ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યને કેવી રીતે શોધવું. વિજ્ઞાન અને શિક્ષણની આધુનિક સમસ્યાઓ

ત્રીજાના કાર્યને ધ્યાનમાં લેવાનું બાકી છે યાંત્રિક બળ- સ્લાઇડિંગ ઘર્ષણ દળો. પાર્થિવ પરિસ્થિતિઓમાં, શરીરની તમામ હિલચાલ દરમિયાન ઘર્ષણનું બળ એક અથવા બીજી ડિગ્રી સુધી પ્રગટ થાય છે.

સ્લાઇડિંગ ઘર્ષણ બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને સ્થિતિસ્થાપકતાના બળથી અલગ પડે છે કારણ કે તે કોઓર્ડિનેટ્સ પર આધારિત નથી અને હંમેશા સંપર્ક કરતી સંસ્થાઓની સંબંધિત ગતિ સાથે ઉદ્ભવે છે.

ચાલો ઘર્ષણ બળના કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે કોઈ શરીર સ્થિર સપાટીની તુલનામાં આગળ વધે છે જેની સાથે તે સંપર્કમાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, ઘર્ષણ બળ શરીરની હિલચાલ સામે નિર્દેશિત થાય છે. તે સ્પષ્ટ છે કે આવા શરીરની હિલચાલની દિશાના સંબંધમાં, ઘર્ષણ બળ 180°ના ખૂણા સિવાયના કોઈપણ ખૂણા પર નિર્દેશિત કરી શકાતું નથી. તેથી, ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય નકારાત્મક છે. ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવી આવશ્યક છે

ઘર્ષણ બળ ક્યાં છે, તે પાથની લંબાઈ છે જેની સાથે ઘર્ષણ બળ કાર્ય કરે છે

જ્યારે કોઈ શરીર પર ગુરુત્વાકર્ષણ અથવા સ્થિતિસ્થાપક બળ દ્વારા કાર્ય કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે બળની દિશામાં અને બળની દિશા વિરુદ્ધ બંને તરફ આગળ વધી શકે છે. પ્રથમ કિસ્સામાં, બળનું કાર્ય હકારાત્મક છે, બીજામાં - નકારાત્મક. જ્યારે શરીર આગળ અને પાછળ ફરે છે, ત્યારે કુલ કાર્ય શૂન્ય છે.

ઘર્ષણ બળના કાર્ય વિશે આ જ કહી શકાય નહીં. ઘર્ષણ બળનું કાર્ય "ત્યાં" ખસતી વખતે અને પાછળ જતી વખતે નકારાત્મક હોય છે. તેથી, શરીર પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછા ફર્યા પછી ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય (જ્યારે બંધ પાથ સાથે આગળ વધી રહ્યું હોય) શૂન્ય બરાબર નથી.

કાર્ય. 1200 ટન વજનવાળી ટ્રેનને સંપૂર્ણ સ્ટોપ પર બ્રેક મારતી વખતે ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યની ગણતરી કરો, જો એન્જિન બંધ કરવામાં આવે ત્યારે ટ્રેનની ઝડપ 72 કિમી પ્રતિ કલાક હતી. ઉકેલ. ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ

અહીં ટ્રેનનું દળ છે, કિલો જેટલું છે, ટ્રેનની અંતિમ ગતિ છે, શૂન્યની બરાબર છે, અને તેની પ્રારંભિક ગતિ છે, જે 72 કિમી/કલાક = 20 એમ/સેકંડ છે. આ મૂલ્યોને બદલીને, અમને મળે છે:

વ્યાયામ 51

1. શરીર પર ઘર્ષણ બળ કાર્ય કરે છે. શું આ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય હોઈ શકે?

2. જો કોઈ શરીર કે જેના પર ઘર્ષણ બળ કાર્ય કરે છે, ચોક્કસ બોલ પસાર કર્યા પછી, પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછા ફરે છે, તો શું ઘર્ષણ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય સમાન હશે?

3. જ્યારે ઘર્ષણ બળ કામ કરે છે ત્યારે શરીરની ગતિ ઊર્જા કેવી રીતે બદલાય છે?

4. 60 કિગ્રા વજનની સ્લેહ, પહાડ પરથી નીચે વળ્યા પછી, રસ્તાના એક આડા ભાગ સાથે 20 મીટર સુધી હંકારી. બરફ 0.02 છે.

5. જે ભાગને તીક્ષ્ણ બનાવવાનો છે તેને 20 સે.મી.ની ત્રિજ્યા સાથે 20 N ના બળ સાથે ધારદાર પથ્થરની સામે દબાવવામાં આવે છે. જો ગ્રાઇન્ડસ્ટોન 180 આરપીએમ બનાવે છે અને પથ્થર પરના ભાગના ઘર્ષણનો ગુણાંક 0.3 છે તો 2 મિનિટમાં એન્જિન દ્વારા કેટલું કામ થાય છે તે નક્કી કરો.

6. કારનો ડ્રાઈવર એન્જિન બંધ કરે છે અને ટ્રાફિક લાઇટથી 20 મીટર દૂર બ્રેક મારવાનું શરૂ કરે છે. ઘર્ષણ બળ 4,000 k બરાબર હોવાનું ધારી રહ્યા છીએ, જો કારનું દળ 1.6 ટન હોય તો તેને ટ્રાફિક લાઇટની સામે રોકવા માટે કારની મહત્તમ ઝડપે કેટલો સમય મળશે તે શોધો?

જો શરીર પર માસ હોય m, એક સરળ આડી સપાટી પર સ્થિત, કાર્ય કરે છે
સતત બળ એફ, ચોક્કસ ખૂણા પર નિર્દેશિત α ક્ષિતિજ તરફ અને તે જ સમયે શરીર ચોક્કસ અંતરે આગળ વધે છે એસ, પછી તેઓ કહે છે કે તાકાત એફકામ કર્યું એ. કાર્યની માત્રા સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

એ= એફ× એસ cos α (1)

જો કે, કુદરતમાં સંપૂર્ણપણે સરળ સપાટીઓ હોતી નથી, અને ઘર્ષણ બળો હંમેશા બે શરીરની સંપર્ક સપાટી પર ઉદ્ભવે છે. પાઠ્યપુસ્તકમાં તે આ રીતે લખાયેલું છે: “સ્થિર ઘર્ષણ બળનું કાર્ય શૂન્ય છે, કારણ કે ત્યાં કોઈ હિલચાલ નથી. ઘન સપાટીને સરકતી વખતે, ઘર્ષણ બળ ચળવળ સામે નિર્દેશિત થાય છે. તેણીનું પ્રદર્શન નકારાત્મક છે. પરિણામે, ઘસતા શરીરની ગતિ ઊર્જા આંતરિક ઊર્જામાં ફેરવાય છે - ઘસવાની સપાટીઓ ગરમ થાય છે."

A TP = FTP ×S = μNS (2)

જ્યાં μ - સ્લાઇડિંગ ઘર્ષણનો ગુણાંક.

ઓ.ડી. દ્વારા માત્ર પાઠ્યપુસ્તકમાં ખ્વોલ્સને ઘર્ષણ દળોની હાજરીમાં પ્રવેગક ગતિના કિસ્સાને ધ્યાનમાં લીધો: “તેથી, કામના ઉત્પાદનના બે કિસ્સાઓને અલગ પાડવું જોઈએ: પ્રથમમાં, કાર્યનો સાર ચળવળના બાહ્ય પ્રતિકારને દૂર કરવામાં રહેલો છે, જે ગતિમાં વધારો કર્યા વિના થાય છે. શરીર; બીજામાં, કામ ચળવળની ગતિમાં વધારો દ્વારા પ્રગટ થાય છે, જેના માટે બહારની દુનિયા ઉદાસીન છે.

વાસ્તવમાં, અમારી પાસે સામાન્ય રીતે બંને કેસોનું જોડાણ છે: બળ fકોઈપણ પ્રતિકારને દૂર કરે છે અને તે જ સમયે શરીરની ગતિમાં ફેરફાર કરે છે.

ચાલો માની લઈએ કે f"સમાન નથી f, એટલે કે, તે f"< f. આ કિસ્સામાં, શરીર પર બળ કાર્ય કરે છે
f- f", જોબ ρ જે શરીરની ગતિમાં વધારો કરે છે. અમારી પાસે ρ =(f- f")એસ,
જ્યાં

fS= f"એસ+ ρ (*)

જોબ આર= fSબે ભાગો સમાવે છે: f"એસબાહ્ય પ્રતિકારને દૂર કરવા માટે ખર્ચવામાં આવે છે, ρ શરીરની ગતિ વધારવા માટે."

ચાલો આધુનિક અર્થઘટનમાં આની કલ્પના કરીએ (ફિગ. 1). શરીર સમૂહ દીઠ mટ્રેક્શન ફોર્સ એક્ટિંગ એફ ટીજે ઘર્ષણ બળ કરતા વધારે છે F TP = μN = μmg.સૂત્ર (*) અનુસાર ટ્રેક્શન ફોર્સનું કાર્ય નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે

એ=એફ ટી એસ=એફ ટીપી એસ+એફ એ એસ= એક ટી.પી+ એ એ(3)

જ્યાં એફ એ=F T - F T -ન્યુટનના II કાયદા અનુસાર શરીરની ઝડપી ગતિનું કારણ બને છે: એફ એ= મા. ઘર્ષણ બળનું કાર્ય નકારાત્મક છે, પરંતુ અહીં અને આગળ આપણે ઘર્ષણ બળ અને ઘર્ષણ કાર્યના મોડ્યુલસનો ઉપયોગ કરીશું. વધુ તર્ક માટે, સંખ્યાત્મક વિશ્લેષણ જરૂરી છે. ચાલો નીચેનો ડેટા લઈએ: m=10 કિગ્રા; g=10 m/s 2 ; એફ ટી=100 એન; μ = 0,5; t=10 સે. અમે નીચેની ગણતરીઓ કરીએ છીએ: F TP= μmg= 50 એન; એફ એ= 50 એન; a=એફ એ/m=5 m/s 2 ; વી= ખાતે= 50 m/s; કે= mV 2/2 =12.5 kJ; એસ= ખાતે 2/2 = 250 મીટર; એ એ= એફ એ એસ=12.5 kJ; એક ટી.પી=એફ ટીપી એસ=12.5 kJ. આમ કુલ કામ એ= એક ટી.પી+ એ એ=12.5 +12.5 = 25 kJ

હવે ચાલો ટ્રેક્શન ફોર્સ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યની ગણતરી કરીએ એફ ટીજ્યારે કોઈ ઘર્ષણ ન હોય તેવા કિસ્સામાં ( μ =0).

સમાન ગણતરીઓ હાથ ધરવા, અમને મળે છે: a =10 m/s 2 ; વી=100m/s; કે = 50 kJ; એસ = 500 મી; એ = 50 kJ. પછીના કિસ્સામાં, તે જ 10 સેકન્ડમાં અમને બમણું કામ મળ્યું. વાંધો ઉઠાવી શકાય છે કે રસ્તો બમણો લાંબો છે. જો કે, તેઓ શું કહે છે તે મહત્વનું નથી, એક વિરોધાભાસી પરિસ્થિતિ ઊભી થાય છે: સમાન બળ દ્વારા વિકસિત શક્તિઓ બેના પરિબળ દ્વારા અલગ પડે છે, જો કે દળોના આવેગ સમાન હોય છે. આઈ =એફ ટી ટી =1 kN.s. જેમ એમ.વી.એ લખ્યું છે લોમોનોસોવ પાછા 1748 માં: "... પરંતુ પ્રકૃતિમાં થતા તમામ ફેરફારો એવી રીતે થાય છે કે જે કંઈપણ ઉમેરવામાં આવે છે, તે જ રકમ બીજા પાસેથી લઈ લેવામાં આવશે..." તેથી, ચાલો કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે બીજી અભિવ્યક્તિ મેળવવાનો પ્રયાસ કરીએ.

ચાલો ન્યૂટનનો II કાયદો વિભેદક સ્વરૂપમાં લખીએ:

એફ. તા = ડી(mV ) (4)

અને શરૂઆતમાં સ્થિર શરીરને વેગ આપવાની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લો (ત્યાં કોઈ ઘર્ષણ નથી). એકીકરણ (4), અમે પ્રાપ્ત કરીએ છીએ: એફ × t = mV . ચોરસ અને 2 વડે ભાગ્યા mસમાનતાની બંને બાજુએ, આપણને મળે છે:

એફ 2 t 2/2m = mV 2 / 2 એ= કે (5)

આમ, અમને કાર્યની ગણતરી માટે બીજી અભિવ્યક્તિ મળી

A=F 2 t 2/2m = I 2/2 મી (6)

જ્યાં આઈ = એફ × t - બળનો આવેગ. આ અભિવ્યક્તિ પાથ સાથે સંકળાયેલ નથી એસસમયસર શરીર દ્વારા પસાર થાય છે t, એટલે કે જો શરીર ગતિહીન રહે તો પણ બળના આવેગ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યની ગણતરી કરવા માટે તેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે, જોકે, ભૌતિકશાસ્ત્રના તમામ અભ્યાસક્રમોમાં જણાવ્યા મુજબ, આ કિસ્સામાં કોઈ કાર્ય કરવામાં આવતું નથી.

ઘર્ષણ સાથે ત્વરિત ગતિની અમારી સમસ્યા તરફ આગળ વધીએ છીએ, અમે બળ આવેગનો સરવાળો લખીએ છીએ: I T = I a + I TP, ક્યાં I T = F T t; હું એ= F a t; ITP = F TP ટી. આવેગના સરવાળાનું વર્ગીકરણ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ:

F T 2 t 2= એફ એ 2 ટી 2+ 2F a F TP t 2 + F TP 2 t 2

સમીકરણની તમામ શરતોને વડે વિભાજીત કરવી 2 મી, અમને મળે છે:

અથવા A= A a + A UT + A TP

જ્યાં એ એ=F એ 2 t 2 / 2 m- પ્રવેગક પર ખર્ચવામાં આવેલ કામ; એક ટી.પી = F TP 2 t 2 /2 m - સમાન ગતિ દરમિયાન ઘર્ષણ બળને દૂર કરવા માટે ખર્ચવામાં આવેલ કાર્ય, અને A UT =F a F TP t 2 / m- પ્રવેગક ગતિ દરમિયાન ઘર્ષણ બળ પર કાબુ મેળવવા માટે ખર્ચવામાં આવેલ કાર્ય. સંખ્યાત્મક ગણતરી નીચેના પરિણામ આપે છે:

A=એ એ +એUt + એક ટી.પી = 12.5 + 25 +12.5 = 50 kJ,

તે અમને ફોર્સ દ્વારા સમાન પ્રમાણમાં કામ મળ્યું એફ ટી ઘર્ષણની ગેરહાજરીમાં.

ચાલો ઘર્ષણ સાથે શરીરની ગતિના વધુ સામાન્ય કેસને ધ્યાનમાં લઈએ, જ્યારે કોઈ બળ શરીર પર કાર્ય કરે છે એફ, એક ખૂણા પર નિર્દેશિત α ક્ષિતિજ સુધી (ફિગ. 2). હવે ટ્રેક્શન ફોર્સ એફ ટી = એફ cos α, અને તાકાત એફ એલ= એફ પાપ α - ચાલો તેને ઉત્સર્જન બળ કહીએ, તે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઘટાડે છે P=મિલિગ્રામ, અને કિસ્સામાં એફ એલ = મિલિગ્રામ શરીર આધાર પર દબાણ લાવશે નહીં અને અર્ધ-વજન રહિત સ્થિતિમાં હશે (ઉતારવાની સ્થિતિ). ઘર્ષણ બળ F TP = μ એન = μ (પી - એફ એલ) . ટ્રેક્શન ફોર્સ ફોર્મમાં લખી શકાય છે એફ ટી= એફ એ+ F TP, અને જમણા ખૂણાવાળા ત્રિકોણ (ફિગ. 2)માંથી આપણને મળે છે: એફ 2 =F ટી 2 + એફ એલ 2 . દ્વારા છેલ્લા ગુણોત્તર ગુણાકાર ટી 2 , આપણે બળ આવેગનું સંતુલન મેળવીએ છીએ, અને વિભાજન કરીને 2 મી, અમને ઊર્જા સંતુલન મળે છે (વર્ક-બોટ):

ચાલો બળ માટે સંખ્યાત્મક ગણતરી રજૂ કરીએ એફ = 100 એન અને α = 30ઓસમાન શરતો હેઠળ (m = 10કિલો ગ્રામ; μ = 0,5; t = 10 સાથે). બળનું કામ એફ સમાન હશે A=એફ 2 t 2 /2 મિ= 50, અને સૂત્ર (8) નીચેના પરિણામ આપે છે (ત્રીજા દશાંશ સ્થાન માટે સચોટ):

50=15.625+18.974-15.4-12.5+30.8+12.5 kJ.

ગણતરીઓ બતાવે છે તેમ, બળ એફ = 100 N, સમૂહના શરીર પર કાર્ય કરે છે m કોઈપણ ખૂણા પર = 10 કિગ્રા α 10 સેકન્ડમાં 50 kJ નું સમાન કાર્ય કરે છે.

સૂત્ર (8) માં છેલ્લું પદ ગતિ સાથે આડી સપાટી સાથે શરીરની સમાન ગતિ દરમિયાન ઘર્ષણ બળના કાર્યને દર્શાવે છે વી

આમ, આ બળ કયા ખૂણા પર કાર્ય કરે છે તે મહત્વનું નથી એફસમૂહના આપેલ શરીર માટે m, ઘર્ષણ સાથે અથવા વગર, સમયસર tતે જ કાર્ય કરવામાં આવશે (ભલે શરીર ગતિહીન હોય):

ફિગ.1

ફિગ.2

ગ્રંથસૂચિ

1. માત્વીવ એ.એન. મિકેનિક્સ અને સાપેક્ષતાનો સિદ્ધાંત. ભૌતિક અને વિશિષ્ટ યુનિવર્સિટીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક. -એમ.: ઉચ્ચ શાળા, 1986.
2. સ્ટ્રેલકોવ એસપી. મિકેનિક્સ. સામાન્ય ભૌતિકશાસ્ત્ર કોર્સ. T. 1. - M.: GITTL, 1956.
3. ખ્વોલ્સન ઓ.ડી. ભૌતિકશાસ્ત્રનો અભ્યાસક્રમ. ટી. 1. RSFSR સ્ટેટ પબ્લિશિંગ હાઉસ, બર્લિન, 1923.

ગ્રંથસૂચિ લિંક

તમે મૂળભૂત શાળા ભૌતિકશાસ્ત્રના અભ્યાસક્રમમાંથી યાંત્રિક કાર્ય (બળનું કાર્ય) થી પહેલેથી જ પરિચિત છો. ચાલો નીચેના કિસ્સાઓ માટે ત્યાં આપેલ યાંત્રિક કાર્યની વ્યાખ્યા યાદ કરીએ.

જો શરીરની હિલચાલ જેવી જ દિશામાં બળનું નિર્દેશન કરવામાં આવે તો બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય

આ કિસ્સામાં, બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય હકારાત્મક છે.

જો બળ શરીરની હિલચાલની વિરુદ્ધ નિર્દેશિત હોય, તો બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય

આ કિસ્સામાં, બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય નકારાત્મક છે.

જો બળ f_vec શરીરના વિસ્થાપન s_vec પર લંબ નિર્દેશિત હોય, તો બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય છે:

કાર્ય એ એક સ્કેલર જથ્થો છે. કાર્યના એકમને અંગ્રેજી વૈજ્ઞાનિક જેમ્સ જૌલના માનમાં જુલ (પ્રતીક: J) કહેવામાં આવે છે, જેમણે ઊર્જાના સંરક્ષણના કાયદાની શોધમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવી હતી. સૂત્ર (1) થી તે નીચે મુજબ છે:

1 J = 1 N * m.

1. ટેબલ 2 મીટરની સાથે 0.5 કિલો વજનનો બ્લોક ખસેડવામાં આવ્યો હતો, તેના પર 4 N નું સ્થિતિસ્થાપક બળ લાગુ કર્યું હતું (ફિગ. 28.1). બ્લોક અને ટેબલ વચ્ચેના ઘર્ષણનો ગુણાંક 0.2 છે. બ્લોક પર કામ શું કામ છે?
a) ગુરુત્વાકર્ષણ m?
b) સામાન્ય પ્રતિક્રિયા દળો?
c) સ્થિતિસ્થાપક દળો?
d) સ્લાઇડિંગ ઘર્ષણ દળો tr?

શરીર પર કાર્ય કરતી અનેક શક્તિઓ દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય બે રીતે શોધી શકાય છે:
1. દરેક બળનું કાર્ય શોધો અને સંકેતોને ધ્યાનમાં લઈને આ કાર્યો ઉમેરો.
2. શરીર પર લાગુ થયેલા તમામ બળોના પરિણામ શોધો અને પરિણામી કાર્યની ગણતરી કરો.

બંને પદ્ધતિઓ સમાન પરિણામ તરફ દોરી જાય છે. આની ખાતરી કરવા માટે, પાછલા કાર્ય પર પાછા જાઓ અને કાર્ય 2 માં પ્રશ્નોના જવાબ આપો.

2. તે શું સમાન છે:
a) બ્લોક પર કામ કરતા તમામ દળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યનો સરવાળો?
b) બ્લોક પર કામ કરતા તમામ દળોનું પરિણામ?
c) કાર્ય પરિણામ? સામાન્ય કિસ્સામાં (જ્યારે બળ f_vec ને વિસ્થાપન s_vec તરફ મનસ્વી કોણ પર નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે) બળના કાર્યની વ્યાખ્યા નીચે મુજબ છે.

અચલ બળનું કાર્ય એ વિસ્થાપન મોડ્યુલસ s દ્વારા બળ મોડ્યુલસ F ના ગુણાંક અને બળની દિશા અને વિસ્થાપનની દિશા વચ્ચેના કોણ α ના કોસાઇન સમાન છે:

A = Fs cos α (4)

3. બતાવો કે કાર્યની સામાન્ય વ્યાખ્યા નીચેના આકૃતિમાં દર્શાવેલ તારણો તરફ દોરી જાય છે. તેમને મૌખિક રીતે બનાવો અને તમારી નોટબુકમાં લખો.

4. ટેબલ પર સ્થિત બ્લોક પર બળ લાગુ કરવામાં આવે છે, જેનું મોડ્યુલસ 10 N છે. શા માટે કોણ સમાનઆ બળ અને બ્લોકની હિલચાલ વચ્ચે, જો ટેબલ સાથે બ્લોકને 60 સે.મી.થી ખસેડતી વખતે, આ બળે કાર્ય કર્યું: a) 3 J; b) -3 જે; c) -3 જે; ડી) -6 જે? સમજૂતીત્મક રેખાંકનો બનાવો.

2. ગુરુત્વાકર્ષણનું કાર્ય

સમૂહ m ના શરીરને પ્રારંભિક ઊંચાઈ h n થી અંતિમ ઊંચાઈ h k સુધી ઊભી રીતે ખસેડવા દો.

જો શરીર નીચે તરફ ખસે છે (h n > h k, Fig. 28.2, a), ચળવળની દિશા ગુરુત્વાકર્ષણની દિશા સાથે એકરુપ છે, તેથી ગુરુત્વાકર્ષણનું કાર્ય હકારાત્મક છે. જો શરીર ઉપર તરફ જાય છે (h n< h к, рис. 28.2, б), то работа силы тяжести отрицательна.

બંને કિસ્સાઓમાં, કામ ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા કરવામાં આવે છે

A = mg(h n – h k). (5)

ચાલો હવે ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય શોધીએ જ્યારે કોઈ ખૂણા પર ઊભી તરફ જઈએ.

5. લંબાઈ s અને ઊંચાઈ h (ફિગ. 28.3) ના વળેલા પ્લેન સાથે સામૂહિક m નો એક નાનો બ્લોક સરક્યો. વળેલું વિમાન વર્ટિકલ સાથે α કોણ બનાવે છે.

a) ગુરુત્વાકર્ષણની દિશા અને બ્લોકની હિલચાલની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો શું છે? સમજૂતીત્મક ચિત્ર બનાવો.
b) ગુરુત્વાકર્ષણના કાર્યને m, g, s, α ની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરો.
c) h અને α ની દ્રષ્ટિએ s વ્યક્ત કરો.
d) ગુરુત્વાકર્ષણના કાર્યને m, g, h ની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરો.
e) જ્યારે બ્લોક સમગ્ર સમાન સમતલ સાથે ઉપર તરફ જાય છે ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા શું કાર્ય થાય છે?

આ કાર્ય પૂર્ણ કર્યા પછી, તમને ખાતરી છે કે ગુરુત્વાકર્ષણનું કાર્ય સૂત્ર (5) દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે જ્યારે શરીર એક ખૂણા પર ઊભી તરફ જાય છે - નીચે અને ઉપર બંને.

પરંતુ પછી ગુરુત્વાકર્ષણના કાર્ય માટે સૂત્ર (5) માન્ય છે જ્યારે શરીર કોઈપણ માર્ગ સાથે આગળ વધે છે, કારણ કે કોઈપણ માર્ગ (ફિગ. 28.4, એ) નાના "વળેલા વિમાનો" (ફિગ. 28.4, b) ના સમૂહ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. .

આમ,
કોઈપણ માર્ગ સાથે આગળ વધતી વખતે ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે

A t = mg(h n – h k),

જ્યાં h n એ શરીરની પ્રારંભિક ઊંચાઈ છે, h k એ તેની અંતિમ ઊંચાઈ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય માર્ગના આકાર પર આધારિત નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય જ્યારે કોઈ શરીરને બિંદુ A થી બિંદુ B (ફિગ. 28.5) તરફ ગતિ 1, 2 અથવા 3 સાથે ખસેડે છે તે સમાન છે. અહીંથી, ખાસ કરીને, તે અનુસરે છે કે બંધ માર્ગ (જ્યારે શરીર પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછા ફરે છે) સાથે આગળ વધતી વખતે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય બરાબર છે.

6. l લંબાઈના થ્રેડ પર લટકતો દળ m નો દડો 90º ડિફ્લેક્ટ કરવામાં આવ્યો હતો, થ્રેડને ટાઈટ રાખીને, અને દબાણ કર્યા વિના છોડવામાં આવ્યો હતો.
a) જે સમય દરમિયાન બોલ સંતુલન સ્થિતિ તરફ જાય છે તે દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા શું કાર્ય કરવામાં આવે છે (ફિગ. 28.6)?
b) તે જ સમય દરમિયાન થ્રેડના સ્થિતિસ્થાપક બળ દ્વારા શું કાર્ય કરવામાં આવે છે?
c) તે જ સમય દરમિયાન બોલ પર લાગુ પડતા પરિણામી દળો દ્વારા શું કાર્ય કરવામાં આવે છે?

3. સ્થિતિસ્થાપક બળનું કામ

જ્યારે વસંત અવ્યવસ્થિત સ્થિતિમાં પાછો આવે છે, ત્યારે સ્થિતિસ્થાપક બળ હંમેશા હકારાત્મક કાર્ય કરે છે: તેની દિશા ચળવળની દિશા સાથે એકરુપ હોય છે (ફિગ. 28.7).

ચાલો સ્થિતિસ્થાપક બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શોધીએ.
આ બળનું મોડ્યુલસ સંબંધ દ્વારા વિરૂપતા x ના મોડ્યુલસ સાથે સંબંધિત છે (જુઓ § 15)

આવા બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય ગ્રાફિકલી શોધી શકાય છે.

ચાલો આપણે સૌ પ્રથમ નોંધ લઈએ કે સ્થિર બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય સંખ્યાત્મક રીતે બળ વિરુદ્ધ વિસ્થાપન (ફિગ. 28.8) ના ગ્રાફ હેઠળ લંબચોરસના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે.

આકૃતિ 28.9 સ્થિતિસ્થાપક બળ માટે F(x) નો ગ્રાફ બતાવે છે. ચાલો માનસિક રીતે શરીરની સમગ્ર હિલચાલને આવા નાના અંતરાલોમાં વિભાજીત કરીએ કે તેમાંથી દરેક પરનું બળ સતત ગણી શકાય.

પછી આ દરેક અંતરાલ પરનું કાર્ય આંકડાકીય રીતે ગ્રાફના અનુરૂપ વિભાગ હેઠળના આકૃતિના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે. બધા કામ આ વિસ્તારોમાં કામના સરવાળા સમાન છે.

પરિણામે, આ કિસ્સામાં, કાર્ય પરાધીનતા F(x) ના ગ્રાફ હેઠળ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની સંખ્યાત્મક રીતે સમાન છે.

7. આકૃતિ 28.10 નો ઉપયોગ કરીને, તે સાબિત કરો

જ્યારે વસંત તેની અવિકૃત સ્થિતિમાં પાછી આવે ત્યારે સ્થિતિસ્થાપક બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે

A = (kx 2)/2. (7)

8. આકૃતિ 28.11 માં ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, સાબિત કરો કે જ્યારે વસંત વિરૂપતા x n થી x k માં બદલાય છે, ત્યારે સ્થિતિસ્થાપક બળનું કાર્ય સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત થાય છે.

સૂત્ર (8) થી આપણે જોઈએ છીએ કે સ્થિતિસ્થાપક બળનું કાર્ય ફક્ત વસંતના પ્રારંભિક અને અંતિમ વિકૃતિ પર આધારિત છે. તેથી, જો શરીર પ્રથમ વિકૃત થઈ જાય અને પછી તેની પ્રારંભિક સ્થિતિમાં પાછું આવે, તો સ્થિતિસ્થાપક બળનું કાર્ય શૂન્ય ચાલો યાદ કરીએ કે ગુરુત્વાકર્ષણનું કાર્ય સમાન ગુણધર્મ ધરાવે છે.

9. પ્રારંભિક ક્ષણે, 400 N/m ની જડતા સાથે ઝરણાનું તાણ 3 સે.મી. છે. સ્પ્રિંગ બીજા 2 સે.મી. દ્વારા ખેંચાય છે.
a) વસંતનું અંતિમ વિરૂપતા શું છે?
b) વસંતના સ્થિતિસ્થાપક બળ દ્વારા શું કાર્ય કરવામાં આવે છે?

10. પ્રારંભિક ક્ષણે, 200 N/m ની જડતા સાથેના ઝરણાને 2 cm દ્વારા ખેંચવામાં આવે છે, અને અંતિમ ક્ષણે તેને 1 cm દ્વારા સંકુચિત કરવામાં આવે છે. સ્પ્રિંગના સ્થિતિસ્થાપક બળ દ્વારા શું કાર્ય કરવામાં આવે છે?

4. ઘર્ષણ બળનું કામ

શરીરને નિશ્ચિત આધાર સાથે સરકવા દો. શરીર પર કામ કરતું સ્લાઇડિંગ ઘર્ષણ બળ હંમેશા ચળવળની વિરુદ્ધ દિશામાન થાય છે અને તેથી, સ્લાઇડિંગ ઘર્ષણ બળનું કાર્ય ચળવળની કોઈપણ દિશામાં નકારાત્મક હોય છે (ફિગ. 28.12).

તેથી, જો તમે બ્લોકને જમણી તરફ અને પેગને સમાન અંતર ડાબી તરફ ખસેડો, તો, જો કે તે તેની પ્રારંભિક સ્થિતિ પર પાછા આવશે, તો પણ સ્લાઇડિંગ ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય શૂન્યની બરાબર નહીં હોય. સ્લાઇડિંગ ઘર્ષણના કાર્ય અને ગુરુત્વાકર્ષણ અને સ્થિતિસ્થાપકતાના કાર્ય વચ્ચેનો આ સૌથી મહત્વપૂર્ણ તફાવત છે. ચાલો યાદ કરીએ કે બંધ માર્ગ સાથે શરીરને ખસેડતી વખતે આ દળો દ્વારા કરવામાં આવતી કામગીરી શૂન્ય છે.

11. 1 કિગ્રાના સમૂહ સાથેનો બ્લોક ટેબલ સાથે ખસેડવામાં આવ્યો હતો જેથી તેનો માર્ગ 50 સે.મી.ની બાજુ સાથે ચોરસ બન્યો.
a) શું બ્લોક તેના પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછો ફર્યો છે?
b) બ્લોક પર કામ કરતા ઘર્ષણ બળ દ્વારા કુલ શું કામ થાય છે? બ્લોક અને ટેબલ વચ્ચેના ઘર્ષણનો ગુણાંક 0.3 છે.

5. પાવર

ઘણીવાર માત્ર કામ થઈ રહ્યું છે તે મહત્વનું નથી, પણ જે ઝડપે કામ થઈ રહ્યું છે તે પણ મહત્વનું છે. તે શક્તિ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.

પાવર P એ જે સમયગાળા દરમિયાન આ કાર્ય કરવામાં આવ્યું હતું તે સમયગાળો T અને A કરવામાં આવેલ કાર્યનો ગુણોત્તર છે:

(ક્યારેક મિકેનિક્સમાં પાવર N અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સમાં P અક્ષર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. અમને પાવર માટે સમાન હોદ્દાનો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ લાગે છે.)

પાવરનું એકમ વોટ છે (પ્રતીક: W), જેનું નામ અંગ્રેજી શોધક જેમ્સ વોટના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. સૂત્ર (9) થી તે અનુસરે છે

1 W = 1 J/s.

12. 10 કિલો વજનની પાણીની ડોલને 2 સેકન્ડ માટે 1 મીટરની ઉંચાઈ સુધી એકસરખી રીતે ઉપાડવાથી વ્યક્તિ કઈ શક્તિનો વિકાસ કરે છે?

કાર્ય અને સમય દ્વારા નહીં, પરંતુ બળ અને ગતિ દ્વારા શક્તિ વ્યક્ત કરવી ઘણી વાર અનુકૂળ છે.

ચાલો કેસને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે બળ વિસ્થાપન સાથે નિર્દેશિત થાય છે. પછી A = Fs બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય. આ અભિવ્યક્તિને પાવર માટે ફોર્મ્યુલા (9) માં બદલીને, અમને મળે છે:

P = (Fs)/t = F(s/t) = Fv. (10)

13. એક કાર આડા રસ્તા પર 72 કિમી/કલાકની ઝડપે મુસાફરી કરી રહી છે. તે જ સમયે, તેનું એન્જિન 20 kW ની શક્તિ વિકસાવે છે. કારની હિલચાલ માટે પ્રતિકાર શક્તિ શું છે?

ચાવી. જ્યારે કાર આડા રસ્તા પર સતત ગતિએ આગળ વધે છે, ત્યારે ટ્રેક્શન ફોર્સ કારની હિલચાલના પ્રતિકાર બળની તીવ્રતામાં સમાન હોય છે.

14. જો ક્રેન મોટરની શક્તિ 20 kW હોય અને ક્રેનની ઇલેક્ટ્રિક મોટરની કાર્યક્ષમતા 75% હોય, તો 4 ટન વજનવાળા કોંક્રિટ બ્લોકને 30 મીટરની ઊંચાઈ સુધી એકસરખી રીતે ઉપાડવામાં કેટલો સમય લાગશે?

ચાવી. ઇલેક્ટ્રિક મોટરની કાર્યક્ષમતા એ એન્જિનના કામમાં ભાર ઉપાડવાના કામના ગુણોત્તર જેટલી છે.

વધારાના પ્રશ્નો અને કાર્યો

15. 10 ની ઉંચાઈ અને 45º નો ખૂણો આડી તરફ બાલ્કનીમાંથી 200 ગ્રામના સમૂહ સાથેનો બોલ ફેંકવામાં આવ્યો હતો. ફ્લાઇટમાં મહત્તમ 15 મીટરની ઊંચાઈએ પહોંચ્યા પછી, બોલ જમીન પર પડ્યો.
a) બોલ ઉપાડતી વખતે ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા શું કાર્ય કરવામાં આવે છે?
b) જ્યારે બોલને નીચો કરવામાં આવે ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા શું કાર્ય કરવામાં આવે છે?
c) બોલની સમગ્ર ઉડાન દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા શું કાર્ય કરવામાં આવે છે?
ડી) શું શરતમાં કોઈ વધારાનો ડેટા છે?

16. 0.5 કિગ્રા વજન ધરાવતો દડો સ્પ્રિંગમાંથી 250 N/m ની જડતા સાથે સસ્પેન્ડ કરવામાં આવે છે અને તે સંતુલનમાં હોય છે. બોલને ઊંચો કરવામાં આવે છે જેથી સ્પ્રિંગ અવ્યવસ્થિત બને અને દબાણ વિના છૂટી જાય.
a) બોલ કેટલી ઊંચાઈ સુધી ઉભો થયો હતો?
b) જે સમય દરમિયાન બોલ સંતુલિત સ્થિતિમાં જાય છે તે દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા શું કાર્ય કરવામાં આવે છે?
c) જે સમય દરમિયાન દડો સંતુલન સ્થિતિમાં જાય છે તે દરમિયાન સ્થિતિસ્થાપક બળ દ્વારા શું કાર્ય કરવામાં આવે છે?
d) જે સમય દરમિયાન દડો સંતુલિત સ્થિતિમાં જાય છે તે દરમિયાન દડા પર લાગુ કરાયેલા તમામ દળોના પરિણામ દ્વારા શું કાર્ય કરવામાં આવે છે?

17. 10 કિગ્રા વજનની સ્લેજ પ્રારંભિક ગતિ વિના α = 30º ના ઝોકના કોણ સાથે બરફીલા પર્વતની નીચે સરકે છે અને આડી સપાટી સાથે ચોક્કસ અંતરની મુસાફરી કરે છે (ફિગ. 28.13). સ્લેજ અને બરફ વચ્ચેના ઘર્ષણનો ગુણાંક 0.1 છે. પર્વતના પાયાની લંબાઈ l = 15 મીટર છે.

a) જ્યારે સ્લેજ આડી સપાટી પર ફરે છે ત્યારે ઘર્ષણ બળની તીવ્રતા શું છે?
b) જ્યારે સ્લેજ 20 મીટરના અંતરે આડી સપાટી સાથે ખસે છે ત્યારે ઘર્ષણ બળ દ્વારા શું કાર્ય કરવામાં આવે છે?
c) જ્યારે સ્લેજ પર્વત સાથે ખસે છે ત્યારે ઘર્ષણ બળની તીવ્રતા કેટલી હોય છે?
d) સ્લેજને નીચે કરતી વખતે ઘર્ષણ બળ દ્વારા શું કાર્ય કરવામાં આવે છે?
e) સ્લેજને નીચે કરતી વખતે ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા શું કાર્ય કરવામાં આવે છે?
f) પહાડ પરથી નીચે ઉતરતી વખતે સ્લેજ પર કાર્ય કરતા પરિણામી દળો દ્વારા શું કાર્ય કરવામાં આવે છે?

18. 1 ટન વજન ધરાવતી કાર 50 કિમી/કલાકની ઝડપે આગળ વધે છે. એન્જિન 10 kW ની શક્તિ વિકસાવે છે. ગેસોલિનનો વપરાશ 100 કિમી દીઠ 8 લિટર છે. ગેસોલિનની ઘનતા 750 kg/m 3 છે, અને તેની દહનની ચોક્કસ ગરમી 45 MJ/kg છે. એન્જિનની કાર્યક્ષમતા શું છે? શું શરતમાં કોઈ વધારાનો ડેટા છે?
ચાવી. થર્મલ કાર્યક્ષમતાએન્જિન એ ઇંધણના દહન દરમિયાન છોડવામાં આવતી ગરમીની માત્રા સાથે એન્જિન દ્વારા કરવામાં આવતા કામના ગુણોત્તર સમાન છે.

બળની ક્રિયા દરમિયાન શરીર દ્વારા મુસાફરીનો માર્ગ ક્યાં છે.

સંખ્યાત્મક મૂલ્યો બદલ્યા પછી આપણને મળે છે:

ઉદાહરણ 3. =100 ગ્રામના દળ સાથેનો દડો =2.5 મીટરની ઉંચાઈથી આડી પ્લેટ પર પડ્યો અને ગતિ ગુમાવ્યા વિના સ્થિતિસ્થાપક અસરને કારણે તે બાઉન્સ થયો. સરેરાશ ઝડપ નક્કી કરો , અસર પર બોલ પર કામ કરવું, જો અસરની અવધિ = 0.1 સે.

ઉકેલ. ન્યુટનના બીજા નિયમ મુજબ, સરેરાશ બળનું ઉત્પાદન અને તેની ક્રિયાનો સમય આ બળને કારણે શરીરના વેગમાં ફેરફાર જેટલો છે, એટલે કે.

બળની ક્રિયા પહેલાં અને પછી શરીરના વેગ ક્યાં અને છે; - જે સમય દરમિયાન બળ લાગુ કરવામાં આવ્યું હતું.

(1) થી આપણને મળે છે

જો આપણે ધ્યાનમાં લઈએ કે ઝડપ સંખ્યાત્મક રીતે ઝડપ જેટલી છે અને દિશામાં તેની વિરુદ્ધ છે, તો સૂત્ર (2) ફોર્મ લેશે:

બોલ ઊંચાઈ પરથી પડ્યો હોવાથી, અસર પર તેની ઝડપ છે

આને ધ્યાનમાં રાખીને, અમે મેળવીએ છીએ

અહીં સંખ્યાત્મક મૂલ્યોને બદલીને, આપણે શોધીએ છીએ

બાદબાકીનું ચિહ્ન બતાવે છે કે બળ બોલના પડવાની ઝડપની વિરુદ્ધ દિશામાન છે.

ઉદાહરણ 4. =20 મીટરની ઊંડાઈ ધરાવતા કૂવામાંથી પાણી ઉપાડવા માટે, =3.7 kW ની શક્તિ ધરાવતો પંપ સ્થાપિત કરવામાં આવ્યો હતો. જો કાર્યક્ષમતા હોય તો, સમય = 7 કલાકમાં ઉછરેલા પાણીનો સમૂહ અને જથ્થા નક્કી કરો. પંપ = 80%.

ઉકેલ. તે જાણીતું છે કે કાર્યક્ષમતાને ધ્યાનમાં લેતા પંપ પાવર સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

સમય દરમિયાન કામ ક્યાં થાય છે; - કાર્યક્ષમતા પરિબળ.

ઊંચાઈ સુધી પ્રવેગક વગર ભાર ઉપાડતી વખતે કરવામાં આવેલ કાર્ય બરાબર છે સંભવિત ઊર્જા, જે આ ઊંચાઈ પર ભાર ધરાવે છે, એટલે કે.

મુક્ત પતનનું પ્રવેગ ક્યાં છે.

કાર્ય માટે અભિવ્યક્તિને (2) માં (1) અનુસાર બદલીને, આપણે મેળવીએ છીએ

ચાલો SI એકમોમાં સૂત્ર (3) માં સમાવિષ્ટ જથ્થાના આંકડાકીય મૂલ્યો વ્યક્ત કરીએ: =3.7 kW = 3.7 103 W; =7 h = 2.52 104 સે; =80%=0.8; =20 મી.

kg kg m2 s2/(s3 m m), kg=kg

ચાલો ગણતરી કરીએ

kg=3.80 105 kg=380 t.

પાણીની માત્રા નક્કી કરવા માટે, તમારે તેની ઘનતા દ્વારા તેના સમૂહને વિભાજીત કરવાની જરૂર છે

ઉદાહરણ 5. કૃત્રિમ ઉપગ્રહપૃથ્વી 700 કિમીની ઊંચાઈએ ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષામાં ફરે છે. તેની હિલચાલની ઝડપ નક્કી કરો. પૃથ્વીની ત્રિજ્યા = 6.37 106 મીટર, તેનું દળ = 5.98 1024 કિગ્રા.

ઉકેલ. ગોળાકાર ભ્રમણકક્ષામાં ફરતા કોઈપણ શરીરની જેમ, ઉપગ્રહ કેન્દ્રિય બળથી પ્રભાવિત થાય છે.

ઉપગ્રહનો સમૂહ ક્યાં છે; V એ તેની હિલચાલની ગતિ છે; - બોલની વક્રતાની ત્રિજ્યા.

જો આપણે પર્યાવરણના પ્રતિકાર અને તમામ અવકાશી પદાર્થોના ગુરુત્વાકર્ષણ દળોની અવગણના કરીએ, તો આપણે માની શકીએ કે ઉપગ્રહ અને પૃથ્વી વચ્ચેના આકર્ષણનું બળ એકમાત્ર બળ છે. આ બળ કેન્દ્રિય બળની ભૂમિકા ભજવે છે.

સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ અનુસાર

ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિર ક્યાં છે.

(1) અને (2) ની જમણી બાજુની બાજુઓને સમાન કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ

આથી સેટેલાઇટની ઝડપ

ચાલો SI માં જથ્થાના આંકડાકીય મૂલ્યો લખીએ: = 6.67*10-11 m3/(kg s2); =5.98 1024 કિગ્રા; = 6.37 106 મીટર; = 700 કિમી = 7,105 મી.

ચાલો ગણતરીના સૂત્ર (3) ની જમણી અને ડાબી બાજુના એકમો તપાસીએ કે આ એકમો એકરૂપ છે તેની ખાતરી કરીએ. આ કરવા માટે, ઇન્ટરનેશનલ સિસ્ટમમાં તેમના પરિમાણોને જથ્થાને બદલે ફોર્મ્યુલામાં બદલો:

ચાલો ગણતરી કરીએ

ઉદાહરણ 6. m = 80 kg અને ત્રિજ્યા = 50 cm સાથે ઘન ડિસ્કના રૂપમાં ફ્લાયવ્હીલ ટોર્ક = 20 N m ના પ્રભાવ હેઠળ એકસરખી રીતે પ્રવેગિત ફરવા લાગ્યું. નક્કી કરો: 1) કોણીય પ્રવેગક; 2) સમય દરમિયાન ફ્લાયવ્હીલ દ્વારા હસ્તગત ગતિ ઊર્જા = પરિભ્રમણની શરૂઆતથી 10 સે.

ઉકેલ. 1. રોટેશનલ ગતિની ગતિશીલતાના મૂળભૂત સમીકરણમાંથી,

ફ્લાયવ્હીલની જડતાની ક્ષણ ક્યાં છે; - કોણીય પ્રવેગક, આપણને મળે છે

તે જાણીતું છે કે ડિસ્કની જડતાનો ક્ષણ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

અભિવ્યક્તિને (2) માંથી (1) માં બદલીને, આપણે મેળવીએ છીએ

ચાલો SI એકમોમાં મૂલ્યો વ્યક્ત કરીએ: = 20 N m; t = 80 કિગ્રા; = 50 સેમી = 0.5 મી.

ચાલો ગણતરીના સૂત્ર (3) ની જમણી અને ડાબી બાજુના એકમો તપાસીએ:

1/s2 = kg x m2/(s2x kg x m2) = 1/s2

ચાલો ગણતરી કરીએ

2. ફરતા શરીરની ગતિ ઊર્જા સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

ક્યાં - કોણીય વેગશરીરો.

સમાન રીતે પ્રવેગિત પરિભ્રમણ સાથે, કોણીય વેગ સંબંધ દ્વારા કોણીય પ્રવેગ સાથે સંબંધિત છે

સમયની ક્ષણે કોણીય વેગ ક્યાં છે; - પ્રારંભિક કોણીય વેગ.

સમસ્યાની શરતો અનુસાર = 0, તે (5) થી અનુસરે છે

માંથી (6), (2) માંથી (4) માટે અભિવ્યક્તિને બદલીને, આપણે મેળવીએ છીએ

ચાલો સૂત્ર (7) ની જમણી અને ડાબી બાજુના એકમો તપાસીએ:

ચાલો ગણતરી કરીએ

ઉદાહરણ 7. ઓસીલેટીંગ પોઈન્ટનું સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે (સેન્ટીમીટરમાં વિસ્થાપન, સેકન્ડમાં સમય). નક્કી કરો: 1) કંપન કંપનવિસ્તાર, પરિપત્ર આવર્તન, સમયગાળો અને પ્રારંભિક તબક્કો; 2) s સમયે બિંદુનું વિસ્થાપન; 3) મહત્તમ ઝડપ અને મહત્તમ પ્રવેગક.

ઉકેલ. 1. ચાલો હાર્મોનિક ઓસીલેટરી ગતિનું સમીકરણ સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખીએ

જ્યાં x એ ઓસીલેટીંગ પોઈન્ટનું વિસ્થાપન છે; એ - કંપન કંપનવિસ્તાર; - પરિપત્ર આવર્તન; - ઓસિલેશન સમય; - પ્રારંભિક તબક્કો.

આપેલ સમીકરણને સમીકરણ (1) સાથે સરખાવતા, અમે લખીએ છીએ: A = 3 સે.મી.,

ઓસિલેશનનો સમયગાળો સંબંધ પરથી નક્કી થાય છે

મૂલ્યને (2) માં બદલીને, આપણને મળે છે

2. વિસ્થાપન નક્કી કરવા માટે, અમે આપેલ સમીકરણમાં સમય મૂલ્યને બદલીએ છીએ:

3. આપણે ઓસીલેટીંગ પોઈન્ટના વિસ્થાપનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન લઈને ઓસીલેટરી ગતિની ગતિ શોધીએ છીએ:

(સ્પીડનું મહત્તમ મૂલ્ય = 1 હશે:

પ્રવેગક એ સમયના સંદર્ભમાં ઝડપનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન છે:

મહત્તમ પ્રવેગક મૂલ્ય

બાદબાકીનું ચિહ્ન સૂચવે છે કે પ્રવેગક વિસ્થાપનની વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશિત છે.

એક શરીરની અન્ય સપાટી પર સંબંધિત હિલચાલ સાથે, ઘર્ષણ બળો ઉદ્ભવે છે, એટલે કે, શરીર એકબીજા સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે. જો કે, આ પ્રકારની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા મૂળભૂત રીતે અગાઉ ચર્ચા કરાયેલા કરતા અલગ છે. સૌથી નોંધપાત્ર તફાવત એ હકીકત છે કે ક્રિયાપ્રતિક્રિયાનું બળ શરીરની સંબંધિત સ્થિતિ દ્વારા નહીં, પરંતુ તેમની સંબંધિત ગતિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. પરિણામે, આ દળોનું કાર્ય ફક્ત શરીરની પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ પર જ નહીં, પણ માર્ગના આકાર અને ચળવળની ગતિ પર પણ આધારિત છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઘર્ષણ બળો સંભવિત નથી.
ચાલો વિવિધ પ્રકારના ઘર્ષણના કામ પર નજીકથી નજર કરીએ.
સૌથી સરળ કેસ સ્થિર ઘર્ષણ છે. તે કહેવું પૂરતું છે કે ચળવળની ગેરહાજરીમાં, કાર્ય શૂન્ય છે, તેથી સ્થિર ઘર્ષણ કોઈપણ કાર્ય કરતું નથી.
જ્યારે એક શરીર બીજાની સપાટી પર ફરે છે, ત્યારે શુષ્ક ઘર્ષણનું બળ ઉદભવે છે. કુલોમ્બ-એમોન્ટન કાયદા અનુસાર, ઘર્ષણ બળની તીવ્રતા સતત છે અને ગતિની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશિત છે. પરિણામે, સમયની કોઈપણ ક્ષણે, માર્ગના કોઈપણ બિંદુએ, વેગ અને ઘર્ષણ બળ વેક્ટર વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશિત થાય છે, તેમની વચ્ચેનો કોણ સમાન છે 180°(યાદ રાખો cos180° = −1). આમ, ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય ઘર્ષણ બળના ઉત્પાદન અને બોલની લંબાઈ જેટલું હોય છે. એસ:
A mp = −F mp S. (1)
બે બિંદુઓ વચ્ચે તમે ગમે તેટલા પ્રક્ષેપણ મૂકી શકો છો, જેની લંબાઈ વિશાળ મર્યાદામાં બદલાઈ શકે છે; જ્યારે આ દરેક માર્ગ સાથે આગળ વધો, ત્યારે ઘર્ષણ બળ અલગ-અલગ કાર્ય કરશે.
કાર્યની વિભાવનાનો ઉપયોગ ઘર્ષણ દળોની હાજરીમાં પણ ઉપયોગી છે. ચાલો એક સરળ ઉદાહરણ જોઈએ. આડી સપાટી પર એક બ્લોક હોવા દો કે જેના પર દબાણ દ્વારા ગતિ આપવામાં આવે છે v ઓ. ચાલો આપણે શુષ્ક ઘર્ષણની હાજરીમાં રોકતા પહેલા બ્લોક કેટલું અંતર કાપશે તે શોધીએ, જેનો ગુણાંક બરાબર છે μ . જ્યારે ગતિ ઉર્જા બંધ કરવાથી શૂન્ય થઈ જાય છે, ત્યારે શરીરની ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર સમાન છે:

ગતિ ઊર્જા પરના પ્રમેય મુજબ, બાદમાં ફેરફાર બાહ્ય દળોના કાર્ય સમાન છે. કાર્ય કરવા માટેનું એકમાત્ર બળ ઘર્ષણ બળ છે, જે આ કિસ્સામાં સમાન છે:
A = −μmgS.
આ અભિવ્યક્તિઓની સમાનતા, અમે સરળતાથી સ્ટોપનો માર્ગ શોધીએ છીએ:
S = v o 2 /(2μg).
પ્રશ્નમાં રહેલા બ્લોકને આડી સપાટી સાથે સ્થિર ગતિએ ખસેડવા માટે, તેના પર એક સ્થિર, આડું નિર્દેશિત બળ લાગુ કરવું આવશ્યક છે. એફઘર્ષણ બળની તીવ્રતામાં સમાન. આ બાહ્ય શક્તિ સકારાત્મક કાર્ય કરશે એ, ઘર્ષણ બળના કાર્યની તીવ્રતામાં સમાન. આવી હિલચાલથી બ્લોકની ગતિ ઊર્જા વધશે નહીં. નોંધ કરો કે આ વિધાનમાં ગતિ ઊર્જા પરના પ્રમેય સાથે કોઈ વિરોધાભાસ નથી - આમ, બ્લોક પર કામ કરતું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય બરાબર છે. તેમ છતાં, તે નિશ્ચિતપણે સમજવું જરૂરી છે કે કોઈપણ બળનું કાર્ય એ એક સ્વરૂપથી બીજા સ્વરૂપમાં ઊર્જાના સંક્રમણનું માપ છે, તેથી તે નિર્ધારિત કરવું જરૂરી છે કે સિસ્ટમ (બાર અને સપાટી) માં શું ફેરફારો થયા છે. કામ કર્યું. જવાબ જાણીતો છે: સપાટી અને બ્લોક બંને ગરમ હતા. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બાહ્ય બળનું કાર્ય આંતરિક, થર્મલ ઊર્જાને વધારવા માટે ગયું. એ જ રીતે, બ્રેકિંગ દરમિયાન, બ્લોકની પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા આંતરિક ઊર્જામાં ફેરવાઈ. કોઈ પણ સંજોગોમાં, ઘર્ષણ બળનું કાર્ય થર્મલ ઊર્જામાં વધારો તરફ દોરી જાય છે.
જ્યારે સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં આગળ વધે છે, ત્યારે પ્રતિકાર શક્તિ શરીર પર કાર્ય કરે છે, ગતિના આધારે અને ગતિ વેક્ટરની વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશિત થાય છે, તેથી આ દળોનું કાર્ય હંમેશા નકારાત્મક હોય છે, અને તે શરીરના માર્ગ પર આધારિત છે. પરિણામે, ચીકણું ઘર્ષણ બળ સંભવિત નથી. સ્નિગ્ધ ઘર્ષણની હાજરીમાં થતા ઉર્જા પરિવર્તનો અગાઉ ચર્ચા કરાયેલા સમાન હોય છે, જો કે, તેમની ગણતરી ગતિ પરના દળોની અવલંબનને કારણે જટિલ છે. બિન-સંભવિત બળો કે જે આંતરિક ઊર્જામાં વધારો તરફ દોરી જાય છે તેને વિસર્જન 1 કહેવામાં આવે છે. આવા દળોના ઉદાહરણો ઘર્ષણ બળ છે.