ત્રિકોણમિતિમાં, ઘણા સૂત્રો યાદ રાખવા કરતાં મેળવવામાં સરળ છે. ડબલ એન્ગલનો કોસાઇન એ અદ્ભુત સૂત્ર છે! તે તમને ડિગ્રી ઘટાડવા માટેના સૂત્રો અને અડધા ખૂણા માટેના સૂત્રો મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે.
તેથી, આપણને ડબલ કોણ અને ત્રિકોણમિતિ એકમના કોસાઇનની જરૂર છે:
તેઓ સમાન છે: ડબલ એંગલ કોસાઇન ફોર્મ્યુલામાં તે કોસાઇન અને સાઇનના ચોરસ વચ્ચેનો તફાવત છે, અને ત્રિકોણમિતિ એકમમાં તે તેમનો સરવાળો છે. જો આપણે ત્રિકોણમિતિ એકમમાંથી કોસાઇન વ્યક્ત કરીએ:
અને તેને ડબલ એંગલના કોસાઇનમાં બદલીએ, આપણને મળે છે:
આ બીજું ડબલ એંગલ કોસાઇન ફોર્મ્યુલા છે:
આ સૂત્ર ઘટાડો ફોર્મ્યુલા મેળવવા માટેની ચાવી છે:
તેથી, સાઇનની ડિગ્રી ઘટાડવા માટેનું સૂત્ર છે:
જો તેમાં આલ્ફા એંગલને અડધા ખૂણાના આલ્ફા દ્વારા અડધા ભાગમાં બદલવામાં આવે છે, અને ડબલ એન્ગલ બે આલ્ફાને આલ્ફા એન્ગલ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, તો આપણે સાઈન માટે હાફ એન્ગલ ફોર્મ્યુલા મેળવીએ છીએ:
હવે આપણે ત્રિકોણમિતિ એકમમાંથી સાઈનને વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ:
ચાલો આ અભિવ્યક્તિને ડબલ એંગલ કોસાઈન ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ:
ડબલ એંગલના કોસાઇન માટે અમને બીજું સૂત્ર મળ્યું:
આ સૂત્ર કોસાઇનની શક્તિ અને કોસાઇન માટે અર્ધ કોણ ઘટાડવા માટેનું સૂત્ર શોધવા માટેની ચાવી છે.
આમ, કોસાઇનની ડિગ્રી ઘટાડવા માટેનું સૂત્ર છે:
જો આપણે α ને α/2 સાથે અને 2α ને α સાથે બદલીએ, તો આપણે કોસાઇન માટે અડધા દલીલ માટે સૂત્ર મેળવીએ છીએ:
સ્પર્શક એ સાઈન અને કોસાઈનનો ગુણોત્તર હોવાથી, સ્પર્શક માટેનું સૂત્ર છે:
કોટેન્જેન્ટ એ કોસાઇન અને સાઇનનો ગુણોત્તર છે. તેથી, કોટેન્જેન્ટ માટેનું સૂત્ર છે:
અલબત્ત, ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવાની પ્રક્રિયામાં, અડધા ખૂણા માટે સૂત્ર મેળવવાનો અથવા દર વખતે ડિગ્રી ઘટાડવાનો કોઈ અર્થ નથી. તમારી સામે સૂત્રો સાથે કાગળની શીટ મૂકવી ખૂબ સરળ છે. અને સરળીકરણ ઝડપથી આગળ વધશે, અને વિઝ્યુઅલ મેમરી મેમોરાઇઝેશન ચાલુ કરશે.
પરંતુ હજુ પણ આ સૂત્રો ઘણી વખત મેળવવા યોગ્ય છે. પછી તમને સંપૂર્ણ ખાતરી હશે કે પરીક્ષા દરમિયાન, જ્યારે ચીટ શીટનો ઉપયોગ કરવો શક્ય ન હોય, ત્યારે જો જરૂર પડશે તો તમે તેને સરળતાથી મેળવી શકશો.
મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો - સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ - વચ્ચેના સંબંધો આપવામાં આવ્યા છે. ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો. અને ત્રિકોણમિતિ વિધેયો વચ્ચે ઘણા બધા જોડાણો હોવાથી, આ ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોની વિપુલતા સમજાવે છે. કેટલાક સૂત્રો સમાન ખૂણાના ત્રિકોણમિતિ કાર્યોને જોડે છે, અન્ય - બહુવિધ ખૂણાના કાર્યો, અન્ય - તમને ડિગ્રી ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છે, ચોથું - અડધા ખૂણાના સ્પર્શક દ્વારા તમામ કાર્યોને વ્યક્ત કરે છે, વગેરે.
આ લેખમાં આપણે બધા મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોને ક્રમમાં સૂચિબદ્ધ કરીશું, જે મોટાભાગની ત્રિકોણમિતિ સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે પૂરતા છે. યાદ રાખવા અને ઉપયોગમાં સરળતા માટે, અમે તેમને હેતુ પ્રમાણે જૂથ બનાવીશું અને તેમને કોષ્ટકોમાં દાખલ કરીશું.
પૃષ્ઠ નેવિગેશન.
મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખો
મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખોએક ખૂણાના સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ વચ્ચેના સંબંધને વ્યાખ્યાયિત કરો. તેઓ સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યા તેમજ એકમ વર્તુળની વિભાવનાને અનુસરે છે. તેઓ તમને એક ત્રિકોણમિતિ ફંક્શનને અન્ય કોઈપણ દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે.
આ ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોના વિગતવાર વર્ણન માટે, તેમની વ્યુત્પત્તિ અને એપ્લિકેશનના ઉદાહરણો માટે, લેખ જુઓ.
ઘટાડાનાં સૂત્રો
ઘટાડાનાં સૂત્રોસાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના ગુણધર્મોમાંથી અનુસરો, એટલે કે, તેઓ સામયિકતાના ગુણધર્મને પ્રતિબિંબિત કરે છે ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, સમપ્રમાણતાની મિલકત, તેમજ આપેલ કોણ દ્વારા સ્થળાંતર કરવાની મિલકત. આ ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો તમને મનસ્વી ખૂણાઓ સાથે કામ કરવાથી શૂન્યથી 90 ડિગ્રી સુધીના ખૂણાઓ સાથે કામ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
આ સૂત્રોના તર્ક, તેમને યાદ રાખવા માટેનો એક સ્મૃતિશાસ્ત્રનો નિયમ અને તેમની અરજીના ઉદાહરણોનો લેખમાં અભ્યાસ કરી શકાય છે.
ઉમેરણ સૂત્રો
ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોવધુમાંબે ખૂણાઓના સરવાળા અથવા તફાવતના ત્રિકોણમિતિ કાર્યોને તે ખૂણાઓના ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના સંદર્ભમાં કેવી રીતે દર્શાવવામાં આવે છે તે બતાવો. આ સૂત્રો નીચેના ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો મેળવવા માટેના આધાર તરીકે સેવા આપે છે.
ડબલ, ટ્રિપલ, વગેરે માટેના સૂત્રો. કોણ
ડબલ, ટ્રિપલ, વગેરે માટેના સૂત્રો. કોણ (તેમને બહુવિધ કોણ સૂત્રો પણ કહેવામાં આવે છે) બતાવે છે કે ડબલ, ટ્રિપલ, વગેરેના ત્રિકોણમિતિના કાર્યો કેવી રીતે થાય છે. કોણ () એક ખૂણાના ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત થાય છે. તેમની વ્યુત્પત્તિ વધારાના સૂત્રો પર આધારિત છે.
ડબલ, ટ્રિપલ, વગેરે માટે લેખના સૂત્રોમાં વધુ વિગતવાર માહિતી એકત્રિત કરવામાં આવી છે. કોણ
અર્ધ કોણ સૂત્રો
અર્ધ કોણ સૂત્રોઅર્ધ ખૂણાના ત્રિકોણમિતિ વિધેયોને સંપૂર્ણ કોણના કોસાઇન દ્વારા કેવી રીતે દર્શાવવામાં આવે છે તે બતાવો. આ ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો ડબલ કોણ સૂત્રોમાંથી અનુસરે છે.
તેમના નિષ્કર્ષ અને એપ્લિકેશનના ઉદાહરણો લેખમાં મળી શકે છે.
ડિગ્રી ઘટાડવાના સૂત્રો
ડિગ્રી ઘટાડવા માટે ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોથી સંક્રમણને સરળ બનાવવાનો હેતુ છે કુદરતી ડિગ્રીત્રિકોણમિતિ ફંક્શન્સ સાઇન્સ અને કોસાઇન્સ માટે પ્રથમ ડિગ્રી, પરંતુ બહુવિધ ખૂણાઓ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તેઓ તમને ત્રિકોણમિતિ કાર્યોની શક્તિઓને પ્રથમ સુધી ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છે.
ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના સરવાળા અને તફાવત માટેના સૂત્રો
મુખ્ય હેતુ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના સરવાળા અને તફાવત માટેના સૂત્રોવિધેયોના ઉત્પાદન પર જવાનું છે, જે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોને સરળ બનાવતી વખતે ખૂબ જ ઉપયોગી છે. ઉકેલમાં પણ આ સૂત્રોનો વ્યાપક ઉપયોગ થાય છે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો, કારણ કે તેઓ તમને સાઇન્સ અને કોસાઇન્સના સરવાળા અને તફાવતને ફેક્ટરાઇઝ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
કોસાઇન દ્વારા સાઇન્સ, કોસાઇન્સ અને સાઇનના ઉત્પાદન માટેના સૂત્રો
ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના ઉત્પાદનમાંથી સરવાળો અથવા તફાવતમાં સંક્રમણ સાઈન, કોસાઈન અને સાઈન બાય કોસાઈનના ઉત્પાદન માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે.
સાર્વત્રિક ત્રિકોણમિતિ અવેજી
અમે ત્રિકોણમિતિના મૂળભૂત સૂત્રોની અમારી સમીક્ષા અડધા ખૂણાના સ્પર્શકની દ્રષ્ટિએ ત્રિકોણમિતિના કાર્યોને વ્યક્ત કરતા સૂત્રો સાથે પૂર્ણ કરીએ છીએ. આ બદલી બોલાવવામાં આવી હતી સાર્વત્રિક ત્રિકોણમિતિ અવેજી. તેની સગવડ એ હકીકતમાં રહેલી છે કે તમામ ત્રિકોણમિતિ કાર્યો મૂળ વિના તર્કસંગત રીતે અડધા ખૂણાના સ્પર્શકના સંદર્ભમાં વ્યક્ત થાય છે.
ગ્રંથસૂચિ.
- બીજગણિત:પાઠ્યપુસ્તક 9મા ધોરણ માટે. સરેરાશ શાળા/યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; એડ. એસ. એ. ટેલિયાકોવસ્કી - એમ.: એજ્યુકેશન, 1990. - 272 પીપી. - ISBN 5-09-002727-7
- બશ્માકોવ એમ. આઇ.બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત: પાઠ્યપુસ્તક. 10-11 ગ્રેડ માટે. સરેરાશ શાળા - 3જી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 1993. - 351 પૃષ્ઠ: બીમાર. - ISBN 5-09-004617-4.
- બીજગણિતઅને વિશ્લેષણની શરૂઆત: પ્રોક. 10-11 ગ્રેડ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn અને અન્ય; એડ. એ. એન. કોલમોગોરોવ - 14મી આવૃત્તિ - એમ.: એજ્યુકેશન, 2004. - 384 પીપી.
- ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી.ગણિત (તકનીકી શાળાઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે માર્ગદર્શિકા): પ્રોક. ભથ્થું.- એમ.; ઉચ્ચ શાળા, 1984.-351 પૃ., બીમાર.
હોંશિયાર વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા કોપીરાઈટ
બધા હકો અમારી પાસે રાખેલા છે.
કૉપિરાઇટ કાયદા દ્વારા સુરક્ષિત. સાઇટનો કોઈ ભાગ નથી, સહિત આંતરિક સામગ્રીઅને દેખાવ કોઈપણ સ્વરૂપમાં પુનઃઉત્પાદિત કરી શકાશે નહીં અથવા કૉપિરાઇટ ધારકની પૂર્વ લેખિત પરવાનગી વિના તેનો ઉપયોગ કરી શકાશે નહીં.
હવે આપણે બહુવિધ ખૂણાઓના ત્રિકોણમિતિ ફંક્શનને કેવી રીતે પ્લોટ કરવું તે પ્રશ્ન જોઈશું ωx, ક્યાં ω - કેટલીક હકારાત્મક સંખ્યા.
કાર્યનો આલેખ કરવા માટે y = પાપ ωxચાલો આ ફંક્શનને આપણે પહેલાથી જ અભ્યાસ કરેલ ફંક્શન સાથે સરખાવીએ y = પાપ x. ચાલો માની લઈએ કે જ્યારે x = x 0 કાર્ય y = પાપ x 0 ની બરાબર કિંમત લે છે. પછી
y 0 = પાપ x 0 .
ચાલો આ સંબંધને નીચે પ્રમાણે બદલીએ:
તેથી, કાર્ય y = પાપ ωxખાતે એક્સ = x 0 / ω સમાન મૂલ્ય લે છે ખાતે 0 , જે કાર્ય જેવું જ છે y = પાપ xખાતે x = x 0 . આનો અર્થ એ થાય કે કાર્ય y = પાપ ωxમાં તેના અર્થોનું પુનરાવર્તન કરે છે ω ફંક્શન કરતાં ઘણી વખત વધુ y = પાપ x. તેથી, કાર્યનો ગ્રાફ y = પાપ ωxફંક્શનના ગ્રાફને "સંકુચિત" કરીને મેળવવામાં આવે છે y = પાપ xવી ω વખત x અક્ષ સાથે.
ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શનનો ગ્રાફ y = પાપ 2xસાઇનસૉઇડને "સંકુચિત" કરીને મેળવવામાં આવે છે y = પાપ xએબ્સીસા અક્ષ સાથે બે વાર.
કાર્યનો આલેખ y = પાપ x / 2 sinusoid y = sin x ને બે વાર "ખેંચવા" દ્વારા મેળવવામાં આવે છે (અથવા તેને "સંકુચિત" કરીને 1 / 2 વખત) x અક્ષ સાથે.
કાર્ય થી y = પાપ ωxમાં તેના અર્થોનું પુનરાવર્તન કરે છે ω
ફંક્શન કરતાં ઘણી વખત વધુ
y = પાપ x, પછી તેનો સમયગાળો છે ω
કાર્યની અવધિ કરતાં ગણી ઓછી y = પાપ x. ઉદાહરણ તરીકે, કાર્યનો સમયગાળો y = પાપ 2xબરાબર 2π/2 = π
, અને કાર્યનો સમયગાળો y = પાપ x / 2
બરાબર π
/
x/ 2
= 4π .
કાર્યની વર્તણૂકનો અભ્યાસ કરવો રસપ્રદ છે y = પાપ કુહાડીએનિમેશનના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને, જે પ્રોગ્રામમાં ખૂબ જ સરળતાથી બનાવી શકાય છે મેપલ:
બહુવિધ ખૂણાઓના અન્ય ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ગ્રાફ સમાન રીતે બાંધવામાં આવે છે. આકૃતિ કાર્યનો ગ્રાફ બતાવે છે y = cos 2x, જે કોસાઇન તરંગને "સંકુચિત" કરીને મેળવવામાં આવે છે y = cos x x-અક્ષ સાથે બે વાર.
કાર્યનો આલેખ y = cos x / 2 કોસાઇન તરંગને "ખેંચવા" દ્વારા મેળવવામાં આવે છે y = cos x x અક્ષ સાથે બમણું.
આકૃતિમાં તમે કાર્યનો ગ્રાફ જુઓ છો y = ટેન 2x, ટેન્જેન્ટોઇડ્સને "સંકુચિત" કરીને મેળવવામાં આવે છે y = tan xએબ્સીસા અક્ષ સાથે બે વાર.
કાર્યનો આલેખ y = tg x/ 2 , ટેન્જેન્ટોઇડ્સને "ખેંચવા" દ્વારા મેળવવામાં આવે છે y = tan x x અક્ષ સાથે બમણું.
અને અંતે, કાર્યક્રમ દ્વારા એનિમેશન કરવામાં આવ્યું હતું મેપલ:
કસરતો
1. આ વિધેયોના આલેખ બનાવો અને સંકલન અક્ષો સાથે આ આલેખના આંતરછેદના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂચવો. આ કાર્યોનો સમયગાળો નક્કી કરો.
એ). y = પાપ 4x/ 3 જી). y = તન 5x/ 6 અને). y = cos 2x/ 3
b). y=cos 5x/ 3 ડી). y = ctg 5x/ 3 h). y=ctg x/ 3
વી). y = તન 4x/ 3 e). y = પાપ 2x/ 3
2. કાર્યોનો સમયગાળો નક્કી કરો y = પાપ (πх)અને y = tg (πх/2).
3. ફંક્શનના બે ઉદાહરણો આપો જે તમામ મૂલ્યો -1 થી +1 સુધી લે છે (આ બે સંખ્યાઓ સહિત) અને સમયાંતરે સમયાંતરે 10 સાથે બદલાય છે.
4 * વિધેયોના બે ઉદાહરણો આપો જે 0 થી 1 સુધીના તમામ મૂલ્યો લે છે (આ બે સંખ્યાઓ સહિત) અને સમયાંતરે સમયગાળા સાથે બદલાય છે π/2.
5. ફંક્શનના બે ઉદાહરણો આપો જે તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો લે છે અને સમયાંતરે સમયાંતરે 1 સાથે બદલાય છે.
6 * ફંક્શનના બે ઉદાહરણો આપો જે તમામ નકારાત્મક મૂલ્યો અને શૂન્યને સ્વીકારે છે, પરંતુ સકારાત્મક મૂલ્યોને સ્વીકારતા નથી, અને સમયાંતરે 5 ની અવધિ સાથે બદલાય છે.
