એક બિંદુ શરીરને આડી તરફના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવે છે. આડી તરફના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવેલા શરીરની હિલચાલ

આ લેખમાં આપણે એવી પરિસ્થિતિના પૃથ્થકરણ પર વિચાર કરીશું કે જ્યાં શરીરને આડી તરફના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવે છે. આ હાથથી પથ્થર ફેંકવું, તોપમાંથી શેલ છોડવું, ધનુષમાંથી તીર છોડવું વગેરે હોઈ શકે છે. આ બધી પરિસ્થિતિઓને ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી સમાન રીતે વર્ણવવામાં આવી છે.

આડી તરફના ખૂણા પર ચળવળની વિશેષતા

ભૌતિકશાસ્ત્રના દૃષ્ટિકોણથી ઉપરોક્ત ઉદાહરણો વચ્ચે સમાનતા શું છે? તે શરીર પર કાર્ય કરતી દળોની પ્રકૃતિમાં રહેલું છે. શરીરની મુક્ત ઉડાન દરમિયાન, ફક્ત બે દળો તેના પર કાર્ય કરે છે:

• ગુરુત્વાકર્ષણ.
• વિન્ડેજ.

જો શરીરનો સમૂહ પૂરતો મોટો હોય અને તેનો આકાર પોઇન્ટેડ (અસ્ત્ર, તીર) હોય, તો હવાના પ્રતિકારની અવગણના કરી શકાય છે.

આમ, ક્ષિતિજના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવેલા શરીરની હિલચાલ એ એક સમસ્યા છે જેમાં માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ દેખાય છે. તે તે છે જે બોલનો આકાર નક્કી કરે છે, જે પેરાબોલિક કાર્ય દ્વારા સારી ચોકસાઈ સાથે વર્ણવવામાં આવે છે.

પેરાબોલિક માર્ગ સાથે ગતિના સમીકરણો. ઝડપ

લાશને ક્ષિતિજના ખૂણા પર ફેંકી દેવામાં આવી હતી. તમે તેની હિલચાલનું વર્ણન કેવી રીતે કરી શકો? કારણ કે શરીરની ઉડાન દરમિયાન કાર્ય કરતું એકમાત્ર બળ નીચે તરફ દિશામાન થાય છે, તેનો આડો ઘટક શૂન્ય છે. આ હકીકતનો અર્થ એ છે કે ઑબ્જેક્ટની આડી ચળવળ પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ (થ્રો અથવા શોટ એન્ગલ θ અને સ્પીડ v) દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. શરીરની ઊભી હિલચાલ એ એકસરખી પ્રવેગક ગતિનું આબેહૂબ ઉદાહરણ છે, જ્યાં પ્રવેગકની ભૂમિકા સતત g (9.81 m/s2) દ્વારા ભજવવામાં આવે છે.

ઉપરોક્ત બાબતોને ધ્યાનમાં લેતા, આપણે t સમયે ઉડતા શરીરની ગતિ માટે બે ઘટકો લખી શકીએ છીએ:

v x = v * cos(θ);

v y = v * sin(θ) - g * t

જેમ જોઈ શકાય છે, v x ઘટક સમય પર આધાર રાખતો નથી અને સમગ્ર ઉડાન માર્ગમાં સતત રહે છે (x અક્ષની દિશામાં બાહ્ય દળોની ગેરહાજરીનું પરિણામ). ઘટક v y સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે મહત્તમ હોય છે. અને પછી તે શરીરના ટેકઓફના મહત્તમ બિંદુએ શૂન્ય બને ત્યાં સુધી તે ઘટવાનું શરૂ કરે છે. આ પછી, તે ચિહ્નમાં ફેરફાર કરે છે અને પડવાની ક્ષણે તે પ્રારંભિક ઘટક v y, એટલે કે, v*sin(θ) ના મોડ્યુલસ સમાન હોવાનું બહાર આવે છે.

લેખિત સમીકરણો કોઈપણ સમયે t આડા ખૂણા પર ફેંકવામાં આવેલા શરીરની ગતિ નક્કી કરવાનું શક્ય બનાવે છે. તેનું મોડ્યુલ આના સમાન હશે:

v = √ (v x 2 + v y 2) = √ (v 2 * cos 2 (θ) + v 2 * sin 2 (θ) - 2 * v* sin(θ) * g * t + g 2 * t 2) =

= √ (v 2 - 2 * v * sin(θ) * g * t + g 2 * t 2)

પેરાબોલિક માર્ગ સાથે ગતિના સમીકરણો. ફ્લાઇટની શ્રેણી

લાશને ક્ષિતિજના ખૂણા પર ફેંકી દેવામાં આવી હતી. તે ક્યાં સુધી ઉડશે? શ્રેણીની સમસ્યા x કોઓર્ડિનેટમાં ફેરફારને લગતી છે. આ મૂલ્ય સમય સાથે બંને વેગ ઘટકોને એકીકૃત કરીને શોધી શકાય છે. એકીકરણના પરિણામે આપણે સૂત્રો મેળવીએ છીએ:

x = v * cos(θ) * t + x 0 ;

y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + y 0

કોઓર્ડિનેટ્સ x અને x 0 વચ્ચેનો તફાવત ફ્લાઇટ રેન્જ છે. જો આપણે ધારીએ કે x 0 = 0, તો શ્રેણી x ની બરાબર હશે, જે શોધવા માટે તમારે જાણવાની જરૂર છે કે t શરીર હવામાં કેટલો સમય રહેશે.

બીજું સમીકરણ તમને આ સમયની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે, જો કે મૂલ્ય y 0 (ઊંચાઈ h જેમાંથી શરીર ફેંકવામાં આવે છે) જાણીતું હોય. જ્યારે પદાર્થ તેની હિલચાલ પૂર્ણ કરે છે (જમીન પર પડે છે), ત્યારે તેનું y કોઓર્ડિનેટ શૂન્ય થઈ જશે. આ ક્યારે થશે તેની ગણતરી કરીએ. અમારી પાસે:

v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = 0

આપણી સમક્ષ સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમાનતા છે. અમે તેને ભેદભાવ દ્વારા હલ કરીએ છીએ:

D = v 2 * sin 2 (θ) - 4 * (-g/2) * h = v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h;

t = (-v * sin(θ) ± √D)/(2 * (-g/2))

અમે નકારાત્મક મૂળ કાઢી નાખીએ છીએ. અમને નીચેની ફ્લાઇટનો સમય મળે છે:

t = (v * sin(θ) + √ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h))/g

હવે આપણે આ મૂલ્યને ફ્લાઇટ રેન્જના સમીકરણમાં બદલીએ છીએ. અમને મળે છે:

x = v * cos(θ) * (v * sin(θ)+√ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h))/g

જો શરીરને જમીન પરથી ફેંકવામાં આવે છે, એટલે કે, h = 0, તો આ સૂત્ર નોંધપાત્ર રીતે સરળ કરવામાં આવશે. અને તે આના જેવો દેખાશે:

x = 2 * v 2 * cos(θ) * sin(θ)/g = v 2 * sin(2 * θ)/g

વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરીને છેલ્લી અભિવ્યક્તિ મેળવવામાં આવી હતી ત્રિકોણમિતિ કાર્યોસાઈન અને કોસાઈન (ઘટાડાના સૂત્રો).

કારણ કે સાઈન માટે મહત્તમ મૂલ્ય છે જમણો ખૂણો, પછી મહત્તમ ફ્લાઇટ રેન્જ પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે શરીરને પૃથ્વીની સપાટી પરથી 45°ના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવે છે (શૉટ) અને આ શ્રેણી બરાબર છે:

આડી તરફના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવેલા શરીરની ઊંચાઈ

હવે ચાલો બીજું મહત્વનું પરિમાણ નક્કી કરીએ - ફેંકવામાં આવેલી વસ્તુ કેટલી ઊંચાઈ સુધી વધી શકે છે. દેખીતી રીતે, આ માટે ફક્ત y કોઓર્ડિનેટમાં ફેરફારને ધ્યાનમાં લેવા માટે તે પૂરતું છે.

તેથી, શરીરને ક્ષિતિજના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવે છે, તે કેટલી ઊંચાઈ સુધી ઉડશે? આ ઊંચાઈ વેગ ઘટક v y થી શૂન્યની સમાનતાને અનુરૂપ હશે. અમારી પાસે સમીકરણ છે:

v y = v * sin(θ) - g * t = 0

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ. અમને મળે છે:

હવે તમારે આ સમયને y કોઓર્ડિનેટ માટે અભિવ્યક્તિમાં બદલવાની જરૂર છે. અમને મળે છે:

y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = v 2 * sin 2 (θ)/g - g/2* v 2 * sin 2 (θ)/g 2 + h =

V 2 * sin 2 (θ)/(2 * g) + h

આ સૂત્ર સૂચવે છે કે મહત્તમ ઊંચાઈ, ફ્લાઇટ રેન્જથી વિપરીત, જો શરીરને સખત રીતે ઊભી રીતે ફેંકવામાં આવે તો પ્રાપ્ત થાય છે (θ = 90). આ કિસ્સામાં આપણે સૂત્ર પર પહોંચીએ છીએ:

એ નોંધવું રસપ્રદ છે કે આ લેખમાં આપેલા તમામ સૂત્રોમાં, શરીરનું વજન દેખાતું નથી. લાક્ષણિકતાઓ પેરાબોલિક માર્ગતેના પર આધાર રાખશો નહીં, પરંતુ માત્ર હવાના પ્રતિકારની ગેરહાજરીમાં.

ભૌતિકશાસ્ત્રમાં યાંત્રિક ગતિનો અભ્યાસ કરતી વખતે, પદાર્થોની એકસમાન અને એકસરખી ગતિશીલ ગતિથી પરિચિત થયા પછી, તેઓ ક્ષિતિજના ખૂણા પર શરીરની હિલચાલને ધ્યાનમાં રાખીને આગળ વધે છે. આ લેખમાં આપણે આ મુદ્દાને વધુ વિગતવાર અભ્યાસ કરીશું.

આડી તરફના ખૂણા પર શરીરની હિલચાલ શું છે?

આ પ્રકારની ઑબ્જેક્ટ હિલચાલ ત્યારે થાય છે જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ હવામાં પથ્થર ફેંકે છે, તોપ કેનનબોલ ચલાવે છે અથવા ગોલકીપર સોકર બોલને ગોલથી દૂર લાત મારે છે. આવા તમામ કિસ્સાઓ બેલિસ્ટિક્સના વિજ્ઞાન દ્વારા ગણવામાં આવે છે.

હવામાં પદાર્થોની હિલચાલનો નોંધાયેલ પ્રકાર પેરાબોલિક માર્ગ સાથે થાય છે. સામાન્ય રીતે, અનુરૂપ ગણતરીઓ હાથ ધરવી એ સરળ બાબત નથી, કારણ કે હવાના પ્રતિકાર, ફ્લાઇટ દરમિયાન શરીરનું પરિભ્રમણ, તેની ધરીની આસપાસ પૃથ્વીનું પરિભ્રમણ અને કેટલાક અન્ય પરિબળો ધ્યાનમાં લેવા જરૂરી છે.

આ લેખમાં આપણે આ બધા પરિબળોને ધ્યાનમાં લઈશું નહીં, પરંતુ આ મુદ્દાને સંપૂર્ણ સૈદ્ધાંતિક દૃષ્ટિકોણથી ધ્યાનમાં લઈશું. તેમ છતાં, પરિણામી સૂત્રો શરીરના આગળ વધવાના માર્ગને સારી રીતે વર્ણવે છે ટૂંકા અંતર.

વિચારણા હેઠળ ચળવળના પ્રકાર માટે સૂત્રો મેળવવી

ચાલો મૃતદેહોને ક્ષિતિજ પર એક ખૂણા પર લાવીએ. આ કિસ્સામાં, અમે ઉડતી વસ્તુ પર કામ કરતા માત્ર એક જ બળને ધ્યાનમાં લઈશું - ગુરુત્વાકર્ષણ. કારણ કે તે ઊભી રીતે નીચેની તરફ કાર્ય કરે છે (વાય-અક્ષની સમાંતર અને તેની સામે), તો પછી, ચળવળના આડા અને ઊભા ઘટકોને ધ્યાનમાં લેતા, આપણે કહી શકીએ કે પ્રથમમાં સમાન લંબચોરસ ચળવળનું પાત્ર હશે. અને બીજું - એકસરખી ધીમી (એકસરખી રીતે પ્રવેગક) પ્રવેગક જી સાથે રેક્ટીલીનિયર ચળવળ. એટલે કે, મૂલ્ય v 0 (પ્રારંભિક ગતિ) અને θ (શરીરની ગતિની દિશાનો કોણ) દ્વારા વેગ ઘટકો નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવશે:

v x = v 0 *cos(θ)

v y = v 0 *sin(θ)-g*t

પ્રથમ સૂત્ર (v x માટે) હંમેશા માન્ય હોય છે. બીજા માટે, એક સૂક્ષ્મતા અહીં નોંધવી જોઈએ: માઈનસ ચિહ્ન ઉત્પાદન g*tની સામે ફક્ત ત્યારે જ મૂકવામાં આવે છે જો વર્ટિકલ ઘટક v 0 *sin(θ) ઉપરની તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે. મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં, આવું જ થાય છે, જો કે, જો તમે શરીરને ઊંચાઈથી ફેંકી દો છો, તેને નીચે તરફ નિર્દેશ કરો છો, તો પછી v y માટેના અભિવ્યક્તિમાં તમારે g*t ની સામે “+” ચિહ્ન મૂકવું જોઈએ.

સમય સાથે વેગ ઘટકો માટેના સૂત્રોને એકીકૃત કર્યા પછી, અને શરીરની ઉડાનની પ્રારંભિક ઊંચાઈ hને ધ્યાનમાં રાખીને, અમે કોઓર્ડિનેટ્સ માટે સમીકરણો મેળવીએ છીએ:

x = v 0 *cos(θ)*t

y = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2

ફ્લાઇટ રેન્જની ગણતરી

જ્યારે ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ક્ષિતિજ તરફ શરીરની હિલચાલને વ્યવહારિક ઉપયોગ માટે ઉપયોગી કોણ પર ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, ત્યારે તે ફ્લાઇટ રેન્જની ગણતરી હોવાનું બહાર આવ્યું છે. ચાલો તેને વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

આ ચળવળ પ્રવેગક વિના એક સમાન ચળવળ હોવાથી, તેમાં ફ્લાઇટનો સમય બદલવા અને ઇચ્છિત પરિણામ મેળવવા માટે તે પૂરતું છે. ફ્લાઇટ રેન્જ ફક્ત x-અક્ષ (ક્ષિતિજની સમાંતર) સાથેની હિલચાલ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

y કોઓર્ડિનેટને શૂન્ય પર સેટ કરીને શરીર હવામાં રહે તે સમયની ગણતરી કરી શકાય છે. અમારી પાસે:

0 = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2

અમે ભેદભાવ દ્વારા આ ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ, અમને મળે છે:

D = b 2 - 4*a*c = v 0 2 *sin 2 (θ) - 4*(-g/2)*h = v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h,

t = (-b±√D)/(2*a) = (-v 0 *sin(θ)±√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/(-2* g/2) =

= (v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g.

છેલ્લા અભિવ્યક્તિમાં, માઈનસ ચિહ્ન સાથેનું એક મૂળ તેની નજીવીતાને કારણે કાઢી નાખવામાં આવે છે ભૌતિક મહત્વ. x માટે અભિવ્યક્તિમાં ફ્લાઇટ ટાઇમ t ને બદલીને, અમે ફ્લાઇટ રેન્જ l મેળવીએ છીએ:

l = x = v 0 *cos(θ)*(v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g.

આ અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે જો પ્રારંભિક ઊંચાઈ શૂન્ય (h=0) હોય, તો આપણને મળે છે. સરળ સૂત્ર:

l = v 0 2 *sin(2*θ)/g

આ અભિવ્યક્તિ સૂચવે છે કે જો શરીરને 45 o (sin(2*45 o) = m1) ના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવે તો મહત્તમ ફ્લાઇટ રેન્જ મેળવી શકાય છે.

મહત્તમ પ્રશિક્ષણ ઊંચાઈ

ફ્લાઇટના અંતર ઉપરાંત, તે જમીનથી ઉપરની ઊંચાઈ શોધવા માટે પણ ઉપયોગી છે કે જેના પર શરીર વધી શકે છે. આ પ્રકારની હિલચાલને પેરાબોલા દ્વારા વર્ણવવામાં આવી હોવાથી, જેની શાખાઓ નીચે તરફ નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે, મહત્તમ લિફ્ટ ઊંચાઈ તેની છેડા છે. બાદમાંની ગણતરી y ના t વ્યુત્પન્ન માટેના સમીકરણને હલ કરીને કરવામાં આવે છે:

dy/dt = d(h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2)/dt = v 0 *sin(θ)-gt=0 =>

=> t = v 0 *sin(θ)/g.

આ સમયને y માટે સમીકરણમાં બદલીને, આપણને મળે છે:

y = h+v 0 *sin(θ)*v 0 *sin(θ)/g-g*(v 0 *sin(θ)/g) 2 /2 = h + v 0 2 *sin 2 (θ)/( 2*g).

આ અભિવ્યક્તિ સૂચવે છે કે જો શરીરને ઊભી રીતે ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે તો શરીર તેની મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી વધશે (sin 2 (90 o) = 1).

સૂચનાઓ

શરીરને પ્રારંભિક ઝડપ v0 સાથે ક્ષિતિજના α ખૂણા પર ફેંકી દો. શરીરના પ્રારંભિક કોઓર્ડિનેટ્સ શૂન્ય થવા દો: x(0)=0, y(0)=0. સંકલન અક્ષો પરના અંદાજોમાં, પ્રારંભિક વેગ બે ઘટકોમાં વિઘટિત થશે: v0(x) અને v0(y). સામાન્ય રીતે સમાન ઝડપ. ઓક્સ અક્ષની સાથે, ઝડપને પરંપરાગત રીતે સ્થિર ગણવામાં આવે છે, જ્યારે ઓય અક્ષ સાથે તે નાં પ્રભાવ હેઠળ બદલાય છે. ગુરુત્વાકર્ષણ g નું પ્રવેગ આશરે 10 m/s² ગણી શકાય.

કોણ α કે જેના પર શરીર ફેંકવામાં આવે છે તે તક દ્વારા આપવામાં આવતું નથી. તેના દ્વારા તમે સંકલન અક્ષોમાં પ્રારંભિક ગતિનું વર્ણન કરી શકો છો. આમ, v0(x)=v0·cos(α), v0(y)=v0·sin(α). હવે આપણે વેગના સંકલન ઘટકોનું કાર્ય મેળવી શકીએ છીએ: v(x)=const=v0(x)=v0·cos(α), v(y)=v0(y)-g·t=v0·sin( α)-g· t.

શરીરના x અને y કોઓર્ડિનેટ્સ સમય t પર આધાર રાખે છે. આમ, આપણે બે અવલંબન સમીકરણો બનાવી શકીએ છીએ: x=x0+v0(x) t+a(x) t²/2, y=y0+v0(y) t+a(y) t²/2. ત્યારથી x0=0, a(x)=0, પછી x=v0(x) t=v0 cos(α) t. તે પણ જાણીતું છે કે y0=0, a(y)=-g (“ ” ચિહ્ન દેખાય છે કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ g ના પ્રવેગની દિશા અને Oy અક્ષની હકારાત્મક દિશા વિરુદ્ધ છે). તેથી y=v0·sin(α)·t-g·t²/2.

ફ્લાઇટનો સમય ઝડપ સૂત્રમાંથી વ્યક્ત કરી શકાય છે, એ જાણીને કે મહત્તમ બિંદુએ શરીર ત્વરિત માટે અટકે છે (v = 0), અને "ચડાઈ" અને "ઉતર" ની અવધિ સમાન છે. તેથી, જ્યારે v(y)=0 ને સમીકરણ v(y)=v0·sin(α)-g·t માં બદલીએ ત્યારે તે તારણ આપે છે: 0=v0·sin(α)-g·t(p), જ્યાં t (p) - પીક ટાઇમ, "ટી શિરોબિંદુ". તેથી t(p)=v0·sin(α)/g. કુલ ફ્લાઇટ સમય પછી t=2·v0·sin(α)/g તરીકે દર્શાવવામાં આવશે.

સમાન સૂત્ર બીજી રીતે મેળવી શકાય છે, ગાણિતિક રીતે, સંકલન y=v0·sin(α)·t-g·t²/2 માટેના સમીકરણમાંથી. આ સમીકરણને સહેજ સુધારેલા સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકાય છે: y=-g/2·t²+v0·sin(α)·t. તે જોઈ શકાય છે કે આ એક ચતુર્ભુજ અવલંબન છે, જ્યાં y એક કાર્ય છે, t એક દલીલ છે. પ્રક્ષેપણનું વર્ણન કરતા પેરાબોલાના શિરોબિંદુ એ બિંદુ t(p)=[-v0·sin(α)]/[-2g/2] છે. બાદબાકી અને બે રદ થાય છે, તેથી t(p)=v0·sin(α)/g. જો આપણે મહત્તમ ઊંચાઈને H તરીકે દર્શાવીએ અને યાદ રાખો કે શિખર બિંદુ એ પેરાબોલાના શિરોબિંદુ છે જેની સાથે શરીર ખસે છે, તો H=y(t(p))=v0²sin²(α)/2g. એટલે કે, ઊંચાઈ મેળવવા માટે, તમારે y કોઓર્ડિનેટ માટે સમીકરણમાં "t શિરોબિંદુ" ને બદલવાની જરૂર છે.

તેથી, ફ્લાઇટનો સમય t=2·v0·sin(α)/g તરીકે લખવામાં આવે છે. તેને બદલવા માટે, તમારે તે મુજબ પ્રારંભિક ગતિ અને ઝોક કોણ બદલવાની જરૂર છે. સ્પીડ જેટલી વધારે છે, તેટલું લાંબું શરીર ઉડે છે. કોણ સાથે તે કંઈક અંશે વધુ જટિલ છે, કારણ કે સમય પોતે કોણ પર આધારિત નથી, પરંતુ તેની સાઈન પર આધારિત છે. મહત્તમ શક્ય અર્થસાઈન - એકતા - 90° ના ઝોકના ખૂણા પર પ્રાપ્ત થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે શરીરને ઊભી રીતે ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે ત્યારે શરીર સૌથી લાંબુ ઉડે છે.

ફ્લાઇટ રેન્જ અંતિમ x સંકલન છે. જો આપણે પહેલાથી મળેલા ફ્લાઇટ સમયને x=v0·cos(α)·t સમીકરણમાં બદલીએ, તો તે L=2v0²sin(α)cos(α)/g શોધવાનું સરળ છે. અહીં તમે અરજી કરી શકો છો ત્રિકોણમિતિ સૂત્રડબલ એંગલ 2sin(α)cos(α)=sin(2α), પછી L=v0²sin(2α)/g. જ્યારે 2α=n/2, α=n/4 હોય ત્યારે બે આલ્ફાની સાઈન એકની બરાબર હોય છે. આમ, જો શરીરને 45°ના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવે તો ફ્લાઇટ રેન્જ મહત્તમ છે.

FEFU ખાતે શાળાના બાળકો માટે કમ્પ્યુટર સાયન્સમાં માસ્ટર ક્લાસ માટે આ એક સર્જનાત્મક કાર્ય છે.
જો હવાના પ્રતિકારને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે તો શરીરની ગતિ કેવી રીતે બદલાશે તે શોધવાનું કાર્યનો હેતુ છે. જો હવાના પ્રતિકારને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે તો ફ્લાઇટનું અંતર હજુ પણ 45°ના થ્રોઇંગ એંગલ પર તેના મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચશે કે કેમ તે પ્રશ્નનો જવાબ આપવો પણ જરૂરી છે.

"વિશ્લેષણાત્મક સંશોધન" વિભાગ સિદ્ધાંતની રૂપરેખા આપે છે. આ વિભાગ છોડી શકાય છે, પરંતુ તે તમારા માટે મોટે ભાગે સ્પષ્ટ હોવો જોઈએ કારણ કે... ઓતમે આમાંથી મોટા ભાગનું શાળામાં શીખ્યા છો.
"સંખ્યાત્મક અભ્યાસ" વિભાગમાં અલ્ગોરિધમનું વર્ણન છે જે કમ્પ્યુટર પર અમલમાં મૂકવું આવશ્યક છે. અલ્ગોરિધમ સરળ અને સંક્ષિપ્ત છે, તેથી દરેક જણ તે કરવા સક્ષમ હોવા જોઈએ.

વિશ્લેષણાત્મક સંશોધન

ચાલો ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લખીએ:
સમયની દરેક ક્ષણે પ્રવેગક એ ગતિના પરિવર્તનનો (ત્વરિત) દર છે, એટલે કે, સમયના સંદર્ભમાં ઝડપનું વ્યુત્પન્ન: .

તેથી, ન્યૂટનના 2જા નિયમને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:
, જ્યાં શરીર પર કાર્ય કરતી તમામ શક્તિઓનું પરિણામ છે.
કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને હવાના પ્રતિકારનું બળ શરીર પર કાર્ય કરે છે
.

અમે ત્રણ કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈશું:
1) હવા પ્રતિકાર બળ 0 છે: .
2) હવા પ્રતિરોધક બળ વેગ વેક્ટર સાથે વિરુદ્ધ નિર્દેશિત છે, અને તેની તીવ્રતા ઝડપના પ્રમાણસર છે: .
3) હવા પ્રતિરોધક બળ વેગ વેક્ટર સાથે વિરુદ્ધ નિર્દેશિત છે, અને તેની તીવ્રતા વેગના વર્ગના પ્રમાણસર છે: .

ચાલો પહેલા 1 લી કેસને ધ્યાનમાં લઈએ.
આ બાબતે , અથવા


તે તેને અનુસરે છે (સમાન રીતે ઝડપી ગતિ).
કારણ કે ( આર- ત્રિજ્યા વેક્ટર), પછી .
અહીંથી .
આ સૂત્ર એકસરખી પ્રવેગિત ગતિ દરમિયાન શરીરની ગતિના નિયમ માટેના પરિચિત સૂત્ર સિવાય બીજું કંઈ નથી.
ત્યારથી .
તે બંનેને ધ્યાનમાં લેતા , અમે છેલ્લી વેક્ટર સમાનતામાંથી સ્કેલર સમાનતા મેળવીએ છીએ:

ચાલો પરિણામી સૂત્રોનું વિશ્લેષણ કરીએ.
ચાલો શોધીએ ફ્લાઇટનો સમયશરીરો. સમીકરણ yશૂન્ય સુધી, આપણને મળે છે

આ સૂત્ર પરથી તે અનુસરે છે કે મહત્તમ ફ્લાઇટ રેન્જ પર પ્રાપ્ત થાય છે.
હવે ચાલો શોધીએ શરીર ટ્રેક્ટર સમીકરણ. આ કરવા માટે, અમે વ્યક્ત કરીએ છીએ tદ્વારા x

અને ચાલો પરિણામી અભિવ્યક્તિને માટે બદલીએ tમાટે સમાનતા માં y.

પરિણામી કાર્ય y(x) એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે, તેનો આલેખ એક પેરાબોલા છે, જેની શાખાઓ નીચે તરફ નિર્દેશિત છે.
ક્ષિતિજના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવેલા શરીરની હિલચાલ (હવા પ્રતિકારને ધ્યાનમાં લીધા વિના) આ વિડિઓમાં વર્ણવેલ છે.

હવે બીજા કેસને ધ્યાનમાં લો: .

બીજો કાયદો સ્વરૂપ લે છે ,
અહીંથી .
ચાલો આ સમાનતાને સ્કેલર સ્વરૂપમાં લખીએ:

અમને મળ્યું બે રેખીય વિભેદક સમીકરણો.
પ્રથમ સમીકરણમાં ઉકેલ છે

માટે સમીકરણમાં આ કાર્યને બદલીને આ ચકાસી શકાય છે v xઅને પ્રારંભિક સ્થિતિ સુધી .
અહીં e = 2.718281828459... એ યુલરનો નંબર છે.
બીજા સમીકરણમાં ઉકેલ છે

કારણ કે , , પછી હવાના પ્રતિકારની હાજરીમાં શરીરની હિલચાલ એકસમાન હોય છે, કેસ 1થી વિપરીત, જ્યારે ગતિ મર્યાદા વિના વધે છે.
નીચેનો વિડીયો જણાવે છે કે સ્કાયડાઇવર પહેલા ત્વરિત ગતિએ આગળ વધે છે, અને પછી સમાન રીતે આગળ વધવાનું શરૂ કરે છે (પેરાશૂટ ખુલે તે પહેલા પણ).

આ બિનરેખીય સિસ્ટમ વિભેદક સમીકરણો . આ સિસ્ટમ સ્પષ્ટ રીતે ઉકેલી શકાતી નથી, તેથી સંખ્યાત્મક સિમ્યુલેશનનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે.

સંખ્યાત્મક અભ્યાસ

અમે બીજા કેસને ધ્યાનમાં લઈશું, જ્યારે હવાના પ્રતિકારનું બળ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે . નોંધ કરો કે જ્યારે k= 0 આપણને પહેલો કેસ મળે છે.

શરીરની ગતિ નીચેના સમીકરણોનું પાલન કરે છે:

આ સમીકરણોની ડાબી બાજુએ પ્રવેગક ઘટકો લખેલા છે .
યાદ કરો કે પ્રવેગ એ વેગના પરિવર્તનનો (ત્વરિત) દર છે, એટલે કે, સમયના સંદર્ભમાં વેગનું વ્યુત્પન્ન.
સમીકરણોની જમણી બાજુઓ વેગ ઘટકો ધરાવે છે. આમ, આ સમીકરણો દર્શાવે છે કે વેગના પરિવર્તનનો દર ઝડપ સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે.

ચાલો સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણોના ઉકેલો શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ. આ કરવા માટે, અમે સમય અક્ષ પર રજૂ કરીએ છીએ જાળીદાર: ચાલો સંખ્યા પસંદ કરીએ અને ફોર્મના સમયની ક્ષણોને ધ્યાનમાં લઈએ: .

અમારું કાર્ય લગભગ મૂલ્યોની ગણતરી કરવાનું છે ગ્રીડ નોડ્સ પર.

ચાલો સમીકરણોમાં પ્રવેગકને બદલીએ ( ત્વરિત ગતિઝડપ ફેરફારો) દ્વારા સામન્ય ગતિસમયાંતરે શરીરની હિલચાલને ધ્યાનમાં રાખીને ગતિમાં ફેરફાર:

હવે આપણે મેળવેલ અંદાજોને આપણા સમીકરણોમાં બદલીએ.

પરિણામી સૂત્રો અમને ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે આગલા ગ્રીડ નોડ પર, જો અગાઉના ગ્રીડ નોડ પરના આ કાર્યોના મૂલ્યો જાણીતા છે.

વર્ણવેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે વેગ ઘટકોના અંદાજિત મૂલ્યોનું કોષ્ટક મેળવી શકીએ છીએ.

શરીરની ગતિનો નિયમ કેવી રીતે શોધવો, એટલે કે. અંદાજિત સંકલન મૂલ્યોનું કોષ્ટક x(t), y(t)? તેવી જ રીતે!
અમારી પાસે

vx[j] ની કિંમત ફંક્શનની કિંમત જેટલી છે અને અન્ય એરે માટે સમાન છે.
હવે માત્ર એક લૂપ લખવાનું બાકી છે, જેની અંદર આપણે પહેલાથી ગણતરી કરેલ કિંમત vx[j] નો ઉપયોગ કરીને vx ની ગણતરી કરીશું, અને બાકીના એરે સાથે તે જ. ચક્ર હશે j 1 થી એન.
સૂત્રો અનુસાર પ્રારંભિક મૂલ્યો vx, vy, x, y શરૂ કરવાનું ભૂલશો નહીં, x 0 = 0, y 0 = 0.

પાસ્કલ અને સીમાં, સાઈન અને કોસાઈનની ગણતરી કરવા માટે sin(x) અને cos(x) ફંક્શન છે. નોંધ કરો કે આ વિધેયો રેડિયનમાં દલીલ લે છે.

તમારે દરમિયાન શરીરની હિલચાલનો ગ્રાફ બનાવવાની જરૂર છે k= 0 અને k> 0 અને પરિણામી ગ્રાફની સરખામણી કરો. એક્સેલમાં ગ્રાફ બનાવી શકાય છે.
નોંધ કરો કે ગણતરીના સૂત્રો એટલા સરળ છે કે તમે ગણતરી માટે માત્ર એક્સેલનો ઉપયોગ કરી શકો છો અને પ્રોગ્રામિંગ ભાષાનો પણ ઉપયોગ કરી શકતા નથી.
જો કે, ભવિષ્યમાં તમારે CATS માં સમસ્યા હલ કરવાની જરૂર પડશે, જેમાં તમારે શરીરની ફ્લાઇટના સમય અને શ્રેણીની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, જ્યાં તમે પ્રોગ્રામિંગ ભાષા વિના કરી શકતા નથી.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે તમે કરી શકો છો પરીક્ષણતમારા પ્રોગ્રામ અને જ્યારે ગણતરીના પરિણામોની સરખામણી કરીને તમારા ગ્રાફને તપાસો k= 0 સે ચોક્કસ સૂત્રો"વિશ્લેષણાત્મક સંશોધન" વિભાગમાં આપેલ છે.

તમારા પ્રોગ્રામ સાથે પ્રયોગ કરો. ખાતરી કરો કે જો ત્યાં કોઈ હવા પ્રતિકાર નથી ( k= 0) નિશ્ચિત પ્રારંભિક ઝડપે મહત્તમ ફ્લાઇટ રેન્જ 45°ના ખૂણા પર પ્રાપ્ત થાય છે.
હવાના પ્રતિકાર વિશે શું? મહત્તમ ફ્લાઇટ રેન્જ કયા ખૂણા પર પ્રાપ્ત થાય છે?

આકૃતિ શરીરના માર્ગો બતાવે છે વિ 0 = 10 m/s, α = 45°, g= 9.8 m/s 2, m= 1 કિલો, k= 0 અને 1 Δ પર સંખ્યાત્મક સિમ્યુલેશન દ્વારા મેળવેલ t = 0,01.

2011 માં “સ્ટાર્ટ ઇન સાયન્સ” કોન્ફરન્સમાં પ્રસ્તુત ટ્રોઇટ્સ્કના 10મા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓના અદ્ભુત કાર્યથી તમે તમારી જાતને પરિચિત કરી શકો છો. આ કાર્ય ક્ષિતિજના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવેલા ટેનિસ બોલની હિલચાલનું મોડેલિંગ કરવા માટે સમર્પિત છે (હવાને ધ્યાનમાં લેતા). પ્રતિકાર). સંખ્યાત્મક મોડેલિંગ અને પૂર્ણ-સ્કેલ પ્રયોગ બંનેનો ઉપયોગ થાય છે.

આમ, આ સર્જનાત્મક કાર્ય તમને ગાણિતિક અને સંખ્યાત્મક મોડેલિંગની પદ્ધતિઓથી પરિચિત થવા દે છે, જેનો વ્યવહારમાં સક્રિયપણે ઉપયોગ થાય છે, પરંતુ શાળામાં થોડો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 20મી સદીના મધ્યમાં યુએસએસઆરમાં પરમાણુ અને અવકાશ પ્રોજેક્ટ્સના અમલીકરણમાં આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો.

જો કોઈ શરીરને ક્ષિતિજના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવે છે, તો ઉડાન દરમિયાન તેના પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને હવાના પ્રતિકારના બળ દ્વારા કાર્ય કરવામાં આવે છે. જો પ્રતિકારક શક્તિની અવગણના કરવામાં આવે તો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ બાકી રહે છે. તેથી, ન્યૂટનના 2જા નિયમને લીધે, શરીર ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગ સમાન પ્રવેગ સાથે આગળ વધે છે; સંકલન અક્ષો પર પ્રવેગકના અંદાજો ax = 0, ay = - g.

આકૃતિ 1. આડી તરફના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવેલા શરીરની ગતિશીલ લાક્ષણિકતાઓ

ભૌતિક બિંદુની કોઈપણ જટિલ હિલચાલને સંકલન અક્ષો સાથે સ્વતંત્ર હિલચાલની સુપરપોઝિશન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, અને વિવિધ અક્ષોની દિશામાં હલનચલનનો પ્રકાર અલગ હોઈ શકે છે. અમારા કિસ્સામાં, ઉડતા શરીરની ગતિને બે સ્વતંત્ર ગતિના સુપરપોઝિશન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે: આડી અક્ષ (X-અક્ષ) સાથે સમાન ગતિ અને ઊભી અક્ષ (વાય-અક્ષ) (આકૃતિ 1) સાથે સમાન ગતિશીલ ગતિ. .

તેથી શરીરના વેગ અંદાજો સમય સાથે નીચે પ્રમાણે બદલાય છે:

જ્યાં $v_0$ એ પ્રારંભિક ગતિ છે, $(\mathbf \alpha )$ એ ફેંકવાનો કોણ છે.

મૂળની અમારી પસંદગી સાથે, પ્રારંભિક કોઓર્ડિનેટ્સ (ફિગ. 1) $x_0=y_0=0$ છે. પછી આપણને મળે છે:

(1)

ચાલો સૂત્રોનું વિશ્લેષણ કરીએ (1). ચાલો ફેંકાયેલા શરીરની હિલચાલનો સમય નક્કી કરીએ. આ કરવા માટે, ચાલો y કોઓર્ડિનેટને શૂન્યની બરાબર સેટ કરીએ, કારણ કે ઉતરાણની ક્ષણે શરીરની ઊંચાઈ શૂન્ય છે. અહીંથી અમે ફ્લાઇટનો સમય મેળવીએ છીએ:

બીજી વખતનું મૂલ્ય કે જેના પર ઊંચાઈ શૂન્ય છે તે શૂન્ય છે, જે ફેંકવાની ક્ષણને અનુરૂપ છે, એટલે કે. આ મૂલ્યનો ભૌતિક અર્થ પણ છે.

અમે પ્રથમ સૂત્ર (1) થી ફ્લાઇટ રેન્જ મેળવીએ છીએ. ફ્લાઇટ રેન્જ એ ફ્લાઇટના અંતે x કોઓર્ડિનેટનું મૂલ્ય છે, એટલે કે. $t_0$ ની બરાબર સમયે. પ્રથમ સૂત્ર (1) માં મૂલ્ય (2) ને બદલીને, આપણને મળે છે:

આ સૂત્ર પરથી તે જોઈ શકાય છે કે સૌથી મોટી ફ્લાઇટ રેન્જ 45 ડિગ્રીના થ્રોઇંગ એંગલ પર પ્રાપ્ત થાય છે.

ફેંકાયેલા શરીરની મહત્તમ પ્રશિક્ષણ ઊંચાઈ બીજા સૂત્ર (1) પરથી મેળવી શકાય છે. આ કરવા માટે, તમારે આ ફોર્મ્યુલામાં અડધા ફ્લાઇટ સમય (2) ની બરાબર સમય મૂલ્ય બદલવાની જરૂર છે, કારણ કે તે માર્ગના મધ્યબિંદુ પર છે કે ફ્લાઇટની ઊંચાઈ મહત્તમ છે. ગણતરીઓ હાથ ધરવાથી, અમને મળે છે

સમીકરણોમાંથી (1) વ્યક્તિ શરીરના માર્ગનું સમીકરણ મેળવી શકે છે, એટલે કે. ગતિ દરમિયાન શરીરના x અને y કોઓર્ડિનેટ્સને લગતું સમીકરણ. આ કરવા માટે, તમારે પ્રથમ સમીકરણ (1) થી સમય વ્યક્ત કરવાની જરૂર છે:

અને તેને બીજા સમીકરણમાં બદલો. પછી આપણને મળે છે:

આ સમીકરણ એ ગતિ માર્ગ સમીકરણ છે. તે જોઈ શકાય છે કે આ પેરાબોલાનું સમીકરણ છે જેમાં તેની શાખાઓ નીચે છે, જેમ કે ચતુર્ભુજ શબ્દની સામે “-” ચિહ્ન દ્વારા સૂચવવામાં આવ્યું છે. તે ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ કે ફેંકવાનો કોણ $\alpha $ અને તેના કાર્યો અહીં ખાલી સ્થિર છે, એટલે કે. સતત સંખ્યાઓ.

શરીરને આડી તરફ $(\mathbf \alpha )$ એ કોણ પર v0 ઝડપ સાથે ફેંકવામાં આવે છે. ફ્લાઇટનો સમય $t = 2 s$. Hmax શરીર કેટલી ઊંચાઈ સુધી વધશે?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

શરીરની ગતિના નિયમનું સ્વરૂપ છે:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(એરે) \right.$ $

પ્રારંભિક વેગ વેક્ટર OX અક્ષ સાથે $(\mathbf \alpha )$ એક ખૂણો બનાવે છે. આથી,

\ \ \

એક પથ્થર પર્વતની ટોચ પરથી ક્ષિતિજ પર ખૂણો = 30$()^\circ$ $v_0 = 6 m/s$ ની પ્રારંભિક ઝડપે ફેંકવામાં આવે છે. વળેલું વિમાન કોણ = 30$()^\circ$. પથ્થર ફેંકવાના બિંદુથી કેટલા અંતરે પડશે?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

ચાલો કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિને ફેંકવાના બિંદુ પર મૂકીએ, OX - નીચે તરફ વળેલા પ્લેન સાથે, OY - ઉપર તરફ વળેલા પ્લેન પર લંબરૂપ. ચળવળની ગતિશીલ લાક્ષણિકતાઓ:

ગતિનો નિયમ:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ -\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \

પરિણામી મૂલ્ય $t_В$ ને બદલીને, અમે $S$ શોધીએ છીએ: