બીજા ક્રમના વણાંકોપ્લેન પર એ સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખાઓ છે જેમાં ચલ સંકલન કરે છે xઅને yબીજી ડિગ્રીમાં સમાયેલ છે. તેમાં એલિપ્સ, હાઇપરબોલા અને પેરાબોલાનો સમાવેશ થાય છે.

બીજા ક્રમના વળાંકના સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ નીચે મુજબ છે:

જ્યાં A, B, C, D, E, F- સંખ્યાઓ અને ઓછામાં ઓછા એક ગુણાંક A, B, Cશૂન્ય બરાબર નથી.

દ્વિતીય ક્રમના વળાંકો સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલતી વખતે, અંડાકાર, હાયપરબોલા અને પેરાબોલાના પ્રમાણભૂત સમીકરણોને મોટાભાગે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. સામાન્ય સમીકરણોમાંથી તેમની તરફ આગળ વધવું સરળ છે; લંબગોળ સાથેની સમસ્યાઓનું ઉદાહરણ 1 આને સમર્પિત કરવામાં આવશે.

પ્રમાણભૂત સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ અંડાકાર

અંડાકારની વ્યાખ્યા.લંબગોળ એ પ્લેનના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે જેના માટે ફોસી નામના બિંદુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો એ ફોસી વચ્ચેના અંતર કરતાં સ્થિર મૂલ્ય છે.

ફોકસ નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

અંડાકારના પ્રમાણભૂત સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

જ્યાં aઅને b (a > b) - અર્ધ-અક્ષોની લંબાઈ, એટલે કે, કોઓર્ડિનેટ અક્ષો પર લંબગોળ દ્વારા કાપવામાં આવેલા ભાગોની અડધી લંબાઈ.

અંડાકારના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા એ તેની સમપ્રમાણતાની ધરી છે. લંબગોળની સમપ્રમાણતાનો બીજો અક્ષ એ આ સેગમેન્ટના લંબરૂપ સેગમેન્ટની મધ્યમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે. ડોટ વિશેઆ રેખાઓનું આંતરછેદ અંડાકારની સમપ્રમાણતાના કેન્દ્ર તરીકે અથવા ફક્ત અંડાકારના કેન્દ્ર તરીકે કામ કરે છે.

લંબગોળની એબ્સીસા અક્ષ બિંદુઓ પર છેદે છે ( a, વિશે) અને (- a, વિશે), અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ પોઈન્ટમાં છે ( b, વિશે) અને (- b, વિશે). આ ચાર બિંદુઓને અંડાકારના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે. એક્સ-અક્ષ પર લંબગોળના શિરોબિંદુઓ વચ્ચેના સેગમેન્ટને તેની મુખ્ય અક્ષ કહેવામાં આવે છે, અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર - તેની નાની અક્ષ. લંબગોળની ટોચથી મધ્ય સુધીના તેમના ભાગોને અર્ધ-અક્ષ કહેવામાં આવે છે.

જો a = b, પછી અંડાકારનું સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે. આ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું સમીકરણ છે a, અને વર્તુળ છે ખાસ કેસલંબગોળ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાંથી લંબગોળ મેળવી શકાય છે a, જો તમે તેને સંકુચિત કરો છો a/bધરી સાથે વખત ઓય .

ઉદાહરણ 1.સામાન્ય સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ લીટી છે કે કેમ તે તપાસો , લંબગોળ.

ઉકેલ. અમે પરિવર્તનો કરીએ છીએ સામાન્ય સમીકરણ. અમે ફ્રી ટર્મના ટ્રાન્સફરને લાગુ કરીએ છીએ જમણી બાજુ, સમીકરણ શબ્દને સમાન સંખ્યા દ્વારા પદ દ્વારા વિભાજીત કરીને અને અપૂર્ણાંકોને ઘટાડીને:

જવાબ આપો. રૂપાંતરણોના પરિણામે મેળવેલ સમીકરણ એ એલિપ્સનું પ્રામાણિક સમીકરણ છે. તેથી, આ રેખા લંબગોળ છે.

ઉદાહરણ 2.લંબગોળનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ બનાવો જો તેની અર્ધ-અક્ષ અનુક્રમે 5 અને 4 હોય.

ઉકેલ. અંડાકાર અને અવેજીના પ્રમાણભૂત સમીકરણ માટે આપણે સૂત્ર જોઈએ છીએ: અર્ધ મુખ્ય ધરી છે a= 5, અર્ધ-માઇનોર અક્ષ છે b= 4. અમે અંડાકારનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

બિંદુઓ અને , મુખ્ય ધરી પર લીલા રંગમાં દર્શાવેલ છે, જ્યાં

ને બોલાવ્યા હતા યુક્તિઓ.

કહેવાય છે તરંગીતાલંબગોળ

વલણ b/aઅંડાકારની "ઓબ્લેટનેસ" ની લાક્ષણિકતા. આ ગુણોત્તર જેટલો નાનો હશે, તેટલો અંડાકાર મુખ્ય ધરી સાથે વિસ્તરેલ છે. જો કે, અંડાકારના વિસ્તરણની ડિગ્રી વધુ વખત વિલક્ષણતા દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, જેના માટેનું સૂત્ર ઉપર આપવામાં આવ્યું છે. વિવિધ લંબગોળો માટે, વિલક્ષણતા 0 થી 1 સુધી બદલાય છે, હંમેશા એકતા કરતા ઓછી રહે છે.

ઉદાહરણ 3.જો ફોસી વચ્ચેનું અંતર 8 અને મુખ્ય અક્ષ 10 હોય તો લંબગોળનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ બનાવો.

ઉકેલ. ચાલો કેટલાક સરળ તારણો કરીએ:

જો મુખ્ય ધરી 10 ની બરાબર હોય, તો તેનો અડધો, એટલે કે અર્ધ-અક્ષ a = 5 ,

જો foci વચ્ચેનું અંતર 8 છે, તો સંખ્યા cફોકલ કોઓર્ડિનેટ્સ 4 ની બરાબર છે.

અમે અવેજી અને ગણતરી કરીએ છીએ:

પરિણામ એલિપ્સનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ છે:

ઉદાહરણ 4.અંડાકારનું પ્રામાણિક સમીકરણ બનાવો જો તેની મુખ્ય ધરી 26 હોય અને તેની વિષમતા હોય.

ઉકેલ. મુખ્ય અક્ષના કદ અને તરંગી સમીકરણ બંનેમાંથી નીચે મુજબ, અંડાકારની અર્ધ મુખ્ય ધરી a= 13. તરંગી સમીકરણમાંથી આપણે સંખ્યા વ્યક્ત કરીએ છીએ c, નાના અર્ધ-અક્ષની લંબાઈની ગણતરી કરવા માટે જરૂરી છે:

.

અમે નાના અર્ધ-અક્ષની લંબાઈના ચોરસની ગણતરી કરીએ છીએ:

અમે અંડાકારનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ કંપોઝ કરીએ છીએ:

ઉદાહરણ 5.પ્રમાણભૂત સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ અંડાકારનું કેન્દ્રબિંદુ નક્કી કરો.

ઉકેલ. નંબર શોધો c, જે એલિપ્સના ફોસીના પ્રથમ કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરે છે:

.

અમને અંડાકારના ફોકસ મળે છે:

ઉદાહરણ 6.લંબગોળનું કેન્દ્ર ધરી પર સ્થિત છે બળદમૂળ વિશે સમપ્રમાણરીતે. અંડાકારનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ કંપોઝ કરો જો:

1) ફોકસ વચ્ચેનું અંતર 30 છે, અને મુખ્ય ધરી 34 છે

2) નાની અક્ષ 24, અને એક ફોકસ બિંદુ પર છે (-5; 0)

3) તરંગીતા, અને એક કેન્દ્રબિંદુ પર છે (6; 0)

ચાલો સાથે મળીને લંબગોળ સમસ્યાઓ હલ કરવાનું ચાલુ રાખીએ

જો અંડાકારનો એક મનસ્વી બિંદુ છે (ડ્રોઇંગમાં અંડાકારના ઉપરના જમણા ભાગમાં લીલા રંગમાં દર્શાવેલ છે) અને ફોસીથી આ બિંદુ સુધીનું અંતર છે, તો અંતર માટેના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:

લંબગોળ સાથે જોડાયેલા દરેક બિંદુ માટે, ફોસીથી અંતરનો સરવાળો 2 ની બરાબર એક સ્થિર મૂલ્ય છે a.

સમીકરણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખાઓ

ને બોલાવ્યા હતા મુખ્ય શિક્ષિકાઓલંબગોળ (ડ્રોઇંગમાં કિનારીઓ સાથે લાલ રેખાઓ છે).

ઉપરના બે સમીકરણો પરથી તે અંડાકારના કોઈપણ બિંદુ માટે તે અનુસરે છે

,

ડાયરેક્ટ્રીક્સ અને આ બિંદુનું અંતર ક્યાં અને છે.

ઉદાહરણ 7.એક લંબગોળ આપેલ છે. તેના ડાયરેક્ટ્રીક્સ માટે સમીકરણ લખો.

ઉકેલ. આપણે ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ જોઈએ છીએ અને શોધી કાઢીએ છીએ કે આપણે અંડાકારની વિષમતા શોધવાની જરૂર છે, એટલે કે. અમારી પાસે આ માટેનો તમામ ડેટા છે. અમે ગણતરી કરીએ છીએ:

.

અમે એલિપ્સના ડાયરેક્ટ્રીક્સનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

ઉદાહરણ 8.અંડાકારનું પ્રામાણિક સમીકરણ બનાવો જો તેના કેન્દ્રબિંદુઓ હોય અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ રેખાઓ હોય.

બીજા ક્રમની રેખાઓ.
એલિપ્સ અને તેનું પ્રામાણિક સમીકરણ. વર્તુળ

સંપૂર્ણ અભ્યાસ પછી પ્લેનમાં સીધી રેખાઓઅમે દ્વિ-પરિમાણીય વિશ્વની ભૂમિતિનો અભ્યાસ કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ. દાવ બમણો થઈ ગયો છે અને હું તમને અંડાકાર, હાયપરબોલાસ, પેરાબોલાસની મનોહર ગેલેરીની મુલાકાત લેવા આમંત્રણ આપું છું, જે લાક્ષણિક પ્રતિનિધિઓ છે. બીજી ક્રમ રેખાઓ. પર્યટન પહેલેથી જ શરૂ થઈ ગયું છે, અને પ્રથમ સંગ્રહાલયના વિવિધ માળ પરના સમગ્ર પ્રદર્શન વિશે ટૂંકી માહિતી:

બીજગણિત રેખા અને તેનો ક્રમનો ખ્યાલ

પ્લેન પર એક લાઇન કહેવામાં આવે છે બીજગણિત, જો માં affine કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમતેનું સમીકરણ ફોર્મ ધરાવે છે , જ્યાં ફોર્મની શરતો (- વાસ્તવિક સંખ્યા, – બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો) નો સમાવેશ થતો બહુપદી છે.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, બીજગણિત રેખાના સમીકરણમાં સાઈન, કોસાઈન્સ, લઘુગણક અને અન્ય કાર્યાત્મક બ્યુ મોન્ડ નથી. ફક્ત X અને Y અંદર છે બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકોડિગ્રી

લાઇન ઓર્ડરતેમાં સમાવિષ્ટ શરતોના મહત્તમ મૂલ્યની બરાબર.

અનુરૂપ પ્રમેય મુજબ, બીજગણિત રેખાની વિભાવના, તેમજ તેનો ક્રમ, પસંદગી પર આધાર રાખતો નથી affine કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમતેથી, અસ્તિત્વમાં સરળતા માટે, અમે ધારીએ છીએ કે તમામ અનુગામી ગણતરીઓ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ.

સામાન્ય સમીકરણબીજી ઓર્ડર લાઇનમાં ફોર્મ છે, જ્યાં - મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ (તેને બેના પરિબળ સાથે લખવાનો રિવાજ છે), અને ગુણાંક એક જ સમયે શૂન્ય સમાન નથી.

જો , તો સમીકરણ સરળ બનાવે છે , અને જો ગુણાંક એક જ સમયે શૂન્ય સમાન ન હોય, તો આ બરાબર છે "સપાટ" રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ, જે રજૂ કરે છે પ્રથમ ઓર્ડર લાઇન.

ઘણા લોકો નવા શબ્દોનો અર્થ સમજી ગયા છે, પરંતુ, તેમ છતાં, સામગ્રીને 100% માસ્ટર કરવા માટે, અમે અમારી આંગળીઓને સોકેટમાં ચોંટાડીએ છીએ. રેખા ક્રમ નક્કી કરવા માટે, તમારે પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર છે બધી શરતોતેના સમીકરણો અને તેમાંથી દરેક માટે શોધો ડિગ્રીનો સરવાળોઆવનારા ચલો.

દાખ્લા તરીકે:

આ શબ્દમાં 1લી શક્તિ માટે "x" શામેલ છે;
આ શબ્દમાં 1લી શક્તિ માટે "Y" શામેલ છે;
શબ્દમાં કોઈ ચલ નથી, તેથી તેમની શક્તિઓનો સરવાળો શૂન્ય છે.

હવે ચાલો સમજીએ કે સમીકરણ રેખાને શા માટે વ્યાખ્યાયિત કરે છે બીજુંઓર્ડર:

શબ્દમાં 2જી પાવર માટે "x" શામેલ છે;
સમન્ડમાં ચલોની શક્તિઓનો સરવાળો છે: 1 + 1 = 2;
શબ્દમાં 2જી પાવર માટે "Y" શામેલ છે;
અન્ય તમામ શરતો - ઓછુંડિગ્રી

મહત્તમ મૂલ્ય: 2

જો આપણે આપણા સમીકરણમાં વધુમાં ઉમેરીએ, કહો, તો તે પહેલેથી જ નક્કી કરશે ત્રીજા ક્રમની રેખા. તે સ્પષ્ટ છે કે 3જી ક્રમ રેખા સમીકરણના સામાન્ય સ્વરૂપમાં શરતોનો "સંપૂર્ણ સમૂહ" છે, ચલોની શક્તિઓનો સરવાળો જેમાં ત્રણ બરાબર છે:
, જ્યાં ગુણાંક એક જ સમયે શૂન્યની બરાબર નથી.

જો તમે સમાવિષ્ટ એક અથવા વધુ યોગ્ય શબ્દો ઉમેરો છો , તો પછી આપણે પહેલાથી જ વાત કરીશું 4 થી ઓર્ડર લાઇન, વગેરે

અમારે 3જી, 4ઠ્ઠી અને ઉચ્ચ ક્રમની બીજગણિત રેખાઓનો એક કરતા વધુ વખત સામનો કરવો પડશે, ખાસ કરીને, જ્યારે તેનાથી પરિચિત થાઓ ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલી.

જો કે, ચાલો સામાન્ય સમીકરણ પર પાછા જઈએ અને તેની સૌથી સરળ શાળા વિવિધતાઓને યાદ કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે, એક પેરાબોલા ઉદભવે છે, જેનું સમીકરણ સરળતાથી સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે, અને સમકક્ષ સમીકરણ સાથે અતિપરવલય. જો કે, બધું એટલું સરળ નથી ...

સામાન્ય સમીકરણની નોંધપાત્ર ખામી એ છે કે તે કઈ રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે તે લગભગ હંમેશા સ્પષ્ટ હોતું નથી. સૌથી સરળ કિસ્સામાં પણ, તમે તરત જ સમજી શકશો નહીં કે આ એક હાયપરબોલ છે. આવા લેઆઉટ ફક્ત માસ્કરેડમાં જ સારા હોય છે, તેથી વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં એક લાક્ષણિક સમસ્યા ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. 2જી ક્રમ રેખા સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવવું.

સમીકરણનું પ્રામાણિક સ્વરૂપ શું છે?

આ સમીકરણનું સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ છે, જ્યારે સેકન્ડોમાં તે સ્પષ્ટ થઈ જાય છે કે તે કયો ભૌમિતિક પદાર્થ વ્યાખ્યાયિત કરે છે. વધુમાં, પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ ઘણી વ્યવહારુ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ખૂબ અનુકૂળ છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રમાણભૂત સમીકરણ અનુસાર "સપાટ" સીધા, પ્રથમ, તે તરત જ સ્પષ્ટ થાય છે કે આ એક સીધી રેખા છે, અને બીજું, તેની સાથે સંબંધિત બિંદુ અને દિશા વેક્ટર સરળતાથી દૃશ્યમાન છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે કોઈપણ 1 લી ઓર્ડર લાઇનએક સીધી રેખા છે. બીજા માળે, હવે તે ચોકીદાર નથી જે આપણી રાહ જોઈ રહ્યો છે, પરંતુ નવ પ્રતિમાઓની વધુ વૈવિધ્યસભર કંપની છે:

બીજી ક્રમ રેખાઓનું વર્ગીકરણ

ક્રિયાઓના વિશિષ્ટ સમૂહનો ઉપયોગ કરીને, સેકન્ડ-ઓર્ડર લાઇનના કોઈપણ સમીકરણને નીચેનામાંથી એક સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે:

(અને હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે)

1) - લંબગોળનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ;

2) – હાયપરબોલાના પ્રમાણભૂત સમીકરણ;

3) - પેરાબોલાના પ્રામાણિક સમીકરણ;

4) – કાલ્પનિકલંબગોળ

5) – છેદતી રેખાઓની જોડી;

6) - જોડી કાલ્પનિકછેદતી રેખાઓ (મૂળ પર આંતરછેદના એક માન્ય બિંદુ સાથે);

7) - સમાંતર રેખાઓની જોડી;

8) - જોડી કાલ્પનિકસમાંતર રેખાઓ;

9) – સાંયોગિક રેખાઓની જોડી.

કેટલાક વાચકોને એવી છાપ પડી શકે છે કે સૂચિ અધૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ નંબર 7 માં, સમીકરણ જોડીને સ્પષ્ટ કરે છે પ્રત્યક્ષ, અક્ષની સમાંતર, અને પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: ઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર રેખાઓ નક્કી કરતું સમીકરણ ક્યાં છે? જવાબ: તે પ્રામાણિક માનવામાં આવતું નથી. સીધી રેખાઓ સમાન પ્રમાણભૂત કેસ છે, 90 ડિગ્રી ફેરવાય છે, અને વધારાની એન્ટ્રીવર્ગીકરણમાં તે નિરર્થક છે, કારણ કે તે મૂળભૂત રીતે કંઈપણ લાવતું નથી.

આમ નવ અને માત્ર નવ છે વિવિધ પ્રકારો 2 જી ક્રમની રેખાઓ, પરંતુ વ્યવહારમાં તે મોટાભાગે જોવા મળે છે એલિપ્સ, હાઇપરબોલા અને પેરાબોલા.

ચાલો પહેલા લંબગોળ જોઈએ. હંમેશની જેમ, હું તે મુદ્દાઓ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરું છું જે છે મહાન મહત્વસમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે, અને જો તમને સૂત્રોના વિગતવાર વ્યુત્પત્તિ, પ્રમેયના પુરાવાની જરૂર હોય, તો કૃપા કરીને, ઉદાહરણ તરીકે, બાઝીલેવ/અતનાસ્યાન અથવા અલેકસાન્ડ્રોવ દ્વારા પાઠયપુસ્તકનો સંદર્ભ લો.

એલિપ્સ અને તેનું પ્રામાણિક સમીકરણ

જોડણી... મહેરબાની કરીને કેટલાક યાન્ડેક્ષ વપરાશકર્તાઓની ભૂલોનું પુનરાવર્તન કરશો નહીં કે જેમને "એલિપ્સ કેવી રીતે બનાવવું", "એલિપ્સ અને અંડાકાર વચ્ચેનો તફાવત" અને "એલિપ્સની વિચિત્રતા" માં રસ છે.

અંડાકારના પ્રમાણભૂત સમીકરણનું સ્વરૂપ છે , જ્યાં હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને . હું અંડાકારની ખૂબ જ વ્યાખ્યા પછીથી ઘડીશ, પરંતુ હમણાં માટે વાત કરવાની દુકાનમાંથી વિરામ લેવાનો અને સામાન્ય સમસ્યાને હલ કરવાનો સમય છે:

લંબગોળ કેવી રીતે બનાવવું?

હા, ફક્ત તેને લો અને તેને દોરો. કાર્ય વારંવાર થાય છે, અને વિદ્યાર્થીઓનો નોંધપાત્ર ભાગ ડ્રોઇંગનો યોગ્ય રીતે સામનો કરી શકતો નથી:

ઉદાહરણ 1

સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ લંબગોળ બનાવો

ઉકેલ: પ્રથમ, ચાલો સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવીએ:

શા માટે લાવશો? પ્રામાણિક સમીકરણનો એક ફાયદો એ છે કે તે તમને તરત જ નક્કી કરવા દે છે લંબગોળના શિરોબિંદુઓ, જે પોઈન્ટ પર સ્થિત છે. તે જોવાનું સરળ છે કે આ દરેક બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે.

આ બાબતે :


રેખાખંડકહેવાય છે મુખ્ય ધરીલંબગોળ
રેખાખંડ – નાની અક્ષ;
સંખ્યા કહેવાય છે અર્ધ-મુખ્ય શાફ્ટલંબગોળ
સંખ્યા – નાની અક્ષ.
અમારા ઉદાહરણમાં:.

ચોક્કસ લંબગોળ કેવો દેખાય છે તેની ઝડપથી કલ્પના કરવા માટે, ફક્ત તેના પ્રમાણભૂત સમીકરણના “a” અને “be” ના મૂલ્યો જુઓ.

બધું સારું, સરળ અને સુંદર છે, પરંતુ એક ચેતવણી છે: મેં પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને ડ્રોઇંગ બનાવ્યું. અને તમે કોઈપણ એપ્લિકેશનનો ઉપયોગ કરીને ચિત્ર બનાવી શકો છો. જો કે, કઠોર વાસ્તવિકતામાં, ટેબલ પર કાગળનો ચેકર્ડ ટુકડો છે, અને આપણા હાથ પર વર્તુળોમાં ઉંદર નૃત્ય કરે છે. કલાત્મક પ્રતિભા ધરાવતા લોકો, અલબત્ત, દલીલ કરી શકે છે, પરંતુ તમારી પાસે ઉંદર પણ છે (જોકે નાના લોકો). તે નિરર્થક નથી કે માનવતાએ ડ્રોઇંગ માટે શાસક, હોકાયંત્ર, પ્રોટ્રેક્ટર અને અન્ય સરળ ઉપકરણોની શોધ કરી.

આ કારણોસર, અમે ફક્ત શિરોબિંદુઓને જાણીને લંબગોળને ચોક્કસ રીતે દોરવામાં સમર્થ થવાની શક્યતા નથી. જો લંબગોળ નાનો હોય તો તે બરાબર છે, ઉદાહરણ તરીકે, અર્ધ-અક્ષો સાથે. વૈકલ્પિક રીતે, તમે સ્કેલ ઘટાડી શકો છો અને, તે મુજબ, ડ્રોઇંગના પરિમાણો. પરંતુ સામાન્ય રીતે, વધારાના પોઈન્ટ શોધવા માટે તે અત્યંત ઇચ્છનીય છે.

લંબગોળ બનાવવા માટે બે અભિગમો છે - ભૌમિતિક અને બીજગણિત. મને હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને બાંધકામ ગમતું નથી કારણ કે અલ્ગોરિધમ સૌથી ટૂંકું નથી અને ચિત્ર નોંધપાત્ર રીતે અવ્યવસ્થિત છે. કટોકટીના કિસ્સામાં, કૃપા કરીને પાઠ્યપુસ્તકનો સંદર્ભ લો, પરંતુ વાસ્તવમાં બીજગણિતના સાધનોનો ઉપયોગ કરવો તે વધુ તર્કસંગત છે. ડ્રાફ્ટમાં અંડાકારના સમીકરણમાંથી આપણે ઝડપથી વ્યક્ત કરીએ છીએ:

પછી સમીકરણ બે કાર્યોમાં વિભાજિત થાય છે:
- એલિપ્સના ઉપલા ચાપને વ્યાખ્યાયિત કરે છે;
- એલિપ્સની નીચેની ચાપને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

પ્રામાણિક સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત લંબગોળ સંકલન અક્ષોના સંદર્ભમાં તેમજ મૂળના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે. અને આ મહાન છે - સમપ્રમાણતા લગભગ હંમેશા ફ્રીબીઝનો હાર્બિંગર છે. દેખીતી રીતે, તે 1 લી કોઓર્ડિનેટ ક્વાર્ટર સાથે વ્યવહાર કરવા માટે પૂરતું છે, તેથી અમને ફંક્શનની જરૂર છે . તે એબ્સીસાસ સાથે વધારાના પોઈન્ટ શોધવાની વિનંતી કરે છે . ચાલો કેલ્ક્યુલેટર પર ત્રણ SMS સંદેશાઓને ટેપ કરીએ:

અલબત્ત, તે પણ સરસ છે કે જો ગણતરીમાં ગંભીર ભૂલ થઈ હોય, તો તે બાંધકામ દરમિયાન તરત જ સ્પષ્ટ થઈ જશે.

ચાલો ડ્રોઈંગમાં પોઈન્ટ માર્ક કરીએ (લાલ), બાકીના ચાપ પર સપ્રમાણ બિંદુઓ ( વાદળી રંગ) અને કાળજીપૂર્વક આખી કંપનીને એક લાઇન સાથે કનેક્ટ કરો:


પ્રારંભિક સ્કેચ ખૂબ જ પાતળા દોરવાનું વધુ સારું છે, અને તે પછી જ પેંસિલથી દબાણ કરો. પરિણામ એકદમ યોગ્ય લંબગોળ હોવું જોઈએ. બાય ધ વે, શું તમે જાણવા માગો છો કે આ વળાંક શું છે?

અંડાકારની વ્યાખ્યા. એલિપ્સ ફોસી અને એલિપ્સ વિલક્ષણતા

લંબગોળ એ અંડાકારનો વિશિષ્ટ કેસ છે. "અંડાકાર" શબ્દને ફિલિસ્ટીન અર્થમાં સમજવો જોઈએ નહીં ("બાળકે અંડાકાર દોર્યું", વગેરે). આ એક ગાણિતિક શબ્દ છે જેની વિગતવાર રચના છે. આ પાઠનો હેતુ અંડાકાર અને તેમના વિવિધ પ્રકારોના સિદ્ધાંતને ધ્યાનમાં લેવાનો નથી, જેને વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના પ્રમાણભૂત અભ્યાસક્રમમાં વ્યવહારીક રીતે ધ્યાન આપવામાં આવતું નથી. અને, વધુ વર્તમાન જરૂરિયાતો અનુસાર, અમે તરત જ લંબગોળની કડક વ્યાખ્યા તરફ આગળ વધીએ છીએ:

અંડાકારપ્લેનના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે, જેમાંથી પ્રત્યેકને આપેલા બે બિંદુઓથી અંતરનો સરવાળો કહેવાય છે. યુક્તિઓઅંડાકાર, એક સ્થિર જથ્થો છે, જે સંખ્યાત્મક રીતે આ અંડાકારની મુખ્ય ધરીની લંબાઈ જેટલી છે: .
તે જ સમયે, ફોકસ વચ્ચેનું અંતર ઓછું છે આપેલ મૂલ્ય: .

હવે બધું સ્પષ્ટ થઈ જશે:

કલ્પના કરો કે વાદળી બિંદુ લંબગોળ સાથે "પ્રવાસ કરે છે". તેથી, ભલે આપણે લંબગોળના બિંદુને લઈએ, સેગમેન્ટ્સની લંબાઈનો સરવાળો હંમેશા સમાન રહેશે:

ચાલો ખાતરી કરીએ કે અમારા ઉદાહરણમાં સરવાળોનું મૂલ્ય ખરેખર આઠ જેટલું છે. માનસિક રીતે અંડાકારના જમણા શિરોબિંદુ પર બિંદુ "um" મૂકો, પછી: , જે તપાસવાની જરૂર છે.

તેને દોરવાની બીજી પદ્ધતિ એલિપ્સની વ્યાખ્યા પર આધારિત છે. ઉચ્ચ ગણિત ક્યારેક તણાવ અને તાણનું કારણ બને છે, તેથી અન્ય અનલોડિંગ સત્ર કરવાનો સમય છે. કૃપા કરીને વોટમેન પેપર અથવા કાર્ડબોર્ડની મોટી શીટ લો અને તેને બે નખ વડે ટેબલ પર પિન કરો. આ યુક્તિઓ હશે. બહાર નીકળેલા નેઇલ હેડ પર લીલો દોરો બાંધો અને તેને પેન્સિલ વડે બધી રીતે ખેંચો. પેન્સિલ લીડ ચોક્કસ બિંદુએ સમાપ્ત થશે જે લંબગોળ સાથે સંબંધિત છે. હવે પેન્સિલને કાગળના ટુકડા સાથે ખસેડવાનું શરૂ કરો, લીલા દોરાને ટાઈટ રાખીને. જ્યાં સુધી તમે પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછા ન આવો ત્યાં સુધી પ્રક્રિયા ચાલુ રાખો... સરસ... ડૉક્ટર અને શિક્ષક દ્વારા ચિત્રની તપાસ કરી શકાય છે =)

લંબગોળનું કેન્દ્રબિંદુ કેવી રીતે શોધવું?

ઉપરના ઉદાહરણમાં, મેં "તૈયાર" ફોકલ પોઈન્ટ્સ દર્શાવ્યા છે, અને હવે આપણે શીખીશું કે તેમને ભૂમિતિના ઊંડાણમાંથી કેવી રીતે બહાર કાઢવું.

જો અંડાકાર પ્રમાણભૂત સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો તેના ફોસીમાં કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે , તે ક્યાં છે દરેક ફોકસથી અંડાકારની સમપ્રમાણતાના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર.

ગણતરીઓ સરળ કરતાં વધુ સરળ છે:

! ફોસીના વિશિષ્ટ કોઓર્ડિનેટ્સને "tse" ના અર્થ સાથે ઓળખી શકાતા નથી!હું પુનરાવર્તન કરું છું કે આ છે દરેક ફોકસથી કેન્દ્ર સુધી DISTANCE(જે સામાન્ય કિસ્સામાં મૂળ પર બરાબર સ્થિત હોવું જરૂરી નથી).
અને, તેથી, ફોસી વચ્ચેનું અંતર પણ લંબગોળની પ્રામાણિક સ્થિતિ સાથે જોડી શકાતું નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, લંબગોળને બીજી જગ્યાએ ખસેડી શકાય છે અને મૂલ્ય યથાવત રહેશે, જ્યારે ફોસી કુદરતી રીતે તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ બદલશે. તમે વિષયનું વધુ અન્વેષણ કરો ત્યારે કૃપા કરીને આને ધ્યાનમાં લો.

લંબગોળ તરંગીતા અને તેનો ભૌમિતિક અર્થ

અંડાકારની તરંગીતા એ એક ગુણોત્તર છે જે શ્રેણીની અંદર મૂલ્યો લઈ શકે છે.

અમારા કિસ્સામાં:

ચાલો જાણીએ કે લંબગોળનો આકાર તેની વિલક્ષણતા પર કેવી રીતે આધાર રાખે છે. આ માટે ડાબા અને જમણા શિરોબિંદુઓને ઠીક કરોવિચારણા હેઠળના અંડાકારની, એટલે કે, અર્ધ-મુખ્ય અક્ષનું મૂલ્ય સ્થિર રહેશે. પછી વિચિત્રતા સૂત્ર ફોર્મ લેશે: .

ચાલો વિલક્ષણ મૂલ્યને એકતાની નજીક લાવવાનું શરૂ કરીએ. આ તો જ શક્ય છે જો. તેનો અર્થ શું છે? ...યુક્તિઓ યાદ રાખો . આનો અર્થ એ છે કે લંબગોળનું કેન્દ્રબિંદુ એબ્સિસા અક્ષ સાથે બાજુના શિરોબિંદુઓ તરફ "અલગ થશે". અને, કારણ કે "લીલા ભાગો રબર નથી", અંડાકાર અનિવાર્યપણે સપાટ થવાનું શરૂ કરશે, એક ધરી પર લટકેલા પાતળા અને પાતળા સોસેજમાં ફેરવાશે.

આમ, કેવી રીતે નજીકનું મૂલ્યએકતા માટે લંબગોળની વિલક્ષણતા, લંબગોળ વધુ વિસ્તરેલ.

હવે ચાલો વિપરીત પ્રક્રિયાનું મોડેલ કરીએ: અંડાકારનું કેન્દ્ર કેન્દ્રની નજીક આવતા, એકબીજા તરફ ચાલ્યા. આનો અર્થ એ છે કે "ce" નું મૂલ્ય ઓછું અને ઓછું થતું જાય છે અને તે મુજબ, વિલક્ષણતા શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે: .
આ કિસ્સામાં, "લીલા ભાગો" તેનાથી વિપરીત, "ભીડ બની જશે" અને તેઓ લંબગોળ રેખાને ઉપર અને નીચે "દબાણ" કરવાનું શરૂ કરશે.

આમ, વિલક્ષણતા મૂલ્ય શૂન્યની જેટલું નજીક છે, લંબગોળ સમાન છે... જ્યારે ફોસી મૂળ સ્થાને સફળતાપૂર્વક પુનઃ જોડાય ત્યારે મર્યાદિત કેસ જુઓ:

વર્તુળ એ એલિપ્સનો વિશેષ કેસ છે

ખરેખર, અર્ધ-અક્ષોની સમાનતાના કિસ્સામાં, લંબગોળનું પ્રામાણિક સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે, જે ત્રિજ્યા "a" ની ઉત્પત્તિ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળના સમીકરણમાં પ્રતિબિંબિત રીતે પરિવર્તિત થાય છે, જે શાળામાં જાણીતું છે.

વ્યવહારમાં, "બોલતા" અક્ષર "er" સાથેનો સંકેત વધુ વખત ઉપયોગમાં લેવાય છે: . ત્રિજ્યા એ સેગમેન્ટની લંબાઈ છે, જેમાં વર્તુળના દરેક બિંદુને ત્રિજ્યાના અંતર દ્વારા કેન્દ્રમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે.

નોંધ કરો કે લંબગોળની વ્યાખ્યા સંપૂર્ણપણે સાચી રહે છે: ફોસી એકરૂપ થાય છે, અને વર્તુળ પરના દરેક બિંદુ માટે સંયોગ વિભાગોની લંબાઈનો સરવાળો એક સ્થિર છે. કારણ કે ફોસી વચ્ચેનું અંતર છે, તો પછી કોઈપણ વર્તુળની તરંગીતા શૂન્ય છે.

વર્તુળ બનાવવું સરળ અને ઝડપી છે, માત્ર હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરો. જો કે, કેટલીકવાર તેના કેટલાક બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવા માટે જરૂરી છે, આ કિસ્સામાં આપણે પરિચિત માર્ગ પર જઈએ છીએ - અમે સમીકરણને ખુશખુશાલ માતાનોવ સ્વરૂપમાં લાવીએ છીએ:

- ઉપલા અર્ધવર્તુળનું કાર્ય;
- નીચલા અર્ધવર્તુળનું કાર્ય.

પછી આપણે જરૂરી મૂલ્યો શોધીએ છીએ, તફાવત કરવો, એકીકૃતઅને અન્ય સારી વસ્તુઓ કરો.

લેખ, અલબત્ત, ફક્ત સંદર્ભ માટે છે, પરંતુ તમે પ્રેમ વિના વિશ્વમાં કેવી રીતે જીવી શકો? સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે સર્જનાત્મક કાર્ય

ઉદાહરણ 2

લંબગોળનું પ્રામાણિક સમીકરણ કંપોઝ કરો જો તેની ફોસી અને અર્ધ-માઇનોર અક્ષમાંથી કોઈ એક જાણીતો હોય (કેન્દ્ર મૂળમાં છે). શિરોબિંદુઓ, વધારાના બિંદુઓ શોધો અને ચિત્રમાં એક રેખા દોરો. તરંગીતાની ગણતરી કરો.

પાઠના અંતે ઉકેલ અને ચિત્રકામ

ચાલો એક ક્રિયા ઉમેરીએ:

લંબગોળ ફેરવો અને સમાંતર અનુવાદ કરો

ચાલો એલિપ્સના પ્રામાણિક સમીકરણ પર પાછા જઈએ, એટલે કે, તે સ્થિતિ પર, જેનું રહસ્ય આ વળાંકના પ્રથમ ઉલ્લેખથી જિજ્ઞાસુ મનને ત્રાસ આપે છે. તેથી અમે લંબગોળ તરફ જોયું , પરંતુ શું વ્યવહારમાં સમીકરણને પૂર્ણ કરવું શક્ય નથી ? છેવટે, અહીં, જો કે, તે પણ એક અંડાકાર લાગે છે!

આ પ્રકારનું સમીકરણ દુર્લભ છે, પરંતુ તે સમગ્રમાં આવે છે. અને તે વાસ્તવમાં એક લંબગોળ વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ચાલો નિષ્ક્રિય કરીએ:

બાંધકામના પરિણામે, અમારું મૂળ લંબગોળ મેળવવામાં આવ્યું હતું, 90 ડિગ્રી દ્વારા ફેરવવામાં આવ્યું હતું. તે જ, - આ બિન-પ્રમાણિક પ્રવેશલંબગોળ . રેકોર્ડ!- સમીકરણ અન્ય કોઈ લંબગોળને વ્યાખ્યાયિત કરતું નથી, કારણ કે અક્ષ પર કોઈ બિંદુઓ (ફોસી) નથી જે અંડાકારની વ્યાખ્યાને સંતોષે.

અંડાકારનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે

જ્યાં a અર્ધ મુખ્ય ધરી છે; b - અર્ધ-માઇનોર અક્ષ. બિંદુઓ F1(c,0) અને F2(-c,0) − c કહેવાય છે

a, b - અંડાકારની અર્ધ-અક્ષો.

જો તેનું પ્રામાણિક સમીકરણ જાણીતું હોય તો, લંબગોળનું કેન્દ્રબિંદુ, તરંગીતા, ડાયરેક્ટ્રીક્સ શોધવું.

હાયપરબોલની વ્યાખ્યા. અતિશય યુક્તિઓ.

વ્યાખ્યા. હાયપરબોલા એ પ્લેન પરના બિંદુઓનો સમૂહ છે જેના માટે બે આપેલ બિંદુઓથી અંતરમાં તફાવતનું મોડ્યુલસ, જેને ફોસી કહેવાય છે, તે ફોસી વચ્ચેના અંતર કરતાં ઓછું સ્થિર મૂલ્ય છે.

વ્યાખ્યા પ્રમાણે |r1 – r2|= 2a. F1, F2 - હાઇપરબોલાનું ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે. F1F2 = 2c.

હાયપરબોલાનું પ્રામાણિક સમીકરણ. હાઇપરબોલાના અર્ધ-અક્ષો. જો તેનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ જાણીતું હોય તો હાઇપરબોલા બનાવવું.

પ્રામાણિક સમીકરણ:

હાયપરબોલાની અર્ધ મુખ્ય ધરી અડધી છે ન્યૂનતમ અંતરહાઇપરબોલાની બે શાખાઓ વચ્ચે, ધરીની સકારાત્મક અને નકારાત્મક બાજુઓ પર (મૂળની તુલનામાં ડાબે અને જમણે). પર સ્થિત શાખા માટે હકારાત્મક બાજુ પર, અર્ધ-અક્ષ સમાન હશે:

જો આપણે તેને કોનિક વિભાગ અને તરંગીતા દ્વારા વ્યક્ત કરીએ, તો અભિવ્યક્તિ આ સ્વરૂપ લેશે:

જો તેનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ જાણીતું હોય તો હાઇપરબોલાના ફોસી, તરંગીતા, ડાયરેક્ટ્રીક્સ શોધવું.

હાયપરબોલા તરંગીતા

વ્યાખ્યા. ગુણોત્તરને હાઇપરબોલાની વિષમતા કહેવામાં આવે છે, જ્યાં c -

ફોસી વચ્ચેનું અડધું અંતર, અને વાસ્તવિક અર્ધ-અક્ષ છે.

એ હકીકતને ધ્યાનમાં લેતા કે c2 – a2 = b2:

જો a = b, e = , તો હાઇપરબોલાને સમભુજ (સતુભુજ) કહેવાય છે.

હાઇપરબોલના ડાયરેક્ટ્રિક્સ

વ્યાખ્યા. હાયપરબોલાના વાસ્તવિક અક્ષને લંબરૂપ બે સીધી રેખાઓ અને તેમાંથી એક/e અંતરે કેન્દ્રની સાપેક્ષ સમપ્રમાણરીતે સ્થિત છે તેને હાયપરબોલાના ડાયરેક્ટ્રીક્સ કહેવામાં આવે છે. તેમના સમીકરણો છે: .

પ્રમેય. જો r એ હાયપરબોલાના મનસ્વી બિંદુ M થી કોઈપણ ફોકસનું અંતર છે, તો d એ આ ફોકસને અનુરૂપ સમાન બિંદુથી ડાયરેક્ટ્રીક્સ સુધીનું અંતર છે, તો ગુણોત્તર r/d એ વિષમતા સમાન સ્થિર મૂલ્ય છે.

પેરાબોલાની વ્યાખ્યા. પેરાબોલાના ફોકસ અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ.

પેરાબોલા. પેરાબોલા એ બિંદુઓનું સ્થાન છે, જેમાંથી દરેક આપેલ નિશ્ચિત બિંદુ અને આપેલ નિશ્ચિત રેખાથી સમાન રીતે દૂર છે. વ્યાખ્યામાં ઉલ્લેખિત બિંદુને પેરાબોલાના ફોકસ કહેવામાં આવે છે, અને સીધી રેખા તેની ડાયરેક્ટ્રીક્સ છે.

પેરાબોલાનું પ્રામાણિક સમીકરણ. પેરાબોલા પરિમાણ. પેરાબોલાનું બાંધકામ.

લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં પેરાબોલાના પ્રામાણિક સમીકરણ: (અથવા, જો અક્ષો અદલાબદલી હોય તો).

પેરામીટર p ના આપેલ મૂલ્ય માટે પેરાબોલાનું નિર્માણ નીચેના ક્રમમાં કરવામાં આવે છે:

પેરાબોલાની સપ્રમાણતાની અક્ષ દોરો અને તેના પર KF=p સેગમેન્ટને પ્લોટ કરો;

ડાયરેક્ટ્રીક્સ DD1 એ સમપ્રમાણતાની ધરી પર લંબરૂપ બિંદુ K દ્વારા દોરવામાં આવે છે;

પેરાબોલાના શિરોબિંદુ 0 મેળવવા માટે KF સેગમેન્ટને અડધા ભાગમાં વહેંચવામાં આવે છે;

મનસ્વી બિંદુઓની શ્રેણી 1, 2, 3, 5, 6 તેમની વચ્ચે ધીમે ધીમે વધતા અંતર સાથે ટોચ પરથી માપવામાં આવે છે;

આ બિંદુઓ દ્વારા, પેરાબોલાની ધરી પર લંબરૂપ સહાયક સીધી રેખાઓ દોરો;

સહાયક રેખાઓ પર, સીરીફ સીધી રેખાથી ડાયરેક્ટ્રીક્સ સુધીના અંતરની સમાન ત્રિજ્યા સાથે બનાવવામાં આવે છે;

પરિણામી બિંદુઓ સરળ વળાંક દ્વારા જોડાયેલા છે.

પ્રમેય. અંડાકાર માટે પ્રમાણભૂત સંકલન પ્રણાલીમાં, અંડાકારના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

પુરાવો. અમે બે તબક્કામાં પુરાવા હાથ ધરીએ છીએ. પ્રથમ તબક્કે, અમે સાબિત કરીશું કે અંડાકાર પર આવેલા કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે (4). બીજા તબક્કે, અમે સાબિત કરીશું કે સમીકરણ (4) નો કોઈપણ ઉકેલ એલિપ્સ પર પડેલા બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ આપે છે. અહીંથી તે અનુસરશે કે સમીકરણ (4) તે અને માત્ર સંકલન સમતલના તે બિંદુઓથી સંતુષ્ટ છે જે લંબગોળ પર આવેલા છે. આમાંથી અને વળાંકના સમીકરણની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરશે કે સમીકરણ (4) એ લંબગોળનું સમીકરણ છે.

1) બિંદુ M(x, y) ને લંબગોળનો એક બિંદુ થવા દો, એટલે કે. તેના કેન્દ્રીય ત્રિજ્યાનો સરવાળો 2a છે:

ચાલો કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પરના બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ અને આપેલ બિંદુ M ની કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા શોધવા માટે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

અમે તેને ક્યાંથી મેળવીએ છીએ:

ચાલો એક રુટને સમાનતાની જમણી બાજુએ ખસેડીએ અને તેને ચોરસ કરીએ:

ઘટાડીને, અમને મળે છે:

અમે સમાન રજૂ કરીએ છીએ, 4 થી ઘટાડીએ છીએ અને આમૂલ દૂર કરીએ છીએ:

.

સ્ક્વેરિંગ

કૌંસ ખોલો અને આના દ્વારા ટૂંકો કરો:

આપણે ક્યાં મેળવીએ છીએ:

સમાનતા (2) નો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

.

છેલ્લી સમાનતાને વડે વિભાજીત કરવાથી, આપણે સમાનતા (4), વગેરે મેળવીએ છીએ.

2) હવે સંખ્યાઓની જોડી (x, y) સમીકરણ (4) ને સંતોષવા દો અને M(x, y) ને સંકલન સમતલ Oxy પર અનુરૂપ બિંદુ થવા દો.

પછી (4) માંથી તે નીચે મુજબ છે:

અમે આ સમાનતાને બિંદુ M ના કેન્દ્રીય ત્રિજ્યા માટે અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ છીએ:

.

અહીં આપણે સમાનતા (2) અને (3) નો ઉપયોગ કર્યો છે.

આમ, . તેવી જ રીતે, .

હવે નોંધ કરો કે સમાનતા (4) થી તે તેને અનુસરે છે

અથવા વગેરે. , પછી અસમાનતા નીચે મુજબ છે:

અહીંથી તે અનુસરે છે, બદલામાં, તે

સમાનતાઓથી (5) તે અનુસરે છે કે, એટલે કે. બિંદુ M(x, y) એ અંડાકારનો એક બિંદુ છે, વગેરે.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

વ્યાખ્યા. સમીકરણ (4) એ અંડાકારનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ કહેવાય છે.

વ્યાખ્યા. અંડાકાર માટેના પ્રમાણભૂત સંકલન અક્ષોને અંડાકારની મુખ્ય અક્ષો કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. અંડાકાર માટે પ્રમાણભૂત સંકલન પ્રણાલીની ઉત્પત્તિને અંડાકારનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે.

અંડાકારતેને પ્લેનમાં પોઈન્ટનું ભૌમિતિક સ્થાન કહેવામાં આવે છે, જેમાંથી દરેક માટે સમાન પ્લેનના બે આપેલા બિંદુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો, જેને લંબગોળનું ફોસી કહેવાય છે, તે એક સ્થિર મૂલ્ય છે. અંડાકાર માટે, ઘણી વધુ સમકક્ષ વ્યાખ્યાઓ આપી શકાય છે. રસ ધરાવતા લોકો વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ પર વધુ ગંભીર પાઠ્યપુસ્તકોમાં તેમની સાથે પરિચિત થઈ શકે છે. અહીં આપણે ફક્ત નોંધ કરીએ છીએ કે લંબગોળ એ પ્લેનમાં પડેલા વર્તુળના પ્લેન પર પ્રક્ષેપણ તરીકે મેળવેલ વળાંક છે જે પ્લેન સાથે તીવ્ર કોણ બનાવે છે. વર્તુળથી વિપરીત, "અનુકૂળ" સ્વરૂપમાં મનસ્વી સંકલન પ્રણાલીમાં લંબગોળનું સમીકરણ લખવું શક્ય નથી. તેથી, નિશ્ચિત લંબગોળ માટે, સંકલન પ્રણાલી પસંદ કરવી જરૂરી છે જેથી તેનું સમીકરણ એકદમ સરળ હોય. ચાલો અને લંબગોળનું કેન્દ્ર બનીએ. ચાલો કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના મૂળને સેગમેન્ટની મધ્યમાં મૂકીએ. અક્ષ આ સેગમેન્ટ સાથે નિર્દેશિત છે, અક્ષ આ સેગમેન્ટ પર લંબ દિશામાન છે

24)હાયપરબોલા

શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાંથી આપણે જાણીએ છીએ કે સમીકરણ દ્વારા નિર્ધારિત વળાંક, જ્યાં સંખ્યા છે, તેને અતિપરવલય કહેવાય છે. જો કે, આ હાયપરબોલા (સર્વભુજ હાયપરબોલા) નો વિશેષ કેસ છે. વ્યાખ્યા 12. 5 હાયપરબોલા એ પ્લેન પરના બિંદુઓનું સ્થાન છે, જેમાંના દરેક માટે સમાન સમતલના બે નિશ્ચિત બિંદુઓ સુધીના અંતરના તફાવતનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય, જેને હાયપરબોલાના ફોસી કહેવાય છે, તે એક સ્થિર મૂલ્ય છે. જેમ અંડાકારના કિસ્સામાં, અમે પસંદ કરીએ છીએ તે હાયપરબોલાનું સમીકરણ મેળવવા માટે યોગ્ય સિસ્ટમસંકલન ચાલો ફોસી વચ્ચેના સેગમેન્ટની મધ્યમાં કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ મૂકીએ, અક્ષને આ સેગમેન્ટની સાથે દિશામાન કરીએ અને ઓર્ડિનેટ અક્ષને તેની પર લંબ દિશામાન કરીએ. પ્રમેય 12. 3 ફોસી અને હાઇપરબોલા વચ્ચેનું અંતર સમાન રહેવા દો, અને હાઇપરબોલાના બિંદુથી ફોસી સુધીના અંતરમાં તફાવતનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય સમાન છે. પછી ઉપર પસંદ કરેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં હાઇપરબોલા સમીકરણ (12.8) ધરાવે છે જ્યાં (12.9) પુરાવો. ચાલો હાયપરબોલાના વર્તમાન બિંદુ (ફિગ. 12.9) હોઈએ. ચોખા. 12 9 ત્રિકોણની બે બાજુઓ વચ્ચેનો તફાવત ત્રીજી બાજુ કરતાં ઓછો હોવાથી , તે જ , . છેલ્લી અસમાનતાના આધારે, સૂત્ર (12.9) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક સંખ્યા અસ્તિત્વમાં છે. સંમેલન દ્વારા, ફોકસ છે , . પ્લેનના કેસ માટે ફોર્મ્યુલા (10.4) નો ઉપયોગ કરીને, અમે હાઇપરબોલાની વ્યાખ્યા દ્વારા મેળવીએ છીએ અમે આ સમીકરણને ફોર્મમાં લખીએ છીએ અમે બંને બાજુનો વર્ગ કરીએ છીએ: સમાન શરતો લાવ્યા પછી અને 4 વડે ભાગ્યા પછી, અમે સમાનતા પર આવીએ છીએ. ફરીથી, અમે બંને બાજુઓને ચોરસ કરીએ છીએ: કૌંસ ખોલીને અને સમાન શબ્દો લાવીએ છીએ, અમને સૂત્ર (12.9) ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, સમીકરણ ફોર્મ લે છે ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને વડે વિભાજીત કરીએ અને સમીકરણ મેળવીએ (12.8) સમીકરણ (12.8) એ અતિપરવલયનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ કહેવાય છે. પ્રસ્તાવ 12. 3 હાયપરબોલામાં સમપ્રમાણતાના બે પરસ્પર લંબ અક્ષો હોય છે, જેમાંથી એક હાયપરબોલાના ફોસી અને સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર ધરાવે છે. જો હાયપરબોલા પ્રમાણભૂત સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો તેની સમપ્રમાણતાની અક્ષો છે

અમને મળે છે: તેથી, ફંક્શનના ગ્રાફમાં એસિમ્પ્ટોટ છે. હાયપરબોલાની સમપ્રમાણતા પરથી તે અનુસરે છે કે તે એસિમ્પ્ટોટ પણ છે. બિંદુની નજીકમાં વળાંકની પ્રકૃતિ અસ્પષ્ટ રહે છે, એટલે કે, આલેખ રચાય છે કે કેમ અને હાયપરબોલાનો ભાગ જે આ બિંદુએ ધરીની તુલનામાં તેની સાથે સપ્રમાણતા ધરાવે છે તે આ બિંદુએ એક ખૂણો અથવા અતિપરવલય છે - એક સરળ વળાંક (ત્યાં એક સ્પર્શક છે). આ મુદ્દાને ઉકેલવા માટે, અમે સમીકરણ (12.8) થી આના દ્વારા વ્યક્ત કરીએ છીએ: તે સ્પષ્ટ છે કે આ ફંક્શન બિંદુ પર વ્યુત્પન્ન છે , , અને બિંદુ પર હાઇપરબોલા પાસે ઊભી સ્પર્શક છે. પ્રાપ્ત ડેટાનો ઉપયોગ કરીને, અમે ફંક્શનનો ગ્રાફ દોરીએ છીએ (ફિગ. 12.10). ચોખા. 12 10. ફંક્શનનો ગ્રાફ અંતે, હાયપરબોલાની સમપ્રમાણતાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે આકૃતિ 12.11 નો વળાંક મેળવીએ છીએ. ચોખા. 12 11.હાયપરબોલી વ્યાખ્યા 12. 6 અક્ષ સાથે પ્રામાણિક સમીકરણ (12.8) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હાઇપરબોલાના આંતરછેદના બિંદુઓને હાઇપરબોલાના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે, તેમની વચ્ચેના સેગમેન્ટને હાઇપરબોલાના વાસ્તવિક અક્ષ કહેવામાં આવે છે. બિંદુઓ વચ્ચેના ઓર્ડિનેટ અક્ષના સેગમેન્ટને કાલ્પનિક અક્ષ કહેવામાં આવે છે. સંખ્યાઓ અને અનુક્રમે હાઇપરબોલાના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક અર્ધ-અક્ષો કહેવાય છે. કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ તેનું કેન્દ્ર કહેવાય છે. જથ્થાને હાયપરબોલાની વિલક્ષણતા કહેવામાં આવે છે. નોંધ 12. 3 સમાનતા (12.9) થી તે અનુસરે છે, એટલે કે, અતિપરવલય માટે. વિલક્ષણતા એસિમ્પ્ટોટ્સ વચ્ચેના ખૂણાને દર્શાવે છે; 1 ની નજીક, આ કોણ નાનો. નોંધ 12. 4 એક અંડાકારથી વિપરીત, હાયપરબોલાના પ્રમાણભૂત સમીકરણમાં, જથ્થા વચ્ચેનો સંબંધ મનસ્વી હોઈ શકે છે. ખાસ કરીને, જ્યારે આપણે એક સમબાજુ હાઇપરબોલા મેળવીએ છીએ, જે શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાંથી જાણીતું છે. જો આપણે , અને અક્ષો લઈએ અને તેમને ચોથા અને પ્રથમ સંકલન કોણના દ્વિભાજકો સાથે દિશામાન કરીએ તો તેનું સમીકરણ પરિચિત સ્વરૂપ ધરાવે છે (ફિગ. 12.12). ચોખા. 12 12. આકૃતિમાં પ્રતિબિંબ માટે સમબાજુ હાઇપરબોલા ગુણવત્તા લાક્ષણિકતાઓહાયપરબોલાના, તે તેના શિરોબિંદુઓને ઓળખવા, એસિમ્પ્ટોટ્સ દોરવા અને શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતો એક સરળ વળાંક દોરવા માટે પૂરતો છે, એસિમ્પ્ટોટ્સ સુધી પહોંચે છે અને આકૃતિ 12.10 માં વળાંક જેવું જ છે. ઉદાહરણ 12. 4 હાયપરબોલા બનાવો, તેના ફોસી અને તરંગીતા શોધો. ઉકેલ. ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને 4 વડે વિભાજીત કરીએ. આપણને પ્રામાણિક સમીકરણ મળે છે. અમે એસિમ્પ્ટોટ્સ દોરીએ છીએ અને હાઇપરબોલા (ફિગ. 12.13) બનાવીએ છીએ. ચોખા. 12 13.હાયપરબોલા ફોર્મ્યુલામાંથી (12.9) આપણે મેળવીએ છીએ. પછી યુક્તિઓ છે , , . ઉદાહરણ 12. 5 હાઇપરબોલા બનાવો. તેના કેન્દ્ર અને તરંગીતા શોધો. ઉકેલ. ચાલો સમીકરણને સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરીએ આ સમીકરણ એ અતિપરવલયનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ નથી, કારણ કે ચિહ્નો પ્રમાણભૂત સમીકરણમાં ચિહ્નોની પહેલા અને વિરુદ્ધ છે. જો કે, જો આપણે ચલોને ફરીથી ડિઝાઇન કરીએ, , તો પછી નવા ચલોમાં આપણે પ્રમાણભૂત સમીકરણ મેળવીએ છીએ આ અતિપરવલાની વાસ્તવિક ધરી અક્ષ પર છે, એટલે કે, મૂળ સંકલન પ્રણાલીની ધરી પર, એસિમ્પ્ટોટ્સ એક સમીકરણ ધરાવે છે, એટલે કે , મૂળ કોઓર્ડિનેટમાં સમીકરણ. વાસ્તવિક અર્ધ-અક્ષ 5 ની બરાબર છે, કાલ્પનિક 2 છે. આ ડેટા અનુસાર, અમે બાંધકામ હાથ ધરીએ છીએ (ફિગ. 12.14). ચોખા. 12 14.સમીકરણ સાથે હાઇપરબોલા ફોર્મ્યુલા (12.9)માંથી આપણે મેળવીએ છીએ, , વાસ્તવિક અક્ષ પર ફોસી આવેલો છે - , , જ્યાં કોઓર્ડિનેટ્સ મૂળ સંકલન પ્રણાલીમાં દર્શાવેલ છે.

પેરાબોલા

શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં, પેરાબોલાનો અમુક વિગતવાર અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો, જે વ્યાખ્યા પ્રમાણે, ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીનો ગ્રાફ હતો. અહીં આપણે પેરાબોલાની બીજી (ભૌમિતિક) વ્યાખ્યા આપીશું. વ્યાખ્યા 12. 7 પેરાબોલા એ પ્લેન પરના પોઈન્ટનું ભૌમિતિક સ્થાન છે, જેમાંના દરેક માટે આ પ્લેનના નિશ્ચિત બિંદુનું અંતર, જેને ફોકસ કહેવાય છે, તે જ પ્લેનમાં પડેલી નિશ્ચિત સીધી રેખાના અંતર જેટલું છે અને તેને ડાયરેક્ટ્રીક્સ કહેવામાં આવે છે. પેરાબોલાના. આ વ્યાખ્યાને અનુરૂપ વળાંકનું સમીકરણ મેળવવા માટે, અમે યોગ્ય સંકલન પ્રણાલી રજૂ કરીએ છીએ. આ કરવા માટે, ફોકસથી ડાયરેક્ટ્રીક્સ સુધી લંબને નીચે કરો. ચાલો કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિને સેગમેન્ટની મધ્યમાં મૂકીએ અને અક્ષને સેગમેન્ટની સાથે દિશામાન કરીએ જેથી તેની દિશા વેક્ટરની દિશા સાથે એકરુપ થાય. ચાલો ધરીને લંબરૂપ ધરીએ (ફિગ. 12.15). ચોખા. 12 15 પ્રમેય 12. 4 પેરાબોલાના ફોકસ અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ વચ્ચેનું અંતર બરાબર થવા દો. પછી પસંદ કરેલ સંકલન પ્રણાલીમાં પેરાબોલાને સમીકરણ (12.10) પુરાવો છે. પસંદ કરેલ સંકલન પ્રણાલીમાં, પેરાબોલાનું ધ્યાન બિંદુ છે, અને ડાયરેક્ટ્રીક્સ સમીકરણ ધરાવે છે (ફિગ. 12.15). ચાલો પેરાબોલાના વર્તમાન બિંદુ હોઈએ. પછી, પ્લેન કેસ માટે ફોર્મ્યુલા (10.4) નો ઉપયોગ કરીને, આપણે શોધીએ છીએ એક બિંદુથી ડાયરેક્ટ્રીક્સ સુધીનું અંતર એ બિંદુથી ડાયરેક્ટ્રીક્સ પર પડેલા કાટખૂણેની લંબાઈ છે. આકૃતિ 12.15 થી તે સ્પષ્ટ છે કે. પછી પેરાબોલાની વ્યાખ્યા દ્વારા, એટલે કે ચાલો છેલ્લા સમીકરણની બંને બાજુઓને ચોરસ કરીએ: જ્યાં સમાન શરતો લાવ્યા પછી, અમે સમીકરણ (12.10) મેળવીએ છીએ. સમીકરણ (12.10) ને પેરાબોલાના પ્રામાણિક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. પ્રસ્તાવ 12. 4 પેરાબોલામાં સમપ્રમાણતાની ધરી હોય છે. જો પેરાબોલાને પ્રામાણિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો સમપ્રમાણતાનો અક્ષ અક્ષ સાથે મેળ ખાય છે. પુરાવો. સાબિતીની જેમ જ આગળ વધો (પ્રસ્તાવના 12.1). પેરાબોલા સાથે સમપ્રમાણતાના અક્ષના આંતરછેદના બિંદુને પેરાબોલાના શિરોબિંદુ કહેવામાં આવે છે. જો આપણે ચલોને ફરીથી ડિઝાઇન કરીએ, તો સમીકરણ (12.10) એવા સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે જે શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં સામાન્ય પેરાબોલાના સમીકરણ સાથે મેળ ખાતું હોય. તેથી, અમે વધારાના સંશોધન વિના પેરાબોલા દોરીશું (ફિગ. 12.16). ચોખા. 12 16. પેરાબોલા ઉદાહરણ 12. 6 પેરાબોલા બનાવો. તેણીનું ધ્યાન અને નિર્દેશક શોધો. ઉકેલ. સમીકરણ એ પેરાબોલાનું પ્રામાણિક સમીકરણ છે, , . પેરાબોલાની અક્ષ એ ધરી છે, શિરોબિંદુ મૂળ પર છે, પેરાબોલાની શાખાઓ ધરી સાથે નિર્દેશિત છે. બાંધવા માટે, આપણે પેરાબોલાના કેટલાક બિંદુઓ શોધીશું. આ કરવા માટે, અમે ચલને મૂલ્યો અસાઇન કરીએ છીએ અને મૂલ્યો શોધીએ છીએ. ચાલો પોઈન્ટ લઈએ , . ધરી વિશેની સમપ્રમાણતાને ધ્યાનમાં રાખીને, અમે વળાંક દોરીએ છીએ (ફિગ. 12.17) ચોખા. 12 17. ફોકસ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ પેરાબોલા શિરોબિંદુથી થોડા અંતરે ધરી પર આવેલું છે, એટલે કે, તેમાં કોઓર્ડિનેટ્સ છે. ડાયરેક્ટ્રીક્સનું એક સમીકરણ છે, એટલે કે, . અંડાકારની જેમ પેરાબોલામાં પ્રકાશના પ્રતિબિંબ સાથે સંકળાયેલી મિલકત છે (ફિગ. 12.18). પુરાવા વગર ફરીથી મિલકતની રચના કરીએ. પ્રસ્તાવ 12. 5 પેરાબોલાના ફોકસ, પેરાબોલાના એક મનસ્વી બિંદુ, અને પેરાબોલાની ધરીની સમાંતર એક બિંદુ પર તેની ઉત્પત્તિ સાથેનું કિરણ બનીએ. પછી બિંદુ પરના પેરાબોલાને નોર્મલ એ સેગમેન્ટ અને કિરણને અડધા ભાગમાં વિભાજિત કરે છે. ચોખા. 12 18. પેરાબોલામાંથી પ્રકાશ કિરણનું પ્રતિબિંબ આ ગુણધર્મનો અર્થ છે કે પ્રકાશનું કિરણ ફોકસ છોડીને, પેરાબોલામાંથી પ્રતિબિંબિત થાય છે, તે પછી આ પેરાબોલાની ધરીની સમાંતર જશે. અને તેનાથી વિપરિત, અનંતમાંથી આવતા તમામ કિરણો અને પેરાબોલાની ધરીની સમાંતર તેના કેન્દ્રમાં એકરૂપ થશે. આ ગુણધર્મનો વ્યાપકપણે ટેકનોલોજીમાં ઉપયોગ થાય છે. સ્પૉટલાઇટ્સમાં સામાન્ય રીતે અરીસો હોય છે, જેની સપાટી તેની સમપ્રમાણતા (પેરાબોલિક મિરર) ની ધરીની આસપાસ પેરાબોલાને ફેરવીને મેળવવામાં આવે છે. સ્પોટલાઇટ્સમાં પ્રકાશનો સ્ત્રોત પેરાબોલાના કેન્દ્રમાં મૂકવામાં આવે છે. પરિણામે, સ્પોટલાઇટ પ્રકાશના લગભગ સમાંતર કિરણોનો બીમ ઉત્પન્ન કરે છે. આ જ ગુણધર્મનો ઉપયોગ અવકાશ સંચાર માટે એન્ટેના મેળવવામાં અને ટેલિસ્કોપ મિરર્સમાં થાય છે, જે રેડિયો તરંગોના સમાંતર કિરણોનો પ્રવાહ અથવા પ્રકાશના સમાંતર કિરણોનો પ્રવાહ એકત્રિત કરે છે અને તેને અરીસાના કેન્દ્રમાં કેન્દ્રિત કરે છે.

26) મેટ્રિક્સ વ્યાખ્યા. મેટ્રિક્સ એ સંખ્યાઓની લંબચોરસ કોષ્ટક છે જેમાં m પંક્તિઓની ચોક્કસ સંખ્યા અને n કૉલમ્સની ચોક્કસ સંખ્યા હોય છે.

મૂળભૂત મેટ્રિક્સ ખ્યાલો: સંખ્યાઓ m અને n ને મેટ્રિક્સનો ઓર્ડર કહેવામાં આવે છે. જો m=n હોય, તો મેટ્રિક્સ કહેવાય છે ચોરસ, અને સંખ્યા m=n તેનો ક્રમ છે.

નીચેનામાં, મેટ્રિક્સ લખવા માટે નીચેના સંકેતોનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે:

તેમ છતાં ક્યારેક સાહિત્યમાં હોદ્દો દેખાય છે:

જો કે, મેટ્રિક્સને સંક્ષિપ્તમાં દર્શાવવા માટે, લેટિન મૂળાક્ષરોના એક મોટા અક્ષરનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, A), અથવા પ્રતીક ||a ij ||, અને કેટલીકવાર સમજૂતી સાથે: A=||a ij ||= (a ij) (i =1,2,...,m; j=1,2,...n)

આ મેટ્રિક્સમાં સમાવિષ્ટ ij સંખ્યાઓને તેના તત્વો કહેવામાં આવે છે. એન્ટ્રી a ij માં, પ્રથમ અનુક્રમણિકા i નો અર્થ પંક્તિ નંબર છે, અને બીજી અનુક્રમણિકા j નો અર્થ કૉલમ નંબર છે.

ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ

આ ક્રમ 2×3 નું મેટ્રિક્સ છે, તેના તત્વો છે a 11 =1, a 12 =x, a 13 =3, a 21 =-2y, ...

તેથી, અમે મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા રજૂ કરી છે. ચાલો મેટ્રિસિસના પ્રકારોને ધ્યાનમાં લઈએ અને તેને અનુરૂપ વ્યાખ્યાઓ આપીએ.

મેટ્રિસિસના પ્રકાર

ચાલો મેટ્રિસિસનો ખ્યાલ રજૂ કરીએ: ચોરસ, કર્ણ, એકમ અને શૂન્ય.

ચોરસ મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા: ચોરસ મેટ્રિક્સ n-th ઓર્ડર મેટ્રિક્સને n×n મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે.

ચોરસ મેટ્રિક્સના કિસ્સામાં

મુખ્ય અને ગૌણ કર્ણનો ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવ્યો છે. મુખ્ય કર્ણમેટ્રિક્સનો કર્ણ એ મેટ્રિક્સના ઉપરના ડાબા ખૂણેથી તેના નીચલા જમણા ખૂણે જાય છે.

બાજુ કર્ણસમાન મેટ્રિક્સના નીચલા ડાબા ખૂણેથી ઉપરના જમણા ખૂણે જતો કર્ણ કહેવાય છે.

વિકર્ણ મેટ્રિક્સનો ખ્યાલ: કર્ણએક ચોરસ મેટ્રિક્સ છે જેમાં મુખ્ય કર્ણની બહારના તમામ તત્વો શૂન્ય સમાન છે.

ઓળખ મેટ્રિક્સનો ખ્યાલ: એકલુ(ક્યારેક E ને I સૂચવવામાં આવે છે) મુખ્ય કર્ણ પર હોય તેવા વિકર્ણ મેટ્રિક્સ કહેવાય છે.

શૂન્ય મેટ્રિક્સનો ખ્યાલ:શૂન્યએક મેટ્રિક્સ છે જેના તત્વો બધા શૂન્ય છે.

બે મેટ્રિસિસ A અને B સમાન હોવાનું કહેવાય છે (A=B) જો તેઓ સમાન કદના હોય (એટલે ​​​​કે, તેમની પાસે સમાન સંખ્યામાં પંક્તિઓ અને સમાન સંખ્યામાં કૉલમ હોય અને તેમના અનુરૂપ ઘટકો સમાન હોય). તેથી, જો

પછી A=B, જો a 11 =b 11, a 12 =b 12, a 21 =b 21, a 22 =b 22

વિશિષ્ટ પ્રકારના મેટ્રિસિસ

ચોરસ મેટ્રિક્સ કહેવાય છે ઉપલા ત્રિકોણાકાર, જો ખાતે i>જે, અને નીચલા ત્રિકોણાકાર, જો ખાતે i