ત્રિકોણના અડીને આવેલા ખૂણો. અડીને અને ઊભી કોણ

સંલગ્ન કોણ શું છે

કોર્નર- આ ભૌમિતિક આકૃતિ(ફિગ. 1), બે કિરણો OA અને OB (કોણની બાજુઓ) દ્વારા રચાય છે, જે એક બિંદુ O (કોણના શિરોબિંદુ) માંથી નીકળે છે.

અડીને ખૂણાઓ- બે ખૂણા જેનો સરવાળો 180° છે. આ દરેક ખૂણો બીજાને પૂર્ણ કોણ માટે પૂરક બનાવે છે.

અડીને આવેલા ખૂણો- (એગલ્સ એડજેસેટ્સ) જે સામાન્ય ટોચ અને એક સામાન્ય બાજુ ધરાવે છે. મોટે ભાગે આ નામ એવા ખૂણાઓને દર્શાવે છે જેની બાકીની બે બાજુઓ દોરેલી એક સીધી રેખાની વિરુદ્ધ દિશામાં આવેલી હોય છે.

બે ખૂણાઓને સંલગ્ન કહેવામાં આવે છે જો તેમની એક બાજુ સમાન હોય, અને આ ખૂણાઓની બીજી બાજુઓ પૂરક અર્ધ-રેખાઓ હોય.

ચોખા 2

આકૃતિ 2 માં, ખૂણા a1b અને a2b અડીને છે. તેમની પાસે એક સામાન્ય બાજુ b છે, અને બાજુઓ a1, a2 વધારાની અર્ધ-રેખાઓ છે.

ચોખા 3

આકૃતિ 3 સીધી રેખા AB બતાવે છે, બિંદુ C એ બિંદુ A અને B વચ્ચે સ્થિત છે. બિંદુ D એ એક બિંદુ છે જે સીધી AB પર નથી પડતો. તે તારણ આપે છે કે ખૂણા BCD અને ACD અડીને છે. તેમની પાસે એક સામાન્ય બાજુની સીડી છે, અને બાજુઓ CA અને CB એ સીધી રેખા AB ની વધારાની અડધી રેખાઓ છે, કારણ કે બિંદુઓ A, B પ્રારંભિક બિંદુ C દ્વારા અલગ પડે છે.

સંલગ્ન કોણ પ્રમેય

પ્રમેય:અડીને આવેલા ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે

પુરાવો:
ખૂણો a1b અને a2b અડીને છે (જુઓ. આકૃતિ 2) રે b એ ખુલેલા કોણની બાજુઓ a1 અને a2 વચ્ચેથી પસાર થાય છે. તેથી, ખૂણા a1b અને a2b નો સરવાળો વિકસિત કોણ સમાન છે, એટલે કે, 180°. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

90°ના બરાબર ખૂણાને કાટકોણ કહેવાય છે. સંલગ્ન ખૂણાઓના સરવાળા પરના પ્રમેય પરથી તે અનુસરે છે કે કાટખૂણાને અડીને આવેલો ખૂણો પણ કાટખૂણો છે. 90° કરતા ઓછાના ખૂણોને એક્યુટ કહેવાય છે અને 90°થી વધુના ખૂણોને સ્થૂળ કહેવામાં આવે છે. અડીને આવેલા ખૂણાઓનો સરવાળો 180° હોવાથી, એક્યુટ કોણને અડીને આવેલો ખૂણો સ્થૂળ કોણ છે. સ્થૂળ કોણને અડીને આવેલો ખૂણો એ તીવ્ર કોણ છે.

અડીને આવેલા ખૂણો- સામાન્ય શિરોબિંદુ સાથેના બે ખૂણા, જેની એક બાજુ સામાન્ય છે, અને બાકીની બાજુઓ સમાન સીધી રેખા પર છે (એકસામણું નથી). અડીને આવેલા ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે.

વ્યાખ્યા 1.ખૂણો એ પ્લેનનો એક ભાગ છે જે એક સામાન્ય મૂળ સાથે બે કિરણોથી બંધાયેલો છે.

વ્યાખ્યા 1.1.કોણ એ એક આકૃતિ છે જેમાં એક બિંદુનો સમાવેશ થાય છે - કોણનું શિરોબિંદુ - અને આ બિંદુમાંથી નીકળતી બે જુદી જુદી અડધી રેખાઓ - કોણની બાજુઓ.
ઉદાહરણ તરીકે, Fig.1 માં કોણ BOC ચાલો પહેલા બે છેદતી રેખાઓ પર વિચાર કરીએ. જ્યારે સીધી રેખાઓ છેદે છે, ત્યારે તેઓ ખૂણા બનાવે છે. ત્યાં ખાસ કિસ્સાઓ છે:

વ્યાખ્યા 2.જો કોઈ ખૂણાની બાજુઓ એક સીધી રેખાની વધારાની અડધી રેખાઓ હોય, તો કોણ વિકસિત કહેવાય છે.

વ્યાખ્યા 3.જમણો ખૂણો એ 90 ડિગ્રી માપતો ખૂણો છે.

વ્યાખ્યા 4. 90 ડિગ્રી કરતા ઓછા ખૂણાને તીવ્ર કોણ કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 5. 90 અંશથી વધુ અને 180 અંશ કરતાં ઓછાના ખૂણોને સ્થૂળ કોણ કહેવાય છે.
છેદતી રેખાઓ.

વ્યાખ્યા 6.બે ખૂણા, જેની એક બાજુ સામાન્ય છે અને બીજી બાજુઓ સમાન સીધી રેખા પર છે, તેને સંલગ્ન કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 7.ખૂણા કે જેની બાજુઓ એકબીજાને ચાલુ રાખે છે તેને વર્ટિકલ એંગલ કહેવામાં આવે છે.
આકૃતિ 1 માં:
અડીને: 1 અને 2; 2 અને 3; 3 અને 4; 4 અને 1
વર્ટિકલ: 1 અને 3; 2 અને 4
પ્રમેય 1.અડીને આવેલા ખૂણાઓનો સરવાળો 180 ડિગ્રી છે.
પુરાવા માટે, ફિગમાં ધ્યાનમાં લો. 4 અડીને આવેલા ખૂણા AOB અને BOC. તેમનો સરવાળો વિકસિત કોણ AOC છે. તેથી, આ અડીને આવેલા ખૂણાઓનો સરવાળો 180 ડિગ્રી છે.

ચોખા 4

ગણિત અને સંગીત વચ્ચેનું જોડાણ

"કલા અને વિજ્ઞાન વિશે, તેમના પરસ્પર જોડાણો અને વિરોધાભાસો વિશે વિચારતા, હું આ નિષ્કર્ષ પર પહોંચ્યો કે ગણિત અને સંગીત માનવ ભાવનાના ચરમ ધ્રુવો પર છે, કે માણસની તમામ સર્જનાત્મક આધ્યાત્મિક પ્રવૃત્તિ આ બે એન્ટિપોડ્સ દ્વારા મર્યાદિત અને નિર્ધારિત છે. બધું જ તેમની વચ્ચે છે. માનવતાએ વિજ્ઞાન અને કલાના ક્ષેત્રોમાં શું બનાવ્યું છે."
જી. ન્યુહૌસ
એવું લાગે છે કે કલા એ ગણિતમાંથી ખૂબ જ અમૂર્ત ક્ષેત્ર છે. જો કે, ગણિત અને સંગીત વચ્ચેનું જોડાણ ઐતિહાસિક અને આંતરિક રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે, એ હકીકત હોવા છતાં કે ગણિત એ વિજ્ઞાનનું સૌથી અમૂર્ત છે, અને સંગીત એ કલાનું સૌથી અમૂર્ત સ્વરૂપ છે.
વ્યંજન શબ્દમાળાનો સુખદ અવાજ નક્કી કરે છે
આ સંગીત પ્રણાલી બે કાયદાઓ પર આધારિત હતી જે બે મહાન વૈજ્ઞાનિકોના નામ ધરાવે છે - પાયથાગોરસ અને આર્કિટાસ. આ કાયદાઓ છે:
1. બે ધ્વનિ તાર વ્યંજન નક્કી કરે છે જો તેમની લંબાઈ ત્રિકોણાકાર સંખ્યા 10=1+2+3+4 રચતા પૂર્ણાંકો તરીકે સંબંધિત હોય, એટલે કે. જેમ કે 1:2, 2:3, 3:4. વધુમાં, n:(n+1) (n=1,2,3) ના ગુણોત્તરમાં n જેટલી નાની સંખ્યા, પરિણામી અંતરાલ વધુ વ્યંજન.
2. સાઉન્ડિંગ સ્ટ્રિંગની વાઇબ્રેશન ફ્રીક્વન્સી w તેની લંબાઈ l ના વિપરિત પ્રમાણમાં છે.
w = a:l,
જ્યાં a એ શબ્દમાળાના ભૌતિક ગુણધર્મોને દર્શાવતો ગુણાંક છે.

હું તમને બે ગણિતશાસ્ત્રીઓ વચ્ચેની દલીલ વિશે રમુજી પેરોડી પણ આપીશ =)

આપણી આસપાસની ભૂમિતિ

આપણા જીવનમાં ભૂમિતિનું કોઈ નાનું મહત્વ નથી. હકીકત એ છે કે જ્યારે તમે આસપાસ જુઓ છો, ત્યારે તે નોંધવું મુશ્કેલ રહેશે નહીં કે આપણે વિવિધ ભૌમિતિક આકારોથી ઘેરાયેલા છીએ. અમે દરેક જગ્યાએ તેમનો સામનો કરીએ છીએ: શેરીમાં, વર્ગખંડમાં, ઘરમાં, ઉદ્યાનમાં, જીમમાં, શાળાના કાફેટેરિયામાં, મૂળભૂત રીતે આપણે જ્યાં પણ હોઈએ છીએ. પરંતુ આજના પાઠનો વિષય અડીને આવેલા કોલસા છે. તો ચાલો આજુબાજુ જોઈએ અને આ વાતાવરણમાં ખૂણા શોધવાનો પ્રયત્ન કરીએ. જો તમે બારીને નજીકથી જોશો, તો તમે જોઈ શકો છો કે કેટલીક ઝાડની ડાળીઓ અડીને ખૂણા બનાવે છે, અને ગેટ પરના પાર્ટીશનોમાં તમે ઘણા ઉભા ખૂણાઓ જોઈ શકો છો. તમે તમારા પર્યાવરણમાં અવલોકન કરો છો તેવા અડીને આવેલા ખૂણાઓના તમારા પોતાના ઉદાહરણો આપો.

વ્યાયામ 1.

1. બુક સ્ટેન્ડ પર ટેબલ પર એક પુસ્તક છે. તે કયો ખૂણો બનાવે છે?
2. પરંતુ વિદ્યાર્થી લેપટોપ પર કામ કરી રહ્યો છે. તમે અહીં કયો ખૂણો જુઓ છો?
3. સ્ટેન્ડ પર ફોટો ફ્રેમ કયો ખૂણો બનાવે છે?
4. શું તમને લાગે છે કે બે અડીને આવેલા ખૂણાઓનું સમાન હોવું શક્ય છે?

કાર્ય 2.

તમારી સામે એક ભૌમિતિક આકૃતિ છે. આ કેવા પ્રકારની આકૃતિ છે, તેનું નામ આપો? હવે તમે આ ભૌમિતિક આકૃતિ પર જોઈ શકો છો તે બધા સંલગ્ન ખૂણાઓને નામ આપો.

કાર્ય 3.

અહીં ડ્રોઇંગ અને પેઇન્ટિંગની છબી છે. તેમને ધ્યાનથી જુઓ અને મને કહો કે તમે ચિત્રમાં કયા પ્રકારની માછલીઓ જુઓ છો, અને તમે ચિત્રમાં કયા ખૂણા જુઓ છો.

સમસ્યા ઉકેલવાની

અગાઉ શીખેલી સામગ્રીની સમીક્ષા કરવા માટે ગાણિતિક શ્રુતલેખન

સમસ્યાઓ ઉકેલો:

1. શું 2 સીધી રેખાઓના આંતરછેદથી બનેલા 3 ખૂણાઓનો સરવાળો 100° બરાબર થઈ શકે? 370°?
2. આકૃતિમાં, અડીને આવેલા ખૂણાઓની બધી જોડી શોધો. અને હવે ઊભી ખૂણા. આ ખૂણાઓને નામ આપો.

3. તમારે એક ખૂણો શોધવાની જરૂર છે જ્યારે તે તેની નજીકના એક કરતા ત્રણ ગણો મોટો હોય.
4. બે સીધી રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે. આ આંતરછેદના પરિણામે, ચાર ખૂણાઓ રચાયા હતા. તેમાંથી કોઈપણનું મૂલ્ય નક્કી કરો, જો કે:

a) ચારમાંથી 2 ખૂણાઓનો સરવાળો 84° છે;
b) 2 ખૂણાઓ વચ્ચેનો તફાવત 45° છે;
c) એક ખૂણો બીજા કરતા 4 ગણો નાનો છે;
d) આ ત્રણ ખૂણાઓનો સરવાળો 290° છે.

પાઠ સારાંશ

1. 2 સીધી રેખાઓ એકબીજાને છેદે ત્યારે બનેલા ખૂણાઓને નામ આપો?
2. આકૃતિમાં ખૂણાઓની તમામ સંભવિત જોડીને નામ આપો અને તેમનો પ્રકાર નક્કી કરો.

ગૃહ કાર્ય:

1. અડીને આવેલા ખૂણાઓના ડિગ્રી માપનો ગુણોત્તર શોધો જ્યારે તેમાંથી એક બીજા કરતા 54° વધારે હોય.
2. 2 સીધી રેખાઓ એકબીજાને છેદે ત્યારે બનેલા ખૂણાઓ શોધો, જો કે એક ખૂણો તેની બાજુમાં આવેલા 2 અન્ય ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો હોય.
3. જ્યારે તેમાંથી એકનો દ્વિભાજક બીજા ખૂણા કરતા 60° મોટો હોય ત્યારે બીજાની બાજુ સાથેનો ખૂણો બનાવે ત્યારે અડીને આવેલા ખૂણા શોધવા જરૂરી છે.
4. 2 અડીને આવેલા ખૂણાઓ વચ્ચેનો તફાવત આ બે ખૂણાઓના સરવાળાના ત્રીજા ભાગ જેટલો છે. 2 અડીને આવેલા ખૂણાઓના મૂલ્યો નક્કી કરો.
5. 2 અડીને આવેલા ખૂણાઓનો તફાવત અને સરવાળો અનુક્રમે 1:5 ના ગુણોત્તરમાં છે. નજીકના ખૂણા શોધો.
6. બે અડીને વચ્ચેનો તફાવત તેમના સરવાળાના 25% છે. 2 અડીને આવેલા ખૂણાઓના મૂલ્યો કેવી રીતે સંબંધિત છે? 2 અડીને આવેલા ખૂણાઓના મૂલ્યો નક્કી કરો.

પ્રશ્નો:

1. કોણ શું છે?
2. કયા પ્રકારના ખૂણાઓ છે?
3. અડીને આવેલા ખૂણાઓની મિલકત શું છે?

બે ખૂણાઓને સંલગ્ન કહેવામાં આવે છે જો તેમની એક બાજુ સમાન હોય, અને આ ખૂણાઓની બીજી બાજુઓ પૂરક કિરણો હોય. આકૃતિ 20 માં, ખૂણા AOB અને BOC અડીને છે.

અડીને આવેલા ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે

પ્રમેય 1. અડીને આવેલા ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે.

પુરાવો. બીમ OB (જુઓ. ફિગ. 1) અનફોલ્ડ એંગલની બાજુઓ વચ્ચેથી પસાર થાય છે. એ કારણે ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

પ્રમેય 1 થી તે અનુસરે છે કે જો બે ખૂણા સમાન હોય, તો તેમના સંલગ્ન ખૂણા સમાન છે.

વર્ટિકલ કોણ સમાન છે

જો એક ખૂણાની બાજુઓ બીજા ખૂણાના પૂરક કિરણો હોય તો બે ખૂણાઓને લંબરૂપ કહેવામાં આવે છે. AOB અને COD, BOD અને AOC, બે સીધી રેખાઓના આંતરછેદ પર બનેલા ખૂણાઓ લંબરૂપ છે (ફિગ. 2).

પ્રમેય 2. વર્ટિકલ એન્ગલ સમાન છે.

પુરાવો. ચાલો વર્ટિકલ એન્ગલ એઓબી અને સીઓડીને ધ્યાનમાં લઈએ (ફિગ 2 જુઓ). કોણ BOD એ દરેક ખૂણા AOB અને COD ને અડીને છે. પ્રમેય 1 દ્વારા ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

આના પરથી આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે ∠ AOB = ∠ COD.

કોરોલરી 1. કાટકોણને અડીને આવેલો ખૂણો એ કાટકોણ છે.

બે છેદતી સીધી રેખાઓ AC અને BD (ફિગ. 3) ને ધ્યાનમાં લો. તેઓ ચાર ખૂણા બનાવે છે. જો તેમાંથી એક સીધો છે (અંજીર 3 માં કોણ 1), તો બાકીના ખૂણાઓ પણ જમણા છે (કોણ 1 અને 2, 1 અને 4 અડીને છે, ખૂણા 1 અને 3 વર્ટિકલ છે). આ કિસ્સામાં, તેઓ કહે છે કે આ રેખાઓ કાટખૂણે છેદે છે અને તેને લંબરૂપ (અથવા પરસ્પર લંબ) કહેવામાં આવે છે. AC અને BD રેખાઓની લંબરૂપતા નીચે પ્રમાણે દર્શાવવામાં આવે છે: AC ⊥ BD.

એક સેગમેન્ટ માટે લંબરૂપ દ્વિભાજક એ આ સેગમેન્ટની લંબરૂપ રેખા છે અને તેના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

AN - એક રેખાને લંબરૂપ

એક સીધી રેખા a અને બિંદુ A નો વિચાર કરો જે તેના પર પડેલો નથી (ફિગ. 4). ચાલો બિંદુ A ને એક સેગમેન્ટ સાથે બિંદુ H સાથે સીધી રેખા a સાથે જોડીએ. AN સેગમેન્ટને બિંદુ A થી રેખા a જો રેખા AN અને a લંબરૂપ હોય તો કાટખૂણે દોરવામાં આવે છે. બિંદુ H ને લંબનો આધાર કહેવામાં આવે છે.

ડ્રોઇંગ ચોરસ

નીચેનું પ્રમેય સાચું છે.

પ્રમેય 3. કોઈપણ બિંદુએથી જે કોઈ રેખા પર ન હોય, આ રેખા પર લંબ દોરવાનું શક્ય છે, અને વધુમાં, ફક્ત એક જ.

ડ્રોઇંગમાં એક બિંદુથી સીધી રેખા સુધી લંબ દોરવા માટે, ડ્રોઇંગ સ્ક્વેરનો ઉપયોગ કરો (ફિગ. 5).

ટિપ્પણી. પ્રમેયની રચનામાં સામાન્ય રીતે બે ભાગો હોય છે. એક ભાગ શું આપવામાં આવે છે તે વિશે વાત કરે છે. આ ભાગને પ્રમેયની સ્થિતિ કહેવામાં આવે છે. બીજો ભાગ શું સાબિત કરવાની જરૂર છે તે વિશે વાત કરે છે. આ ભાગને પ્રમેયનું નિષ્કર્ષ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રમેય 2 ની સ્થિતિ એ છે કે ખૂણાઓ ઊભી છે; નિષ્કર્ષ - આ ખૂણા સમાન છે.

કોઈપણ પ્રમેયને શબ્દોમાં વિગતવાર વ્યક્ત કરી શકાય છે જેથી તેની સ્થિતિ "જો" શબ્દથી શરૂ થાય અને "પછી" શબ્દથી તેનું સમાપન થાય. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રમેય 2 ને નીચે પ્રમાણે વિગતવાર કહી શકાય: "જો બે ખૂણા ઊભા હોય, તો તે સમાન છે."

ઉદાહરણ 1.અડીને આવેલા ખૂણાઓમાંથી એક 44° છે. અન્ય સમાન શું છે?

ઉકેલ. ચાલો બીજા ખૂણાના ડિગ્રી માપને x દ્વારા દર્શાવીએ, પછી પ્રમેય 1 મુજબ.
44° + x = 180°.
પરિણામી સમીકરણ ઉકેલવાથી, આપણે શોધીએ છીએ કે x = 136°. તેથી, બીજો કોણ 136° છે.

ઉદાહરણ 2.આકૃતિ 21 માં કોણ COD ને 45° થવા દો. AOB અને AOC કોણ શું છે?

ઉકેલ. કોણ COD અને AOB વર્ટિકલ છે, તેથી, પ્રમેય 1.2 દ્વારા તેઓ સમાન છે, એટલે કે ∠ AOB = 45°. કોણ AOC એંગલ COD ને અડીને છે, જેનો અર્થ પ્રમેય 1 મુજબ થાય છે.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

ઉદાહરણ 3.સંલગ્ન ખૂણા શોધો જો તેમાંથી એક બીજા કરતા 3 ગણો મોટો હોય.

ઉકેલ. ચાલો x દ્વારા નાના કોણના ડિગ્રી માપને દર્શાવીએ. પછી મોટા કોણનું ડિગ્રી માપ 3x હશે. અડીને આવેલા ખૂણાઓનો સરવાળો 180° (પ્રમેય 1) ની બરાબર હોવાથી x + 3x = 180°, જ્યાંથી x = 45°.
આનો અર્થ એ છે કે અડીને આવેલા ખૂણા 45° અને 135° છે.

ઉદાહરણ 4.બે ઊભા ખૂણાઓનો સરવાળો 100° છે. ચાર ખૂણાઓમાંથી દરેકનું કદ શોધો.

ઉકેલ. આકૃતિ 2 ને સમસ્યાની શરતો પૂરી કરવા દો. COD થી AOB સુધીના વર્ટિકલ કોણ સમાન છે (પ્રમેય 2), જેનો અર્થ છે કે તેમના ડિગ્રી માપ પણ સમાન છે. તેથી, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (સ્થિતિ અનુસાર તેમનો સરવાળો 100° છે). કોણ BOD (કોણ AOC પણ) કોણ COD ને અડીને છે, અને તેથી, પ્રમેય 1 દ્વારા
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

બે સીધી રેખાઓ BA અને BC (ફિગ. 13), એક જ બિંદુ B પર છેદે છે, B બિંદુ પર એક ખૂણો બનાવે છે.

કોણ વ્યાખ્યા. ખૂણો એ વિમાનનો અનિશ્ચિત ભાગ છે જે બે છેદતી સીધી રેખાઓથી બંધાયેલો છે. ખૂણો એક એવો જથ્થો છે જે એક સીધી રેખાનો બીજી તરફનો ઝોક નક્કી કરે છે.

ખૂણાની બાજુઓ. છેદતી રેખાઓને કોણની બાજુઓ કહેવામાં આવે છે.

ટોચનો ખૂણો. બે રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુને કોણનું શિરોબિંદુ કહેવામાં આવે છે. કોણનું કદ બાજુઓની લંબાઈ પર આધાર રાખતું નથી, તેથી કોણની બાજુઓ અનિશ્ચિત સમય સુધી લંબાવી શકાય છે.

કોણ નામ. a) ખૂણાઓને શિરોબિંદુ પરના અક્ષર દ્વારા કહેવામાં આવે છે; તેથી કોણ શાબ્દિક છે. 13 એ કોણ B કહેવાય છે. b) જો શિરોબિંદુ પર અનેક ખૂણાઓ હોય, તો ખૂણાઓને શિરોબિંદુ અને તેની બે બાજુઓ પર ઉભા રહેલા ત્રણ અક્ષરો કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, ટોચ પરનો અક્ષર ઉચ્ચારવામાં આવે છે અને મધ્યમાં લખવામાં આવે છે.

તેને વાહિયાત. 13 કોણ B કોણ ABC કહેવાય છે. રેખાઓ BA અને BC એ બે બાજુઓ છે અને બિંદુ B એ કોણનું શિરોબિંદુ છે.

આમ કોણ ABC કોણ B અથવા છે

કોણ ABC = કોણ B.

કોણનું ચિહ્ન. એન્ગલ શબ્દ ક્યારેક ચિહ્ન દ્વારા બદલવામાં આવે છે∠ .

આમ, અગાઉની સમાનતા લેખિતમાં રજૂ થાય છે:

એવા કિસ્સામાં જ્યાં એક બિંદુમાંથી ઘણી રેખાઓ બહાર આવે છે, બિંદુ B પર ઘણા ખૂણાઓ છે.

તેને વાહિયાત. 14 સીધી રેખાઓ BA, BC, BD બિંદુ B માંથી બહાર આવે છે અને શિરોબિંદુ B પર ABC, CBD, ABD ખૂણાઓ છે.

અડીને આવેલા ખૂણો. બે ખૂણાઓને અડીને કહેવામાં આવે છે જ્યારે તેમની પાસે એક સામાન્ય શિરોબિંદુ હોય છે, એક સામાન્ય બાજુ હોય છે, અને અન્ય બે સામાન્ય બાજુની બંને બાજુએ આવેલા હોય છે.

ખૂણા ABC અને CBD (ફિગ. 14) અડીને આવેલા ખૂણા છે. તેમની પાસે એક સામાન્ય શિરોબિંદુ B છે, એક સામાન્ય બાજુ BC છે, અને અન્ય બે બાજુઓ BA અને BD એક ઉપર અને બીજી સામાન્ય બાજુ BC ની નીચે છે.

જો એક બાજુનો ઝોક બીજી તરફ બદલાય તો ખૂણાઓ તેમની તીવ્રતામાં ફેરફાર કરે છે. સામાન્ય શિરોબિંદુ ધરાવતા બે ખૂણાઓમાંથી, જે ખૂણો અંદર અન્ય ખૂણો બંધબેસે છે તેને મુખ્ય ખૂણો કહેવામાં આવે છે. ડ્રોઇંગમાં 14

ug એબીડી > આંગ. ABC અને ug. સીબીડી< уг. ABD.

જુદા જુદા શિરોબિંદુઓ ધરાવતા બે ખૂણાઓની પરસ્પર તીવ્રતાનો ખ્યાલ રાખવા માટે, એક ખૂણો બીજા પર સુપરઇમ્પોઝ કરવામાં આવે છે. જ્યારે સુપરઇમ્પોઝ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેમના શિરોબિંદુઓ એક બાજુ પર જોડવામાં આવે છે, પછી બીજી બાજુની દિશા તેમના મૂલ્યોની તુલના કરવાનું શક્ય બનાવશે. બે ખૂણા ABC અને DEF (ફિગ. 15) ની સરખામણી કરવા માટે, કોણ DEF એ કોણ ABC પર સુપરઇમ્પોઝ કરવામાં આવે છે જેથી બાજુ EF BC ની બાજુમાં જાય, બિંદુ E બિંદુ B સાથે એકરુપ થાય; પછી બાજુ ED ત્રણ સ્થાનો લઈ શકે છે: તે બાજુ BA સાથે એકરુપ થઈ શકે છે, તે ABC ની અંદર અને બહાર પડી શકે છે.

a) જો રેખા ED રેખા BA સાથે એકરુપ હોય, તો ખૂણાઓને સમાન કહેવામાં આવે છે

ug ABC = આંગ. DEF.

b) જો રેખા ED કોણ ABC ની અંદર આવે છે અને BG સ્થાન લે છે, તો કોણ ABC કોણ DEF કરતા મોટો હશે

ug ABC > આંગ. DEF.

c) જો રેખા ED BH દિશામાં કોણ ABC ની બહાર પડે છે, તો કોણ ABC કોણ DEF કરતા ઓછો છે

ug ABC< уг. DEF.

સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર ખૂણા.બે સંલગ્ન ખૂણા ABC અને CBD (ફિગ. 14) એક ખૂણો ABC બનાવે છે. કોણ ABD એ ખૂણા ABC અને CBD નો સરવાળો કહેવાય છે. આ સમાનતા દ્વારા લેખિતમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

∠ABD = ∠ABC + ∠CBD (a)

સમાનતામાંથી (a) સમાનતાને અનુસરે છે:

∠ABC = ∠ABD - ∠CBD

∠CBD = ∠ABD - ∠ABC,

એટલે કે કોણ ABC એ કોણ ABD અને CBD વચ્ચેનો તફાવત છે, અને કોણ CBD એ કોણ ABD અને ABC વચ્ચેનો તફાવત છે.

જો બિંદુ O (ફિગ. 16) પર ઘણા સમાન સંલગ્ન ખૂણા છે, એટલે કે જો

∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE,

પછી કોણ AOC એ કોણ AOB અને BOC બે ખૂણા AOB ના સરવાળા સમાન છે,

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC, આગળ. ∠AOC = 2AOB.

કોણ AOD એ ત્રણ ખૂણા AOB બરાબર છે

તેનાથી વિપરિત, કોણ AOB એ અડધો ખૂણો AOC, એક ત્રીજો કોણ AOD, એક ક્વાર્ટર કોણ AOE છે.

AOB = ½ AOC = 1/3 AOD = ¼ AOE.

આના પરથી આપણે તે અનુમાન કરીએ છીએ જથ્થા તરીકે ખૂણાઓ માત્ર ઉમેરી અને બાદ કરી શકાતા નથી, પણ અમૂર્ત સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અને ભાગાકાર પણ કરી શકાય છે.

જો બે અડીને આવેલા ખૂણા ACD અને DCB (ફિગ. 17), બે બાજુઓ CA અને CB એક જ સીધી રેખા પર આવેલા હોય, તો તેમને સંલગ્ન કહેવામાં આવે છે.

. અડીને આવેલા ખૂણાઓ એ છે જેમાં એક બાજુ સામાન્ય હોય છે અને બીજી બે એક જ સીધી રેખા પર હોય છે.

જો રેખા CD, બિંદુ C ની આસપાસ ફેરવીને, CE પોઝિશન લે છે, તો કોણ ACD, ઘટતું, કોણ ACE માં ફેરવાશે, અને કોણ BCD, વધતું, કોણ BCE માં ફેરવાશે. લાઇન સીડી, સતત ફરતી રહે છે, એવી સ્થિતિ લઈ શકે છે કે બે અડીને આવેલા ખૂણા સમાન બની જાય છે. જ્યારે બે અડીને આવેલા ખૂણા ACD અને DCB સમાન હોય છે (ફિગ. 18), ત્યારે તેમને કહેવામાં આવે છે જમણો ખૂણો.

આ કિસ્સામાં, રેખા CD ને રેખા AB ને કાટખૂણે કહેવામાં આવે છે અથવા રેખા AB ને ફક્ત કાટખૂણે કહેવામાં આવે છે.

ડ્રોઈંગ 19 માં, એક જમણો ખૂણો તેની બાજુમાં બીજા વગર દોરવામાં આવે છે.

જમણો ખૂણો એ સમાન સંલગ્ન ખૂણાઓમાંથી એક છે.

લંબ એ એક સીધી રેખા છે જે બીજી રેખા સાથે જમણો ખૂણો બનાવે છે.

18 ડ્રોઇંગમાં, ACD અને DCB ખૂણા, જ્યારે અડીને અને સમાન રહે છે, તેને કાટકોણ કહેવામાં આવે છે. રેખા DC એ રેખા AB ને લંબરૂપ હશે. બે લીટીઓનો આ પરસ્પર સંબંધ ક્યારેક લેખિતમાં વ્યક્ત થાય છે: CD ⊥ AB.

રેખા AB પણ રેખા CD માટે લંબરૂપ હશે, તો પછી રેખા AB અને CD પરસ્પર લંબ હશે, એટલે કે જો CD ⊥ AB હોય, તો AB ⊥ CD.

લંબરૂપ એકમાત્ર. બે લંબ રેખાઓના પરસ્પર મળવાના બિંદુને લંબનો પગ કહેવામાં આવે છે.

પોઈન્ટ સી (ફિગ. 18) કાટખૂણે સીડીની નીચે છે.

AB રેખા પરના દરેક બિંદુ પર તમે રેખા AB પર લંબ દોરી શકો છો.

રેખા પર પડેલા બિંદુ પરથી રેખા (AB) ને કાટખૂણે દોરવાનો અર્થ થાય છે કે કાટખૂણે બાંધવું. રેખાની બહાર પડેલા બિંદુ (D) થી રેખા (AB) પર કાટખૂણે (DC) દોરવાનો અર્થ થાય છે કે કાટખૂણે નીચું કરવું(આકૃતિ 18).

ઢાળવાળી રેખા . કોઈપણ રેખા બીજી તરફ લંબ ન હોય તેને તેની તરફ વળેલી રેખા કહેવામાં આવે છે.

રેખાંકન 20 માં, રેખા CE એ રેખા AB તરફ વળેલું હશે, અને રેખા CD રેખા AB પર લંબરૂપ હશે.

કોણ ECB જમણા કરતા ઓછું છે, અને કોણ ACE જમણા કરતા વધારે છે. કોણ ECB ને તીવ્ર કહેવાય છે અને કોણ ACE ને સ્થૂળ કહેવાય છે.

તીક્ષ્ણ ખૂણો દરેક ખૂણો કાટકોણ કરતા ઓછો છે, એ અસ્પષ્ટ કોણ કાટખૂણા કરતાં મોટો ખૂણો છે.

સમાન અને વિપરીત ખૂણા. બે તીક્ષ્ણ અથવા બે સ્થૂળ ખૂણાને સમાન કહેવામાં આવે છે, અને બે ખૂણા, એક તીવ્ર અને બીજા સ્થૂળ, વિરોધી કહેવામાં આવે છે.

વલણવાળી રેખા CE (ફિગ. 20) સીધી રેખા AB સાથે બે સંલગ્ન ખૂણાઓ બનાવે છે, જેમાંથી એક ઓછો છે અને બીજો કાટખૂણો કરતાં મોટો છે, એટલે કે, એક તીવ્ર છે અને બીજો સ્થૂળ છે.

પ્રમેય 3. એક સીધી રેખા પર લેવામાં આવેલા બિંદુ પરથી, તેના પર માત્ર એક લંબ બાંધી શકાય છે.

દાનાસીધી રેખા AB અને તેના પર બિંદુ C (ફિગ. 20).

સાબિત કરવું જરૂરી છે, કે માત્ર એક કાટખૂણે તેને પુનઃસ્થાપિત કરી શકાય છે.

પુરાવો. ચાલો ધારીએ કે બિંદુ C થી રેખા AB સુધી બે લંબ (ફિગ. 20) CD અને CE બાંધવા શક્ય છે. કાટખૂણેની મિલકત અનુસાર

ug DCB = ang. ACD(a)
ug BCE = ang. ACE.

જો આપણે છેલ્લી અસમાનતાના પહેલા ભાગમાં કોણ ECD લાગુ કરીએ, તો આપણે અસમાનતા મેળવીએ છીએ

ug BCE + આંગ. ECD > આંગ. ACE, અથવા ug. BCD > આંગ. ACE.

આ અસમાનતામાં ug ને બદલવું. BCD બાય કોણ ACD (a) તેના બરાબર છે, આપણને મળે છે

ug DCA > આંગ. ACE,

અસમાનતા દેખીતી રીતે વાહિયાત છે, કારણ કે એક ભાગ તેના સંપૂર્ણ કરતા મોટો હોઈ શકતો નથી, તેથી બે લંબ બાંધી શકાય તેવી ધારણા વાહિયાતતા તરફ દોરી જાય છે, તેથી તે ખોટું છે. ધારણાની ખોટીતા એ વિચારણા પર આધારિત છે કે સાચી સ્થિતિમાંથી ખોટો નિષ્કર્ષ કાઢી શકાતો નથી, તેથી, અમારું પ્રમેય સાચું છે.

કોઈપણ અન્ય ધારણાની અશક્યતા અને વાહિયાતતા દર્શાવીને આપેલ પ્રમેયની માન્યતાને સાબિત કરવાની પદ્ધતિને વિરોધાભાસ દ્વારા સાબિતીની પદ્ધતિ અથવા વાહિયાતતામાં ઘટાડો કરવાની પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે.

પ્રમેય 4. બધા કાટકોણ સમાન છે.

ધારો કે આપણી પાસે કાટખૂણોની બે જોડી છે: એક જોડી એસીડી અને ડીસીબી ખૂણાઓથી બનેલી છે, અને બીજી જોડી EGH અને HGF ખૂણાઓથી બનેલી છે, તેથી, CD ⊥ AB અને HG ⊥ EF (ફિગ. 21).

તમારે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે જમણો ખૂણો સમાન છે.

પુરાવો. ચાલો બિંદુ C પર બિંદુ G સાથે રેખા AB પર રેખા EF ને સુપરઇમ્પોઝ કરીએ, પછી રેખા GH રેખા CD સાથે જશે, કારણ કે બિંદુ C થી માત્ર એક લંબ બાંધી શકાય છે, તેથી, જમણો ખૂણો DCB = જમણો ખૂણો HGF.

નિષ્કર્ષ. જમણો ખૂણો એ સ્થિર મૂલ્ય છે.

ખૂણાઓનું માપ. ખૂણાને માપતી વખતે, એક જમણો ખૂણો, સ્થિર મૂલ્ય તરીકે, સરખામણીના એકમ તરીકે લેવામાં આવે છે. તેનું મૂલ્ય ડી અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

આ બાબતે
દરેક તીવ્ર કોણ< d,
દરેક અસ્પષ્ટ કોણ > ડી.

બધા ખૂણા કાટખૂણોનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્ત થાય છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ કહે છે: આપેલ કોણ ½ d, 2/3 d, વગેરે છે.

પ્રમેય 5. બે અડીને આવેલા ખૂણાઓનો સરવાળો બે કાટખૂણો બરાબર છે.

અડીને આવેલા ખૂણા ACD અને DCB આપવામાં આવ્યા છે (ફિગ. 22).

આપણે એ સાબિત કરવાની જરૂર છે કે ACD + DCB = 2d.

પુરાવો. બિંદુ C થી આપણે CE માટે લંબ બાંધીએ છીએ, પછી

ACD = ACE + ECD = d + ECD
DCB = ECB - ECD = d - ECD

આ સમાનતાઓ ઉમેરીને, અમારી પાસે છે:

ACD + DCB = ACE + ECB = 2d (જે સાબિત કરવું જરૂરી છે).

બે સંલગ્ન ખૂણાઓ એકબીજાને બે કાટખૂણો પૂરક બનાવે છે અને તેથી તેને પૂરક ખૂણો કહેવામાં આવે છે.

તે પ્રમેય 5 થી અનુસરે છે પરિણામ. અડીને આવેલા ખૂણાઓની એક જોડી અડીને આવેલા ખૂણાઓની બીજી જોડી સમાન છે.

પ્રમેય 6(પ્રમેય 5 ની વાતચીત). જો બે અડીને આવેલા ખૂણાઓનો સરવાળો બે કાટખૂણો જેટલો હોય, તો બીજી બે બાજુઓ એક જ સીધી રેખા પર હોય છે.

બે સંલગ્ન ખૂણા ACD અને DCB નો સરવાળો બે કાટકોણ (ફિગ. 23) જેટલો થવા દો.

અમારે સાબિત કરવું પડશે કે એસીબી સીધી રેખા છે.

પુરાવો. ચાલો માની લઈએ કે ACB એ તૂટેલી લાઇન છે અને એસી લાઇનનું સાતત્ય એ લાઇન CE છે, તો પછી

સમાન ત્રીજા સમાન બે જથ્થાઓ સમાન છે (સ્વતત્ય 3), તેથી

ACD + DCB = ACD + DCE

સંકોચન દરમિયાન તે ક્યાંથી આવે છે?

નિષ્કર્ષ વાહિયાત છે (ભાગ સંપૂર્ણ સમાન છે, કુહાડી જુઓ. 1), તેથી ACB રેખા સીધી રેખા છે (જે સાબિત કરવાની જરૂર હતી).

પ્રમેય 7. સમાન બિંદુ પર શિરોબિંદુ હોય અને સીધી રેખાની સમાન બાજુએ સ્થિત હોય તેવા ખૂણાઓનો સરવાળો બે કાટખૂણો જેટલો હોય છે.

ACD, DCE, ECF, FCG, GCB, બિંદુ C પર સામાન્ય શિરોબિંદુ ધરાવતા અને સીધી રેખા AB (ફિગ. 24) ની એક બાજુએ આવેલા ખૂણાઓ આપવામાં આવ્યા છે.

તે સાબિત કરવું જરૂરી છે

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d.

પુરાવો. આપણે જાણીએ છીએ કે બે અડીને આવેલા ખૂણા ACF અને FCB નો સરવાળો બે કાટકોણ (બિંદુ 5) જેટલો છે.

ACF = ACD + DCE + ECF અને FCB = FCG + GCB હોવાથી, પછી કોણ ACF અને FCB ને તેમના મૂલ્યો સાથે બદલીને, આપણે શોધીએ છીએ:

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d (જે સાબિત કરવું જરૂરી છે).

પ્રમેય 8. એક બિંદુની આસપાસના તમામ ખૂણાઓનો સરવાળો ચાર કાટકોણ જેટલો છે.

એંગલ્સ AOB, BOC, COD, DOE, EOA આપવામાં આવ્યા છે, જેમાં સામાન્ય શિરોબિંદુ O છે અને બિંદુ O (ફિગ. 25) ની આસપાસ સ્થિત છે.

તે સાબિત કરવું જરૂરી છે

AOB + BOC + COD + DOE + EOA = 4d.

પુરાવો. ચાલો OG દિશામાં EO બાજુ ચાલુ રાખીએ (ફિગ. 25), પછી

સમાન

GOB + BOC + COD + DOE = 2d.

આ સમાનતાઓ ઉમેરીને, અમારી પાસે છે:

EOA + AOG + GOB + BOC + COD + DOE = 4d.

ત્યારથી AOG + GOB = AOB, પછી

EOA + AOB + BOC + COD + DOE = 4d (નથી).

કોણ DCE સાથે કોણ ACB અને કોણ ACE સાથે કોણ BCD વર્ટિકલ કહેવાય છે (ફિગ. 26).

વર્ટિકલ એંગલ. વર્ટિકલ એંગલ એ એવા ખૂણાઓ છે જેમાં એકની બાજુઓ બીજા ખૂણાની બાજુઓની ચાલુ રાખવાથી બનેલી હોય છે.

પ્રમેય 9. વર્ટિકલ એંગલ એકબીજાના સમાન છે.

વર્ટિકલ એંગલ (ડ્રોઈંગ 26) ACB અને DCE, તેમજ BCD અને ACE આપેલ છે.

તમારે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે ACB = DCE અને BCD = ACE.

પુરાવો. પ્રમેય 5 ના આધારે, નીચેની સમાનતાઓ ધરાવે છે:

ACB + BCD = 2d (બે અડીને આવેલા ખૂણાઓના સરવાળા તરીકે)
BCD + DCE = 2d

તેથી,

ACB + BCD = BCD + DCE

જ્યાંથી, બાદબાકી સમાન કોણ BCD, અમે શોધીએ છીએ

તેવી જ રીતે તે સાબિત થાય છે

∠BCD = ∠ACE.

સમકક્ષ (દ્વિભાજક ) ખૂણાને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરતી એક રેખા છે.

ડ્રોઇંગમાં 27 BD પાસે દ્વિભાજક છે જો ∠ABD = ∠DBC.

પ્રમેય 10.

અડીને આવેલા ખૂણા ACB અને BCD આપવામાં આવ્યા છે (આકૃતિ 28). તેમની દ્વિભાજક રેખાઓ CF અને CE અડીને આવેલા ખૂણા BCD અને BCA ને દ્વિભાજિત કરે છે, તેથી BCF = FCD, ACE = ECB.

આપણે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે EC ⊥ CF.

પુરાવો. શરતે

ECB = ½ ACB, BCF = ½ BCD

આ સમાનતાઓ ઉમેરીને, અમારી પાસે છે:

ECB + BCF = ½ ACB + ½ BCD = ½ (ACB + BCD).

ત્યારથી ACB + BCD = 2d, પછી

ECB + BCF = ½ · 2d = d.

ત્યારથી ECB + BCF = ECF, પછી

કોણ ECF સાચો છે, એટલે કે રેખાઓ CE અને CF પરસ્પર લંબરૂપ છે (CPH).

દરેક ખૂણો, તેના કદના આધારે, તેનું પોતાનું નામ છે:

કોણ પ્રકાર	ડિગ્રીમાં કદ	ઉદાહરણ
મસાલેદાર	90° કરતાં ઓછું
સીધું	90° ની બરાબર. ડ્રોઇંગમાં, જમણો ખૂણો સામાન્ય રીતે ખૂણાની એક બાજુથી બીજી તરફ દોરેલા પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.
મંદબુદ્ધિ	90° થી વધુ પરંતુ 180° થી ઓછું
વિસ્તૃત	180° ની બરાબર સીધો ખૂણો બે કાટખૂણોના સરવાળા જેટલો હોય છે અને જમણો ખૂણો સીધા ખૂણાનો અડધો હોય છે.
બહિર્મુખ	180° થી વધુ પરંતુ 360° થી ઓછું
સંપૂર્ણ	360° ની બરાબર

બે ખૂણા કહેવામાં આવે છે અડીને, જો તેમની એક બાજુ સમાન હોય, અને અન્ય બે બાજુઓ સીધી રેખા બનાવે છે:

ખૂણો એમઓપીઅને PONઅડીને, બીમ થી ઓ.પી- સામાન્ય બાજુ, અને અન્ય બે બાજુઓ - ઓમઅને ચાલુએક સીધી રેખા બનાવો.

અડીને આવેલા ખૂણાઓની સામાન્ય બાજુ કહેવામાં આવે છે સીધા થી ત્રાંસુ, જેના પર અન્ય બે બાજુઓ આવેલા છે, માત્ર એવા કિસ્સામાં જ્યારે અડીને આવેલા ખૂણાઓ એકબીજા સાથે સમાન ન હોય. જો અડીને આવેલા ખૂણા સમાન હોય, તો તેમની સામાન્ય બાજુ હશે લંબ.

અડીને આવેલા ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે.

બે ખૂણા કહેવામાં આવે છે ઊભી, જો એક ખૂણાની બાજુઓ બીજા ખૂણાની બાજુઓને સીધી રેખાઓ સાથે પૂરક બનાવે છે:

ખૂણા 1 અને 3, તેમજ ખૂણા 2 અને 4, વર્ટિકલ છે.

વર્ટિકલ કોણ સમાન છે.

ચાલો સાબિત કરીએ કે ઊભી ખૂણા સમાન છે:

∠1 અને ∠2 નો સરવાળો એક સીધો કોણ છે. અને ∠3 અને ∠2 નો સરવાળો એક સીધો કોણ છે. તેથી આ બે રકમ સમાન છે:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

આ સમાનતામાં, ડાબી અને જમણી બાજુએ એક સમાન શબ્દ છે - ∠2. જો ડાબી અને જમણી બાજુએ આ શબ્દ અવગણવામાં આવે તો સમાનતાનું ઉલ્લંઘન કરવામાં આવશે નહીં. પછી અમે તે મેળવીએ છીએ.