ક્ષિતિજના ખૂણા પર કુલ ફ્લાઇટનો સમય. આડી તરફના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવેલા શરીરની ગતિનો અભ્યાસ

FEFU ખાતે શાળાના બાળકો માટે કમ્પ્યુટર સાયન્સમાં માસ્ટર ક્લાસ માટે આ એક સર્જનાત્મક કાર્ય છે.
જો હવાના પ્રતિકારને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે તો શરીરની ગતિ કેવી રીતે બદલાશે તે શોધવાનું કાર્યનો હેતુ છે. જો હવાના પ્રતિકારને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે તો ફ્લાઇટનું અંતર હજુ પણ 45°ના થ્રોઇંગ એંગલ પર તેના મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચશે કે કેમ તે પ્રશ્નનો જવાબ આપવો પણ જરૂરી છે.

"વિશ્લેષણાત્મક સંશોધન" વિભાગ સિદ્ધાંતની રૂપરેખા આપે છે. આ વિભાગ છોડી શકાય છે, પરંતુ તે તમારા માટે મોટે ભાગે સ્પષ્ટ હોવો જોઈએ કારણ કે... ઓતમે આમાંથી મોટા ભાગનું શાળામાં શીખ્યા છો.
"સંખ્યાત્મક અભ્યાસ" વિભાગમાં અલ્ગોરિધમનું વર્ણન છે જે કમ્પ્યુટર પર અમલમાં મૂકવું આવશ્યક છે. અલ્ગોરિધમ સરળ અને સંક્ષિપ્ત છે, તેથી દરેક જણ તે કરવા સક્ષમ હોવા જોઈએ.

વિશ્લેષણાત્મક સંશોધન

ચાલો ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લખીએ:
સમયની દરેક ક્ષણે પ્રવેગક એ ગતિના પરિવર્તનનો (ત્વરિત) દર છે, એટલે કે, સમયના સંદર્ભમાં ઝડપનું વ્યુત્પન્ન: .

તેથી, ન્યૂટનના 2જા નિયમને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:
, જ્યાં શરીર પર કાર્ય કરતી તમામ શક્તિઓનું પરિણામ છે.
કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને હવાના પ્રતિકારનું બળ શરીર પર કાર્ય કરે છે
.

અમે ત્રણ કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈશું:
1) હવા પ્રતિકાર બળ 0 છે: .
2) હવા પ્રતિરોધક બળ વેગ વેક્ટર સાથે વિરુદ્ધ નિર્દેશિત છે, અને તેની તીવ્રતા ઝડપના પ્રમાણસર છે: .
3) હવા પ્રતિરોધક બળ વેગ વેક્ટર સાથે વિરુદ્ધ નિર્દેશિત છે, અને તેની તીવ્રતા વેગના વર્ગના પ્રમાણસર છે: .

ચાલો પહેલા 1 લી કેસને ધ્યાનમાં લઈએ.
આ બાબતે , અથવા


તે તેને અનુસરે છે (સમાન રીતે ઝડપી ગતિ).
કારણ કે ( આર- ત્રિજ્યા વેક્ટર), પછી .
અહીંથી .
આ સૂત્ર એકસરખી પ્રવેગિત ગતિ દરમિયાન શરીરની ગતિના નિયમ માટેના પરિચિત સૂત્ર સિવાય બીજું કંઈ નથી.
ત્યારથી .
તે બંનેને ધ્યાનમાં લેતા , અમે છેલ્લી વેક્ટર સમાનતામાંથી સ્કેલર સમાનતા મેળવીએ છીએ:

ચાલો પરિણામી સૂત્રોનું વિશ્લેષણ કરીએ.
ચાલો શોધીએ ફ્લાઇટનો સમયશરીરો. સમીકરણ yશૂન્ય સુધી, આપણને મળે છે

આ સૂત્ર પરથી તે અનુસરે છે કે મહત્તમ ફ્લાઇટ રેન્જ પર પ્રાપ્ત થાય છે.
હવે ચાલો શોધીએ શરીર ટ્રેક્ટર સમીકરણ. આ કરવા માટે, અમે વ્યક્ત કરીએ છીએ tદ્વારા x

અને ચાલો પરિણામી અભિવ્યક્તિને માટે બદલીએ tમાટે સમાનતામાં y.

પરિણામી કાર્ય y(x) એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે, તેનો આલેખ એક પેરાબોલા છે, જેની શાખાઓ નીચે તરફ નિર્દેશિત છે.
ક્ષિતિજના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવેલા શરીરની હિલચાલ (હવા પ્રતિકારને ધ્યાનમાં લીધા વિના) આ વિડિઓમાં વર્ણવેલ છે.

હવે બીજા કેસને ધ્યાનમાં લો: .

બીજો કાયદો સ્વરૂપ લે છે ,
અહીંથી .
ચાલો આ સમાનતાને સ્કેલર સ્વરૂપમાં લખીએ:

અમને મળ્યું બે રેખીય વિભેદક સમીકરણો.
પ્રથમ સમીકરણમાં ઉકેલ છે

માટે સમીકરણમાં આ કાર્યને બદલીને આ ચકાસી શકાય છે v xઅને પ્રારંભિક સ્થિતિ સુધી .
અહીં e = 2.718281828459... એ યુલરનો નંબર છે.
બીજા સમીકરણમાં ઉકેલ છે

કારણ કે , , પછી હવાના પ્રતિકારની હાજરીમાં શરીરની હિલચાલ એકસમાન હોય છે, કેસ 1થી વિપરીત, જ્યારે ગતિ મર્યાદા વિના વધે છે.
નીચેનો વિડિયો જણાવે છે કે સ્કાયડાઇવર પહેલા ઝડપી ગતિએ આગળ વધે છે, અને પછી સરખે ભાગે ખસેડવાનું શરૂ કરે છે (પેરાશૂટ ખુલે તે પહેલાં જ).

આ બિનરેખીય સિસ્ટમ વિભેદક સમીકરણો . આ સિસ્ટમ સ્પષ્ટ રીતે ઉકેલી શકાતી નથી, તેથી સંખ્યાત્મક સિમ્યુલેશનનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે.

સંખ્યાત્મક અભ્યાસ

અમે બીજા કેસને ધ્યાનમાં લઈશું, જ્યારે હવાના પ્રતિકારનું બળ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે . નોંધ કરો કે જ્યારે k= 0 આપણને પહેલો કેસ મળે છે.

શરીરની ગતિ નીચેના સમીકરણોનું પાલન કરે છે:

આ સમીકરણોની ડાબી બાજુએ પ્રવેગક ઘટકો લખેલા છે .
યાદ કરો કે પ્રવેગ એ વેગના પરિવર્તનનો (ત્વરિત) દર છે, એટલે કે, સમયના સંદર્ભમાં વેગનું વ્યુત્પન્ન.
સમીકરણોની જમણી બાજુઓ વેગ ઘટકો ધરાવે છે. આમ, આ સમીકરણો દર્શાવે છે કે વેગના પરિવર્તનનો દર ઝડપ સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે.

ચાલો સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણોના ઉકેલો શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ. આ કરવા માટે, અમે સમય અક્ષ પર રજૂ કરીએ છીએ જાળીદાર: ચાલો સંખ્યા પસંદ કરીએ અને ફોર્મના સમયની ક્ષણોને ધ્યાનમાં લઈએ: .

અમારું કાર્ય લગભગ મૂલ્યોની ગણતરી કરવાનું છે ગ્રીડ નોડ્સ પર.

ચાલો સમીકરણોમાં પ્રવેગકને બદલીએ ( ત્વરિત ગતિઝડપ ફેરફારો) દ્વારા સામન્ય ગતિસમયાંતરે શરીરની હિલચાલને ધ્યાનમાં રાખીને ગતિમાં ફેરફાર:

હવે આપણે મેળવેલ અંદાજોને આપણા સમીકરણોમાં બદલીએ.

પરિણામી સૂત્રો અમને ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે આગલા ગ્રીડ નોડ પર, જો અગાઉના ગ્રીડ નોડ પરના આ કાર્યોના મૂલ્યો જાણીતા છે.

વર્ણવેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે વેગ ઘટકોના અંદાજિત મૂલ્યોનું કોષ્ટક મેળવી શકીએ છીએ.

શરીરની ગતિનો નિયમ કેવી રીતે શોધવો, એટલે કે. અંદાજિત સંકલન મૂલ્યોનું કોષ્ટક x(t), y(t)? તેવી જ રીતે!
અમારી પાસે

vx[j] ની કિંમત ફંક્શનની કિંમત જેટલી છે અને અન્ય એરે માટે સમાન છે.
હવે માત્ર એક લૂપ લખવાનું બાકી છે, જેની અંદર આપણે પહેલાથી ગણતરી કરેલ કિંમત vx[j] નો ઉપયોગ કરીને vx ની ગણતરી કરીશું, અને બાકીના એરે સાથે તે જ. ચક્ર હશે j 1 થી એન.
સૂત્રો અનુસાર પ્રારંભિક મૂલ્યો vx, vy, x, y શરૂ કરવાનું ભૂલશો નહીં, x 0 = 0, y 0 = 0.

પાસ્કલ અને સીમાં, સાઈન અને કોસાઈનની ગણતરી કરવા માટે sin(x) અને cos(x) ફંક્શન છે. નોંધ કરો કે આ વિધેયો રેડિયનમાં દલીલ લે છે.

તમારે દરમિયાન શરીરની હિલચાલનો ગ્રાફ બનાવવાની જરૂર છે k= 0 અને k> 0 અને પરિણામી ગ્રાફની સરખામણી કરો. એક્સેલમાં ગ્રાફ બનાવી શકાય છે.
નોંધ કરો કે ગણતરીના સૂત્રો એટલા સરળ છે કે તમે ગણતરી માટે માત્ર એક્સેલનો ઉપયોગ કરી શકો છો અને પ્રોગ્રામિંગ ભાષાનો પણ ઉપયોગ કરી શકતા નથી.
જો કે, ભવિષ્યમાં તમારે CATS માં સમસ્યા હલ કરવાની જરૂર પડશે, જેમાં તમારે શરીરની ફ્લાઇટના સમય અને શ્રેણીની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, જ્યાં તમે પ્રોગ્રામિંગ ભાષા વિના કરી શકતા નથી.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે તમે કરી શકો છો પરીક્ષણતમારા પ્રોગ્રામ અને જ્યારે ગણતરીના પરિણામોની સરખામણી કરીને તમારા ગ્રાફને તપાસો k= 0 સે ચોક્કસ સૂત્રો"વિશ્લેષણાત્મક સંશોધન" વિભાગમાં આપેલ છે.

તમારા પ્રોગ્રામ સાથે પ્રયોગ કરો. ખાતરી કરો કે જો ત્યાં કોઈ હવા પ્રતિકાર નથી ( k= 0) નિશ્ચિત પ્રારંભિક ઝડપે મહત્તમ ફ્લાઇટ રેન્જ 45°ના ખૂણા પર પ્રાપ્ત થાય છે.
હવાના પ્રતિકાર વિશે શું? મહત્તમ ફ્લાઇટ રેન્જ કયા ખૂણા પર પ્રાપ્ત થાય છે?

આકૃતિ શરીરના માર્ગો બતાવે છે વિ 0 = 10 m/s, α = 45°, g= 9.8 m/s 2, m= 1 કિલો, k= 0 અને 1 Δ પર સંખ્યાત્મક સિમ્યુલેશન દ્વારા મેળવેલ t = 0,01.

2011 માં “સ્ટાર્ટ ઇન સાયન્સ” કોન્ફરન્સમાં પ્રસ્તુત ટ્રોઇટ્સ્કના 10મા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓના અદ્ભુત કાર્યથી તમે તમારી જાતને પરિચિત કરી શકો છો. આ કાર્ય ક્ષિતિજના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવેલા ટેનિસ બોલની હિલચાલનું મોડેલિંગ કરવા માટે સમર્પિત છે (હવાને ધ્યાનમાં લેતા). પ્રતિકાર). સંખ્યાત્મક મોડેલિંગ અને પૂર્ણ-સ્કેલ પ્રયોગ બંનેનો ઉપયોગ થાય છે.

આમ, આ સર્જનાત્મક કાર્ય તમને ગાણિતિક અને સંખ્યાત્મક મોડેલિંગની પદ્ધતિઓથી પરિચિત થવા દે છે, જેનો વ્યવહારમાં સક્રિયપણે ઉપયોગ થાય છે, પરંતુ શાળામાં થોડો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 20મી સદીના મધ્યમાં યુએસએસઆરમાં પરમાણુ અને અવકાશ પ્રોજેક્ટ્સના અમલીકરણમાં આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો.

જો કોઈ શરીરને ક્ષિતિજના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવે છે, તો ઉડાન દરમિયાન તેના પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને હવાના પ્રતિકારના બળ દ્વારા કાર્ય કરવામાં આવે છે. જો પ્રતિકારક શક્તિની અવગણના કરવામાં આવે તો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ બાકી રહે છે. તેથી, ન્યુટનના 2જા નિયમને લીધે, શરીર ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગ સમાન પ્રવેગ સાથે આગળ વધે છે; સંકલન અક્ષો પર પ્રવેગકના અંદાજો ax = 0, ay = - g.

આકૃતિ 1. આડી તરફના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવેલા શરીરની ગતિશીલ લાક્ષણિકતાઓ

ભૌતિક બિંદુની કોઈપણ જટિલ હિલચાલને સંકલન અક્ષો સાથે સ્વતંત્ર હિલચાલની સુપરપોઝિશન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, અને વિવિધ અક્ષોની દિશામાં હલનચલનનો પ્રકાર અલગ હોઈ શકે છે. અમારા કિસ્સામાં, ઉડતા શરીરની ગતિને બે સ્વતંત્ર ગતિના સુપરપોઝિશન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે: આડી અક્ષ (X-અક્ષ) સાથે સમાન ગતિ અને ઊભી અક્ષ (વાય-અક્ષ) (આકૃતિ 1) સાથે સમાન ગતિશીલ ગતિ. .

તેથી શરીરના વેગ અંદાજો સમય સાથે નીચે પ્રમાણે બદલાય છે:

જ્યાં $v_0$ એ પ્રારંભિક ગતિ છે, $(\mathbf \alpha )$ એ ફેંકવાનો કોણ છે.

મૂળની અમારી પસંદગી સાથે, પ્રારંભિક કોઓર્ડિનેટ્સ (ફિગ. 1) $x_0=y_0=0$ છે. પછી આપણને મળે છે:

(1)

ચાલો સૂત્રોનું વિશ્લેષણ કરીએ (1). ચાલો ફેંકાયેલા શરીરની હિલચાલનો સમય નક્કી કરીએ. આ કરવા માટે, ચાલો y કોઓર્ડિનેટને શૂન્યની બરાબર સેટ કરીએ, કારણ કે ઉતરાણની ક્ષણે શરીરની ઊંચાઈ શૂન્ય છે. અહીંથી અમે ફ્લાઇટનો સમય મેળવીએ છીએ:

બીજી વખતનું મૂલ્ય કે જેના પર ઊંચાઈ શૂન્ય છે તે શૂન્ય છે, જે ફેંકવાની ક્ષણને અનુરૂપ છે, એટલે કે. આ મૂલ્યનો ભૌતિક અર્થ પણ છે.

અમે પ્રથમ સૂત્ર (1) થી ફ્લાઇટ રેન્જ મેળવીએ છીએ. ફ્લાઇટ રેન્જ એ ફ્લાઇટના અંતે x કોઓર્ડિનેટનું મૂલ્ય છે, એટલે કે. $t_0$ ની બરાબર સમયે. પ્રથમ સૂત્ર (1) માં મૂલ્ય (2) ને બદલીને, આપણને મળે છે:

આ સૂત્ર પરથી તે જોઈ શકાય છે કે સૌથી મોટી ફ્લાઇટ રેન્જ 45 ડિગ્રીના થ્રોઇંગ એંગલ પર પ્રાપ્ત થાય છે.

ફેંકાયેલા શરીરની મહત્તમ પ્રશિક્ષણ ઊંચાઈ બીજા સૂત્ર (1) પરથી મેળવી શકાય છે. આ કરવા માટે, તમારે આ ફોર્મ્યુલામાં અડધા ફ્લાઇટ સમય (2) ની બરાબર સમય મૂલ્ય બદલવાની જરૂર છે, કારણ કે તે માર્ગના મધ્યબિંદુ પર છે કે ફ્લાઇટની ઊંચાઈ મહત્તમ છે. ગણતરીઓ હાથ ધરવાથી, અમને મળે છે

સમીકરણોમાંથી (1) વ્યક્તિ શરીરના માર્ગનું સમીકરણ મેળવી શકે છે, એટલે કે. ગતિ દરમિયાન શરીરના x અને y કોઓર્ડિનેટ્સને લગતું સમીકરણ. આ કરવા માટે, તમારે પ્રથમ સમીકરણ (1) થી સમય વ્યક્ત કરવાની જરૂર છે:

અને તેને બીજા સમીકરણમાં બદલો. પછી આપણને મળે છે:

આ સમીકરણ એ ગતિ માર્ગ સમીકરણ છે. તે જોઈ શકાય છે કે આ પેરાબોલાનું સમીકરણ છે જેમાં તેની શાખાઓ નીચે છે, જેમ કે ચતુર્ભુજ શબ્દની સામે “-” ચિહ્ન દ્વારા સૂચવવામાં આવ્યું છે. તે ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ કે ફેંકવાનો કોણ $\alpha $ અને તેના કાર્યો અહીં ખાલી સ્થિર છે, એટલે કે. સતત સંખ્યાઓ.

શરીરને આડી તરફ $(\mathbf \alpha )$ એ કોણ પર v0 ઝડપ સાથે ફેંકવામાં આવે છે. ફ્લાઇટનો સમય $t = 2 s$. Hmax શરીર કેટલી ઊંચાઈ સુધી વધશે?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

શરીરની ગતિના નિયમનું સ્વરૂપ છે:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(એરે) \right.$ $

પ્રારંભિક વેગ વેક્ટર OX અક્ષ સાથે $(\mathbf \alpha )$ એક ખૂણો બનાવે છે. આથી,

\ \ \

એક પથ્થર પર્વતની ટોચ પરથી ક્ષિતિજ પર ખૂણો = 30$()^\circ$ $v_0 = 6 m/s$ ની પ્રારંભિક ઝડપે ફેંકવામાં આવે છે. વળેલું વિમાન કોણ = 30$()^\circ$. પથ્થર ફેંકવાના બિંદુથી કેટલા અંતરે પડશે?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

ચાલો કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિને ફેંકવાના બિંદુ પર મૂકીએ, OX - નીચે તરફ વળેલા પ્લેન સાથે, OY - ઉપર તરફ વળેલા પ્લેન પર લંબરૂપ. ચળવળની ગતિશીલ લાક્ષણિકતાઓ:

ગતિનો નિયમ:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ -\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \

પરિણામી મૂલ્ય $t_В$ ને બદલીને, અમે $S$ શોધીએ છીએ:

સ્થિર કેટપલ્ટમાંથી છોડવામાં આવેલા પથ્થરની મહત્તમ શ્રેણી છે એસ = 22.5 મી. સતત ગતિએ આડી રીતે આગળ વધતા પ્લેટફોર્મ પર માઉન્ટ થયેલ સમાન કેટપલ્ટમાંથી ફેંકવામાં આવેલા પથ્થરની મહત્તમ સંભવિત શ્રેણી શોધો v = 15.0 m/s. હવાના પ્રતિકારને અવગણો, મુક્ત પતન પ્રવેગકની ગણતરી કરો g = 10.0 m/s 2.

ઉકેલ: તે જાણીતું છે કે આડી તરફના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવેલા શરીરની મહત્તમ ફ્લાઇટ રેન્જ સમાન પ્રસ્થાનના ખૂણા પર પ્રાપ્ત થાય છે. 45°અને સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

ચાલો હવે મૂવિંગ કૅટપલ્ટમાંથી છૂટેલા પથ્થરની ઉડાનનો વિચાર કરીએ. ચાલો એક સંકલન પ્રણાલી રજૂ કરીએ જેની અક્ષો છે: એક્સ- આડા નિર્દેશિત, અને વાય- ઊભી રીતે. કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ એ ક્ષણે કેટપલ્ટની સ્થિતિ સાથે સુસંગત છે જે પથ્થર છોડવામાં આવે છે.

પથ્થરની ગતિ વેક્ટરની ગણતરી કરવા માટે, કેટપલ્ટની આડી ગતિ ધ્યાનમાં લેવી જરૂરી છે v = v ઓ. ચાલો કહીએ કે કેટપલ્ટ એક ખૂણા પર પથ્થર ફેંકે છે α ક્ષિતિજ સુધી. પછી અમારી સંકલન પ્રણાલીમાં પથ્થરના પ્રારંભિક વેગના ઘટકોને આ રીતે લખી શકાય છે:

બીજું, તે (5) થી બિલકુલ અનુસરતું નથી એસ 1પર મહત્તમ હશે α = 45°(આ (6) માટે સાચું છે, જ્યારે v=0).

રિપબ્લિકન ઓલિમ્પિયાડ માટે આ સમસ્યાની દરખાસ્ત કરતા, લેખકોને ખાતરી થઈ કે સહભાગીઓના નવ-દસમા ભાગને ફોર્મ્યુલા (5) પ્રાપ્ત થશે અને પછી તેમાં મૂલ્ય બદલાશે. α = 45°. જો કે, અમારા અફસોસ માટે, અમારી ભૂલ થઈ હતી: એક પણ ઓલિમ્પિયનને શંકા નથી કે મહત્તમ ફ્લાઇટ રેન્જ હંમેશા (!) પ્રસ્થાનના ખૂણા પર પ્રાપ્ત થાય છે 45°. આ જાણીતી હકીકત મર્યાદિત લાગુ પડે છે: તે માત્ર ત્યારે જ સાચું છે જો:

એ) હવાના પ્રતિકારને ધ્યાનમાં ન લો;
b) ટેક-ઓફ પોઈન્ટ અને ફોલ પોઈન્ટ સમાન સ્તરે છે;
c) અસ્ત્ર સ્થિર છે.

ચાલો સમસ્યાના ઉકેલ પર પાછા ફરીએ. તેથી આપણે કોણ મૂલ્ય શોધવાની જરૂર છે α , જેના પર એસ 1ફોર્મ્યુલા (5) દ્વારા નિર્ધારિત, મહત્તમ છે. તમે, અલબત્ત, વિભેદક કેલ્ક્યુલસના ઉપકરણનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનની સીમા શોધી શકો છો: વ્યુત્પન્ન શોધો, તેને શૂન્યની બરાબર સેટ કરો અને, પરિણામી સમીકરણ હલ કર્યા પછી, ઇચ્છિત મૂલ્ય શોધી શકો છો. α . જો કે, 9મા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓને આ સમસ્યાની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી તે જોતાં, અમે તેનો ભૌમિતિક ઉકેલ આપીશું. ચાલો આપણે એ હકીકતનો લાભ લઈએ v = v o = 15 m/s.

ચાલો વેક્ટર ગોઠવીએ વિઅને v ઓફિગ માં બતાવ્યા પ્રમાણે. તેમની લંબાઈ સમાન હોવાથી, બિંદુ O પર કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ તેમની આસપાસ વર્ણવી શકાય છે. પછી સેગમેન્ટની લંબાઈ A.C.ની સમાન v o + v o cos α(આ છે vxo), અને સેગમેન્ટની લંબાઈ બી.સી.ની સમાન v o sin α(આ vyo). તેમનું ઉત્પાદન ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના બમણા જેટલું છે ABC, અથવા ત્રિકોણનો વિસ્તાર ABB 1.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે તે ઉત્પાદન છે જે ફ્લાઇટ રેન્જ (5) માટે અભિવ્યક્તિમાં શામેલ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ફ્લાઇટ રેન્જ એ વિસ્તારના ઉત્પાદનની બરાબર છે ΔАВВ 1સતત પરિબળ દ્વારા 2/જી.

હવે આપણે આપણી જાતને પૂછીએ: આપેલ વર્તુળમાં કોતરેલા ત્રિકોણમાંથી કયાનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે? સ્વાભાવિક રીતે સાચું! તેથી, કોણનું ઇચ્છિત મૂલ્ય α = 60°.

વેક્ટર એબીપથ્થરની કુલ પ્રારંભિક ગતિનો એક વેક્ટર છે, તે એક ખૂણા પર નિર્દેશિત છે 30°ક્ષિતિજ સુધી (ફરીથી, બિલકુલ નહીં 45°).

આમ, સમસ્યાનો અંતિમ ઉકેલ ફોર્મ્યુલા (5) પરથી આવે છે, જેમાં આપણે અવેજી કરવી જોઈએ α = 60°.

થિયરી

જો કોઈ શરીરને ક્ષિતિજના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવે છે, તો ઉડાન દરમિયાન તેના પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને હવાના પ્રતિકારના બળ દ્વારા કાર્ય કરવામાં આવે છે. જો પ્રતિકારક શક્તિની અવગણના કરવામાં આવે તો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ બાકી રહે છે. તેથી, ન્યૂટનના 2જા નિયમને લીધે, શરીર ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગ સમાન પ્રવેગ સાથે આગળ વધે છે; સંકલન અક્ષો પર પ્રવેગક અંદાજો સમાન છે a x = 0, અને y= -જી.

કોઈપણ જટિલ ચળવળ સામગ્રી બિંદુસંકલન અક્ષો સાથે સ્વતંત્ર હિલચાલના સુપરપોઝિશન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, અને વિવિધ અક્ષોની દિશામાં હલનચલનનો પ્રકાર અલગ હોઈ શકે છે. અમારા કિસ્સામાં, ઉડતા શરીરની ગતિને બે સ્વતંત્ર ગતિના સુપરપોઝિશન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે: આડી અક્ષ (X-અક્ષ) સાથે સમાન ગતિ અને ઊભી અક્ષ (વાય-અક્ષ) (આકૃતિ 1) સાથે સમાન ગતિશીલ ગતિ. .

તેથી શરીરના વેગ અંદાજો સમય સાથે નીચે પ્રમાણે બદલાય છે:

,

પ્રારંભિક ગતિ ક્યાં છે, α એ ફેંકવાનો કોણ છે.

તેથી શરીરના સંકલન આના જેવા બદલાય છે:

કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળની અમારી પસંદગી સાથે, પ્રારંભિક કોઓર્ડિનેટ્સ (ફિગ. 1) પછી

બીજી વખતનું મૂલ્ય કે જેના પર ઊંચાઈ શૂન્ય છે તે શૂન્ય છે, જે ફેંકવાની ક્ષણને અનુરૂપ છે, એટલે કે. આ મૂલ્યનો ભૌતિક અર્થ પણ છે.

અમે પ્રથમ સૂત્ર (1) થી ફ્લાઇટ રેન્જ મેળવીએ છીએ. ફ્લાઇટ રેન્જ એ સંકલન મૂલ્ય છે એક્સફ્લાઇટના અંતે, એટલે કે. સમાન સમયે ટી 0. પ્રથમ સૂત્ર (1) માં મૂલ્ય (2) ને બદલીને, આપણને મળે છે:

આ સૂત્ર પરથી તે જોઈ શકાય છે કે સૌથી મોટી ફ્લાઇટ રેન્જ 45 ડિગ્રીના થ્રોઇંગ એંગલ પર પ્રાપ્ત થાય છે.

ફેંકાયેલા શરીરની મહત્તમ પ્રશિક્ષણ ઊંચાઈ બીજા સૂત્ર (1) પરથી મેળવી શકાય છે. આ કરવા માટે, તમારે આ ફોર્મ્યુલામાં અડધા ફ્લાઇટ સમય (2) ની બરાબર સમય મૂલ્ય બદલવાની જરૂર છે, કારણ કે તે માર્ગના મધ્યબિંદુ પર છે કે ફ્લાઇટની ઊંચાઈ મહત્તમ છે. ગણતરીઓ હાથ ધરવાથી, અમને મળે છે

સૂચનાઓ

શરીરને પ્રારંભિક ઝડપ v0 સાથે ક્ષિતિજના α ખૂણા પર ફેંકી દો. શરીરના પ્રારંભિક કોઓર્ડિનેટ્સ શૂન્ય થવા દો: x(0)=0, y(0)=0. સંકલન અક્ષો પરના અંદાજોમાં, પ્રારંભિક વેગ બે ઘટકોમાં વિઘટિત થશે: v0(x) અને v0(y). સામાન્ય રીતે સમાન ઝડપ. ઓક્સ અક્ષની સાથે, ઝડપને પરંપરાગત રીતે સ્થિર ગણવામાં આવે છે, જ્યારે ઓય અક્ષ સાથે તે નાં પ્રભાવ હેઠળ બદલાય છે. ગુરુત્વાકર્ષણ g નું પ્રવેગ આશરે 10 m/s² ગણી શકાય.

કોણ α કે જેના પર શરીર ફેંકવામાં આવે છે તે તક દ્વારા આપવામાં આવતું નથી. તેના દ્વારા તમે સંકલન અક્ષોમાં પ્રારંભિક ગતિનું વર્ણન કરી શકો છો. આમ, v0(x)=v0·cos(α), v0(y)=v0·sin(α). હવે આપણે વેગના સંકલન ઘટકોનું કાર્ય મેળવી શકીએ છીએ: v(x)=const=v0(x)=v0·cos(α), v(y)=v0(y)-g·t=v0·sin( α)-g· t.

શરીરના x અને y કોઓર્ડિનેટ્સ સમય t પર આધાર રાખે છે. આમ, આપણે બે અવલંબન સમીકરણો બનાવી શકીએ છીએ: x=x0+v0(x) t+a(x) t²/2, y=y0+v0(y) t+a(y) t²/2. ત્યારથી x0=0, a(x)=0, પછી x=v0(x) t=v0 cos(α) t. તે પણ જાણીતું છે કે y0=0, a(y)=-g (“ ” ચિહ્ન દેખાય છે કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ g ના પ્રવેગની દિશા અને Oy અક્ષની હકારાત્મક દિશા વિરુદ્ધ છે). તેથી y=v0·sin(α)·t-g·t²/2.

ફ્લાઇટનો સમય ઝડપ સૂત્રમાંથી વ્યક્ત કરી શકાય છે, એ જાણીને કે મહત્તમ બિંદુએ શરીર ત્વરિત માટે અટકે છે (v = 0), અને "ચડાઈ" અને "વંશ" ની અવધિ સમાન છે. તેથી, જ્યારે v(y)=0 ને સમીકરણ v(y)=v0·sin(α)-g·t માં બદલીએ ત્યારે તે તારણ આપે છે: 0=v0·sin(α)-g·t(p), જ્યાં t (p) - પીક ટાઇમ, "ટી શિરોબિંદુ". તેથી t(p)=v0·sin(α)/g. કુલ ફ્લાઇટ સમય પછી t=2·v0·sin(α)/g તરીકે દર્શાવવામાં આવશે.

સમાન સૂત્ર બીજી રીતે મેળવી શકાય છે, ગાણિતિક રીતે, સંકલન y=v0·sin(α)·t-g·t²/2 માટેના સમીકરણમાંથી. આ સમીકરણને સહેજ સુધારેલા સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકાય છે: y=-g/2·t²+v0·sin(α)·t. તે જોઈ શકાય છે કે આ એક ચતુર્ભુજ અવલંબન છે, જ્યાં y એક કાર્ય છે, t એક દલીલ છે. પ્રક્ષેપણનું વર્ણન કરતા પેરાબોલાના શિરોબિંદુ એ બિંદુ t(p)=[-v0·sin(α)]/[-2g/2] છે. બાદબાકી અને બે રદ થાય છે, તેથી t(p)=v0·sin(α)/g. જો આપણે મહત્તમ ઊંચાઈને H તરીકે દર્શાવીએ અને યાદ રાખો કે શિખર બિંદુ એ પેરાબોલાના શિરોબિંદુ છે જેની સાથે શરીર ખસે છે, તો H=y(t(p))=v0²sin²(α)/2g. એટલે કે, ઊંચાઈ મેળવવા માટે, તમારે y કોઓર્ડિનેટ માટે સમીકરણમાં "t શિરોબિંદુ" ને બદલવાની જરૂર છે.

તેથી, ફ્લાઇટનો સમય t=2·v0·sin(α)/g તરીકે લખવામાં આવે છે. તેને બદલવા માટે, તમારે તે મુજબ પ્રારંભિક ગતિ અને ઝોક કોણ બદલવાની જરૂર છે. સ્પીડ જેટલી વધારે છે, તેટલું લાંબું શરીર ઉડે છે. કોણ સાથે તે કંઈક અંશે વધુ જટિલ છે, કારણ કે સમય પોતે કોણ પર આધારિત નથી, પરંતુ તેની સાઈન પર આધારિત છે. મહત્તમ શક્ય અર્થસાઈન - એકતા - 90° ના ઝોકના ખૂણા પર પ્રાપ્ત થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે શરીરને ઊભી રીતે ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે ત્યારે શરીર સૌથી લાંબુ ઉડે છે.

ફ્લાઇટ રેન્જ અંતિમ x સંકલન છે. જો આપણે પહેલાથી મળેલા ફ્લાઇટ સમયને x=v0·cos(α)·t સમીકરણમાં બદલીએ, તો તે L=2v0²sin(α)cos(α)/g શોધવાનું સરળ છે. અહીં તમે અરજી કરી શકો છો ત્રિકોણમિતિ સૂત્રડબલ એંગલ 2sin(α)cos(α)=sin(2α), પછી L=v0²sin(2α)/g. જ્યારે 2α=n/2, α=n/4 હોય ત્યારે બે આલ્ફાની સાઈન એકની બરાબર હોય છે. આમ, જો શરીરને 45°ના ખૂણા પર ફેંકવામાં આવે તો ફ્લાઇટ રેન્જ મહત્તમ છે.