વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા માટે સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ. વિભેદક સમીકરણો (સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ) યુલર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા

વિભેદક સમીકરણો એવા સમીકરણો છે જેમાં વ્યુત્પન્ન ચિન્હ હેઠળ અજ્ઞાત કાર્ય દેખાય છે. વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતનું મુખ્ય કાર્ય એવા કાર્યોનો અભ્યાસ છે જે આવા સમીકરણોના ઉકેલો છે.

વિભેદક સમીકરણોને સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે, જેમાં અજ્ઞાત કાર્યો એક ચલના કાર્યો છે અને આંશિક વિભેદક સમીકરણો છે, જેમાં અજ્ઞાત કાર્યો બે અથવા વધુ ચલોના કાર્યો છે.

આંશિક વિભેદક સમીકરણોનો સિદ્ધાંત વધુ જટિલ છે અને તે વધુ સંપૂર્ણ અથવા વિશિષ્ટ ગણિતના અભ્યાસક્રમોમાં આવરી લેવામાં આવે છે.

ચાલો સૌથી સરળ સમીકરણ - પ્રથમ ક્રમના સમીકરણ સાથે વિભેદક સમીકરણોનો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કરીએ.

ફોર્મનું સમીકરણ

F(x,y,y") = 0,(1)

જ્યાં x એક સ્વતંત્ર ચલ છે; y - જરૂરી કાર્ય; y" - તેનું વ્યુત્પન્ન, પ્રથમ-ક્રમ વિભેદક સમીકરણ કહેવાય છે.

જો સમીકરણ (1) y ના સંદર્ભમાં ઉકેલી શકાય છે", તો તે સ્વરૂપ લે છે

અને તેને વ્યુત્પન્નના સંદર્ભમાં ઉકેલાયેલ પ્રથમ-ક્રમનું સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

કેટલાક કિસ્સાઓમાં, f (x, y) dx - dy = 0 સ્વરૂપમાં સમીકરણ (2) લખવાનું અનુકૂળ છે, જે વધુ સામાન્ય સમીકરણનો વિશેષ કેસ છે.

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=O,(3)

જ્યાં P(x,y) અને Q(x,y) જાણીતા કાર્યો છે. સપ્રમાણ સ્વરૂપ (3) માં સમીકરણ અનુકૂળ છે કારણ કે તેમાંના x અને y ચલ સમાન છે, એટલે કે, તેમાંથી દરેકને બીજાના કાર્ય તરીકે ગણી શકાય.

ચાલો સમીકરણના સામાન્ય અને વિશિષ્ટ ઉકેલોની બે મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ આપીએ.

ઓક્સી પ્લેનના ચોક્કસ પ્રદેશ G માં સમીકરણ (2) નો સામાન્ય ઉકેલ એ x અને મનસ્વી સ્થિરાંક C પર આધાર રાખીને કાર્ય y = μ(x,C) છે, જો તે કોઈપણ માટે સમીકરણ (2) નો ઉકેલ છે સ્થિર C નું મૂલ્ય, અને જો કોઈપણ પ્રારંભિક સ્થિતિઓ માટે y x=x0 =y 0 જેમ કે (x 0 ;y 0)=G, તો ત્યાં સ્થિર C = C 0 નું અનન્ય મૂલ્ય છે જેમ કે કાર્ય y=q( x,C 0) આપેલ પ્રારંભિક શરતોને સંતોષે છે y=q(x 0 ,C).

ડોમેન G માં સમીકરણ (2) નો ચોક્કસ ઉકેલ એ કાર્ય y=ts(x,C 0) છે, જે સામાન્ય ઉકેલ y=ts(x,C) થી સ્થિર C=C ના ચોક્કસ મૂલ્ય પર મેળવવામાં આવે છે. 0.

ભૌમિતિક રીતે, સામાન્ય સોલ્યુશન y = μ (x, C) એ ઓક્સી પ્લેન પરના અવિભાજ્ય વણાંકોનું એક કુટુંબ છે, જે એક મનસ્વી સ્થિરાંક C પર આધાર રાખે છે, અને ચોક્કસ ઉકેલ y = μ (x, C 0) આનો એક અભિન્ન વળાંક છે. આપેલ બિંદુ (x 0; y 0)માંથી પસાર થતું કુટુંબ.

યુલરની પદ્ધતિ દ્વારા પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણોનો અંદાજિત ઉકેલ. આ પદ્ધતિનો સાર એ છે કે ઇચ્છિત અભિન્ન વળાંક, જે ચોક્કસ સોલ્યુશનનો ગ્રાફ છે, લગભગ તૂટેલી રેખા દ્વારા બદલવામાં આવે છે. વિભેદક સમીકરણ આપવા દો

અને પ્રારંભિક શરતો y |x=x0 =y 0 .

ચાલો અંતરાલ [x 0 ,b] પરના સમીકરણનો અંદાજે ઉકેલ શોધીએ જે આપેલ પ્રારંભિક શરતોને સંતોષે છે.

ચાલો સેગમેન્ટ [x 0 ,b] ને પોઈન્ટ x 0 સાથે વિભાજીત કરીએ<х 1 ,<х 2 <...<х n =b на n равных частей. Пусть х 1 --х 0 =х 2 -- x 1 = ... =x n -- x n-1 = ?x. Обозначим через y i приближенные значения искомого решения в точках х i (i=1, 2, ..., n). Проведем через точки разбиения х i - прямые, параллельные оси Оу, и последовательно проделаем следующие однотипные операции.

ચાલો x 0 અને y 0 ને સમીકરણ y"=f(x,y) ની જમણી બાજુએ અવેજી કરીએ અને સ્લોપ y"=f(x 0,y 0) ની ટેન્જેન્ટના અવિભાજ્ય વળાંકની ગણતરી કરીએ બિંદુ (x 0;y 0). ઇચ્છિત સોલ્યુશનનું અંદાજિત મૂલ્ય y 1 શોધવા માટે, અમે સેગમેન્ટ [x 0 , x 1 ,] પરના અભિન્ન વળાંકને બિંદુ (x 0 ; y 0) પર તેના સ્પર્શકના સેગમેન્ટ સાથે બદલીએ છીએ. આ કિસ્સામાં આપણે મેળવીએ છીએ

y 1 - y 0 =f(x 0 ;y 0)(x 1 - x 0),

જ્યાંથી, x 0, x 1, y 0 જાણીતું હોવાથી, આપણે શોધીએ છીએ

y1 = y0+f(x0;y0)(x1 - x0).

x 1 અને y 1 ને સમીકરણ y"=f(x,y) ની જમણી બાજુએ બદલીને, અમે સ્પર્શકના ઢાળ y"=f(x 1,y 1)ની ગણતરી કરીએ છીએ બિંદુ (x 1;y 1). આગળ, સેગમેન્ટ પરના ઇન્ટિગ્રલ કર્વને ટેન્જેન્ટ સેગમેન્ટથી બદલીને, આપણે બિંદુ x 2 પર સોલ્યુશન y 2 નું અંદાજિત મૂલ્ય શોધીએ છીએ:

y 2 = y 1 +f(x 1 ;y 1)(x 2 - x 1)

આ સમાનતામાં, x 1, y 1, x 2 જાણીતા છે, અને y 2 તેમના દ્વારા વ્યક્ત થાય છે.

એ જ રીતે આપણે શોધીએ છીએ

y 3 = y 2 +f(x 2 ;y 2) ?x, …, y n = y n-1 +f(x n-1 ;y n-1) ?x

આમ, તૂટેલી રેખાના રૂપમાં ઇચ્છિત અભિન્ન વળાંક લગભગ બાંધવામાં આવ્યો હતો અને પોઇન્ટ x i પર ઇચ્છિત ઉકેલના અંદાજિત મૂલ્યો y i મેળવવામાં આવ્યા હતા. આ કિસ્સામાં, i ની કિંમતો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે

y i = y i-1 +f(x i-1 ;y i-1) ?x (i=1,2, …, n).

સૂત્ર એ યુલર પદ્ધતિનું મુખ્ય ગણતરી સૂત્ર છે. તેની ચોકસાઈ વધારે છે, તફાવત જેટલો ઓછો છે?x.

યુલરની પદ્ધતિ સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓનો સંદર્ભ આપે છે જે ઇચ્છિત કાર્ય y(x) ના અંદાજિત મૂલ્યોના કોષ્ટકના સ્વરૂપમાં ઉકેલ પ્રદાન કરે છે. તે પ્રમાણમાં રફ છે અને તેનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે અંદાજિત ગણતરીઓ માટે થાય છે. જો કે, યુલરની પદ્ધતિ હેઠળના વિચારો એ સંખ્યાબંધ અન્ય પદ્ધતિઓ માટે પ્રારંભિક બિંદુ છે.

યુલરની પદ્ધતિની ચોકસાઈની ડિગ્રી, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, ઓછી છે. અંદાજિત વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટે ઘણી વધુ સચોટ પદ્ધતિઓ છે.

પરિચય

વૈજ્ઞાનિક અને ઇજનેરી સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, કેટલીક ગતિશીલ સિસ્ટમનું ગાણિતિક રીતે વર્ણન કરવું જરૂરી છે. આ વિભેદક સમીકરણોના સ્વરૂપમાં શ્રેષ્ઠ રીતે કરવામાં આવે છે ( ડીયુ) અથવા વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમો. મોટે ભાગે, આ સમસ્યા ઊભી થાય છે જ્યારે રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાઓના ગતિશાસ્ત્ર અને વિવિધ ટ્રાન્સફર ઘટનાઓ (ગરમી, સમૂહ, વેગ) - હીટ ટ્રાન્સફર, મિશ્રણ, સૂકવણી, શોષણ, જ્યારે મેક્રો- અને માઇક્રોપાર્ટિકલ્સની હિલચાલનું વર્ણન કરતી વખતે મોડેલિંગ સંબંધિત સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરવામાં આવે છે.

કેટલાક કિસ્સાઓમાં, વિભેદક સમીકરણને એક સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે જેમાં ઉચ્ચતમ વ્યુત્પન્ન સ્પષ્ટપણે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. લેખનના આ સ્વરૂપને સર્વોચ્ચ વ્યુત્પન્નના સંદર્ભમાં ઉકેલાયેલ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે (આ કિસ્સામાં, સમીકરણની જમણી બાજુએ સર્વોચ્ચ વ્યુત્પન્ન ગેરહાજર છે):

સામાન્ય વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ એ એક કાર્ય y(x) છે જે, કોઈપણ x માટે, ચોક્કસ મર્યાદિત અથવા અનંત અંતરાલમાં આ સમીકરણને સંતોષે છે. વિભેદક સમીકરણને ઉકેલવાની પ્રક્રિયાને વિભેદક સમીકરણનું સંકલન કહેવામાં આવે છે.

ઐતિહાસિક રીતે, ફર્સ્ટ-ઓર્ડર ODE માટે કૌચી સમસ્યાને સંખ્યાત્મક રીતે હલ કરવાની પ્રથમ અને સરળ રીત એ યુલર પદ્ધતિ છે. તે એક સમાન ગ્રીડના ગાંઠો વચ્ચેના આશ્રિત (y) અને સ્વતંત્ર (x) ચલોના મર્યાદિત વધારાના ગુણોત્તર દ્વારા વ્યુત્પન્નના અંદાજ પર આધારિત છે:

જ્યાં y i+1 એ બિંદુ x i+1 પર ફંક્શનની ઇચ્છિત કિંમત છે.

યુલરની પદ્ધતિની ચોકસાઈ સુધારી શકાય છે જો વધુ સચોટ સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ અંદાજિત સંકલન માટે કરવામાં આવે - ટ્રેપેઝોઇડલ ફોર્મ્યુલા.

આ સૂત્ર y i+1 (આ મૂલ્ય અભિવ્યક્તિની ડાબી અને જમણી બાજુએ છે) ના સંદર્ભમાં ગર્ભિત હોવાનું બહાર આવ્યું છે, એટલે કે, તે y i+1 ના સંદર્ભમાં એક સમીકરણ છે, જે ઉકેલી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાત્મક રીતે, કેટલીક પુનરાવર્તિત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને (આવા સ્વરૂપમાં, તેને સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિના પુનરાવર્તિત સૂત્ર તરીકે ગણી શકાય).

કોર્સ વર્કની રચના: કોર્સ વર્કમાં ત્રણ ભાગોનો સમાવેશ થાય છે. પ્રથમ ભાગમાં પદ્ધતિઓનું સંક્ષિપ્ત વર્ણન છે. બીજા ભાગમાં, સમસ્યાનું નિર્માણ અને ઉકેલ. ત્રીજા ભાગમાં - કમ્પ્યુટર ભાષામાં સોફ્ટવેર અમલીકરણ

અભ્યાસક્રમના કાર્યનો હેતુ: વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા માટેની બે પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કરવો - યુલર-કોચી પદ્ધતિ અને સુધારેલ યુલર પદ્ધતિ.

1. સૈદ્ધાંતિક ભાગ

સંખ્યાત્મક તફાવત

વિભેદક સમીકરણ એ એક અથવા વધુ ડેરિવેટિવ્સ ધરાવતું સમીકરણ છે. સ્વતંત્ર ચલોની સંખ્યાના આધારે, વિભેદક સમીકરણોને બે શ્રેણીઓમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો (ODE)

આંશિક વિભેદક સમીકરણો.

સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો એવા સમીકરણો છે જેમાં ઇચ્છિત કાર્યના એક અથવા વધુ ડેરિવેટિવ્સ હોય છે. તેઓ તરીકે લખી શકાય છે

સ્વતંત્ર ચલ

સમીકરણ (1) માં સમાવિષ્ટ સર્વોચ્ચ ક્રમને વિભેદક સમીકરણનો ક્રમ કહેવામાં આવે છે.

સૌથી સરળ (રેખીય) ODE એ વ્યુત્પન્નના સંદર્ભમાં ઉકેલાયેલ ક્રમનું સમીકરણ (1) છે

વિભેદક સમીકરણ (1) નો ઉકેલ એ કોઈપણ કાર્ય છે જે સમીકરણમાં તેના સ્થાનાંતરણ પછી, તેને ઓળખમાં ફેરવે છે.

રેખીય ODE સાથે સંકળાયેલ મુખ્ય સમસ્યા કાશા સમસ્યા તરીકે ઓળખાય છે:

પ્રારંભિક સ્થિતિ (3) ને સંતોષતા કાર્યના સ્વરૂપમાં સમીકરણ (2) નો ઉકેલ શોધો

ભૌમિતિક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે સમાનતા (2) સંતુષ્ટ હોય ત્યારે બિંદુ )માંથી પસાર થતા અભિન્ન વળાંકને શોધવા માટે તે જરૂરી છે.

કાશા સમસ્યાના દૃષ્ટિકોણથી સંખ્યાત્મક અર્થ થાય છે: ચોક્કસ પગલા સાથે સેગમેન્ટ પર સંતોષકારક સમીકરણ (2) અને પ્રારંભિક સ્થિતિ (3) કાર્ય મૂલ્યોનું કોષ્ટક બનાવવું જરૂરી છે. સામાન્ય રીતે એવું માનવામાં આવે છે કે, પ્રારંભિક સ્થિતિ સેગમેન્ટના ડાબા છેડે ઉલ્લેખિત છે.

વિભેદક સમીકરણ ઉકેલવા માટેની સૌથી સરળ સંખ્યાત્મક પદ્ધતિ એ યુલર પદ્ધતિ છે. તે વિભેદક સમીકરણના ઉકેલને ગ્રાફિકલી બનાવવાના વિચાર પર આધારિત છે, પરંતુ આ પદ્ધતિ સંખ્યાત્મક સ્વરૂપમાં અથવા કોષ્ટકમાં ઇચ્છિત કાર્ય શોધવાનો માર્ગ પણ પ્રદાન કરે છે.

પ્રારંભિક સ્થિતિ સાથે સમીકરણ (2) આપીએ, એટલે કે, કાશ સમસ્યા ઊભી કરવામાં આવી છે. ચાલો પહેલા નીચેની સમસ્યા હલ કરીએ. એકદમ નાનું પગલું હોય તેવા ચોક્કસ બિંદુએ સોલ્યુશનનું અંદાજિત મૂલ્ય સૌથી સરળ રીતે શોધો. સમીકરણ (2) પ્રારંભિક સ્થિતિ સાથે મળીને (3) કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે બિંદુ પર ઇચ્છિત અભિન્ન વળાંકની સ્પર્શકની દિશા સ્પષ્ટ કરો

સ્પર્શક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે

આ સ્પર્શક સાથે આગળ વધતા, અમે બિંદુ પર ઉકેલનું અંદાજિત મૂલ્ય મેળવીએ છીએ:

એક બિંદુ પર અંદાજિત સોલ્યુશન રાખવાથી, તમે અગાઉ વર્ણવેલ પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરી શકો છો: કોણીય ગુણાંક સાથે આ બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા બનાવો અને તેમાંથી બિંદુ પરના ઉકેલનું અંદાજિત મૂલ્ય શોધો.

. નોંધ કરો કે આ રેખા વાસ્તવિક અભિન્ન વળાંક માટે સ્પર્શક નથી, કારણ કે બિંદુ આપણા માટે ઉપલબ્ધ નથી, પરંતુ જો તે પૂરતું નાનું હોય, તો પરિણામી અંદાજિત મૂલ્યો ઉકેલના ચોક્કસ મૂલ્યોની નજીક હશે.

આ વિચારને ચાલુ રાખીને, ચાલો સમાન અંતરવાળા બિંદુઓની સિસ્ટમ બનાવીએ

જરૂરી કાર્યના મૂલ્યોનું કોષ્ટક મેળવવું

યુલરની પદ્ધતિમાં સૂત્રને ચક્રીય રીતે લાગુ કરવાનો સમાવેશ થાય છે

આકૃતિ 1. યુલરની પદ્ધતિનું ગ્રાફિકલ અર્થઘટન

વિભેદક સમીકરણોના સંખ્યાત્મક એકીકરણ માટેની પદ્ધતિઓ, જેમાં એક નોડથી બીજામાં ઉકેલો મેળવવામાં આવે છે, તેને સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ કહેવામાં આવે છે. યુલરની પદ્ધતિ એ પગલું-દર-પગલાની પદ્ધતિઓનો સૌથી સરળ પ્રતિનિધિ છે. કોઈપણ પગલા-દર-પગલાની પદ્ધતિની વિશેષતા એ છે કે બીજા પગલાથી શરૂ કરીને, સૂત્ર (5) માં પ્રારંભિક મૂલ્ય પોતે જ અંદાજિત છે, એટલે કે, દરેક અનુગામી પગલા પરની ભૂલ વ્યવસ્થિત રીતે વધે છે. ODEs ના અંદાજિત સંખ્યાત્મક ઉકેલ માટે પગલા-દર-પગલાની પદ્ધતિની ચોકસાઈનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતી પદ્ધતિ એ આપેલ સેગમેન્ટને બે વાર એક પગલા સાથે અને એક પગલા સાથે પસાર કરવાની પદ્ધતિ છે.

1.1 સુધારેલ યુલર પદ્ધતિ

આ પદ્ધતિનો મુખ્ય વિચાર: ફોર્મ્યુલા (5) દ્વારા ગણવામાં આવતી આગલી કિંમત વધુ સચોટ હશે જો વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય, એટલે કે, સેગમેન્ટ પરના અભિન્ન વળાંકને બદલે સીધી રેખાના કોણીય ગુણાંકની ગણતરી કરવામાં આવે તો ડાબી ધાર સાથે (એટલે ​​​​કે બિંદુ પર), પરંતુ સેગમેન્ટના કેન્દ્રમાં. પરંતુ બિંદુઓ વચ્ચેના વ્યુત્પન્નના મૂલ્યની ગણતરી કરવામાં આવતી ન હોવાથી, અમે કેન્દ્ર સાથેના ડબલ વિભાગો તરફ આગળ વધીએ છીએ, જેમાં બિંદુ છે, અને સીધી રેખાનું સમીકરણ સ્વરૂપ લે છે:

અને સૂત્ર (5) ફોર્મ લે છે

ફોર્મ્યુલા (7) ફક્ત માટે જ લાગુ કરવામાં આવે છે, તેથી, તેમાંથી મૂલ્યો મેળવી શકાતા નથી, તેથી તેઓ યુલરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે, અને વધુ સચોટ પરિણામ મેળવવા માટે તેઓ આ કરે છે: શરૂઆતથી, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને (5) તેઓ મૂલ્ય શોધે છે

(8)

બિંદુ પર અને પછી પગલાંઓ સાથે સૂત્ર (7) અનુસાર જોવા મળે છે

(9)

એકવાર વધુ ગણતરીઓ પર મળી સૂત્ર દ્વારા ઉત્પાદિત (7)

લેબ 1

સંખ્યાત્મક ઉકેલ પદ્ધતિઓ

સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો (4 કલાક)

ઘણી ભૌતિક અને ભૌમિતિક સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે, અજાણ્યા ફંક્શન, તેના ડેરિવેટિવ્ઝ અને સ્વતંત્ર ચલો વચ્ચેના સંબંધના આધારે અજાણ્યા ફંક્શનની શોધ કરવી પડે છે. આ ગુણોત્તર કહેવામાં આવે છે વિભેદક સમીકરણ , અને વિભેદક સમીકરણને સંતોષતું કાર્ય શોધવું કહેવાય છે વિભેદક સમીકરણ ઉકેલવું.

સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ સમાનતા કહેવાય છે

જેમાં

કાર્ય એ કાર્ય y શોધવાનું છે જે સમાનતાને સંતોષે છે (1). તદુપરાંત, આને અલગથી નિર્ધારિત કર્યા વિના, અમે ધારીશું કે ઇચ્છિત ઉકેલમાં એક અથવા બીજી પદ્ધતિના બાંધકામ અને "કાનૂની" એપ્લિકેશન માટે જરૂરી એક અથવા બીજી ડિગ્રીની સરળતા છે.

સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો બે પ્રકારના હોય છે

પ્રારંભિક શરતો વિના સમીકરણો

પ્રારંભિક શરતો સાથે સમીકરણો.

પ્રારંભિક શરતો વિનાના સમીકરણો એ સ્વરૂપના સમીકરણો છે (1).

પ્રારંભિક શરતો સાથે સમીકરણફોર્મ (1) નું સમીકરણ છે, જેમાં તે આવા કાર્ય શોધવા માટે જરૂરી છે

તે બિંદુ પર

કોચી સમસ્યાઓ

અંદાજિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે મુખ્ય કાર્યગણતરી કોચી સમસ્યા.

ચાલો કોચી સમસ્યાને ઉકેલવા માટેની સૌથી લોકપ્રિય પદ્ધતિ - રંજ-કુટ્ટા પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લઈએ. આ પદ્ધતિ તમને લગભગ કોઈપણ ક્રમની ચોકસાઈના અંદાજિત ઉકેલની ગણતરી માટે સૂત્રો બનાવવાની મંજૂરી આપે છે.

ચાલો બીજા ક્રમની ચોકસાઈની Runge-Kutta પદ્ધતિના સૂત્રો મેળવીએ. આ કરવા માટે, અમે સોલ્યુશનને ટેલર શ્રેણીના ભાગ તરીકે રજૂ કરીએ છીએ, બીજા કરતાં વધુ ઓર્ડર સાથે શરતોને કાઢી નાખીએ છીએ. પછી બિંદુ પર ઇચ્છિત કાર્યનું અંદાજિત મૂલ્ય x 1 આ રીતે લખી શકાય છે:

બીજું વ્યુત્પન્ન y "( x 0 ) કાર્યના વ્યુત્પન્ન દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે f ( x , y ) જોકે, Runge-Kutta પદ્ધતિમાં, વ્યુત્પન્નને બદલે, તફાવતનો ઉપયોગ થાય છે

પેરામીટર મૂલ્યો અનુસાર પસંદ કરી રહ્યા છીએ

પછી (2) આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે:

y 1 = y 0 + h [ β f ( x 0 , y 0 ) + α f ( x 0 + γh , y 0 + δh )], (3)

જ્યાં α , β , γ અને δ - કેટલાક પરિમાણો.

દલીલના કાર્ય તરીકે (3) ની જમણી બાજુ ધ્યાનમાં લેવી h , ચાલો તેને ડિગ્રીમાં તોડીએ h :

y 1 = y 0 +( α + β ) h f ( x 0 , y 0 ) + αh 2 [ γ f x ( x 0 , y 0 ) + δ f y ( x 0 , y 0 )],

અને પરિમાણો પસંદ કરો α , β , γ અને δ જેથી આ વિસ્તરણ (2) ની નજીક છે. તે તેને અનુસરે છે

α + β =1, αγ =0,5, α δ =0,5 f ( x 0 , y 0 ).

આ સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને આપણે વ્યક્ત કરીએ છીએ β , γ અને δ પરિમાણો દ્વારા α , અમે મેળવીએ છીએ

y 1 = y 0 + h [(1 - α ) f ( x 0 , y 0 ) + α f ( x 0 +, y 0 + f ( x 0 , y 0 )], (4)

0 < α ≤ 1.

હવે, જો તેના બદલે ( x 0 , y 0 ) માં (4) અવેજી ( x 1 , y 1 ), અમને ગણતરી માટે સૂત્ર મળે છે y 2 – બિંદુ પર ઇચ્છિત કાર્યનું અંદાજિત મૂલ્ય x 2 .

સામાન્ય કિસ્સામાં, રંજ-કુટ્ટા પદ્ધતિ સેગમેન્ટના મનસ્વી પાર્ટીશન પર લાગુ થાય છે. [ x 0 , એક્સ ] પર nભાગો, એટલે કે ચલ પિચ સાથે

x 0 , x 1 , …, x n ; h i = x i+1 – x i , x n = X. (5)

વિકલ્પો α 1 અથવા 0.5 ની બરાબર પસંદ કરવામાં આવે છે. ચાલો છેલ્લે બીજા ક્રમની રંજ-કુટ્ટા પદ્ધતિના ગણતરીના સૂત્રો લખીએ અને α =1:

y i+1 =y i +h i f(x i + , y i + f(x i, y i)), (6.1)

i = 0, 1,…, n -1.

અને α =0,5:

y i+1 =y i + , (6.2)

i = 0, 1,…, n -1.

Runge-Kutta પદ્ધતિના સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતા સૂત્રો ચોકસાઈના ચોથા ક્રમના સૂત્રો છે:

y i+1 =y i + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4),

k 1 =f(x i , y i), k 2 = f(x i + , y i + k 1), (7)

k 3 = f(x i + , y i + k 2), k 4 = f(x i +h, y i +hk 3).

Runge-Kutta પદ્ધતિ માટે, Runge નો નિયમ ભૂલના અંદાજ માટે લાગુ પડે છે. દો y ( x ; h ) - બિંદુ પર સોલ્યુશનનું અંદાજિત મૂલ્ય x , (6.1), (6.2) અથવા (7) પગલાં સાથે સૂત્રો દ્વારા પ્રાપ્ત h , એ પી – અનુરૂપ સૂત્રની ચોકસાઈનો ક્રમ. પછી ભૂલ આર ( h ) મૂલ્યો y ( x ; h ) અંદાજિત મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને અંદાજ કરી શકાય છે y ( x ; 2 h ) એક તબક્કે ઉકેલો x , ઇન્ક્રીમેન્ટમાં મળે છે 2 h :

જ્યાં પી =2 સૂત્રો માટે (6.1) અને (6.2) અને પી =4 માટે (7).

વ્યાખ્યાનમાં ચર્ચા કરાયેલા મુખ્ય મુદ્દાઓ:

1. સમસ્યાનું નિવેદન

2. યુલરની પદ્ધતિ

3. રંજ-કુટ્ટા પદ્ધતિઓ

4. બહુ-પગલાની પદ્ધતિઓ

5. 2જી ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણ માટે સીમા મૂલ્યની સમસ્યાનો ઉકેલ

6. આંશિક વિભેદક સમીકરણોનું સંખ્યાત્મક ઉકેલ

1. સમસ્યાનું નિવેદન

સૌથી સરળ સામાન્ય વિભેદક સમીકરણ (ODE) એ વ્યુત્પન્નના સંદર્ભમાં ઉકેલાયેલ પ્રથમ-ક્રમનું સમીકરણ છે: y " = f (x, y) (1). આ સમીકરણ સાથે સંકળાયેલ મુખ્ય સમસ્યા કોચી સમસ્યા તરીકે ઓળખાય છે: શોધો ફંક્શન y (x) ના સ્વરૂપમાં સમીકરણ (1) નો ઉકેલ, પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષે છે: y (x0) = y0 (2).
nમી ક્રમ y (n) = f (x, y, y",:, y(n-1)) નો DE, જેના માટે કોચી સમસ્યા એ ઉકેલ y = y(x) શોધવાનો છે જે પ્રારંભિક શરતોને સંતોષે છે:
y (x0) = y0 , y" (x0) = y"0 , :, y(n-1)(x0) = y(n-1)0 , જ્યાં y0 , y"0 , :, y(n- 1)0 - આપેલ નંબરો, પ્રથમ ઓર્ડર DE સિસ્ટમમાં ઘટાડી શકાય છે.

· યુલર પદ્ધતિ

યુલર પદ્ધતિ વિભેદક સમીકરણના ઉકેલને ગ્રાફિકલી બનાવવાના વિચાર પર આધારિત છે, પરંતુ તે જ પદ્ધતિ ઇચ્છિત કાર્યનું સંખ્યાત્મક સ્વરૂપ પણ પ્રદાન કરે છે. પ્રારંભિક સ્થિતિ (2) સાથે સમીકરણ (1) આપવા દો.
યુલર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઇચ્છિત કાર્ય y (x) ના મૂલ્યોનું કોષ્ટક મેળવવામાં ચક્રીય રીતે સૂત્ર લાગુ કરવું શામેલ છે: , i = 0, 1, :, n. યુલરની તૂટેલી રેખા (આકૃતિ જુઓ) ભૌમિતિક રીતે બાંધવા માટે, અમે ધ્રુવ A(-1,0) પસંદ કરીએ છીએ અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર સેગમેન્ટ PL=f(x0, y0)ને પ્લોટ કરીએ છીએ (બિંદુ P એ કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ છે). દેખીતી રીતે, કિરણ AL નો કોણીય ગુણાંક f(x0, y0) ની બરાબર હશે, તેથી, યુલર તૂટેલી રેખાની પ્રથમ કડી મેળવવા માટે, બિંદુ M થી કિરણની સમાંતર સીધી રેખા MM1 દોરવા માટે તે પૂરતું છે. AL જ્યાં સુધી તે સીધી રેખા x = x1 સાથે અમુક બિંદુએ M1(x1, y1) ને છેદે નહીં. બિંદુ M1(x1, y1) ને પ્રારંભિક એક તરીકે લઈને, અમે Oy અક્ષ પર PN = f (x1, y1) સેગમેન્ટનું કાવતરું બનાવીએ છીએ અને બિંદુ M1 M1M2 દ્વારા સીધી રેખા દોરીએ છીએ | | AN બિંદુ M2(x2, y2) પર રેખા x = x2, વગેરે સાથે છેદન સુધી.

પદ્ધતિના ગેરફાયદા: ઓછી ચોકસાઈ, ભૂલોનું વ્યવસ્થિત સંચય.

· રંજ-કુટ્ટા પદ્ધતિઓ

પદ્ધતિનો મુખ્ય વિચાર: કાર્યકારી સૂત્રોમાં ફંક્શન f (x, y) ના આંશિક ડેરિવેટિવ્સનો ઉપયોગ કરવાને બદલે, ફક્ત આ ફંક્શનનો જ ઉપયોગ કરો, પરંતુ દરેક પગલા પર તેના મૂલ્યોની ગણતરી કેટલાક બિંદુઓ પર કરો. આ કરવા માટે, અમે ફોર્મમાં સમીકરણ (1) નો ઉકેલ શોધીશું:


α, β, r, q ને બદલવાથી, અમે Runge-Kutta પદ્ધતિઓની વિવિધ આવૃત્તિઓ મેળવીશું.
q=1 માટે આપણે યુલરનું સૂત્ર મેળવીએ છીએ.
q=2 અને r1=r2=½ સાથે આપણે તે α, β= 1 મેળવીએ છીએ અને તેથી, આપણી પાસે સૂત્ર છે: , જેને સુધારેલ યુલર-કોચી પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે.
q=2 અને r1=0, r2=1 માટે આપણે મેળવીએ છીએ કે α, β = ½ અને તેથી, આપણી પાસે સૂત્ર છે: - બીજી સુધારેલ યુલર-કોચી પદ્ધતિ.
q=3 અને q=4 માટે, Runge-Kutta સૂત્રોના સમગ્ર પરિવારો પણ છે. વ્યવહારમાં, તેઓ મોટાભાગે ઉપયોગમાં લેવાય છે, કારણ કે ભૂલો ન વધારશો.
ચાલો ચોકસાઈના ચોથા ક્રમની Runge-Kutta પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વિભેદક સમીકરણ ઉકેલવા માટેની યોજનાને ધ્યાનમાં લઈએ. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે ગણતરીઓ સૂત્રો અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે:

તેમને નીચેના કોષ્ટકમાં શામેલ કરવું અનુકૂળ છે:

· બહુ-પગલાની પદ્ધતિઓ

ઉપર ચર્ચા કરેલ પદ્ધતિઓ વિભેદક સમીકરણના પગલા-દર-પગલાં એકીકરણની કહેવાતી પદ્ધતિઓ છે. તેઓ એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે આગલા પગલા પરના સોલ્યુશનની કિંમત માત્ર એક પાછલા પગલા પર મેળવેલ સોલ્યુશનનો ઉપયોગ કરીને માંગવામાં આવે છે. આ કહેવાતી એક-પગલાની પદ્ધતિઓ છે.
મલ્ટી-સ્ટેપ મેથડનો મુખ્ય વિચાર એ છે કે આગલા પગલા પર સોલ્યુશન વેલ્યુની ગણતરી કરતી વખતે અગાઉના ઘણા સોલ્યુશન વેલ્યુનો ઉપયોગ કરવો. ઉપરાંત, અગાઉના સોલ્યુશન મૂલ્યોની ગણતરી કરવા માટે વપરાતી સંખ્યા m પર આધારિત આ પદ્ધતિઓને m-સ્ટેપ પદ્ધતિઓ કહેવામાં આવે છે.
સામાન્ય કિસ્સામાં, અંદાજિત ઉકેલ yi+1 નક્કી કરવા માટે, m-સ્ટેપ ડિફરન્સ સ્કીમ્સ નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવે છે (m 1):
ચાલો ચોક્કસ સૂત્રોને ધ્યાનમાં લઈએ જે સરળ સ્પષ્ટ અને ગર્ભિત એડમ્સ પદ્ધતિઓનો અમલ કરે છે.

સ્પષ્ટ 2જી ઓર્ડર એડમ્સ પદ્ધતિ (2-પગલાની સ્પષ્ટ એડમ્સ પદ્ધતિ)

આપણી પાસે a0 = 0, m = 2 છે.
આમ, આ 2જી ક્રમની સ્પષ્ટ એડમ્સ પદ્ધતિના ગણતરીના સૂત્રો છે.
i = 1 માટે, આપણી પાસે એક અજ્ઞાત y1 છે, જે આપણે q = 2 અથવા q = 4 માટે Runge-Kutta પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને શોધીશું.
i = 2, 3, માટે : બધા જરૂરી મૂલ્યો જાણીતા છે.

ગર્ભિત 1 લી ઓર્ડર એડમ્સ પદ્ધતિ

અમારી પાસે છે: a0 0, m = 1.
આમ, આ 1લી ક્રમની ગર્ભિત એડમ્સ પદ્ધતિના ગણતરીના સૂત્રો છે.
ગર્ભિત યોજનાઓની મુખ્ય સમસ્યા નીચે મુજબ છે: પ્રસ્તુત સમાનતાની જમણી અને ડાબી બાજુ બંનેમાં yi+1 સમાવવામાં આવેલ છે, તેથી અમારી પાસે yi+1 ની કિંમત શોધવા માટે એક સમીકરણ છે. આ સમીકરણ બિનરેખીય છે અને પુનરાવર્તિત ઉકેલ માટે યોગ્ય સ્વરૂપમાં લખાયેલ છે, તેથી અમે તેને ઉકેલવા માટે સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું:
જો પગલું h સારી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે, તો પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા ઝડપથી કન્વર્જ થાય છે.
આ પદ્ધતિ પણ સ્વ-પ્રારંભિક નથી. તેથી y1 ની ગણતરી કરવા માટે તમારે y1(0) જાણવાની જરૂર છે. તે યુલરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે.

વિભેદક સમીકરણોનું સંખ્યાત્મક ઉકેલ

વિજ્ઞાન અને ટેક્નોલોજીમાં ઘણી સમસ્યાઓ સામાન્ય વિભેદક સમીકરણો (ODEs) ઉકેલવામાં આવે છે. ODE એ એવા સમીકરણો છે જેમાં ઇચ્છિત કાર્યના એક અથવા વધુ ડેરિવેટિવ્સ હોય છે. સામાન્ય રીતે, ODE નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

જ્યાં x એક સ્વતંત્ર ચલ છે, તે ઇચ્છિત કાર્યનું i-th વ્યુત્પન્ન છે. n એ સમીકરણનો ક્રમ છે. nમા ક્રમ ODE ના સામાન્ય ઉકેલમાં n મનસ્વી સ્થિરાંકો છે, એટલે કે. સામાન્ય ઉકેલ ફોર્મ ધરાવે છે.

એક ઉકેલ પસંદ કરવા માટે, વધારાની શરતો સેટ કરવી જરૂરી છે. વધારાની શરતોનો ઉલ્લેખ કરવાની પદ્ધતિના આધારે, બે અલગ અલગ પ્રકારની સમસ્યાઓ છે: કોચી સમસ્યા અને સીમા મૂલ્યની સમસ્યા. જો એક તબક્કે વધારાની શરતોનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે, તો આવી સમસ્યાને કોચી સમસ્યા કહેવામાં આવે છે. કોચી સમસ્યામાં વધારાની પરિસ્થિતિઓને પ્રારંભિક સ્થિતિ કહેવામાં આવે છે. જો વધારાની શરતો એક કરતાં વધુ બિંદુઓ પર નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, એટલે કે. સ્વતંત્ર ચલના વિવિધ મૂલ્યો માટે, પછી આવી સમસ્યાને સીમા મૂલ્યની સમસ્યા કહેવામાં આવે છે. વધારાની પરિસ્થિતિઓને પોતાને સીમા અથવા સીમાની સ્થિતિ કહેવામાં આવે છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે જ્યારે n=1 આપણે ફક્ત કોચી સમસ્યા વિશે વાત કરી શકીએ છીએ.

કોચી સમસ્યાને સેટ કરવાના ઉદાહરણો:

સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓના ઉદાહરણો:

કેટલીક વિશિષ્ટ પ્રકારના સમીકરણો માટે જ આવી સમસ્યાઓને વિશ્લેષણાત્મક રીતે ઉકેલવી શક્ય છે.

ફર્સ્ટ-ઓર્ડર ODEs માટે કોચી સમસ્યાને ઉકેલવા માટેની સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ

સમસ્યાની રચના. પ્રથમ ઓર્ડર ODE માટે ઉકેલ શોધો

પ્રદાન કરેલ સેગમેન્ટ પર

અંદાજિત ઉકેલ શોધતી વખતે, અમે ધારીશું કે ગણતરીઓ ગણતરીના પગલા સાથે હાથ ધરવામાં આવે છે, ગણતરી ગાંઠો અંતરાલ બિંદુઓ છે [ x 0 , x n ].

ધ્યેય એક ટેબલ બનાવવાનું છે

તે ગ્રીડ નોડ્સ પર y ના અંદાજિત મૂલ્યો માંગવામાં આવે છે.

અંતરાલ પર સમીકરણને એકીકૃત કરવાથી, આપણે મેળવીએ છીએ

સંખ્યાત્મક ઉકેલ મેળવવાનો એક સંપૂર્ણપણે કુદરતી (પરંતુ એકમાત્ર નહીં) માર્ગ એ છે કે તેમાં રહેલા ઇન્ટિગ્રલને સંખ્યાત્મક એકીકરણના કેટલાક ચતુર્ભુજ સૂત્ર સાથે બદલવું. જો આપણે પ્રથમ ક્રમના ડાબા લંબચોરસ માટે સૌથી સરળ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ

,

પછી આપણે મેળવીએ છીએ સ્પષ્ટ યુલર સૂત્ર:

ચુકવણી પ્રક્રિયા:

જાણીને, આપણે શોધીએ છીએ, પછી વગેરે.

યુલરની પદ્ધતિનું ભૌમિતિક અર્થઘટન:

જે બિંદુ પર છે તેનો લાભ લેવો x 0 ઉકેલ જાણીતો છે y(x 0)= y 0 અને તેના વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય, આપણે બિંદુ પરના ઇચ્છિત કાર્યના ગ્રાફ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ લખી શકીએ છીએ:. પર્યાપ્ત નાના પગલા સાથે hઆ સ્પર્શકનો ઓર્ડિનેટ, મૂલ્યની જમણી બાજુમાં બદલીને મેળવવામાં આવે છે, તે ઓર્ડિનેટથી થોડો અલગ હોવો જોઈએ y(x 1) ઉકેલો y(x) કોચી સમસ્યાઓ. તેથી, રેખા સાથે સ્પર્શકના આંતરછેદનું બિંદુ x = x 1 ને અંદાજે નવા પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે લઈ શકાય છે. આ બિંદુ દ્વારા આપણે ફરીથી એક સીધી રેખા દોરીએ છીએ, જે બિંદુ પરના સ્પર્શકના વર્તનને લગભગ પ્રતિબિંબિત કરે છે. અહીં અવેજીમાં (એટલે ​​કે રેખા સાથે આંતરછેદ x = x 2), અમે અંદાજિત મૂલ્ય મેળવીએ છીએ y(x) બિંદુ પર x 2: વગેરે. માટે પરિણામે i-મું બિંદુ આપણે યુલરનું સૂત્ર મેળવીએ છીએ.

સ્પષ્ટ યુલર પદ્ધતિમાં પ્રથમ ઓર્ડરની ચોકસાઈ અથવા અંદાજ છે.

જો તમે સાચા લંબચોરસ સૂત્રનો ઉપયોગ કરો છો: , પછી અમે પદ્ધતિ પર આવીએ છીએ

આ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે ગર્ભિત યુલર પદ્ધતિ, કારણ કે જાણીતા મૂલ્યમાંથી અજ્ઞાત મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે એક સમીકરણ ઉકેલવું જરૂરી છે જે સામાન્ય રીતે બિનરેખીય હોય છે.

ગર્ભિત યુલર પદ્ધતિમાં પ્રથમ ક્રમની ચોકસાઈ અથવા અંદાજ છે.

આ પદ્ધતિમાં, ગણતરીમાં બે તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે:

આ યોજનાને આગાહી કરનાર-સુધારક પદ્ધતિ (આગાહી-સુધારણ) પણ કહેવામાં આવે છે. પ્રથમ તબક્કામાં, અંદાજિત મૂલ્યનું અનુમાન નીચી ચોકસાઈ (h) સાથે કરવામાં આવે છે, અને બીજા તબક્કામાં આ અનુમાન સુધારવામાં આવે છે જેથી પરિણામી મૂલ્યમાં બીજા ક્રમની ચોકસાઈ હોય.

રંજ-કુટ્ટા પદ્ધતિઓ:સ્પષ્ટ Runge-Kutta પદ્ધતિઓ બાંધવાનો વિચાર પી-મો ક્રમ એ મૂલ્યોના અંદાજો મેળવવાનો છે y(x i+1) ફોર્મના સૂત્ર અનુસાર

…………………………………………….

અહીં a n , બી એનજે , પી n, – અમુક નિશ્ચિત સંખ્યાઓ (પરિમાણો).

Runge-Kutta પદ્ધતિઓનું નિર્માણ કરતી વખતે, કાર્યના પરિમાણો ( a n , બી એનજે , પી n) ની પસંદગી એવી રીતે કરવામાં આવે છે કે જેથી કરીને અંદાજનો ઇચ્છિત ક્રમ મળે.

ચોથા ક્રમની ચોકસાઈની Runge-Kutta યોજના:

ઉદાહરણ. કોચી સમસ્યા હલ કરો:

ત્રણ પદ્ધતિઓનો વિચાર કરો: સ્પષ્ટ યુલર પદ્ધતિ, સંશોધિત યુલર પદ્ધતિ, રંજ-કુટ્ટા પદ્ધતિ.

ચોક્કસ ઉકેલ:

આ ઉદાહરણ માટે સ્પષ્ટ યુલર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીના સૂત્રો:

સંશોધિત યુલર પદ્ધતિના ગણતરીના સૂત્રો:

Runge-Kutta પદ્ધતિ માટે ગણતરીના સૂત્રો:

y1 – યુલરની પદ્ધતિ, y2 – સંશોધિત યુલરની પદ્ધતિ, y3 – રૂંજ કુટ્ટાની પદ્ધતિ.

તે જોઈ શકાય છે કે સૌથી સચોટ Runge-Kutta પદ્ધતિ છે.

ફર્સ્ટ-ઓર્ડર ODE ની સિસ્ટમ્સને ઉકેલવા માટેની સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ

ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ પ્રથમ-ક્રમના વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે પણ થઈ શકે છે.

ચાલો બે પ્રથમ ક્રમના સમીકરણોની સિસ્ટમના કિસ્સામાં આ બતાવીએ:

સ્પષ્ટ યુલર પદ્ધતિ:

સંશોધિત યુલર પદ્ધતિ:

ચોકસાઈના ચોથા ક્રમની Runge-Kutta યોજના:

ઉચ્ચ ક્રમના સમીકરણો માટેની કોચી સમસ્યાઓ પણ ODE સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે ઓછી થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ધ્યાનમાં લો બીજા ક્રમના સમીકરણ માટે કોચી સમસ્યા

ચાલો બીજું અજાણ્યું ફંક્શન રજૂ કરીએ. પછી કોચી સમસ્યાને નીચેના દ્વારા બદલવામાં આવે છે:

તે. અગાઉની સમસ્યાના સંદર્ભમાં: .

ઉદાહરણ. કોચી સમસ્યાનો ઉકેલ શોધો:

સેગમેન્ટ પર.

ચોક્કસ ઉકેલ:

ખરેખર:

ચાલો, Euler અને Runge-Kutta પદ્ધતિ દ્વારા એક સ્ટેપ h=0.2 સાથે સંશોધિત, સ્પષ્ટ યુલર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાને હલ કરીએ.

ચાલો ફંક્શનનો પરિચય આપીએ.

પછી અમે બે પ્રથમ-ક્રમ ODE ની સિસ્ટમ માટે નીચેની કોચી સમસ્યા મેળવીએ છીએ:

સ્પષ્ટ યુલર પદ્ધતિ:

સંશોધિત યુલર પદ્ધતિ:

રંજ-કુટ્ટા પદ્ધતિ:

યુલર સર્કિટ:

સંશોધિત યુલર પદ્ધતિ:

રંજ - કુટ્ટા યોજના:

મહત્તમ(y-y થીયરી)=4*10 -5

ODE માટે સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે મર્યાદિત તફાવત પદ્ધતિ

સમસ્યાની રચના: રેખીય વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ શોધો

સીમાની શરતો સંતોષવી:. (2)

પ્રમેય.દો . ત્યારે સમસ્યાનો અનોખો ઉકેલ છે.

આ સમસ્યા, ઉદાહરણ તરીકે, તેના છેડા પર હિન્જ્ડ હોય તેવા બીમના વિચલનોને નિર્ધારિત કરવાની સમસ્યાને ઘટાડે છે.

મર્યાદિત તફાવત પદ્ધતિના મુખ્ય તબક્કાઓ:

1) દલીલના સતત પરિવર્તનનું ક્ષેત્રફળ () નોડ્સ તરીકે ઓળખાતા પોઈન્ટના એક અલગ સેટ દ્વારા બદલવામાં આવે છે: .

2) સતત દલીલ x નું ઇચ્છિત કાર્ય લગભગ આપેલ ગ્રીડ પર અલગ દલીલના કાર્ય દ્વારા બદલવામાં આવે છે, એટલે કે. . ફંક્શનને ગ્રીડ ફંક્શન કહેવામાં આવે છે.

3) મૂળ વિભેદક સમીકરણને ગ્રીડ કાર્યના સંદર્ભમાં તફાવત સમીકરણ દ્વારા બદલવામાં આવે છે. આ રિપ્લેસમેન્ટને ડિફરન્સ એપ્રોક્સિમેશન કહેવામાં આવે છે.

આમ, વિભેદક સમીકરણ ઉકેલવાથી ગ્રીડ ગાંઠો પર ગ્રીડ કાર્યના મૂલ્યો શોધવામાં આવે છે, જે બીજગણિત સમીકરણોને ઉકેલવાથી મળે છે.

ડેરિવેટિવ્ઝનો અંદાજ.

પ્રથમ ડેરિવેટિવને અંદાજિત (બદલો) કરવા માટે, તમે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

- યોગ્ય તફાવત વ્યુત્પન્ન,

- ડાબી તફાવત વ્યુત્પન્ન,

કેન્દ્રીય તફાવત વ્યુત્પન્ન.

એટલે કે, વ્યુત્પન્નનો અંદાજ કાઢવાની ઘણી સંભવિત રીતો છે.

આ બધી વ્યાખ્યાઓ મર્યાદા તરીકે વ્યુત્પન્નની વિભાવનાને અનુસરે છે: .

પ્રથમ ડેરિવેટિવના તફાવતના અંદાજના આધારે, અમે બીજા ડેરિવેટિવના તફાવતના અંદાજને બનાવી શકીએ છીએ:

તેવી જ રીતે, અમે ઉચ્ચ ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝના અંદાજો મેળવી શકીએ છીએ.

વ્યાખ્યા. nth વ્યુત્પન્નની અંદાજિત ભૂલ એ તફાવત છે: .

અંદાજનો ક્રમ નક્કી કરવા માટે, ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણનો ઉપયોગ થાય છે.

ચાલો પ્રથમ વ્યુત્પન્નના જમણા હાથના તફાવતને ધ્યાનમાં લઈએ:

તે. વ્યુત્પન્નમાં યોગ્ય તફાવત છે પ્રથમ h દ્વારાઅંદાજનો ક્રમ.

લેફ્ટ ડિફરન્સ ડેરિવેટિવ માટે પણ આવું જ છે.

કેન્દ્રીય તફાવત વ્યુત્પન્ન છે બીજા ઓર્ડર અંદાજ.

સૂત્ર (3) અનુસાર બીજા વ્યુત્પન્નના અંદાજમાં પણ અંદાજનો બીજો ક્રમ છે.

વિભેદક સમીકરણને અંદાજિત કરવા માટે, તેના તમામ ડેરિવેટિવ્સને તેમના અંદાજો સાથે બદલવું જરૂરી છે. ચાલો સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ (1), (2) અને ડેરિવેટિવ્સને (1) માં બદલો:

પરિણામે આપણને મળે છે:

(4)

મૂળ સમસ્યાના અંદાજનો ક્રમ 2 છે, કારણ કે બીજા અને પ્રથમ ડેરિવેટિવ્સને ઓર્ડર 2 સાથે બદલવામાં આવે છે, અને બાકીના - બરાબર.

તેથી, વિભેદક સમીકરણો (1), (2) ને બદલે, ગ્રીડ ગાંઠો પર નિર્ધારણ માટે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવવામાં આવે છે.

આકૃતિને આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે:

એટલે કે, અમને મેટ્રિક્સ સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ મળી છે:

આ મેટ્રિક્સ ત્રિકર્ણ છે, એટલે કે. બધા તત્વો કે જે મુખ્ય કર્ણ પર સ્થિત નથી અને તેની બાજુમાં આવેલા બે કર્ણ શૂન્ય સમાન છે.

સમીકરણોની પરિણામી સિસ્ટમને હલ કરીને, આપણે મૂળ સમસ્યાનો ઉકેલ મેળવીએ છીએ.