સરવાળાના મૂળમાંથી વ્યુત્પન્ન. વ્યુત્પન્ન શોધો: અલ્ગોરિધમ અને ઉકેલોના ઉદાહરણો

પાવર ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ (x થી a ની ઘાત). x ના મૂળમાંથી વ્યુત્પન્ન ગણવામાં આવે છે. પાવર ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન માટેનું સૂત્ર ઉચ્ચ ઓર્ડર. ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરીના ઉદાહરણો.

આ પણ જુઓ: પાવર ફંક્શન અને મૂળ, સૂત્રો અને ગ્રાફ
પાવર ફંક્શન ગ્રાફ્સ

મૂળભૂત સૂત્રો

a ની ઘાત માટે x નું વ્યુત્પન્ન ગુણાંક x એક બાદબાકીની ઘાતની બરાબર છે:
(1) .

x ના nમા મૂળનું mth ઘાતનું વ્યુત્પન્ન છે:
(2) .

પાવર ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ

કેસ x > 0

ઘાતાંક a સાથે ચલ xના પાવર ફંક્શનને ધ્યાનમાં લો:
(3) .
અહીં એ મનસ્વી છે વાસ્તવિક સંખ્યા. ચાલો પહેલા કેસને ધ્યાનમાં લઈએ.

ફંક્શન (3) નું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, અમે પાવર ફંક્શનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ અને તેને નીચેના સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ:
.

હવે આપણે આનો ઉપયોગ કરીને વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:
;
.
અહીં .

ફોર્મ્યુલા (1) સાબિત થઈ છે.

x ની ડિગ્રી n થી m ડિગ્રીના મૂળના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ

હવે નીચેના ફોર્મનું મૂળ એવા ફંક્શનને ધ્યાનમાં લો:
(4) .

વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, અમે રુટને પાવર ફંક્શનમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ:
.
સૂત્ર (3) સાથે સરખામણી કરતાં આપણે તે જોઈએ છીએ
.
પછી
.

સૂત્ર (1) નો ઉપયોગ કરીને આપણે વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:
(1) ;
;
(2) .

વ્યવહારમાં, સૂત્ર (2) યાદ રાખવાની જરૂર નથી. પહેલા મૂળને પાવર ફંક્શનમાં રૂપાંતરિત કરવું અને પછી ફોર્મ્યુલા (1) (પૃષ્ઠના અંતે ઉદાહરણો જુઓ) નો ઉપયોગ કરીને તેમના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવા તે વધુ અનુકૂળ છે.

કેસ x = 0

જો , તો પાવર ફંક્શન ચલ x = ની કિંમત માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે 0 . ચાલો x = પર ફંક્શન (3) નું વ્યુત્પન્ન શોધીએ 0 . આ કરવા માટે, અમે વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
.

ચાલો x = અવેજી કરીએ 0 :
.
આ કિસ્સામાં, વ્યુત્પન્ન દ્વારા અમારો અર્થ જમણી બાજુની મર્યાદા છે જેના માટે .

તેથી અમને મળ્યું:
.
આના પરથી તે સ્પષ્ટ થાય છે કે માટે .
ખાતે, .
ખાતે, .
આ પરિણામ ફોર્મ્યુલા (1) પરથી પણ મેળવવામાં આવે છે:
(1) .
તેથી, સૂત્ર (1) x = માટે પણ માન્ય છે 0 .

કેસ એક્સ< 0

ફંક્શન (3) ને ફરીથી ધ્યાનમાં લો:
(3) .
સ્થિર a ના અમુક મૂલ્યો માટે, તે ચલ x ના નકારાત્મક મૂલ્યો માટે પણ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. એટલે કે, એક પરિમેય સંખ્યા હોવા દો. પછી તેને અફર અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:
,
જ્યાં m અને n એ પૂર્ણાંકો છે જેમાં સામાન્ય વિભાજક નથી.

જો n વિષમ હોય, તો પાવર ફંક્શન ચલ x ના નકારાત્મક મૂલ્યો માટે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે n = 3 અને m = 1 આપણી પાસે x નું ઘનમૂળ છે:
.
તે ચલ x ના નકારાત્મક મૂલ્યો માટે પણ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

ચાલો આપણે પાવર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ (3) અચળ a ના તર્કસંગત મૂલ્યો જેના માટે તે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. આ કરવા માટે, ચાલો x ને નીચેના સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ:
.
પછી,
.
અમે વ્યુત્પન્નતાના ચિહ્નની બહાર સ્થિરાંક મૂકીને અને જટિલ કાર્યને અલગ પાડવા માટેનો નિયમ લાગુ કરીને વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

.
અહીં . પણ
.
ત્યારથી
.
પછી
.
એટલે કે, સૂત્ર (1) આ માટે પણ માન્ય છે:
(1) .

ઉચ્ચ ઓર્ડર ડેરિવેટિવ્ઝ

હવે ચાલો પાવર ફંક્શનના ઉચ્ચ ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ
(3) .
અમે પહેલાથી જ પ્રથમ ઓર્ડર વ્યુત્પન્ન શોધી લીધું છે:
.

વ્યુત્પન્નના ચિહ્નની બહારના સ્થિરાંકને લઈને, અમને બીજા-ક્રમનું વ્યુત્પન્ન મળે છે:
.
એ જ રીતે, અમને ત્રીજા અને ચોથા ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ મળે છે:
;

.

આના પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે મનસ્વી nth ઓર્ડરનું વ્યુત્પન્નનીચેના ફોર્મ ધરાવે છે:
.

આ ધ્યાન માં રાખો જો a છે કુદરતી સંખ્યા , પછી nth વ્યુત્પન્ન સ્થિર છે:
.
પછી તમામ અનુગામી ડેરિવેટિવ્ઝ શૂન્ય સમાન છે:
,
ખાતે

ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરીના ઉદાહરણો

ઉદાહરણ

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો:
.

ચાલો મૂળને શક્તિમાં રૂપાંતરિત કરીએ:
;
.
પછી મૂળ કાર્ય ફોર્મ લે છે:
.

શક્તિઓના વ્યુત્પન્ન શોધો:
;
.
સ્થિરાંકનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે:
.

કાર્યો જટિલ પ્રકારહંમેશા જટિલ કાર્યની વ્યાખ્યામાં બંધબેસતું નથી. જો ફોર્મ y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 નું કાર્ય હોય, તો તેને y = sin 2 xથી વિપરીત જટિલ ગણી શકાય નહીં.

આ લેખ જટિલ કાર્ય અને તેની ઓળખની વિભાવના બતાવશે. ચાલો નિષ્કર્ષમાં ઉકેલોના ઉદાહરણો સાથે વ્યુત્પન્ન શોધવા માટેના સૂત્રો સાથે કામ કરીએ. વ્યુત્પન્ન કોષ્ટક અને વિભેદક નિયમોનો ઉપયોગ વ્યુત્પન્ન શોધવા માટેનો સમય નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડે છે.

મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ

જટિલ કાર્ય એ છે જેની દલીલ પણ એક કાર્ય છે.

તે આ રીતે સૂચવવામાં આવે છે: f (g (x)). આપણી પાસે છે કે ફંક્શન g(x) ને દલીલ f(g(x)) ગણવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 2

જો ત્યાં ફંક્શન f હોય અને તે કોટેન્જેન્ટ ફંક્શન હોય, તો g(x) = ln x એ કુદરતી લઘુગણક કાર્ય છે. અમે શોધી કાઢ્યું છે કે જટિલ કાર્ય f (g (x)) arctg(lnx) તરીકે લખવામાં આવશે. અથવા ફંક્શન f, જે 4 થી ઘાત સુધી વધેલ ફંક્શન છે, જ્યાં g (x) = x 2 + 2 x - 3 એ સંપૂર્ણ તર્કસંગત કાર્ય માનવામાં આવે છે, અમે તે મેળવીએ છીએ f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

દેખીતી રીતે g(x) જટિલ હોઈ શકે છે. y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 ઉદાહરણ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે g ની કિંમત અપૂર્ણાંકનું ઘનમૂળ ધરાવે છે. આ અભિવ્યક્તિને y = f (f 1 (f 2 (x))) તરીકે સૂચિત કરી શકાય છે. જ્યાંથી આપણી પાસે છે કે f એ સાઈન ફંક્શન છે, અને f 1 એ વર્ગમૂળ હેઠળ સ્થિત ફંક્શન છે, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 એ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય છે.

વ્યાખ્યા 3

માળખાની ડિગ્રી કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અને તેને y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))) તરીકે લખવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 4

ફંક્શન કમ્પોઝિશનનો ખ્યાલ સમસ્યાની શરતો અનુસાર નેસ્ટેડ ફંક્શન્સની સંખ્યાનો સંદર્ભ આપે છે. ઉકેલવા માટે, ફોર્મના જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરો

(f (g (x)) " = f " (g (x)) g " (x)

ઉદાહરણો

ફોર્મ y = (2 x + 1) 2 ના જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો.

ઉકેલ

શરત બતાવે છે કે f એ સ્ક્વેરિંગ ફંક્શન છે, અને g(x) = 2 x + 1 એ રેખીય ફંક્શન ગણવામાં આવે છે.

ચાલો જટિલ કાર્ય માટે વ્યુત્પન્ન સૂત્ર લાગુ કરીએ અને લખીએ:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

કાર્યના સરળ મૂળ સ્વરૂપ સાથે વ્યુત્પન્ન શોધવું જરૂરી છે. અમને મળે છે:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

અહીંથી અમારી પાસે તે છે

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

પરિણામો સમાન હતા.

આ પ્રકારની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, એ સમજવું અગત્યનું છે કે ફોર્મ f અને g (x) નું કાર્ય ક્યાં સ્થિત હશે.

ઉદાહરણ 2

તમારે ફોર્મ y = sin 2 x અને y = sin x 2 ના જટિલ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવા જોઈએ.

ઉકેલ

પ્રથમ ફંક્શન નોટેશન કહે છે કે f એ સ્ક્વેરિંગ ફંક્શન છે અને g(x) એ સાઈન ફંક્શન છે. પછી આપણે તે મેળવીએ છીએ

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

બીજી એન્ટ્રી બતાવે છે કે f એ સાઈન ફંક્શન છે, અને g(x) = x 2 પાવર ફંક્શન સૂચવે છે. તે અનુસરે છે કે આપણે જટિલ કાર્યનું ઉત્પાદન આ રીતે લખીએ છીએ

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

વ્યુત્પન્ન y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))) માટેનું સૂત્ર y " = f " (f 1 (f 2 (f 3) તરીકે લખવામાં આવશે. . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · f 2 " (f 3 (... . . f n (x) )) )) · . . . fn "(x)

ઉદાહરણ 3

ફંક્શન y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) નું વ્યુત્પન્ન શોધો.

ઉકેલ

આ ઉદાહરણ ફંક્શનનું સ્થાન લખવા અને નક્કી કરવામાં મુશ્કેલી દર્શાવે છે. પછી y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) સૂચવો જ્યાં f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) એ સાઈન ફંક્શન છે, વધારવાનું કાર્ય 3 ડિગ્રી સુધી, લઘુગણક અને આધાર e સાથે કાર્ય, આર્કટેન્જેન્ટ અને રેખીય કાર્ય.

જટિલ કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરવાના સૂત્રમાંથી આપણી પાસે તે છે

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

આપણને જે શોધવાની જરૂર છે તે મેળવીએ છીએ

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ડેરિવેટિવ્સના કોષ્ટક અનુસાર સાઈનના વ્યુત્પન્ન તરીકે, પછી f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4)) x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) પાવર ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન તરીકે, પછી f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) લઘુગણક વ્યુત્પન્ન તરીકે, પછી f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) ચાપસ્પર્શકના વ્યુત્પન્ન તરીકે, પછી f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. વ્યુત્પન્ન f 4 (x) = 2 x શોધતી વખતે, 1 ની બરાબર ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શનના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વ્યુત્પત્તિના ચિહ્નમાંથી 2 દૂર કરો, પછી f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

અમે મધ્યવર્તી પરિણામોને જોડીએ છીએ અને તે મેળવીએ છીએ

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

આવા કાર્યોનું વિશ્લેષણ માળખાના ડોલ્સની યાદ અપાવે છે. ડેરિવેટિવ ટેબલનો ઉપયોગ કરીને ભેદભાવના નિયમો હંમેશા સ્પષ્ટપણે લાગુ કરી શકાતા નથી. ઘણીવાર તમારે જટિલ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવા માટે ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે.

જટિલ દેખાવ અને જટિલ કાર્યો વચ્ચે કેટલાક તફાવતો છે. આને અલગ પાડવાની સ્પષ્ટ ક્ષમતા સાથે, ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાનું ખાસ કરીને સરળ બનશે.

ઉદાહરણ 4

આવું ઉદાહરણ આપવાનું વિચારવું જરૂરી છે. જો y = t g 2 x + 3 t g x + 1 સ્વરૂપનું કાર્ય હોય, તો તેને g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 સ્વરૂપનું જટિલ કાર્ય ગણી શકાય. . દેખીતી રીતે, જટિલ વ્યુત્પન્ન માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x)) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

ફોર્મ y = t g x 2 + 3 t g x + 1 નું કાર્ય જટિલ માનવામાં આવતું નથી, કારણ કે તેમાં t g x 2, 3 t g x અને 1 નો સરવાળો છે. જો કે, t g x 2 એ જટિલ કાર્ય માનવામાં આવે છે, પછી આપણે ફોર્મ g (x) = x 2 અને f નું પાવર ફંક્શન મેળવીએ છીએ, જે એક સ્પર્શક કાર્ય છે. આ કરવા માટે, રકમ દ્વારા તફાવત કરો. અમે તે મેળવીએ છીએ

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

ચાલો જટિલ કાર્ય (t g x 2) નું વ્યુત્પન્ન શોધવા તરફ આગળ વધીએ ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

આપણને મળે છે કે y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

જટિલ પ્રકારનાં કાર્યોને જટિલ કાર્યોમાં સમાવી શકાય છે, અને જટિલ કાર્યો પોતે જટિલ પ્રકારનાં કાર્યોના ઘટકો હોઈ શકે છે.

ઉદાહરણ 5

ઉદાહરણ તરીકે, ફોર્મ y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) ફોર્મના જટિલ કાર્યને ધ્યાનમાં લો.

આ ફંક્શનને y = f (g (x)) તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં f નું મૂલ્ય બેઝ 3 લઘુગણકનું કાર્ય છે, અને g (x) એ ફોર્મ h (x) = ના બે કાર્યોનો સરવાળો ગણવામાં આવે છે. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 અને k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . દેખીતી રીતે, y = f(h(x) + k(x)).

h(x) ફંક્શનને ધ્યાનમાં લો. આ ગુણોત્તર છે l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 થી m (x) = e x 2 + 3 3

આપણી પાસે છે કે l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) એ બે કાર્યોનો સરવાળો છે n (x) = x 2 + 7 અને p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , જ્યાં p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) એ સંખ્યાત્મક ગુણાંક 3 સાથેનું જટિલ કાર્ય છે, અને p 1 એ ક્યુબ ફંક્શન છે, કોસાઇન ફંક્શન દ્વારા p 2, રેખીય કાર્ય દ્વારા p 3 (x) = 2 x + 1.

અમને જાણવા મળ્યું કે m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) એ બે કાર્યોનો સરવાળો છે q (x) = e x 2 અને r (x) = 3 3, જ્યાં q (x) = q 1 (q 2 (x)) એક જટિલ કાર્ય છે, q 1 એ ઘાતાંકીય સાથેનું કાર્ય છે, q 2 (x) = x 2 એ પાવર ફંક્શન છે.

આ બતાવે છે કે h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

જ્યારે k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) ની અભિવ્યક્તિ તરફ જતી વખતે, તે સ્પષ્ટ છે કે કાર્ય જટિલ s (s) ના સ્વરૂપમાં રજૂ થાય છે. x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) એક તર્કસંગત પૂર્ણાંક સાથે t (x) = x 2 + 1, જ્યાં s 1 એ વર્ગીકરણ કાર્ય છે, અને s 2 (x) = ln x લઘુગણક છે આધાર ઇ.

તે અનુસરે છે કે અભિવ્યક્તિ k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) સ્વરૂપ લેશે.

પછી આપણે તે મેળવીએ છીએ

y = લોગ 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3) x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

ફંક્શનની રચનાઓના આધારે, તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું કે અભિવ્યક્તિને અલગ કરતી વખતે તેને સરળ બનાવવા માટે કેવી રીતે અને કયા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. આવી સમસ્યાઓથી પરિચિત થવા અને તેમના ઉકેલની વિભાવના માટે, કાર્યને અલગ પાડવાના મુદ્દા તરફ વળવું જરૂરી છે, એટલે કે, તેનું વ્યુત્પન્ન શોધવું.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

સૂચનાઓ

મૂળનું વ્યુત્પન્ન શોધતા પહેલા, ઉકેલી રહેલા ઉદાહરણમાં હાજર અન્ય કાર્યો પર ધ્યાન આપો. જો સમસ્યામાં ઘણા આમૂલ અભિવ્યક્તિઓ છે, તો વર્ગમૂળનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે નીચેના નિયમનો ઉપયોગ કરો:

(√x)" = 1 / 2√x.

અને ઘનમૂળનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

(³√x)" = 1 / 3(³√x)²,

જ્યાં ³√x x નું ઘનમૂળ સૂચવે છે.

જો, ભિન્નતા માટે બનાવાયેલ હોય, તો અપૂર્ણાંકમાં ચલ હોય, તો પછી રુટને યોગ્ય ઘાતાંક સાથે પાવર ફંક્શનમાં રૂપાંતરિત કરો. વર્ગમૂળ માટે તે ½ ની શક્તિ હશે, અને ઘનમૂળ માટે તે ⅓ હશે:

√x = x^½,
³√х = x ^ ⅓,

જ્યાં ^ ઘાતીકરણ સૂચવે છે.

સામાન્ય રીતે અને x^1, x^⅓ ખાસ કરીને પાવર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, નીચેના નિયમનો ઉપયોગ કરો:

(x^n)" = n * x^(n-1).

મૂળના વ્યુત્પન્ન માટે, આ સંબંધ સૂચવે છે:

(x^½)" = ½ x ^ (-½) અને
(x^⅓)" = ⅓ x ^ (-⅔).

બધું અલગ કર્યા પછી, બાકીના ઉદાહરણને ધ્યાનથી જુઓ. જો તમારી પાસે તમારા જવાબમાં ખૂબ જ બોજારૂપ અભિવ્યક્તિ છે, તો તમે કદાચ તેને સરળ બનાવી શકો છો. મોટાભાગના શાળાના ઉદાહરણો એવી રીતે રચવામાં આવ્યા છે કે અંતિમ પરિણામ નાની સંખ્યા અથવા કોમ્પેક્ટ અભિવ્યક્તિ છે.

ઘણી વ્યુત્પન્ન સમસ્યાઓમાં, મૂળ (ચોરસ અને ઘન) અન્ય કાર્યો સાથે મળીને જોવા મળે છે. આ કિસ્સામાં મૂળનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, નીચેના નિયમોનો ઉપયોગ કરો:
અચળ (અચલ સંખ્યા, C)નું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે: C" = 0;
સ્થિર પરિબળ વ્યુત્પન્ન ચિન્હમાંથી લેવામાં આવે છે: (k*f)" = k * (f)" (f એક મનસ્વી કાર્ય છે);
અનેક કાર્યોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન એ ડેરિવેટિવ્સના સરવાળા જેટલું છે: (f + g)" = (f)" + (g)";
બે કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન સમાન છે... ના, ડેરિવેટિવ્ઝનું ઉત્પાદન નહીં, પરંતુ નીચેની અભિવ્યક્તિ: (fg)" = (f)"g + f (g)";
અવશેષનું વ્યુત્પન્ન પણ વ્યુત્પન્નના ભાગ સમાન નથી, પરંતુ તે નીચેના નિયમ અનુસાર જોવા મળે છે: (f/g)" = ((f)"g – f(g)") / g².

નૉૅધ

આ પૃષ્ઠ પર તમે ઑનલાઇન ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરી શકો છો અને સમસ્યાનો વિગતવાર ઉકેલ મેળવી શકો છો. ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્ઝનું સોલ્યુશન વિદ્યાર્થીઓ કોર્સમાં શીખે છે તે ભિન્નતાના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે ગાણિતિક વિશ્લેષણસંસ્થા ખાતે. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમારે ડેટા એન્ટ્રીના નિયમો અનુસાર "ફંક્શન" ફીલ્ડમાં તફાવત માટે ફંક્શન દાખલ કરવાની જરૂર છે.

મદદરૂપ સલાહ

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન એ ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના વધારાના ગુણોત્તરની મર્યાદા છે જ્યારે દલીલનો વધારો શૂન્ય તરફ વળે છે: આ વ્યાખ્યાનો ગાણિતિક અર્થ સમજવો બહુ સરળ નથી, કારણ કે શાળામાં બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં ફંક્શનની મર્યાદાનો ખ્યાલ કાં તો બિલકુલ અભ્યાસ કરવામાં આવતો નથી અથવા ખૂબ જ ઉપરછલ્લી રીતે અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. પરંતુ વિવિધ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ કેવી રીતે શોધવું તે શીખવા માટે, આ જરૂરી નથી.

સ્ત્રોતો:

• x નું વ્યુત્પન્ન મૂળ

વ્યુત્પન્ન શોધવાની કામગીરીને ભિન્નતા કહેવામાં આવે છે.

વ્યુત્પન્નને દલીલના વધારાના ગુણોત્તરની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીને સૌથી સરળ (અને ખૂબ જ સરળ નથી) કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાની સમસ્યાઓના ઉકેલના પરિણામે, ડેરિવેટિવ્સનું કોષ્ટક અને તફાવતના ચોક્કસ રીતે વ્યાખ્યાયિત નિયમો દેખાયા. . ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાના ક્ષેત્રમાં કામ કરનારા સૌપ્રથમ આઇઝેક ન્યૂટન (1643-1727) અને ગોટફ્રાઇડ વિલ્હેમ લીબનિઝ (1646-1716) હતા.

તેથી, અમારા સમયમાં, કોઈપણ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમારે ફંક્શનના ઇન્ક્રીમેન્ટ અને દલીલના વધારાના ગુણોત્તરની ઉપર જણાવેલ મર્યાદાની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી, પરંતુ તમારે ફક્ત કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. ડેરિવેટિવ્ઝ અને ભિન્નતાના નિયમો. વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે નીચેનો અલ્ગોરિધમ યોગ્ય છે.

વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમારે મુખ્ય ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિની જરૂર છે સરળ કાર્યોને ઘટકોમાં વિભાજીત કરોઅને કઈ ક્રિયાઓ નક્કી કરો (ઉત્પાદન, સરવાળો, ભાગ)આ કાર્યો સંબંધિત છે. વધુ ડેરિવેટિવ્ઝ પ્રાથમિક કાર્યોઅમે ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકમાં શોધીએ છીએ, અને ઉત્પાદનના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રો, સરવાળો અને ભાગ ભિન્નતાના નિયમોમાં છે. પ્રથમ બે ઉદાહરણો પછી વ્યુત્પન્ન કોષ્ટક અને ભિન્નતાના નિયમો આપવામાં આવ્યા છે.

ઉદાહરણ 1.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. ભિન્નતાના નિયમોમાંથી આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે કાર્યોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન એ કાર્યોના વ્યુત્પન્નનો સરવાળો છે, એટલે કે.

ડેરિવેટિવ્સના કોષ્ટકમાંથી આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે "x" નું વ્યુત્પન્ન એક સમાન છે, અને સાઈનનું વ્યુત્પન્ન કોસાઈન બરાબર છે. અમે આ મૂલ્યોને ડેરિવેટિવ્સના સરવાળામાં બદલીએ છીએ અને સમસ્યાની સ્થિતિ દ્વારા આવશ્યક વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

ઉદાહરણ 2.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. અમે રકમના વ્યુત્પન્ન તરીકે અલગ પાડીએ છીએ જેમાં બીજા પદમાં સતત પરિબળ હોય છે; તેને વ્યુત્પન્નના ચિહ્નમાંથી લઈ શકાય છે:

જો કંઈક ક્યાંથી આવે છે તે વિશે હજુ પણ પ્રશ્નો ઉભા થાય છે, તો તે સામાન્ય રીતે ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટક અને ભિન્નતાના સરળ નિયમોથી પોતાને પરિચિત કર્યા પછી સાફ કરવામાં આવે છે. અમે હમણાં તેમની તરફ આગળ વધી રહ્યા છીએ.

સરળ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક

1. અચળ (સંખ્યા)નું વ્યુત્પન્ન. કોઈપણ સંખ્યા (1, 2, 5, 200...) જે ફંક્શન એક્સપ્રેશનમાં છે. હંમેશા શૂન્ય સમાન. આ યાદ રાખવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે તે ઘણી વાર જરૂરી છે
2. સ્વતંત્ર ચલનું વ્યુત્પન્ન. મોટેભાગે "X". હંમેશા એક સમાન. આ લાંબા સમય સુધી યાદ રાખવું પણ જરૂરી છે
3. ડિગ્રીનું વ્યુત્પન્ન. સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, તમારે બિન-ચોરસ મૂળને શક્તિઓમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે.
4. પાવર -1 માટે ચલનું વ્યુત્પન્ન
5. વર્ગમૂળનું વ્યુત્પન્ન
6. સાઈનનું વ્યુત્પન્ન
7. કોસાઇનનું વ્યુત્પન્ન
8. સ્પર્શકનું વ્યુત્પન્ન
9. કોટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન
10. આર્ક્સીનનું વ્યુત્પન્ન
11. આર્કોસીનનું વ્યુત્પન્ન
12. આર્કટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન
13. આર્ક કોટેન્જેન્ટનું વ્યુત્પન્ન
14. કુદરતી લઘુગણકનું વ્યુત્પન્ન
15. લઘુગણક કાર્યનું વ્યુત્પન્ન
16. ઘાતાંકનું વ્યુત્પન્ન
17. ઘાતાંકીય કાર્યનું વ્યુત્પન્ન

ભિન્નતાના નિયમો

1. રકમ અથવા તફાવતનું વ્યુત્પન્ન
2. ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન
2a. અચલ અવયવ વડે ગુણાકાર કરેલ અભિવ્યક્તિનું વ્યુત્પન્ન
3. ભાગનું વ્યુત્પન્ન
4. જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન

નિયમ 1.જો કાર્યો

અમુક બિંદુએ ભિન્નતાપાત્ર હોય છે, તો પછી કાર્યો એક જ બિંદુએ વિભેદક હોય છે

અને

તે વિધેયોના બીજગણિતીય સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન આ વિધેયોના વ્યુત્પન્નોના બીજગણિતીય સરવાળા જેટલું છે.

પરિણામ. જો બે વિભેદક કાર્યો એક અચળ પદ દ્વારા અલગ પડે છે, તો તેમના ડેરિવેટિવ્ઝ સમાન છે, એટલે કે

નિયમ 2.જો કાર્યો

અમુક સમયે અલગ કરી શકાય છે, તો પછી તેમનું ઉત્પાદન તે જ બિંદુએ અલગ કરી શકાય છે

અને

તે બે કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન આ દરેક કાર્યોના ઉત્પાદનના સરવાળા અને અન્યના વ્યુત્પન્ન સમાન છે.

કોરોલરી 1. સતત પરિબળ વ્યુત્પન્નની નિશાનીમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:

કોરોલરી 2. વિવિધ વિભેદક કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન દરેક પરિબળ અને અન્ય તમામના વ્યુત્પન્નના ઉત્પાદનોના સરવાળા જેટલું છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ ગુણક માટે:

નિયમ 3.જો કાર્યો

અમુક સમયે અલગ કરી શકાય છે અને , પછી આ બિંદુએ તેમનો ભાગ પણ અલગ છેu/v , અને

તે બે કાર્યોના અવશેષનું વ્યુત્પન્ન અપૂર્ણાંક સમાન છે, જેનો અંશ એ છેદના ઉત્પાદનો અને અંશ અને અંશના વ્યુત્પન્ન અને છેદના વ્યુત્પન્ન વચ્ચેનો તફાવત છે, અને છેદ એ છેદનો વર્ગ છે ભૂતપૂર્વ અંશ

અન્ય પૃષ્ઠો પર વસ્તુઓ ક્યાં શોધવી

વાસ્તવિક સમસ્યાઓમાં ઉત્પાદનના વ્યુત્પન્ન અને ભાગાંકને શોધતી વખતે, એક સાથે અનેક વિભેદક નિયમો લાગુ કરવા હંમેશા જરૂરી છે, તેથી લેખમાં આ વ્યુત્પન્નતાઓ પર વધુ ઉદાહરણો છે."ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન અને કાર્યોનો ભાગ".

ટિપ્પણી.તમારે સતત (એટલે ​​​​કે સંખ્યા) ને સરવાળામાં શબ્દ તરીકે અને સતત પરિબળ તરીકે મૂંઝવવું જોઈએ નહીં! શબ્દના કિસ્સામાં, તેનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે, અને સતત પરિબળના કિસ્સામાં, તે વ્યુત્પન્નતાની નિશાનીમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે છે. આ લાક્ષણિક ભૂલ, જે પર થાય છે પ્રારંભિક તબક્કોડેરિવેટિવ્ઝનો અભ્યાસ કરે છે, પરંતુ જેમ જેમ તેઓ ઘણા એક- અને બે-ભાગના ઉદાહરણો ઉકેલે છે, સરેરાશ વિદ્યાર્થી હવે આ ભૂલ કરતો નથી.

અને જો, ઉત્પાદન અથવા ભાગને અલગ કરતી વખતે, તમારી પાસે એક શબ્દ છે u"વિ, જેમાં u- એક સંખ્યા, ઉદાહરણ તરીકે, 2 અથવા 5, એટલે કે, એક સ્થિર, પછી આ સંખ્યાનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર હશે અને, તેથી, સમગ્ર શબ્દ શૂન્ય સમાન હશે (આ કેસની ચર્ચા ઉદાહરણ 10 માં કરવામાં આવી છે).

અન્ય એક સામાન્ય ભૂલ યાંત્રિક રીતે જટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્નને સરળ કાર્યના વ્યુત્પન્ન તરીકે હલ કરવાની છે. એ કારણે જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્નએક અલગ લેખ સમર્પિત છે. પરંતુ પહેલા આપણે સરળ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાનું શીખીશું.

રસ્તામાં, તમે અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન કર્યા વિના કરી શકતા નથી. આ કરવા માટે, તમારે નવી વિંડોઝમાં મેન્યુઅલ ખોલવાની જરૂર પડી શકે છે. શક્તિઓ અને મૂળ સાથેની ક્રિયાઓઅને અપૂર્ણાંક સાથે કામગીરી .

જો તમે અપૂર્ણાંકના ડેરિવેટિવ્ઝ માટેના ઉકેલો શોધી રહ્યા હોવ તો પાવર અને મૂળ સાથે, એટલે કે જ્યારે ફંક્શન આના જેવું દેખાય છે , પછી "શક્તિઓ અને મૂળ સાથેના અપૂર્ણાંકોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન" પાઠ અનુસરો.

જો તમારી પાસે કોઈ કાર્ય છે જેમ કે , પછી તમે "સરળ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના વ્યુત્પન્ન" પાઠ લેશો.

સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ઉદાહરણો - ડેરિવેટિવ કેવી રીતે શોધવું

ઉદાહરણ 3.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. અમે કાર્ય અભિવ્યક્તિના ભાગોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ: સમગ્ર અભિવ્યક્તિ ઉત્પાદનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, અને તેના પરિબળો સરવાળો છે, જેમાંથી બીજામાંના એકમાં એક સ્થિર પરિબળ છે. અમે ઉત્પાદન ભિન્નતાનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ: બે કાર્યોના ઉત્પાદનનું વ્યુત્પન્ન બીજાના વ્યુત્પન્ન દ્વારા આ દરેક કાર્યોના ઉત્પાદનના સરવાળા જેટલું છે:

આગળ, અમે સરવાળાના તફાવતનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ: વિધેયોના બીજગણિતીય સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન આ વિધેયોના ડેરિવેટિવ્ઝના બીજગણિત સરવાળા જેટલું છે. અમારા કિસ્સામાં, દરેક રકમમાં બીજા શબ્દમાં બાદબાકીનું ચિહ્ન હોય છે. દરેક રકમમાં આપણે સ્વતંત્ર ચલ બંને જોઈએ છીએ, જેનું વ્યુત્પન્ન એક સમાન છે અને એક સ્થિર (સંખ્યા), જેનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે. તેથી, "X" એકમાં ફેરવાય છે, અને માઈનસ 5 શૂન્યમાં ફેરવાય છે. બીજા અભિવ્યક્તિમાં, "x" ને 2 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, તેથી આપણે "x" ના વ્યુત્પન્ન તરીકે સમાન એકમ દ્વારા બેનો ગુણાકાર કરીએ છીએ. અમે નીચેના વ્યુત્પન્ન મૂલ્યો મેળવીએ છીએ:

અમે મળેલા ડેરિવેટિવ્સને ઉત્પાદનોના સરવાળામાં બદલીએ છીએ અને સમસ્યાની સ્થિતિ દ્વારા જરૂરી સમગ્ર કાર્યનું વ્યુત્પન્ન મેળવીએ છીએ:

અને તમે વ્યુત્પન્ન સમસ્યાનો ઉકેલ તપાસી શકો છો.

ઉદાહરણ 4.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. આપણે અવશેષનું વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર છે. અમે અવશેષને અલગ પાડવા માટેનું સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ: બે કાર્યોના અવશેષનું વ્યુત્પન્ન એ અપૂર્ણાંક સમાન છે, જેનો અંશ એ છેદના ઉત્પાદનો અને અંશ અને અંશના વ્યુત્પન્ન વચ્ચેનો તફાવત છે. છેદ, અને છેદ એ ભૂતપૂર્વ અંશનો વર્ગ છે. અમને મળે છે:

આપણે ઉદાહરણ 2 માં અંશમાં પરિબળનું વ્યુત્પન્ન પહેલેથી જ શોધી કાઢ્યું છે. ચાલો આપણે એ પણ ન ભૂલીએ કે ઉત્પાદન, જે વર્તમાન ઉદાહરણમાં અંશમાં બીજું પરિબળ છે, તેને ઓછા ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવ્યું છે:

જો તમે સમસ્યાઓના ઉકેલો શોધી રહ્યા છો જેમાં તમારે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર હોય, જ્યાં મૂળ અને શક્તિઓનો સતત ઢગલો હોય, જેમ કે, ઉદાહરણ તરીકે, , પછી વર્ગમાં આપનું સ્વાગત છે "શક્તિઓ અને મૂળ સાથેના અપૂર્ણાંકોના સરવાળાનું વ્યુત્પન્ન" .

જો તમારે સાઈન, કોસાઈન્સ, ટેન્જેન્ટ અને અન્ય ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝ વિશે વધુ જાણવાની જરૂર હોય, એટલે કે જ્યારે ફંક્શન આના જેવું દેખાય છે , પછી તમારા માટે એક પાઠ "સરળ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના વ્યુત્પન્ન" .

ઉદાહરણ 5.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. આ ફંક્શનમાં આપણે ઉત્પાદન જોઈએ છીએ, જેમાંથી એક પરિબળ એ સ્વતંત્ર ચલનું વર્ગમૂળ છે, જેનું વ્યુત્પન્ન આપણે આપણી જાતને ડેરિવેટિવ્સના કોષ્ટકમાં ઓળખીએ છીએ. વર્ગમૂળના વ્યુત્પન્નના ઉત્પાદન અને ટેબ્યુલર મૂલ્યને અલગ પાડવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

તમે પર વ્યુત્પન્ન સમસ્યાના ઉકેલને ચકાસી શકો છો ઑનલાઇન ડેરિવેટિવ્ઝ કેલ્ક્યુલેટર .

ઉદાહરણ 6.ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો

ઉકેલ. આ ફંક્શનમાં આપણે એક ભાગ જોઈએ છીએ જેનું ડિવિડન્ડ સ્વતંત્ર ચલનું વર્ગમૂળ છે. અવશેષોના ભિન્નતાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, જે આપણે ઉદાહરણ 4 માં પુનરાવર્તિત અને લાગુ કર્યું છે, અને વર્ગમૂળના વ્યુત્પન્નના ટેબ્યુલેટેડ મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ:

અંશમાં અપૂર્ણાંકમાંથી છુટકારો મેળવવા માટે, અંશ અને છેદને વડે ગુણાકાર કરો.

1. મનસ્વી ડિગ્રીના મૂળના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રનો સામાન્ય કેસ- અંશમાં એક અપૂર્ણાંક કે જેમાં એક છે, અને છેદમાં મૂળની શક્તિની સમાન સંખ્યા કે જેના માટે વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવામાં આવી હતી, સમાન શક્તિના મૂળ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો, જેની આમૂલ અભિવ્યક્તિ એક ચલ છે મૂળની શક્તિ કે જેના માટે વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવામાં આવી હતી, એક દ્વારા ઘટાડો
2. ચોરસ મૂળ વ્યુત્પન્ન- અગાઉના સૂત્રનો એક વિશેષ કેસ છે. x ના વર્ગમૂળનું વ્યુત્પન્નએક અપૂર્ણાંક છે જેનો અંશ એક છે અને છેદ x ના વર્ગમૂળના બે ગણા છે
3. ઘનમૂળનું વ્યુત્પન્ન, પણ ખાસ કેસ સામાન્ય સૂત્ર. ઘનમૂળનું વ્યુત્પન્ન એ x વર્ગના ત્રણ ઘનમૂળ વડે ભાગ્યા એક છે.

નીચે રૂપાંતરણો છે જે સમજાવે છે કે શા માટે ચોરસ અને ઘનમૂળના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવા માટેના સૂત્રો આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે બરાબર છે.

અલબત્ત, તમારે આ સૂત્રોને બિલકુલ યાદ રાખવાની જરૂર નથી, જો તમે ધ્યાનમાં લો કે વ્યુત્પન્ન શક્તિના મૂળને કાઢવા એ અપૂર્ણાંકને વધારવા સમાન છે જેનો છેદ સમાન શક્તિ સમાન છે. પછી મૂળનું વ્યુત્પન્ન શોધવું એ અનુરૂપ અપૂર્ણાંકની શક્તિનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટેના સૂત્રને લાગુ કરવા માટે ઘટાડવામાં આવે છે..

વર્ગમૂળ હેઠળના ચલનું વ્યુત્પન્ન

સમજૂતી:
(√x)" = (x 1/2)"

સ્ક્વેર રૂટ 1/2 ની શક્તિ વધારવા જેવી જ ક્રિયા છે,આનો અર્થ એ છે કે રુટનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, તમે ચલના વ્યુત્પન્નને મનસ્વી શક્તિમાં શોધવા માટેના નિયમમાંથી સૂત્ર લાગુ કરી શકો છો:

(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

ઘનમૂળનું વ્યુત્પન્ન (ત્રીજા મૂળનું વ્યુત્પન્ન)

ઘનમૂળને 1/3ની ઘાત તરીકે કલ્પના કરો અને તેના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન શોધો સામાન્ય નિયમોતફાવત સંક્ષિપ્ત સૂત્ર ઉપરના ચિત્રમાં જોઈ શકાય છે, અને નીચે શા માટે આવું છે તેની સમજૂતી છે.

ઘાત -2/3 1/3 માંથી એક બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે