સંપૂર્ણ પાઠ - જ્ઞાન હાઇપરમાર્કેટ. ચતુર્ભુજ વ્યાખ્યા

શાળાના અભ્યાસક્રમમાંથી ભૂમિતિના સૌથી રસપ્રદ વિષયોમાંનો એક છે "ક્વાડેંગલ્સ" (ગ્રેડ 8). કયા પ્રકારનાં આકૃતિઓ અસ્તિત્વમાં છે, તેમની પાસે કઈ વિશેષ ગુણધર્મો છે? નેવું-અંશ ખૂણાવાળા ચતુષ્કોણ વિશે શું વિશિષ્ટ છે? ચાલો આ બધાની તપાસ કરીએ.

કઈ ભૌમિતિક આકૃતિને ચતુષ્કોણ કહેવાય છે

બહુકોણ, જેમાં ચાર બાજુઓ હોય છે અને તે મુજબ ચાર શિરોબિંદુઓ (ખૂણા) હોય છે, તેને યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં ચતુર્ભુજ કહેવામાં આવે છે.

આ પ્રકારની આકૃતિઓના નામનો ઇતિહાસ રસપ્રદ છે. રશિયન ભાષામાં, સંજ્ઞા "ચતુષ્કોણીય" શબ્દસમૂહ "ચાર ખૂણા" (જેમ કે "ત્રિકોણ" - ત્રણ ખૂણા, "પેન્ટાગોન" - પાંચ ખૂણા વગેરે) માંથી રચાય છે.

જો કે, લેટિનમાં (જેના દ્વારા વિશ્વની મોટાભાગની ભાષાઓમાં ઘણા ભૌમિતિક શબ્દો આવ્યા છે), તેને ચતુર્ભુજ કહેવામાં આવે છે. આ શબ્દ સંખ્યાત્મક ચતુર્થાંશ (ચાર) અને સંજ્ઞા લાટસ (બાજુ) પરથી બન્યો છે. તેથી આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ કે પ્રાચીન લોકોમાં આ બહુકોણને ફક્ત "ચાર બાજુવાળા" તરીકે ઓળખવામાં આવતો હતો.

માર્ગ દ્વારા, આવા નામ (આ પ્રકારની આકૃતિઓમાં ખૂણાને બદલે ચાર બાજુઓની હાજરી પર ભાર મૂકે છે) કેટલીક આધુનિક ભાષાઓમાં સાચવવામાં આવ્યું છે. ઉદાહરણ તરીકે, અંગ્રેજીમાં - quadrilateral અને ફ્રેન્ચમાં - quadrilatère.

તે જ સમયે, મોટાભાગની સ્લેવિક ભાષાઓમાં, આકૃતિઓનો માનવામાં આવતો પ્રકાર હજી પણ ખૂણાઓની સંખ્યા દ્વારા ઓળખાય છે, બાજુઓ દ્વારા નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, સ્લોવાકમાં (štvoruholník), બલ્ગેરિયનમાં (“chetirigalnik”), બેલારુસિયનમાં (“chatyrokhkutnik”), યુક્રેનિયનમાં (“chotirikutnik”), ચેકમાં (čtyřúhelník), પરંતુ પોલિશમાં ચતુષ્કોણને સંખ્યા દ્વારા કહેવામાં આવે છે. બાજુઓ - czworoboczny.

શાળાના અભ્યાસક્રમમાં કયા પ્રકારના ચતુષ્કોણનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે

આધુનિક ભૂમિતિમાં, ચાર બાજુઓ સાથે 4 પ્રકારના બહુકોણ છે.

જો કે, તેમાંના કેટલાકના ખૂબ જટિલ ગુણધર્મોને લીધે, ભૂમિતિના પાઠોમાં, શાળાના બાળકોને ફક્ત બે પ્રકારો સાથે પરિચય આપવામાં આવે છે.

• સમાંતરગ્રામ.આવા ચતુષ્કોણની વિરુદ્ધ બાજુઓ એકબીજાની જોડીમાં સમાંતર હોય છે અને તે મુજબ, જોડીમાં પણ સમાન હોય છે.
• ટ્રેપેઝ (ટ્રેપેઝિયમ અથવા ટ્રેપેઝોઇડ).આ ચતુષ્કોણ એકબીજાની સમાંતર બે વિરુદ્ધ બાજુઓ ધરાવે છે. જો કે, બાજુઓની અન્ય જોડીમાં આ સુવિધા નથી.

શાળાના ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં ચતુષ્કોણના પ્રકારોનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો નથી

ઉપરોક્ત ઉપરાંત, ત્યાં વધુ બે પ્રકારના ચતુષ્કોણ છે જેનો શાળાના બાળકો તેમની ચોક્કસ જટિલતાને કારણે ભૂમિતિના પાઠોમાં પરિચય કરાવતા નથી.

• ડેલ્ટોઇડ (પતંગ)- એક આકૃતિ જેમાં અડીને બાજુઓની બે જોડીમાંથી દરેક એકબીજાની લંબાઈમાં સમાન હોય છે. આવા ચતુર્ભુજને તેનું નામ એ હકીકતને કારણે મળ્યું છે કે દેખાવમાં તે ગ્રીક મૂળાક્ષરો - "ડેલ્ટા" ના અક્ષર સાથે ખૂબ જ મજબૂત રીતે મળતું આવે છે.
• સમાંતર ચતુર્ભુજ- આ આંકડો તેના નામની જેમ જટિલ છે. તેમાં, બે વિરોધી બાજુઓ સમાન છે, પરંતુ તે જ સમયે તેઓ એકબીજાની સમાંતર નથી. વધુમાં, આ ચતુર્ભુજની લાંબી વિરુદ્ધ બાજુઓ એકબીજાને છેદે છે, જેમ કે અન્ય બે, ટૂંકી બાજુઓના વિસ્તરણ કરે છે.

સમાંતરગ્રામના પ્રકાર

ચતુષ્કોણના મુખ્ય પ્રકારો સાથે વ્યવહાર કર્યા પછી, તેની પેટાજાતિઓ પર ધ્યાન આપવું યોગ્ય છે. તેથી, બધા સમાંતરગ્રામો, બદલામાં, પણ ચાર જૂથોમાં વહેંચાયેલા છે.

• ક્લાસિકલ સમાંતરગ્રામ.
• રોમ્બસ (રોમ્બસ)- સમાન બાજુઓ સાથે ચતુષ્કોણીય આકૃતિ. તેના કર્ણ કાટખૂણો પર છેદે છે, સમચતુર્ભુજને ચાર સમાન જમણા ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરે છે.
• લંબચોરસ.નામ પોતે જ બોલે છે. કારણ કે તે કાટખૂણો સાથેનો ચતુર્ભુજ છે (તેમાંના દરેક નેવું ડિગ્રી બરાબર છે). તેની વિરુદ્ધ બાજુઓ માત્ર એકબીજાની સમાંતર નથી, પણ સમાન છે.
• ચોરસ (ચોરસ).લંબચોરસની જેમ, તે કાટખૂણો સાથેનો ચતુર્ભુજ છે, પરંતુ તેની બધી બાજુઓ એકબીજાની સમાન છે. આ આંકડો સમચતુર્ભુજની નજીક છે. તેથી એવી દલીલ કરી શકાય છે કે ચોરસ એ સમચતુર્ભુજ અને લંબચોરસ વચ્ચેનો ક્રોસ છે.

લંબચોરસ વિશેષ ગુણધર્મો

આકૃતિઓ ધ્યાનમાં લેતા કે જેમાં બાજુઓ વચ્ચેનો દરેક ખૂણો નેવું ડિગ્રી જેટલો છે, તે લંબચોરસ પર વધુ નજીકથી રહેવા યોગ્ય છે. તો, તેની કઈ વિશેષ વિશેષતાઓ છે જે તેને અન્ય સમાંતરગ્રામોથી અલગ પાડે છે?

વિચારણા હેઠળનો સમાંતર ચતુષ્કોણ એક લંબચોરસ છે તે નિશ્ચિત કરવા માટે, તેના કર્ણ એકબીજાના સમાન હોવા જોઈએ, અને દરેક ખૂણો સાચો હોવો જોઈએ. વધુમાં, તેના કર્ણનો ચોરસ આ આકૃતિની બે અડીને બાજુઓના ચોરસના સરવાળાને અનુરૂપ હોવો જોઈએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ક્લાસિક લંબચોરસમાં બે જમણા-કોણ ત્રિકોણનો સમાવેશ થાય છે, અને તેમાં, જેમ જાણીતું છે, વિચારણા હેઠળના ચતુષ્કોણનું કર્ણ કર્ણાકાર તરીકે કાર્ય કરે છે.

આ આંકડોની સૂચિબદ્ધ ચિહ્નોમાંની છેલ્લી પણ તેની વિશેષ મિલકત છે. આ ઉપરાંત, અન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, હકીકત એ છે કે અભ્યાસ કરેલ ચતુર્ભુજની બધી બાજુઓ કાટખૂણો સાથે એક જ સમયે તેની ઊંચાઈ ધરાવે છે.

વધુમાં, જો કોઈપણ લંબચોરસની આસપાસ વર્તુળ દોરવામાં આવે, તો તેનો વ્યાસ અંકિત આકૃતિના કર્ણ જેટલો હશે.

આ ચતુષ્કોણના અન્ય ગુણધર્મોમાં, તે સપાટ છે અને બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં અસ્તિત્વમાં નથી. આ એ હકીકતને કારણે છે કે આવી સિસ્ટમમાં કોઈ ચતુષ્કોણીય આકૃતિઓ નથી, જેના ખૂણાઓનો સરવાળો ત્રણસો અને સાઠ ડિગ્રી જેટલો છે.

ચોરસ અને તેના લક્ષણો

લંબચોરસના ચિહ્નો અને ગુણધર્મો સાથે વ્યવહાર કર્યા પછી, વિજ્ઞાન માટે જાણીતા બીજા ચતુષ્કોણ પર ધ્યાન આપવું યોગ્ય છે જે જમણા ખૂણા (આ એક ચોરસ છે).

હકીકતમાં સમાન લંબચોરસ હોવાને કારણે, પરંતુ સમાન બાજુઓ સાથે, આ આંકડો તેના તમામ ગુણધર્મો ધરાવે છે. પરંતુ તેનાથી વિપરીત, ચોરસ બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં હાજર છે.

વધુમાં, આ આંકડો તેના પોતાના અન્ય વિશિષ્ટ લક્ષણો ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, હકીકત એ છે કે ચોરસના કર્ણ માત્ર એકબીજા સાથે સમાન નથી, પણ કાટખૂણે પણ છેદે છે. આમ, સમચતુર્ભુજની જેમ, ચોરસમાં ચાર જમણા ખૂણાવાળા ત્રિકોણ હોય છે, જેમાં તે કર્ણ દ્વારા વિભાજિત થાય છે.

વધુમાં, આ આંકડો તમામ ચતુષ્કોણમાં સૌથી વધુ સપ્રમાણ છે.

ચતુર્ભુજના ખૂણાઓનો સરવાળો કેટલો છે

યુક્લિડિયન ભૂમિતિ ચતુષ્કોણની વિશેષતાઓને ધ્યાનમાં લેતા, તેમના ખૂણાઓ પર ધ્યાન આપવું યોગ્ય છે.

તેથી, ઉપરોક્ત દરેક આંકડામાં, તેને કાટખૂણો હોય કે ન હોય તે ધ્યાનમાં લીધા વિના, તેમનો કુલ સરવાળો હંમેશા સમાન હોય છે - ત્રણસો અને સાઠ ડિગ્રી. આ આકૃતિની આ એક વિશિષ્ટ વિશિષ્ટતા છે.

ચતુષ્કોણની પરિમિતિ

ચતુર્ભુજના ખૂણાઓનો સરવાળો અને આ પ્રકારની આકૃતિઓના અન્ય વિશેષ ગુણધર્મો શું છે તે શોધી કાઢ્યા પછી, તેમની પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે કયા સૂત્રોનો શ્રેષ્ઠ ઉપયોગ થાય છે તે જાણવું યોગ્ય છે.

કોઈપણ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ નક્કી કરવા માટે, તમારે ફક્ત તેની બધી બાજુઓની લંબાઈને એકસાથે ઉમેરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ તરીકે, KLMN આકૃતિમાં, તેની પરિમિતિ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે: P \u003d KL + LM + MN + KN. જો તમે અહીં સંખ્યાઓને બદલે છે, તો તમને મળશે: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

એવા કિસ્સામાં જ્યારે પ્રશ્નમાંની આકૃતિ સમચતુર્ભુજ અથવા ચોરસ હોય, પરિમિતિ શોધવા માટે, તમે ફક્ત તેની એક બાજુની લંબાઈને ચાર વડે ગુણાકાર કરીને સૂત્રને સરળ બનાવી શકો છો: P \u003d KL x 4. ઉદાહરણ તરીકે: 6 x 4 \u003d 24 (સેમી).

વિસ્તાર ચતુર્ભુજ સૂત્રો

ચાર ખૂણા અને બાજુઓ સાથે કોઈપણ આકૃતિની પરિમિતિ કેવી રીતે શોધવી તે શોધી કાઢ્યા પછી, તેનો વિસ્તાર શોધવાની સૌથી લોકપ્રિય અને સરળ રીતો ધ્યાનમાં લેવી યોગ્ય છે.

ચતુષ્કોણના અન્ય ગુણધર્મો: અંકિત અને પરિમાણિત વર્તુળો

યુક્લિડિયન ભૂમિતિની આકૃતિ તરીકે ચતુર્ભુજની વિશેષતાઓ અને ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લીધા પછી, તેની આસપાસના વર્તુળોનું વર્ણન કરવાની અથવા તેને લખવાની ક્ષમતા પર ધ્યાન આપવું યોગ્ય છે:

• જો આકૃતિના વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો દરેક એકસો અને એંસી અંશ હોય અને એકબીજાની જોડીમાં સમાન હોય, તો આવા ચતુર્ભુજની આસપાસ વર્તુળ મુક્તપણે વર્ણવી શકાય છે.
• ટોલેમીના પ્રમેય મુજબ, જો વર્તુળને બહુકોણની બહાર ચાર બાજુઓ સાથે પરિક્રમા કરવામાં આવે છે, તો તેના કર્ણનું ઉત્પાદન આપેલ આકૃતિની વિરુદ્ધ બાજુઓના ઉત્પાદનના સરવાળા જેટલું છે. આમ, સૂત્ર આના જેવું દેખાશે: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• જો તમે એક ચતુર્ભુજ બનાવશો જેમાં વિરુદ્ધ બાજુઓના સરવાળો એકબીજા સાથે સમાન હોય, તો તેમાં એક વર્તુળ લખી શકાય છે.

ચતુર્ભુજ શું છે, તે કયા પ્રકારનું અસ્તિત્વ ધરાવે છે, તેમાંથી કોની બાજુઓ વચ્ચે માત્ર કાટખૂણો છે અને તેમની પાસે કયા ગુણધર્મો છે તે શોધી કાઢ્યા પછી, આ બધી સામગ્રીને યાદ રાખવા યોગ્ય છે. ખાસ કરીને, માનવામાં આવતા બહુકોણની પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળ શોધવા માટેના સૂત્રો. છેવટે, આ ફોર્મના આંકડા સૌથી સામાન્ય છે, અને આ જ્ઞાન વાસ્તવિક જીવનમાં ગણતરીઓ માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે.

ચાર ખૂણા અને ચાર બાજુઓ સાથે. એક ચતુષ્કોણ બંધ પોલિલાઇન દ્વારા રચાય છે, જેમાં ચાર લિંક્સ હોય છે, અને પ્લેનનો તે ભાગ જે પોલિલાઇનની અંદર હોય છે.

ચતુર્ભુજનું હોદ્દો તેના શિરોબિંદુ પરના અક્ષરોથી બનેલું છે, તેમને ક્રમમાં નામ આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ કહે છે અથવા લખે છે: ચતુષ્કોણ એ બી સી ડી :

ચતુર્ભુજમાં એ બી સી ડીપોઈન્ટ એ, બી, સીઅને ડી- આ ચતુર્ભુજ શિરોબિંદુઓ, સેગમેન્ટ્સ એબી, પૂર્વે, સીડીઅને ડીએ - બાજુઓ.

સમાન બાજુના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે પડોશી, અડીને ન હોય તેવા શિરોબિંદુઓ કહેવાય છે વિરુદ્ધ:

ચતુર્ભુજમાં એ બી સી ડીશિખરો એઅને બી, બીઅને સી, સીઅને ડી, ડીઅને એઅડીને છે, અને શિરોબિંદુઓ એઅને સી, બીઅને ડી- વિરુદ્ધ. નજીકના શિરોબિંદુઓ પર પડેલા ખૂણાઓને પડોશી પણ કહેવામાં આવે છે, અને વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓ પર - વિરુદ્ધ.

ચતુષ્કોણની બાજુઓને જોડીમાં અડીને અને વિરુદ્ધ બાજુઓમાં પણ વિભાજિત કરી શકાય છે: જે બાજુઓ સામાન્ય શિરોબિંદુ ધરાવે છે તેને કહેવામાં આવે છે પડોશી(અથવા સંબંધિત), બાજુઓ કે જેમાં સામાન્ય શિરોબિંદુઓ નથી - વિરુદ્ધ:

પક્ષો એબીઅને પૂર્વે, પૂર્વેઅને સીડી, સીડીઅને ડીએ, ડીએઅને એબીઅડીને છે, અને બાજુઓ છે એબીઅને ડીસી, ઈ.સઅને પૂર્વે- વિરુદ્ધ.

જો વિરોધી શિરોબિંદુઓ સેગમેન્ટ દ્વારા જોડાયેલા હોય, તો આવા સેગમેન્ટને કહેવામાં આવશે ચતુષ્કોણનો કર્ણ. ચતુર્ભુજમાં વિરોધી શિરોબિંદુઓની માત્ર બે જોડી છે તે ધ્યાનમાં લેતા, ત્યાં ફક્ત બે કર્ણ હોઈ શકે છે:

સેગમેન્ટ્સ એસીઅને બી.ડી- કર્ણ.

બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના મુખ્ય પ્રકારોને ધ્યાનમાં લો:

• ટ્રેપેઝ- એક ચતુર્ભુજ જેમાં વિરુદ્ધ બાજુઓની એક જોડી એકબીજાની સમાંતર હોય છે, અને બીજી જોડી સમાંતર નથી હોતી.
  • આઇસોસેલ્સ ટ્રેપેઝિયમ- એક ટ્રેપેઝોઇડ જેની બાજુઓ સમાન હોય છે.
  • લંબચોરસ ટ્રેપેઝોઇડજમણા ખૂણાઓમાંથી એક સાથેનો ટ્રેપેઝોઇડ.
• સમાંતરગ્રામએક ચતુષ્કોણ જેમાં વિરુદ્ધ બાજુઓની બંને જોડી એકબીજાની સમાંતર હોય છે.
  • લંબચોરસએક સમાંતરગ્રામ જેમાં બધા ખૂણા સમાન હોય છે.
  • રોમ્બસબધી બાજુઓ સમાન ધરાવતો સમાંતરગ્રામ.
  • ચોરસસમાન બાજુઓ અને ખૂણાઓ સાથેનો સમાંતરગ્રામ. લંબચોરસ અને સમચતુર્ભુજ બંને એક ચોરસ હોઈ શકે છે.

બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના ખૂણાના ગુણધર્મો

તમામ બહિર્મુખ ચતુષ્કોણમાં નીચેના બે ગુણધર્મો છે:

1. 180° કરતા ઓછો કોઈપણ આંતરિક ખૂણો.
2. આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો 360° છે.

ભૂમિતિના પાઠોમાં શાળાના અભ્યાસક્રમમાં, વ્યક્તિએ વિવિધ પ્રકારના ચતુષ્કોણ સાથે કામ કરવું પડે છે: રોમ્બસ, સમાંતર, લંબચોરસ, ટ્રેપેઝોઇડ્સ, ચોરસ. અભ્યાસ કરવા માટેના સૌથી પહેલા આકારો એક લંબચોરસ અને ચોરસ છે.

તો લંબચોરસ શું છે? વ્યાપક શાળાના 2જા ધોરણ માટેની વ્યાખ્યા આના જેવી દેખાશે: આ એક ચતુષ્કોણ છે, જેમાં ચારેય ખૂણા સાચા છે. લંબચોરસ કેવો દેખાય છે તેની કલ્પના કરવી સરળ છે: તે 4 કાટખૂણો અને જોડીમાં એકબીજાની સમાંતર બાજુઓ સાથેની આકૃતિ છે.

ના સંપર્કમાં છે

કેવી રીતે સમજવું, આગામી ભૌમિતિક સમસ્યાનું નિરાકરણ, આપણે કયા પ્રકારના ચતુષ્કોણ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ? ત્યાં ત્રણ મુખ્ય લક્ષણો છે, જેના દ્વારા તમે ચોક્કસ રીતે નક્કી કરી શકો છો કે અમે એક લંબચોરસ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. ચાલો તેમને કૉલ કરીએ:

• આકૃતિ એક ચતુર્ભુજ છે જેમાં ત્રણ ખૂણાઓ 90° છે;
• પ્રસ્તુત ચતુર્ભુજ સમાન કર્ણ સાથેનો સમાંતરગ્રામ છે;
• એક સમાંતરગ્રામ કે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક કાટકોણ હોય.

તે જાણવું રસપ્રદ છે: બહિર્મુખ શું છે, તેના લક્ષણો અને ચિહ્નો.

લંબચોરસ સમાંતર ચતુષ્કોણ (એટલે ​​​​કે, જોડીની રીતે સમાંતર વિરુદ્ધ બાજુઓ સાથેનો ચતુર્ભુજ) હોવાથી, તેના માટે તેના તમામ ગુણધર્મો અને લક્ષણો પૂર્ણ થશે.

બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી માટેના સૂત્રો

એક લંબચોરસ માંવિરોધી બાજુઓ સમાન અને પરસ્પર સમાંતર છે. લાંબી બાજુને સામાન્ય રીતે લંબાઈ કહેવામાં આવે છે (a દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે), ટૂંકી બાજુને પહોળાઈ કહેવામાં આવે છે (b દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે). ઈમેજના લંબચોરસમાં, લંબાઈ એબી અને સીડીની બાજુઓ છે, અને પહોળાઈ એસી અને બીડી છે. તે પાયાને પણ લંબરૂપ છે (એટલે ​​​​કે, તેઓ ઊંચાઈ છે).

બાજુઓ શોધવા માટે, તમે નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકો છો. તેમાં સંમેલનો અપનાવવામાં આવ્યા છે: a - લંબચોરસની લંબાઈ, b - તેની પહોળાઈ, d - કર્ણ (એકબીજાની સામે આવેલા બે ખૂણાઓના શિરોબિંદુઓને જોડતો ભાગ), S - આકૃતિનો વિસ્તાર, P - પરિમિતિ, α - કર્ણ અને લંબાઈ વચ્ચેનો કોણ, β એ બંને કર્ણ દ્વારા રચાયેલો તીવ્ર કોણ છે. બાજુઓની લંબાઈ શોધવાની રીતો:

• કર્ણ અને જાણીતી બાજુનો ઉપયોગ કરીને: a \u003d √ (d ² - b ²), b \u003d √ (d ² - a ²).
• આકૃતિના ક્ષેત્રફળ અને તેની એક બાજુ દ્વારા: a = S/b, b = S/a.
• પરિમિતિ અને જાણીતી બાજુનો ઉપયોગ કરીને: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• કર્ણ અને તેની વચ્ચેના કોણ અને લંબાઈ દ્વારા: a = d sinα, b = d cosα.
• વિકર્ણ અને કોણ β દ્વારા: a = d sin 0.5 β, b = d cos 0.5 β.

પરિમિતિ અને વિસ્તાર

ચતુષ્કોણની પરિમિતિ કહેવાય છેતેની બધી બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો. પરિમિતિની ગણતરી કરવા માટે, નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકાય છે:

• બંને બાજુઓ દ્વારા: P = 2 (a + b).
• વિસ્તાર અને બાજુઓમાંથી એક દ્વારા: P \u003d (2S + 2a ²) / a, P \u003d (2S + 2b ²) / b.

વિસ્તાર એ પરિમિતિ દ્વારા બંધાયેલ જગ્યા છે. વિસ્તારની ગણતરી કરવાની ત્રણ મુખ્ય રીતો:

• બંને બાજુઓની લંબાઈ દ્વારા: S = a*b.
• પરિમિતિ અને કોઈપણ એક જાણીતી બાજુનો ઉપયોગ કરીને: S \u003d (Pa - 2 a ²) / 2; S = (Pb - 2b²) / 2.
• ત્રાંસા અને કોણ β: S = 0.5 d² sinβ.

શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમના કાર્યોમાં, ઘણી વખત તેની સારી કમાન્ડ હોવી જરૂરી છે લંબચોરસના કર્ણના ગુણધર્મો. અમે મુખ્યને સૂચિબદ્ધ કરીએ છીએ:

1. કર્ણ એકબીજાના સમાન હોય છે અને તેમના આંતરછેદના બિંદુએ બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત થાય છે.
2. કર્ણને બંને બાજુઓના વર્ગના સરવાળાના મૂળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (પાયથાગોરિયન પ્રમેયમાંથી અનુસરે છે).
3. કર્ણ લંબચોરસને બે ત્રિકોણમાં કાટખૂણ સાથે વિભાજિત કરે છે.
4. આંતરછેદનો બિંદુ ઘેરાયેલા વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ છે, અને કર્ણ પોતે તેના વ્યાસ સાથે એકરુપ છે.

કર્ણની લંબાઈની ગણતરી કરવા માટે નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:

• આકૃતિની લંબાઈ અને પહોળાઈનો ઉપયોગ કરીને: d = √ (a ² + b ²).
• ચતુર્ભુજની ફરતે ઘેરાયેલ વર્તુળની ત્રિજ્યાનો ઉપયોગ કરીને: d = 2 R.

ચોરસની વ્યાખ્યા અને ગુણધર્મો

ચોરસ એ રોમ્બસ, સમાંતર ચતુષ્કોણ અથવા લંબચોરસનો વિશિષ્ટ કેસ છે. આ આંકડાઓથી તેનો તફાવત એ છે કે તેના તમામ ખૂણા સાચા છે અને ચારેય બાજુઓ સમાન છે. ચોરસ એ નિયમિત ચતુષ્કોણ છે.

નીચેના કેસોમાં ચતુર્ભુજને ચોરસ કહેવામાં આવે છે:

1. જો તે એક લંબચોરસ છે જેની લંબાઈ a અને પહોળાઈ b સમાન છે.
2. જો તે સમાન લંબાઈના કર્ણ અને ચાર કાટકોણ ધરાવતો સમચતુર્ભુજ હોય.

ચોરસના ગુણધર્મોમાં લંબચોરસ સંબંધિત અગાઉ ચર્ચા કરાયેલા તમામ ગુણધર્મો તેમજ નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:

1. વિકર્ણો એકબીજાને લંબરૂપ હોય છે (રોમ્બસની મિલકત).
2. આંતરછેદનો બિંદુ અંકિત વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ છે.
3. બંને કર્ણ ચતુર્ભુજને ચાર સમાન કાટકોણ અને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.

અહીં કેટલાક વારંવાર ઉપયોગમાં લેવાતા સૂત્રો છે ચોરસની પરિમિતિ, વિસ્તાર અને તત્વોની ગણતરી:

• વિકર્ણ d = a √2.
• પરિમિતિ P = 4 a.
• વિસ્તાર S = a².
• ઘેરાયેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા અડધી કર્ણ છે: R = 0.5 a √2.
• અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યાને બાજુની અડધી લંબાઈ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: r = a / 2.

નમૂના પ્રશ્નો અને કાર્યો

ચાલો શાળામાં ગણિતનો અભ્યાસ કરતી વખતે તમને જે પ્રશ્નોનો સામનો કરવો પડી શકે તેવા કેટલાક પ્રશ્નોનું વિશ્લેષણ કરીએ અને કેટલીક સરળ સમસ્યાઓ હલ કરીએ.

કાર્ય 1. જો તેની બાજુઓની લંબાઈ ત્રણ ગણી કરવામાં આવે તો લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે બદલાશે?

નિર્ણય : ચાલો મૂળ આકૃતિના ક્ષેત્રફળને S0 તરીકે દર્શાવીએ, અને બાજુઓની લંબાઈના ત્રણ ગણા સાથે ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ - S1. અગાઉ ધ્યાનમાં લેવાયેલા સૂત્ર મુજબ, આપણે મેળવીએ છીએ: S0 = ab. હવે ચાલો લંબાઈ અને પહોળાઈને 3 ગણો વધારીએ અને લખીએ: S1= 3 a 3 b = 9 ab. S0 અને S1 ની સરખામણી કરતા, તે સ્પષ્ટ બને છે કે બીજો વિસ્તાર પ્રથમ કરતા 9 ગણો મોટો છે.

પ્રશ્ન 1. શું કાટકોણ ધરાવતો ચતુષ્કોણ ચોરસ છે?

નિર્ણય : તે વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે કે કાટખૂણોવાળી આકૃતિ એ ચોરસ છે જો તેની બધી બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોય. નહિંતર, આકૃતિ એક લંબચોરસ છે.

કાર્ય 2. લંબચોરસના કર્ણ 60 ડિગ્રીનો ખૂણો બનાવે છે. લંબચોરસની પહોળાઈ 8 છે. કર્ણ શું છે તેની ગણતરી કરો.

નિર્ણય:યાદ કરો કે કર્ણ આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા દ્વિભાજિત છે. આમ, આપણે 60°ના શિરોબિંદુ પરના ખૂણા સાથે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી, આધાર પરના ખૂણાઓ પણ સમાન હશે. સરળ ગણતરીઓ દ્વારા, આપણે મેળવીએ છીએ કે તેમાંથી દરેક 60 ° ની બરાબર છે. તે અનુસરે છે કે ત્રિકોણ સમભુજ છે. આપણે જે પહોળાઈ જાણીએ છીએ તે ત્રિકોણનો આધાર છે, તેથી કર્ણનો અડધો ભાગ પણ 8 છે અને સમગ્ર કર્ણની લંબાઈ તેનાથી બમણી અને 16 જેટલી છે.

પ્રશ્ન 2. શું લંબચોરસની બધી બાજુઓ સમાન હોય છે કે નહીં?

નિર્ણય : તે યાદ કરવા માટે પૂરતું છે કે ચોરસ માટે બધી બાજુઓ સમાન હોવી જોઈએ, જે લંબચોરસનો વિશેષ કેસ છે. અન્ય તમામ કેસોમાં, પર્યાપ્ત સ્થિતિ એ ઓછામાં ઓછા 3 કાટકોણની હાજરી છે. પક્ષોની સમાનતા એ ફરજિયાત લક્ષણ નથી.

કાર્ય 3. ચોરસનું ક્ષેત્રફળ જાણીતું છે અને 289 જેટલું છે. અંકિત અને પરિમાણિત વર્તુળોની ત્રિજ્યા શોધો.

નિર્ણય : ચોરસ માટેના સૂત્રો અનુસાર, અમે નીચેની ગણતરીઓ હાથ ધરીશું:

• ચાલો નક્કી કરીએ કે ચોરસના મુખ્ય ઘટકો શું સમાન છે: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• ચાલો ગણતરી કરીએ કે ચતુષ્કોણની આસપાસ વર્ણવેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા બરાબર છે: R = 0.5 d = 8.5√2.
• ચાલો અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધીએ: r = a / 2 = 17 / 2 = 8.5.

વ્યાખ્યા.સમાંતર ચતુષ્કોણ એ એક ચતુષ્કોણ છે જેની વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડી પ્રમાણે સમાંતર હોય છે.

મિલકત.સમાંતરગ્રામમાં, વિરોધી બાજુઓ સમાન હોય છે અને વિરોધી ખૂણા સમાન હોય છે.

મિલકત.સમાંતરગ્રામના કર્ણને આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા દ્વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

સમાંતરગ્રામનું 1 ચિહ્ન.જો ચતુષ્કોણની બે બાજુઓ સમાન અને સમાંતર હોય, તો ચતુષ્કોણ એ સમાંતરગ્રામ છે.

સમાંતરગ્રામનું 2 ચિહ્ન.જો ચતુષ્કોણની વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડીમાં સમાન હોય, તો ચતુર્ભુજ એક સમાંતરગ્રામ છે.

સમાંતરગ્રામનું 3 ચિહ્ન.જો ચતુર્ભુજમાં કર્ણ એકબીજાને છેદે છે અને આંતરછેદ બિંદુ દ્વિભાજિત છે, તો આ ચતુર્ભુજ એક સમાંતરગ્રામ છે.

વ્યાખ્યા.ટ્રેપેઝોઇડ એ એક ચતુર્ભુજ છે જેમાં બે બાજુઓ સમાંતર હોય છે અને બીજી બે બાજુઓ સમાંતર હોતી નથી. સમાંતર બાજુઓ કહેવામાં આવે છે મેદાન.

ટ્રેપેઝોઇડ કહેવામાં આવે છે સમદ્વિબાજુ (સમદ્વિબાજુ)જો તેની બાજુઓ સમાન હોય. સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડમાં, પાયા પરના ખૂણા સમાન હોય છે.

એક જમણો ખૂણો ધરાવતો ટ્રેપેઝોઇડ કહેવાય છે લંબચોરસ.

બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતા સેગમેન્ટને કહેવામાં આવે છે ટ્રેપેઝિયમની મધ્યરેખા. મધ્ય રેખા પાયાની સમાંતર છે અને તેમના અર્ધ સરવાળા જેટલી છે.

વ્યાખ્યા.લંબચોરસ એ બધા કાટકોણો સાથેનો સમાંતરગ્રામ છે.

મિલકત.લંબચોરસના કર્ણ સમાન છે.

લંબચોરસ ચિહ્ન.જો સમાંતરગ્રામમાં કર્ણ સમાન હોય, તો આ સમાંતર ચતુષ્કોણ એક લંબચોરસ છે.

વ્યાખ્યા.સમચતુર્ભુજ એક સમાંતરગ્રામ છે જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે.

મિલકત.સમચતુર્ભુજના કર્ણ પરસ્પર લંબ હોય છે અને તેના ખૂણાઓને દ્વિભાજિત કરે છે.

વ્યાખ્યા.ચોરસ એક લંબચોરસ છે જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે.

ચોરસ એ એક ચોક્કસ પ્રકારનો લંબચોરસ છે, અને ચોક્કસ પ્રકારનો સમચતુર્ભુજ પણ છે. તેથી, તેમાં તેમની બધી મિલકતો છે.

ગુણધર્મો:
1. ચોરસના બધા ખૂણાઓ બરાબર છે

2. ચોરસના કર્ણ સમાન છે, પરસ્પર લંબ છે, આંતરછેદ બિંદુ અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલું છે અને ચોરસના ખૂણા અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલા છે.

પાઠ વિષય

• ચતુર્ભુજની વ્યાખ્યા.

પાઠ ઉદ્દેશ્યો

• શૈક્ષણિક - પુનરાવર્તન, સામાન્યીકરણ અને વિષય પર જ્ઞાનનું પરીક્ષણ: "ચતુષ્કોણ"; મૂળભૂત કુશળતાનો વિકાસ.
• વિકાસશીલ - વિદ્યાર્થીઓનું ધ્યાન, દ્રઢતા, દ્રઢતા, તાર્કિક વિચારસરણી, ગાણિતિક ભાષણ વિકસાવવા.
• શૈક્ષણિક - પાઠ દ્વારા એકબીજા પ્રત્યે સચેત વલણ કેળવવું, સાથીઓને સાંભળવાની ક્ષમતા, પરસ્પર સહાયતા, સ્વતંત્રતા કેળવવી.

પાઠ હેતુઓ

• સ્કેલ બાર અને ડ્રોઇંગ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને ચતુષ્કોણ બનાવવાની કુશળતા રચવા માટે.
• વિદ્યાર્થીઓની સમસ્યાઓ હલ કરવાની ક્ષમતા તપાસો.

પાઠ ની યોજના

1. ઇતિહાસ સંદર્ભ. નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ.
2. ચતુર્ભુજ.
3. ચતુષ્કોણના પ્રકાર.

નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ

નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ, ભૂમિતિ સમાન ભૂમિતિ યુક્લિડતેમાં તે આકૃતિઓની હિલચાલને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, પરંતુ યુક્લિડિયન ભૂમિતિથી અલગ છે કે તેના પાંચ પોસ્ટ્યુલેટ્સમાંથી એક (બીજું અથવા પાંચમું) તેના નકાર દ્વારા બદલવામાં આવે છે. યુક્લિડિયન પોસ્ટ્યુલેટ્સમાંના એકનો ઇનકાર (1825) એ વિચારના ઇતિહાસમાં એક મહત્વપૂર્ણ ઘટના હતી, કારણ કે તે આ તરફના પ્રથમ પગલા તરીકે સેવા આપી હતી. સાપેક્ષતાનો સિદ્ધાંત.

યુક્લિડનું બીજું અનુમાન જણાવે છે કે કોઈપણ લાઇન સેગમેન્ટને અનિશ્ચિત સમય માટે વિસ્તૃત કરી શકાય છે. યુક્લિડ દેખીતી રીતે માનતા હતા કે આ ધારણામાં એ નિવેદન પણ છે કે સીધી રેખા અનંત લંબાઈ ધરાવે છે. જોકે "લંબગોળ" ભૂમિતિમાં કોઈપણ સીધી રેખા મર્યાદિત હોય છે અને વર્તુળની જેમ બંધ હોય છે.

પાંચમી ધારણા જણાવે છે કે જો કોઈ રેખા બે આપેલ રેખાઓને એવી રીતે છેદે છે કે તેની એક બાજુના બે આંતરિક ખૂણાઓ સરવાળામાં બે કાટખૂણો કરતા ઓછા હોય, તો આ બે રેખાઓ, જો અનિશ્ચિત સમય સુધી વિસ્તૃત હોય, તો તે બાજુ પર છેદે છે જ્યાં આ ખૂણાઓનો સરવાળો બે સીધી રેખાઓના સરવાળા કરતા ઓછો છે. પરંતુ "હાયપરબોલિક" ભૂમિતિમાં, આપેલ રેખા r ને બિંદુ C પર લંબરૂપ અને બિંદુ B પર એક તીવ્ર કોણ પર બીજી રેખા s ને છેદેતી રેખા CB (ફિગ જુઓ.) અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે, પરંતુ, તેમ છતાં, અનંત રેખાઓ r અને s ક્યારેય છેદશે નહીં.

આ સંશોધિત ધારણાઓમાંથી તે અનુસરવામાં આવ્યું છે કે ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો, યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં 180° જેટલો છે, જે લંબગોળ ભૂમિતિમાં 180° કરતા વધારે છે અને અતિપરવલય ભૂમિતિમાં 180° કરતા ઓછો છે.

ચતુર્ભુજ