લેગ્રેન્જિયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉચ્ચ ઓર્ડરના રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણોનો ઉકેલ. ODE

ચાલો હવે રેખીય અસંગત સમીકરણને ધ્યાનમાં લઈએ
. (2)
ચાલો y 1 ,y 2 ,.., y n એ ઉકેલોની મૂળભૂત પ્રણાલી બનીએ અને અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ L(y)=0 નો સામાન્ય ઉકેલ બનીએ. પ્રથમ ક્રમના સમીકરણોના કિસ્સામાં સમાન, અમે ફોર્મમાં સમીકરણ (2) નો ઉકેલ શોધીશું.
. (3)
ચાલો ખાતરી કરીએ કે આ ફોર્મમાં ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે. આ કરવા માટે, અમે ફંક્શનને સમીકરણમાં બદલીએ છીએ. આ કાર્યને સમીકરણમાં બદલવા માટે, આપણે તેના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ છીએ. પ્રથમ વ્યુત્પન્ન સમાન છે
. (4)
બીજા વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરતી વખતે, (4) ની જમણી બાજુએ ચાર પદો દેખાશે, જ્યારે ત્રીજા વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરો ત્યારે, આઠ પદો દેખાશે, વગેરે. તેથી, વધુ ગણતરીઓની સુવિધા માટે, (4) માં પ્રથમ પદ શૂન્યની બરાબર સેટ કરેલ છે. આને ધ્યાનમાં લેતા, બીજું ડેરિવેટિવ બરાબર છે
. (5)
પહેલા જેવા જ કારણોસર, (5) માં પણ આપણે પ્રથમ ટર્મ શૂન્યની બરાબર સેટ કરીએ છીએ. છેલ્લે, nમું વ્યુત્પન્ન છે
. (6)
વ્યુત્પન્નના પ્રાપ્ત મૂલ્યોને મૂળ સમીકરણમાં બદલીને, અમારી પાસે છે
. (7)
(7) માં બીજો શબ્દ શૂન્યની બરાબર છે, કારણ કે વિધેયો y j , j=1,2,..,n, અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ L(y)=0 ના ઉકેલો છે. અગાઉના એક સાથે જોડીને, આપણે C" j (x) ફંક્શન શોધવા માટે બીજગણિતીય સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ.
(8)
આ સિસ્ટમનો નિર્ણાયક એ અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ L(y)=0 ના ઉકેલો y 1 ,y 2 ,..,y n ની મૂળભૂત સિસ્ટમનો Wronski નિર્ણાયક છે અને તેથી તે શૂન્યની બરાબર નથી. પરિણામે, સિસ્ટમ માટે એક અનન્ય ઉકેલ છે (8). તે મળ્યા પછી, અમે આ મૂલ્યોને બદલીને C" j (x), j=1,2,…,n, અને પરિણામે, C j (x), j=1,2, …,n વિધેયો મેળવીએ છીએ. (3), અમે રેખીય અસંગત સમીકરણનો ઉકેલ મેળવીએ છીએ.
પ્રસ્તુત પદ્ધતિને મનસ્વી સ્થિરાંકની વિવિધતાની પદ્ધતિ અથવા લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ નંબર 1. ચાલો સમીકરણ y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x નો સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ. અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ y"" + 4y" + 3y = 0 ને ધ્યાનમાં લો. તેના લાક્ષણિક સમીકરણ r 2 + 4r + 3 ના મૂળ = 0 બરાબર -1 અને - 3. તેથી, સજાતીય સમીકરણના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમમાં કાર્યો y 1 = e - x અને y 2 = e -3 x હોય છે. અમે y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x સ્વરૂપમાં અસંગત સમીકરણનો ઉકેલ શોધીએ છીએ. ડેરિવેટિવ્ઝ C" 1 , C" 2 શોધવા માટે આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ છીએ (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
જેનું નિરાકરણ, આપણે શોધીએ છીએ, મેળવેલા કાર્યોને એકીકૃત કરીને, આપણી પાસે છે
આખરે આપણને મળે છે

ઉદાહરણ નંબર 2. રેખીય ઉકેલો વિભેદક સમીકરણોવિવિધ મનસ્વી સ્થિરાંકોની પદ્ધતિ દ્વારા સતત ગુણાંક સાથેનો બીજો ક્રમ:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

ઉકેલ:
આ વિભેદક સમીકરણ સતત ગુણાંક સાથે રેખીય વિભેદક સમીકરણોનો સંદર્ભ આપે છે.
આપણે y = e rx સ્વરૂપમાં સમીકરણનો ઉકેલ શોધીશું. આ કરવા માટે, અમે સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણનું લાક્ષણિક સમીકરણ કંપોઝ કરીએ છીએ:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ: r 1 = 4, r 2 = 2
પરિણામે, ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમમાં કાર્યોનો સમાવેશ થાય છે: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
સજાતીય સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
મનસ્વી સ્થિરાંકને બદલવાની પદ્ધતિ દ્વારા ચોક્કસ ઉકેલ માટે શોધો.
C" i ના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવા માટે અમે સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ છીએ:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
ચાલો પ્રથમ સમીકરણમાંથી C" 1 વ્યક્ત કરીએ:
C" 1 = -c 2 e -2x
અને તેને બીજામાં બદલો. પરિણામે આપણને મળે છે:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
અમે મેળવેલ કાર્યો C" i ને એકીકૃત કરીએ છીએ:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x હોવાથી, આપણે ફોર્મમાં પરિણામી સમીકરણો લખીએ છીએ:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
આમ, વિભેદક સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
અથવા
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

ચાલો શરત હેઠળ ચોક્કસ ઉકેલ શોધીએ:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

મળેલા સમીકરણમાં x = 0 ને બદલીને, આપણને મળે છે:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
અમે મેળવેલ સામાન્ય ઉકેલનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
x = 0 ને બદલીને, આપણને મળે છે:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

અમને બે સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
અથવા
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
અથવા
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
પ્રતિ: C 1 = 0, C * 2 = 2
ખાનગી ઉકેલ આ રીતે લખવામાં આવશે:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

લેગ્રેન્જ સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિ દ્વારા અચલ ગુણાંક સાથે ઉચ્ચ ક્રમના રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિ ગણવામાં આવે છે. જો સજાતીય સમીકરણોના ઉકેલોની મૂળભૂત પદ્ધતિ જાણીતી હોય તો લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ કોઈપણ રેખીય અસંગત સમીકરણોને ઉકેલવા માટે પણ લાગુ પડે છે.

સામગ્રી

આ પણ જુઓ:

લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ (અચલોની વિવિધતા)

મનસ્વી nth ક્રમના સતત ગુણાંક સાથે રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:
(1) .
સ્થિરાંકના ભિન્નતાની પદ્ધતિ, જેને આપણે પ્રથમ-ક્રમના સમીકરણ માટે ધ્યાનમાં લીધી છે, તે ઉચ્ચ-ક્રમના સમીકરણો માટે પણ લાગુ પડે છે.

ઉકેલ બે તબક્કામાં હાથ ધરવામાં આવે છે. પ્રથમ પગલામાં, આપણે જમણી બાજુ છોડી દઈએ છીએ અને સજાતીય સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ. પરિણામે, અમે n મનસ્વી સ્થિરાંકો ધરાવતો ઉકેલ મેળવીએ છીએ. બીજા તબક્કે આપણે સ્થિરાંકો બદલીએ છીએ. એટલે કે, અમે માનીએ છીએ કે આ સ્થિરાંકો સ્વતંત્ર ચલ x ના વિધેયો છે અને આ કાર્યોનું સ્વરૂપ શોધીએ છીએ.

જો કે આપણે અહીં સતત ગુણાંક સાથેના સમીકરણોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, પરંતુ લેગ્રેન્જની પદ્ધતિ કોઈપણ રેખીય અસંગત સમીકરણોને ઉકેલવા માટે પણ લાગુ પડે છે. આ કરવા માટે, જો કે, સજાતીય સમીકરણના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ જાણીતી હોવી જોઈએ.

પગલું 1. સજાતીય સમીકરણ ઉકેલવું

ફર્સ્ટ-ઓર્ડર સમીકરણોના કિસ્સામાં, આપણે સૌપ્રથમ સજાતીય સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલને શોધીએ છીએ, જમણી બાજુની અસંગત બાજુને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
(2) .
આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ છે:
(3) .
અહીં મનસ્વી સ્થિરાંકો છે; - n સજાતીય સમીકરણ (2) ના રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલો, જે આ સમીકરણના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવે છે.

પગલું 2. સ્થિરાંકોની ભિન્નતા - સ્થિરાંકોને ફંક્શન્સ સાથે બદલવી

બીજા તબક્કામાં આપણે સ્થિરાંકોની વિવિધતા સાથે વ્યવહાર કરીશું. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમે સ્થિરાંકોને સ્વતંત્ર ચલ x ના કાર્યો સાથે બદલીશું:
.
એટલે કે, અમે નીચેના સ્વરૂપમાં મૂળ સમીકરણ (1) નો ઉકેલ શોધી રહ્યા છીએ:
(4) .

જો આપણે (4) ને (1) માં બદલીએ, તો આપણને n કાર્યો માટે એક વિભેદક સમીકરણ મળે છે. આ કિસ્સામાં, આપણે આ કાર્યોને વધારાના સમીકરણો સાથે જોડી શકીએ છીએ. પછી તમને n સમીકરણો મળે છે જેમાંથી n કાર્યો નક્કી કરી શકાય છે. વધારાના સમીકરણો લખી શકાય છે અલગ રસ્તાઓ. પરંતુ અમે આ કરીશું જેથી ઉકેલનું સૌથી સરળ સ્વરૂપ હોય. આ કરવા માટે, જ્યારે ભિન્નતા કરો, ત્યારે તમારે વિધેયોના ડેરિવેટિવ્સ ધરાવતી શરતોને શૂન્યની સમાન કરવાની જરૂર છે. ચાલો આનું નિદર્શન કરીએ.

પ્રસ્તાવિત ઉકેલ (4) ને મૂળ સમીકરણ (1) માં બદલવા માટે, આપણે ફોર્મ (4) માં લખેલા ફંક્શનના પ્રથમ n ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાની જરૂર છે. અમે સરવાળો અને ઉત્પાદનના તફાવતના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને (4) તફાવત કરીએ છીએ:
.
ચાલો સભ્યોનું જૂથ કરીએ. પ્રથમ, અમે નાં ડેરિવેટિવ્ઝ સાથેની શરતો લખીએ છીએ, અને પછી નાં ડેરિવેટિવ્ઝ સાથેની શરતો લખીએ છીએ:

.
ચાલો ફંક્શન્સ પર પ્રથમ શરત લાદીએ:
(5.1) .
પછી પ્રથમ વ્યુત્પન્ન માટેના સંદર્ભમાં અભિવ્યક્તિનું એક સરળ સ્વરૂપ હશે:
(6.1) .

સમાન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બીજું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

.
ચાલો કાર્યો પર બીજી શરત લાદીએ:
(5.2) .
પછી
(6.2) .
અને તેથી વધુ. વધારાની પરિસ્થિતિઓમાં, અમે ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવતી શરતોને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ.

આમ, જો આપણે કાર્યો માટે નીચેના વધારાના સમીકરણો પસંદ કરીએ:
(5.k) ,
પછી સંદર્ભમાં પ્રથમ ડેરિવેટિવ્ઝનું સૌથી સરળ સ્વરૂપ હશે:
(6.k) .
અહીં .

nમું વ્યુત્પન્ન શોધો:
(6.n)
.

મૂળ સમીકરણ (1) માં અવેજી કરો:
(1) ;

.
ચાલો ધ્યાનમાં લઈએ કે તમામ કાર્યો સમીકરણને સંતોષે છે (2):
.
પછી શૂન્ય ધરાવતા શબ્દોનો સરવાળો શૂન્ય આપે છે. પરિણામે આપણને મળે છે:
(7) .

પરિણામે, અમને ડેરિવેટિવ્ઝ માટે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થઈ છે:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

આ સિસ્ટમને ઉકેલતા, આપણે x ના કાર્ય તરીકે ડેરિવેટિવ્ઝ માટે સમીકરણો શોધીએ છીએ. સંકલન, અમને મળે છે:
.
અહીં એવા સ્થિરાંકો છે જે હવે x પર નિર્ભર નથી. (4) માં અવેજીમાં, અમે મૂળ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવીએ છીએ.

નોંધ કરો કે ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યો નક્કી કરવા માટે, અમે ક્યારેય એ હકીકતનો ઉપયોગ કર્યો નથી કે ગુણાંક a i સતત છે. એ કારણે લેગ્રેન્જની પદ્ધતિ કોઈપણ રેખીય અસંગત સમીકરણોને ઉકેલવા માટે લાગુ પડે છે, જો સજાતીય સમીકરણ (2) ના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ જાણીતી હોય.

ઉદાહરણો

સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલો (લેગ્રેન્જ).

ઉદાહરણોનો ઉકેલ >>>

આ પણ જુઓ: અચળ (લેગ્રેન્જ) ની ભિન્નતાની પદ્ધતિ દ્વારા પ્રથમ ક્રમના સમીકરણો ઉકેલવા
બર્નૌલી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉચ્ચ ક્રમના સમીકરણો ઉકેલવા
રેખીય અવેજીકરણ દ્વારા સતત ગુણાંક સાથે ઉચ્ચ ઓર્ડરના રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા

લેક્ચર 44. બીજા ક્રમના રેખીય અસંગત સમીકરણો. મનસ્વી સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિ. સતત ગુણાંક સાથે બીજા ક્રમના રેખીય અસંગત સમીકરણો. (ખાસ જમણી બાજુ).

સામાજિક પરિવર્તનો. રાજ્ય અને ચર્ચ.

બોલ્શેવિકોની સામાજિક નીતિ મોટાભાગે તેમના વર્ગ અભિગમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવી હતી. 10 નવેમ્બર, 1917 ના હુકમનામું દ્વારા, વર્ગ પ્રણાલીનો નાશ કરવામાં આવ્યો, પૂર્વ-ક્રાંતિકારી રેન્ક, શીર્ષકો અને પુરસ્કારો નાબૂદ કરવામાં આવ્યા. ન્યાયાધીશોની ચૂંટણીની સ્થાપના કરવામાં આવી છે; નાગરિક રાજ્યોનું બિનસાંપ્રદાયિકકરણ હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું. મફત શિક્ષણ અને તબીબી સંભાળની સ્થાપના કરવામાં આવી હતી (31 ઓક્ટોબર, 1918 ના હુકમનામું). મહિલાઓને પુરૂષો સાથે સમાન અધિકાર આપવામાં આવ્યા હતા (16 અને 18 ડિસેમ્બર, 1917 ના હુકમનામા). લગ્ન પરના હુકમનામાએ નાગરિક લગ્નની સંસ્થાની રજૂઆત કરી.

20 જાન્યુઆરી, 1918 ના પીપલ્સ કમિશનરની કાઉન્સિલના હુકમનામું દ્વારા, ચર્ચને રાજ્ય અને શિક્ષણ પ્રણાલીથી અલગ કરવામાં આવ્યું હતું. ચર્ચની મોટાભાગની સંપત્તિ જપ્ત કરવામાં આવી હતી. 19 જાન્યુઆરી, 1918ના રોજ મોસ્કો અને ઓલ રુસ ટીખોન (5 નવેમ્બર, 1917ના રોજ ચૂંટાયેલા)ના વડાએ સોવિયેત સત્તાને અનાથેમેટાઇઝ કરી અને બોલ્શેવિક્સ સામે લડત આપવાનું આહ્વાન કર્યું.

રેખીય અસંગત બીજા ક્રમના સમીકરણને ધ્યાનમાં લો

આવા સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલની રચના નીચેના પ્રમેય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

પ્રમેય 1.અસંગત સમીકરણ (1) ના સામાન્ય ઉકેલને આ સમીકરણના અમુક ચોક્કસ ઉકેલના સરવાળા અને અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે.

પુરાવો. તે રકમ સાબિત કરવી જરૂરી છે

સમીકરણ (1) નો સામાન્ય ઉકેલ છે. ચાલો પહેલા સાબિત કરીએ કે ફંક્શન (3) એ સમીકરણ (1) નો ઉકેલ છે.

સરવાળાને બદલે સમીકરણ (1) માં બદલો ખાતે, હશે

સમીકરણ (2) નો ઉકેલ હોવાથી, પ્રથમ કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ શૂન્ય સમાન છે. સમીકરણ (1) નો ઉકેલ હોવાથી, બીજા કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ બરાબર છે f(x). તેથી, સમાનતા (4) એક ઓળખ છે. આમ, પ્રમેયનો પ્રથમ ભાગ સાબિત થાય છે.

ચાલો બીજા વિધાનને સાબિત કરીએ: અભિવ્યક્તિ (3) છે સામાન્યસમીકરણનો ઉકેલ (1). આપણે સાબિત કરવું જોઈએ કે આ અભિવ્યક્તિમાં સમાવિષ્ટ મનસ્વી સ્થિરાંકો પસંદ કરી શકાય છે જેથી પ્રારંભિક શરતો સંતુષ્ટ થાય:

નંબરો ગમે તે હોય x 0 , y 0અને (જો માત્ર x 0જ્યાં કામગીરી કરવામાં આવી હતી તે વિસ્તારમાંથી લેવામાં આવી હતી a 1, a 2અને f(x)સતત).

નોંધ્યું છે કે તે ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે. પછી, શરતો (5) ના આધારે, અમારી પાસે હશે

ચાલો આ સિસ્ટમ ઉકેલીએ અને નક્કી કરીએ સી 1અને સી 2. ચાલો સિસ્ટમને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ:

નોંધ કરો કે આ સિસ્ટમનો નિર્ણાયક ફંક્શન્સ માટે Wronski નિર્ધારક છે 1 પરઅને 2 પરબિંદુ પર x=x 0. આ વિધેયો શરત દ્વારા રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોવાથી, Wronski નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર નથી; તેથી સિસ્ટમ (6) પાસે ચોક્કસ ઉકેલ છે સી 1અને સી 2, એટલે કે આવા અર્થો છે સી 1અને સી 2, જે સૂત્ર હેઠળ (3) સમીકરણનો ઉકેલ નક્કી કરે છે (1) આપેલ પ્રારંભિક શરતોને સંતોષતા. Q.E.D.

ચાલો આગળ વધીએ સામાન્ય પદ્ધતિઅસંગત સમીકરણ માટે આંશિક ઉકેલો શોધવી.

ચાલો સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ લખીએ (2)

અમે અસંગત સમીકરણ (1) ના ફોર્મ (7) માં ચોક્કસ ઉકેલ શોધીશું, ધ્યાનમાં લઈશું. સી 1અને સી 2જેમ કે કેટલાક હજુ સુધી અજાણ્યા કાર્યો એક્સ.

ચાલો સમાનતાને અલગ પાડીએ (7):

ચાલો તમે શોધી રહ્યા છો તે કાર્યો પસંદ કરીએ સી 1અને સી 2જેથી સમાનતા જળવાઈ રહે

જો આપણે આ વધારાની સ્થિતિને ધ્યાનમાં લઈએ, તો પ્રથમ ડેરિવેટિવ ફોર્મ લેશે

હવે આ અભિવ્યક્તિને અલગ કરીને, અમે શોધીએ છીએ:

સમીકરણ (1) માં અવેજીમાં, આપણને મળે છે

પ્રથમ બે કૌંસમાં સમીકરણો શૂન્ય બની જાય છે, ત્યારથી y 1અને y 2- સજાતીય સમીકરણના ઉકેલો. તેથી, છેલ્લી સમાનતા સ્વરૂપ લે છે

આમ, ફંક્શન (7) એ અસંગત સમીકરણ (1) નો ઉકેલ હશે જો કાર્યો સી 1અને સી 2સમીકરણોને સંતોષો (8) અને (9). ચાલો સમીકરણો (8) અને (9) માંથી સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ.

કારણ કે આ સિસ્ટમનો નિર્ણાયક રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલો માટે Wronski નિર્ણાયક છે y 1અને y 2સમીકરણ (2), તો તે શૂન્ય બરાબર નથી. તેથી, સિસ્ટમને હલ કરીને, અમે બંનેના ચોક્કસ કાર્યો શોધીશું એક્સ:

આ સિસ્ટમને ઉકેલવાથી, આપણે શોધીએ છીએ, જ્યાંથી, એકીકરણના પરિણામે, આપણે મેળવીએ છીએ. આગળ, અમે સૂત્રમાં મળેલા કાર્યોને બદલીએ છીએ, અમે અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવીએ છીએ, જ્યાં મનસ્વી સ્થિરાંકો હોય છે.

આર્બિટરી કોન્સ્ટન્ટના ભિન્નતાની પદ્ધતિ, અથવા લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ, પ્રથમ ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણો અને બર્નૌલી સમીકરણને ઉકેલવાની બીજી રીત છે.

પ્રથમ ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણો y’+p(x)y=q(x) સ્વરૂપના સમીકરણો છે. જો જમણી બાજુએ શૂન્ય છે: y’+p(x)y=0, તો આ એક રેખીય છે સમાન 1 લી ઓર્ડર સમીકરણ. તદનુસાર, બિનશૂન્ય સાથેનું સમીકરણ જમણી બાજુ, y’+p(x)y=q(x), — વિજાતીય 1 લી ક્રમ રેખીય સમીકરણ.

મનસ્વી સ્થિરાંકના વિવિધતાની પદ્ધતિ (લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ) નીચે મુજબ છે:

1) અમે સજાતીય સમીકરણ y’+p(x)y=0: y=y* માટે સામાન્ય ઉકેલ શોધી રહ્યા છીએ.

2) સામાન્ય સોલ્યુશનમાં, આપણે C ને સ્થિર નથી, પરંતુ x નું કાર્ય ગણીએ છીએ: C = C (x). અમે સામાન્ય ઉકેલ (y*)’નું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ અને y* અને (y*)’ માટે પરિણામી અભિવ્યક્તિને પ્રારંભિક સ્થિતિમાં બદલીએ છીએ. પરિણામી સમીકરણમાંથી આપણે ફંક્શન C(x) શોધીએ છીએ.

3) સજાતીય સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલમાં, C ને બદલે, અમે મળેલ અભિવ્યક્તિ C(x) ને બદલીએ છીએ.

ચાલો મનસ્વી સ્થિરાંકને બદલવાની પદ્ધતિના ઉદાહરણો જોઈએ. ચાલો એ જ કાર્યો લઈએ જેમ કે, ઉકેલની પ્રગતિની તુલના કરીએ અને ખાતરી કરીએ કે પ્રાપ્ત જવાબો એકરૂપ છે.

1) y’=3x-y/x

ચાલો સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ (બર્નૌલીની પદ્ધતિથી વિપરીત, જ્યાં આપણને સમીકરણ રેખીય છે તે જોવા માટે માત્ર સંકેત ફોર્મની જરૂર હતી).

y’+y/x=3x (I). હવે અમે યોજના મુજબ આગળ વધીએ છીએ.

1) સજાતીય સમીકરણ y’+y/x=0 ઉકેલો. આ વિભાજિત ચલો સાથેનું સમીકરણ છે. કલ્પના કરો y’=dy/dx, અવેજી: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને dx વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને xy≠0 વડે ભાગીએ છીએ: dy/y=-dx/x. ચાલો એકીકૃત કરીએ:

2) સજાતીય સમીકરણના પરિણામી સામાન્ય ઉકેલમાં, આપણે C ને સ્થિર નહીં, પણ x નું કાર્ય ગણીશું: C=C(x). અહીંથી

અમે પરિણામી સમીકરણોને શરત (I) માં બદલીએ છીએ:

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરીએ:

અહીં સી પહેલેથી જ કેટલાક નવા સ્થિર છે.

3) સજાતીય સમીકરણ y=C/x ના સામાન્ય ઉકેલમાં, જ્યાં આપણે C=C(x), એટલે કે, y=C(x)/x ધારીએ છીએ, C(x) ને બદલે આપણે મળેલ અભિવ્યક્તિ x³ ને બદલીએ છીએ. +C: y=(x³ +C)/x અથવા y=x²+C/x. બર્નૌલીની પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલતી વખતે અમને તે જ જવાબ મળ્યો.

જવાબ: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

અહીં સમીકરણ પહેલાથી જ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લખાયેલું છે; તેને બદલવાની જરૂર નથી.

1) સજાતીય રેખીય સમીકરણ y’+y=0 ઉકેલો: dy/dx=-y; dy/y=-dx. ચાલો એકીકૃત કરીએ:

નોટેશનનું વધુ અનુકૂળ સ્વરૂપ મેળવવા માટે, અમે ઘાતાંકને C ની શક્તિમાં નવા C તરીકે લઈએ છીએ:

વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે તેને વધુ અનુકૂળ બનાવવા માટે આ પરિવર્તન કરવામાં આવ્યું હતું.

2) રેખીય સજાતીય સમીકરણના પરિણામી સામાન્ય સોલ્યુશનમાં, આપણે C ને સ્થિર નથી, પરંતુ x નું કાર્ય ગણીએ છીએ: C=C(x). આ શરત હેઠળ

અમે પરિણામી સમીકરણો y અને y’ ને શરતમાં બદલીએ છીએ:

દ્વારા સમીકરણની બંને બાજુનો ગુણાકાર કરો

અમે ભાગો સૂત્ર દ્વારા એકીકરણનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરીએ છીએ, અમને મળે છે:

અહીં C એ હવે ફંક્શન નથી, પરંતુ એક સામાન્ય સ્થિરાંક છે.

3) સજાતીય સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલમાં

મળેલ ફંક્શન C(x) ને બદલો:

બર્નૌલીની પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલતી વખતે અમને તે જ જવાબ મળ્યો.

આર્બિટરી કોન્સ્ટન્ટના ભિન્નતાની પદ્ધતિ ઉકેલવા માટે પણ લાગુ પડે છે.

y'x+y=-xy².

અમે સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવીએ છીએ: y’+y/x=-y² (II).

1) સજાતીય સમીકરણ y’+y/x=0 ઉકેલો. dy/dx=-y/x. આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને dx વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને y વડે ભાગીએ છીએ: dy/y=-dx/x. હવે ચાલો એકીકૃત કરીએ:

અમે પરિણામી અભિવ્યક્તિઓને શરત (II) માં બદલીએ છીએ:

ચાલો સરળ કરીએ:

અમે C અને x માટે અલગ કરી શકાય તેવા ચલો સાથેનું સમીકરણ મેળવ્યું:

અહીં C પહેલેથી જ એક સામાન્ય સ્થિરાંક છે. સંકલન પ્રક્રિયા દરમિયાન, અમે C(x) ને બદલે ખાલી C લખ્યું, જેથી નોટેશન ઓવરલોડ ન થાય. અને અંતે અમે C(x) પર પાછા ફર્યા, જેથી C(x) ને નવા C સાથે ગૂંચવવામાં ન આવે.

3) સજાતીય સમીકરણ y=C(x)/x ના સામાન્ય ઉકેલમાં આપણે મળેલા ફંક્શન C(x) ને બદલીએ છીએ: