નોંધાયેલા લોકો પાસેથી ગોળાનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે શોધવું. ગોળા, બોલ, સેગમેન્ટ અને સેક્ટર

અમે અહીં ખૂબ જ સરળ આપીએ છીએ, જો કે સંપૂર્ણપણે સખત નથી, ગોળાકાર સપાટીના વિસ્તાર માટેના સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ; તેના વિચારમાં તે ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસની પદ્ધતિઓની ખૂબ નજીક છે. તેથી, ચાલો ત્રિજ્યા R નો ચોક્કસ બોલ આપીએ. ચાલો તેની સપાટી પર થોડો નાનો વિસ્તાર પસંદ કરીએ (ફિગ. 412) અને બોલ O ની મધ્યમાં તેના શિરોબિંદુ સાથે પિરામિડ અથવા શંકુને ધ્યાનમાં લઈએ, આ વિસ્તાર તેના આધાર તરીકે છે. ; કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, અમે ફક્ત શરતી રીતે શંકુ અથવા પિરામિડ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, કારણ કે આધાર સપાટ નથી, પરંતુ ગોળાકાર છે. પરંતુ જો બેઝનું કદ બોલની ત્રિજ્યાની તુલનામાં નાનું હોય, તો તે સપાટ કરતા ખૂબ જ ઓછું અલગ હશે (ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે ખૂબ મોટું ન હોય ત્યારે જમીન પ્લોટએ હકીકતની અવગણના કરો કે તે પ્લેન પર નહીં, પરંતુ ગોળા પર છે).

પછી, આ વિભાગના ક્ષેત્ર દ્વારા "પિરામિડ" ના પાયાને સૂચિત કરીને, આપણે તેના વોલ્યુમને પાયાના ક્ષેત્ર દ્વારા ઊંચાઈના ત્રીજા ભાગના ઉત્પાદન તરીકે શોધીએ છીએ (ઊંચાઈ એ બોલની ત્રિજ્યા છે) :

જો હવે બોલની સમગ્ર સપાટી ખૂબ માં વિઘટિત છે મોટી સંખ્યા N આવા નાના વિસ્તારો, ત્યાં "પિરામિડ" ના N જથ્થા દ્વારા બોલનું કદ આ વિસ્તારોને તેમના પાયા તરીકે ધરાવે છે, પછી સમગ્ર વોલ્યુમ સરવાળો દ્વારા રજૂ કરવામાં આવશે

જ્યાં છેલ્લી રકમ છે સંપૂર્ણ સપાટીદડો:

તેથી, ગોળાની માત્રા તેની ત્રિજ્યા અને સપાટી વિસ્તારના ઉત્પાદનના ત્રીજા ભાગની બરાબર છે. તેથી સપાટી વિસ્તાર માટે અમારી પાસે સૂત્ર છે

છેલ્લું પરિણામ નીચે મુજબ ઘડવામાં આવ્યું છે:

ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ તેના વિશાળ વર્તુળના ક્ષેત્રફળના ચાર ગણા જેટલું છે.

ઉપરોક્ત નિષ્કર્ષ ગોળા ક્ષેત્રના સપાટી વિસ્તાર માટે પણ યોગ્ય છે (અમારો અર્થ ફક્ત આધાર, એટલે કે, ગોળાકાર સપાટી અથવા “કેપ”; ફિગ 409 જુઓ). અને આ કિસ્સામાં, સેક્ટરનું વોલ્યુમ બોલની ત્રિજ્યા અને તેના ગોળાકાર આધારના ક્ષેત્રફળના ઉત્પાદનના ત્રીજા ભાગ જેટલું છે:

જ્યાં આપણે કેપના ક્ષેત્રફળ માટે સૂત્ર શોધીએ છીએ

ગોળાકાર સ્તરની ગોળાકાર સપાટીને ગોળાકાર પટ્ટો કહેવામાં આવે છે (ફિગ. 408 જુઓ). ગોળાકાર પટ્ટાના સપાટીના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે, અમે બે ગોળાકાર કેપ્સની સપાટીઓ વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ છીએ:

સ્તરની ઊંચાઈ ક્યાં છે. તેથી, આપેલ બોલ માટે ગોળાકાર પટ્ટાની સપાટીનો વિસ્તાર ફક્ત અનુરૂપ સ્તરની ઊંચાઈ પર આધારિત છે, પરંતુ બોલ પરની તેની સ્થિતિ પર નહીં.

કાર્ય. દડાની આસપાસ ઘેરાયેલા શંકુની બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ બોલના સપાટીના ક્ષેત્રફળના દોઢ જેટલું હોય છે. જો બોલની ત્રિજ્યા હોય તો શંકુની ઊંચાઈ શોધો.

ઉકેલ. સગવડ માટે, ચાલો શંકુની ઊંચાઈ અને જનરેટ્રીક્સ (ફિગ. 413) વચ્ચેનો કોણ a દાખલ કરીએ. ચાલો શંકુની ઊંચાઈ, આધાર ત્રિજ્યા અને જનરેટિક્સ માટેના સમીકરણો શોધીએ

બોલ એ ચોક્કસ ત્રિજ્યા R ના અંતરે કેન્દ્ર બિંદુથી વિસ્તરેલ અવકાશના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે. ત્રિજ્યા, બદલામાં, કેન્દ્રને જોડતો ભાગ છે. દડોતેની સપાટી પરના દરેક બિંદુ સાથે.

તમને જરૂર પડશે

- બોલના સપાટી વિસ્તાર માટેનું સૂત્ર;
- બોલના વોલ્યુમ માટેનું સૂત્ર;
- અંકગણિત કુશળતા.

સૂચનાઓ

1. IN રોજિંદુ જીવનઘણી વાર ગણતરી કરવી પડે છે ચોરસસામગ્રીના વપરાશની ગણતરી કરવા માટે ગોળાકાર સપાટી અથવા તેનો ભાગ. વોલ્યુમની ગણતરી કર્યા પછી દડો, તમે મારફતે કરી શકો છો ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણગોળાની સામગ્રી બનાવે છે તે પદાર્થના સમૂહની ગણતરી કરો. શોધવા માટે ચોરસઅને વોલ્યુમ દડો, તેની ત્રિજ્યા અથવા વ્યાસ જાણવા માટે તે પૂરતું છે. આજના શાળાના બાળકો માધ્યમિક શાળાના 11મા ધોરણમાં મેળવે છે તે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, તમે સરળતાથી આ પરિમાણોની ગણતરી કરી શકો છો.

2. ચાલો કહીએ કે, દરેક FIFA ની જરૂરિયાત મુજબ, ગણતરીમાં સરળતા માટે 21.8-22.2 cm ની રેન્જમાં હોવી જોઈએ પરિણામે, ત્રિજ્યા (R) બરાબર હશે. 2) - 11 સે.મી ચોરસસોકર બોલની સપાટી?

3. સપાટી વિસ્તાર સૂત્ર લો દડો: એસ દડો= 4tmR2 સોકર બોલની ત્રિજ્યાને ઉપરના સૂત્રમાં બદલો - 11 સેમી S = 4 x 3.14 x 11x11.

4. સરળ ગાણિતિક ક્રિયાઓ હાથ ધર્યા પછી, તમને પરિણામ મળે છે: 1519.76. આમ, ચોરસસોકર બોલની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ 1,519.76 ચોરસ સેન્ટિમીટર છે.

5. હવે બોલના વોલ્યુમની ગણતરી કરો. વોલ્યુમની ગણતરી માટે સૂત્ર લો દડો: V = 4/3tmR3 ફરીથી સોકર બોલની ત્રિજ્યાનું મૂલ્ય - 11 સેમી V = 4/3 x 3.14 x 11 x 11 x 11.

6. ગણતરીઓ પછી, કહો, કેલ્ક્યુલેટર પર તમને મળે છે: 5576.89 તે તારણ આપે છે કે સોકર બોલમાં હવાનું પ્રમાણ 5,576.89 ઘન સેન્ટિમીટર છે.

એક બોલ એ સૌથી સરળ ત્રિ-પરિમાણીય ભૌમિતિક આકૃતિ છે, જેનું કદ દર્શાવવા માટે કે જેમાં દરેક એક પરિમાણ પર્યાપ્ત છે. આ આકૃતિની સીમાઓને સામાન્ય રીતે ગોળા કહેવામાં આવે છે. ગોળા દ્વારા મર્યાદિત જગ્યાના જથ્થાને યોગ્ય ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો, અને કામચલાઉ માધ્યમો સાથે.

સૂચનાઓ

1. ગોળાના જથ્થા (V) માટે ક્લાસિક સૂત્રનો ઉપયોગ કરો, જો તેની ત્રિજ્યા (r) શરતોથી જાણીતી હોય તો - ત્રિજ્યાને ત્રીજી ઘાત સુધી વધારવી, સંખ્યા Pi વડે ગુણાકાર કરો અને કુલને બીજા ત્રીજા વડે વધારો. આ સૂત્ર નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે: V=4*?*r?/3.

2. જો ગોળાના વ્યાસ (d)ને માપવાનું શક્ય હોય, તો તેને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરો અને અગાઉના પગલામાંથી સૂત્રમાં ત્રિજ્યા તરીકે તેનો ઉપયોગ કરો. અથવા Pi: V=?*d?/6 વડે ગુણાકાર કરેલ ઘન વ્યાસનો છઠ્ઠો ભાગ શોધો.

3. જો આપણે સિલિન્ડરનું વોલ્યુમ (v) જાણીએ છીએ, જેમાં ગોળા અંકિત છે, તો તેનું વોલ્યુમ શોધવા માટે, નિર્ધારિત કરો કે સિલિન્ડરના જાણીતા જથ્થાના બે તૃતીયાંશ ભાગ કેટલા સમાન છે: V=?*v.

4. જો આપણે જાણીએ સરેરાશ ઘનતા(p) તે સામગ્રી કે જેમાંથી ગોળાનો સમાવેશ થાય છે, અને તેનો સમૂહ (m), તો આ વોલ્યુમ નક્કી કરવા માટે પણ પૂરતું છે - બીજાને પ્રથમ દ્વારા વિભાજીત કરો: V=m/p.

5. ગોળાકાર જહાજના જથ્થાને માપવા માટે કેટલાક માપન કન્ટેનરનો ઉપયોગ સરળ માધ્યમ તરીકે કરો. ચાલો કહીએ કે, રેડવામાં આવતા પ્રવાહીની માત્રાને માપવા માટે માપન કન્ટેનરનો ઉપયોગ કરીને તેને પાણીથી ભરો. પરિણામી મૂલ્યને લિટરમાં ક્યુબિક મીટરમાં રૂપાંતરિત કરો - આ એકમ વોલ્યુમ માપવા માટે આંતરરાષ્ટ્રીય SI સિસ્ટમમાં અપનાવવામાં આવ્યું છે. લિટરથી ક્યુબિક મીટરમાં રૂપાંતરિત કરવાના સૂચક તરીકે, 1000 નંબરનો ઉપયોગ કરો, કારણ કે એક લિટર એક ઘન ડેસિમીટર બરાબર છે, અને તેમાંથી એક હજાર બરાબર દરેક ઘન મીટરમાં ફિટ છે.

6. જો ગોળાકાર શરીર પ્રવાહીથી ભરી શકાતું નથી, પરંતુ તેમાં ડૂબી શકાય છે, તો અગાઉના પગલામાં વર્ણવેલ વિપરીત માપન નિયમનો ઉપયોગ કરો. માપન વાસણને પાણીથી ભરો, સ્તર સાફ કરો, પ્રવાહીમાં માપવામાં આવતા ગોળાકાર શરીરને નિમજ્જિત કરો અને સ્તરોમાં તફાવતના આધારે, વિસ્થાપિત પાણીની માત્રા નક્કી કરો. આ પછી, પાછલા પગલામાં વર્ણવ્યા પ્રમાણે પરિણામી કુલને લિટરથી ઘન મીટરમાં રૂપાંતરિત કરો.

વિષય પર વિડિઓ

ઑબ્જેક્ટનું સમારકામ, ખસેડવું, પેઇન્ટિંગ - આ બધા માટે વિસ્તારની ગણતરી કરવાની જરૂર પડશે. શાળાનો અભ્યાસક્રમ યાદ રાખવો એ ગુનો નથી.

સૂચનાઓ

1. ચાલો યાદ કરીએ કે વિસ્તાર શું છે. ક્ષેત્રફળ એ પ્રમાણભૂત આકૃતિના સંબંધમાં સમતલ આકૃતિનું માપ છે. અથવા સાચું મૂલ્ય, જેનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે: જો કોઈ આકૃતિને ભાગોમાં વિભાજિત કરી શકાય જે આદિમ આકૃતિઓ હશે, તો આવી આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ તેના ભાગોના ક્ષેત્રોના સરવાળા જેટલું હશે. એક બાજુવાળા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ જે માપના એકમ જેટલું છે તે એક સમાન છે સમાન આંકડાઓ સમાન ક્ષેત્રો ધરાવે છે આ નિયમો પરથી તે અનુસરે છે કે ક્ષેત્રફળ ચોક્કસ જથ્થો નથી, એટલે કે, વિસ્તાર માત્ર એક શરતી આપે છે. અમુક આકૃતિ સાથે જોડાણ. જ્યારે તમારે મનસ્વી આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ શોધવાની જરૂર હોય, ત્યારે તમારે ગણતરી કરવાની જરૂર છે કે એક બાજુ સાથે કેટલા ચોરસ છે (જે એક સમાન છે) આ આંકડો સમાવી શકે છે.

2. ઉદાહરણ: ચાલો એક આકૃતિ લઈએ - એક લંબચોરસ, જેમાં એક ચોરસ સેન્ટીમીટર છ વખત બંધબેસે છે. પછી આવા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ 6 સેમી 2 જેટલું હશે. જો આપણે વધુ મુશ્કેલ આકૃતિ લઈએ, કહો, ટ્રેપેઝોઇડ, તો તે તારણ આપે છે કે: જો ટ્રેપેઝોઇડ એટલો કદ છે કે એક ચોરસ સેન્ટીમીટર તેમાં ફક્ત બે વાર ફિટ થાય છે, અને ત્રીજો ભાગ સંપૂર્ણ રીતે બંધ બેસતો નથી અને એક નાનો ત્રિકોણ રહે છે. આ બાકીના ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળને માપવા માટે, તમારે તેના પર ચોરસ સેન્ટિમીટરના અપૂર્ણાંકો લાગુ કરવાની જરૂર છે, તમે એક મિલિમીટર લઈ શકો છો. સાચું છે, આ પદ્ધતિ મુશ્કેલ આકૃતિઓ માટે ખૂબ આરામદાયક નથી. પરિણામે, વિવિધ આંકડાઓના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટે વિવિધ સૂત્રો છે. જો તમારે કોઈ ચોક્કસ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાની જરૂર હોય, તો તમે ભૂમિતિની પાઠ્યપુસ્તક લઈ શકો છો અને તે સામગ્રીને યાદ રાખી શકો છો જે તમે એકવાર શાળામાં અભ્યાસ કર્યો હતો તેથી, સમઘનનું ક્ષેત્રફળ: નું ક્ષેત્રફળ સમઘન ચહેરાના ક્ષેત્રફળ દ્વારા ગુણાકાર કરેલ ચહેરાઓની સંખ્યા જેટલો છે, એટલે કે. 6*a2

વિષય પર વિડિઓ

સ્પષ્ટ સિસ્ટમના તમામ ગ્રહો આકાર ધરાવે છે દડો. આ ઉપરાંત, તકનીકી ઉપકરણોના ભાગો સહિત માણસ દ્વારા બનાવવામાં આવેલી ઘણી વસ્તુઓ, ગોળાકાર અથવા આવા આકારની નજીક છે. બોલ, ક્રાંતિના કોઈપણ શરીરની જેમ, એક ધરી ધરાવે છે જે તેના વ્યાસ સાથે એકરુપ હોય છે. જો કે, આ એક અપવાદરૂપ મુખ્ય ગુણવત્તા નથી દડો. નીચે આના મુખ્ય ગુણધર્મો છે ભૌમિતિક આકૃતિઅને તેનો વિસ્તાર શોધવા માટેની પદ્ધતિ.

સૂચનાઓ

1. જો તમે અર્ધવર્તુળ અથવા વર્તુળ લો અને તેને તેની ધરીની આસપાસ ફેરવો, તો તમને એક બોલ કહેવાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બોલ એ ગોળા દ્વારા બંધાયેલ શરીર છે. ગોળા એક શેલ છે દડો, અને તેનો ક્રોસ વિભાગ એક વર્તુળ છે. થી દડોતે અલગ છે કે તે હોલો છે. ધરી જેવી દડો, તેથી ગોળા માટે તે વ્યાસ સાથે મેળ ખાય છે અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. ત્રિજ્યા દડોતેના કેન્દ્રથી કોઈપણ બાહ્ય બિંદુ તરફ દોરેલા સેગમેન્ટને કહેવાય છે. ગોળાની વિપરીત, વિભાગ દડોવર્તુળો છે. ઘણા ગ્રહો અને અવકાશી પદાર્થોનો આકાર ગોળાકારની નજીક હોય છે. વિવિધ બિંદુઓ પર દડોત્યાં આકારમાં સમાન છે, પરંતુ કદમાં અસમાન છે, કહેવાતા વિભાગો - વિવિધ ક્ષેત્રોના વર્તુળો.

2. એક બોલ અને ગોળા એ વિનિમયક્ષમ શરીર છે, શંકુથી વિપરીત, હકીકત એ છે કે શંકુ પણ ક્રાંતિનું શરીર છે. ગોળાકાર સપાટીઓ તેમના ક્રોસ-સેક્શનમાં હંમેશા એક વર્તુળ બનાવે છે, ભલે તે બરાબર કેવી રીતે ફરે છે - આડી અથવા ઊભી રીતે. શંક્વાકાર સપાટી ફક્ત તેની ધરી સાથે ત્રિકોણને પાયા પર લંબ ફેરવીને મેળવવામાં આવે છે. પરિણામે, શંકુ, વિપરીત દડો, અને ક્રાંતિનું વિનિમયક્ષમ શરીર માનવામાં આવતું નથી.

3. સૌથી મોટું શક્ય વર્તુળ કટીંગ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે દડો O કેન્દ્રમાંથી પસાર થતું વિમાન. કેન્દ્ર Oમાંથી પસાર થતા તમામ વર્તુળો સમાન વ્યાસમાં એકબીજાને છેદે છે. ત્રિજ્યા હંમેશા અડધા વ્યાસ જેટલી હોય છે. સપાટી પર ગમે ત્યાં સ્થિત બે બિંદુઓ A અને B દ્વારા દડો, અમર્યાદિત સંખ્યામાં વર્તુળો અથવા વર્તુળોમાંથી પસાર થઈ શકે છે. તે આ કારણોસર છે કે પૃથ્વીના ધ્રુવો દ્વારા અમર્યાદિત સંખ્યામાં મેરિડીયન દોરી શકાય છે.

4. વિસ્તાર શોધતી વખતે દડોઅન્ય કોઈની પહેલાં ગણવામાં આવે છે ચોરસગોળાકાર સપાટી. વિસ્તાર દડો, અથવા તેના બદલે, તેની સપાટી બનાવતા ગોળાની ગણતરી R સમાન ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળના ક્ષેત્રફળના આધારે કરી શકાય છે. એ હકીકત પરથી ચોરસવર્તુળનું અર્ધવર્તુળ અને ત્રિજ્યાનું ઉત્પાદન છે, તેની ગણતરી નીચેની રીતે કરી શકાય છે: S = ?R^2 કારણ કે કેન્દ્ર દ્વારા દડોચાર મુખ્ય વિશાળ વર્તુળો પસાર કરો, પછી, તે મુજબ ચોરસ દડો(ગોળા) બરાબર છે:S = 4 ?R^2

5. જો આપણે વ્યાસ અથવા ત્રિજ્યા જાણીએ તો આ સૂત્ર યોગ્ય હોઈ શકે છે દડોઅથવા ગોળા. જો કે, આ પરિમાણો તમામ ભૌમિતિક સમસ્યાઓમાં શરતો તરીકે આપવામાં આવતાં નથી. એવી સમસ્યાઓ પણ છે જેમાં સિલિન્ડરમાં બોલ લખવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, તમારે આર્કિમિડીઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ, જેનો સાર તે છે ચોરસસપાટીઓ દડોસિલિન્ડરની કુલ સપાટી કરતાં દોઢ ગણું ઓછું: S = 2/3 S સિલિન્ડર, જ્યાં S સિલિન્ડર. - ચોરસસિલિન્ડરની સંપૂર્ણ સપાટી.

વિષય પર વિડિઓ

બોલ એ ભૌમિતિક રીતે સકારાત્મક આકારની સૌથી સરળ ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિ છે, જેની સીમાઓની અંદર અવકાશના તમામ બિંદુઓ ત્રિજ્યાથી વધુ ન હોય તેવા અંતરે તેના કેન્દ્રમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે. કેન્દ્રથી સૌથી દૂરના મોટાભાગના બિંદુઓથી બનેલી સપાટીને ગોળા કહે છે. ગોળામાં સમાવિષ્ટ જગ્યાના માપને જથ્થાત્મક રીતે વ્યક્ત કરવા માટે, એક પરિમાણ પ્રદાન કરવામાં આવે છે, જેને બોલનું પ્રમાણ કહેવામાં આવે છે.

સૂચનાઓ

1. જો તમે બોલના જથ્થાને સૈદ્ધાંતિક રીતે નહીં, પરંતુ ફક્ત સુધારેલા માધ્યમોથી માપવા માંગતા હો, તો તેના દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું પ્રમાણ નક્કી કરીને આ કરી શકાય છે. આ પદ્ધતિતે કિસ્સામાં લાગુ પડે છે જ્યારે બોલને તેની સાથે અનુરૂપ કેટલાક કન્ટેનરમાં મૂકવાની સંભાવના હોય છે - એક બીકર, કાચ, જાર, ડોલ, બેરલ, પૂલ, વગેરે. આ કિસ્સામાં, બોલ મૂકતા પહેલા, પાણીના સ્તરને સાફ કરો, તે સંપૂર્ણપણે ડૂબી જાય પછી ફરીથી આ કરો, અને પછી ગુણ વચ્ચેનો તફાવત શોધો. પરંપરાગત રીતે, ફેક્ટરી દ્વારા ઉત્પાદિત માપન કન્ટેનરમાં લિટર અને તેમાંથી મેળવેલા એકમોમાં વોલ્યુમ દર્શાવતા વિભાગો હોય છે - મિલીલીટર, ડેકેલિટર્સ, વગેરે. જો પ્રાપ્ત મૂલ્યને ક્યુબિક મીટર અને વોલ્યુમના બહુવિધ એકમોમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર હોય, તો પછી એ હકીકતથી આગળ વધો કે એક લિટર એક ઘન ડેસિમીટર અથવા ઘન મીટરના હજારમા ભાગને અનુરૂપ છે.

2. જે સામગ્રીમાંથી બોલ બનાવવામાં આવ્યો છે તે જો જાણી શકાય અને આ સામગ્રીની ઘનતા સંદર્ભ પુસ્તકમાંથી જાણી શકાય, તો તેનું પ્રમાણ વજન દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે. આ આઇટમ. માત્ર ઉત્પાદન પદાર્થની સંદર્ભ ઘનતા દ્વારા વજનના પરિણામને વિભાજીત કરો: V=m/p.

3. જો બોલની ત્રિજ્યા સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ પરથી નક્કી કરવામાં આવે છે અથવા તેને માપી શકાય છે, તો અનુરૂપ ગાણિતિક સૂત્રનો ઉપયોગ વોલ્યુમની ગણતરી કરવા માટે કરી શકાય છે. ત્રિજ્યાની ત્રીજી ઘાત વડે ચતુર્થાંશ સંખ્યા Pi નો ગુણાકાર કરો અને પરિણામી કુલને ત્રણ વડે ભાગો: V=4*?*r?/3. ચાલો કહીએ કે, 40 સે.મી.ની ત્રિજ્યા સાથે, બોલનું કદ 4 * 3.14 * 40?/3 = 267946.67 cm હશે? ? 0.268m?.

4. ત્રિજ્યાને માપવા કરતાં વ્યાસ માપવાનું ઘણીવાર સરળ હોય છે. આ કિસ્સામાં, પાછલા પગલામાંથી સૂત્રનો ઉપયોગ કરવા માટે તેને અડધા ભાગમાં વહેંચવાની જરૂર નથી - સૂત્રને જ સરળ બનાવવું વધુ સારું છે. રૂપાંતરિત સૂત્ર અનુસાર, નંબર Pi ને વ્યાસ વડે ત્રીજી ઘાત સાથે ગુણાકાર કરો અને કુલને છ વડે ભાગો: V=?*d?/6. ચાલો કહીએ કે, 50 સે.મી.ના વ્યાસવાળા બોલનું કદ 3.14 * 50?/6 = 65416.67 સેમી હોવું જોઈએ? ? 0.654m?.

વર્તુળના ક્ષેત્રફળની ગણતરી સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓ ઘણીવાર શાળાના ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમોમાં જોવા મળે છે. શોધવા માટે ચોરસવર્તુળ, તમારે લંબાઈ જાણવાની જરૂર છે વ્યાસઅથવા વર્તુળની ત્રિજ્યા જેમાં તે બંધાયેલ છે.

તમને જરૂર પડશે

- વર્તુળના વ્યાસની લંબાઈ.

સૂચનાઓ

1. વર્તુળ એ પ્લેન પરની એક આકૃતિ છે જેમાં બીજા બિંદુથી સમાન અંતરે સ્થિત ઘણા બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે, જેને કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે. વર્તુળ એ એક સપાટ ભૌમિતિક આકૃતિ છે જેમાં વર્તુળમાં બંધ ઘણા બધા બિંદુઓ હોય છે, જે વર્તુળની સીમા છે. વ્યાસ એ વર્તુળ પરના બે બિંદુઓને જોડતો અને તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતો રેખાખંડ છે. ત્રિજ્યા એ વર્તુળ અને તેના કેન્દ્ર પરના બિંદુને જોડતો ભાગ છે. ? - નંબર “pi”, ગાણિતિક સ્થિરાંક, સતત મૂલ્ય. તે વર્તુળના પરિઘ અને તેની લંબાઈનો ગુણોત્તર દર્શાવે છે વ્યાસ. સંખ્યાના ચોક્કસ મૂલ્યની ગણતરી કરો? અશક્ય ભૂમિતિમાં, આ સંખ્યાના અંદાજિત મૂલ્યનો ઉપયોગ થાય છે: ? ? 3.14

2. વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ ત્રિજ્યા અને સંખ્યાના વર્ગના ગુણાંક જેટલું છે અને તેની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે: S=?R^2, જ્યાં S - ચોરસવર્તુળ, R એ વર્તુળની ત્રિજ્યાની લંબાઈ છે.

3. ત્રિજ્યાની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે તે અડધા બરાબર છે વ્યાસ. પરિણામે, સૂત્ર ફોર્મ લે છે: S=?(D/2)^2, જ્યાં D લંબાઈ છે વ્યાસવર્તુળો સૂત્રમાં મૂલ્યને બદલો વ્યાસ, ગણત્રી ચોરસવર્તુળ

4. વર્તુળનો વિસ્તાર વિસ્તારના એકમોમાં માપવામાં આવે છે - mm2, cm2, m2, વગેરે. તમે પ્રાપ્ત કરેલી માહિતી કયા એકમોમાં વ્યક્ત થાય છે? ચોરસવર્તુળ એકમો પર આધાર રાખે છે જેમાં વર્તુળનો વ્યાસ આપવામાં આવ્યો હતો.

5. જો તમારે ગણતરી કરવાની જરૂર હોય ચોરસરિંગ, સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: S=?(R-r)^2, જ્યાં R, r એ અનુક્રમે રિંગના બાહ્ય અને આંતરિક વર્તુળોની ત્રિજ્યા છે.

મદદરૂપ સલાહ
ત્યાં આંતરરાષ્ટ્રીય પાઇ દિવસ છે, જે 14મી માર્ચે ઉજવવામાં આવે છે. ચોક્કસ સમયવિજયની તારીખનું આગમન 1 કલાક 59 મિનિટ 26 સેકન્ડ છે, તારીખની સંખ્યા અનુસાર - 3.1415926...

વિષય પર વિડિઓ

નૉૅધ!
રસપ્રદ: બીજા બોલના વ્યાસ કરતા ત્રણ ગણા વ્યાસવાળા બોલનું વોલ્યુમ આવા 3 બોલના કુલ વોલ્યુમ કરતાં 9 ગણું મોટું છે.

મદદરૂપ સલાહ
ગાણિતિક ગણતરીઓ માટે બાળકોના જુસ્સાને વિકસાવવા માટે, ગણતરી માટે ઉદાહરણો તરીકે આસપાસની વસ્તુઓ પ્રદાન કરો: એક બોલ, એક તરબૂચ, દાદીના યાર્નનો એક બોલ. તે દ્રશ્ય અને તેથી આકર્ષક છે.

વ્યાખ્યા.

ગોળાકાર (બોલ સપાટી) એ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશના તમામ બિંદુઓનો સંગ્રહ છે જે એક બિંદુથી સમાન અંતરે છે, જેને કહેવાય છે. ગોળાનું કેન્દ્ર(વિશે).

ગોળાને ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિ તરીકે વર્ણવી શકાય છે જે તેના વ્યાસની આસપાસ વર્તુળને 180° અથવા તેના વ્યાસની આસપાસ અર્ધવર્તુળને 360° દ્વારા ફેરવવાથી બને છે.

વ્યાખ્યા.

દડોત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં તમામ બિંદુઓનો સંગ્રહ છે, જેનું અંતર એક બિંદુ સુધીના ચોક્કસ અંતરને ઓળંગતું નથી બોલનું કેન્દ્ર(O) (ગોળા દ્વારા મર્યાદિત ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ).

બોલને ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિ તરીકે વર્ણવી શકાય છે જે તેના વ્યાસની આસપાસ વર્તુળને 180° દ્વારા અથવા તેના વ્યાસની આસપાસ અર્ધવર્તુળને 360° દ્વારા ફેરવવાથી બને છે.

વ્યાખ્યા. ગોળાની ત્રિજ્યા (બોલ)(R) એ ગોળાના કેન્દ્રથી અંતર છે (બોલ) ઓગોળાના કોઈપણ બિંદુ સુધી (બોલની સપાટી).

વ્યાખ્યા. ગોળાકાર (બોલ) વ્યાસ(D) એ ગોળાના બે બિંદુઓ (બોલની સપાટી) ને જોડતો અને તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતો ભાગ છે.

ફોર્મ્યુલા. વલયની માત્રા:

V=	4	π R 3 =	1	π ડી 3
	3		6

ફોર્મ્યુલા. ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળત્રિજ્યા અથવા વ્યાસ દ્વારા:

S = 4π R 2 = π D 2

ગોળ સમીકરણ

1. કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના મૂળ પર ત્રિજ્યા R અને કેન્દ્ર સાથેના ગોળાના સમીકરણ:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં કોઓર્ડિનેટ્સ (x 0, y 0, z 0) સાથેના બિંદુ પર ત્રિજ્યા R અને કેન્દ્ર સાથેના ગોળાના સમીકરણ:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

વ્યાખ્યા. ડાયમેટ્રિકલી વિરુદ્ધ બિંદુઓબોલ (ગોળા) ની સપાટી પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ છે જે વ્યાસ દ્વારા જોડાયેલા છે.

ગોળા અને બોલના મૂળભૂત ગુણધર્મો

1. ગોળાના તમામ બિંદુઓ કેન્દ્રથી સમાન રીતે દૂર છે.

2. પ્લેન દ્વારા ગોળાના કોઈપણ વિભાગ એક વર્તુળ છે.

3. વિમાન દ્વારા બોલનો કોઈપણ વિભાગ એક વર્તુળ છે.

4. સમાન સપાટી વિસ્તાર સાથે તમામ અવકાશી આકૃતિઓમાં ગોળામાં સૌથી વધુ વોલ્યુમ છે.

5. કોઈપણ બે ડાયમેટ્રિકલી વિપરીત બિંદુઓ દ્વારા તમે ગોળા માટે ઘણા મહાન વર્તુળો અથવા બોલ માટે વર્તુળો દોરી શકો છો.

6. કોઈપણ બે બિંદુઓ દ્વારા, ડાયમેટ્રિકલી વિરુદ્ધ બિંદુઓ સિવાય, તમે ગોળા માટે માત્ર એક મોટું વર્તુળ અથવા બોલ માટે એક મોટું વર્તુળ દોરી શકો છો.

7. એક બોલના કોઈપણ બે મહાન વર્તુળો બોલના મધ્યમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા સાથે છેદે છે અને વર્તુળો બે વિપરિત બિંદુઓ પર છેદે છે.

8. જો કોઈપણ બે દડાના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાના સરવાળા કરતા ઓછું અને તેમની ત્રિજ્યાના તફાવતના મોડ્યુલસ કરતા વધારે હોય, તો આવા દડા છેદવું, અને આંતરછેદ સમતલમાં એક વર્તુળ રચાય છે.

સેકન્ટ, તાર, ગોળાના સેકન્ટ પ્લેન અને તેમના ગુણધર્મો

વ્યાખ્યા. સ્ફિયર સેકન્ટએક સીધી રેખા છે જે ગોળાને બે બિંદુઓ પર છેદે છે. આંતરછેદ બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે વેધન બિંદુઓસપાટી પરની સપાટીઓ અથવા પ્રવેશ અને બહાર નીકળવાના બિંદુઓ.

વ્યાખ્યા. ગોળાની તાર (બોલ)- આ એક ગોળા (બોલની સપાટી) પરના બે બિંદુઓને જોડતો ભાગ છે.

વ્યાખ્યા. કટીંગ પ્લેનપ્લેન છે જે ગોળાને છેદે છે.

વ્યાખ્યા. ડાયમેટ્રાલ પ્લેન- આ ગોળા અથવા બોલની મધ્યમાંથી પસાર થતું એક સેકન્ટ પ્લેન છે, તે મુજબ વિભાગ રચાય છે મોટું વર્તુળઅને મોટું વર્તુળ. મહાન વર્તુળ અને મહાન વર્તુળમાં એક કેન્દ્ર હોય છે જે ગોળાના કેન્દ્ર (બોલ) સાથે એકરુપ હોય છે.

ગોળાના મધ્યમાંથી પસાર થતી કોઈપણ તાર એક વ્યાસ છે.

તાર એ સેકન્ટ લાઇનનો એક સેગમેન્ટ છે.

ગોળાના કેન્દ્રથી સેકન્ટ સુધીનું અંતર d હંમેશા ગોળાની ત્રિજ્યા કરતા ઓછું હોય છે:

ડી< R

કટીંગ પ્લેન અને ગોળાના કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર m હંમેશા ત્રિજ્યા R કરતા ઓછું હોય છે:

m< R

ગોળા પર કટીંગ પ્લેનના વિભાગનું સ્થાન હંમેશા રહેશે નાનું વર્તુળ, અને બોલ પર વિભાગ હશે નાનું વર્તુળ. નાના વર્તુળ અને નાના વર્તુળના પોતાના કેન્દ્રો છે જે ગોળાના કેન્દ્ર (બોલ) સાથે મેળ ખાતા નથી. આવા વર્તુળની ત્રિજ્યા r સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

r = √R 2 - મીટર 2,

જ્યાં R એ ગોળા (બોલ) ની ત્રિજ્યા છે, m એ બોલના કેન્દ્રથી કટીંગ પ્લેન સુધીનું અંતર છે.

વ્યાખ્યા. ગોળાર્ધ (ગોળાર્ધ)- આ ગોળા (બોલ)નો અડધો ભાગ છે, જે ડાયમેટ્રિકલ પ્લેન દ્વારા કાપવામાં આવે ત્યારે બને છે.

સ્પર્શક, ગોળાને સ્પર્શક સમતલ અને તેમના ગુણધર્મો

વ્યાખ્યા. ગોળાને સ્પર્શકએક સીધી રેખા છે જે માત્ર એક બિંદુ પર ગોળાને સ્પર્શે છે.

વ્યાખ્યા. ગોળાને સ્પર્શક વિમાનએક પ્લેન છે જે માત્ર એક બિંદુ પર ગોળાને સ્પર્શે છે.

સ્પર્શરેખા (વિમાન) હંમેશા સંપર્કના બિંદુ તરફ દોરેલા ગોળાની ત્રિજ્યાને લંબરૂપ હોય છે.

ગોળાના કેન્દ્રથી સ્પર્શરેખા (પ્લેન) સુધીનું અંતર ગોળાની ત્રિજ્યા જેટલું છે.

વ્યાખ્યા. બોલ સેગમેન્ટ- આ બોલનો તે ભાગ છે જે કટીંગ પ્લેન દ્વારા બોલમાંથી કાપી નાખવામાં આવે છે. સેગમેન્ટનો આધારવિભાગની સાઇટ પર બનેલા વર્તુળને કહેવાય છે. સેગમેન્ટની ઊંચાઈ h એ સેગમેન્ટના પાયાની મધ્યથી સેગમેન્ટની સપાટી સુધી દોરવામાં આવેલ લંબરૂપની લંબાઈ છે.

ફોર્મ્યુલા. ગોળાના ભાગનો બાહ્ય સપાટી વિસ્તારગોળા R ની ત્રિજ્યા દ્વારા h ની ઊંચાઈ સાથે:

S = 2πRh

આપણામાંના ઘણાને ફૂટબોલ રમવાનું ગમે છે, અથવા ઓછામાં ઓછા આપણામાંના લગભગ દરેકે આ પ્રખ્યાત વિશે સાંભળ્યું છે રમતગમતની રમત. દરેક વ્યક્તિ જાણે છે કે ફૂટબોલ બોલથી રમાય છે.

જો તમે કોઈ વટેમાર્ગુને પૂછો કે બોલનો ભૌમિતિક આકાર શું છે, તો કેટલાક લોકો કહેશે કે તે ગોળાકાર છે, અને કેટલાક કહેશે કે તે ગોળાકાર છે. તો જે યોગ્ય છે? અને ગોળા અને બોલ વચ્ચે શું તફાવત છે?

મહત્વપૂર્ણ!

દડોઅવકાશી શરીર છે. બોલની અંદરનો ભાગ કંઈકથી ભરેલો છે. તેથી, ગોળાની માત્રા શોધી શકાય છે.

જીવનમાં બોલના ઉદાહરણો: તરબૂચ અને સ્ટીલનો બોલ.

વર્તુળ અને વર્તુળની જેમ બોલ અને ગોળામાં કેન્દ્ર, ત્રિજ્યા અને વ્યાસ હોય છે.

મહત્વપૂર્ણ!

ગોળાકાર- બોલની સપાટી. તમે ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધી શકો છો.

જીવનમાં ગોળાઓનાં ઉદાહરણો: વોલીબોલ અને ટેબલ ટેનિસ બોલ.

ગોળાનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે શોધવું

યાદ રાખો!

ગોળાના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર: S=4 π R 2

ગોળાના ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, તમારે યાદ રાખવું જરૂરી છે કે સંખ્યાની શક્તિ શું છે. જાણીને ડિગ્રીનું નિર્ધારણ, આપણે નીચે પ્રમાણે ગોળાના ક્ષેત્રફળ માટે સૂત્ર લખી શકીએ છીએ.
S=4 π R 2 = 4π R · R;

ચાલો પ્રાપ્ત કરેલ જ્ઞાનને એકીકૃત કરીએ અને ચાલો ગોળાના વિસ્તાર પર સમસ્યા હલ કરીએ.

ઝુબેરેવા 6ઠ્ઠો ધોરણ. નંબર 692(a)

કાર્ય:

જો ગોળાની ત્રિજ્યા હોય તો તેના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો 1 = 3 · = = / (4 · 3) = ) = = ) =
= = = 88
88
= 1
આર 3 = 1
આર = 1 મી

મહત્વપૂર્ણ!

વ્હાલા માતા પિતા!

છેલ્લે ત્રિજ્યાની ગણતરી કરતી વખતે, બાળકને ઘનમૂળની ગણતરી કરવા દબાણ કરવાની જરૂર નથી. 6ઠ્ઠા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓએ ગણિતમાં મૂળની વ્યાખ્યા હજુ સુધી લીધી નથી અને તેઓ જાણતા નથી.

6ઠ્ઠા ધોરણમાં, આવી સમસ્યાનું નિરાકરણ કરતી વખતે, જડ બળ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો.

વિદ્યાર્થીને પૂછો કે કઇ સંખ્યા, જો 3 વખત જાતે ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો એક આપશે.

અમે અહીં ખૂબ જ સરળ આપીએ છીએ, જો કે સંપૂર્ણપણે સખત નથી, ગોળાકાર સપાટીના વિસ્તાર માટેના સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ; તેના વિચારમાં તે ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસની પદ્ધતિઓની ખૂબ નજીક છે. તેથી, ચાલો ત્રિજ્યા R નો ચોક્કસ બોલ આપીએ. ચાલો તેની સપાટી પર થોડો નાનો વિસ્તાર પસંદ કરીએ (ફિગ. 412) અને બોલ O ની મધ્યમાં તેના શિરોબિંદુ સાથે પિરામિડ અથવા શંકુને ધ્યાનમાં લઈએ, આ વિસ્તાર તેના આધાર તરીકે છે. ; કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, અમે ફક્ત શરતી રીતે શંકુ અથવા પિરામિડ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, કારણ કે આધાર સપાટ નથી, પરંતુ ગોળાકાર છે. પરંતુ જો બેઝનું કદ બોલની ત્રિજ્યાની તુલનામાં નાનું હોય, તો તે સપાટ કરતા ખૂબ જ ઓછું અલગ હશે (ઉદાહરણ તરીકે, જમીનના ખૂબ મોટા પ્લોટને માપતી વખતે, તેઓ એ હકીકતની અવગણના કરે છે કે તે જમીન પર નથી. પ્લેન, પરંતુ ગોળા પર).

જો આપણે હવે દડાની સમગ્ર સપાટીને આવા નાના વિસ્તારોની ખૂબ મોટી સંખ્યામાં N માં વિઘટિત કરીએ, ત્યાં દડાનું પ્રમાણ "પિરામિડ" ના N જથ્થામાં આ વિસ્તારોને તેમના પાયા તરીકે ધરાવે છે, તો સમગ્ર વોલ્યુમ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવશે. સરવાળો

જ્યાં છેલ્લો સરવાળો બોલની કુલ સપાટીની બરાબર છે:

છેલ્લું પરિણામ નીચે મુજબ ઘડવામાં આવ્યું છે:

જ્યાં આપણે કેપના ક્ષેત્રફળ માટે સૂત્ર શોધીએ છીએ