સંપૂર્ણ પાઠ - જ્ઞાન હાઇપરમાર્કેટ. ચતુર્ભુજની વ્યાખ્યા

શાળાના અભ્યાસક્રમમાંથી ભૂમિતિના સૌથી રસપ્રદ વિષયોમાંનો એક છે “ચતુર્ભુજ” (8મું ધોરણ). કયા પ્રકારનાં આકૃતિઓ અસ્તિત્વમાં છે, તેમની પાસે કઈ વિશેષ ગુણધર્મો છે? નેવું-અંશના ખૂણાવાળા ચતુષ્કોણ વિશે શું વિશિષ્ટ છે? ચાલો તે બધું બહાર કાઢીએ.

કઈ ભૌમિતિક આકૃતિને ચતુર્ભુજ કહેવામાં આવે છે?

બહુકોણ કે જે ચાર બાજુઓ ધરાવે છે અને તે મુજબ, ચાર શિરોબિંદુઓ (કોણ) યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં ચતુર્ભુજ કહેવાય છે.

આ પ્રકારની આકૃતિના નામનો ઇતિહાસ રસપ્રદ છે. રશિયન ભાષામાં, સંજ્ઞા "ચતુર્ભુજ" શબ્દ "ચાર ખૂણા" (જેમ કે "ત્રિકોણ" - ત્રણ ખૂણા, "પેન્ટાગોન" - પાંચ ખૂણા, વગેરે) વાક્યમાંથી રચાય છે.

જો કે, લેટિનમાં (જેના દ્વારા વિશ્વની મોટાભાગની ભાષાઓમાં ઘણા ભૌમિતિક શબ્દો આવ્યા છે) તેને ચતુર્ભુજ કહેવામાં આવે છે. આ શબ્દ સંખ્યાત્મક ચતુર્થાંશ (ચાર) અને સંજ્ઞા લૅટસ (બાજુ) પરથી બન્યો છે. તેથી આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ કે પ્રાચીન લોકો આ બહુકોણને "ચતુર્ભુજ" સિવાય બીજું કંઈ કહેતા નથી.

માર્ગ દ્વારા, આ નામ (આ પ્રકારની આકૃતિઓમાં, ખૂણાને બદલે ચાર બાજુઓની હાજરી પર ભાર મૂકે છે) કેટલાકમાં સાચવવામાં આવ્યું હતું. આધુનિક ભાષાઓ. ઉદાહરણ તરીકે, અંગ્રેજીમાં - quadrilateral અને ફ્રેન્ચમાં - quadrilatère.

તદુપરાંત, મોટાભાગની સ્લેવિક ભાષાઓમાં, પ્રશ્નમાં આકૃતિનો પ્રકાર હજી પણ ખૂણાઓની સંખ્યા દ્વારા ઓળખાય છે, બાજુઓથી નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, સ્લોવાકમાં (štvoruholník), બલ્ગેરિયનમાં ("chetirigalnik"), બેલારુસિયનમાં ("chatyrokhkutnik"), યુક્રેનિયનમાં ("chotirikutnik"), ચેકમાં (čtyřúhelník), પરંતુ પોલિશમાં ચતુર્ભુજને સંખ્યા દ્વારા કહેવામાં આવે છે. બાજુઓ - czworoboczny.

શાળાના અભ્યાસક્રમમાં કયા પ્રકારના ચતુષ્કોણનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે?

આધુનિક ભૂમિતિમાં, ચાર બાજુઓ સાથે 4 પ્રકારના બહુકોણ છે.

જો કે, તેમાંના કેટલાકના અતિશય જટિલ ગુણધર્મોને લીધે, શાળાના બાળકોને ભૂમિતિના પાઠમાં માત્ર બે પ્રકારો સાથે પરિચય આપવામાં આવે છે.

• સમાંતરગ્રામ.આવા ચતુષ્કોણની વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડીમાં એકબીજાની સમાંતર હોય છે અને તે મુજબ, જોડીમાં પણ સમાન હોય છે.
• ટ્રેપેઝિયમ (ટ્રેપેઝિયમ અથવા ટ્રેપેઝોઇડ).આ ચતુષ્કોણ એકબીજાની સમાંતર બે વિરુદ્ધ બાજુઓ ધરાવે છે. જો કે, બાજુઓની અન્ય જોડીમાં આ સુવિધા નથી.

શાળાના ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં ચતુષ્કોણના પ્રકારોનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો નથી

ઉપરોક્ત ઉપરાંત, ત્યાં વધુ બે પ્રકારના ચતુષ્કોણ છે જેનો શાળાના બાળકો તેમની ચોક્કસ જટિલતાને કારણે ભૂમિતિના પાઠોમાં પરિચય કરાવતા નથી.

• ડેલ્ટોઇડ (પતંગ)- એક આકૃતિ જેમાં અડીને બાજુના બે જોડીમાંથી દરેક લંબાઈમાં સમાન હોય છે. આ ચતુર્ભુજને તેનું નામ આ હકીકતને કારણે મળ્યું છે દેખાવતે ગ્રીક મૂળાક્ષરો - "ડેલ્ટા" ના અક્ષર સાથે ખૂબ નજીકથી મળતું આવે છે.
• સમાંતર ચતુર્ભુજ- આ આંકડો તેના નામની જેમ જટિલ છે. તેમાં, બે વિરોધી બાજુઓ સમાન છે, પરંતુ તે જ સમયે તેઓ એકબીજા સાથે સમાંતર નથી. વધુમાં, આ ચતુર્ભુજની લાંબી વિરુદ્ધ બાજુઓ એકબીજાને છેદે છે, જેમ કે અન્ય બે, ટૂંકી બાજુઓના વિસ્તરણ કરે છે.

સમાંતરગ્રામના પ્રકાર

ચતુષ્કોણના મુખ્ય પ્રકારો સાથે વ્યવહાર કર્યા પછી, તેના પેટા પ્રકારો પર ધ્યાન આપવું યોગ્ય છે. તેથી, બધા સમાંતરગ્રામો, બદલામાં, પણ ચાર જૂથોમાં વહેંચાયેલા છે.

• ક્લાસિક સમાંતરગ્રામ.
• રોમ્બસ- સમાન બાજુઓ સાથે ચતુષ્કોણીય આકૃતિ. તેના કર્ણ કાટખૂણો પર છેદે છે, સમચતુર્ભુજને ચાર સમાન જમણા-કોણ ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરે છે.
• લંબચોરસ.નામ પોતે જ બોલે છે. કારણ કે તે કાટખૂણો સાથેનો ચતુર્ભુજ છે (તેમાંના દરેક નેવું ડિગ્રી બરાબર છે). તેની વિરુદ્ધ બાજુઓ માત્ર એકબીજાની સમાંતર નથી, પણ સમાન છે.
• ચોરસ.લંબચોરસની જેમ, તે કાટખૂણો સાથેનો ચતુર્ભુજ છે, પરંતુ તેની બધી બાજુઓ સમાન છે. આ રીતે, આ આંકડો સમચતુર્ભુજની નજીક છે. તેથી આપણે કહી શકીએ કે ચોરસ એ રોમ્બસ અને લંબચોરસ વચ્ચેનો ક્રોસ છે.

લંબચોરસના વિશેષ ગુણધર્મો

જ્યારે બાજુઓ વચ્ચેનો દરેક ખૂણો નેવું ડિગ્રી સમાન હોય તેવા આંકડાઓને ધ્યાનમાં લેતા, તે લંબચોરસને નજીકથી જોવાનું યોગ્ય છે. તો, તેની કઈ વિશેષ વિશેષતાઓ છે જે તેને અન્ય સમાંતરગ્રામોથી અલગ પાડે છે?

એવો દાવો કરવા માટે કે પ્રશ્નમાં સમાંતર ચતુષ્કોણ એક લંબચોરસ છે, તેના કર્ણ એકબીજાના સમાન હોવા જોઈએ, અને દરેક ખૂણા સાચા હોવા જોઈએ. વધુમાં, તેના કર્ણનો ચોરસ આ આકૃતિની બે અડીને બાજુઓના ચોરસના સરવાળાને અનુરૂપ હોવો જોઈએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ક્લાસિક લંબચોરસમાં બે કાટકોણ હોય છે, અને તેમાં, જેમ જાણીતું છે, પ્રશ્નમાં ચતુર્ભુજનું કર્ણ કર્ણાકાર તરીકે કાર્ય કરે છે.

આ આકૃતિની સૂચિબદ્ધ લાક્ષણિકતાઓમાંની છેલ્લી તેની વિશેષ મિલકત પણ છે. આ ઉપરાંત, અન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, હકીકત એ છે કે ચતુર્ભુજની બધી બાજુઓ કાટખૂણોથી અભ્યાસ કરવામાં આવે છે તે પણ તેની ઊંચાઈ છે.

વધુમાં, જો કોઈપણ લંબચોરસની આસપાસ વર્તુળ દોરવામાં આવે, તો તેનો વ્યાસ અંકિત આકૃતિના કર્ણ જેટલો હશે.

આ ચતુષ્કોણના અન્ય ગુણધર્મોમાં એ છે કે તે સપાટ છે અને બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં અસ્તિત્વમાં નથી. આ એ હકીકતને કારણે છે કે આવી સિસ્ટમમાં કોઈ ચતુષ્કોણીય આકૃતિઓ નથી, જેના ખૂણાઓનો સરવાળો ત્રણસો અને સાઠ ડિગ્રી જેટલો છે.

ચોરસ અને તેના લક્ષણો

લંબચોરસના ચિહ્નો અને ગુણધર્મોને સમજ્યા પછી, વિજ્ઞાન માટે જાણીતા બીજા ચતુર્ભુજ પર ધ્યાન આપવું યોગ્ય છે જે જમણા ખૂણા (આ ચોરસ છે).

હકીકતમાં સમાન લંબચોરસ હોવાને કારણે, પરંતુ સમાન બાજુઓ સાથે, આ આંકડો તેના તમામ ગુણધર્મો ધરાવે છે. પરંતુ તેનાથી વિપરીત, ચોરસ બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં હાજર છે.

વધુમાં, આ આંકડો તેના પોતાના અન્ય વિશિષ્ટ લક્ષણો ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, હકીકત એ છે કે ચોરસના કર્ણ માત્ર એકબીજા સાથે સમાન નથી, પણ કાટખૂણો પર પણ છેદે છે. આમ, સમચતુર્ભુજની જેમ, ચોરસમાં ચાર જમણા ત્રિકોણ હોય છે જેમાં કર્ણ તેને વિભાજિત કરે છે.

વધુમાં, આ આંકડો તમામ ચતુષ્કોણમાં સૌથી વધુ સપ્રમાણ છે.

ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો કેટલો છે?

યુક્લિડિયન ભૂમિતિના ચતુષ્કોણની વિશેષતાઓને ધ્યાનમાં લેતી વખતે, તેમના ખૂણાઓ પર ધ્યાન આપવું યોગ્ય છે.

તેથી, ઉપરોક્ત દરેક આંકડામાં, તેના કાટખૂણા હોય કે ન હોય, તેમનો કુલ સરવાળો હંમેશા સમાન હોય છે - ત્રણસો અને સાઠ ડિગ્રી. આ આકૃતિની આ એક વિશિષ્ટ વિશિષ્ટતા છે.

ચતુષ્કોણની પરિમિતિ

ચતુર્ભુજના ખૂણાઓનો સરવાળો અને આ પ્રકારની આકૃતિઓના અન્ય વિશેષ ગુણધર્મો શું છે તે શોધી કાઢ્યા પછી, તેમની પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે કયા સૂત્રોનો શ્રેષ્ઠ ઉપયોગ થાય છે તે શોધવાનું મૂલ્યવાન છે.

કોઈપણ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ નક્કી કરવા માટે, તમારે ફક્ત તેની બધી બાજુઓની લંબાઈને એકસાથે ઉમેરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ તરીકે, KLMN આકૃતિમાં, તેની પરિમિતિ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે: P = KL + LM + MN + KN. જો તમે અહીં સંખ્યાઓને બદલે છે, તો તમને મળશે: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

એવા કિસ્સામાં જ્યારે પ્રશ્નમાંની આકૃતિ સમચતુર્ભુજ અથવા ચોરસ હોય, તો પરિમિતિ શોધવા માટે તમે તેની એક બાજુની લંબાઈને ચાર વડે ગુણાકાર કરીને સૂત્રને સરળ બનાવી શકો છો: P = KL x 4. ઉદાહરણ તરીકે: 6 x 4 = 24 (સેમી).

વિસ્તાર સાથેના ચતુષ્કોણ માટેના સૂત્રો

ચાર ખૂણા અને બાજુઓ સાથે કોઈપણ આકૃતિની પરિમિતિ કેવી રીતે શોધવી તે શોધી કાઢ્યા પછી, તે સૌથી વધુ લોકપ્રિય અને ધ્યાનમાં લેવા યોગ્ય છે સરળ રીતોતેનો વિસ્તાર શોધવો.

ચતુર્ભુજના અન્ય ગુણધર્મો: વર્તુળ અને પરિપત્ર

યુક્લિડિયન ભૂમિતિની આકૃતિ તરીકે ચતુર્ભુજની લાક્ષણિકતાઓ અને ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લીધા પછી, તેની આસપાસના વર્તુળોનું વર્ણન કરવાની અથવા તેની અંદરના વર્તુળોને અંકિત કરવાની ક્ષમતા પર ધ્યાન આપવું યોગ્ય છે:

• જો કોઈ આકૃતિના વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો એકસો એંસી ડિગ્રી હોય અને જોડીમાં સમાન હોય, તો આવા ચતુષ્કોણની આસપાસ વર્તુળ મુક્તપણે વર્ણવી શકાય છે.
• ટોલેમીના પ્રમેય મુજબ, જો કોઈ વર્તુળને બહુકોણની બહાર ચાર બાજુઓ સાથે પરિક્રમા કરવામાં આવે છે, તો તેના કર્ણનું ઉત્પાદન આપેલ આકૃતિની વિરુદ્ધ બાજુઓના ઉત્પાદનના સરવાળા જેટલું છે. આમ, સૂત્ર આના જેવું દેખાશે: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• જો તમે એક ચતુર્ભુજ બનાવો જેમાં વિરુદ્ધ બાજુઓના સરવાળો એકબીજાના સમાન હોય, તો તમે તેમાં એક વર્તુળ લખી શકો છો.

ચતુષ્કોણ શું છે, તે કયા પ્રકારનું અસ્તિત્વ ધરાવે છે, તેમાંથી કોની બાજુઓ વચ્ચે માત્ર કાટખૂણો છે અને તેમની પાસે કયા ગુણધર્મો છે તે શોધી કાઢ્યા પછી, આ બધી સામગ્રીને યાદ રાખવા યોગ્ય છે. ખાસ કરીને, બહુકોણની પરિમિતિ અને વિસ્તાર શોધવા માટેના સૂત્રો ગણવામાં આવે છે. છેવટે, આ આકારના આંકડા સૌથી સામાન્ય છે, અને આ જ્ઞાન વાસ્તવિક જીવનમાં ગણતરીઓ માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે.

ચાર ખૂણા અને ચાર બાજુઓ સાથે. એક ચતુર્ભુજ બંધ તૂટેલી રેખા દ્વારા રચાય છે જેમાં ચાર કડીઓ હોય છે અને તૂટેલી લાઇનની અંદરનો ભાગ હોય છે.

ચતુર્ભુજનું હોદ્દો તેના શિરોબિંદુ પર સ્થિત અક્ષરોથી બનેલું છે, તેમને ક્રમમાં નામ આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ કહે છે અથવા લખે છે: ચતુષ્કોણ એ બી સી ડી :

ચતુષ્કોણમાં એ બી સી ડીપોઈન્ટ એ, બી, સીઅને ડી- આ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ, સેગમેન્ટ્સ એબી, બી.સી., સીડીઅને ડી.એ. - બાજુઓ.

એક બાજુથી જોડાયેલા શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે પડોશી, પડોશી ન હોય તેવા શિરોબિંદુઓ કહેવાય છે વિરુદ્ધ:

ચતુષ્કોણમાં એ બી સી ડીશિખરો એઅને બી, બીઅને સી, સીઅને ડી, ડીઅને એ- પડોશી, અને શિરોબિંદુઓ એઅને સી, બીઅને ડી- વિરુદ્ધ. અડીને આવેલા શિરોબિંદુઓ પર પડેલા ખૂણાઓને અડીને પણ કહેવામાં આવે છે, અને વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓ પર - વિરુદ્ધ.

ચતુર્ભુજની બાજુઓને જોડીમાં અડીને અને વિરુદ્ધમાં પણ વિભાજિત કરી શકાય છે: જે બાજુઓ સામાન્ય શિરોબિંદુ ધરાવે છે તેને કહેવામાં આવે છે. પડોશી(અથવા અડીને), બાજુઓ કે જેમાં સામાન્ય શિરોબિંદુઓ નથી - વિરુદ્ધ:

પક્ષો એબીઅને બી.સી., બી.સી.અને સીડી, સીડીઅને ડી.એ., ડી.એ.અને એબી- અડીને, અને બાજુઓ એબીઅને ડીસી, ઈ.સઅને બી.સી.- વિરુદ્ધ.

જો વિરોધી શિરોબિંદુઓ સેગમેન્ટ દ્વારા જોડાયેલા હોય, તો આવા સેગમેન્ટને કહેવામાં આવશે ચતુષ્કોણનો કર્ણ. ચતુર્ભુજમાં વિરોધી શિરોબિંદુઓની માત્ર બે જોડી હોય છે તે ધ્યાનમાં લેતા, ત્યાં ફક્ત બે કર્ણ હોઈ શકે છે:

સેગમેન્ટ્સ A.C.અને બી.ડી- કર્ણ.

ચાલો બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના મુખ્ય પ્રકારોને ધ્યાનમાં લઈએ:

• ટ્રેપેઝોઇડ- એક ચતુર્ભુજ જેમાં વિરુદ્ધ બાજુઓની એક જોડી એકબીજાની સમાંતર હોય છે, અને બીજી જોડી સમાંતર નથી હોતી.
  • આઇસોસેલ્સ ટ્રેપેઝોઇડ- એક ટ્રેપેઝોઇડ જેની બાજુઓ સમાન હોય છે.
  • લંબચોરસ ટ્રેપેઝોઇડ- ટ્રેપેઝોઇડ જેમાં એક ખૂણો સાચો હોય છે.
• સમાંતરગ્રામ- એક ચતુષ્કોણ જેમાં વિરુદ્ધ બાજુઓની બંને જોડી એકબીજાની સમાંતર હોય છે.
  • લંબચોરસ- એક સમાંતરગ્રામ જેમાં બધા ખૂણા સમાન હોય છે.
  • રોમ્બસ- એક સમાંતરગ્રામ જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે.
  • ચોરસ- સમાન બાજુઓ અને ખૂણાઓ સાથેનો સમાંતરગ્રામ. એક લંબચોરસ અને સમચતુર્ભુજ બંને એક ચોરસ હોઈ શકે છે.

બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના ખૂણાઓના ગુણધર્મો

તમામ બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ તેમના ખૂણા પર નીચેના બે ગુણધર્મો ધરાવે છે:

1. 180° કરતા ઓછો કોઈપણ આંતરિક કોણ.
2. આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો 360° છે.

ભૂમિતિના પાઠોમાં શાળાના અભ્યાસક્રમમાં, તમારે વિવિધ પ્રકારના ચતુષ્કોણ સાથે કામ કરવું પડશે: સમચતુર્ભુજ, સમાંતર, લંબચોરસ, ટ્રેપેઝોઇડ્સ, ચોરસ. અભ્યાસ કરવા માટેના સૌથી પહેલા આકારો લંબચોરસ અને ચોરસ છે.

તો લંબચોરસ શું છે? માધ્યમિક શાળાના 2જા ધોરણ માટેની વ્યાખ્યા આના જેવી દેખાશે: આ ચારેય ખૂણાઓ સાથેનો ચતુષ્કોણ છે. લંબચોરસ કેવો દેખાય છે તેની કલ્પના કરવી સરળ છે: તે 4 કાટખૂણો અને જોડીમાં એકબીજાની સમાંતર બાજુઓ સાથેની આકૃતિ છે.

ના સંપર્કમાં છે

બીજી ભૌમિતિક સમસ્યા હલ કરતી વખતે આપણે કઈ રીતે સમજી શકીએ કે આપણે કયા ચતુષ્કોણ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ? ત્યાં ત્રણ મુખ્ય ચિહ્નો છે, જેના દ્વારા કોઈ નિશ્ચિતપણે નક્કી કરી શકે છે કે આપણે એક લંબચોરસ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. ચાલો તેમને કૉલ કરીએ:

• આકૃતિ એક ચતુર્ભુજ છે જેના ત્રણ ખૂણા 90°ના બરાબર છે;
• રજૂ થયેલ ચતુર્ભુજ સમાન કર્ણ સાથેનો સમાંતરગ્રામ છે;
• એક સમાંતરગ્રામ કે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક કાટકોણ હોય.

તે જાણવું રસપ્રદ છે: બહિર્મુખ શું છે, તેના લક્ષણો અને લક્ષણો.

લંબચોરસ સમાંતર ચતુષ્કોણ (એટલે ​​​​કે, સમાંતર વિરોધી બાજુઓની જોડી સાથેનો ચતુષ્કોણ) હોવાથી, તેના માટે તેના તમામ ગુણધર્મો અને લાક્ષણિકતાઓ પૂર્ણ થશે.

બાજુની લંબાઈની ગણતરી માટેના સૂત્રો

એક લંબચોરસ માંવિરોધી બાજુઓ સમાન અને પરસ્પર સમાંતર છે. લાંબી બાજુને સામાન્ય રીતે લંબાઈ કહેવામાં આવે છે (a દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે), ટૂંકી બાજુને પહોળાઈ કહેવામાં આવે છે (b દ્વારા સૂચિત). ઇમેજમાં લંબચોરસમાં, લંબાઈ એ AB અને CD બાજુઓ છે અને પહોળાઈ AC અને B. D છે. તેઓ પાયાને પણ લંબરૂપ છે (એટલે ​​​​કે, તેઓ ઊંચાઈ છે).

બાજુઓ શોધવા માટે, તમે નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકો છો. તેઓ નીચેના સંમેલનોનો ઉપયોગ કરે છે: a - લંબચોરસની લંબાઈ, b - તેની પહોળાઈ, d - કર્ણ (એકબીજાની સામે આવેલા બે ખૂણાઓના શિરોબિંદુઓને જોડતો ભાગ), S - આકૃતિનો વિસ્તાર, P - પરિમિતિ, α - કર્ણ અને લંબાઈ વચ્ચેનો કોણ, β એ બંને કર્ણ દ્વારા રચાયેલો તીવ્ર કોણ છે. બાજુની લંબાઈ શોધવા માટેની પદ્ધતિઓ:

• કર્ણ અને જાણીતી બાજુનો ઉપયોગ કરીને: a = √(d² - b²), b = √(d² - a²).
• આકૃતિના ક્ષેત્રફળ અને તેની એક બાજુના આધારે: a = S/b, b = S/a.
• પરિમિતિ અને જાણીતી બાજુનો ઉપયોગ કરીને: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• કર્ણ અને તેની વચ્ચેના કોણ અને લંબાઈ દ્વારા: a = d sinα, b = d cosα.
• વિકર્ણ અને કોણ β દ્વારા: a = d sin 0.5 β, b = d cos 0.5 β.

પરિમિતિ અને વિસ્તાર

ચતુષ્કોણની પરિમિતિ કહેવાય છેતેની બધી બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો. પરિમિતિની ગણતરી કરવા માટે, નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકાય છે:

• બંને બાજુઓ દ્વારા: P = 2 (a + b).
• વિસ્તાર અને બાજુઓમાંથી એક દ્વારા: P = (2S + 2a²) / a, P = (2S + 2b²) / b.

વિસ્તાર એ પરિમિતિ દ્વારા બંધાયેલ જગ્યા છે. વિસ્તારની ગણતરી કરવાની ત્રણ મુખ્ય રીતો:

• બંને બાજુઓની લંબાઈ દ્વારા: S = a*b.
• પરિમિતિ અને કોઈપણ એક જાણીતી બાજુનો ઉપયોગ કરીને: S = (Pa - 2 a²) / 2; S = (Pb - 2 b²) / 2.
• ત્રાંસા અને કોણ β: S = 0.5 d² sinβ.

શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં સમસ્યાઓ માટે ઘણીવાર સારી કમાન્ડની જરૂર હોય છે લંબચોરસના કર્ણના ગુણધર્મો. અમે મુખ્યને સૂચિબદ્ધ કરીએ છીએ:

1. કર્ણ એકબીજાના સમાન હોય છે અને તેમના આંતરછેદના બિંદુએ બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત થાય છે.
2. કર્ણને બંને બાજુઓના વર્ગના સરવાળાના મૂળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (પાયથાગોરિયન પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે).
3. કર્ણ એક લંબચોરસને બે જમણા-કોણ ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરે છે.
4. આંતરછેદ બિંદુ ઘેરાયેલા વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ છે, અને કર્ણ પોતે તેના વ્યાસ સાથે એકરુપ છે.

કર્ણની લંબાઈની ગણતરી કરવા માટે નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:

• આકૃતિની લંબાઈ અને પહોળાઈનો ઉપયોગ કરીને: d = √(a² + b²).
• ચતુષ્કોણની ફરતે ઘેરાયેલ વર્તુળની ત્રિજ્યાનો ઉપયોગ કરીને: d = 2 R.

ચોરસની વ્યાખ્યા અને ગુણધર્મો

ચોરસ છે ખાસ કેસસમચતુર્ભુજ, સમાંતર અથવા લંબચોરસ. આ આંકડાઓથી તેનો તફાવત એ છે કે તેના તમામ ખૂણા સાચા છે અને ચારેય બાજુઓ સમાન છે. ચોરસ એ નિયમિત ચતુષ્કોણ છે.

નીચેના કેસોમાં ચતુષ્કોણને ચોરસ કહેવામાં આવે છે:

1. જો તે એક લંબચોરસ છે જેની લંબાઈ a અને પહોળાઈ b સમાન છે.
2. જો તે કર્ણની સમાન લંબાઈ અને ચાર કાટકોણ ધરાવતો સમચતુર્ભુજ હોય.

ચોરસના ગુણધર્મોમાં લંબચોરસ સંબંધિત અગાઉ ચર્ચા કરાયેલા તમામ ગુણધર્મો તેમજ નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:

1. કર્ણ એકબીજાને લંબરૂપ હોય છે (રોમ્બસ પ્રોપર્ટી).
2. આંતરછેદ બિંદુ અંકિત વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ છે.
3. બંને કર્ણ ચતુષ્કોણને ચાર સમાન જમણા અને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરે છે.

અહીં માટે વારંવાર વપરાતા સૂત્રો છે પરિમિતિ, વિસ્તાર અને ચોરસ તત્વોની ગણતરીઓ:

• વિકર્ણ d = a √2.
• પરિમિતિ P = 4 એ.
• વિસ્તાર S = a².
• ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા અડધી કર્ણ છે: R = 0.5 a √2.
• અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા બાજુની અડધી લંબાઈ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે: r = a / 2.

પ્રશ્નો અને કાર્યોના ઉદાહરણો

ચાલો કેટલાક પ્રશ્નો જોઈએ જે શાળામાં ગણિતના અભ્યાસક્રમનો અભ્યાસ કરતી વખતે તમને સામનો કરવો પડી શકે છે, અને કેટલીક સરળ સમસ્યાઓ હલ કરીએ.

સમસ્યા 1. જો તેની બાજુઓની લંબાઈ ત્રણ ગણી કરવામાં આવે તો લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે બદલાશે?

ઉકેલ : ચાલો મૂળ આકૃતિના ક્ષેત્રફળને S0 તરીકે દર્શાવીએ અને તેની બાજુઓની લંબાઈના ત્રણ ગણા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ S1 તરીકે દર્શાવીએ. અગાઉ ચર્ચા કરેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ: S0 = ab. હવે ચાલો લંબાઈ અને પહોળાઈને 3 ગણો વધારીએ અને લખીએ: S1= 3 a 3 b = 9 ab. S0 અને S1 ની સરખામણી કરતા, તે સ્પષ્ટ બને છે કે બીજો વિસ્તાર પ્રથમ કરતા 9 ગણો મોટો છે.

પ્રશ્ન 1. શું કાટકોણ ધરાવતો ચતુષ્કોણ ચોરસ છે?

ઉકેલ : વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે કાટખૂણોવાળી આકૃતિ એ ચોરસ છે જો તેની બધી બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોય. અન્ય કિસ્સાઓમાં, આકૃતિ એક લંબચોરસ છે.

સમસ્યા 2. લંબચોરસના કર્ણ 60 ડિગ્રીનો ખૂણો બનાવે છે. લંબચોરસની પહોળાઈ 8 છે. કર્ણ શું છે તેની ગણતરી કરો.

ઉકેલ:યાદ કરો કે કર્ણને આંતરછેદના બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચવામાં આવે છે. આમ અમે તેની સાથે વ્યવહાર કરીએ છીએ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ 60°ના સર્વોચ્ચ કોણ સાથે. ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી, આધાર પરના ખૂણાઓ પણ સમાન હશે. સરળ ગણતરીઓ દ્વારા આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે તેમાંથી દરેક 60° ની બરાબર છે. તે અનુસરે છે કે ત્રિકોણ સમભુજ છે. આપણે જાણીએ છીએ તે પહોળાઈ ત્રિકોણનો આધાર છે, તેથી કર્ણનો અડધો ભાગ પણ 8 ની બરાબર છે, અને સમગ્ર કર્ણની લંબાઈ બમણી મોટી અને 16 જેટલી છે.

પ્રશ્ન 2. શું લંબચોરસની બધી બાજુઓ સમાન હોય છે કે નહીં?

ઉકેલ : તે યાદ રાખવું પૂરતું છે કે ચોરસમાં બધી બાજુઓ સમાન હોવી જોઈએ, જે લંબચોરસનો વિશેષ કેસ છે. અન્ય તમામ કેસોમાં, પર્યાપ્ત સ્થિતિ એ ઓછામાં ઓછા 3 કાટકોણની હાજરી છે. પક્ષકારોની સમાનતા એ ફરજિયાત લક્ષણ નથી.

સમસ્યા 3. ચોરસનું ક્ષેત્રફળ જાણીતું છે અને 289 બરાબર છે. અંકિત અને પરિમાણિત વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

ઉકેલ : ચોરસ માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, અમે નીચેની ગણતરીઓ હાથ ધરીશું:

• ચાલો નક્કી કરીએ કે ચોરસના મૂળભૂત તત્વો શું સમાન છે: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• ચાલો ચતુષ્કોણની ફરતે ઘેરાયેલ વર્તુળની ત્રિજ્યાની ગણતરી કરીએ: R = 0.5 d = 8.5√2.
• ચાલો અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધીએ: r = a / 2 = 17 / 2 = 8.5.

વ્યાખ્યા.સમાંતર ચતુષ્કોણ એ ચતુષ્કોણ છે જેની વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડીમાં સમાંતર હોય છે.

મિલકત.સમાંતરગ્રામમાં, વિરોધી બાજુઓ સમાન હોય છે અને વિરોધી ખૂણા સમાન હોય છે.

મિલકત.સમાંતરગ્રામના કર્ણને આંતરછેદના બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચવામાં આવે છે.

સમાંતરગ્રામનું 1 ચિહ્ન.જો ચતુષ્કોણની બે બાજુઓ સમાન અને સમાંતર હોય, તો ચતુષ્કોણ એ સમાંતરગ્રામ છે.

સમાંતરગ્રામનું 2 ચિહ્ન.જો ચતુષ્કોણમાં વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડીમાં સમાન હોય, તો આ ચતુર્ભુજ એક સમાંતરગ્રામ છે.

સમાંતરગ્રામનું 3 ચિહ્ન.જો ચતુષ્કોણના કર્ણ એકબીજાને છેદે છે અને છેદનના બિંદુથી દ્વિભાજિત છે, તો ચતુર્ભુજ એ સમાંતરગ્રામ છે.

વ્યાખ્યા.ટ્રેપેઝોઇડ એ એક ચતુર્ભુજ છે જેમાં બે બાજુઓ સમાંતર હોય છે અને બીજી બે બાજુઓ સમાંતર હોતી નથી. સમાંતર બાજુઓ કહેવામાં આવે છે કારણો

ટ્રેપેઝોઇડ કહેવામાં આવે છે સમદ્વિબાજુ, જો તેની બાજુઓ સમાન હોય. સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડમાં, પાયા પરના ખૂણા સમાન હોય છે.

ટ્રેપેઝોઇડ, જેનો એક ખૂણો સાચો છે, કહેવાય છે લંબચોરસ.

બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતા સેગમેન્ટને કહેવામાં આવે છે ટ્રેપેઝોઇડની મધ્ય રેખા. મધ્ય રેખા પાયાની સમાંતર છે અને તેમના અર્ધ સરવાળા જેટલી છે.

વ્યાખ્યા.લંબચોરસ એ એક સમાંતરગ્રામ છે જેના ખૂણા બરાબર છે.

મિલકત.લંબચોરસના કર્ણ સમાન છે.

લંબચોરસ ચિહ્ન.જો સમાંતરગ્રામના કર્ણ સમાન હોય, તો આ સમાંતરગ્રામ એક લંબચોરસ છે.

વ્યાખ્યા.સમચતુર્ભુજ એક સમાંતરગ્રામ છે જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે.

મિલકત.સમચતુર્ભુજના કર્ણ પરસ્પર લંબ હોય છે અને તેના ખૂણાઓને દ્વિભાજિત કરે છે.

વ્યાખ્યા.ચોરસ એક લંબચોરસ છે જેની તમામ બાજુઓ સમાન હોય છે.

એક ચોરસ છે ખાનગી દૃશ્યલંબચોરસ, તેમજ ચોક્કસ પ્રકારના રોમ્બસ. તેથી તે તેમની તમામ ગુણધર્મો ધરાવે છે.

ગુણધર્મો:
1. ચોરસના બધા ખૂણા સાચા છે

2. ચોરસના કર્ણ સમાન છે, પરસ્પર કાટખૂણે છે, આંતરછેદનું બિંદુ ચોરસના ખૂણાઓને દ્વિભાજિત કરે છે અને દ્વિભાજિત કરે છે.

પાઠ વિષય

• ચતુર્ભુજની વ્યાખ્યા.

પાઠ હેતુઓ

• શૈક્ષણિક - પુનરાવર્તન, સામાન્યીકરણ અને વિષય પર જ્ઞાનનું પરીક્ષણ: "ચતુષ્કોણ"; મૂળભૂત કુશળતાનો વિકાસ.
• વિકાસલક્ષી - વિદ્યાર્થીઓનું ધ્યાન, દ્રઢતા, ખંત વિકસાવવા માટે, તાર્કિક વિચારસરણી, ગાણિતિક ભાષણ.
• શૈક્ષણિક - પાઠ દ્વારા, એકબીજા પ્રત્યે સચેત વલણ કેળવો, સાથીઓને સાંભળવાની ક્ષમતા, પરસ્પર સહાયતા અને સ્વતંત્રતા કેળવો.

પાઠ હેતુઓ

• સ્કેલ રુલર અને ડ્રોઇંગ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને ચતુષ્કોણ બનાવવાની કુશળતા વિકસાવો.
• વિદ્યાર્થીઓની સમસ્યાનું નિરાકરણ કરવાની કુશળતાનું પરીક્ષણ કરો.

પાઠ ની યોજના

1. ઐતિહાસિક સંદર્ભ. નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ.
2. ચતુષ્કોણ.
3. ચતુષ્કોણના પ્રકાર.

નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ

નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ, ભૂમિતિ સમાન ભૂમિતિ યુક્લિડતેમાં તે આકૃતિઓની હિલચાલને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, પરંતુ તે યુક્લિડિયન ભૂમિતિથી અલગ છે કે તેના પાંચ પોસ્ટ્યુલેટ્સમાંથી એક (બીજો કે પાંચમો) તેના નકાર દ્વારા બદલવામાં આવે છે. યુક્લિડિયન પોસ્ટ્યુલેટ્સ (1825)માંથી એકનો નકાર એ વિચારના ઇતિહાસમાં એક નોંધપાત્ર ઘટના હતી, કારણ કે તે આ તરફના પ્રથમ પગલા તરીકે સેવા આપી હતી. સાપેક્ષતાનો સિદ્ધાંત.

યુક્લિડનું બીજું અનુમાન જણાવે છે કે કોઈપણ સીધી રેખા સેગમેન્ટને અનિશ્ચિત સમય માટે વિસ્તૃત કરી શકાય છે. યુક્લિડ દેખીતી રીતે માનતા હતા કે આ ધારણામાં એવું નિવેદન પણ છે કે સીધી રેખા અનંત લંબાઈ ધરાવે છે. જોકે "લંબગોળ" ભૂમિતિમાં, કોઈપણ સીધી રેખા મર્યાદિત હોય છે અને વર્તુળની જેમ બંધ હોય છે.

પાંચમી ધારણા જણાવે છે કે જો કોઈ રેખા બે આપેલ રેખાઓને એવી રીતે છેદે છે કે તેની એક બાજુના બે આંતરિક ખૂણાઓ બેથી ઓછા કાટખૂણો સુધી ઉમેરે છે, તો આ બે રેખાઓ, જો અનિશ્ચિત સમય સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવે તો, તે બાજુ પર છેદે છે જ્યાં આ ખૂણાઓનો સરવાળો બે સીધી રેખાઓના સરવાળા કરતા ઓછો છે. પરંતુ "હાયપરબોલિક" ભૂમિતિમાં એક રેખા CB હોઈ શકે છે (આકૃતિ જુઓ), આપેલ રેખા r પર બિંદુ C પર લંબરૂપ અને બિંદુ B પર તીવ્ર કોણ પર બીજી રેખા s ને છેદે છે, પરંતુ, તેમ છતાં, અનંત રેખાઓ r અને s કરશે. ક્યારેય છેદશો નહીં.

આ સંશોધિત ધારણાઓમાંથી તે અનુસરવામાં આવ્યું છે કે ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો, યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં 180° જેટલો છે, જે લંબગોળ ભૂમિતિમાં 180° કરતા વધારે છે અને હાયપરબોલિક ભૂમિતિમાં 180° કરતા ઓછો છે.

ચતુષ્કોણ