A trigonometriában sok képletet könnyebb levezetni, mint megjegyezni. A kettős szög koszinusza egy csodálatos képlet! Lehetővé teszi, hogy képleteket kapjon a fokok csökkentésére és képleteket a félszögekre.
Tehát szükségünk van a kettős szög és a trigonometrikus egység koszinuszára:
Még hasonlóak is: a duplaszögű koszinusz képletben a koszinusz és a szinusz négyzeteinek különbsége, a trigonometrikus egységben pedig az összegük. Ha a trigonometrikus egységből fejezzük ki a koszinuszát:
és behelyettesítjük a kettős szög koszinuszába, kapjuk:
Ez egy másik kettős szögű koszinusz képlet:
Ez a képlet a kulcs a redukciós képlet megszerzéséhez:
Tehát a szinusz mértékének csökkentésére szolgáló képlet a következő:
Ha benne az alfa-szöget fele-fele szöggel helyettesítjük, és a két alfa kettős szöget egy alfa-szöggel, akkor megkapjuk a szinusz félszög-képletét:
Most már a trigonometrikus egységből ki tudjuk fejezni a szinust:
Helyettesítsük be ezt a kifejezést a duplaszögű koszinusz képletbe:
Kaptunk egy másik képletet a kettős szög koszinuszára:
Ez a képlet a kulcs a koszinusz hatványának és a koszinusz félszögének csökkentésére.
Így a koszinusz mértékének csökkentésére szolgáló képlet a következő:
Ha α-t α/2-vel, 2α-t α-val helyettesítjük, megkapjuk a koszinusz félargumentumának képletét:
Mivel az érintő a szinusz és a koszinusz aránya, az érintő képlete a következő:
A kotangens a koszinusz és a szinusz aránya. Ezért a kotangens képlete a következő:
Természetesen a trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése során nincs értelme minden alkalommal fél szögre képleteket származtatni vagy fokot csökkenteni. Sokkal egyszerűbb egy képletekkel ellátott papírlapot maga elé tenni. És az egyszerűsítés gyorsabban halad, és a vizuális memória bekapcsolja a memorizálást.
De érdemes ezeket a képleteket többször is levezetni. Akkor teljesen biztos lesz abban, hogy a vizsga során, amikor nem lehet csalólapot használni, akkor könnyen megkapja őket, ha úgy kívánja.
Az alapvető trigonometrikus függvények - szinusz, koszinusz, érintő és kotangens - közötti kapcsolatokat megadjuk. trigonometrikus képletek. És mivel elég sok kapcsolat van a trigonometrikus függvények között, ez magyarázza a trigonometrikus képletek bőségét. Egyes képletek azonos szögű trigonometrikus függvényeket kapcsolnak össze, mások - többszögű függvényeket, mások - lehetővé teszik a fok csökkentését, negyedik - az összes függvényt a félszög érintőjén keresztül fejezik ki, stb.
Ebben a cikkben sorra felsoroljuk az összes alapvető trigonometrikus képletet, amelyek elegendőek a trigonometriai feladatok túlnyomó többségének megoldásához. A könnyebb memorizálás és használat érdekében cél szerint csoportosítjuk és táblázatokba foglaljuk őket.
Oldalnavigáció.
Alapvető trigonometrikus azonosságok
Alapvető trigonometrikus azonosságok Határozza meg a kapcsolatot egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között. Következnek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciójából, valamint az egységkör fogalmából. Lehetővé teszik egy trigonometrikus függvény kifejezését bármely másik függvényben.
Ezen trigonometriai képletek részletes leírását, származtatásukat és alkalmazási példákat a cikkben talál.
Redukciós képletek
Redukciós képletek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens tulajdonságaiból következnek, vagyis tükrözik a periodicitás tulajdonságát trigonometrikus függvények, a szimmetria tulajdonsága, valamint az adott szöggel való eltolás tulajdonsága. Ezek a trigonometrikus képletek lehetővé teszik, hogy a tetszőleges szögekkel történő munkavégzésről a nulla és 90 fok közötti szögekkel történő munkavégzésre váltson.
Ezeknek a képleteknek az indoklása, a memorizálásukra vonatkozó mnemonikus szabály és az alkalmazásukra vonatkozó példák tanulmányozhatók a cikkben.
Összeadási képletek
Trigonometrikus képletek kiegészítés mutasd meg, hogyan fejeződnek ki két szög összegének vagy különbségének trigonometrikus függvényei e szögek trigonometrikus függvényei. Ezek a képletek szolgálnak alapul a következő trigonometrikus képletek levezetéséhez.
Képletek dupla, hármas stb. szög
Képletek dupla, hármas stb. szög (ezeket többszörös szögképleteknek is nevezik) megmutatják, hogy a dupla, tripla stb. trigonometrikus függvényei. a szögeket () egyetlen szög trigonometrikus függvényében fejezzük ki. Levezetésük összeadási képleteken alapul.
A részletesebb információkat a dupla, tripla stb. cikkre vonatkozó képletek gyűjtik össze. szög
Félszög képletek
Félszög képletek mutasd meg, hogyan fejeződnek ki egy félszög trigonometrikus függvényei a teljes szög koszinuszában. Ezek a trigonometrikus képletek a kettős szög képletekből következnek.
Következtetésük és alkalmazási példáik a cikkben találhatók.
Fokozatcsökkentési képletek
Trigonometrikus képletek a fokok csökkentésére célja, hogy megkönnyítse az átmenetet természetes fokok trigonometrikus függvények szinuszokhoz és koszinuszokhoz az első fokig, de több szögből. Más szóval, lehetővé teszik a trigonometrikus függvények hatványainak csökkentését az elsőre.
Képletek a trigonometrikus függvények összegére és különbségére
A fő cél képletek a trigonometrikus függvények összegére és különbségére a függvények szorzatához kell menni, ami nagyon hasznos a trigonometrikus kifejezések egyszerűsítésekor. Ezeket a képleteket széles körben használják a megoldásban is trigonometrikus egyenletek, mivel lehetővé teszik a szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének faktorizálását.
Képletek szinuszok, koszinuszok és szinuszok koszinuszonkénti szorzatára
A trigonometrikus függvények szorzatáról összegre vagy különbségre való átmenet a szinuszok, koszinuszok és szinuszról koszinuszra vonatkozó képletekkel történik.
Univerzális trigonometrikus helyettesítés
A trigonometria alapképleteinek áttekintését a trigonometrikus függvényeket a félszög érintőjével kifejező képletekkel egészítjük ki. Ezt a helyettesítést hívták univerzális trigonometrikus helyettesítés. Kényelme abban rejlik, hogy minden trigonometrikus függvényt a félszög érintőjével fejezünk ki racionálisan, gyök nélkül.
Bibliográfia.
- Algebra: Tankönyv 9. osztály számára. átl. iskola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Szerk. S. A. Telyakovsky - M.: Oktatás, 1990. - 272 pp.: ISBN 5-09-002727-7
- Basmakov M. I. Az algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv. 10-11 évfolyamnak. átl. iskola - 3. kiadás - M.: Nevelés, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebraés az elemzés kezdete: Proc. 10-11 évfolyamnak. Általános oktatás intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorov - 14. kiadás - M.: Oktatás, 2004. - 384 p.: ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépőknek): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.
A szerzői jog okos hallgatók tulajdona
Minden jog fenntartva.
Szerzői jogi törvény védi. Az oldalnak nincs része, beleértve belső anyagokés a megjelenés semmilyen formában nem reprodukálható vagy felhasználható a szerzői jog tulajdonosának előzetes írásbeli engedélye nélkül.
Most megvizsgáljuk azt a kérdést, hogyan ábrázoljuk több szög trigonometrikus függvényeit ωx, Ahol ω - néhány pozitív szám.
Függvény ábrázolása y = bűn ωx Hasonlítsuk össze ezt a függvényt a már tanulmányozott függvénnyel y = sin x. Tegyük fel, hogy mikor x = x 0 funkció y = sin x 0-val egyenlő értéket vesz fel. Akkor
y 0 = sin x 0 .
Alakítsuk át ezt a kapcsolatot a következőképpen:
Ezért a függvény y = bűn ωx nál nél x = x 0 / ω ugyanazt az értéket veszi fel nál nél 0 , ami megegyezik a funkcióval y = sin x nál nél x = x 0 . Ez azt jelenti, hogy a függvény y = bűn ωx megismétli a jelentését ω többször gyakrabban, mint a funkció y = sin x. Ezért a függvény grafikonja y = bűn ωx a függvény grafikonjának "tömörítésével" kapjuk y = sin x V ω alkalommal az x tengely mentén.
Például egy függvény grafikonja y = sin 2x szinuszos „tömörítésével” nyerjük y = sin x kétszer az abszcissza tengely mentén.
Egy függvény grafikonja y = sin x / 2 úgy kapjuk, hogy az y = sin x szinuszot kétszer „kinyújtjuk” (vagy „összenyomjuk”. 1 / 2 alkalommal) az x tengely mentén.
Mivel a funkció y = bűn ωx megismétli a jelentését ω
többször gyakrabban, mint a funkció
y = sin x, akkor a periódusa az ω
szor kisebb, mint a függvény periódusa y = sin x. Például a függvény periódusa y = sin 2x egyenlő 2π/2 = π
, és a függvény periódusa y = sin x / 2
egyenlő π
/
x/ 2
= 4π .
Érdekes tanulmányozni a függvény viselkedését y = sin ax animáció példájával, ami nagyon egyszerűen elkészíthető a programban Juharfa:
Hasonló módon készülnek más, többszögű trigonometrikus függvények grafikonjai is. Az ábra a függvény grafikonját mutatja y = cos 2x, amelyet a koszinuszhullám „tömörítésével” kapunk y = cos x kétszer az x tengely mentén.
Egy függvény grafikonja y = cos x / 2 a koszinuszhullám „nyújtásával” kapjuk y = cos x megkétszerezve az x tengely mentén.
Az ábrán a függvény grafikonja látható y = barna 2x, amelyet a tangenszoidok „összenyomásával” kapunk y = barna x kétszer az abszcissza tengely mentén.
Egy függvény grafikonja y = tg x/ 2 , amelyet a tangentsoidok „nyújtásával” kapunk y = barna x megkétszerezve az x tengely mentén.
És végül a program által előadott animáció Juharfa:
Feladatok
1. Készítsen grafikonokat ezekről a függvényekről, és jelölje meg e gráfok és a koordinátatengelyek metszéspontjainak koordinátáit. Határozza meg e függvények periódusait!
A). y = bűn 4x/ 3 G). y = barna 5x/ 6 és). y = cos 2x/ 3
b). y= cos 5x/ 3 d). y = ctg 5x/ 3 h). y=ctg x/ 3
V). y = barna 4x/ 3 e). y = bűn 2x/ 3
2. Határozza meg a függvények periódusait! y = bűn (πх)És y = tg (πх/2).
3. Adjon két példát olyan függvényekre, amelyek minden értéket felvesznek -1-től +1-ig (beleértve ezt a két számot is), és rendszeresen változnak a 10-es periódussal.
4 *. Adjon két példát olyan függvényekre, amelyek minden értéket 0-tól 1-ig vesznek (beleértve ezt a két számot is), és periodikusan változnak egy ponttal π/2.
5. Adjon két példát olyan függvényekre, amelyek minden valós értéket vesznek fel, és periodikusan változnak az 1. periódussal.
6 *. Adjon két példát olyan függvényekre, amelyek elfogadják az összes negatív értéket és a nullát, de nem fogadják el a pozitív értékeket, és időszakonként 5-ös periódussal változnak.
