જો સાઈન જાણીતી હોય તો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેવી રીતે શોધવું. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ

જો સમસ્યા ત્રિકોણની બે બાજુઓની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેનો કોણ આપે છે, તો તમે સાઈન દ્વારા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટે સૂત્ર લાગુ કરી શકો છો.

સાઈનનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાનું ઉદાહરણ. આપેલ બાજુઓ a = 3, b = 4, અને કોણ γ = 30° છે. 30°ના ખૂણાની સાઈન 0.5 છે

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ 3 ચોરસ મીટર હશે. સેમી

ક્ષેત્રફળ અપૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરેલ બાજુના અડધા ચોરસ જેટલું હશે. તેનો અંશ એ અડીને આવેલા ખૂણાઓની સાઈનનો ગુણાંક છે, અને તેનો છેદ વિરોધી કોણની સાઈન છે. હવે આપણે નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તારની ગણતરી કરીએ છીએ:

ઉદાહરણ તરીકે, બાજુ a=3 અને ખૂણા γ=60°, β=60° સાથેનો ત્રિકોણ આપેલ છે. ત્રીજા કોણની ગણતરી કરો:
ફોર્મ્યુલામાં ડેટાને બદલીને
આપણે જોયું કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ 3.87 ચોરસ મીટર છે. સેમી

II. કોસાઇન દ્વારા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, તમારે બધી બાજુઓની લંબાઈ જાણવાની જરૂર છે. કોસાઇન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, તમે અજાણી બાજુઓ શોધી શકો છો, અને માત્ર ત્યારે જ તેનો ઉપયોગ કરો.
કોસાઇન પ્રમેય મુજબ, ત્રિકોણની અજાણી બાજુનો ચોરસ બાકીની બાજુઓના ચોરસના સરવાળા સમાન છે અને આ બાજુઓના ગુણાંકના બમણા ઓછા અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઇન.

પ્રમેયમાંથી આપણે અજાણી બાજુની લંબાઈ શોધવા માટેના સૂત્રો મેળવીએ છીએ:

ખૂટતી બાજુ કેવી રીતે શોધવી તે જાણીને, બે બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો, તમે સરળતાથી વિસ્તારની ગણતરી કરી શકો છો. કોસાઇન દ્વારા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર ઝડપથી અને સરળતાથી વિવિધ સમસ્યાઓના ઉકેલો શોધવામાં મદદ કરે છે.

કોસાઇનનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટે સૂત્રની ગણતરી કરવાનું ઉદાહરણ
જાણીતી બાજુઓ a = 3, b = 4, અને કોણ γ = 45° સાથે ત્રિકોણ આપેલ છે. પ્રથમ, ચાલો ખૂટતી બાજુ શોધીએ સાથે. કોસાઇન 45°=0.7. આ કરવા માટે, અમે કોસાઇન પ્રમેયમાંથી મેળવેલા સમીકરણમાં ડેટાને બદલીએ છીએ.
હવે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શોધીએ છીએ

ત્રિકોણ વિસ્તાર પ્રમેય

પ્રમેય 1

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બે બાજુઓના અડધા ગુણાંક અને આ બાજુઓ વચ્ચેના ખૂણાના સાઈન જેટલું છે.

પુરાવો.

ચાલો આપણે એક મનસ્વી ત્રિકોણ $ABC$ આપીએ. ચાલો આ ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈને $BC=a$, $AC=b$ તરીકે દર્શાવીએ. ચાલો આપણે એક કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ રજૂ કરીએ, જેથી તે બિંદુ $C=(0,0)$, બિંદુ $B$ જમણા અર્ધ-અક્ષ પર સ્થિત છે $Ox$, અને બિંદુ $A$ પ્રથમ સંકલન ચતુર્થાંશમાં આવેલું છે. ચાલો બિંદુ $A$ (ફિગ. 1) થી $h$ ઊંચાઈ દોરીએ.

આકૃતિ 1. પ્રમેય 1 નું ચિત્ર

તેથી ઊંચાઈ $h$ બિંદુ $A$ ના ઓર્ડિનેટ જેટલી છે

સાઇન્સનું પ્રમેય

પ્રમેય 2

ત્રિકોણની બાજુઓ વિરોધી ખૂણાઓની સાઈન્સના પ્રમાણસર હોય છે.

પુરાવો.

ચાલો આપણે એક મનસ્વી ત્રિકોણ $ABC$ આપીએ. ચાલો આ ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈને $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (ફિગ. 2) તરીકે દર્શાવીએ.

આકૃતિ 2.

ચાલો તે સાબિત કરીએ

પ્રમેય 1 દ્વારા, અમારી પાસે છે

તેમને જોડીમાં સરખાવીને, આપણને તે મળે છે

કોસાઇન પ્રમેય

પ્રમેય 3

ત્રિકોણની એક બાજુનો વર્ગ આ બાજુઓ વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઈન દ્વારા આ બાજુઓના ગુણાંકના બમણા વિના ત્રિકોણની બીજી બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો છે.

પુરાવો.

ચાલો આપણે એક મનસ્વી ત્રિકોણ $ABC$ આપીએ. ચાલો તેની બાજુઓની લંબાઈને $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$ તરીકે દર્શાવીએ. ચાલો કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ રજૂ કરીએ, જેથી તે બિંદુ $A=(0,0)$, બિંદુ $B$ હકારાત્મક અર્ધ-અક્ષ $Ox$ પર આવેલું છે, અને બિંદુ $C$ પ્રથમ સંકલન ચતુર્થાંશ (ફિગ. 3).

આકૃતિ 3.

ચાલો તે સાબિત કરીએ

આ સંકલન પ્રણાલીમાં, અમે તે મેળવીએ છીએ

બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $BC$ બાજુની લંબાઈ શોધો

આ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાનું ઉદાહરણ

ઉદાહરણ 1

સાબિત કરો કે મનસ્વી ત્રિકોણનો પરિઘ વર્તુળ વ્યાસ એ ત્રિકોણની કોઈપણ બાજુના ગુણોત્તર અને તે બાજુની વિરુદ્ધ કોણની સાઈન સમાન છે.

ઉકેલ.

ચાલો આપણે એક મનસ્વી ત્રિકોણ $ABC$ આપીએ. $R$ એ ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે. ચાલો વ્યાસ દોરીએ $BD$ (ફિગ. 4).

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ તેની બાજુઓના અડધા ગુણાંક અને તેમની વચ્ચેના કોણની સાઈન જેટલું છે.

પુરાવો:

મનસ્વી ત્રિકોણ ABC ને ધ્યાનમાં લો. બાજુ BC = a, બાજુ CA = b અને S આ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ગણો. તે સાબિત કરવું જરૂરી છે S = (1/2)*a*b*sin(C).

શરૂ કરવા માટે, ચાલો એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ દાખલ કરીએ અને કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ બિંદુ C પર મૂકીએ. ચાલો આપણી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમને એવી રીતે સ્થિત કરીએ કે બિંદુ B Cx અક્ષની સકારાત્મક દિશા પર આવેલું છે, અને બિંદુ A પાસે હકારાત્મક ઓર્ડિનેટ છે.

જો બધું યોગ્ય રીતે કરવામાં આવ્યું હોય, તો તમારે નીચેનું ચિત્ર મેળવવું જોઈએ.

આપેલ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે: S = (1/2)*a*h, જ્યાં h ત્રિકોણની ઊંચાઈ છે. અમારા કિસ્સામાં, ત્રિકોણ h ની ઊંચાઈ બિંદુ A ના ઓર્ડિનેટ જેટલી છે, એટલે કે, h = b*sin(C).

પ્રાપ્ત પરિણામોને ધ્યાનમાં લેતા, ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

સમસ્યા ઉકેલવાની

કાર્ય 1. ABC ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો, જો a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, કોણ A = 60 ડિગ્રી b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, ખૂણો B = 45 ડિગ્રી c ) AC = 14 સેમી, CB = 7 સેમી, કોણ C = 48 ડિગ્રી.

ઉપર સાબિત થયેલ પ્રમેય મુજબ, ત્રિકોણ ABC નો વિસ્તાર S બરાબર છે:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

ચાલો ગણતરીઓ કરીએ:

a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.

c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.

આપણે કેલ્ક્યુલેટર પર કોણની સાઈનના મૂલ્યની ગણતરી કરીએ છીએ અથવા મૂલ્યોના કોષ્ટકમાંથી મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ ત્રિકોણમિતિ કોણ. જવાબ:

a) 12*√6 cm^2.

c) લગભગ 36.41 cm^2.

સમસ્યા 2. ત્રિકોણ ABC નો વિસ્તાર 60 cm^2 છે. બાજુ AB શોધો જો AC = 15 cm, કોણ A = 30˚.

ચાલો S ને ત્રિકોણ ABC નો વિસ્તાર ગણીએ. ત્રિકોણના ક્ષેત્ર પરના પ્રમેય દ્વારા આપણી પાસે છે:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

ચાલો આપણે તેમાં રહેલા મૂલ્યોને બદલીએ:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

અહીંથી આપણે બાજુ AB ની લંબાઈ વ્યક્ત કરીએ છીએ: AB = (60*4)/15 = 16.

સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, આ એક ખાસ રેસીપી અનુસાર પાણીમાં રાંધેલા શાકભાજી છે. હું બે પ્રારંભિક ઘટકો (વનસ્પતિ કચુંબર અને પાણી) અને સમાપ્ત પરિણામ - બોર્શટને ધ્યાનમાં લઈશ. ભૌમિતિક રીતે, તે એક લંબચોરસ તરીકે વિચારી શકાય છે, જેમાં એક બાજુ લેટીસનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને બીજી બાજુ પાણીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ બે બાજુઓનો સરવાળો બોર્શટ સૂચવશે. આવા "બોર્શટ" લંબચોરસના વિકર્ણ અને ક્ષેત્રફળ સંપૂર્ણપણે ગાણિતિક ખ્યાલો છે અને તેનો ઉપયોગ ક્યારેય બોર્શટ રેસિપીમાં થતો નથી.

તમને ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકોમાં રેખીય કોણીય કાર્યો વિશે કંઈપણ મળશે નહીં. પરંતુ તેમના વિના કોઈ ગણિત હોઈ શકે નહીં. ગણિતના નિયમો, પ્રકૃતિના નિયમોની જેમ, આપણે તેમના અસ્તિત્વ વિશે જાણીએ છીએ કે નહીં તે ધ્યાનમાં લીધા વિના કાર્ય કરે છે.

રેખીય કોણીય કાર્યો એ વધારાના નિયમો છે.બીજગણિત ભૂમિતિમાં અને ભૂમિતિ ત્રિકોણમિતિમાં કેવી રીતે ફેરવાય છે તે જુઓ.

શું રેખીય કોણીય કાર્યો વિના કરવું શક્ય છે? તે શક્ય છે, કારણ કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ હજી પણ તેમના વિના સંચાલન કરે છે. ગણિતશાસ્ત્રીઓની યુક્તિ એ છે કે તેઓ હંમેશા અમને ફક્ત તે સમસ્યાઓ વિશે જ કહે છે જે તેઓ પોતે કેવી રીતે હલ કરવી તે જાણે છે, અને તે સમસ્યાઓ વિશે ક્યારેય વાત નથી કરતા જે તેઓ હલ કરી શકતા નથી. જુઓ. જો આપણે સરવાળો અને એક પદનું પરિણામ જાણીએ, તો આપણે બીજા પદને શોધવા માટે બાદબાકીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. બધા. અમે અન્ય સમસ્યાઓ જાણતા નથી અને અમે તેમને કેવી રીતે હલ કરવી તે જાણતા નથી. જો આપણે ફક્ત ઉમેરણનું પરિણામ જાણીએ અને બંને શબ્દો જાણતા ન હોઈએ તો આપણે શું કરવું જોઈએ? આ કિસ્સામાં, ઉમેરાનું પરિણામ રેખીય કોણીય કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને બે શબ્દોમાં વિઘટન કરવું આવશ્યક છે. આગળ, આપણે પોતે એક પદ શું હોઈ શકે તે પસંદ કરીએ છીએ, અને રેખીય કોણીય કાર્યો દર્શાવે છે કે બીજો શબ્દ શું હોવો જોઈએ જેથી ઉમેરાનું પરિણામ આપણને જોઈએ તે બરાબર છે. આવા પદોની જોડીની અસંખ્ય સંખ્યા હોઈ શકે છે. IN રોજિંદુ જીવનસરવાળાને વિઘટિત કર્યા વિના આપણે બરાબર કરી શકીએ છીએ; બાદબાકી આપણા માટે પૂરતી છે. પરંતુ પ્રકૃતિના નિયમોના વૈજ્ઞાનિક સંશોધનમાં, તેના ઘટકોમાં રકમનું વિઘટન કરવું ખૂબ ઉપયોગી થઈ શકે છે.

ઉમેરાનો બીજો નિયમ કે જે ગણિતશાસ્ત્રીઓ વિશે વાત કરવાનું પસંદ નથી કરતા (તેમની બીજી યુક્તિઓ) એ જરૂરી છે કે શરતોમાં માપનનાં સમાન એકમો હોય. કચુંબર, પાણી અને બોર્શટ માટે, આ વજન, વોલ્યુમ, મૂલ્ય અથવા માપના એકમ હોઈ શકે છે.

આકૃતિ ગાણિતિક માટે બે સ્તરના તફાવત દર્શાવે છે. પ્રથમ સ્તર એ સંખ્યાઓના ક્ષેત્રમાં તફાવત છે, જે દર્શાવેલ છે a, b, c. આ ગણિતશાસ્ત્રીઓ કરે છે. બીજું સ્તર એ માપનના એકમોના ક્ષેત્રમાં તફાવત છે, જે ચોરસ કૌંસમાં બતાવવામાં આવે છે અને અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. યુ. આ ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ કરે છે. આપણે ત્રીજા સ્તરને સમજી શકીએ છીએ - જે વસ્તુઓનું વર્ણન કરવામાં આવી રહ્યું છે તેના ક્ષેત્રમાં તફાવત. અલગ-અલગ ઑબ્જેક્ટમાં માપનના સમાન એકમોની સમાન સંખ્યા હોઈ શકે છે. આ કેટલું મહત્વનું છે, આપણે બોર્શટ ત્રિકોણમિતિના ઉદાહરણમાં જોઈ શકીએ છીએ. જો આપણે અલગ-અલગ ઑબ્જેક્ટ માટે સમાન એકમ હોદ્દો પર સબસ્ક્રિપ્ટ ઉમેરીએ, તો આપણે ચોક્કસ ઑબ્જેક્ટનું ગાણિતિક જથ્થાનું શું વર્ણન કરે છે અને તે સમય સાથે અથવા અમારી ક્રિયાઓને કારણે કેવી રીતે બદલાય છે તે બરાબર કહી શકીએ છીએ. પત્ર ડબલ્યુહું એક પત્ર સાથે પાણી નિયુક્ત કરીશ એસહું એક પત્ર સાથે કચુંબર નિયુક્ત કરીશ બી- બોર્શ. બોર્શટ માટે રેખીય કોણીય કાર્યો આના જેવા દેખાશે.

જો આપણે પાણીનો થોડો ભાગ અને સલાડનો થોડો ભાગ લઈએ, તો તે એકસાથે બોર્શટના એક ભાગમાં ફેરવાઈ જશે. અહીં હું તમને બોર્શટમાંથી થોડો વિરામ લેવાનું સૂચન કરું છું અને તમારા દૂરના બાળપણને યાદ કરું છું. યાદ રાખો કે કેવી રીતે અમને બન્ની અને બતકને સાથે રાખવાનું શીખવવામાં આવ્યું હતું? કેટલા પ્રાણીઓ હશે તે શોધવું જરૂરી હતું. ત્યારે આપણને શું કરવાનું શીખવવામાં આવ્યું? અમને સંખ્યાઓમાંથી માપનના એકમોને અલગ કરવા અને સંખ્યાઓ ઉમેરવાનું શીખવવામાં આવ્યું હતું. હા, કોઈપણ એક નંબર અન્ય કોઈપણ નંબરમાં ઉમેરી શકાય છે. આ આધુનિક ગણિતના ઓટીઝમનો સીધો માર્ગ છે - અમે તે અગમ્ય રીતે કરીએ છીએ, અગમ્ય રીતે શા માટે, અને ખૂબ જ નબળી રીતે સમજીએ છીએ કે આ વાસ્તવિકતા સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે, ત્રણ સ્તરના તફાવતને કારણે, ગણિતશાસ્ત્રીઓ ફક્ત એક સાથે કાર્ય કરે છે. માપના એક એકમમાંથી બીજા એકમમાં કેવી રીતે ખસેડવું તે શીખવું વધુ યોગ્ય રહેશે.

બન્ની, બતક અને નાના પ્રાણીઓને ટુકડાઓમાં ગણી શકાય. વિવિધ પદાર્થો માટે માપનનું એક સામાન્ય એકમ આપણને તેમને એકસાથે ઉમેરવાની મંજૂરી આપે છે. આ સમસ્યાનું બાળકોનું સંસ્કરણ છે. ચાલો પુખ્ત વયના લોકો માટે સમાન સમસ્યા જોઈએ. જ્યારે તમે સસલાં અને પૈસા ઉમેરો છો ત્યારે તમને શું મળે છે? અહીં બે સંભવિત ઉકેલો છે.

પ્રથમ વિકલ્પ. અમે સસલાની બજાર કિંમત નક્કી કરીએ છીએ અને તેને ઉપલબ્ધ રકમમાં ઉમેરીએ છીએ. અમને નાણાકીય દ્રષ્ટિએ અમારી સંપત્તિનું કુલ મૂલ્ય મળ્યું.

બીજો વિકલ્પ. અમારી પાસે જેટલી બૅન્કનોટ છે તેમાં તમે બન્નીની સંખ્યા ઉમેરી શકો છો. અમે જંગમ મિલકતની રકમ ટુકડાઓમાં મેળવીશું.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, સમાન વધારાનો કાયદો તમને વિવિધ પરિણામો મેળવવાની મંજૂરી આપે છે. તે બધું આપણે બરાબર શું જાણવા માંગીએ છીએ તેના પર નિર્ભર છે.

પરંતુ ચાલો આપણા બોર્શટ પર પાછા આવીએ. હવે આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ક્યારે શું થશે વિવિધ અર્થોરેખીય કોણીય કાર્યોનો કોણ.

કોણ શૂન્ય છે. અમારી પાસે સલાડ છે, પણ પાણી નથી. અમે બોર્શટ રસોઇ કરી શકતા નથી. બોર્શટની માત્રા પણ શૂન્ય છે. આનો અર્થ એ નથી કે શૂન્ય બોર્શટ શૂન્ય પાણી સમાન છે. શૂન્ય કચુંબર (જમણો કોણ) સાથે શૂન્ય બોર્શટ હોઈ શકે છે.

મારા માટે વ્યક્તિગત રીતે, આ હકીકતનો મુખ્ય ગાણિતિક પુરાવો છે કે . જ્યારે ઉમેરવામાં આવે ત્યારે શૂન્ય નંબર બદલાતો નથી. આવું થાય છે કારણ કે જો માત્ર એક ટર્મ હોય અને બીજી ટર્મ ગુમ હોય તો ઉમેરવું પોતે જ અશક્ય છે. તમે આ વિશે તમને ગમે તે રીતે અનુભવી શકો છો, પરંતુ યાદ રાખો - શૂન્ય સાથેની તમામ ગાણિતિક ક્રિયાઓની શોધ ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા કરવામાં આવી હતી, તેથી તમારા તર્કને ફેંકી દો અને ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા શોધાયેલી વ્યાખ્યાઓને મૂર્ખતાપૂર્વક ખેંચો: "શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર અશક્ય છે", "કોઈપણ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર શૂન્ય બરાબર શૂન્ય” , “બિયોન્ડ ધ પંચર પોઈન્ટ શૂન્ય” અને અન્ય નોનસેન્સ. એકવાર યાદ રાખવું પૂરતું છે કે શૂન્ય એ સંખ્યા નથી, અને તમને ફરીથી ક્યારેય પ્રશ્ન થશે નહીં કે શૂન્ય એ કુદરતી સંખ્યા છે કે નહીં, કારણ કે આવા પ્રશ્નનો તમામ અર્થ ગુમાવે છે: જે કોઈ સંખ્યા નથી તેને સંખ્યા કેવી રીતે ગણી શકાય? ? અદ્રશ્ય રંગને કયો રંગ તરીકે વર્ગીકૃત કરવો જોઈએ તે પૂછવા જેવું છે. નંબરમાં શૂન્ય ઉમેરવા એ ત્યાં ન હોય તેવા પેઇન્ટ સાથે પેઇન્ટિંગ કરવા સમાન છે. અમે ડ્રાય બ્રશ લહેરાવ્યું અને દરેકને કહ્યું કે "અમે પેઇન્ટ કર્યું છે." પણ હું થોડો વિષયાંતર કરું છું.

કોર્નર શૂન્યથી ઉપર, પરંતુ ચાલીસ-પાંચ ડિગ્રી કરતાં ઓછું. અમારી પાસે લેટીસ ઘણો છે, પરંતુ પૂરતું પાણી નથી. પરિણામે, અમને જાડા બોર્શટ મળશે.

કોણ પિસ્તાલીસ ડિગ્રી છે. અમારી પાસે સમાન પ્રમાણમાં પાણી અને સલાડ છે. આ સંપૂર્ણ બોર્શટ છે (મને માફ કરો, શેફ, તે માત્ર ગણિત છે).

ખૂણો પિસ્તાળીસ અંશ કરતાં મોટો છે, પણ નેવું ડિગ્રી કરતાં ઓછો છે. અમારી પાસે ઘણું પાણી અને થોડું સલાડ છે. તમને પ્રવાહી બોર્શટ મળશે.

જમણો ખૂણો. અમારી પાસે પાણી છે. કચુંબરની બાકી રહેલી બધી યાદો છે, કારણ કે આપણે એક વખત સલાડને ચિહ્નિત કરતી લીટીમાંથી કોણ માપવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ. અમે બોર્શટ રસોઇ કરી શકતા નથી. બોર્શટની માત્રા શૂન્ય છે. આ કિસ્સામાં, જ્યારે તમારી પાસે હોય ત્યારે પાણીને પકડી રાખો અને પીવો)))

અહીં. થોડું આના જેવું. હું અહીં અન્ય વાર્તાઓ કહી શકું છું જે અહીં યોગ્ય કરતાં વધુ હશે.

બે મિત્રો એક કોમન બિઝનેસમાં તેમના શેર હતા. તેમાંથી એકની હત્યા કર્યા પછી, બધું બીજાને ગયું.

આપણા ગ્રહ પર ગણિતનો ઉદભવ.

આ બધી વાર્તાઓ રેખીય કોણીય કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને ગણિતની ભાષામાં કહેવામાં આવે છે. બીજી કોઈ વાર હું તમને ગણિતની રચનામાં આ કાર્યોનું વાસ્તવિક સ્થાન બતાવીશ. આ દરમિયાન, ચાલો બોર્શટ ત્રિકોણમિતિ પર પાછા જઈએ અને અનુમાનોને ધ્યાનમાં લઈએ.

શનિવાર, ઓક્ટોબર 26, 2019

મેં વિશે એક રસપ્રદ વિડિઓ જોયો ગ્રન્ડી શ્રેણી એક ઓછા એક વત્તા એક ઓછા એક - નંબરફાઈલ. ગણિતશાસ્ત્રીઓ જૂઠું બોલે છે. તેઓએ તેમના તર્ક દરમિયાન સમાનતા તપાસ કરી ન હતી.

આ વિશે મારા વિચારોનો પડઘો પાડે છે.

ચાલો ગણિતશાસ્ત્રીઓ આપણને છેતરતા હોય તેવા સંકેતો પર નજીકથી નજર કરીએ. દલીલની શરૂઆતમાં, ગણિતશાસ્ત્રીઓ કહે છે કે ક્રમનો સરવાળો તેના પર આધાર રાખે છે કે તેની પાસે તત્વોની સંખ્યા છે કે નહીં. આ એક ઉદ્દેશ્યપૂર્વક સ્થાપિત હકીકત છે. આગળ શું થશે?

આગળ, ગણિતશાસ્ત્રીઓ એકતામાંથી ક્રમ બાદ કરે છે. આ શું તરફ દોરી જાય છે? આ ક્રમના ઘટકોની સંખ્યામાં ફેરફાર તરફ દોરી જાય છે - એક સમાન સંખ્યા એક બેકી સંખ્યામાં બદલાય છે, એક વિષમ સંખ્યા એક સમાન સંખ્યામાં બદલાય છે. છેવટે, અમે ક્રમમાં એક સમાન એક તત્વ ઉમેર્યું. તમામ બાહ્ય સમાનતા હોવા છતાં, રૂપાંતર પહેલાનો ક્રમ રૂપાંતર પછીના ક્રમ જેટલો નથી. જો આપણે અનંત ક્રમ વિશે વાત કરી રહ્યા હોય, તો પણ આપણે યાદ રાખવું જોઈએ કે તત્વોની એકી સંખ્યા સાથેનો અનંત ક્રમ એ તત્વોની બેકી સંખ્યા સાથેના અનંત ક્રમની બરાબર નથી.

તત્વોની વિવિધ સંખ્યાઓ સાથે બે ક્રમ વચ્ચે સમાન ચિહ્ન મૂકીને, ગણિતશાસ્ત્રીઓ દાવો કરે છે કે ક્રમનો સરવાળો ક્રમમાં ઘટકોની સંખ્યા પર આધાર રાખતો નથી, જે ઉદ્દેશ્યપૂર્વક સ્થાપિત હકીકતનો વિરોધાભાસ કરે છે. અનંત ક્રમના સરવાળા વિશે વધુ તર્ક ખોટા છે, કારણ કે તે ખોટી સમાનતા પર આધારિત છે.

જો તમે જોશો કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ, પુરાવાઓ દરમિયાન, કૌંસ મૂકે છે, ગાણિતિક અભિવ્યક્તિના ઘટકોને ફરીથી ગોઠવે છે, કંઈક ઉમેરે છે અથવા દૂર કરે છે, તો ખૂબ કાળજી રાખો, મોટે ભાગે તેઓ તમને છેતરવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યા છે. કાર્ડના જાદુગરોની જેમ, ગણિતશાસ્ત્રીઓ તમારું ધ્યાન વિચલિત કરવા માટે અભિવ્યક્તિઓ સાથે વિવિધ મેનિપ્યુલેશન્સનો ઉપયોગ કરે છે જેથી આખરે તમને લપસી શકાય. ખોટું પરિણામ. જો તમે છેતરપિંડીનું રહસ્ય જાણ્યા વિના કાર્ડની યુક્તિને પુનરાવર્તિત કરી શકતા નથી, તો ગણિતમાં બધું ખૂબ સરળ છે: તમને છેતરપિંડી વિશે કંઈપણ શંકા પણ નથી, પરંતુ ગાણિતિક અભિવ્યક્તિ સાથે તમામ મેનીપ્યુલેશન્સને પુનરાવર્તિત કરવાથી તમે અન્ય લોકોને તેની સાચીતા વિશે ખાતરી આપી શકો છો. પરિણામ પ્રાપ્ત થયું, જેમ કે જ્યારે -તેઓએ તમને ખાતરી આપી.

પ્રેક્ષકો તરફથી પ્રશ્ન: શું અનંત (S ક્રમમાં તત્વોની સંખ્યા તરીકે) સમ કે વિષમ છે? જે વસ્તુમાં કોઈ સમાનતા નથી તેની સમાનતાને તમે કેવી રીતે બદલી શકો છો?

અનંતતા ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે છે, જેમ કે સ્વર્ગનું સામ્રાજ્ય પાદરીઓ માટે છે - ત્યાં ક્યારેય કોઈ આવ્યું નથી, પરંતુ દરેક જણ જાણે છે કે ત્યાં બધું કેવી રીતે કાર્ય કરે છે))) હું સંમત છું, મૃત્યુ પછી તમે એકદમ ઉદાસીન રહેશો કે તમે એક સમાન અથવા બેકી સંખ્યામાં જીવ્યા છો. દિવસોનો, પરંતુ... તમારા જીવનની શરૂઆતમાં માત્ર એક દિવસ ઉમેરવાથી, અમને એક સંપૂર્ણપણે અલગ વ્યક્તિ મળશે: તેનું છેલ્લું નામ, પ્રથમ નામ અને આશ્રયદાતા બરાબર સમાન છે, ફક્ત જન્મ તારીખ સંપૂર્ણપણે અલગ છે - તે હતો તમારા એક દિવસ પહેલા જન્મ.

ચાલો હવે મુદ્દા પર જઈએ))) ચાલો કહીએ કે એક મર્યાદિત ક્રમ કે જેમાં સમાનતા હોય છે તે અનંતમાં જતા સમયે આ સમાનતાને ગુમાવે છે. પછી અનંત ક્રમના કોઈપણ મર્યાદિત સેગમેન્ટે સમાનતા ગુમાવવી જોઈએ. અમે આ જોતા નથી. હકીકત એ છે કે આપણે ખાતરીપૂર્વક કહી શકતા નથી કે અનંત ક્રમમાં ઘટકોની સમ અથવા વિષમ સંખ્યા છે કે કેમ તેનો અર્થ એ નથી કે સમાનતા અદૃશ્ય થઈ ગઈ છે. પેરિટી, જો તે અસ્તિત્વમાં છે, તો શાર્પીની સ્લીવની જેમ, અનંતતાના નિશાન વિના અદૃશ્ય થઈ શકતી નથી. આ કેસ માટે ખૂબ જ સારી સામ્યતા છે.

ઘડિયાળમાં બેઠેલી કોયલને તમે ક્યારેય પૂછ્યું છે કે ઘડિયાળનો હાથ કઈ દિશામાં ફરે છે? તેના માટે, તીર વિરુદ્ધ દિશામાં ફરે છે જેને આપણે "ઘડિયાળની દિશામાં" કહીએ છીએ. તે ગમે તેટલું વિરોધાભાસી લાગે, પરિભ્રમણની દિશા ફક્ત તેના પર આધાર રાખે છે કે આપણે કઈ બાજુથી પરિભ્રમણનું અવલોકન કરીએ છીએ. અને તેથી, આપણી પાસે એક ચક્ર છે જે ફરે છે. આપણે કહી શકતા નથી કે પરિભ્રમણ કઈ દિશામાં થાય છે, કારણ કે આપણે તેને પરિભ્રમણના પ્લેનની એક બાજુથી અને બીજી બાજુથી જોઈ શકીએ છીએ. અમે ફક્ત એ હકીકતની સાક્ષી આપી શકીએ છીએ કે ત્યાં પરિભ્રમણ છે. અનંત ક્રમની સમાનતા સાથે પૂર્ણ સામ્યતા એસ.

હવે ચાલો બીજું ફરતું વ્હીલ ઉમેરીએ, જેનું પરિભ્રમણનું પ્લેન પ્રથમ ફરતા વ્હીલના પરિભ્રમણના પ્લેન સાથે સમાંતર છે. અમે હજુ પણ ખાતરીપૂર્વક કહી શકતા નથી કે આ પૈડા કઈ દિશામાં ફરે છે, પરંતુ અમે ચોક્કસ કહી શકીએ છીએ કે બંને પૈડા એક જ દિશામાં ફરે છે કે વિરુદ્ધ દિશામાં. બે અનંત સિક્વન્સની સરખામણી એસઅને 1-એસ, મેં ગણિતની મદદથી બતાવ્યું કે આ ક્રમમાં વિવિધ સમાનતાઓ છે અને તેમની વચ્ચે સમાન ચિહ્ન મૂકવું એ એક ભૂલ છે. અંગત રીતે, હું ગણિતમાં વિશ્વાસ કરું છું, હું ગણિતશાસ્ત્રીઓ પર વિશ્વાસ કરતો નથી))) માર્ગ દ્વારા, અનંત ક્રમના પરિવર્તનની ભૂમિતિને સંપૂર્ણપણે સમજવા માટે, ખ્યાલ રજૂ કરવો જરૂરી છે. "એક સાથે". આ દોરવાની જરૂર પડશે.

બુધવાર, 7 ઓગસ્ટ, 2019

વિશેની વાતચીતને સમાપ્ત કરીને, આપણે અનંત સમૂહને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે. મુદ્દો એ છે કે "અનંત" ની વિભાવના ગણિતશાસ્ત્રીઓને અસર કરે છે જેમ કે બોઆ કન્સ્ટ્રક્ટર સસલાને અસર કરે છે. અનંતની ધ્રૂજતી ભયાનકતા ગણિતશાસ્ત્રીઓને સામાન્ય જ્ઞાનથી વંચિત રાખે છે. અહીં એક ઉદાહરણ છે:

મૂળ સ્ત્રોત સ્થિત છે. આલ્ફાનો અર્થ થાય છે વાસ્તવિક સંખ્યા. ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિઓમાં સમાન ચિહ્ન સૂચવે છે કે જો તમે અનંતમાં સંખ્યા અથવા અનંત ઉમેરશો, તો કંઈ બદલાશે નહીં, પરિણામ સમાન અનંત હશે. જો આપણે અનંત સમૂહને ઉદાહરણ તરીકે લઈએ કુદરતી સંખ્યાઓ, પછી ધ્યાનમાં લેવાયેલા ઉદાહરણો નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે:

સ્પષ્ટપણે સાબિત કરવા માટે કે તેઓ સાચા હતા, ગણિતશાસ્ત્રીઓ ઘણી જુદી જુદી પદ્ધતિઓ સાથે આવ્યા. અંગત રીતે, હું આ બધી પદ્ધતિઓને ખંજરી સાથે નૃત્ય કરતા શામન તરીકે જોઉં છું. અનિવાર્યપણે, તે બધા એ હકીકત પર ઉકળે છે કે કાં તો કેટલાક રૂમ ખાલી છે અને નવા મહેમાનો અંદર જઈ રહ્યા છે, અથવા કેટલાક મુલાકાતીઓને મહેમાનો માટે જગ્યા બનાવવા માટે કોરિડોરમાં ફેંકી દેવામાં આવ્યા છે (ખૂબ માનવીય રીતે). મેં આવા નિર્ણયો પર મારો અભિપ્રાય સોનેરી વિશેની કાલ્પનિક વાર્તાના રૂપમાં રજૂ કર્યો. મારો તર્ક શેના પર આધારિત છે? અસંખ્ય મુલાકાતીઓને સ્થાનાંતરિત કરવામાં અસંખ્ય સમય લાગે છે. અમે મહેમાન માટે પહેલો ઓરડો ખાલી કર્યા પછી, મુલાકાતીઓમાંથી એક હંમેશા તેના રૂમમાંથી બીજા રૂમમાં સમયના અંત સુધી કોરિડોર સાથે ચાલશે. અલબત્ત, સમય પરિબળને મૂર્ખતાપૂર્વક અવગણી શકાય છે, પરંતુ આ "મૂર્ખ માટે કોઈ કાયદો લખાયેલો નથી" ની શ્રેણીમાં આવશે. તે બધું આપણે શું કરી રહ્યા છીએ તેના પર નિર્ભર છે: ગાણિતિક સિદ્ધાંતો સાથે વાસ્તવિકતાને સમાયોજિત કરવું અથવા તેનાથી વિપરીત.

"અંતહીન હોટેલ" શું છે? અનંત હોટેલ એ એવી હોટેલ છે કે જેમાં કેટલા રૂમો કબજે કરવામાં આવ્યા હોય તે ધ્યાનમાં લીધા વિના હંમેશા ખાલી પથારીની સંખ્યા હોય છે. જો અનંત "મુલાકાતી" કોરિડોરના તમામ રૂમો પર કબજો કરવામાં આવે, તો "અતિથિ" રૂમ સાથેનો બીજો અનંત કોરિડોર છે. આવા કોરિડોરની અસંખ્ય સંખ્યા હશે. તદુપરાંત, "અનંત હોટેલ" માં અસંખ્ય ગ્રહો પરની અસંખ્ય ઇમારતોમાં અનંત સંખ્યામાં માળો છે, અસંખ્ય બ્રહ્માંડોમાં અનંત સંખ્યામાં ભગવાન દ્વારા બનાવવામાં આવેલ છે. ગણિતશાસ્ત્રીઓ મામૂલી રોજિંદા સમસ્યાઓથી પોતાને દૂર કરી શકતા નથી: ત્યાં હંમેશા ફક્ત એક જ ભગવાન-અલ્લાહ-બુદ્ધ છે, ત્યાં ફક્ત એક જ હોટેલ છે, ત્યાં ફક્ત એક જ કોરિડોર છે. તેથી ગણિતશાસ્ત્રીઓ હોટલના રૂમના સીરીયલ નંબરોને જગલ કરવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યા છે, અમને ખાતરી આપે છે કે "અશક્યમાં ધક્કો મારવો" શક્ય છે.

કુદરતી સંખ્યાઓના અનંત સમૂહના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને હું તમને મારા તર્કના તર્કનું નિદર્શન કરીશ. પ્રથમ તમારે એક ખૂબ જ સરળ પ્રશ્નનો જવાબ આપવાની જરૂર છે: કુદરતી સંખ્યાઓના કેટલા સેટ છે - એક કે ઘણા? આ પ્રશ્નનો કોઈ સાચો જવાબ નથી, કારણ કે આપણે સંખ્યાઓની શોધ જાતે કરી છે; સંખ્યાઓ પ્રકૃતિમાં અસ્તિત્વમાં નથી. હા, કુદરત ગણતરીમાં મહાન છે, પરંતુ આ માટે તે અન્ય ગાણિતિક સાધનોનો ઉપયોગ કરે છે જે આપણને પરિચિત નથી. કુદરત શું વિચારે છે તે હું તમને બીજી વાર કહીશ. આપણે સંખ્યાઓની શોધ કરી હોવાથી, આપણે પોતે નક્કી કરીશું કે ત્યાં કુદરતી સંખ્યાઓના કેટલા સેટ છે. ચાલો બંને વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લઈએ, કારણ કે વાસ્તવિક વૈજ્ઞાનિકો માટે યોગ્ય છે.

વિકલ્પ એક. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો એક જ સમૂહ "ચાલો અમને આપવામાં આવે", જે છાજલી પર શાંતિથી રહે છે. અમે આ સેટ શેલ્ફમાંથી લઈએ છીએ. બસ, શેલ્ફ પર અન્ય કોઈ કુદરતી સંખ્યાઓ બાકી નથી અને તેમને લેવા માટે ક્યાંય નથી. અમે આ સમૂહમાં એક ઉમેરી શકતા નથી, કારણ કે અમારી પાસે તે પહેલેથી જ છે. જો તમે ખરેખર કરવા માંગો છો તો શું? કોઇ વાંધો નહી. અમે પહેલેથી લીધેલા સેટમાંથી એક લઈ શકીએ છીએ અને તેને શેલ્ફમાં પરત કરી શકીએ છીએ. તે પછી, અમે શેલ્ફમાંથી એક લઈ શકીએ છીએ અને અમે જે બાકી છે તેમાં ઉમેરી શકીએ છીએ. પરિણામે, આપણને ફરીથી કુદરતી સંખ્યાઓનો અનંત સમૂહ મળશે. તમે અમારી બધી મેનિપ્યુલેશન્સ આ રીતે લખી શકો છો:

મેં સેટના તત્વોની વિગતવાર સૂચિ સાથે બીજગણિત સંકેત અને સેટ થિયરી નોટેશનમાં ક્રિયાઓ લખી છે. સબસ્ક્રિપ્ટ સૂચવે છે કે આપણી પાસે કુદરતી સંખ્યાઓનો એક અને માત્ર સમૂહ છે. તે તારણ આપે છે કે કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ ફક્ત ત્યારે જ યથાવત રહેશે જો તેમાંથી એક બાદબાકી કરવામાં આવે અને તે જ એકમ ઉમેરવામાં આવે.

વિકલ્પ બે. અમારી પાસે અમારા શેલ્ફ પર કુદરતી સંખ્યાઓના ઘણા વિવિધ અનંત સેટ છે. હું ભારપૂર્વક જણાવું છું - ભિન્ન, હકીકત એ છે કે તેઓ વ્યવહારીક રીતે અસ્પષ્ટ હોવા છતાં. ચાલો આમાંથી એક સેટ લઈએ. પછી આપણે કુદરતી સંખ્યાઓના બીજા સમૂહમાંથી એક લઈએ છીએ અને તેને આપણે પહેલેથી લીધેલા સમૂહમાં ઉમેરીએ છીએ. આપણે કુદરતી સંખ્યાઓના બે સેટ પણ ઉમેરી શકીએ છીએ. આ આપણને મળે છે:

સબસ્ક્રિપ્ટ્સ "એક" અને "બે" સૂચવે છે કે આ તત્વો અલગ-અલગ સેટના છે. હા, જો તમે અનંત સમૂહમાં એક ઉમેરો છો, તો પરિણામ પણ અનંત સમૂહ હશે, પરંતુ તે મૂળ સમૂહ જેવો હશે નહીં. જો તમે એક અનંત સમૂહમાં બીજો અનંત સમૂહ ઉમેરો છો, તો પરિણામ એ એક નવો અનંત સમૂહ છે જેમાં પ્રથમ બે સમૂહોના ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ એ જ રીતે ગણવા માટે વપરાય છે જે રીતે માપવા માટે શાસક હોય છે. હવે કલ્પના કરો કે તમે શાસકમાં એક સેન્ટીમીટર ઉમેર્યું છે. આ એક અલગ લાઇન હશે, મૂળની સમાન નહીં.

તમે મારા તર્કને સ્વીકારી શકો કે ન સ્વીકારો - તે તમારો પોતાનો વ્યવસાય છે. પરંતુ જો તમે ક્યારેય ગાણિતિક સમસ્યાઓનો સામનો કરો છો, તો વિચારો કે શું તમે ગણિતશાસ્ત્રીઓની પેઢીઓ દ્વારા ખોટા તર્કના માર્ગને અનુસરી રહ્યા છો. છેવટે, ગણિતનો અભ્યાસ, સૌ પ્રથમ, આપણામાં વિચારવાનો એક સ્થિર સ્ટીરિયોટાઇપ બનાવે છે, અને તે પછી જ આપણી માનસિક ક્ષમતાઓમાં વધારો કરે છે (અથવા, તેનાથી વિપરીત, આપણને મુક્ત-વિચારથી વંચિત કરે છે).

pozg.ru

રવિવાર, ઓગસ્ટ 4, 2019

હું એક લેખની પોસ્ટસ્ક્રીપ્ટ સમાપ્ત કરી રહ્યો હતો અને વિકિપીડિયા પર આ અદ્ભુત લખાણ જોયું:

અમે વાંચીએ છીએ: "... બેબીલોનના ગણિતના સમૃદ્ધ સૈદ્ધાંતિક આધારમાં સર્વગ્રાહી પાત્ર નહોતું અને તે એક સામાન્ય સિસ્ટમ અને પુરાવાના આધારથી વંચિત, વિવિધ તકનીકોના સમૂહમાં ઘટાડી દેવામાં આવ્યું હતું."

વાહ! આપણે કેટલા સ્માર્ટ છીએ અને બીજાની ખામીઓ કેટલી સારી રીતે જોઈ શકીએ છીએ. શું આપણા માટે આધુનિક ગણિતને સમાન સંદર્ભમાં જોવું મુશ્કેલ છે? ઉપરોક્ત લખાણને થોડું સમજાવતા, મને વ્યક્તિગત રીતે નીચે મુજબ મળ્યું:

આધુનિક ગણિતનો સમૃદ્ધ સૈદ્ધાંતિક આધાર પ્રકૃતિમાં સર્વગ્રાહી નથી અને સામાન્ય સિસ્ટમ અને પુરાવાના આધારથી વંચિત એવા વિભિન્ન વિભાગોના સમૂહમાં ઘટાડી દેવામાં આવ્યો છે.

હું મારા શબ્દોની પુષ્ટિ કરવા માટે દૂર જઈશ નહીં - તેમાં એક ભાષા અને સંમેલનો છે જે ગણિતની અન્ય ઘણી શાખાઓની ભાષા અને સંમેલનોથી અલગ છે. ગણિતની જુદી જુદી શાખાઓમાં સમાન નામોનો અર્થ અલગ અલગ હોઈ શકે છે. હું પ્રકાશનોની આખી શ્રેણી આધુનિક ગણિતની સૌથી સ્પષ્ટ ભૂલો માટે સમર્પિત કરવા માંગુ છું. ફરી મળ્યા.

શનિવાર, ઓગસ્ટ 3, 2019

સેટને સબસેટમાં કેવી રીતે વિભાજિત કરવું? આ કરવા માટે, તમારે માપનનું નવું એકમ દાખલ કરવાની જરૂર છે જે પસંદ કરેલા સમૂહના કેટલાક ઘટકોમાં હાજર છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ.

આપણી પાસે પુષ્કળ હોય એચાર લોકોનો સમાવેશ થાય છે. આ સમૂહ "લોકો" ના આધારે રચાયેલ છે. ચાલો આ સમૂહના ઘટકોને અક્ષર દ્વારા દર્શાવીએ એ, સંખ્યા સાથે સબસ્ક્રિપ્ટ આ સમૂહમાં દરેક વ્યક્તિનો સીરીયલ નંબર સૂચવે છે. ચાલો માપનનું નવું એકમ "લિંગ" રજૂ કરીએ અને તેને અક્ષર દ્વારા સૂચિત કરીએ b. જાતીય લાક્ષણિકતાઓ બધા લોકોમાં સહજ હોવાથી, અમે સમૂહના દરેક ઘટકને ગુણાકાર કરીએ છીએ એલિંગ પર આધારિત b. નોંધ લો કે આપણો "લોકો" નો સમૂહ હવે "લિંગ લાક્ષણિકતાઓ ધરાવતા લોકો" નો સમૂહ બની ગયો છે. આ પછી આપણે લૈંગિક લાક્ષણિકતાઓને પુરુષમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ bmઅને મહિલાઓની bwજાતીય લાક્ષણિકતાઓ. હવે આપણે ગાણિતિક ફિલ્ટર લાગુ કરી શકીએ છીએ: અમે આ જાતીય લાક્ષણિકતાઓમાંથી એક પસંદ કરીએ છીએ, પછી ભલે તે સ્ત્રી હોય કે પુરુષ. જો કોઈ વ્યક્તિ પાસે તે હોય, તો આપણે તેને એક વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ, જો આવી કોઈ નિશાની ન હોય, તો આપણે તેને શૂન્ય વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. અને પછી અમે નિયમિત શાળાના ગણિતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. જુઓ શું થયું.

ગુણાકાર, ઘટાડા અને પુન: ગોઠવણી પછી, અમે બે ઉપગણો સાથે સમાપ્ત થયા: પુરુષોનો સબસેટ બી.એમઅને સ્ત્રીઓનો સબસેટ Bw. જ્યારે તેઓ સેટ થિયરીને વ્યવહારમાં લાગુ કરે છે ત્યારે ગણિતશાસ્ત્રીઓ લગભગ એ જ રીતે તર્ક આપે છે. પરંતુ તેઓ અમને વિગતો જણાવતા નથી, પરંતુ અમને સમાપ્ત પરિણામ આપે છે - "ઘણા લોકોમાં પુરુષોનો સબસેટ અને સ્ત્રીઓનો સબસેટ હોય છે." સ્વાભાવિક રીતે, તમારી પાસે એક પ્રશ્ન હોઈ શકે છે: ઉપર દર્શાવેલ પરિવર્તનોમાં ગણિત કેવી રીતે યોગ્ય રીતે લાગુ કરવામાં આવ્યું છે? હું તમને ખાતરી આપવાની હિંમત કરું છું કે, સારમાં, પરિવર્તનો યોગ્ય રીતે કરવામાં આવ્યા હતા; અંકગણિત, બુલિયન બીજગણિત અને ગણિતની અન્ય શાખાઓના ગાણિતિક આધારને જાણવા માટે તે પૂરતું છે. તે શુ છે? બીજી કોઈ વાર હું તમને આ વિશે જણાવીશ.

સુપરસેટ્સ માટે, તમે આ બે સેટના ઘટકોમાં હાજર માપનનું એકમ પસંદ કરીને બે સેટને એક સુપરસેટમાં જોડી શકો છો.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, માપનના એકમો અને સામાન્ય ગણિત સેટ થિયરીને ભૂતકાળનો અવશેષ બનાવે છે. સેટ થિયરી સાથે બધુ બરાબર નથી તે સંકેત એ છે કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ સેટ થિયરી માટે તેમની પોતાની ભાષા અને સંકેત સાથે આવ્યા છે. ગણિતશાસ્ત્રીઓ એક વખત શામન તરીકે કામ કરતા હતા. ફક્ત શામન જ જાણે છે કે તેમના "જ્ઞાન" ને કેવી રીતે "યોગ્ય રીતે" લાગુ કરવું. તેઓ આપણને આ "જ્ઞાન" શીખવે છે.

નિષ્કર્ષમાં, હું તમને બતાવવા માંગુ છું કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ કેવી રીતે ચાલાકી કરે છે
ચાલો કહીએ કે એચિલીસ કાચબા કરતા દસ ગણી ઝડપથી દોડે છે અને તેની પાછળ એક હજાર પગલાં છે. એચિલીસને આ અંતર ચલાવવા માટે જે સમય લાગશે તે દરમિયાન કાચબો એ જ દિશામાં સો ડગલાં ચાલશે. જ્યારે એચિલીસ સો ડગલાં ચાલે છે, ત્યારે કાચબો બીજા દસ ડગલાં ચાલે છે, વગેરે. પ્રક્રિયા અનંત સુધી ચાલુ રહેશે, એચિલીસ ક્યારેય કાચબાને પકડી શકશે નહીં.

આ તર્ક અનુગામી પેઢીઓ માટે તાર્કિક આંચકો બની ગયો. એરિસ્ટોટલ, ડાયોજીનીસ, કાન્ટ, હેગેલ, હિલ્બર્ટ... તેઓ બધા એક યા બીજી રીતે ઝેનોના અપોરિયાને માનતા હતા. આંચકો એટલો જોરદાર હતો કે " ...આજે પણ ચર્ચાઓ ચાલુ છે; વૈજ્ઞાનિક સમુદાય હજુ સુધી વિરોધાભાસના સાર પર સામાન્ય અભિપ્રાય પર આવી શક્યો નથી...આ મુદ્દાના અભ્યાસમાં સામેલ હતા. ગાણિતિક વિશ્લેષણ, સેટ થિયરી, નવા ભૌતિક અને ફિલોસોફિકલ અભિગમો; તેમાંથી કોઈ સમસ્યાનો સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત ઉકેલ બન્યો નથી..."[વિકિપીડિયા, "ઝેનોઝ એપોરિયા." દરેક વ્યક્તિ સમજે છે કે તેઓને મૂર્ખ બનાવવામાં આવી રહ્યા છે, પરંતુ કોઈ સમજી શકતું નથી કે છેતરપિંડી શું છે.

ગાણિતિક દૃષ્ટિકોણથી, ઝેનોએ તેના એપોરિયામાં સ્પષ્ટપણે જથ્થામાંથી સંક્રમણ દર્શાવ્યું. આ સંક્રમણ સ્થાયીને બદલે એપ્લિકેશન સૂચવે છે. જ્યાં સુધી હું સમજું છું, માપના ચલ એકમોનો ઉપયોગ કરવા માટેનું ગાણિતિક ઉપકરણ કાં તો હજી વિકસિત થયું નથી, અથવા તે ઝેનોના એપોરિયા પર લાગુ કરવામાં આવ્યું નથી. આપણા સામાન્ય તર્કને લાગુ પાડવાથી આપણે જાળમાં ફસાઈ જઈએ છીએ. આપણે, વિચારની જડતાને લીધે, પારસ્પરિક મૂલ્ય પર સમયના સતત એકમો લાગુ કરીએ છીએ. ભૌતિક દૃષ્ટિકોણથી, આ એચિલીસ કાચબાને પકડે ત્યારે તે ક્ષણે સંપૂર્ણપણે બંધ ન થાય ત્યાં સુધી સમય ધીમો પડી જાય તેવું લાગે છે. જો સમય અટકી જાય, તો એચિલીસ કાચબાથી આગળ નીકળી શકશે નહીં.

જો આપણે આપણા સામાન્ય તર્કને ફેરવીએ, તો બધું જ જગ્યાએ પડે છે. એચિલીસ સતત ઝડપે દોડે છે. તેના પાથનો દરેક અનુગામી સેગમેન્ટ પાછલા એક કરતા દસ ગણો નાનો છે. તદનુસાર, તેના પર કાબુ મેળવવા માટે ખર્ચવામાં આવેલો સમય અગાઉના એક કરતા દસ ગણો ઓછો છે. જો આપણે આ પરિસ્થિતિમાં "અનંત" ની વિભાવના લાગુ કરીએ, તો તે કહેવું યોગ્ય રહેશે કે "એકિલિસ કાચબાને અનંત ઝડપથી પકડી લેશે."

આ લોજિકલ ટ્રેપથી કેવી રીતે બચવું? સમયના સતત એકમોમાં રહો અને પારસ્પરિક એકમો પર સ્વિચ કરશો નહીં. ઝેનોની ભાષામાં તે આના જેવું દેખાય છે:

એચિલીસને એક હજાર પગથિયાં ચલાવવામાં જેટલો સમય લાગશે, કાચબો એ જ દિશામાં સો ડગલાં ચાલશે. આગલા સમયના અંતરાલમાં પહેલાના સમાન અંતરાલ દરમિયાન, એચિલીસ બીજા હજાર પગથિયાં દોડશે, અને કાચબો સો પગલાંઓ ક્રોલ કરશે. હવે એચિલીસ કાચબા કરતાં આઠસો ડગલાં આગળ છે.

આ અભિગમ કોઈપણ તાર્કિક વિરોધાભાસ વિના વાસ્તવિકતાનું પર્યાપ્ત રીતે વર્ણન કરે છે. પરંતુ આ સમસ્યાનો સંપૂર્ણ ઉકેલ નથી. પ્રકાશની ગતિની અનિવાર્યતા વિશે આઈન્સ્ટાઈનનું નિવેદન ઝેનોના એપોરિયા “એચિલીસ એન્ડ ધ ટોર્ટોઈઝ” જેવું જ છે. આપણે હજુ આ સમસ્યાનો અભ્યાસ, પુનર્વિચાર અને ઉકેલ લાવવાનો છે. અને ઉકેલ અનંત મોટી સંખ્યામાં નહીં, પરંતુ માપના એકમોમાં શોધવો જોઈએ.

ઝેનોનો બીજો રસપ્રદ એપોરિયા ઉડતા તીર વિશે કહે છે:

ઉડતું તીર ગતિહીન છે, કારણ કે સમયની દરેક ક્ષણે તે આરામમાં છે, અને તે સમયની દરેક ક્ષણે આરામમાં હોવાથી, તે હંમેશા આરામમાં છે.

આ અપોરિયામાં, તાર્કિક વિરોધાભાસને ખૂબ જ સરળ રીતે દૂર કરવામાં આવે છે - તે સ્પષ્ટ કરવા માટે પૂરતું છે કે સમયની દરેક ક્ષણે ઉડતું તીર અવકાશમાં વિવિધ બિંદુઓ પર આરામ કરે છે, જે હકીકતમાં, ગતિ છે. અહીં અન્ય એક મુદ્દાની નોંધ લેવી જરૂરી છે. રસ્તા પરની કારના એક ફોટોગ્રાફ પરથી તેની હિલચાલની હકીકત અથવા તેનાથી અંતર નક્કી કરવું અશક્ય છે. કાર આગળ વધી રહી છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવા માટે, તમારે એક જ બિંદુ પરથી સમયાંતરે અલગ-અલગ બિંદુઓ પર લીધેલા બે ફોટોગ્રાફ્સની જરૂર છે, પરંતુ તમે તેમાંથી અંતર નક્કી કરી શકતા નથી. કારનું અંતર નક્કી કરવા માટે, તમારે એક સમયે અવકાશના જુદા જુદા બિંદુઓથી લેવામાં આવેલા બે ફોટોગ્રાફ્સની જરૂર છે, પરંતુ તેમાંથી તમે હલનચલનની હકીકત નક્કી કરી શકતા નથી (અલબત્ત, તમારે હજુ પણ ગણતરીઓ માટે વધારાના ડેટાની જરૂર છે, ત્રિકોણમિતિ તમને મદદ કરશે. ). હું શું નિર્દેશ કરવા માંગુ છું ખાસ ધ્યાન, એ છે કે સમયના બે બિંદુઓ અને અવકાશમાંના બે બિંદુઓ જુદી જુદી વસ્તુઓ છે જે મૂંઝવણમાં ન હોવી જોઈએ, કારણ કે તે સંશોધન માટે વિવિધ તકો પ્રદાન કરે છે.
હું તમને એક ઉદાહરણ સાથે પ્રક્રિયા બતાવીશ. અમે "પિમ્પલમાં લાલ ઘન" પસંદ કરીએ છીએ - આ આપણું "સંપૂર્ણ" છે. તે જ સમયે, આપણે જોઈએ છીએ કે આ વસ્તુઓ ધનુષ સાથે છે, અને ધનુષ વિના છે. તે પછી, અમે "સંપૂર્ણ" નો ભાગ પસંદ કરીએ છીએ અને "ધનુષ્ય સાથે" સમૂહ બનાવીએ છીએ. આ રીતે શામન તેમના સેટ થિયરીને વાસ્તવિકતા સાથે જોડીને તેમનો ખોરાક મેળવે છે.

હવે થોડી યુક્તિ કરીએ. ચાલો "ધનુષ્ય સાથે ખીલ સાથે ઘન" લઈએ અને લાલ તત્વો પસંદ કરીને, રંગ અનુસાર આ "આખા" ને જોડીએ. અમને ઘણું "લાલ" મળ્યું. હવે અંતિમ પ્રશ્ન: શું પરિણામી સેટ "ધનુષ્ય સાથે" અને "લાલ" સમાન સેટ છે કે બે અલગ અલગ સેટ? જવાબ ફક્ત શામન જ જાણે છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, તેઓ પોતાને કંઈપણ જાણતા નથી, પરંતુ જેમ તેઓ કહે છે, તેમ તે થશે.

આ સરળ ઉદાહરણ બતાવે છે કે જ્યારે વાસ્તવિકતાની વાત આવે ત્યારે સેટ થિયરી સંપૂર્ણપણે નકામી છે. શું છે રહસ્ય? અમે "એક ખીલ અને ધનુષ્ય સાથે લાલ ઘન" નો સમૂહ બનાવ્યો. રચના માપનના ચાર અલગ-અલગ એકમોમાં થઈ હતી: રંગ (લાલ), તાકાત (નક્કર), ખરબચડી (પીમ્પલી), શણગાર (ધનુષ્ય સાથે). માત્ર માપનના એકમોનો સમૂહ અમને ગણિતની ભાષામાં વાસ્તવિક વસ્તુઓનું પર્યાપ્ત રીતે વર્ણન કરવાની મંજૂરી આપે છે.. આ તે જેવો દેખાય છે.

વિવિધ સૂચકાંકો સાથે અક્ષર "a" નો અર્થ થાય છે વિવિધ એકમોમાપ. માપનના એકમો કે જેના દ્વારા પ્રારંભિક તબક્કે "સંપૂર્ણ" ને અલગ પાડવામાં આવે છે તે કૌંસમાં પ્રકાશિત થાય છે. માપનનું એકમ કે જેના દ્વારા સમૂહની રચના થાય છે તે કૌંસમાંથી લેવામાં આવે છે. છેલ્લી લીટી અંતિમ પરિણામ બતાવે છે - સમૂહનું એક તત્વ. જેમ તમે જોઈ શકો છો, જો આપણે સમૂહ બનાવવા માટે માપનના એકમોનો ઉપયોગ કરીએ, તો પરિણામ આપણી ક્રિયાઓના ક્રમ પર આધારિત નથી. અને આ ગણિત છે, અને ખંજરી સાથે શામનનું નૃત્ય નથી. શામન "સાહજિક રીતે" સમાન પરિણામ પર આવી શકે છે, એવી દલીલ કરે છે કે તે "સ્પષ્ટ" છે, કારણ કે માપનના એકમો તેમના "વૈજ્ઞાનિક" શસ્ત્રાગારનો ભાગ નથી.

માપના એકમોનો ઉપયોગ કરીને, એક સેટને વિભાજિત કરવું અથવા ઘણા સેટને એક સુપરસેટમાં જોડવાનું ખૂબ જ સરળ છે. ચાલો આ પ્રક્રિયાના બીજગણિત પર નજીકથી નજર કરીએ.