બાજુ સાથે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવો. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ વિશે સમસ્યાઓ

VIII . બાંધકામ કાર્યોના જૂથો.

સહાયક ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓના જૂથોનું નિરાકરણ.

પદ્ધતિનો સાર એ છે કે સહાયક ત્રિકોણનું નિર્માણ અને તેમની મિલકતોનો ઉપયોગ અને છેવટે સમસ્યાને ઉકેલવા માટે નવા મેળવેલા તત્વો.

બાંધકામ વિશ્લેષણ નીચેના પગલાંઓ સમાવે છે:

તમારા વિશ્લેષણમાં સહાયક ત્રિકોણ માટે જુઓ.

જો નવા તત્વો દેખાય છે જેની મદદથી ત્રિકોણ ABC બનાવી શકાય છે, તો લક્ષ્ય પ્રાપ્ત થયું છે.

જો આવું ન થાય, તો કદાચ અન્ય સહાયક ત્રિકોણ બનાવી શકાય છે જે ગુમ થયેલ તત્વો પ્રદાન કરશે.

ચાલો ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને પદ્ધતિનો સાર જોઈએ.

કાર્ય 1. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ABC ( b= c) દ્વારા a, h b .

અમે સહાયક ત્રિકોણ શોધી રહ્યા છીએ. સ્વાભાવિક રીતે, ત્રિકોણ સીડીબીને આવા ત્રિકોણ તરીકે ધ્યાનમાં લેવું અનુકૂળ છે.

આ કોણ C આપશે, તેથી કોણ ABC. તેથી, ત્યાં a, કોણ B, કોણ C છે, જેનો અર્થ છે કે આપણે ત્રિકોણ ABC બનાવી શકીએ છીએ. અમે તેને આ રીતે યોજનાકીય રીતે લખીશું:

(a, h b) → Δ CDB →< C.

(a,< B, < C) → Δ ABC.

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેના કાર્યો:

ઉપરોક્ત સમાન તર્કનો ઉપયોગ કરીને, અમે નીચેના ડેટાનો ઉપયોગ કરીને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ (b=c) બનાવવાની ભલામણ કરીએ છીએ:

અ)< А, h b ;

b)< В, h с;

જી)< В, h b ;

e)< С, h b .

કાર્ય 2. અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા r, કોણ A અને કોણ B નો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણ બનાવો.

ત્રિકોણ ABC માં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર બનવા દો.

(r; ½< А) → Δ AID → |AD|;

(r; ½< В) → Δ ВID → |ВD|;

(|AD| + |ВD| = |AB|) → (c,< А, < В) → Δ ABC.

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેના કાર્યો:

નીચેના ઘટકોનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણ બનાવો:

a) a, h c, h b; b) a, h a, h b; c) a, m a, m b;

જી)< A, l A , b; д) R, h а, m a ; е) a, R, h b ;

g) b, h b, m b (જ્યાં m મધ્યક છે, l દ્વિભાજકો છે, h ઊંચાઈ છે).

પોતાના પર:

વિકર્ણ BD અને ઊંચાઈ BM નો ઉપયોગ કરીને સમચતુર્ભુજ ABCD બનાવો. (ΔBHD →< BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);

ચાર બાજુઓ પર ટ્રેપેઝોઇડ બનાવો.

મુખ્ય મુદ્દા પર આધારિત સમસ્યાઓના જૂથોનું નિરાકરણ.
1. મુખ્ય કાર્ય:

બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણ બનાવો.

બે બાજુઓ સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવો.

બે કર્ણ સાથે સમચતુર્ભુજ બનાવો.

બે અસમાન બાજુઓ સાથે લંબચોરસ બનાવો.

બે કર્ણ અને તેમની વચ્ચેના ખૂણોનો ઉપયોગ કરીને સમાંતર ચતુષ્કોણ બનાવો.

કર્ણ અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાનો ઉપયોગ કરીને એક લંબચોરસ બનાવો.

મુખ્ય કાર્ય:

એક બાજુ અને બે અડીને આવેલા ખૂણાઓનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણ બનાવો.

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેના કાર્યો:

તેના આધાર અને સંલગ્ન કોણનો ઉપયોગ કરીને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવો.

પગ અને નજીકના તીવ્ર કોણનો ઉપયોગ કરીને કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવો.

આ ખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતા ખૂણા અને કર્ણનો ઉપયોગ કરીને સમચતુર્ભુજ બનાવો.

ઊંચાઈ અને શિરોબિંદુ કોણના આધારે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવો.

આપેલ કર્ણ સાથે ચોરસ બનાવો.

મુખ્ય કાર્ય:

કર્ણ અને તીવ્ર કોણનો ઉપયોગ કરીને કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવો.

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેના કાર્યો:

આધાર પર બાજુ અને ખૂણા સાથે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવો.

તેની બાજુ અને શિરોબિંદુ કોણનો ઉપયોગ કરીને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવો.

મુખ્ય કાર્ય:

ત્રણ બાજુઓનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણ બનાવો.

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેના કાર્યો:

તેના આધાર અને બાજુઓનો ઉપયોગ કરીને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવો.

બાજુઓ અને કર્ણ સાથે સમચતુર્ભુજ બનાવો.

બે અસમાન બાજુઓ અને ત્રાંસાનો ઉપયોગ કરીને સમાંતરગ્રામ બનાવો.

એક બાજુ અને બે કર્ણનો ઉપયોગ કરીને સમાંતરગ્રામ બનાવો.

મુખ્ય કાર્ય:

પગ અને કર્ણનો ઉપયોગ કરીને કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવો.

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેના કાર્યો:

ઊંચાઈ અને બાજુ સાથે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવો.

આધારનો ઉપયોગ કરીને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવો અને પાયાના છેડાથી બાજુ સુધી લંબ બનાવો.

તેના આધાર, ઊંચાઈ અને ત્રાંસાનો ઉપયોગ કરીને સમાંતરગ્રામ બનાવો.

તેની ઊંચાઈ અને ત્રાંસા સાથે સમચતુર્ભુજ બનાવો.

બાજુ અને તેનાથી નીચી ઉંચાઈનો ઉપયોગ કરીને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવો.

આધાર, ઊંચાઈ અને બાજુના આધારે ત્રિકોણ બનાવો.

સાહિત્ય:

B. I. Argunov, M. B. બાલ્ક “પ્લેન પર ભૌમિતિક બાંધકામો”, M, “Prosveshchenie” 1955.

ગ્લેઝર G.I. "શાળામાં ગણિતનો ઇતિહાસ" IV - VI ગ્રેડ, M, "બોધ", 1981

I. ગોલ્ડનબ્લાન્ટ "ભૌમિતિક બાંધકામ સમસ્યાઓ હલ કરવાનો અનુભવ" "શાળામાં ગણિત" નંબર 3, 1946

I. A. કુશ્નીર “બાંધકામની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે એક માર્ગ પર” “શાળામાં ગણિત” નંબર 2, 1984

A. I. Mostovoy "બાંધકામની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે વિવિધ પદ્ધતિઓ લાગુ કરો" "શાળામાં ગણિત" નંબર 5, 1983

એ. એ. પોપોવા "ગણિત" પાઠ્યપુસ્તક. "ચેલ્યાબિન્સ્ક રાજ્ય શિક્ષણશાસ્ત્ર યુનિવર્સિટી”, 2005

ઇ.એમ. સેલેઝનેવા, એમ.એન. સેરેબ્ર્યાકોવા “ગ્રેડ I – V માં ભૌમિતિક બાંધકામો ઉચ્ચ શાળા"પદ્ધતિગત વિકાસ. સ્વેર્ડલોવસ્ક, 1974

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ કેવી રીતે બનાવવું? શાસક, પેન્સિલ અને નોટબુક કોષો સાથે આ કરવાનું સરળ છે.

અમે આધારથી સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનું નિર્માણ શરૂ કરીએ છીએ. પેટર્નને સમાન બનાવવા માટે, આધાર પરના કોષોની સંખ્યા એક સમાન સંખ્યા હોવી આવશ્યક છે.

સેગમેન્ટને વિભાજીત કરો - ત્રિકોણનો આધાર - અડધા ભાગમાં.

ત્રિકોણનું શિરોબિંદુ આધારથી કોઈપણ ઊંચાઈએ પસંદ કરી શકાય છે, પરંતુ હંમેશા બરાબર મધ્યથી ઉપર.

એક્યુટ આઇસોસેલ્સ ત્રિકોણ કેવી રીતે બનાવવું?

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના પાયા પરના ખૂણાઓ માત્ર તીવ્ર હોઈ શકે છે. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ તીવ્ર હોય તે માટે, શિરોબિંદુ પરનો કોણ પણ તીવ્ર હોવો જોઈએ.

આ કરવા માટે, આધારથી દૂર ત્રિકોણના શિરોબિંદુને ઉચ્ચ પસંદ કરો.

એપેક્સ જેટલો ઊંચો, એપેક્સ એંગલ નાનો. આધાર પરના ખૂણાઓ તે મુજબ વધે છે.

સ્થૂળ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ કેવી રીતે બનાવવું?

જેમ જેમ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનું શિરોબિંદુ આધારની નજીક આવે છે તેમ, શિરોબિંદુ પરના ખૂણાનું ડિગ્રી માપ વધે છે.

આનો અર્થ એ છે કે સમદ્વિબાજુ સ્થૂળ ત્રિકોણ બનાવવા માટે, આપણે નીચું શિરોબિંદુ પસંદ કરીએ છીએ.

સમદ્વિબાજુ કાટકોણ કેવી રીતે બનાવવો?

સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ બાંધવા માટે, તમારે અડધા પાયાના સમાન અંતરે એક શિરોબિંદુ પસંદ કરવાની જરૂર છે (આ સમદ્વિબાજુ કાટકોણના ગુણધર્મોને કારણે છે).

ઉદાહરણ તરીકે, જો આધારની લંબાઈ 6 કોષો હોય, તો આપણે ત્રિકોણના શિરોબિંદુને પાયાની મધ્યથી 3 કોષોની ઊંચાઈએ મુકીએ છીએ. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: આ કિસ્સામાં, આધાર પરના ખૂણા પરના દરેક કોષને ત્રાંસા રીતે વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણનું નિર્માણ શિરોબિંદુથી શરૂ કરી શકાય છે.

અમે શિરોબિંદુ પસંદ કરીએ છીએ, અને તેમાંથી જમણા ખૂણા પર આપણે સમાન ભાગોને ઉપર અને જમણી બાજુએ મૂકીએ છીએ. આ ત્રિકોણની બાજુઓ છે.

ચાલો તેમને જોડીએ અને સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ મેળવીએ.

અમે બીજા વિષયમાં વિભાજન વિના હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના નિર્માણ વિશે વિચારણા કરીશું.

સમદ્વિબાજુઆના જેવું છે ત્રિકોણ, જેમાં તેની બે બાજુઓની લંબાઈ એકબીજાની સમાન હોય છે.

વિષય પર સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે "સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ"તે નીચેના જાણીતા ઉપયોગ કરવા માટે જરૂરી છે ગુણધર્મો:

1. સમાન બાજુઓ વિરુદ્ધ ખૂણાઓ એકબીજાના સમાન છે.
2. દ્વિભાજકો, મધ્યક અને ઊંચાઈઓ પરથી દોરવામાં આવે છે સમાન ખૂણા, એકબીજાની સમાન છે.
3. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના પાયા તરફ દોરવામાં આવેલ દ્વિભાજક, મધ્ય અને ઊંચાઈ એકબીજા સાથે મેળ ખાય છે.
4. વર્તુળનું કેન્દ્ર અને વર્તુળનું કેન્દ્ર ઊંચાઈ પર આવેલું છે, અને તેથી આધાર તરફ દોરેલા મધ્ય અને દ્વિભાજક પર.
5. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં સમાન હોય તેવા ખૂણા હંમેશા તીવ્ર હોય છે.

ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે જો તેમાં નીચેના હોય ચિહ્નો:

1. ત્રિકોણના બે ખૂણા સમાન છે.
2. ઊંચાઈ મધ્યક સાથે એકરુપ છે.
3. દ્વિભાજક મધ્યક સાથે એકરુપ છે.
4. ઊંચાઈ દ્વિભાજક સાથે એકરુપ છે.
5. ત્રિકોણની બે ઊંચાઈ સમાન છે.
6. ત્રિકોણના બે દ્વિભાજકો સમાન છે.
7. ત્રિકોણના બે મધ્યક સમાન છે.

ચાલો વિષય પર ઘણી સમસ્યાઓ ધ્યાનમાં લઈએ "સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ"અને તેમનો વિગતવાર ઉકેલ આપો.

કાર્ય 1.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, આધારની ઊંચાઈ 8 છે અને બાજુનો આધાર 6:5 છે.

ઉકેલ.

એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ABC આપવા દો (ફિગ. 1).

1) ત્યારથી AC: BC = 6:5, પછી AC = 6x અને BC = 5x. ВН – ત્રિકોણ ABC ના આધાર AC તરફ દોરેલી ઊંચાઈ.

બિંદુ H એ AC ની મધ્યમાં હોવાથી (સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ગુણધર્મ અનુસાર), તો HC = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.

BC 2 = VN 2 + NS 2;

(5x) 2 = 8 2 + (3x) 2 ;

x = 2, પછી

AC = 6x = 6 2 = 12 અને

BC = 5x = 5 2 = 10.

3) ત્રિકોણના દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ એ તેમાં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર હોવાથી, પછી
OH = આર. આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ABC ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધીએ છીએ

4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (12 · 8) = 48;

p = 1/2 (AB + BC + AC); p = 1/2 · (10 + 10 + 12) = 16, પછી OH = r = 48/16 = 3.

તેથી VO = VN – OH; VO = 8 – 3 = 5.

જવાબ: 5.

કાર્ય 2.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ABC માં, દ્વિભાજક AD દોરવામાં આવે છે. ABD અને ADC ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ 10 અને 12 છે. આધાર AC તરફ દોરેલા આ ત્રિકોણની ઊંચાઈએ બાંધવામાં આવેલ ચોરસનો ત્રણ ગણો વિસ્તાર શોધો.

ઉકેલ.

ત્રિકોણ ABC - સમદ્વિબાજુ, AD - કોણ A ના દ્વિભાજકને ધ્યાનમાં લો (ફિગ. 2).

1) ચાલો ત્રિકોણ BAD અને DAC ના ક્ષેત્રો લખીએ:

S BAD = 1/2 · AB · AD · sin α; S DAC = 1/2 · AC · AD · sin α.

2) વિસ્તારોનો ગુણોત્તર શોધો:

S BAD /S DAC = (1/2 · AB · AD · sin α) / (1/2 · AC · AD · sin α) = AB/AC.

ત્યારથી S BAD = 10, S DAC = 12, પછી 10/12 = AB/AC;

AB/AC = 5/6, પછી AB = 5x અને AC = 6x દો.

AN = 1/2 AC = 1/2 · 6x = 3x.

3) ત્રિકોણ ABN થી - પાયથાગોરિયન પ્રમેય AB 2 = AN 2 + BH 2 અનુસાર લંબચોરસ;

25x 2 = VN 2 + 9x 2;

4) S A ВС = 1/2 · АС · ВН; S A B C = 1/2 · 6x · 4x = 12x 2 .

ત્યારથી S A BC = S BAD + S DAC = 10 + 12 = 22, પછી 22 = 12x 2 ;

x 2 = 11/6; VN 2 = 16x 2 = 16 11/6 = 1/3 8 11 = 88/3.

5) ચોરસનું ક્ષેત્રફળ VN 2 = 88/3 બરાબર છે; 3 88/3 = 88.

જવાબ: 88.

કાર્ય 3.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, આધાર 4 છે અને બાજુ 8 છે. બાજુ પર છોડેલી ઊંચાઈનો વર્ગ શોધો.

ઉકેલ.

ત્રિકોણ ABC માં - સમદ્વિબાજુ BC = 8, AC = 4 (ફિગ. 3).

1) ВН – ત્રિકોણ ABC ના આધાર AC તરફ દોરવામાં આવેલી ઊંચાઈ.

બિંદુ H એ AC ની મધ્ય હોવાથી (સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ગુણધર્મ અનુસાર), તો HC = 1/2 AC = 1/2 4 = 2.

2) ત્રિકોણ VNS માંથી - પાયથાગોરિયન પ્રમેય BC 2 = VN 2 + NS 2 અનુસાર લંબચોરસ;

64 = VN 2 + 4;

3) S ABC = 1/2 · (AC · BH), તેમજ S ABC = 1/2 · (AM · BC), પછી આપણે સૂત્રોની જમણી બાજુ સમાન કરીએ છીએ, આપણને મળે છે

1/2 · AC · BH = 1/2 · AM · BC;

AM = (AC BH)/BC;

AM = (√60 · 4)/8 = (2√15 · 4)/8 = √15.

જવાબ: 15.

કાર્ય 4.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, તેના પરનો આધાર અને ઉંચાઈ 16 ની બરાબર છે. આ ત્રિકોણની આસપાસના વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

ઉકેલ.

ત્રિકોણ ABC માં – સમદ્વિબાજુ આધાર AC = 16, ВН = 16 – ઊંચાઈ આધાર AC તરફ દોરવામાં આવે છે (ફિગ. 4).

1) AN = NS = 8 (સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ગુણધર્મ અનુસાર).

2) VNS ત્રિકોણમાંથી - પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર લંબચોરસ

BC 2 = VN 2 + NS 2;

BC 2 = 8 2 + 16 2 = (8 2) 2 + 8 2 = 8 2 4 + 8 2 = 8 2 5;

3) ત્રિકોણ ABC ને ધ્યાનમાં લો: સાઈન 2R = AB/sin C ના પ્રમેય દ્વારા, જ્યાં R એ ત્રિકોણ ABC ની પરિક્રમા કરેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.

sin C = BH/BC (સાઇનની વ્યાખ્યા દ્વારા VNS ત્રિકોણમાંથી).

sin C = 16/(8√5) = 2/√5, પછી 2R = 8√5/(2/√5);

2R = (8√5 · √5)/2; આર = 10.

જવાબ: 10.

કાર્ય 5.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના પાયા તરફ દોરવામાં આવેલી ઊંચાઈની લંબાઈ 36 છે, અને અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા 10 છે. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ઉકેલ.

એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ABC આપવા દો.

1) ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર તેના દ્વિભાજકોનું આંતરછેદ બિંદુ હોવાથી, પછી O ϵ VN અને AO એ કોણ A નો દ્વિભાજક છે અને OH = r = 10 પણ છે (ફિગ. 5).

2) VO = VN – OH; VO = 36 – 10 = 26.

3) ત્રિકોણ ABN ને ધ્યાનમાં લો. ત્રિકોણના કોણ દ્વિભાજક પરના પ્રમેય દ્વારા

AB/AN = VO/OH;

AB/AN = 26/10 = 13/5, પછી AB = 13x અને AN = 5x દો.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય મુજબ, AB 2 = AN 2 + VN 2;

(13x) 2 = 36 2 + (5x) 2 ;

169x 2 = 25x 2 + 36 2;

144x 2 = (12 · 3) 2 ;

144x2 = 144 9;

x = 3, પછી AC = 2 · AN = 10x = 10 · 3 = 30.

4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (36 · 30) = 540;

જવાબ: 540.