Hogyan találjuk meg a háromszög területét, ha a szinusz ismert. Egy háromszög területe

Ha a probléma megadja a háromszög két oldalának hosszát és a köztük lévő szöget, akkor a képletet a háromszög területének a szinuszon keresztül alkalmazhatja.

Példa egy háromszög területének kiszámítására a szinusz segítségével. Adott oldalak a = 3, b = 4 és γ = 30° szög. A 30°-os szög szinusza 0,5

A háromszög területe 3 négyzetméter lesz. cm.

A terület egyenlő lesz az oldal négyzetének felével, szorozva a törttel. A számlálójában a szomszédos szögek szinuszainak szorzata, a nevezőben pedig az ellentétes szög szinuszának szorzata található. Most kiszámítjuk a területet a következő képletekkel:

Például adott egy háromszög, amelynek oldala a=3 és szögei γ=60°, β=60°. Számítsa ki a harmadik szöget:
Az adatok behelyettesítése a képletbe
Azt kapjuk, hogy a háromszög területe 3,87 négyzetméter. cm.

II. Egy háromszög területe koszinuszban kifejezve

A háromszög területének meghatározásához ismernie kell az összes oldal hosszát. A koszinusztétel segítségével megkeresheti az ismeretlen oldalakat, és csak ezután használja a .
A koszinusz törvénye szerint a háromszög ismeretlen oldalának négyzete egyenlő a fennmaradó oldalak négyzeteinek összegével, mínusz ezen oldalak szorzata a köztük lévő szög koszinuszával.

A tételből képleteket vezetünk le az ismeretlen oldal hosszának meghatározására:

Ha tudja, hogyan találja meg a hiányzó oldalt, mivel két oldala van, és van köztük egy szög, könnyen kiszámíthatja a területet. A háromszög területének koszinuszban kifejezett képlete segít gyorsan és egyszerűen megoldást találni különféle problémákra.

Példa a koszinuszon keresztüli háromszög területének képletének kiszámítására
Adott egy háromszög, amelynek ismert oldalai a = 3, b = 4 és szöge γ= 45°. Először keressük meg a hiányzó részt. Val vel. Koszinusz szerint 45°=0,7. Ehhez behelyettesítjük az adatokat a koszinusztételből levezetett egyenletbe.
Most a képlet segítségével megtaláljuk

Háromszög terület tétel

1. tétel

Egy háromszög területe két oldal szorzatának fele, az oldalak közötti szög szinusza szorzata.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy tetszőleges $ABC$ háromszöget. Jelöljük ennek a háromszögnek az oldalainak hosszát: $BC=a$, $AC=b$. Vezessünk be egy derékszögű koordináta-rendszert úgy, hogy a $C=(0,0)$ pont, a $B$ pont a $Ox$ jobb féltengelyen, a $A$ pont pedig az első koordinátanegyedben legyen. Rajzolja meg a $h$ magasságot a $A$ pontból (1. ábra).

1. ábra. Az 1. tétel illusztrációja

A $h$ magasság tehát egyenlő a $A$ pont ordinátájával

Szinusztétel

2. tétel

A háromszög oldalai arányosak a szemközti szögek szinuszaival.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy tetszőleges $ABC$ háromszöget. Jelöljük ennek a háromszögnek az oldalainak hosszát: $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (2. ábra).

2. ábra.

Bizonyítsuk be

Az 1. Tétel szerint megvan

Párban egyenlővé téve azt kapjuk

Koszinusz tétel

3. tétel

A háromszög egyik oldalának négyzete egyenlő a háromszög másik két oldalának négyzeteinek összegével anélkül, hogy ezen oldalak szorzatát megduplázná az ezen oldalak közötti szög koszinuszával.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy tetszőleges $ABC$ háromszöget. Az oldalak hosszát jelölje $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Vezessünk be egy derékszögű koordináta-rendszert úgy, hogy a $A=(0,0)$ pont, a $B$ pont a $Ox$ pozitív féltengelyen, a $C$ pont pedig az első koordinátanegyedben legyen. 3).

3. ábra

Bizonyítsuk be

Ebben a koordinátarendszerben azt kapjuk

Határozza meg a $BC$ oldal hosszát a pontok közötti távolság képletével

Példa egy problémára ezen tételek felhasználásával

1. példa

Bizonyítsuk be, hogy egy tetszőleges háromszög körülírt körének átmérője egyenlő a háromszög bármely oldalának és az ezzel az oldallal szemközti szög szinuszának arányával.

Megoldás.

Adjunk meg egy tetszőleges $ABC$ háromszöget. $R$ - a körülírt kör sugara. Rajzolja le a $BD$ átmérőt (4. ábra).

Egy háromszög területe egyenlő az oldalai és a közöttük lévő szög szinuszának szorzatának felével.

Bizonyíték:

Tekintsünk egy tetszőleges ABC háromszöget. Legyen benne BC oldal = a, CA oldal = b és S ennek a háromszögnek a területe. Ezt bizonyítani kell S = (1/2)*a*b*sin(C).

Először bevezetünk egy derékszögű koordináta-rendszert, és az origót a C pontba helyezzük. Helyezzük el a koordinátarendszerünket úgy, hogy a B pont a Cx tengely pozitív irányában legyen, és az A pont pozitív ordinátával rendelkezzen.

Ha mindent helyesen csinált, akkor a következő ábrát kell kapnia.

Egy adott háromszög területe a következő képlettel számítható ki: S = (1/2)*a*h, ahol h a háromszög magassága. Esetünkben a h háromszög magassága megegyezik az A pont ordinátájával, azaz h \u003d b * sin (C).

A kapott eredmények alapján a háromszög területének képlete a következőképpen írható át: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

Problémamegoldás

1. feladat Határozza meg az ABC háromszög területét, ha a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, A szög = 60 fok b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, B= szög 45 fok c ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, szög C = 48 fok.

A fent bizonyított tétel szerint az ABC háromszög S területe egyenlő:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Végezzük el a számításokat:

a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.

c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.

Kiszámoljuk a szög szinuszának értékét a számológépen, vagy felhasználjuk az értéktáblázat értékeit trigonometrikus szögek. Válasz:

a) 12*√6 cm^2.

c) körülbelül 36,41 cm^2.

2. feladat. Az ABC háromszög területe 60 cm^2. Keresse meg az AB oldalt, ha AC = 15 cm, A szög = 30˚.

Legyen S az ABC háromszög területe. A háromszög területtétel alapján a következőt kapjuk:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Helyettesítsük be az értékeinket:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

Innen fejezzük ki az AB oldal hosszát: AB = (60*4)/15 = 16.

Leegyszerűsítve, ezek egy speciális recept szerint vízben főzött zöldségek. Két kezdeti komponenst (zöldségsaláta és víz) és a végeredményt - a borscsot - veszem figyelembe. Geometriailag ez egy téglalapként ábrázolható, amelyben az egyik oldal a salátát, a másik a vizet jelöli. E két oldal összege a borscsot jelöli. Az ilyen "borscht" téglalap átlója és területe tisztán matematikai fogalmak, és soha nem használják a borscs receptekben.

A matematikai tankönyvekben nem találsz semmit a lineáris szögfüggvényekről. De nélkülük nem létezhet matematika. A matematika törvényei a természet törvényeihez hasonlóan működnek, akár tudjuk, hogy léteznek, akár nem.

A lineáris szögfüggvények az összeadás törvényei. Nézze meg, hogyan válik az algebra geometriává és a geometriából trigonometriává.

Lehetséges a lineáris szögfüggvények nélkül? Megteheti, mert a matematikusok nélkülük is elboldogulnak. A matematikusok trükkje abban rejlik, hogy mindig csak azokról a problémákról beszélnek, amelyeket maguk is meg tudnak oldani, és soha nem mondanak el olyan problémákat, amelyeket nem tudnak megoldani. Lát. Ha ismerjük az összeadás és az egyik tag eredményét, akkor kivonást használunk a másik tag megkereséséhez. Minden. Más problémákat nem ismerünk, és nem is tudjuk azokat megoldani. Mi a teendő, ha csak az összeadás eredményét ismerjük, és nem ismerjük mindkét kifejezést? Ebben az esetben az összeadás eredményét lineáris szögfüggvények segítségével két tagra kell bontani. Továbbá mi magunk választjuk ki, hogy mi lehet az egyik tag, és a lineáris szögfüggvények megmutatják, hogy mi legyen a második tag, hogy az összeadás eredménye pontosan az legyen, amire szükségünk van. Végtelen számú ilyen kifejezéspár lehet. NÁL NÉL Mindennapi élet nagyon jól megvagyunk az összeg felbontása nélkül, nekünk elég a kivonás. De a természet törvényeinek tudományos tanulmányozása során az összeg tagokra való kiterjesztése nagyon hasznos lehet.

Egy másik összeadási törvény, amelyről a matematikusok nem szeretnek beszélni (egy másik trükkjük), megköveteli, hogy a kifejezéseknek azonos mértékegységük legyen. A saláta, a víz és a borscs esetében ezek tömeg-, térfogat-, költség- vagy mértékegységek lehetnek.

Az ábra a matematikai különbségek két szintjét mutatja. Az első szint a számok mezőjében tapasztalható különbségek, amelyeket jeleznek a, b, c. Ezt csinálják a matematikusok. A második szint a mértékegységek területének különbségei, amelyek szögletes zárójelben vannak feltüntetve, és betűvel vannak jelölve. U. Ezt csinálják a fizikusok. Megérthetjük a harmadik szintet - a leírt objektumok hatókörének különbségeit. Különböző objektumok ugyanannyi mértékegységet tartalmazhatnak. Hogy ez mennyire fontos, azt a borscht trigonometria példáján láthatjuk. Ha ugyanahhoz a jelöléshez adunk alsó indexeket a különböző objektumok mértékegységeihez, akkor pontosan meg tudjuk mondani, hogy egy adott objektumot milyen matematikai mennyiség ír le, és hogyan változik az időben vagy a cselekvéseinkkel összefüggésben. levél W Megjelölöm a vizet a betűvel S A salátát megjelölöm a betűvel B- borscs. Így néznek ki a borscs lineáris szögfüggvényei.

Ha kivesszük a víz egy részét és a saláta egy részét, akkor egy adag borscht lesz belőle. Itt azt javaslom, hogy tartson egy kis szünetet a borscstól, és emlékezzen távoli gyermekkorára. Emlékszel, hogyan tanítottak meg minket összerakni nyuszikat és kacsákat? Meg kellett találni, hány állat fog kijönni. Akkor mire tanítottak minket? Megtanítottuk az egységeket a számoktól elkülöníteni és számokat összeadni. Igen, bármilyen szám hozzáadható bármely másik számhoz. Ez egy egyenes út a modern matematika autizmusához - nem értjük, hogy mit, nem világos, hogy miért, és nagyon rosszul értjük, hogy ez hogyan kapcsolódik a valósághoz, a három különbség miatt a matematikusok csak az egyiken dolgoznak. Helyesebb lesz megtanulni, hogyan lehet egyik mértékegységről a másikra lépni.

És a nyuszik, a kacsák és a kis állatok darabokban számolhatók. A különböző objektumok egyetlen közös mértékegysége lehetővé teszi, hogy összeadjuk őket. Ez a probléma gyerekeknek szóló változata. Nézzünk egy hasonló problémát felnőtteknél. Mit kapsz, ha nyuszikat és pénzt adsz hozzá? Itt két megoldás lehetséges.

Első lehetőség. Meghatározzuk a nyuszik piaci értékét és hozzáadjuk a rendelkezésre álló készpénzhez. Vagyonunk összértékét pénzben fejeztük ki.

Második lehetőség. A nálunk lévő bankjegyek számához hozzáadhatja a nyuszik számát. Az ingó vagyon mennyiségét darabonként kapjuk meg.

Amint láthatja, ugyanaz az összeadási törvény lehetővé teszi, hogy különböző eredményeket kapjon. Minden attól függ, hogy pontosan mit akarunk tudni.

De térjünk vissza a borscsunkhoz. Most láthatjuk, hogy mi fog történni a lineáris szögfüggvények szögének különböző értékeivel.

A szög nulla. Van salátánk, de nincs víz. Borscsot nem főzhetünk. A borscs mennyisége is nulla. Ez egyáltalán nem jelenti azt, hogy a nulla borscs egyenlő a nulla vízzel. Nulla borsch is lehet nulla saláta (derékszög).

Számomra személy szerint ez a fő matematikai bizonyítéka annak, hogy . A nulla hozzáadásakor nem változtatja meg a számot. Ez azért van, mert maga az összeadás lehetetlen, ha csak egy tag van, és a második tag hiányzik. Tetszés szerint kapcsolódhat ehhez, de ne feledje - minden nullával végzett matematikai műveletet maguk a matematikusok találták ki, ezért dobja el a logikáját, és ostoba módon tömje össze a matematikusok által kitalált definíciókat: "nullával osztás lehetetlen", "bármely szám nullával szorozva" egyenlő nullával" , "nullapont mögött" és egyéb hülyeségekkel. Elég egyszer megjegyezni, hogy a nulla nem szám, és soha nem lesz kérdés, hogy a nulla természetes szám-e vagy sem, mert egy ilyen kérdés általában elveszti értelmét: hogyan tekinthetünk számnak azt, ami nem szám. . Ez olyan, mintha azt kérdeznéd, milyen színnek tulajdonítsunk egy láthatatlan színt. Nullát adni egy számhoz olyan, mintha nem létező festékkel festenénk. Száraz ecsettel intettek, és mindenkinek azt mondták, hogy "festettünk". De elkanyarodok egy kicsit.

Sarok Nulla felett, de kevesebb, mint negyvenöt fok. Sok a salátánk, de kevés a vízünk. Ennek eredményeként sűrű borscsot kapunk.

A szög negyvenöt fok. Egyenlő mennyiségű vízünk és salátánk van. Ez a tökéletes borscs (a szakácsok bocsássák meg, ez csak matematika).

A szög nagyobb, mint negyvenöt fok, de kisebb, mint kilencven fok. Sok vízünk van és kevés salátánk. Vegyen folyékony borscsot.

Derékszög. Van vizünk. A salátáról már csak emlékek maradtak, hiszen a szöget továbbra is attól a vonaltól mérjük, amely egykor a salátát jelölte. Borscsot nem főzhetünk. A borscs mennyisége nulla. Ebben az esetben tartsa meg, és igyon vizet, amíg elérhető)))

Itt. Valami ilyesmi. Elmondhatok itt más történeteket is, amelyek több mint helyénvalóak lesznek itt.

A két barátnak részesedése volt a közös üzletben. Egyikük meggyilkolása után minden a másikra került.

A matematika megjelenése bolygónkon.

Mindezeket a történeteket a matematika nyelvén, lineáris szögfüggvények segítségével mesélik el. Máskor megmutatom ezeknek a függvényeknek a valódi helyét a matematika szerkezetében. Addig is térjünk vissza a borscs trigonometriájához, és vegyük figyelembe a vetületeket.

2019. október 26. szombat

Megnéztem egy érdekes videót erről Grandi sora Egy mínusz egy plusz egy mínusz egy - Numberphile. A matematikusok hazudnak. Érvelésükben nem végeztek egyenlőségi tesztet.

Ez egybecseng a ról szóló érvelésemmel.

Nézzük meg közelebbről azokat a jeleket, amelyek arra utalnak, hogy a matematikusok megcsalnak minket. Az okfejtés legelején a matematikusok azt mondják, hogy a sorozat összege FÜGG attól, hogy az elemek száma páros-e vagy sem. Ez egy OBJEKTÍVEN MEGÁLLAPÍTOTT TÉNY. Mi történik ezután?

Ezután a matematikusok kivonják a sorozatot az egységből. Mihez vezet ez? Ez a sorozat elemeinek számának változásához vezet - a páros szám páratlan, a páratlan szám páros számmá változik. Végül is egy eggyel egyenlő elemet adtunk a sorozathoz. Minden külső hasonlóság ellenére a transzformáció előtti sorozat nem egyenlő a transzformáció utáni sorozattal. Még ha végtelen sorozatról beszélünk is, emlékeznünk kell arra, hogy a páratlan elemszámú végtelen sorozat nem egyenlő a páros számú elemű végtelen sorozattal.

Két elemszámban eltérő sorozat közé egyenlőségjelet adva a matematikusok azt állítják, hogy a sorozat összege NEM FÜGG a sorozat elemeinek számától, ami ellentmond egy OBJEKTÍVAN MEGÁLLAPÍTOTT TÉNYNEK. A végtelen sorozat összegére vonatkozó további érvelés hamis, mert hamis egyenlőségen alapul.

Ha azt látja, hogy a matematikusok zárójeleket tesznek a bizonyítás során, átrendezik egy matematikai kifejezés elemeit, hozzáadnak vagy eltávolítanak valamit, akkor legyen nagyon óvatos, valószínűleg meg akarnak csalni. A kártyamágusokhoz hasonlóan a matematikusok is a kifejezés különböző manipulációival vonják el a figyelmét, hogy végül elcsúszhassanak. hamis eredmény. Ha nem tudod megismételni a kártyatrükköt anélkül, hogy ismernéd a csalás titkát, akkor a matematikában minden sokkal egyszerűbb: még csak nem is gyanítasz semmit a csalásról, de az összes manipuláció matematikai kifejezéssel történő megismétlése lehetővé teszi, hogy meggyőzz másokat a csalásról. az eredmény helyességét, mint amikor meggyőzte Önt.

Kérdés a közönségtől: És a végtelen (mint az S sorozat elemeinek száma) páros vagy páratlan? Hogyan lehet megváltoztatni a paritást annak, aminek nincs paritása?

A végtelen a matematikusok számára olyan, mint a mennyek királysága a papok számára - soha senki nem járt ott, de mindenki pontosan tudja, hogyan működik ott minden))) Egyetértek, a halál után teljesen közömbös lesz, hogy páros vagy páratlan számú napot éltél. , de ... Csak egy napot hozzáadva az életed kezdetéhez, egy teljesen más személyt kapunk: vezetékneve, keresztneve és családneve teljesen megegyezik, csak a születési dátum teljesen más - annak született. nap előtted.

És most a lényeghez))) Tegyük fel, hogy egy véges sorozat, amelynek paritása van, elveszíti ezt a paritást, amikor a végtelenbe megy. Ekkor egy végtelen sorozat bármely véges szakaszának paritást is veszítenie kell. Ezt nem tartjuk be. Az, hogy nem tudjuk biztosan megmondani, hogy egy végtelen sorozat elemeinek száma páros vagy páratlan, egyáltalán nem jelenti azt, hogy a paritás eltűnt. A paritás, ha létezik, nem tűnhet el nyomtalanul a végtelenbe, mint az élesebb kártya hüvelyében. Van egy nagyon jó analógia erre az esetre.

Megkérdeztél már egy órában ülő kakukktól, hogy milyen irányba forog az óramutató? Nála a nyíl az óramutató járásával ellentétes irányba forog. Lehet, hogy paradoxon hangzik, de a forgás iránya kizárólag attól függ, hogy melyik oldalról figyeljük a forgást. És így van egy kerekünk, amely forog. Nem tudjuk megmondani, hogy a forgás milyen irányban történik, hiszen a forgássík egyik oldaláról és a másik oldaláról is megfigyelhetjük. Csak arról tanúskodhatunk, hogy van forgás. Teljes analógia egy végtelen sorozat paritásával S.

Most adjunk hozzá egy második forgó kereket, amelynek forgási síkja párhuzamos az első forgó kerék forgássíkjával. Még mindig nem tudjuk pontosan megmondani, hogy ezek a kerekek melyik irányba forognak, de azt teljes bizonyossággal meg tudjuk mondani, hogy mindkét kerék ugyanabba az irányba, vagy ellenkező irányba. Két végtelen sorozat összehasonlítása Sés 1-S, a matematika segítségével megmutattam, hogy ezek a sorozatok eltérő paritásúak, és hiba egyenlőségjelet tenni közéjük. Én személy szerint hiszek a matematikában, nem bízom a matematikusokban))) Egyébként a végtelen sorozatok transzformációinak geometriájának teljes megértéséhez be kell vezetni a fogalmat "egyidejűség". Ezt le kell rajzolni.

2019. augusztus 7., szerda

A -ról szóló beszélgetést lezárva egy végtelen halmazt kell figyelembe vennünk. Feltéve, hogy a „végtelen” fogalma úgy hat a matematikusokra, mint a boa-szűkítő a nyúlra. A végtelenség remegő réme megfosztja a matematikusokat a józan észtől. Íme egy példa:

Az eredeti forrás található. Az Alpha azt jelenti valós szám. Az egyenlőségjel a fenti kifejezésekben azt jelzi, hogy ha egy számot vagy végtelent adunk a végtelenhez, akkor semmi sem változik, az eredmény ugyanaz a végtelen lesz. Ha egy végtelen halmazt veszünk példának természetes számok, a vizsgált példák a következő formában mutathatók be:

Álláspontjuk vizuális bizonyítására a matematikusok számos különféle módszert dolgoztak ki. Én személy szerint úgy tekintek ezekre a módszerekre, mint a sámánok tamburás táncára. Lényegében mindannyian arra vezetnek, hogy vagy a szobák egy részét nem foglalják el, és új vendégeket telepítenek beléjük, vagy a látogatók egy részét kidobják a folyosóra, hogy helyet adjanak a vendégeknek (nagyon emberileg). Az ilyen döntésekről alkotott véleményemet egy fantasztikus történet formájában mutattam be a Szőkéről. Mire épül az érvelésem? Végtelen számú látogató mozgatása végtelenül sok időt vesz igénybe. Miután elhagytuk az első vendégszobát, az idők végezetéig az egyik látogató mindig végigmegy a folyosón a szobájából a következőbe. Persze az időfaktort hülyén lehet figyelmen kívül hagyni, de ez már a "nem hülyéknek íródott törvény" kategóriából lesz. Minden attól függ, hogy mit csinálunk: a valóságot a matematikai elméletekhez igazítjuk, vagy fordítva.

Mi az a "végtelen szálloda"? Az infinity fogadó olyan fogadó, amelyben mindig van szabad hely, függetlenül attól, hogy hány szoba van elfoglalva. Ha a végtelen „látogatók” folyosó minden szobája foglalt, akkor van egy másik végtelen folyosó, ahol a „vendégek” szobái vannak. Végtelen számú ilyen folyosó lesz. Ugyanakkor a "végtelen szállodának" végtelen számú épületében van végtelen számú emelete, végtelen számú bolygón, végtelen számú univerzumban, amelyeket végtelen számú isten hozott létre. A matematikusok viszont nem tudnak eltávolodni a banális hétköznapi problémáktól: Isten-Allah-Buddha mindig csak egy, a szálloda egy, a folyosó csak egy. A matematikusok tehát próbálnak zsonglőrködni a szállodai szobák sorszámai között, meggyőzve minket arról, hogy lehet "lökni a löketlent".

Érvelésem logikáját a természetes számok végtelen halmazának példáján mutatom be. Először meg kell válaszolnia egy nagyon egyszerű kérdést: hány természetes számkészlet létezik - egy vagy több? Erre a kérdésre nincs helyes válasz, hiszen mi magunk találtuk ki a számokat, a Természetben nincsenek számok. Igen, a természet tökéletesen tudja, hogyan kell számolni, de ehhez más matematikai eszközöket használ, amelyeket nem ismerünk. Ahogy a Természet gondolja, máskor elmondom. Mivel mi találtuk ki a számokat, mi magunk döntjük el, hogy hány természetes számhalmaz létezik. Mérlegelje mindkét lehetőséget, ahogy egy igazi tudóshoz illik.

1. lehetőség. „Adjunk nekünk” egyetlen természetes számkészletet, amely nyugodtan hever egy polcon. Ezt a készletet levesszük a polcról. Ennyi, más természetes szám nem maradt a polcon, és nincs is hova venni. Ehhez a készlethez nem tudunk hozzáadni egyet, mert már megvan. Mi van, ha nagyon akarod? Nincs mit. A már elvett készletből kivehetünk egy egységet, és visszahelyezhetjük a polcra. Ezt követően levehetünk egy egységet a polcról, és hozzátehetjük a megmaradthoz. Ennek eredményeként ismét egy végtelen természetes számhalmazt kapunk. Az összes manipulációnkat így írhatja le:

A műveleteket algebrai jelöléssel és halmazelméleti jelöléssel írtam le, részletesen felsorolva a halmaz elemeit. Az alsó index azt jelzi, hogy egyetlen természetes számkészletünk van. Kiderül, hogy a természetes számok halmaza csak akkor marad változatlan, ha kivonunk belőle egyet, és ugyanazt adjuk hozzá.

Második lehetőség. Sok különböző végtelen természetes számhalmaz van a polcon. Hangsúlyozom - MÁS, annak ellenére, hogy gyakorlatilag megkülönböztethetetlenek. Egy ilyen készletet veszünk. Ezután kiveszünk egyet a természetes számok másik halmazából, és hozzáadjuk a már felvett halmazhoz. Akár két természetes számhalmazt is összeadhatunk. Íme, amit kapunk:

Az "egy" és a "kettő" alsó indexek azt jelzik, hogy ezek az elemek különböző halmazokhoz tartoztak. Igen, ha egy végtelen halmazhoz adunk egyet, akkor az eredmény is egy végtelen halmaz lesz, de nem lesz ugyanaz, mint az eredeti halmaz. Ha egy végtelen halmazhoz hozzáadunk egy másik végtelen halmazt, akkor az eredmény egy új végtelen halmaz, amely az első két halmaz elemeiből áll.

A természetes számok halmazát ugyanúgy használjuk a számláláshoz, mint a mérési vonalzót. Most képzelje el, hogy hozzáadott egy centimétert a vonalzóhoz. Ez már egy másik vonal lesz, nem egyenlő az eredetivel.

Elfogadhatod vagy nem fogadhatod el az érvelésemet – ez a te dolgod. De ha valaha is matematikai problémákba ütközik, gondolja át, vajon a hamis érvelés útján jár-e, amelyet matematikusok generációi tapossanak. Hiszen a matematikaórák elsősorban a gondolkodás stabil sztereotípiáját alakítják ki bennünk, és csak ezután adnak hozzánk szellemi képességeket (vagy fordítva, megfosztanak a szabad gondolkodástól).

pozg.ru

2019. augusztus 4., vasárnap

Írtam egy utószavát egy cikkhez, és láttam ezt a csodálatos szöveget a Wikipédián:

Ezt olvassuk: "... a babiloni matematika gazdag elméleti alapja nem volt holisztikus jellegű, és különböző technikák halmazává redukálódott, amelyek nélkülözték a közös rendszert és bizonyítékbázist."

Azta! Milyen okosak vagyunk, és milyen jól látjuk mások hiányosságait. Gyenge számunkra, ha a modern matematikát ugyanabban a kontextusban nézzük? Kissé átfogalmazva a fenti szöveget, én személy szerint a következőket kaptam:

A modern matematika gazdag elméleti alapja nem holisztikus jellegű, és különböző szakaszok halmazára redukálódik, amelyek nélkülözik a közös rendszert és bizonyítékokat.

Nem megyek messzire, hogy megerősítsem szavaimat – olyan nyelvezete és konvenciói vannak, amelyek különböznek a matematika sok más ágának nyelvétől és konvencióitól. Ugyanazok a nevek a matematika különböző ágaiban eltérő jelentéssel bírhatnak. Publikációk egész ciklusát szeretném a modern matematika legnyilvánvalóbb baklövéseinek szentelni. Hamarosan találkozunk.

2019. augusztus 3., szombat

Hogyan lehet egy halmazt részhalmazokra osztani? Ehhez meg kell adni egy új mértékegységet, amely a kiválasztott halmaz egyes elemeiben megtalálható. Vegyünk egy példát.

Legyen sokunk DE négy emberből áll. Ez a halmaz "emberek" alapján alakult. Jelöljük ki ennek a halmaznak az elemeit a betűn keresztül a, a számmal ellátott alsó index minden egyes személy sorszámát jelzi ebben a készletben. Vezessünk be egy új mértékegységet, a „szexuális jellemzőt”, és jelöljük betűvel b. Mivel a szexuális jellemzők minden emberben benne vannak, a halmaz minden elemét megsokszorozzuk DE a nemről b. Figyeljük meg, hogy a mi „emberek” készletünk a „nemekkel rendelkező emberek” készletté vált. Ezt követően feloszthatjuk a nemi jellemzőket férfiakra bmés női bw nemi jellemzők. Most már alkalmazhatunk egy matematikai szűrőt: kiválasztunk egyet ezek közül a szexuális jellemzők közül, nem mindegy, hogy melyik férfi vagy nő. Ha megvan az emberben, akkor megszorozzuk eggyel, ha nincs ilyen jel, akkor nullával. És akkor alkalmazzuk a szokásos iskolai matematikát. Nézze meg, mi történt.

Szorzás, csökkentés és átrendezés után két részhalmazt kaptunk: a férfi részhalmazt bmés a nők egy részhalmaza bw. Körülbelül ugyanúgy érvelnek a matematikusok, amikor a halmazelméletet a gyakorlatban alkalmazzák. De nem engednek bele a részletekbe, hanem megadják a kész eredményt – "sok ember a férfiak egy részhalmazából és a nők egy részhalmazából áll." Természetesen felmerülhet a kérdés, hogy a matematikát mennyire alkalmazta helyesen a fenti transzformációk? Biztosíthatom Önöket, hogy valójában az átalakítások helyesen vannak végrehajtva, elég ismerni az aritmetika, a Boole-algebra és a matematika egyéb szakaszainak matematikai indoklását. Ami? Majd máskor mesélek róla.

Ami a szuperhalmazokat illeti, lehetőség van két halmaz egy szuperhalmazzá kombinálására úgy, hogy olyan mértékegységet választunk, amely e két halmaz elemeiben jelen van.

Amint látja, a mértékegységek és az általános matematika a múlté teszi a halmazelméletet. Annak a jele, hogy nincs minden rendben a halmazelmélettel, az, hogy a matematikusok saját nyelvezetet és jelölést találtak ki a halmazelmélethez. A matematikusok azt tették, amit egykor a sámánok. Csak a sámánok tudják, hogyan kell „helyesen” alkalmazni „tudásukat”. Ezt a "tudást" tanítják nekünk.

Befejezésül szeretném megmutatni, hogyan manipulálnak a matematikusok
Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint a teknősbéka, és ezer lépéssel lemaradt tőle. Azalatt az idő alatt, amíg Akhilleusz ezt a távot lefutja, a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést futott, a teknősbéka újabb tíz lépést fog kúszni, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem éri utol a teknősbékát.

Ez az érvelés logikus megrázkódtatássá vált minden következő generáció számára. Arisztotelész, Diogenész, Kant, Hegel, Gilbert... Valamennyien, így vagy úgy, Zénón aporiáit tekintették. A sokk olyan erős volt, hogy " ... a viták jelenleg is folynak, a tudományos közösség még nem tudott közös véleményre jutni a paradoxonok lényegéről ... matematikai elemzés, halmazelmélet, új fizikai és filozófiai megközelítések; egyik sem lett a probléma általánosan elfogadott megoldása..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Mindenki megérti, hogy becsapják, de senki sem érti, mi a megtévesztés.

A matematika szempontjából Zénó aporiájában egyértelműen bemutatta az átmenetet az értékről a másikra. Ez az átmenet konstansok helyett alkalmazást jelent. Ha jól értem, a változó mértékegységek alkalmazására szolgáló matematikai apparátus vagy még nem alakult ki, vagy nem alkalmazták Zénó apóriájára. A megszokott logikánk alkalmazása csapdába vezet bennünket. Mi a gondolkodás tehetetlensége folytán állandó időegységeket alkalmazunk a reciprokra. Fizikai szempontból úgy tűnik, hogy az idő lelassul és teljesen megáll abban a pillanatban, amikor Akhilleusz utoléri a teknősbékát. Ha megáll az idő, Akhilleusz már nem tudja megelőzni a teknősbékát.

Ha megfordítjuk a megszokott logikát, minden a helyére kerül. Akhilleusz állandó sebességgel fut. Útjának minden következő szakasza tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően a leküzdésére fordított idő tízszer kevesebb, mint az előzőnél. Ha ebben a helyzetben alkalmazzuk a "végtelen" fogalmát, akkor helyes lenne azt mondani, hogy "Achilles végtelenül gyorsan utoléri a teknősbékát".

Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? Maradjon állandó időegységben, és ne váltson át reciprok értékekre. Zénón nyelvén ez így néz ki:

Amíg Akhilleusz ezer lépést tesz meg, addig a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. A következő időintervallumban, amely megegyezik az elsővel, Akhilleusz további ezer lépést fut, a teknősbéka pedig száz lépést kúszik. Most Akhilleusz nyolcszáz lépéssel megelőzi a teknősbékát.

Ez a megközelítés adekvát módon írja le a valóságot minden logikai paradoxon nélkül. De ez nem teljes megoldás a problémára. Einstein kijelentése a fénysebesség leküzdhetetlenségéről nagyon hasonlít Zénón „Achilles és a teknős” című apóriájához. Ezt a problémát még tanulmányoznunk, újra kell gondolnunk és meg kell oldanunk. A megoldást pedig nem végtelenül nagy számokban, hanem mértékegységekben kell keresni.

Zénón egy másik érdekes apóriája egy repülő nyílról mesél:

A repülő nyíl mozdulatlan, mivel az idő minden pillanatában nyugalomban van, és mivel minden pillanatban nyugalomban van, mindig nyugalomban van.

Ebben az apóriában a logikai paradoxont ​​nagyon egyszerűen leküzdjük - elég tisztázni, hogy a repülő nyíl minden pillanatban a tér különböző pontjain nyugszik, ami valójában mozgás. Itt még egy szempontot kell megjegyezni. Egy úton lévő autóról készült fénykép alapján lehetetlen meghatározni sem a mozgás tényét, sem a távolságot. Az autó mozgásának tényének megállapításához két, ugyanarról a pontról, különböző időpontokban készült fényképre van szükség, de ezek alapján nem lehet meghatározni a távolságot. Az autótól való távolság meghatározásához két, a tér különböző pontjairól készült fényképre van szükség egyidejűleg, de ezekből nem tudja meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria segít). Mire szeretnék fókuszálni Speciális figyelem, hogy két pont az időben és két pont a térben különböző dolog, amit nem szabad összekeverni, mert különböző lehetőségeket adnak a felfedezésre.
A folyamatot egy példán mutatom be. Kiválasztjuk a "piros szilárd pattanásban" - ez a mi "egészünk". Ugyanakkor azt látjuk, hogy ezek a dolgok íjjal vannak, és vannak íj nélküli dolgok. Ezt követően kiválasztunk egy részt az „egészből”, és egy készletet alkotunk „egy íjjal”. A sámánok így táplálják magukat azzal, hogy halmazelméletüket a valósághoz kötik.

Most csináljunk egy kis trükköt. Vegyük a "szilárd pattanásban masnival" és egyesítsük ezeket az "egészeket" szín szerint, piros elemeket kiválasztva. Sok "pirost" kaptunk. Most egy trükkös kérdés: a kapott "masnival" és "piros" készletek ugyanazok, vagy két különböző készlet? Csak a sámánok tudják a választ. Pontosabban ők maguk nem tudnak semmit, de ahogy mondják, úgy legyen.

Ez az egyszerű példa azt mutatja, hogy a halmazelmélet teljesen haszontalan, ha a valóságról van szó. mi a titok? Készítettünk egy készletet "piros, tömör pattanásból masnival". A formálás négy különböző mértékegység szerint zajlott: szín (piros), szilárdság (szilárdság), érdesség (dudorban), díszítések (masnival). Csak a mértékegységek halmaza teszi lehetővé a valós tárgyak megfelelő leírását a matematika nyelvén. Így néz ki.

Az "a" betű különböző indexekkel jelöli különböző egységek mérések. Zárójelben kiemelve vannak a mértékegységek, amelyek szerint az "egész" kiosztásra kerül az előzetes szakaszban. A zárójelekből kivesszük azt a mértékegységet, amely szerint a halmaz kialakul. Az utolsó sor a végeredményt mutatja - a készlet egy elemét. Mint látható, ha egységeket használunk egy halmaz kialakításához, akkor az eredmény nem függ a cselekvéseink sorrendjétől. És ez a matematika, és nem a sámánok tánca tamburával. A sámánok „intuitív módon” ugyanerre az eredményre juthatnak, „nyilvánvalósággal” érvelve, mert a mértékegységek nem szerepelnek „tudományos” arzenáljukban.

A mértékegységek segítségével nagyon egyszerűen feltörhet egy vagy több készletet egy szuperszettbe. Nézzük meg közelebbről ennek a folyamatnak az algebráját.