Trigonometria szőkék trigonometrikus kör. Trigonometrikus kör

Koordináták x a körön fekvő pontok egyenlőek cos(θ), és a koordinátákkal y megfelel a sin(θ), ahol θ a szög nagysága.

• Ha nehéznek találja megjegyezni ezt a szabályt, ne feledje, hogy a párban (cos; sin) „a szinusz az utolsó”.
• Ez a szabály derékszögű háromszögekből és az adatok meghatározásából származtatható trigonometrikus függvények(a szög szinusza egyenlő a szemközti oldal hosszának arányával, a koszinusz pedig a szomszédos oldal és a hipotenuzus arányával).

Írd fel a kör négy pontjának koordinátáit! Az „egységkör” olyan kör, amelynek sugara eggyel egyenlő. Használja ezt a koordináták meghatározásához xÉs y a koordinátatengelyek és a kör négy metszéspontjában. A fentiekben az egyértelműség kedvéért ezeket a pontokat „keletnek”, „északnak”, „nyugatnak” és „délnek” jelöltük, bár ezeknek nincs ismert nevük.

• A "Kelet" a koordinátákkal ellátott pontnak felel meg (1; 0) .
• Az "Észak" a koordinátákkal ellátott pontnak felel meg (0; 1) .
• A "Nyugat" a koordinátákkal ellátott pontnak felel meg (-1; 0) .
• A "Dél" a koordinátákkal ellátott pontnak felel meg (0; -1) .
• Ez hasonló egy normál gráfhoz, tehát nem kell ezeket az értékeket memorizálni, csak emlékezzünk az alapelvre.

Trigonometrikus kör. Egységkör. Számkör. Ami?

Figyelem!
Vannak további
anyagok az 555. külön szakaszban.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

Nagyon gyakran kifejezések trigonometrikus kör, egységkör, számkör rosszul értik a diákok. És teljesen hiába. Ezek a koncepciók hatékony és univerzális asszisztensek a trigonometria minden területén. Valójában ez egy legális csalólap! Rajzoltam egy trigonometrikus kört és azonnal láttam a válaszokat! Csábító? Szóval tanuljuk meg, vétek lenne ilyet nem használni. Ráadásul egyáltalán nem nehéz.

A trigonometrikus körrel való sikeres munkához csak három dolgot kell tudnod.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésekre és különféle kutatásokra az általunk nyújtott szolgáltatások javítása és a szolgáltatásainkkal kapcsolatos ajánlások biztosítása érdekében.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Ha szükséges, a jogszabályoknak megfelelően bírósági eljárás, jogi eljárásokban és/vagy nyilvános megkeresések vagy megkeresések alapján kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Leegyszerűsítve, ezek egy speciális recept szerint vízben főzött zöldségek. Két kezdeti komponenst (zöldségsaláta és víz) és a végeredményt - a borscsot - veszem figyelembe. Geometriailag téglalapnak tekinthető, amelynek egyik oldala a salátát, a másik oldala pedig a vizet. E két oldal összege a borscsot jelzi. Az ilyen „borscht” téglalap átlója és területe tisztán matematikai fogalmak, és soha nem használják a borscs receptekben.

A matematikai tankönyvekben nem találsz semmit a lineáris szögfüggvényekről. De nélkülük nem létezhet matematika. A matematika törvényei, akárcsak a természet törvényei, attól függetlenül működnek, hogy tudunk-e létezésükről vagy sem.

A lineáris szögfüggvények összeadási törvények. Nézze meg, hogyan válik az algebra geometriává és a geometriából trigonometriává.

Lehetséges a lineáris szögfüggvények nélkül? Lehetséges, mert a matematikusok továbbra is boldogulnak nélkülük. A matematikusok trükkje az, hogy mindig csak azokról a problémákról beszélnek, amelyeket ők maguk is tudnak, és soha nem mondanak el olyan problémákat, amelyeket nem tudnak megoldani. Néz. Ha ismerjük az összeadás és az egyik tag eredményét, akkor kivonást használunk a másik tag megkereséséhez. Minden. Nem ismerünk más problémákat, és nem tudjuk, hogyan oldjuk meg őket. Mit tegyünk, ha csak az összeadás eredményét ismerjük, és nem ismerjük mindkét kifejezést? Ebben az esetben az összeadás eredményét lineáris szögfüggvények segítségével két tagra kell bontani. Ezután mi magunk választjuk ki, hogy mi lehet az egyik tag, és a lineáris szögfüggvények megmutatják, hogy mi legyen a második tag, hogy az összeadás eredménye pontosan az legyen, amire szükségünk van. Végtelen számú ilyen kifejezéspár lehet. BAN BEN Mindennapi élet Jól megtehetjük, ha nem bontjuk ki az összeget; De a természet törvényeinek tudományos kutatásában nagyon hasznos lehet egy összeget összetevőire bontani.

Egy másik összeadási törvény, amelyről a matematikusok nem szeretnek beszélni (egy másik trükkjük), megköveteli, hogy a kifejezéseknek azonos mértékegységekkel kell rendelkezniük. A saláta, a víz és a borscs esetében ezek lehetnek súly-, térfogat-, érték- vagy mértékegységek.

Az ábra a matematikai különbségek két szintjét mutatja. Az első szint a számok mezőjében tapasztalható különbségek, amelyeket jeleznek a, b, c. Ezt csinálják a matematikusok. A második szint a mértékegységek mezőjének különbségei, amelyek szögletes zárójelben vannak feltüntetve, és betűvel jelzik. U. Ezt csinálják a fizikusok. Megérthetjük a harmadik szintet - különbségeket a leírt tárgyak területén. Különböző objektumok ugyanannyi azonos mértékegységet tartalmazhatnak. Hogy ez mennyire fontos, azt a borscht trigonometria példáján láthatjuk. Ha ugyanahhoz az egységmegjelöléshez adunk alsó indexeket különböző objektumokhoz, akkor pontosan meg tudjuk mondani, hogy egy adott objektumot milyen matematikai mennyiség ír le, és az hogyan változik az idő múlásával vagy a cselekedeteink hatására. Levél W Betűvel fogom kijelölni a vizet S A salátát betűvel fogom kijelölni B- borscs. Így fognak kinézni a borscs lineáris szögfüggvényei.

Ha kivesszük a víz egy részét és a saláta egy részét, akkor ezekből együtt egy adag borscs lesz. Itt azt javaslom, hogy tartson egy kis szünetet a borscstól, és emlékezzen távoli gyermekkorára. Emlékszel, hogyan tanítottak meg minket összerakni nyuszikat és kacsákat? Meg kellett találni, hány állat lesz. Mit tanítottak nekünk akkor? Megtanítottuk a mértékegységeket a számoktól elkülöníteni, és számokat összeadni. Igen, bármelyik szám hozzáadható bármely másik számhoz. Ez egy egyenes út a modern matematika autizmusához - érthetetlenül csináljuk, hogy mit, érthetetlenül miért, és nagyon rosszul értjük, hogy ez hogyan kapcsolódik a valósághoz, a három különböző szint miatt a matematikusok csak eggyel operálnak. Helyesebb lenne megtanulni, hogyan lehet egyik mértékegységről a másikra lépni.

A nyuszik, kacsák, kis állatok darabokban számolhatók. A különböző objektumok egyetlen közös mértékegysége lehetővé teszi, hogy összeadjuk őket. Ez a probléma gyerekeknek szóló változata. Nézzünk egy hasonló problémát felnőtteknél. Mit kapsz, ha nyuszikat és pénzt adsz hozzá? Itt két megoldást tudunk ajánlani.

Első lehetőség. Meghatározzuk a nyuszik piaci értékét, és hozzáadjuk a rendelkezésre álló pénzösszeghez. Vagyonunk teljes értékét pénzben kifejezve megkaptuk.

Második lehetőség. A nálunk lévő bankjegyek számához hozzáadhatja a nyuszik számát. Az ingó vagyon mennyiségét darabokban kapjuk meg.

Amint látja, ugyanaz az összeadási törvény különböző eredményeket tesz lehetővé. Minden attól függ, hogy pontosan mit akarunk tudni.

De térjünk vissza a borscsunkhoz. Most meglátjuk, hogy mikor mi lesz különböző jelentések lineáris szögfüggvények szöge.

A szög nulla. Van salátánk, de nincs víz. Borscht nem főzhetünk. A borscs mennyisége is nulla. Ez egyáltalán nem jelenti azt, hogy a nulla borscs egyenlő a nulla vízzel. Lehet nulla borscs nulla salátával (derékszög).

Számomra személy szerint ez a fő matematikai bizonyítéka annak, hogy . A nulla hozzáadásakor nem változtatja meg a számot. Ez azért történik, mert maga az összeadás lehetetlen, ha csak egy tag van, és a második tag hiányzik. Ezt tetszés szerint érezheti, de ne feledje – minden nullával végzett matematikai műveletet maguk a matematikusok találták ki, szóval dobja el a logikáját, és ostobán zsúfolja össze a matematikusok által kitalált definíciókat: „nullával osztás lehetetlen”, „bármely szám szorozva nulla egyenlő nullával” , „a lyukasztási ponton túl nulla” és egyéb hülyeségek. Elég egyszer megjegyezni, hogy a nulla nem szám, és soha többé nem lesz kérdés, hogy a nulla természetes szám-e vagy sem, mert egy ilyen kérdés elveszti értelmét: hogyan tekinthető számnak valami, ami nem szám ? Ez olyan, mintha azt kérdeznénk, hogy egy láthatatlan színt milyen színbe kell besorolni. Nullát hozzáadni egy számhoz ugyanaz, mint olyan festékkel festeni, amely nincs ott. Meglegyintettünk egy száraz ecsettel, és azt mondtuk mindenkinek, hogy „festettünk”. De elkanyarodok egy kicsit.

Sarok Nulla felett, de kevesebb, mint negyvenöt fok. Sok a salátánk, de kevés a víz. Ennek eredményeként sűrű borscsot kapunk.

A szög negyvenöt fok. Egyforma mennyiségű víz és saláta van. Ez a tökéletes borscs (bocsáss meg, szakácsok, ez csak matematika).

A szög negyvenöt foknál nagyobb, de kilencven foknál kisebb. Sok vízünk van és kevés salátánk. Folyékony borscsot kapsz.

Derékszög. Van vizünk. A salátából már csak emlékek maradnak, hiszen továbbra is attól a vonaltól mérjük a szöget, amely egykor a salátát jelölte. Borscht nem főzhetünk. A borscs mennyisége nulla. Ebben az esetben kapaszkodj és igyál vizet, amíg van)

Itt. Valami ilyesmi. Elmondhatok itt más történeteket is, amelyek több mint helyénvalóak lennének itt.

Két barátnak volt részesedése egy közös üzletben. Miután megölték egyiküket, minden a másikra került.

A matematika megjelenése bolygónkon.

Mindezeket a történeteket a matematika nyelvén, lineáris szögfüggvények segítségével mesélik el. Máskor megmutatom ezeknek a függvényeknek a valódi helyét a matematika szerkezetében. Addig is térjünk vissza a borscs-trigonometriához, és vegyük figyelembe a vetületeket.

2019. október 26. szombat

2019. augusztus 7., szerda

Az erről szóló beszélgetést lezárva egy végtelen halmazt kell figyelembe vennünk. A lényeg az, hogy a „végtelen” fogalma úgy hat a matematikusokra, mint a boa-összehúzó a nyulat. A végtelenség remegő réme megfosztja a matematikusokat a józan észtől. Íme egy példa:

Az eredeti forrás található. Az alfa jelentése valós szám. Az egyenlőségjel a fenti kifejezésekben azt jelzi, hogy ha egy számot vagy végtelent adunk a végtelenhez, akkor semmi sem változik, az eredmény ugyanaz a végtelen lesz. Ha a természetes számok végtelen halmazát vesszük példának, akkor a vizsgált példák a következő formában ábrázolhatók:

Annak érdekében, hogy egyértelműen bebizonyítsák, igazuk volt, a matematikusok sok különböző módszert dolgoztak ki. Személy szerint én úgy tekintek ezekre a módszerekre, mint a tamburákkal táncoló sámánokra. Lényegében mindegyik abból adódik, hogy vagy a szobák egy része üresen áll, és új vendégek költöznek be, vagy a látogatók egy részét kidobják a folyosóra, hogy helyet adjanak a vendégeknek (nagyon emberileg). Az ilyen döntésekről alkotott nézetemet a Szőkéről szóló fantáziatörténet formájában mutattam be. Mire épül az érvelésem? A végtelen számú látogató áthelyezése végtelenül sok időt vesz igénybe. Miután az első szobát felszabadítottuk egy vendég számára, az idők végezetéig az egyik látogató mindig végigmegy a folyosón a szobájából a másikba. Persze az időtényezőt hülyén figyelmen kívül lehet hagyni, de ez a „nem bolondoknak írt törvény” kategóriába tartozik. Minden attól függ, hogy mit csinálunk: a valóságot a matematikai elméletekhez igazítjuk, vagy fordítva.

Mi az a „végtelen szálloda”? A végtelen szálloda olyan szálloda, amelyben mindig van bármennyi üres ágy, függetlenül attól, hogy hány szoba van elfoglalva. Ha a végtelen "látogató" folyosón minden szoba foglalt, akkor van egy másik végtelen folyosó "vendég" szobákkal. Végtelen számú ilyen folyosó lesz. Sőt, a „végtelen szállodának” végtelen számú emelete van végtelen számú épületben, végtelen számú bolygón, végtelen számú univerzumban, amelyeket végtelen számú isten hozott létre. A matematikusok nem képesek elhatárolódni a banális hétköznapi problémáktól: mindig csak egy Isten-Allah-Buddha van, csak egy szálloda, csak egy folyosó. A matematikusok tehát próbálnak zsonglőrködni a szállodai szobák sorozatszámai között, meggyőzve minket arról, hogy lehetséges „beleütni a lehetetlent”.

Érvelésem logikáját a természetes számok végtelen halmazának példáján mutatom be. Először meg kell válaszolnia egy nagyon egyszerű kérdést: hány természetes számkészlet van - egy vagy több? Erre a kérdésre nincs helyes válasz, hiszen a számokat mi magunk találtuk ki, a természetben nem léteznek. Igen, a természet remekül tud számolni, de ehhez más matematikai eszközöket használ, amelyeket nem ismerünk. Máskor elmondom, mit gondol a Természet. Mivel mi találtuk ki a számokat, mi magunk döntjük el, hogy hány természetes számhalmaz van. Vegyük fontolóra mindkét lehetőséget, ahogy az igazi tudósokhoz illik.

1. lehetőség. „Adjunk nekünk” egyetlen természetes számkészletet, amely nyugodtan hever a polcon. Ezt a készletet levesszük a polcról. Ennyi, nincs más természetes szám a polcon, és nincs hova vinni. Ehhez a készlethez nem tudunk hozzáadni egyet, mert már megvan. Mi van, ha nagyon akarod? Nincs mit. A már elvett készletből vehetünk egyet és visszatehetjük a polcra. Utána levehetünk egyet a polcról, és hozzátehetjük a megmaradthoz. Ennek eredményeként ismét egy végtelen természetes számhalmazt kapunk. Az összes manipulációnkat így írhatja le:

A műveleteket algebrai jelöléssel és halmazelméleti jelöléssel írtam le, a halmaz elemeinek részletes felsorolásával. Az alsó index azt jelzi, hogy egyetlen természetes számkészletünk van. Kiderül, hogy a természetes számok halmaza csak akkor marad változatlan, ha kivonunk belőle egyet, és hozzáadjuk ugyanazt az egységet.

Második lehetőség. Sok különböző végtelen természetes számhalmaz található a polcon. Hangsúlyozom - MÁS, annak ellenére, hogy gyakorlatilag megkülönböztethetetlenek. Vegyünk egy ilyen készletet. Ezután kiveszünk egyet a természetes számok másik halmazából, és hozzáadjuk a már felvett halmazhoz. Akár két természetes számhalmazt is összeadhatunk. Ezt kapjuk:

Az "egy" és a "kettő" alsó indexek azt jelzik, hogy ezek az elemek különböző halmazokhoz tartoztak. Igen, ha egy végtelen halmazhoz adunk egyet, akkor az eredmény is egy végtelen halmaz lesz, de nem lesz ugyanaz, mint az eredeti halmaz. Ha egy végtelen halmazhoz hozzáadunk egy másik végtelen halmazt, az eredmény egy új végtelen halmaz, amely az első két halmaz elemeiből áll.

A természetes számok halmazát ugyanúgy használjuk a számoláshoz, mint a vonalzót a méréshez. Most képzelje el, hogy hozzáadott egy centimétert a vonalzóhoz. Ez egy másik sor lesz, nem egyenlő az eredetivel.

Elfogadhatod vagy nem fogadhatod el az érvelésemet – ez a te dolgod. De ha valaha is matematikai problémákkal találkozik, gondolja át, vajon a matematikusok generációi által kitaposott hamis érvelés útján jár-e. Hiszen a matematika tanulása mindenekelőtt stabil gondolkodási sztereotípiát alakít ki bennünk, és csak azután erősíti szellemi képességeinket (vagy éppen ellenkezőleg, megfoszt bennünket a szabadgondolkodástól).

pozg.ru

2019. augusztus 4., vasárnap

Éppen befejeztem egy cikk utószavát, és láttam ezt a csodálatos szöveget a Wikipédián:

Ezt olvassuk: „... Babilon matematikájának gazdag elméleti alapja nem volt holisztikus jellegű, és különböző technikák halmazává redukálódott, amelyek nélkülözték közös rendszerés bizonyítékbázis."

Azta! Milyen okosak vagyunk, és milyen jól látjuk mások hiányosságait. Nehéz nekünk ugyanabban a kontextusban szemlélni a modern matematikát? Kissé átfogalmazva a fenti szöveget, én személy szerint a következőket kaptam:

A modern matematika gazdag elméleti alapja nem holisztikus jellegű, és különböző szakaszok halmazára redukálódik, amelyek nélkülözik a közös rendszert és bizonyítékbázist.

Nem megyek messzire, hogy megerősítsem szavaimat – olyan nyelvezete és konvenciói vannak, amelyek különböznek a matematika sok más ágának nyelvétől és konvencióitól. Ugyanazok a nevek a matematika különböző ágaiban eltérő jelentéssel bírhatnak. Publikációk egész sorát szeretném szentelni a modern matematika legnyilvánvalóbb hibáinak. Hamarosan találkozunk.

2019. augusztus 3. szombat

Hogyan lehet egy halmazt részhalmazokra osztani? Ehhez meg kell adni egy új mértékegységet, amely a kiválasztott halmaz egyes elemeiben jelen van. Nézzünk egy példát.

Legyen nálunk bőven A négy emberből áll. Ez a halmaz az „emberek” alapján van kialakítva. Jelöljük ennek a halmaznak az elemeit betűvel A, a számmal ellátott alsó index minden egyes személy sorozatszámát jelzi ebben a készletben. Vezessünk be egy új mértékegységet „gender”, és jelöljük betűvel b. Mivel a szexuális jellemzők minden emberben benne vannak, a halmaz minden elemét megsokszorozzuk A nem alapján b. Figyeljük meg, hogy a mi „embereink” csoportja mára „nembeli jellemzőkkel rendelkező emberek” halmazává vált. Ezt követően feloszthatjuk a nemi jellemzőket férfiakra bmés női bw szexuális jellemzők. Most alkalmazhatunk egy matematikai szűrőt: kiválasztunk egyet ezek közül a szexuális jellemzők közül, függetlenül attól, hogy melyik - férfi vagy nő. Ha valakinek megvan, akkor megszorozzuk eggyel, ha nincs ilyen előjel, akkor nullával. És akkor a szokásos iskolai matematikát használjuk. Nézd, mi történt.

Szorzás, kicsinyítés és átrendezés után két részhalmazt kaptunk: a férfiak részhalmazát Bmés a nők egy részhalmaza Bw. A matematikusok megközelítőleg ugyanígy érvelnek, amikor a halmazelméletet alkalmazzák a gyakorlatban. De nem a részleteket árulják el, hanem a végeredményt adják – „sok ember a férfiak egy részéből és a nők egy részéből áll”. Természetesen felmerülhet a kérdés: mennyire helyesen alkalmazták a matematikát a fent vázolt transzformációkban? Biztosíthatom, hogy lényegében mindent helyesen csináltak, elég, ha ismerjük az aritmetika, a Boole-algebra és a matematika egyéb ágainak matematikai alapjait. Ami? Máskor mesélek erről.

Ami a szuperhalmazokat illeti, két halmazt egy szuperszettbe vonhat össze úgy, hogy kiválasztja a két halmaz elemeiben található mértékegységet.

Mint látható, a mértékegységek és a közönséges matematika a halmazelméletet a múlt emlékévé teszi. Annak a jele, hogy nincs minden rendben a halmazelmélettel, az az, hogy a matematikusok kitalálták a saját nyelvüket és jelöléseiket a halmazelmélethez. A matematikusok úgy viselkedtek, mint egykor a sámánok. Csak a sámánok tudják, hogyan kell „helyesen” alkalmazni „tudásukat”. Megtanítják nekünk ezt a „tudást”.

Végezetül szeretném megmutatni, hogyan manipulálják a matematikusok .

2019. január 7., hétfő

A Kr.e. ötödik században az ókori görög filozófus, Eleai Zénón megfogalmazta híres apóriáit, amelyek közül a leghíresebb az „Achilles és a teknős” apóriája. Így hangzik:

Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint a teknősbéka, és ezer lépéssel mögötte van. Amíg Akhilleusz lefutja ezt a távot, a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést fut, a teknősbéka újabb tíz lépést kúszik, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem éri utol a teknősbékát.

Ez az érvelés logikus megrázkódtatássá vált minden következő generáció számára. Arisztotelész, Diogenész, Kant, Hegel, Hilbert... Valamennyien úgy-ahogyan tekintették Zénón apóriáját. A sokk olyan erős volt, hogy " ...a viták a mai napig folynak, a tudományos közösség még nem tudott közös véleményre jutni a paradoxonok lényegéről... részt vettek a kérdés vizsgálatában; matematikai elemzés, halmazelmélet, új fizikai és filozófiai megközelítések; egyik sem lett általánosan elfogadott megoldás a problémára..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Mindenki megérti, hogy becsapják, de senki sem érti, miből áll a megtévesztés.

Matematikai szempontból Zénó aporiájában egyértelműen bemutatta a mennyiségből a -ba való átmenetet. Ez az átmenet állandó alkalmazás helyett alkalmazást jelent. Ha jól értem, a változó mértékegységek használatára szolgáló matematikai apparátust vagy még nem fejlesztették ki, vagy nem alkalmazták Zénó apóriájára. A megszokott logikánk alkalmazása csapdába vezet bennünket. Mi a gondolkodás tehetetlensége miatt állandó időegységeket alkalmazunk a reciprok értékre. Fizikai szempontból ez úgy tűnik, mintha az idő lelassulna, amíg teljesen meg nem áll abban a pillanatban, amikor Akhilleusz utoléri a teknőst. Ha megáll az idő, Akhilleusz többé nem tudja lehagyni a teknősbékát.

Ha megfordítjuk a megszokott logikánkat, minden a helyére kerül. Akhilleusz állandó sebességgel fut. Útjának minden következő szakasza tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően a leküzdésére fordított idő tízszer kevesebb, mint az előzőnél. Ha ebben a helyzetben alkalmazzuk a „végtelen” fogalmát, akkor helyes lenne azt mondani, hogy „Achilles végtelenül gyorsan utoléri a teknőst”.

Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? Maradjon állandó időegységben, és ne váltson át reciprok mértékegységekre. Zénón nyelvén ez így néz ki:

Amíg Akhilleusz ezer lépést fut, addig a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Az elsővel megegyező következő időintervallumban Akhilleusz újabb ezer lépést fut, a teknősbéka pedig száz lépést kúszik. Most Akhilleusz nyolcszáz lépéssel megelőzi a teknősbékát.

Ez a megközelítés adekvát módon írja le a valóságot minden logikai paradoxon nélkül. De ez nem teljes megoldás a problémára. Einstein kijelentése a fénysebesség ellenállhatatlanságáról nagyon hasonlít Zénón „Achilles és a teknős” című apóriájához. Ezt a problémát még tanulmányoznunk, újragondolnunk és megoldanunk kell. A megoldást pedig nem szabad a végtelenségig keresni nagy számok, hanem mértékegységben.

Zénó másik érdekes apóriája egy repülő nyílról szól:

A repülő nyíl mozdulatlan, hiszen az idő minden pillanatában nyugalomban van, és mivel minden pillanatban nyugalomban van, mindig nyugalomban van.

Ebben az apóriában a logikai paradoxont ​​nagyon egyszerűen leküzdjük - elég tisztázni, hogy minden időpillanatban egy repülő nyíl nyugalomban van a tér különböző pontjain, ami valójában mozgás. Itt még egy szempontot kell megjegyezni. Egy úton lévő autóról készült fénykép alapján lehetetlen meghatározni sem a mozgás tényét, sem a távolságot. Annak megállapításához, hogy egy autó mozog-e, két fényképre van szüksége, amelyek ugyanarról a pontról készültek, különböző időpontokban, de nem tudja meghatározni a távolságot tőlük. Az autótól való távolság meghatározásához két fényképre van szükség, amelyek a tér különböző pontjairól készültek egy időben, de ezekből nem lehet meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria segít ). Amire szeretnék rámutatni Speciális figyelem, hogy két pont az időben és két pont a térben különböző dolog, amit nem szabad összekeverni, mert más-más lehetőséget biztosítanak a kutatáshoz.
Egy példával mutatom be a folyamatot. Kiválasztjuk a „vörös szilárd pattanást” - ez a mi „egészünk”. Ugyanakkor azt látjuk, hogy ezek a dolgok íjjal vannak, és vannak íj nélküli dolgok. Ezután kiválasztjuk az „egész” egy részét, és egy készletet alkotunk „egy íjjal”. A sámánok így jutnak táplálékhoz azáltal, hogy halmazelméletüket a valósághoz kötik.

Most csináljunk egy kis trükköt. Vegyük a „masnis pattanásos szilárd”-ot, és kombináljuk ezeket az „egészeket” szín szerint, kiválasztva a piros elemeket. Sok "pirost" kaptunk. Most az utolsó kérdés: a kapott „íjjal” és „piros” halmazok ugyanazok, vagy két különböző halmaz? Csak a sámánok tudják a választ. Pontosabban ők maguk nem tudnak semmit, de ahogy mondják, így lesz.

Ez az egyszerű példa azt mutatja, hogy a halmazelmélet teljesen haszontalan, ha a valóságról van szó. mi a titok? Készítettünk egy készletet "piros szilárd pattanással és masnival". A formálás négy különböző mértékegységben zajlott: szín (piros), szilárdság (szilárd), érdesség (pattanás), díszítés (masnival). Csak a mértékegységek halmaza teszi lehetővé a valós objektumok megfelelő leírását a matematika nyelvén. Így néz ki.

Az "a" betű különböző indexekkel azt jelenti különböző egységek mérések. Zárójelben vannak kiemelve azok a mértékegységek, amelyek alapján az „egész” megkülönböztethető az előzetes szakaszban. A zárójelekből kivesszük azt a mértékegységet, amellyel a halmaz létrejön. Az utolsó sor a végeredményt mutatja - a készlet egy elemét. Mint látható, ha mértékegységeket használunk egy halmaz kialakításához, akkor az eredmény nem függ cselekvéseink sorrendjétől. És ez a matematika, és nem a sámánok tamburákkal való tánca. A sámánok „intuitív módon” ugyanerre az eredményre juthatnak, azzal érvelve, hogy ez „nyilvánvaló”, mert a mértékegységek nem részei „tudományos” arzenáljuknak.

A mértékegységek használatával nagyon egyszerű egy készletet felosztani vagy több készletet egyetlen szuperszettbe kombinálni. Nézzük meg közelebbről ennek a folyamatnak az algebráját.