ಯಾವ ಗುರುತನ್ನು ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು

ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

$a^2-b^2$ ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಏಕಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಏಕಪದವನ್ನು ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆಗ ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಗುರುತನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನಮ್ಮ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ $ab$ ಅನ್ನು ಕಳೆಯೋಣ:

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಂದರೆ, ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

$(4x)^2-y^2$ ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]

ಘನಗಳ ಮೊತ್ತ

ನಾವು $a^3+b^3$ ಘನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಆವರಣದಿಂದ $\ಎಡ(a+b\right)$ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಂದರೆ, ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಪೂರ್ಣ ವರ್ಗದಿಂದ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

$(8x)^3+y^3$ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

ಚೌಕಗಳ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ನಾವು $a^3-b^3$ ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೇಲಿನ ಅದೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ನಮ್ಮ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ $a^2b\ ಮತ್ತು\ (ab)^2$ ಅನ್ನು ಕಳೆಯೋಣ:

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ $\ಎಡ(ಎ-ಬಿ\ಬಲ)$ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:

ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಂದರೆ, ಎರಡು ಏಕಪದಗಳ ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತದ ಅಪೂರ್ಣ ವರ್ಗದಿಂದ ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

$(8x)^3-y^3$ ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

ಚೌಕಗಳ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಘನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆ

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಗುಣಿಸಿ.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

ಪರಿಹಾರ:

a) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

ಚೌಕಗಳ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:

ಘನಗಳ ಘನಗಳ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\ಎಡ(\frac(1)(3)\ಬಲ))^3-x^3\]

ಘನಗಳ ಘನಗಳ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:

\[(\ಎಡ(\frac(1)(3)\ಬಲ))^3-x^3=\ಎಡ(\frac(1)(3)-x\ಬಲ)\ಎಡ(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\ಬಲ)\]

ಸೂತ್ರಗಳು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಗುಣಾಕಾರದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ದೊಡ್ಡ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವೇಗವಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಲವಾರು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸ್ವತಃ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಈ ಸೂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ನಿರ್ಧಾರವಿವಿಧ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಿಯಮಗಳು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಕುಶಲತೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಂತರ ನೀವು ಸಮಾನತೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಅದು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು (ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ನಂತರ ಎಡಭಾಗ).

ಮೆಮೊರಿಯಿಂದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಈ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಮುಖ್ಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ಮೊತ್ತ ಚೌಕ

ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಮೊದಲ ಪದದ ವರ್ಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಮೊದಲ ಪದ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರ ಎರಡು ಬಾರಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ವರ್ಗ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: (a + c)² = a² + 2ac + c².

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಚೌಕ

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು, ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಎರಡು ಪಟ್ಟು (ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಈ ನಿಯಮವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಈ ನಿಯಮವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

ಮೊತ್ತ ಘನ

ಎರಡು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತದ ಘನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಮೊದಲ ಪದದ ಘನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮೊದಲ ಪದದ ವರ್ಗದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು, ಮೊದಲ ಪದದ ಟ್ರಿಪಲ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ವರ್ಗ, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಅವಧಿಯ ಘನ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಈ ನಿಯಮವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

ಘನಗಳ ಮೊತ್ತ

ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ಈ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಪೂರ್ಣ ವರ್ಗದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಈ ನಿಯಮವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

ಉದಾಹರಣೆ.ಆಕೃತಿಯ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಇದು ಎರಡು ಘನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳ ಬದಿಗಳ ಪ್ರಮಾಣ ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಬದಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಸುಲಭ.

ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ತೊಡಕಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ "ಘನಗಳ ಮೊತ್ತ" ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಘನ

ಘನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಈ ರೀತಿ ಧ್ವನಿಸುತ್ತದೆ: ಮೊದಲ ಪದದ ಮೂರನೇ ಶಕ್ತಿಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿ, ಮೊದಲ ಪದದ ವರ್ಗದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಎರಡನೆಯಿಂದ ಮೂರು ಪಟ್ಟು, ಎರಡನೆಯ ವರ್ಗದಿಂದ ಮೊದಲ ಪದದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿಸಿ , ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಅವಧಿಯ ಋಣಾತ್ಮಕ ಘನ. ಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಘನವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರವು ಘನಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಕೇವಲ ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮೊತ್ತದ ಅಪೂರ್ಣ ವರ್ಗದಿಂದ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ. ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

ಉದಾಹರಣೆ.ಹಳದಿ ವಾಲ್ಯೂಮೆಟ್ರಿಕ್ ಫಿಗರ್ ಅನ್ನು ಕಳೆಯುವ ನಂತರ ಉಳಿಯುವ ಆಕೃತಿಯ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಇದು ನೀಲಿ ಘನದ ಪರಿಮಾಣದಿಂದ ಘನವೂ ಆಗಿದೆ. ಸಣ್ಣ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಘನದ ಬದಿಯ ಗಾತ್ರ ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಬದಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರೆ, "ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ" (ಅಥವಾ "ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ಕ್ಯೂಬ್") ಎಂಬ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಹಿಂದಿನ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಲು ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ: ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಗುಂಪು ಮಾಡುವ ವಿಧಾನ.

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಬಹುಪದವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

ನೀವು ಪ್ರತಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ 12 ಬಾರಿ ಬರೆಯಬೇಕೆಂದು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಉತ್ತಮ ಕಂಠಪಾಠಕ್ಕಾಗಿ, ಸಣ್ಣ ಚೀಟ್ ಶೀಟ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿಮಗಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರವು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭವಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ವಿಶೇಷ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಬಳಸಲು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಯಾವುದೇ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರವು ಸಹ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ ಹಿಮ್ಮುಖ ಭಾಗ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

"27a 3" "(3a) 3" ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅಂದರೆ ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ, "a" ಬದಲಿಗೆ, ನಾವು "3a" ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. "a 3" ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ, ನಾವು "27a 3" ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು "b 3" ನ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ, ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ "b 3" ಇದೆ.

ಘನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಹುಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು "(x - 1) (x 2 + x + 1)" ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರದ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ "", ಬದಲಿಗೆ "a" ಬದಲಿಗೆ "x", ಮತ್ತು ಇನ್ "b" ಸ್ಥಳವು "1» .

"(x - 1)(x 2 + x + 1)" ಗಾಗಿ, ನಾವು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ನಾವು "(y 2 - 1)(y 4 + y 2 + 1)" ಅನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಬಲಭಾಗದಘನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರಗಳು
« a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)”, ನಂತರ ನೀವು ಮೊದಲ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಿಂದ “ a” ಬದಲಿಗೆ " y 2 ಮತ್ತು " b" ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ " 1" ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು.

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು: ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗ; ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ; ಮೊತ್ತದ ಘನ ಮತ್ತು ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಘನ; ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಘನಗಳ ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಲು, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ಹೃದಯದಿಂದ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು.

a, b R. ನಂತರ:

1. ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವರ್ಗ.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವರ್ಗವು ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವರ್ಗ.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

4. ಮೊತ್ತ ಘನಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಘನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಜೊತೆಗೆ ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಚೌಕದ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರು ಬಾರಿ ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಬಾರಿ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಘನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಘನಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಘನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವರ್ಗದ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಪ್ಲಸ್ ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದ ವರ್ಗವು ಎರಡನೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಘನವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. ಘನಗಳ ಮೊತ್ತಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಪೂರ್ಣ ವರ್ಗದಿಂದ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. ಘನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತದ ಅಪೂರ್ಣ ವರ್ಗದಿಂದ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಎ) ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

ಬಿ) ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ

(x - y) 2 + (x + y) 2

ನಾವು ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

ಒಂದು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳು:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)