Egy háromszög szomszédos szögei. Szomszédos és függőleges szögek

Mi a szomszédos szög

Sarok- Ezt geometriai alakzat(1. ábra), amelyet két OA és OB sugár alkot (a szög oldalai), amelyek egy O pontból (a szög csúcsából) erednek.

SZOMSZÉD SZAROKOK- két szög, amelyek összege 180°. Ezen szögek mindegyike kiegészíti a másikat a teljes szöggel.

Szomszédos szögek- (Agles adjacets) azok, amelyeknek közös tetejük és közös oldaluk van. Ez az elnevezés többnyire olyan szögekre utal, amelyeknek a fennmaradó két oldala egy áthúzott egyenes ellentétes irányába esik.

Két szöget szomszédosnak nevezünk, ha az egyik oldaluk közös, és ezeknek a szögeknek a többi oldala komplementer félegyenes.

rizs. 2

A 2. ábrán az a1b és a2b szögek szomszédosak. Közös b oldaluk van, az a1, a2 oldalak pedig további félegyenesek.

rizs. 3

A 3. ábra az AB egyenest mutatja, a C pont az A és B pontok között található. A D pont egy olyan pont, amely nem az AB egyenesen fekszik. Kiderült, hogy a BCD és az ACD szögek szomszédosak. Közös CD oldaluk van, a CA és a CB oldalak pedig az AB egyenes további félegyenesei, mivel az A, B pontokat a C kezdőpont választja el.

Szomszédos szög tétel

Tétel: a szomszédos szögek összege 180°

Bizonyíték:
Az a1b és a2b szögek szomszédosak (lásd a 2. ábrát). A b sugár a kihajtott szög a1 és a2 oldalai között halad át. Ezért az a1b és a2b szögek összege egyenlő a kialakult szöggel, azaz 180°. A tétel bebizonyosodott.

A 90°-os szöget derékszögnek nevezzük. A szomszédos szögek összegére vonatkozó tételből az következik, hogy a derékszöggel szomszédos szög is derékszög. A 90°-nál kisebb szöget hegyesnek, a 90°-nál nagyobb szöget tompaszögnek nevezzük. Mivel a szomszédos szögek összege 180°, ezért a hegyesszöggel szomszédos szög tompaszög. A tompaszöggel szomszédos szög hegyesszög.

Szomszédos szögek- két közös csúcsú szög, amelynek egyik oldala közös, a többi oldal pedig ugyanazon az egyenesen fekszik (nem egybeesik). A szomszédos szögek összege 180°.

1. definíció. A szög egy sík része, amelyet két közös eredetű sugár határol.

Meghatározás 1.1. A szög olyan alakzat, amely egy pontból - a szög csúcsából - és az ebből a pontból kiinduló két különböző félegyenesből - a szög oldalaiból - áll.
Például a BOC szög az 1. ábrán Nézzünk először két egymást metsző egyenest. Amikor az egyenesek metszik egymást, szögeket alkotnak. Vannak speciális esetek:

2. definíció. Ha egy szög oldalai egy egyenes további félegyenesei, akkor a szöget fejlettnek nevezzük.

3. definíció. A derékszög egy 90 fokos szög.

4. definíció. A 90 foknál kisebb szöget hegyesszögnek nevezzük.

5. definíció. A 90 foknál nagyobb és 180 foknál kisebb szöget tompaszögnek nevezzük.
metsző vonalak.

6. definíció. Két szöget, amelyek egyik oldala közös, a másik oldala pedig ugyanazon az egyenesen fekszik, szomszédosnak nevezzük.

7. definíció. Azokat a szögeket, amelyek oldalai folytatják egymást, függőleges szögeknek nevezzük.
Az 1. ábrán:
szomszédos: 1 és 2; 2. és 3.; 3. és 4.; 4 és 1
függőleges: 1 és 3; 2. és 4
1. tétel. A szomszédos szögek összege 180 fok.
A bizonyításhoz vegye figyelembe az ábrát. 4 szomszédos szög AOB és BOC. Összegük az AOC kifejtett szög. Ezért ezeknek a szomszédos szögeknek az összege 180 fok.

rizs. 4

A matematika és a zene kapcsolata

„A művészetről és a tudományról, azok kölcsönös összefüggéseiről és ellentmondásairól gondolkodva arra a következtetésre jutottam, hogy a matematika és a zene az emberi szellem legszélső pólusaihoz tartozik, hogy az ember minden kreatív szellemi tevékenységét ez a két antipód korlátozza és határozza meg, és minden közöttük van, amit az emberiség a tudomány és a művészet területén alkotott."
G. Neuhaus
Úgy tűnik, hogy a művészet nagyon elvont terület a matematikától. A matematika és a zene kapcsolata azonban mind történelmileg, mind belsőleg meghatározott, annak ellenére, hogy a tudományok közül a matematika a legelvontabb, a zene pedig a művészet legelvontabb formája.
A konszonancia határozza meg a húr kellemes hangját
Ez a zenei rendszer két törvényen alapult, amelyek két nagy tudós – Pythagoras és Archytas – nevét viselik. Ezek a törvények:
1. Két hangzó húr akkor határoz meg összhangzást, ha hosszuk egy 10=1+2+3+4 háromszögszámot képező egész számként kapcsolódik, azaz. például 1:2, 2:3, 3:4. Sőt, minél kisebb az n szám az n:(n+1) arányban (n=1,2,3), annál konszonánsabb a kapott intervallum.
2. A hangzó húr w rezgési frekvenciája fordítottan arányos l hosszával.
w = a:l,
ahol a a karakterlánc fizikai tulajdonságait jellemző együttható.

Egy vicces paródiát is ajánlok két matematikus vitájáról =)

Geometria körülöttünk

A geometriának nem kis jelentősége van életünkben. Annak köszönhetően, hogy ha körülnézünk, nem lesz nehéz észrevenni, hogy különféle geometriai formák vesznek körül bennünket. Mindenhol találkozunk velük: az utcán, az osztályteremben, otthon, a parkban, a tornateremben, az iskolai büfében, lényegében bárhol is vagyunk. De a mai óra témája a szomszédos szén. Nézzünk hát körül, és próbáljunk szögeket találni ebben a környezetben. Ha alaposan megnézi az ablakot, láthatja, hogy néhány faág szomszédos sarkokat alkot, és a kapu válaszfalain sok függőleges szöget láthat. Mondjon saját példákat a környezetében megfigyelt szomszédos szögekre.

1. Feladat.

1. Egy könyv van az asztalon, egy könyvállványon. Milyen szöget alkot?
2. De a diák laptopon dolgozik. Milyen szöget látsz itt?
3. Milyen szöget zár be a képkeret az állványon?
4. Szerinted lehetséges, hogy két szomszédos szög egyenlő?

2. feladat.

Ön előtt egy geometriai alakzat. Milyen figura ez, nevezd el? Most nevezze meg az összes szomszédos szöget, amelyet ezen a geometriai ábrán láthat.

3. feladat.

Itt van egy kép egy rajzról és festményről. Nézze meg őket figyelmesen, és mondja el, milyen halfajtákat lát a képen, és milyen szögeket lát a képen.

Problémamegoldás

Matematikai diktálás a korábban tanult anyagok áttekintésére

Problémákat megoldani:

1. Megfelelhet-e 100°-nak a 2 egyenes metszéspontjából képzett 3 szög összege? 370°?
2. Az ábrán keresse meg az összes szomszédos szögpárt! És most a függőleges szögek. Nevezze meg ezeket a szögeket!

3. Meg kell találnia egy szöget, amikor az háromszor nagyobb, mint a szomszédos.
4. Két egyenes metszi egymást. Ennek a kereszteződésnek köszönhetően négy sarok alakult ki. Határozza meg bármelyik értékét, feltéve, hogy:

a) négyből 2 szög összege 84°;
b) 2 szög különbsége 45°;
c) az egyik szög négyszer kisebb, mint a második;
d) e szögek közül három összege 290°.

Óra összefoglalója

1. nevezd meg azokat a szögeket, amelyek 2 egyenes metszésénél keletkeznek?
2. Nevezze meg az ábrán látható összes lehetséges szögpárt, és határozza meg típusát!

Házi feladat:

1. Határozza meg a szomszédos szögek fokmértékeinek arányát, ha az egyik 54°-kal nagyobb, mint a második!
2. Határozza meg azokat a szögeket, amelyek 2 egyenes metszésénél keletkeznek, feltéve, hogy az egyik szög egyenlő a vele szomszédos másik 2 szög összegével!
3. Meg kell találni a szomszédos szögeket, amikor az egyik felezőpontja a második oldalával olyan szöget zár be, amely 60°-kal nagyobb, mint a második szög.
4. 2 szomszédos szög különbsége e két szög összegének harmadával egyenlő. Határozza meg 2 szomszédos szög értékét!
5. 2 szomszédos szög különbsége és összege 1:5 arányban van. Keresse meg a szomszédos szögeket.
6. Két szomszédos között a különbség az összegük 25%-a. Hogyan függ össze a két szomszédos szög értéke? Határozza meg 2 szomszédos szög értékét!

Kérdések:

1. Mi az a szög?
2. Milyen típusú szögek léteznek?
3. Mi a szomszédos szögek tulajdonsága?

Két szöget szomszédosnak nevezünk, ha az egyik oldaluk közös, és ezeknek a szögeknek a másik oldala komplementer sugarak. A 20. ábrán az AOB és a BOC szögek szomszédosak.

A szomszédos szögek összege 180°

1. Tétel. A szomszédos szögek összege 180°.

Bizonyíték. Az OB gerenda (lásd az 1. ábrát) áthalad a kibontott szög oldalai között. Ezért ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Az 1. tételből az következik, hogy ha két szög egyenlő, akkor a szomszédos szögeik egyenlőek.

A függőleges szögek egyenlőek

Két szöget függőlegesnek nevezünk, ha az egyik szög oldalai a másik oldalának komplementer sugarai. A két egyenes metszéspontjában kialakított AOB és COD, BOD és AOC szögek függőlegesek (2. ábra).

2. Tétel. A függőleges szögek egyenlőek.

Bizonyíték. Tekintsük az AOB és COD függőleges szögeket (lásd 2. ábra). A BOD szög az AOB és a COD szögekkel szomszédos. Az 1. tétel szerint ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ KOI + ∠ BOD = 180°.

Ebből arra következtetünk, hogy ∠ AOB = ∠ COD.

Következmény 1. A derékszöggel szomszédos szög derékszög.

Tekintsünk két egymást metsző AC és BD egyenest (3. ábra). Négy sarkot alkotnak. Ha az egyik egyenes (1. szög a 3. ábrán), akkor a többi szög is derékszögű (az 1. és 2., az 1. és a 4. szög szomszédos, az 1. és a 3. szög függőleges). Ebben az esetben azt mondják, hogy ezek a vonalak derékszögben metszik egymást, és merőlegesnek (vagy egymásra merőlegesnek) nevezik. Az AC és BD egyenesek merőlegességét a következőképpen jelöljük: AC ⊥ BD.

A szakaszra merőleges felező egy olyan egyenes, amely merőleges erre a szakaszra és átmegy a felezőpontján.

AN - merőleges egy egyenesre

Tekintsünk egy a egyenest és egy azon nem fekvő A pontot (4. ábra). Kössük össze a szakaszos A pontot a H ponttal az a egyenessel. Az AN szakaszt az A pontból az a egyenesre húzott merőlegesnek nevezzük, ha az AN és a egyenesek merőlegesek. A H pontot a merőleges alapjának nevezzük.

Rajz négyzet

A következő tétel igaz.

3. Tétel. Bármely pontból, amely nem fekszik egy egyenesen, lehet merőlegest húzni erre az egyenesre, ráadásul csak egyet.

Ha a rajzban egy pontból merőlegest szeretne rajzolni egy egyenesre, használjon rajznégyzetet (5. ábra).

Megjegyzés. A tétel megfogalmazása általában két részből áll. Az egyik rész arról szól, ami adott. Ezt a részt a tétel feltételének nevezzük. A másik rész arról szól, hogy mit kell bizonyítani. Ezt a részt a tétel következtetésének nevezzük. Például a 2. Tétel feltétele, hogy a szögek függőlegesek legyenek; következtetés - ezek a szögek egyenlőek.

Bármely tétel részletesen kifejezhető szavakkal úgy, hogy feltétele a „ha” szóval kezdődik, a befejezése pedig a „majd” szóval. Például a 2. Tétel a következőképpen fogalmazható meg részletesen: „Ha két szög függőleges, akkor egyenlők.”

1. példa Az egyik szomszédos szög 44°. Mivel egyenlő a másik?

Megoldás. Egy másik szög fokszámát jelöljük x-szel, akkor az 1. Tétel szerint.
44° + x = 180°.
A kapott egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy x = 136°. Ezért a másik szög 136°.

2. példa Legyen a 21. ábrán látható COD szög 45°. Mekkora az AOB és az AOC szöge?

Megoldás. A COD és az AOB szögek függőlegesek, ezért az 1.2. Tétel szerint egyenlőek, azaz ∠ AOB = 45°. Az AOC szög szomszédos a COD szöggel, ami az 1. Tétel szerint jelent.
∠ AOC = 180° - ∠ KOI = 180° - 45° = 135°.

3. példa Keresse meg a szomszédos szögeket, ha az egyik háromszor nagyobb, mint a másik.

Megoldás. Jelöljük x-szel a kisebb szög fokszámát. Ekkor a nagyobb szög fokmértéke 3x lesz. Mivel a szomszédos szögek összege 180° (1. tétel), akkor x + 3x = 180°, innen x = 45°.
Ez azt jelenti, hogy a szomszédos szögek 45° és 135°.

4. példa Két függőleges szög összege 100°. Keresse meg a négy szög mindegyikének méretét.

Megoldás. A 2. ábra teljesítse a feladat feltételeit. A COD és AOB függőleges szögei egyenlőek (2. tétel), ami azt jelenti, hogy a fokmérőik is egyenlők. Ezért ∠ KOI = ∠ AOB = 50° (a feltétel szerinti összegük 100°). A BOD szög (az AOC szög is) szomszédos a COD szöggel, ezért az 1. tétel szerint
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Két, ugyanabban a B pontban metsző BA és BC egyenes (13. ábra) szöget zár be a B pontban.

Szög meghatározása. A szög egy sík határozatlan része, amelyet két egymást metsző egyenes határol. A szög egy olyan mennyiség, amely meghatározza az egyik egyenesnek a másikhoz való hajlását.

A sarok oldalai. A metsző egyeneseket a szög oldalainak nevezzük.

Felső sarok. Két egyenes metszéspontját a szög csúcsának nevezzük. A szög mérete nem függ az oldalak hosszától, így a szög oldalai korlátlanul meghosszabbíthatók.

Szög neve. a) A szögeket a csúcson lévő betűvel nevezzük; szóval rohadt a szög. A 13 szöget B szögnek nevezzük. b) Ha több szög van a csúcson, akkor a szögeket három betűnek nevezzük, amelyek a csúcson és annak két oldalán állnak. Ebben az esetben a tetején lévő betűt kiejtik és középre írják.

A fenébe is. 13 A B szöget ABC szögnek nevezzük. A BA és BC egyenes két oldala, a B pont pedig a szög csúcsa.

Így az ABC szög B vagy szög

ABC szög = B szög.

Szög jel. A szög szót néha a jel helyettesíti∠ .

Így az előző egyenlőség írásban van ábrázolva:

Abban az esetben, ha egy pontból több egyenes jön ki, több szög van a B pontban.

A fenébe is. 14 BA, BC, BD egyenes jön ki a B pontból és a B csúcsban vannak ABC, CBD, ABD szögek.

Szomszédos szögek. Két szöget szomszédosnak nevezünk, ha van egy közös csúcsuk, egy közös oldaluk, a másik kettő pedig a közös oldal mindkét oldalán fekszik.

Az ABC és a CBD szögek (14. ábra) szomszédos szögek. Közös B csúcsuk van, közös BC oldaluk, és két másik BA és BD oldaluk van a BC közös oldal felett, a másik pedig alatta.

A szögek megváltoztatják a nagyságukat, ha az egyik oldal dőlése a másik felé változik. Két olyan szög közül, amelyeknek közös csúcsa van, azt a szöget, amelyen belül a másik szög be van helyezve, főszögnek nevezzük. 14. rajzon

ug. ABD > ang. ABC és ug. CBD< уг. ABD.

Ahhoz, hogy elképzelésünk legyen két különböző csúcsú szög kölcsönös nagyságáról, az egyik szöget a másikra helyezzük. Szuperponáláskor a csúcsaik az egyik oldalon kombinálódnak, majd a másik oldal iránya lehetővé teszi az értékek összehasonlítását. Két ABC és DEF szög összehasonlításához (15. ábra), a DEF szöget az ABC szögre helyezzük úgy, hogy az EF oldal a BC oldal mentén megy, az E pont egybeesik a B ponttal; akkor az ED oldal három pozíciót vehet fel: egybeeshet a BA oldallal, eshet az ABC szögön belül és kívül.

a) Ha az ED egyenes egybeesik a BA egyenessel, a szögeket egyenlőnek nevezzük

ug. ABC = ang. DEF.

b) Ha az ED egyenes az ABC szögbe esik és BG pozícióba kerül, az ABC szög nagyobb lesz, mint a DEF szög

ug. ABC > ang. DEF.

c) Ha az ED egyenes az ABC szögön kívül esik BH irányban, az ABC szög kisebb, mint a DEF szög

ug. ABC< уг. DEF.

Szögek összeadása, kivonása, szorzása és osztása. Két szomszédos ABC és CBD szög (14. ábra) egy ABC szöget alkot. Az ABD szöget az ABC és a CBD szögek összegének nevezzük. Ezt az egyenlőség írásban fejezi ki:

∠ABD = ∠ABC + ∠CBD (a)

Az (a) egyenlőségből az egyenlőség következik:

∠ABC = ∠ABD - ∠CBD

∠CBD = ∠ABD - ∠ABC,

azaz az ABC szög az ABD és a CBD szögek közötti különbség, a CBD szög pedig az ABD és az ABC szögek közötti különbség.

Ha az O pontban (16. ábra) több egyenlő szomszédos szög van, azaz ha

∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE,

akkor az AOC szög egyenlő az AOB és a BOC szögek összegével egyenlő két AOB szöggel,

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC, következő. ∠AOC = 2AOB.

Az AOD szög egyenlő három AOB szöggel

Ezzel szemben az AOB szög félszög AOC, egyharmad szög AOD, egy negyed szög AOE.

AOB = ½ AOC = 1/3 AOD = ¼ AOE.

Ebből arra következtetünk a szögek mint mennyiségek nem csak összeadhatók és kivonhatók, hanem szorozhatók és oszthatók is egy absztrakt számmal.

Ha két szomszédos ACD és DCB szög (17. ábra) két oldala CA és CB ugyanazon az egyenesen fekszik, akkor szomszédosnak nevezzük.

. A szomszédos szögek azok, amelyekben az egyik oldal közös, a másik kettő pedig ugyanazon az egyenesen fekszik.

Ha a C pont körül megforduló CD egyenes CE helyzetbe kerül, akkor az ACD szög csökkenésével ACE szögbe, a növekvő BCD pedig BCE szögbe változik. A CD vonal tovább forgatva olyan helyzetet vehet fel, hogy két szomszédos szög egyenlővé válik. Ha két szomszédos ACD és DCB szög egyenlő (18. ábra), akkor ezeket hívjuk jó angyalok.

Ebben az esetben a CD egyenest az AB egyenesre merőlegesnek vagy egyszerűen az AB egyenesre merőlegesnek nevezzük.

A 19. rajzon egy derékszöget húzunk meg anélkül, hogy egy másik mellette lenne.

A derékszög az egyenlő szomszédos szögek egyike.

A merőleges olyan egyenes, amely egy másik egyenessel derékszöget zár be.

A 18. rajzon az ACD és DCB szögeket, miközben szomszédosak és egyenlők maradnak, derékszögnek nevezzük. A DC egyenes merőleges lesz az AB egyenesre. Két sornak ezt a kölcsönös kapcsolatát néha írásban is kifejezik: CD ⊥ AB.

Mivel az AB egyenes a CD egyenesre is merőleges lesz, akkor az AB és CD egyenes egymásra merőleges lesz, azaz ha CD ⊥ AB, akkor AB ⊥ CD.

Merőleges talp. Két merőleges egyenes kölcsönös találkozási pontját a merőleges lábának nevezzük.

A C pont (18. ábra) a merőleges CD alja.

Az AB egyenes minden pontjában merőlegest húzhatunk az AB egyenesre.

Az egyenesen fekvő pontból merőlegest húzni egy egyenesre (AB) azt jelenti, hogy merőlegest hozunk létre. Az egyenesen kívül eső pontból (D) egy egyenesre (AB) merőlegest (DC) húzni azt jelenti, hogy le kell engedni a merőlegest(18. ábra).

Ferde vonal . Minden olyan egyenest, amely nem merőleges a másikra, arra hajló egyenesnek nevezzük.

A 20. rajzon a CE egyenes az AB egyenesre, a CD egyenes pedig merőleges lesz az AB egyenesre.

Az EKB szög kisebb, mint jobb, és az ACE szög több, mint jobb. Az EKB szöget hegyesnek, az ACE szöget pedig tompaszögnek nevezzük.

Éles sarok minden szög kisebb, mint derékszög, A tompaszög derékszögnél nagyobb szög van.

Ugyanazok és eltérő szögek. Két hegyesszöget vagy két tompaszöget azonosnak, két hegyesszöget, az egyik hegyesszöget és a másik tompaszöget szemköztinek nevezzük.

A CE ferde egyenes (20. ábra) az AB egyenessel két szomszédos szöget alkot, amelyek közül az egyik kisebb, a másik nagyobb, mint a derékszög, vagyis az egyik hegyes, a másik tompaszögű.

3. tétel. Egy egyenesre felvett pontból csak egy merőleges építhető rá.

Dana az AB egyenes és a rajta lévő C pont (20. ábra).

Bizonyítani szükséges, hogy csak egyet lehet rá merőlegesen megszerkeszteni.

Bizonyíték. Tegyük fel, hogy lehetséges két merőleges (20. ábra) CD és CE szerkesztése a C pontból az AB egyenesbe. A merőleges tulajdonsága szerint

ug. DCB = ang. ACD(a)
ug. BCE = ang. ÁSZ.

Ha az ECD szöget alkalmazzuk az utolsó egyenlőtlenség első részére, akkor megkapjuk az egyenlőtlenséget

ug. BCE + ang. ECD > ang. ACE, vagy ug. BCD > ang. ÁSZ.

Az ug helyettesítése ebben az egyenlőtlenségben. BCD a vele egyenlő ACD (a) szöggel, kapjuk

ug. DCA > ang. ÁSZ,

az egyenlőtlenség nyilvánvalóan abszurd, mert egy rész nem lehet nagyobb az egészénél, ezért az a feltevés, hogy két merőleges megszerkeszthető, abszurditáshoz vezet, ezért hamis. A feltevés hamissága azon a megfontoláson alapul, hogy helyes pozícióból nem lehet helytelen következtetést levonni, ezért tételünk igaz.

Azt a módszert, amellyel egy adott tétel érvényességét bármely más feltevés lehetetlenségére és abszurditására rámutatva bizonyítjuk, az ellentmondásos bizonyítás vagy az abszurditásba redukálás módszerének nevezzük.

4. tétel. Minden derékszög egyenlő.

Tegyük fel, hogy két derékszögpárunk van: az egyik pár az ACD és a DCB szögekből, a másik pedig az EGH és a HGF szögekből áll, tehát CD ⊥ AB és HG ⊥ EF (21. ábra).

Be kell bizonyítani, hogy a derékszögek egyenlőek.

Bizonyíték. Rakjuk rá az EF egyenest az AB egyenesre a G pontra a C pontra, ekkor a GH egyenes a CD egyenesen megy, mert a C pontból csak egy merőleges építhető, ezért derékszög DCB = derékszög HGF.

Következtetés. A derékszög állandó érték.

Szögek mérése. A szögek mérésekor a derékszöget, mint állandó értéket, viszonyítási egységnek vesszük. Értékét d betűvel jelöljük.

Ebben az esetben
minden hegyesszög< d,
minden tompaszög > d.

Minden szöget derékszögekkel fejezünk ki. Így például azt mondják: egy adott szög ½ d, 2/3 d stb.

5. tétel. Két szomszédos szög összege egyenlő két derékszöggel.

Az ACD és a DCB szomszédos szögei adottak (22. ábra).

Be kell bizonyítanunk, hogy ACD + DCB = 2d.

Bizonyíték. Ekkor a C pontból CE-re merőlegest készítünk

ACD = ACE + ECD = d + ECD
DCB = EKB - ECD = d - ECD

Ezeket az egyenlőségeket hozzáadva a következőket kapjuk:

ACD + DCB = ACE + EKB = 2d (ezt kellett bizonyítani).

Két szomszédos szög kiegészíti egymást két derékszöggel, ezért kiegészítő szögeknek nevezzük.

Az 5. tételből következik következmény. Egy szomszédos szögpár egyenlő egy másik szomszédos szögpárral.

6. tétel(az 5. tétel fordítottja). Ha két szomszédos szög összege egyenlő két derékszöggel, akkor a másik két oldal ugyanazon az egyenesen fekszik.

Legyen két szomszédos ACD és DCB szög összege két derékszöggel (23. ábra).

Be kell bizonyítanunk, hogy az ACB egyenes.

Bizonyíték. Tegyük fel, hogy az ACB egy szaggatott vonal, és az AC vonal folytatása a CE vonal, akkor

Két, egyharmaddal egyenlő mennyiség egyenlő (3. axióma), tehát

ACD + DCB = ACD + DCE

honnan jön összehúzódás közben?

a következtetés abszurd (a rész egyenlő az egésszel, lásd 1. ax.), ezért az ACB egyenes egyenes (ezt kellett bizonyítani).

7. tétel. Azon szögek összege, amelyeknek ugyanabban a pontban van egy csúcsa, és egy egyenes ugyanazon oldalán helyezkednek el, két derékszöggel egyenlő.

Az ACD, DCE, ECF, FCG, GCB szögek adottak, amelyeknek közös csúcsuk van a C pontban, és az AB egyenes egyik oldalán helyezkednek el (24. ábra).

Ezt bizonyítani kell

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d.

Bizonyíték. TUDJUK, hogy két szomszédos ACF és FCB szög összege két derékszöggel egyenlő (5. pont).

Mivel ACF = ACD + DCE + ECF és FCB = FCG + GCB, akkor az ACF és FCB szögeket az értékükre cserélve a következőket kapjuk:

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d (ezt kellett bizonyítani).

8. tétel. Az egy pont körüli összes szög összege négy derékszöggel egyenlő.

Az AOB, BOC, COD, DOE, EOA szögek adottak, amelyeknek közös O csúcsuk van, és az O pont körül helyezkednek el (25. ábra).

Ezt bizonyítani kell

AOB + BOC + COD + DOE + EOA = 4d.

Bizonyíték. Folytassuk az EO oldalt OG irányban (25. ábra), majd

Hasonló

GOB + BOC + COD + DOE = 2d.

Ezeket az egyenlőségeket hozzáadva a következőket kapjuk:

EOA + AOG + GOB + BOC + COD + DOE = 4d.

Mivel AOG + GOB = AOB, akkor

EOA + AOB + BOC + COD + DOE = 4d (NEM).

A DCE szögű ACB szöget és az ACE szögű BCD szöget függőlegesnek nevezzük (26. ábra).

Függőleges szögek. A függőleges szögek azok a szögek, amelyekben az egyik oldala a másik szög oldalainak folytatásából áll.

9. tétel. A függőleges szögek egyenlőek egymással.

A függőleges szögek (26. rajz) ACB és DCE, valamint BCD és ACE vannak megadva.

Be kell bizonyítani, hogy ACB = DCE és BCD = ACE.

Bizonyíték. Az 5. Tétel alapján a következő egyenlőségek teljesülnek:

ACB + BCD = 2d (két szomszédos szög összegeként)
BCD + DCE = 2d

ennélfogva,

ACB + BCD = BCD + DCE

honnan, kivonás egyenlő szög BCD, találjuk

Hasonló módon bebizonyosodik az is

∠BCD = ∠ACE.

Equisecant (felezővonal ) van egy egyenes, amely kettéosztja a szöget.

A 27. rajzban BD-nek van felezőszöge, ha ∠ABD = ∠DBC.

10. tétel.

A szomszédos ACB és BCD szögek adottak (28. ábra). CF és CE felezővonalaik felezik a szomszédos BCD és BCA szögeket, ezért BCF = FCD, ACE = ECB.

Be kell bizonyítanunk, hogy EC ⊥ CF.

Bizonyíték. Feltétel szerint

EKB = ½ ACB, BCF = ½ BCD

Ezeket az egyenlőségeket hozzáadva a következőket kapjuk:

EKB + BCF = ½ ACB + ½ BCD = ½ (ACB + BCD).

Mivel ACB + BCD = 2d, akkor

EKB + BCF = ½ · 2d = d.

Mivel EKB + BCF = ECF, akkor

Szög ECF derékszög, azaz a CE és CF egyenesek egymásra merőlegesek (CPH).

Minden szögnek, méretétől függően, saját neve van:

Szög típusa	Méret fokban	Példa
Fűszeres	Kevesebb, mint 90°
Egyenes	Egyenlő 90°-kal. A rajzon a derékszöget általában a szög egyik oldaláról a másikra húzott szimbólum jelöli.
Tompa	90°-nál nagyobb, de 180°-nál kisebb
Kiterjesztett	180°-nak felel meg Az egyenes szög egyenlő két derékszög összegével, a derékszög pedig az egyenes szög fele.
Konvex	180°-nál nagyobb, de 360°-nál kisebb
Teljes	Egyenlő 360°-kal

A két szöget ún szomszédos, ha az egyik oldaluk közös, és a másik két oldal egyenest alkot:

Szögek MOPÉs PON szomszédos, hiszen a gerenda OP- a közös oldal, és a másik két oldal - OMÉs TOVÁBB egyenes vonalat alkotni.

A szomszédos szögek közös oldalát ún ferde egyenesre, amelyen a másik két oldal fekszik, csak abban az esetben, ha a szomszédos szögek nem egyenlőek egymással. Ha a szomszédos szögek egyenlőek, akkor közös oldaluk lesz merőleges.

A szomszédos szögek összege 180°.

A két szöget ún függőleges, ha az egyik szög oldalai egyenesekké egészítik ki a másik szög oldalait:

Az 1. és 3. szög, valamint a 2. és 4. szög függőleges.

A függőleges szögek egyenlőek.

Bizonyítsuk be, hogy a függőleges szögek egyenlőek:

∠1 és ∠2 összege egyenes szög. És ∠3 és ∠2 összege egyenes szög. Tehát ez a két összeg egyenlő:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

Ebben az egyenlőségben a bal és a jobb oldalon azonos kifejezés található - ∠2. Az egyenlőség nem sérül, ha ezt a bal és jobb oldali kifejezést kihagyjuk. Akkor megkapjuk.