા આપેલ રેખા પસાર થાય છે, કોઓર્ડિનેટ્સનો સમૂહ (a; b; c) અને (a; b) અનુરૂપ રેખા માટે કહેવાતા દિશા વેક્ટર છે, α એ પરિમાણ જે કોઈપણ વાસ્તવિક મૂલ્ય લઈ શકે છે.

વેક્ટર સમીકરણ એ અર્થમાં અનુકૂળ છે કે તેમાં સ્પષ્ટપણે રેખાના દિશા વેક્ટરનો સમાવેશ થાય છે, જેના કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ વિવિધ ભૌમિતિક પદાર્થોની સમાંતર અથવા લંબરૂપતાની સમસ્યાઓ ઉકેલતી વખતે થઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, બે સીધી રેખાઓ.

બીજા પ્રકારનું સમીકરણ જેને આપણે લીટી માટે ધ્યાનમાં લઈશું તેને સામાન્ય કહેવામાં આવે છે. અવકાશમાં, આ પ્રકાર બે વિમાનોના સામાન્ય સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્લેન પર તે નીચેનો આકાર ધરાવે છે:

A × x + B × y + C = 0

આલેખ બનાવતી વખતે, તે ઘણીવાર X/Y પર નિર્ભરતા તરીકે લખવામાં આવે છે, એટલે કે:

y = -A / B × x +(-C / B)

અહીં મુક્ત શબ્દ -C/B y-અક્ષ સાથેની રેખાના આંતરછેદના સંકલનને અનુરૂપ છે, અને ગુણાંક -A/B એ રેખાના x-અક્ષ તરફના ઝોકના કોણ સાથે સંકળાયેલ છે.

રેખા અને બિંદુ વચ્ચેના અંતરનો ખ્યાલ

સમીકરણો સાથે વ્યવહાર કર્યા પછી, તમે એક બિંદુથી સીધી રેખા સુધીનું અંતર કેવી રીતે શોધવું તે પ્રશ્નના જવાબમાં સીધા જ આગળ વધી શકો છો. 7મા ધોરણમાં, શાળાઓ યોગ્ય મૂલ્ય નક્કી કરીને આ મુદ્દાને ધ્યાનમાં લેવાનું શરૂ કરે છે.

રેખા અને બિંદુ વચ્ચેનું અંતર એ આ રેખાના કાટખૂણે રહેલા સેગમેન્ટની લંબાઈ છે, જે પ્રશ્નના બિંદુમાંથી અવગણવામાં આવે છે. નીચેની આકૃતિ સીધી રેખા r અને બિંદુ A બતાવે છે. સીધી રેખા r પર લંબરૂપ સેગમેન્ટ વાદળી રંગમાં બતાવવામાં આવે છે. તેની લંબાઈ જરૂરી અંતર છે.

દ્વિ-પરિમાણીય કેસ અહીં બતાવવામાં આવ્યો છે, પરંતુ અંતરની આ વ્યાખ્યા ત્રિ-પરિમાણીય સમસ્યા માટે પણ માન્ય છે.

જરૂરી સૂત્રો

લીટીનું સમીકરણ કયા સ્વરૂપમાં લખવામાં આવ્યું છે અને કઈ જગ્યામાં સમસ્યા ઉકેલાઈ છે તેના આધારે, બે મૂળભૂત સૂત્રો આપી શકાય છે જે રેખા અને બિંદુ વચ્ચેનું અંતર કેવી રીતે શોધવું તે પ્રશ્નનો જવાબ આપે છે.

ચાલો P 2 પ્રતીક દ્વારા જાણીતા બિંદુને સૂચિત કરીએ. જો સીધી રેખાનું સમીકરણ વેક્ટર સ્વરૂપમાં આપવામાં આવ્યું હોય, તો d માટે વિચારણા હેઠળના પદાર્થો વચ્ચેનું અંતર માન્ય છે:

d = || / |v¯|

એટલે કે, d નક્કી કરવા માટે, તમારે સીધી રેખા વેક્ટર v¯ અને વેક્ટર P 1 P 2 ¯ માટે માર્ગદર્શિકાના વેક્ટર ઉત્પાદનના મોડ્યુલસની ગણતરી કરવી જોઈએ, જેની શરૂઆત સીધી રેખા પર મનસ્વી બિંદુ P 1 પર આવેલું છે. , અને અંત બિંદુ P 2 પર છે, પછી આ મોડ્યુલસને લંબાઈ v ¯ દ્વારા વિભાજીત કરો. આ સૂત્ર સપાટ અને ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા માટે સાર્વત્રિક છે.

જો xy કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં સમતલ પર સમસ્યાને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે અને રેખાનું સમીકરણ સામાન્ય સ્વરૂપમાં આપવામાં આવ્યું હોય, તો નીચેનું સૂત્ર તમને રેખાથી બિંદુ સુધીનું અંતર નીચે પ્રમાણે શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે:

સીધી રેખા: A × x + B × y + C = 0;
બિંદુ: P 2 (x 2; y 2; z 2);
અંતર: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)

ઉપરોક્ત સૂત્ર એકદમ સરળ છે, પરંતુ તેનો ઉપયોગ ઉપર જણાવેલ શરતો દ્વારા મર્યાદિત છે.

એક સીધી રેખા અને અંતર પર બિંદુના પ્રક્ષેપણના કોઓર્ડિનેટ્સ

આપેલ સૂત્રોને યાદ રાખવાનો સમાવેશ થતો ન હોય તેવી બીજી રીતે એક બિંદુથી લીટી સુધીનું અંતર કેવી રીતે શોધી શકાય તે પ્રશ્નનો પણ તમે જવાબ આપી શકો છો. આ પદ્ધતિમાં મૂળ બિંદુના પ્રક્ષેપણની રેખા પર એક બિંદુ નક્કી કરવાનો સમાવેશ થાય છે.

ધારો કે ત્યાં એક બિંદુ M અને એક રેખા r છે. બિંદુ M ના r પરનું પ્રક્ષેપણ ચોક્કસ બિંદુ M 1 ને અનુરૂપ છે. M થી r સુધીનું અંતર વેક્ટર MM 1 ¯ ની લંબાઈ જેટલું છે.

M 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સ કેવી રીતે શોધી શકાય? ખૂબ જ સરળ. તે યાદ રાખવું પૂરતું છે કે રેખા વેક્ટર v¯ એ MM 1 ¯ માટે લંબરૂપ હશે, એટલે કે, તેમનું સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્યની બરાબર હોવું જોઈએ. આ શરતમાં એ હકીકત ઉમેરવી કે કોઓર્ડિનેટ્સ M 1 એ સીધી રેખા r ના સમીકરણને સંતોષવા જ જોઈએ, અમે સરળ સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ રેખીય સમીકરણો. તેના ઉકેલના પરિણામે, બિંદુ M થી r ના પ્રક્ષેપણના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવવામાં આવે છે.

રેખાથી બિંદુ સુધીનું અંતર શોધવા માટે આ ફકરામાં વર્ણવેલ તકનીકનો ઉપયોગ પ્લેન અને જગ્યા માટે થઈ શકે છે, જો કે, તેના ઉપયોગ માટે રેખા માટેના વેક્ટર સમીકરણનું જ્ઞાન જરૂરી છે.

પ્લેન સમસ્યા

વાસ્તવિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે પ્રસ્તુત ગાણિતિક ઉપકરણનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે બતાવવાનો હવે સમય છે. ધારો કે પ્લેન પર એક બિંદુ M(-4; 5) આપવામાં આવ્યો છે. બિંદુ M થી સીધી રેખા સુધીનું અંતર શોધવાનું જરૂરી છે, જે સામાન્ય સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

એટલે કે, M એક લીટી પર જૂઠું બોલતું નથી.

સીધી રેખાનું સમીકરણ સામાન્ય સ્વરૂપમાં આપવામાં આવતું ન હોવાથી, અનુરૂપ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવામાં સક્ષમ થવા માટે અમે તેને આવા સ્વરૂપમાં ઘટાડીએ છીએ, અમારી પાસે છે:

y = 3 × x + 6 =>
3 × x - y + 6 = 0

હવે તમે d માટે સૂત્રમાં જાણીતી સંખ્યાઓને બદલી શકો છો:

d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 +B 2) =
= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3.48

અવકાશમાં સમસ્યા

હવે ચાલો અવકાશના કેસને ધ્યાનમાં લઈએ. સીધી રેખાને નીચેના સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવા દો:

(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)

તેમાંથી બિંદુ M(0; 2; -3) સુધીનું અંતર કેટલું છે?

અગાઉના કેસની જેમ જ, ચાલો તપાસ કરીએ કે શું M આપેલ રેખાથી સંબંધિત છે. આ કરવા માટે, અમે સમીકરણમાં કોઓર્ડિનેટ્સ બદલીએ છીએ અને તેને સ્પષ્ટ રીતે ફરીથી લખીએ છીએ:

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;
y = 2 = -1 -2 × α => α = -3/2;

વિવિધ પરિમાણો α મેળવવામાં આવ્યા હોવાથી, M આ રેખા પર જૂઠું બોલતું નથી. ચાલો હવે તેનાથી સીધી રેખા સુધીના અંતરની ગણતરી કરીએ.

d માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવા માટે, લીટી પર મનસ્વી બિંદુ લો, ઉદાહરણ તરીકે P(1; -1; 0), પછી:

ચાલો PM¯ અને v¯ રેખા વચ્ચેના વેક્ટર ઉત્પાદનની ગણતરી કરીએ. અમને મળે છે:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

હવે આપણે d માટેના સૂત્રમાં મળેલા વેક્ટર અને વેક્ટર v¯ ના મોડ્યુલોને બદલીએ છીએ, આપણને મળે છે:

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2.95

આ જવાબ ઉપર વર્ણવેલ તકનીકનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે, જેમાં રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાનો સમાવેશ થાય છે. આ અને અગાઉની સમસ્યાઓમાં, સીધી રેખાથી બિંદુ સુધીના અંતરના ગણતરી કરેલ મૂલ્યો અનુરૂપ સંકલન પ્રણાલીના એકમોમાં રજૂ કરવામાં આવે છે.

ઓહ-ઓહ-ઓહ-ઓહ-ઓહ... સારું, તે અઘરું છે, જાણે કે તે પોતાની જાતને વાક્ય વાંચી રહ્યો હોય =) જો કે, છૂટછાટ પછીથી મદદ કરશે, ખાસ કરીને આજથી મેં યોગ્ય એસેસરીઝ ખરીદી છે. તેથી, ચાલો પ્રથમ વિભાગમાં આગળ વધીએ, મને આશા છે કે લેખના અંત સુધીમાં હું ખુશખુશાલ મૂડ જાળવીશ.

બે સીધી રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ

જ્યારે પ્રેક્ષકો કોરસમાં ગાય છે ત્યારે આ કેસ છે. બે સીધી રેખાઓ કરી શકે છે:

1) મેચ;

2) સમાંતર રહો: ;

3) અથવા એક બિંદુ પર છેદે છે: .

ડમી માટે મદદ : કૃપા કરીને ગાણિતિક આંતરછેદ ચિહ્ન યાદ રાખો, તે ઘણી વાર દેખાશે. સંકેતનો અર્થ એ છે કે રેખા બિંદુ પરની રેખા સાથે છેદે છે.

બે રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ કેવી રીતે નક્કી કરવી?

ચાલો પ્રથમ કેસથી પ્રારંભ કરીએ:

બે રેખાઓ એકરૂપ થાય છે જો અને માત્ર જો તેમના અનુરૂપ ગુણાંક પ્રમાણસર હોય, એટલે કે, ત્યાં એક નંબર છે "લેમ્બડા" જેમ કે સમાનતાઓ સંતુષ્ટ છે

ચાલો સીધી રેખાઓ ધ્યાનમાં લઈએ અને અનુરૂપ ગુણાંકમાંથી ત્રણ સમીકરણો બનાવીએ: . દરેક સમીકરણ પરથી તે અનુસરે છે કે, તેથી, આ રેખાઓ એકરૂપ થાય છે.

ખરેખર, જો સમીકરણના તમામ ગુણાંક –1 દ્વારા ગુણાકાર કરો (ચિહ્નો બદલો), અને સમીકરણના તમામ ગુણાંકને 2 વડે ઘટાડી દો, તમને સમાન સમીકરણ મળશે:

બીજો કેસ, જ્યારે રેખાઓ સમાંતર હોય છે:

બે રેખાઓ સમાંતર છે જો અને માત્ર જો તેમના ચલોના ગુણાંક પ્રમાણસર હોય: , પરંતુ.

ઉદાહરણ તરીકે, બે સીધી રેખાઓ ધ્યાનમાં લો. અમે ચલો માટે અનુરૂપ ગુણાંકની પ્રમાણસરતા તપાસીએ છીએ:

જો કે, તે તદ્દન સ્પષ્ટ છે કે.

અને ત્રીજો કેસ, જ્યારે રેખાઓ છેદે છે:

બે રેખાઓ છેદે છે જો અને માત્ર જો તેમના ચલોના ગુણાંક પ્રમાણસર ન હોય, એટલે કે, "લેમ્બડા" નું એવું કોઈ મૂલ્ય નથી કે સમાનતાઓ સંતુષ્ટ થાય

તેથી, સીધી રેખાઓ માટે આપણે એક સિસ્ટમ બનાવીશું:

પ્રથમ સમીકરણથી તે અનુસરે છે , અને બીજા સમીકરણમાંથી: , જેનો અર્થ થાય છે સિસ્ટમ અસંગત છે(કોઈ ઉકેલો નથી). આમ, ચલોના ગુણાંક પ્રમાણસર નથી.

નિષ્કર્ષ: રેખાઓ છેદે છે

વ્યવહારિક સમસ્યાઓમાં, તમે હમણાં જ ચર્ચા કરેલ ઉકેલ યોજનાનો ઉપયોગ કરી શકો છો. માર્ગ દ્વારા, તે કોલિનિયરિટી માટે વેક્ટર્સને તપાસવા માટેના અલ્ગોરિધમની ખૂબ જ યાદ અપાવે છે, જેને આપણે વર્ગમાં જોયું વેક્ટર્સની રેખીય (માં) અવલંબનનો ખ્યાલ. વેક્ટર્સનો આધાર. પરંતુ ત્યાં વધુ સંસ્કારી પેકેજિંગ છે:

ઉદાહરણ 1

રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ શોધો:

ઉકેલસીધી રેખાઓના નિર્દેશન વેક્ટરના અભ્યાસના આધારે:

a) સમીકરણોમાંથી આપણે રેખાઓના દિશા વેક્ટર શોધીએ છીએ: .

, જેનો અર્થ છે કે વેક્ટર સમરેખા નથી અને રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે.

માત્ર કિસ્સામાં, હું ક્રોસરોડ્સ પર ચિહ્નો સાથે એક પથ્થર મૂકીશ:

બાકીના લોકો પત્થર પર કૂદીને આગળ વધે છે, સીધા કાશ્ચેઈ ધ ઇમોર્ટલ =)

b) રેખાઓના દિશા વેક્ટર શોધો:

રેખાઓ સમાન દિશા વેક્ટર ધરાવે છે, જેનો અર્થ છે કે તેઓ કાં તો સમાંતર અથવા સંયોગ છે. અહીં નિર્ણાયકની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી.

તે સ્પષ્ટ છે કે અજ્ઞાતના ગુણાંક પ્રમાણસર છે, અને .

ચાલો શોધી કાઢીએ કે સમાનતા સાચી છે કે કેમ:

આમ,

c) રેખાઓના દિશા વેક્ટર શોધો:

ચાલો આ વેક્ટરોના કોઓર્ડિનેટ્સથી બનેલા નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ:
, તેથી, દિશા વેક્ટર સમરેખા છે. રેખાઓ કાં તો સમાંતર અથવા સંયોગ છે.

સમપ્રમાણતા ગુણાંક "લેમ્બડા" એ કોલિનિયર ડિરેક્શન વેક્ટરના ગુણોત્તરમાંથી સીધા જ જોવા માટે સરળ છે. જો કે, તે સમીકરણોના ગુણાંક દ્વારા પણ શોધી શકાય છે: .

હવે ચાલો શોધી કાઢીએ કે સમાનતા સાચી છે કે કેમ. બંને મફત શબ્દો શૂન્ય છે, તેથી:

પરિણામી મૂલ્ય આ સમીકરણને સંતોષે છે (સામાન્ય રીતે કોઈપણ સંખ્યા તેને સંતોષે છે).

આમ, રેખાઓ એકરૂપ થાય છે.

જવાબ આપો:

બહુ જલદી તમે શીખી જશો (અથવા તો પહેલેથી જ શીખી ગયા છો) મૌખિક રીતે ચર્ચા કરેલી સમસ્યાને થોડીક સેકંડમાં ઉકેલવા માટે. આ સંદર્ભે, મને સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે કંઈપણ ઓફર કરવામાં કોઈ મુદ્દો દેખાતો નથી; ભૌમિતિક પાયામાં બીજી મહત્વપૂર્ણ ઈંટ મૂકવી વધુ સારું છે:

આપેલ રેખાની સમાંતર રેખા કેવી રીતે બનાવવી?

આની અજ્ઞાનતા માટે સૌથી સરળ કાર્યનાઇટીંગેલ ધ રોબર સખત સજા કરે છે.

ઉદાહરણ 2

સીધી રેખા સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બિંદુમાંથી પસાર થતી સમાંતર રેખા માટે સમીકરણ લખો.

ઉકેલ: ચાલો અક્ષર દ્વારા અજાણી રેખા દર્શાવીએ. સ્થિતિ તેના વિશે શું કહે છે? સીધી રેખા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. અને જો રેખાઓ સમાંતર હોય, તો તે સ્પષ્ટ છે કે સીધી રેખા "tse" ની દિશા વેક્ટર પણ સીધી રેખા "de" બાંધવા માટે યોગ્ય છે.

અમે સમીકરણમાંથી દિશા વેક્ટર લઈએ છીએ:

જવાબ આપો:

ઉદાહરણ ભૂમિતિ સરળ લાગે છે:

વિશ્લેષણાત્મક પરીક્ષણ નીચેના પગલાંઓ સમાવે છે:

1) અમે તપાસીએ છીએ કે રેખાઓ સમાન દિશા વેક્ટર ધરાવે છે (જો રેખાનું સમીકરણ યોગ્ય રીતે સરળ નથી, તો વેક્ટર સમરેખા હશે).

2) ચકાસો કે શું બિંદુ પરિણામી સમીકરણને સંતોષે છે.

મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, વિશ્લેષણાત્મક પરીક્ષણ સરળતાથી મૌખિક રીતે કરી શકાય છે. બે સમીકરણો જુઓ, અને તમારામાંથી ઘણા કોઈ પણ રેખાંકન વિના રેખાઓની સમાંતરતા ઝડપથી નક્કી કરશે.

સ્વતંત્ર ઉકેલો માટેના ઉદાહરણો આજે સર્જનાત્મક હશે. કારણ કે તમારે હજી પણ બાબા યાગા સાથે સ્પર્ધા કરવી પડશે, અને તે, તમે જાણો છો, તમામ પ્રકારની કોયડાઓની પ્રેમી છે.

ઉદાહરણ 3

જો રેખાની સમાંતર બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા માટે સમીકરણ લખો

તેને ઉકેલવા માટે એક તર્કસંગત અને એટલી તર્કસંગત રીત નથી. સૌથી ટૂંકો રસ્તો પાઠના અંતે છે.

અમે સમાંતર રેખાઓ સાથે થોડું કામ કર્યું છે અને પછીથી તેમના પર પાછા આવીશું. એકરૂપ રેખાઓનો કિસ્સો થોડો રસ ધરાવતો નથી, તેથી ચાલો એક સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ જે તમને શાળાના અભ્યાસક્રમમાંથી ખૂબ જ પરિચિત છે:

બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને કેવી રીતે શોધવું?

જો સીધા બિંદુ પર છેદે છે, પછી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ ઉકેલ છે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો

રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને કેવી રીતે શોધવું? સિસ્ટમ ઉકેલો.

અહીં તમે જાઓ બે અજ્ઞાત સાથેના બે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો ભૌમિતિક અર્થ- આ પ્લેન પર બે છેદતી (મોટાભાગે) રેખાઓ છે.

ઉદાહરણ 4

રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ શોધો

ઉકેલ: ઉકેલવાની બે રીત છે - ગ્રાફિકલ અને વિશ્લેષણાત્મક.

ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ એ છે કે આપેલ રેખાઓને સરળ રીતે દોરવી અને ડ્રોઇંગમાંથી સીધું આંતરછેદ બિંદુ શોધી કાઢવું:

અહીં અમારો મુદ્દો છે: . તપાસવા માટે, તમારે તેના કોઓર્ડિનેટ્સને લીટીના દરેક સમીકરણમાં બદલવા જોઈએ, તેઓ ત્યાં અને ત્યાં બંને ફિટ હોવા જોઈએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ એ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે. આવશ્યકપણે, અમે ગ્રાફિકલ સોલ્યુશન તરફ જોયું રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોબે સમીકરણો સાથે, બે અજાણ્યા.

ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ, અલબત્ત, ખરાબ નથી, પરંતુ તેમાં નોંધપાત્ર ગેરફાયદા છે. ના, મુદ્દો એ નથી કે સાતમા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ આ રીતે નિર્ણય કરે છે, મુદ્દો એ છે કે સાચો અને સચોટ ચિત્ર બનાવવામાં સમય લાગશે. વધુમાં, કેટલીક સીધી રેખાઓ બાંધવી એટલી સરળ નથી, અને આંતરછેદનું બિંદુ પોતે નોટબુક શીટની બહાર ત્રીસમા રાજ્યમાં ક્યાંક સ્થિત હોઈ શકે છે.

તેથી, વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આંતરછેદ બિંદુ શોધવાનું વધુ યોગ્ય છે. ચાલો સિસ્ટમ હલ કરીએ:

સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે, સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ એડિશનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. સંબંધિત કુશળતા વિકસાવવા માટે, એક પાઠ લો સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી રીતે હલ કરવી?

જવાબ આપો:

ચેક તુચ્છ છે - આંતરછેદ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સિસ્ટમના દરેક સમીકરણને સંતોષવા જોઈએ.

ઉદાહરણ 5

જો લીટીઓ છેદે છે તો તેમના આંતરછેદના બિંદુને શોધો.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે જાતે જ હલ કરી શકો છો. કાર્યને ઘણા તબક્કામાં વિભાજિત કરવું અનુકૂળ છે. સ્થિતિનું વિશ્લેષણ સૂચવે છે કે તે જરૂરી છે:
1) સીધી રેખાનું સમીકરણ લખો.
2) સીધી રેખાનું સમીકરણ લખો.
3) રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ શોધો.
4) જો રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે, તો પછી આંતરછેદનું બિંદુ શોધો.

ક્રિયા અલ્ગોરિધમનો વિકાસ ઘણી ભૌમિતિક સમસ્યાઓ માટે લાક્ષણિક છે, અને હું વારંવાર આના પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશ.

પાઠના અંતે સંપૂર્ણ ઉકેલ અને જવાબ:

અમે પાઠના બીજા વિભાગમાં પહોંચ્યા તે પહેલાં પગરખાંની એક જોડી પણ ખરી ન હતી:

લંબ રેખાઓ. એક બિંદુથી એક રેખા સુધીનું અંતર.
સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો

ચાલો એક લાક્ષણિક અને ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ કાર્ય સાથે પ્રારંભ કરીએ. પ્રથમ ભાગમાં, અમે આની સમાંતર સીધી રેખા કેવી રીતે બનાવવી તે શીખ્યા, અને હવે ચિકન પગ પરની ઝૂંપડી 90 ડિગ્રી ફેરવશે:

આપેલ એકને લંબરૂપ રેખા કેવી રીતે બનાવવી?

ઉદાહરણ 6

સીધી રેખા સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા પર લંબરૂપ સમીકરણ લખો.

ઉકેલશરત દ્વારા તે જાણીતું છે કે. રેખાના નિર્દેશન વેક્ટરને શોધવાનું સરસ રહેશે. લીટીઓ લંબરૂપ હોવાથી, યુક્તિ સરળ છે:

સમીકરણમાંથી આપણે સામાન્ય વેક્ટરને "દૂર" કરીએ છીએ: , જે સીધી રેખાનું નિર્દેશન વેક્ટર હશે.

ચાલો બિંદુ અને દિશા વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાનું સમીકરણ બનાવીએ:

જવાબ આપો:

ચાલો ભૌમિતિક સ્કેચને વિસ્તૃત કરીએ:

હમ્મ... નારંગી આકાશ, નારંગી સમુદ્ર, નારંગી ઊંટ.

ઉકેલની વિશ્લેષણાત્મક ચકાસણી:

1) આપણે સમીકરણોમાંથી દિશા વેક્ટર કાઢીએ છીએ અને મદદ સાથે વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદનઅમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે રેખાઓ ખરેખર કાટખૂણે છે: .

માર્ગ દ્વારા, તમે સામાન્ય વેક્ટરનો ઉપયોગ કરી શકો છો, તે વધુ સરળ છે.

2) ચકાસો કે શું બિંદુ પરિણામી સમીકરણને સંતોષે છે .

ટેસ્ટ, ફરીથી, મૌખિક રીતે કરવા માટે સરળ છે.

ઉદાહરણ 7

જો સમીકરણ જાણીતું હોય તો લંબ રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ શોધો અને સમયગાળો.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે જાતે જ હલ કરી શકો છો. સમસ્યામાં ઘણી ક્રિયાઓ છે, તેથી બિંદુ દ્વારા ઉકેલ બિંદુ ઘડવાનું અનુકૂળ છે.

અમારી રોમાંચક યાત્રા ચાલુ રહે છે:

બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર

અમારી સામે નદીની એક સીધી પટ્ટી છે અને અમારું કાર્ય સૌથી ટૂંકા માર્ગે પહોંચવાનું છે. ત્યાં કોઈ અવરોધો નથી, અને સૌથી શ્રેષ્ઠ માર્ગ કાટખૂણે સાથે આગળ વધવાનો રહેશે. એટલે કે, એક બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર એ લંબરૂપ સેગમેન્ટની લંબાઈ છે.

ભૂમિતિમાં અંતર પરંપરાગત રીતે ગ્રીક અક્ષર "rho" દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે: - બિંદુ "em" થી સીધી રેખા "de" સુધીનું અંતર.

બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત

ઉદાહરણ 8

એક બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર શોધો

ઉકેલ: તમારે ફક્ત સૂત્રમાં સંખ્યાઓને કાળજીપૂર્વક બદલવાની અને ગણતરીઓ કરવાની જરૂર છે:

જવાબ આપો:

ચાલો ડ્રોઇંગ બનાવીએ:

બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર એ લાલ સેગમેન્ટની બરાબર લંબાઈ છે. જો તમે 1 યુનિટના સ્કેલ પર ચેકર્ડ પેપર પર ડ્રોઇંગ દોરો છો. = 1 સેમી (2 કોષો), પછી અંતર સામાન્ય શાસક સાથે માપી શકાય છે.

ચાલો સમાન ડ્રોઇંગ પર આધારિત અન્ય કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ:

કાર્ય એ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાનું છે જે સીધી રેખાને સંબંધિત બિંદુ સાથે સપ્રમાણતા ધરાવે છે. . હું જાતે પગલાં ભરવાનું સૂચન કરું છું, પરંતુ હું મધ્યવર્તી પરિણામો સાથે સોલ્યુશન અલ્ગોરિધમની રૂપરેખા આપીશ:

1) રેખાને લંબરૂપ હોય તેવી રેખા શોધો.

2) રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ શોધો: .

આ પાઠમાં બંને ક્રિયાઓની વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

3) બિંદુ એ સેગમેન્ટનો મધ્યબિંદુ છે. આપણે મધ્ય અને એક છેડાના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીએ છીએ. દ્વારા સેગમેન્ટના મધ્યબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ માટેના સૂત્રોઅમે શોધીએ છીએ.

તે તપાસવું એક સારો વિચાર હશે કે અંતર પણ 2.2 એકમ છે.

અહીં ગણતરીમાં મુશ્કેલીઓ ઊભી થઈ શકે છે, પરંતુ માઇક્રોકેલ્ક્યુલેટર એ ટાવરમાં મોટી મદદ છે, જે તમને સામાન્ય અપૂર્ણાંકની ગણતરી કરવા દે છે. મેં તમને ઘણી વખત સલાહ આપી છે અને તમને ફરીથી ભલામણ કરીશ.

બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર કેવી રીતે શોધવું?

ઉદાહરણ 9

બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો

તમારા પોતાના પર નિર્ણય લેવા માટે આ બીજું ઉદાહરણ છે. હું તમને થોડો સંકેત આપીશ: આને ઉકેલવા માટે અનંત રીતે ઘણી બધી રીતો છે. પાઠના અંતે ડિબ્રીફિંગ, પરંતુ તમારા માટે અનુમાન લગાવવાનો પ્રયાસ કરવો વધુ સારું છે, મને લાગે છે કે તમારી ચાતુર્ય સારી રીતે વિકસિત હતી.

બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો

દરેક ખૂણો જામ છે:

ભૂમિતિમાં, બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણોને નાનો કોણ માનવામાં આવે છે, જેમાંથી તે આપમેળે અનુસરે છે કે તે સ્થૂળ ન હોઈ શકે. આકૃતિમાં, લાલ ચાપ દ્વારા દર્શાવેલ ખૂણાને છેદતી રેખાઓ વચ્ચેનો કોણ ગણવામાં આવતો નથી. અને તેના "લીલા" પાડોશી અથવા વિરુદ્ધ લક્ષી"રાસ્પબેરી" ખૂણો.

જો રેખાઓ કાટખૂણે હોય, તો 4માંથી કોઈપણ ખૂણાને તેમની વચ્ચેના ખૂણા તરીકે લઈ શકાય.

ખૂણા કેવી રીતે અલગ છે? ઓરિએન્ટેશન. સૌપ્રથમ, જે દિશામાં કોણ "સ્ક્રોલ કરેલ" છે તે મૂળભૂત રીતે મહત્વપૂર્ણ છે. બીજું, નકારાત્મક લક્ષી કોણ ઓછા ચિહ્ન સાથે લખાયેલ છે, ઉદાહરણ તરીકે જો .

મેં તમને આ કેમ કહ્યું? એવું લાગે છે કે આપણે ખૂણાના સામાન્ય ખ્યાલ સાથે મેળવી શકીએ છીએ. હકીકત એ છે કે જે સૂત્રો દ્વારા આપણે ખૂણા શોધીશું તે સરળતાથી નકારાત્મક પરિણામમાં પરિણમી શકે છે, અને આનાથી તમને આશ્ચર્ય ન થવું જોઈએ. બાદબાકી ચિહ્ન સાથેનો ખૂણો વધુ ખરાબ નથી, અને તેનો ખૂબ જ ચોક્કસ ભૌમિતિક અર્થ છે. ડ્રોઇંગમાં, નકારાત્મક કોણ માટે, તીર (ઘડિયાળની દિશામાં) વડે તેની દિશા સૂચવવાનું ભૂલશો નહીં.

બે સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો કેવી રીતે શોધવો?ત્યાં બે કાર્યકારી સૂત્રો છે:

ઉદાહરણ 10

રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો

ઉકેલઅને પદ્ધતિ એક

ચાલો સામાન્ય સ્વરૂપમાં સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત બે સીધી રેખાઓ ધ્યાનમાં લઈએ:

જો સીધા કાટખૂણે નથી, તે લક્ષીતેમની વચ્ચેના કોણની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે:

ચાલો છેદ પર ધ્યાન આપીએ - આ બરાબર છે સ્કેલર ઉત્પાદનસીધી રેખાઓના નિર્દેશન વેક્ટર્સ:

જો , તો સૂત્રનો છેદ શૂન્ય બને છે, અને વેક્ટર ઓર્થોગોનલ હશે અને રેખાઓ લંબરૂપ હશે. તેથી જ ફોર્મ્યુલેશનમાં સીધી રેખાઓની બિન-લંબતા વિશે આરક્ષણ કરવામાં આવ્યું હતું.

ઉપરના આધારે, ઉકેલને બે પગલામાં ઔપચારિક બનાવવાનું અનુકૂળ છે:

1) ચાલો રેખાઓના દિશા વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદનની ગણતરી કરીએ:
, જેનો અર્થ છે કે રેખાઓ લંબરૂપ નથી.

2) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો:

ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત કાર્યખૂણે પોતે જ શોધવાનું સરળ છે. આ કિસ્સામાં, અમે આર્કટેન્જેન્ટની વિચિત્રતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (જુઓ. પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ અને ગુણધર્મો):

જવાબ આપો:

તમારા જવાબમાં, અમે કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ ચોક્કસ મૂલ્ય, તેમજ અંદાજિત મૂલ્ય (પ્રાધાન્યમાં બંને ડિગ્રી અને રેડિયનમાં) સૂચવીએ છીએ.

સારું, માઈનસ, માઈનસ, કોઈ મોટી વાત નથી. અહીં એક ભૌમિતિક ચિત્ર છે:

તે આશ્ચર્યજનક નથી કે કોણ નકારાત્મક અભિગમનો હોવાનું બહાર આવ્યું છે, કારણ કે સમસ્યાના નિવેદનમાં પ્રથમ નંબર સીધી રેખા છે અને કોણનું "અનસ્ક્રુઇંગ" તેની સાથે ચોક્કસપણે શરૂ થયું હતું.

જો તમે ખરેખર સકારાત્મક ખૂણો મેળવવા માંગતા હો, તો તમારે રેખાઓને સ્વેપ કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, બીજા સમીકરણમાંથી ગુણાંક લો. , અને પ્રથમ સમીકરણમાંથી ગુણાંક લો. ટૂંકમાં, તમારે ડાયરેક્ટથી શરૂઆત કરવાની જરૂર છે .

પ્લેન પર એક બિંદુથી રેખા સુધીના અંતરની ગણતરી માટેનું સૂત્ર

જો Ax + By + C = 0 રેખાનું સમીકરણ આપવામાં આવે તો, બિંદુ M(M x , M y) થી રેખા સુધીનું અંતર નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે.

પ્લેન પર એક બિંદુથી રેખા સુધીના અંતરની ગણતરી માટે સમસ્યાઓના ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 1.

રેખા 3x + 4y - 6 = 0 અને બિંદુ M(-1, 3) વચ્ચેનું અંતર શોધો.

ઉકેલ.ચાલો રેખાના ગુણાંક અને બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને સૂત્રમાં બદલીએ

જવાબ:બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર 0.6 છે.

વેક્ટરને લંબરૂપ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા પ્લેનનું સમીકરણ પ્લેનનું સામાન્ય સમીકરણ

આપેલ સમતલને લંબરૂપ ન હોય તેવા વેક્ટર કહેવાય છે સામાન્ય વેક્ટર (અથવા ટૂંકમાં, સામાન્ય ) આ વિમાન માટે.

નીચેનાને સંકલન અવકાશમાં (લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં) આપવા દો:

એક બિંદુ ;

b) બિન-શૂન્ય વેક્ટર (ફિગ. 4.8, a).

તમારે બિંદુમાંથી પસાર થતા પ્લેન માટે સમીકરણ બનાવવાની જરૂર છે વેક્ટરને લંબરૂપ પુરાવાનો અંત.

ચાલો હવે વિચાર કરીએ વિવિધ પ્રકારોપ્લેન પર સીધી રેખાના સમીકરણો.

1) પ્લેનનું સામાન્ય સમીકરણપી .

સમીકરણની વ્યુત્પત્તિમાંથી તે તે જ સમયે અનુસરે છે એ, બીઅને સી 0 ની બરાબર નથી (શા માટે સમજાવો).

બિંદુ પ્લેનનો છે પીમાત્ર જો તેના કોઓર્ડિનેટ્સ પ્લેનના સમીકરણને સંતોષે છે. મતભેદ પર આધાર રાખીને એ, બી, સીઅને ડીવિમાન પીએક અથવા અન્ય સ્થાન ધરાવે છે:

- પ્લેન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના મૂળમાંથી પસાર થાય છે, - પ્લેન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના મૂળમાંથી પસાર થતું નથી,

- ધરીની સમાંતર પ્લેન એક્સ,

એક્સ,

- ધરીની સમાંતર પ્લેન વાય,

- પ્લેન ધરીની સમાંતર નથી વાય,

- ધરીની સમાંતર પ્લેન ઝેડ,

- પ્લેન ધરીની સમાંતર નથી ઝેડ.

આ નિવેદનો જાતે સાબિત કરો.

સમીકરણ (6) સરળતાથી સમીકરણ (5) માંથી મેળવવામાં આવે છે. ખરેખર, બિંદુને પ્લેન પર રહેવા દો પી. પછી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે. સમીકરણ (5) માંથી સમીકરણ (7) બાદ કરીને અને શરતોને જૂથબદ્ધ કરીને, આપણે સમીકરણ (6) મેળવીએ છીએ. ચાલો હવે અનુક્રમે કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે બે વેક્ટરનો વિચાર કરીએ. સૂત્ર (6) પરથી તે અનુસરે છે કે તેમનું સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર છે. તેથી, વેક્ટર વેક્ટરને લંબરૂપ છે. છેલ્લા વેક્ટરની શરૂઆત અને અંત અનુક્રમે, પ્લેન સાથે સંબંધિત બિંદુઓ પર સ્થિત છે. પી. તેથી, વેક્ટર પ્લેન પર લંબ છે પી. બિંદુથી પ્લેન સુધીનું અંતર પી, સામાન્ય સમીકરણજે સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે આ સૂત્રનો પુરાવો બિંદુ અને રેખા વચ્ચેના અંતર માટેના સૂત્રના પુરાવા જેવો જ છે (જુઓ. ફિગ. 2).
ચોખા. 2. પ્લેન અને સીધી રેખા વચ્ચેના અંતર માટે સૂત્ર મેળવવા માટે.

ખરેખર, અંતર ડીસીધી રેખા અને વિમાન વચ્ચે સમાન છે

પ્લેનમાં એક બિંદુ ક્યાં પડેલું છે. અહીંથી, વ્યાખ્યાન નંબર 11 ની જેમ, ઉપરોક્ત સૂત્ર પ્રાપ્ત થાય છે. બે વિમાનો સમાંતર હોય છે જો તેમના સામાન્ય વેક્ટર સમાંતર હોય. અહીંથી આપણે બે વિમાનોની સમાંતરતા માટેની સ્થિતિ મેળવીએ છીએ - વિમાનોના સામાન્ય સમીકરણોના ગુણાંક. બે વિમાનો કાટખૂણે હોય છે જો તેમના સામાન્ય વેક્ટર કાટખૂણે હોય, તેથી જો તેમના સામાન્ય સમીકરણો જાણીતા હોય તો આપણે બે વિમાનોની લંબરૂપતા માટેની સ્થિતિ મેળવીએ છીએ.

કોર્નર fબે વિમાનો વચ્ચે કોણ સમાનતેમના સામાન્ય વેક્ટર્સ વચ્ચે (જુઓ. ફિગ. 3) અને તેથી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે
વિમાનો વચ્ચેનો ખૂણો નક્કી કરવો.

(11)

એક બિંદુથી પ્લેન સુધીનું અંતર અને તેને શોધવા માટેની પદ્ધતિઓ

બિંદુ થી અંતર વિમાન- આ પ્લેન પર એક બિંદુથી કાટખૂણેની લંબાઈ ઘટી છે. બિંદુથી પ્લેન સુધીનું અંતર શોધવાની ઓછામાં ઓછી બે રીતો છે: ભૌમિતિકઅને બીજગણિત.

ભૌમિતિક પદ્ધતિ સાથેતમારે સૌપ્રથમ સમજવું જોઈએ કે બિંદુથી પ્લેન સુધી લંબ કેવી રીતે સ્થિત છે: કદાચ તે કોઈ અનુકૂળ પ્લેનમાં આવેલું છે, કોઈ અનુકૂળ (અથવા એટલું અનુકૂળ નથી) ત્રિકોણમાં ઊંચાઈ છે, અથવા કદાચ આ લંબ સામાન્ય રીતે અમુક પિરામિડમાં ઊંચાઈ છે.

આ પ્રથમ અને સૌથી જટિલ તબક્કા પછી, સમસ્યા કેટલીક ચોક્કસ યોજનાકીય સમસ્યાઓમાં તૂટી જાય છે (કદાચ વિવિધ વિમાનોમાં).

બીજગણિત પદ્ધતિ સાથેબિંદુથી પ્લેન સુધીનું અંતર શોધવા માટે, તમારે કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ દાખલ કરવાની જરૂર છે, બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ અને પ્લેનનું સમીકરણ શોધો અને પછી બિંદુથી પ્લેન સુધીના અંતર માટે સૂત્ર લાગુ કરો.

ઉદાહરણ ઉકેલતી વખતે આપેલ બિંદુથી આપેલ સીધી રેખા સુધીનું અંતર શોધવા માટે ચર્ચા કરેલ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીએ.

બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર શોધો:

પ્રથમ, ચાલો પ્રથમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યા હલ કરીએ.

સમસ્યાના નિવેદનમાં આપણને ફોર્મની સીધી રેખા aનું સામાન્ય સમીકરણ આપવામાં આવ્યું છે:

ચાલો રેખાના કાટખૂણે આપેલા બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા bનું સામાન્ય સમીકરણ શોધીએ:

રેખા b એ રેખા a ને લંબ હોવાથી, રેખા b ની દિશા વેક્ટર આપેલ રેખાનો સામાન્ય વેક્ટર છે:

એટલે કે, સીધી રેખા b ના દિશા વેક્ટરમાં કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે. હવે આપણે પ્લેન પર રેખા b નું પ્રામાણિક સમીકરણ લખી શકીએ છીએ, કારણ કે આપણે બિંદુ M 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીએ છીએ જેના દ્વારા રેખા b પસાર થાય છે, અને રેખા b ના દિશા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ:

પ્રાપ્ત કરેલ છે પ્રામાણિક સમીકરણસીધી રેખા b આપણે સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણ તરફ આગળ વધીએ છીએ:

હવે રેખાઓ a અને b ના સામાન્ય સમીકરણોથી બનેલી સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલીને લીટીઓ a અને b ના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ (ચાલો તેને H 1 દર્શાવીએ) સમીકરણો):

આમ, બિંદુ H 1 માં કોઓર્ડિનેટ્સ છે.

બિંદુ M 1 થી સીધી રેખા a સુધીના જરૂરી અંતરની ગણતરી બિંદુઓ અને વચ્ચેના અંતર તરીકે કરવાનું બાકી છે:

સમસ્યા હલ કરવાની બીજી રીત.

આપણે આપેલ લીટીનું સામાન્ય સમીકરણ મેળવીએ છીએ. આ કરવા માટે, અમે સામાન્યકરણ પરિબળના મૂલ્યની ગણતરી કરીએ છીએ અને તેના દ્વારા સીધી રેખાના મૂળ સામાન્ય સમીકરણની બંને બાજુએ ગુણાકાર કરીએ છીએ:

(આપણે રેખાના સામાન્ય સમીકરણને સામાન્ય સ્વરૂપમાં લાવતા વિભાગમાં આ વિશે વાત કરી હતી).

નોર્મલાઇઝિંગ ફેક્ટર બરાબર છે

પછી રેખાના સામાન્ય સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

હવે આપણે રેખાના પરિણામી સામાન્ય સમીકરણની ડાબી બાજુએ અભિવ્યક્તિ લઈએ છીએ અને તેના મૂલ્યની ગણતરી અહીં કરીએ છીએ:

આપેલ બિંદુથી આપેલ સીધી રેખા સુધી જરૂરી અંતર:

બરાબર સંપૂર્ણ મૂલ્યપરિણામી મૂલ્ય, એટલે કે, પાંચ ().

એક બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર:

દેખીતી રીતે, રેખાના સામાન્ય સમીકરણના ઉપયોગના આધારે પ્લેન પરના બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર શોધવાની પદ્ધતિનો ફાયદો એ ગણતરીના કામની પ્રમાણમાં ઓછી માત્રા છે. બદલામાં, બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર શોધવાની પ્રથમ પદ્ધતિ સાહજિક છે અને સુસંગતતા અને તર્ક દ્વારા અલગ પડે છે.

લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ ઑક્સી પ્લેન પર નિશ્ચિત છે, એક બિંદુ અને સીધી રેખા ઉલ્લેખિત છે:

આપેલ બિંદુથી આપેલ સીધી રેખા સુધીનું અંતર શોધો.

પ્રથમ માર્ગ.

તમે ઢાળવાળી સીધી રેખાના આપેલ સમીકરણથી આ સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણ પર જઈ શકો છો અને ઉપર ચર્ચા કરેલ ઉદાહરણની જેમ કાર્ય કરી શકો છો.

પરંતુ તમે તેને અલગ રીતે કરી શકો છો.

આપણે જાણીએ છીએ કે લંબ રેખાઓના કોણીય ગુણાંકનો ગુણાંક 1 ની બરાબર છે (લેખ જુઓ લંબ રેખાઓ, રેખાઓની લંબરૂપતા). તેથી, આપેલ રેખાને લંબરૂપ હોય તેવી રેખાનો કોણીય ગુણાંક:

2 ની બરાબર છે. પછી આપેલ રેખાને લંબરૂપ અને બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

હવે ચાલો બિંદુ H 1 ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ - રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુ:

આમ, એક બિંદુથી રેખા સુધી જરૂરી અંતર:

બિંદુઓ અને વચ્ચેના અંતરની સમાન:

બીજી રીત.

ચાલો કોણીય ગુણાંકવાળી સીધી રેખાના આપેલ સમીકરણમાંથી આ સીધી રેખાના સામાન્ય સમીકરણ તરફ આગળ વધીએ:

સામાન્યકરણ પરિબળ સમાન છે:

તેથી, આપેલ રેખાના સામાન્ય સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

હવે આપણે બિંદુથી લીટી સુધી જરૂરી અંતરની ગણતરી કરીએ છીએ:

બિંદુથી રેખા સુધીના અંતરની ગણતરી કરો:

અને સીધી રેખા પર:

અમે રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

હવે એક બિંદુથી રેખા સુધીના અંતરની ગણતરી કરીએ:

સીધી રેખા સમીકરણ માટે સામાન્ય પરિબળ:

1 ની બરાબર છે. પછી આ રેખાના સામાન્ય સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

હવે આપણે એક બિંદુથી રેખા સુધીના અંતરની ગણતરી કરી શકીએ છીએ:

તે સમાન છે.

જવાબ: અને 5.

નિષ્કર્ષમાં, અમે અલગથી વિચારણા કરીશું કે પ્લેન પર આપેલ બિંદુથી સંકલન રેખાઓ Ox અને Oy સુધીનું અંતર કેવી રીતે શોધવું.

લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલી Oxy માં, સંકલન રેખા Oy એ રેખા x=0 ના અપૂર્ણ સામાન્ય સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને સંકલન રેખા Ox સમીકરણ y=0 દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ સમીકરણો ઓય અને ઓક્સ રેખાઓના સામાન્ય સમીકરણો છે, તેથી, બિંદુથી આ રેખાઓ સુધીનું અંતર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

અનુક્રમે