Norėdami nustatyti taško padėtį plokštumoje, galite naudoti polines koordinates [g, (p), kur G yra taško atstumas nuo pradžios ir (R- kampas, kurį sudaro spindulys - šio taško vektorius su teigiama ašies kryptimi Oi. Teigiama kampo kitimo kryptis (R atsižvelgiama į prieš laikrodžio rodyklę. Naudojant Dekarto ir polinių koordinačių ryšį: x \u003d r cos cf, y \u003d r sin (p,

gauname kompleksinio skaičiaus trigonometrinę formą

z - r(sin (p + i sin

kur G

Xi + y2, (p yra kompleksinio skaičiaus argumentas, kuris randamas iš

l X . m y

formules cos (p --, sin^9 ​​= - arba dėl to, kad tg(p --, (p-arctg

Atkreipkite dėmesį, kad renkantis vertes trečia iš paskutinės lygties, būtina atsižvelgti į ženklus x ir y.

47 pavyzdys. Parašykite kompleksinį skaičių trigonometrine forma 2 \u003d -1 + l / Z / .

Sprendimas. Raskite kompleksinio skaičiaus modulį ir argumentą:

= yj 1 + 3 = 2 . Injekcija trečia rasti iš santykių cos (p = -, sin(p = - . Tada

mes gauname cos(p = -, suup

u/z g~

• - -. Akivaizdu, kad taškas z = -1 + V3-/ yra
• 2 į 3

antrajame ketvirtyje: (R= 120°

Pakeičiant

2 k.. cos-h; nuodėmė

formulėje (1) rasta 27G L

komentuoti. Kompleksinio skaičiaus argumentas nėra apibrėžtas vienareikšmiškai, o iki termino, kuris yra kartotinis 2p. Tada per cn^r paskirti

argumento reikšmė viduje (0 p %2 Tada

A) ^ r = + 2kk.

Naudojant gerai žinomą Eulerio formulę e, gauname kompleksinio skaičiaus eksponentinę formą.

Mes turime r = r(co^(p + i?, n(p)=re,

Operacijos su kompleksiniais skaičiais

• 1. Dviejų kompleksinių skaičių suma r, = X] + y x/ ir r 2 - x 2 + y 2 / nustatomas pagal formulę r! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)' g
• 2. Kompleksinių skaičių atėmimo operacija apibrėžiama kaip operacija, atvirkštinė sudėčiai. Sudėtingas skaičius g \u003d g x - g 2, jeigu g 2 + g \u003d g x,

yra kompleksinių skaičių 2 skirtumas ir g 2 . Tada r = (x, - x 2) + (y, - adresu 2) /.

• 3. Dviejų kompleksinių skaičių sandauga g x= x, +y, -z ir 2 2 = x 2+ U2‘ g nustatoma pagal formulę
• *1*2 =(* +U"0(X 2+ T 2 -0 = X 1 X 2 Y 1 2 -1 + x Y2 " * + At1 At2 " ^ =

\u003d (xx 2 ~ YY 2) + ( X Y2 + X 2Y) - "-

Visų pirma, y-y\u003d (x + y-g) (x-y /) \u003d x 2 + y 2.

Galite gauti kompleksinių skaičių daugybos formules eksponentinės ir trigonometrinės formos. Mes turime:

• 1^ 2 – r x e 1 = )Г 2 e > = Г]Г 2 cOs((P + cp 2) + izin
• 4. Kompleksinių skaičių dalyba apibrėžiama kaip atvirkštinė operacija

daugyba, t.y. numerį G-- vadinamas r dalybos koeficientu! ant g 2,

jeigu r x -1 2 ? 2 . Tada

X + Ті _ (*і + ІU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 (2 + ^Y 2)( 2 ~ 1 Y 2)

x, x 2 + /y, x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x, y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 e

i(r g

• - 1U e "(1 Fg) - I.sOї ((P - cf 1) + I- (R-,)] >2 >2
• 5. Kompleksinį skaičių padidinti iki teigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio geriausia padaryti, jei skaičius parašytas eksponentine arba trigonometrine forma.

Tikrai, jei z = ge 1 tada

=(ge,) = r p e t = G"(co8 psr + іt gcr).

Formulė g" =r n (cosn(p+yra n(p) vadinama De Moivre'o formule.

6. Šaknies ištraukimas P- kompleksinio skaičiaus laipsnis apibrėžiamas kaip atvirkštinė eksponencijos operacija p, p- 1,2,3,... t.y. kompleksinis skaičius = y[g vadinama šaknimi P- kompleksinio skaičiaus laipsnis

d jei G = g x. Iš šio apibrėžimo išplaukia, kad g - g ", bet g x= l/g. (p-psr x, bet sr^-sr/n, kuri išplaukia iš Moivre formulės, parašytos skaičiui = r/*+ ippp (p).

Kaip minėta pirmiau, kompleksinio skaičiaus argumentas nėra apibrėžtas vienareikšmiškai, o iki termino, kuris yra 2 kartotinis. gerai.Štai kodėl = (p + 2 vnt, ir skaičiaus r argumentas, priklausomai nuo į,žymėti (p iki ir bu

dem apskaičiuokite pagal formulę (p iki= - +. Aišku, kad yra P com-

kompleksiniai skaičiai, P kurio laipsnis lygus skaičiui 2. Šie skaičiai turi vieną

ir tas pats modulis, lygus y[r, o šių skaičių argumentai gaunami pagal į = 0, 1, P - 1. Taigi trigonometrine forma i-ojo laipsnio šaknis apskaičiuojama pagal formulę:

(p + 2 kp . . cf + 2kp

, į = 0, 1, 77-1,

.(r+2ktg

o eksponentine forma – pagal formulę l[r - y[ge n

48 pavyzdys. Atlikite operacijas su kompleksiniais skaičiais algebrine forma:

a) (1- / H / 2) 3 (3 + /)

• (1 - /l/2) 3 (s + /) \u003d (1 - Zl / 2 / + 6 / 2 - 2 l / 2 / ? 3) (3 + /) \u003d
• (1 - Zl / 2 / - 6 + 2 l / 2 / DZ + /) = (- 5 - l / 2 / DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 + l/2)-(5 + Zl/2)/;

49 pavyzdys. Pakelkite skaičių r \u003d Uz - / iki penktos laipsnio.

Sprendimas. Gauname skaičiaus r rašymo trigonometrinę formą.

G = l/3 + 1 =2, CO8 (p --, 5ІІ7 (R =

• (1–2/X2 + /)
• (s-,)

O - 2.-x2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (s-o "(s-o

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) „з+/
• 9 + 1 s_±.
• 5 2 1 "

Iš čia apie--, bet r = 2

Moivre gauname: i-2

/ ^ _ 7r, . ?G

• -JAV-- IBIP –

• --b/-

\u003d - (l / W + g) \u003d -2.

50 pavyzdys Raskite visas reikšmes

Sprendimas, r = 2, a trečia rasti iš lygties coy(p = -, zt--.

Šis taškas 1 - /d/z yra ketvirtajame ketvirtyje, t.y. f =--. Tada

• 1 - 2
• ( ( UG L

Šakninės reikšmės randamos iš išraiškos

V1 – /l/s = l/2

• --+ 2A:/g ---b 2 kk
• 3 . . 3

С08--1- ir 81П-

At į - 0 turime 2 0 = l/2

Skaičiaus 2 šaknies reikšmes galite rasti pateikę skaičių ekrane

-* Į/ 3 + 2 klasė

At į= 1 turime dar vieną šaknies reikšmę:

• 7G. 7G_
• ---b27g ---b2;g
• 3 . . h

7G . . 7G L-C05- + 181P - 6 6

• --N-

su? - 7G + / 5Sh - I "

l/3__t_

kūno forma. Nes r= 2, a trečia= , tada r = 2е 3 ir y[g = y/2e 2

2.3. Trigonometrinė kompleksinių skaičių forma

Tegul vektorius kompleksinėje plokštumoje pateikiamas skaičiumi .

Pažymėkite φ kampą tarp teigiamos pusiau ašies Ox ir vektoriaus (kampas φ laikomas teigiamu, jei skaičiuojamas prieš laikrodžio rodyklę, o neigiamas kitu atveju).

Vektoriaus ilgį pažymėkite r. Tada . Taip pat pažymime

Nenulinio kompleksinio skaičiaus z rašymas kaip

vadinamas kompleksinio skaičiaus z trigonometrine forma. Skaičius r vadinamas kompleksinio skaičiaus z moduliu, o skaičius φ – šio kompleksinio skaičiaus argumentu ir žymimas Arg z.

Trigonometrinė kompleksinio skaičiaus rašymo forma - (Eulerio formulė) - eksponentinė kompleksinio skaičiaus rašymo forma:

Kompleksinis skaičius z turi be galo daug argumentų: jei φ0 yra bet kuris skaičiaus z argumentas, tai visus kitus galima rasti pagal formulę

Kompleksiniam skaičiui argumentas ir trigonometrinė forma nėra apibrėžti.

Taigi nulinio kompleksinio skaičiaus argumentas yra bet koks lygčių sistemos sprendimas:

(3)

Nelygybes tenkinančio kompleksinio skaičiaus z argumento reikšmė φ vadinama pagrindine reikšme ir žymima arg z.

Argumentai Arg z ir arg z yra susiję lygybe

, (4)

Formulė (5) yra sistemos (3) pasekmė, todėl visi kompleksinio skaičiaus argumentai tenkina lygybę (5), bet ne visi (5) lygties sprendiniai φ yra skaičiaus z argumentai.

Pagrindinė nulinio kompleksinio skaičiaus argumento reikšmė randama pagal formules:

Sudėtinių skaičių daugybos ir padalijimo trigonometrine forma formulės yra šios:

. (7)

Didinant kompleksinį skaičių iki natūralios laipsnio, naudojama de Moivre formulė:

Išskiriant šaknį iš kompleksinio skaičiaus, naudojama formulė:

, (9)

kur k = 0, 1, 2, …, n-1.

54 uždavinys. Apskaičiuokite , kur .

Pavaizduokime šios išraiškos sprendimą kompleksinio skaičiaus užrašymo eksponentine forma: .

Jei tada .

Tada, . Todėl tada Ir , kur.

Atsakymas: , adresu .

55 uždavinys. Parašykite kompleksinius skaičius trigonometrine forma:

bet); b) ; in) ; G); e) ; e) ; g).

Kadangi kompleksinio skaičiaus trigonometrinė forma yra , tada:

a) Kompleksiniame skaičiuje: .

,

Štai kodėl

b) , kur,

G) , kur,

e) .

g) , bet , tada.

Štai kodėl

Atsakymas: ; 4; ; ; ; ; .

56 uždavinys. Raskite kompleksinio skaičiaus trigonometrinę formą

.

Leisti būti , .

Tada, , .

Nes ir , , tada , ir

Todėl, todėl

Atsakymas: , kur.

57 uždavinys. Naudodami kompleksinio skaičiaus trigonometrinę formą, atlikite šiuos veiksmus: .

Įsivaizduokite skaičius ir trigonometrine forma.

1), kur tada

Pagrindinio argumento vertės nustatymas:

Pakeiskite reikšmes ir į išraišką , gauname

2) kur tada

Tada

3) Raskite koeficientą

Darant prielaidą, kad k = 0, 1, 2, gauname tris skirtingas norimos šaknies reikšmes:

Jei tada

jei tada

jei tada .

Atsakymas: :

:

: .

58 uždavinys. Tegul , , , yra skirtingi kompleksiniai skaičiai ir . Įrodyk tai

skaičius yra tikrasis teigiamas skaičius;

b) lygybė įvyksta:

a) Pavaizduokime šiuos kompleksinius skaičius trigonometrine forma:

Nes .

Apsimeskime tai. Tada

.

Paskutinė išraiška yra teigiamas skaičius, nes po sinuso ženklais yra skaičiai iš intervalo.

nes skaičius tikra ir teigiama. Iš tiesų, jei a ir b yra kompleksiniai skaičiai ir yra tikri ir didesni už nulį, tada .

Be to,

taigi reikalinga lygybė įrodyta.

59 uždavinys. Užrašykite skaičių algebrine forma .

Pateikiame skaičių trigonometrine forma, o tada randame jo algebrinę formą. Mes turime . Dėl gauname sistemą:

Iš to išplaukia lygybė: .

Taikant De Moivre formulę:

mes gauname

Surandama duoto skaičiaus trigonometrinė forma.

Dabar rašome šį skaičių algebrine forma:

.

Atsakymas: .

60 uždavinys. Raskite sumą , ,

Apsvarstykite sumą

Taikydami De Moivre formulę, randame

Ši suma yra geometrinės progresijos su vardikliu n narių suma ir pirmasis narys .

Taikydami tokios progresijos terminų sumos formulę, turime

Paskutinėje išraiškoje atskirdami įsivaizduojamą dalį, randame

Atskirdami realiąją dalį, taip pat gauname tokią formulę: , , .

61 uždavinys. Raskite sumą:

bet) ; b) .

Pagal Niutono formulę, kaip padidinti iki galios, turime

Pagal De Moivre formulę randame:

Sulyginę realią ir įsivaizduojamą gautų išraiškų dalis, turime:

Ir .

Šios formulės gali būti parašytos kompaktiška forma taip:

,

, kur yra sveikoji skaičiaus a dalis.

62 uždavinys. Rasti visus, kuriems .

Tiek, kiek , tada taikydami formulę

, Norėdami išgauti šaknis, gauname ,

Vadinasi, , ,

, .

Skaičius atitinkantys taškai yra kvadrato, įrašyto į 2 spindulio apskritimą, kurio centras yra taškas (0;0), viršūnėse (30 pav.).

Atsakymas: , ,

, .

63 uždavinys. Išspręskite lygtį , .

Pagal sąlygą; todėl ši lygtis neturi šaknies, todėl ji yra lygiavertė lygčiai.

Kad skaičius z būtų šios lygties šaknis, skaičius turi būti n-oji skaičiaus 1 šaknis.

Taigi darome išvadą, kad pradinė lygtis turi šaknis, nustatytas iš lygybių

,

Šiuo būdu,

,

t.y. ,

Atsakymas: .

64 uždavinys. Išspręskite lygtį kompleksinių skaičių aibėje.

Kadangi skaičius nėra šios lygties šaknis, ši lygtis yra lygi lygčiai

Tai yra lygtis.

Visos šios lygties šaknys gaunamos iš formulės (žr. 62 uždavinį):

; ; ; ; .

65 uždavinys. Kompleksinėje plokštumoje nubrėžkite taškų aibę, kuri tenkina nelygybes: . (2-as būdas išspręsti 45 problemą)

Leisti būti .

Sudėtiniai skaičiai su tais pačiais moduliais atitinka plokštumos taškus, esančius apskritime, kurio centras yra ištakoje, todėl nelygybė tenkina visus atviro žiedo, apriboto apskritimų, turinčių bendrą centrą ištakoje ir spinduliais, taškus ir (31 pav.). Tegu koks nors kompleksinės plokštumos taškas atitinka skaičių w0. Skaičius , kurio modulis yra kelis kartus mažesnis nei modulis w0, argumentas yra didesnis už argumentą w0. Geometriniu požiūriu taškas, atitinkantis w1, gali būti gaunamas naudojant homotetiją, kurios centras yra pradžioje ir koeficientas , taip pat sukimąsi prieš laikrodžio rodyklę, palyginti su pradžia. Šias dvi transformacijas pritaikius žiedo taškams (31 pav.), pastarasis pavirs žiedu, apribotu apskritimų, kurių centras yra vienodas ir spinduliai 1 ir 2 (32 pav.).

transformacija yra įgyvendintas naudojant lygiagretųjį vertimą vektoryje . Perkeldami žiedą su centru taške į nurodytą vektorių, gauname tokio pat dydžio žiedą, kurio centras yra taške (22 pav.).

Siūlomas metodas, kuriame naudojama geometrinių plokštumos transformacijų idėja, tikriausiai yra mažiau patogus aprašymas, tačiau jis yra labai elegantiškas ir efektyvus.

66 uždavinys. Raskite, jei .

Leiskite , tada ir . Pradinė lygybė įgaus formą . Iš dviejų kompleksinių skaičių lygybės sąlygos gauname , , iš kur , . Šiuo būdu, .

Parašykime skaičių z trigonometrine forma:

, kur,. Pagal De Moivre'o formulę randame .

Atsakymas: - 64.

67 uždavinys. Sudėtinio skaičiaus atveju raskite visus tokius kompleksinius skaičius, kad , ir .

Pavaizduokime skaičių trigonometrine forma:

. Vadinasi,. Kai gaunamas skaičius , gali būti lygus bet kuriam .

Pirmuoju atveju , antrajame

.

Atsakymas: , .

68 uždavinys. Raskite tokią skaičių sumą, kad . Nurodykite vieną iš šių skaičių.

Atkreipkite dėmesį, kad jau iš pačios problemos formuluotės galima suprasti, kad lygties šaknų sumą galima rasti neskaičiuojant pačių šaknų. Iš tiesų, lygties šaknų suma yra koeficientas, paimtas su priešingu ženklu (apibendrinta Vietos teorema), t.y.

Mokiniai, mokyklos dokumentai, daro išvadas apie šios sąvokos įsisavinimo laipsnį. Apibendrinti matematinio mąstymo ypatybių tyrimą ir kompleksinio skaičiaus sampratos formavimo procesą. Metodų aprašymas. Diagnostika: I etapas. Pokalbis buvo atliktas su matematikos mokytoja, kuri moko algebrą ir geometriją 10 klasėje. Pokalbis įvyko po kurio laiko...

Rezonanso „(!)), kuris apima ir savo elgesio vertinimą. 4. Kritiškas savo situacijos supratimo vertinimas (abejonės). 5. Galiausiai, teisinės psichologijos rekomendacijų panaudojimas (atsižvelgiant į psichologijos aspektus). advokato atliekami profesiniai veiksmai – profesinis psichologinis pasirengimas). Dabar panagrinėkime psichologinę juridinių faktų analizę. ...

Trigonometrinio keitimo matematika ir sukurtos mokymo metodikos efektyvumo patikrinimas. Darbo etapai: 1. Pasirenkamojo kurso tema: "Trigonometrinio keitimo taikymas sprendžiant algebrinius uždavinius" rengimas su mokiniais klasėse, kuriose gilinamasi į matematiką. 2. Parengto pasirenkamojo kurso vedimas. 3. Diagnostinės kontrolės vykdymas...

Pažintinės užduotys yra skirtos tik esamoms mokymo priemonėms papildyti ir turi būti tinkamai derinamos su visomis tradicinėmis ugdymo proceso priemonėmis ir elementais. Humanitarinių mokslų dėstymo ugdymo problemos skiriasi nuo tiksliųjų, matematinių uždavinių tik tuo, kad istoriniuose uždaviniuose nėra formulių, standžių algoritmų ir pan., o tai apsunkina jų sprendimą. ...

3.1. Polinės koordinatės

Dažnai naudojamas lėktuve poliarinė koordinačių sistema . Jis apibrėžiamas, jei duotas taškas O, vadinamas stulpas, ir iš stulpo sklindantis spindulys (mums tai yra ašis Ox) yra poliarinė ašis. M taško padėtis fiksuojama dviem skaičiais: spindulys (arba spindulio vektorius) ir kampas φ tarp poliarinės ašies ir vektoriaus . Kampas φ vadinamas poliarinis kampas; Jis matuojamas radianais ir skaičiuojamas prieš laikrodžio rodyklę nuo poliarinės ašies.

Taško vietą polinėje koordinačių sistemoje nurodo sutvarkyta skaičių pora (r; φ). Prie stulpo r = 0 ir φ neapibrėžtas. Dėl visų kitų punktų r > 0 ir φ apibrėžiamas iki 2π kartotinio. Šiuo atveju skaičių poroms (r; φ) ir (r 1 ; φ 1) priskiriamas tas pats taškas, jei .

Stačiakampei koordinačių sistemai xOy taško Dekarto koordinatės lengvai išreiškiamos jo polinėmis koordinatėmis taip:

3.2. Geometrinė kompleksinio skaičiaus interpretacija

Apsvarstykite plokštumoje Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą xOy.

Bet kuriam kompleksiniam skaičiui z=(a, b) priskiriamas plokštumos taškas su koordinatėmis ( x, y), kur koordinatė x = a, t.y. tikroji kompleksinio skaičiaus dalis, o koordinatė y = bi yra menamoji dalis.

Plokštuma, kurios taškai yra kompleksiniai skaičiai, yra kompleksinė plokštuma.

Paveiksle – kompleksinis skaičius z = (a, b) rungtynių taškas M(x, y).

Užduotis.Nubrėžkite kompleksinius skaičius koordinačių plokštumoje:

3.3. Trigonometrinė kompleksinio skaičiaus forma

Kompleksinis skaičius plokštumoje turi taško koordinates M(x; y). Kur:

Kompleksinio skaičiaus rašymas - kompleksinio skaičiaus trigonometrinė forma.

Vadinamas skaičius r modulis kompleksinis skaičius z ir yra žymimas. Modulis yra neneigiamas realusis skaičius. Dėl .

Modulis yra nulis tada ir tik tada z = 0, t.y. a=b=0.

Vadinamas skaičius φ argumentas z ir žymimas. Argumentas z apibrėžiamas dviprasmiškai, kaip ir polinis kampas poliarinėje koordinačių sistemoje, būtent iki 2π kartotinio.

Tada priimame: , kur φ yra mažiausia argumento reikšmė. Tai akivaizdu

.

Giliau išnagrinėjus temą, įvedamas pagalbinis argumentas φ*, toks, kad

1 pavyzdys. Raskite kompleksinio skaičiaus trigonometrinę formą.

Sprendimas. 1) svarstome modulį: ;

2) Ieškau φ: ;

3) trigonometrinė forma:

2 pavyzdys Raskite kompleksinio skaičiaus algebrinę formą .

Čia pakanka pakeisti trigonometrinių funkcijų reikšmes ir transformuoti išraišką:

3 pavyzdys Raskite kompleksinio skaičiaus modulį ir argumentą;

1) ;

2) ; φ – per 4 ketvirčius:

3.4. Veiksmai su kompleksiniais skaičiais trigonometrine forma

· Sudėjimas ir atėmimas patogiau atlikti kompleksinius skaičius algebrine forma:

· Daugyba– paprastų trigonometrinių transformacijų pagalba galima parodyti, kad dauginant skaičių moduliai dauginami ir pridedami argumentai: ;

KOMPLEKSINIAI SKAIČIAI XI

§ 256. Sudėtinių skaičių trigonometrinė forma

Tegul kompleksinis skaičius a + bi atitinka vektorių OA> su koordinatėmis ( a, b ) (žr. 332 pav.).

Pažymėkite šio vektoriaus ilgį r , ir kampą, kurį jis sudaro su ašimi X , skersai φ . Pagal sinuso ir kosinuso apibrėžimą:

a / r = cos φ , b / r = nuodėmė φ .

Štai kodėl bet = r cos φ , b = r nuodėmė φ . Bet šiuo atveju kompleksinis skaičius a + bi gali būti parašytas taip:

a + bi = r cos φ + ir nuodėmė φ = r (cos φ + i nuodėmė φ ).

Kaip žinote, bet kurio vektoriaus ilgio kvadratas yra lygus jo koordinačių kvadratų sumai. Štai kodėl r 2 = a 2 + b 2, iš kur r = √a 2 + b 2

Taigi, bet koks kompleksinis skaičius a + bi gali būti pavaizduotas kaip :

a + bi = r (cos φ + i nuodėmė φ ), (1)

kur r = √a 2 + b 2 ir kampas φ nustatoma pagal sąlygą:

Tokia sudėtingų skaičių rašymo forma vadinama trigonometrinis.

Skaičius r formulėje (1) vadinamas modulis, ir kampas φ - argumentas, kompleksinis skaičius a + bi .

Jei kompleksinis skaičius a + bi nėra lygus nuliui, tada jo modulis yra teigiamas; jeigu a + bi = 0, tada a = b = 0 ir tada r = 0.

Bet kurio kompleksinio skaičiaus modulis nustatomas vienareikšmiškai.

Jei kompleksinis skaičius a + bi nėra lygus nuliui, tada jo argumentas nustatomas formulėmis (2) būtinai iki kampo kartotinio 2 π . Jeigu a + bi = 0, tada a = b = 0. Šiuo atveju r = 0. Iš (1) formulės nesunku suprasti, kad kaip argumentą φ šiuo atveju galite pasirinkti bet kokį kampą: juk bet kokį φ

0 (kai φ + i nuodėmė φ ) = 0.

Todėl nulinis argumentas nėra apibrėžtas.

Kompleksinio skaičiaus modulis r kartais reiškia | z |, ir argumentas arg z . Pažvelkime į keletą kompleksinių skaičių vaizdavimo trigonometrine forma pavyzdžių.

Pavyzdys. vienas. 1 + i .

Raskime modulį r ir argumentas φ šis skaičius.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Todėl nuodėmė φ = 1 / √ 2, kos φ = 1 / √ 2 , iš kur φ = π / 4 + 2nπ .

Šiuo būdu,

1 + i = √ 2 ,

kur P - bet koks sveikasis skaičius. Paprastai iš begalinės kompleksinio skaičiaus argumento reikšmių rinkinio pasirenkama viena, kuri yra nuo 0 iki 2 π . Šiuo atveju ši vertė yra π / 4 . Štai kodėl

1 + i = √ 2 (kai π / 4 + i nuodėmė π / 4)

2 pavyzdys Trigonometrine forma parašykite kompleksinį skaičių √ 3 - i . Mes turime:

r = √ 3+1 = 2 cos φ = √ 3/2 , nuodėmė φ = - 1 / 2

Todėl iki kampo, dalijamo iš 2 π , φ = 11 / 6 π ; Vadinasi,

√ 3 - i = 2 (kainuoja 11/6 π + i nuodėmė 11/6 π ).

3 pavyzdys Trigonometrine forma parašykite kompleksinį skaičių aš .

kompleksinis skaičius i atitinka vektorių OA> baigiasi ašies taške A adresu su 1 ordinate (333 pav.). Tokio vektoriaus ilgis lygus 1, o kampas, kurį jis sudaro su abscisių ašimi, lygus π / 2. Štai kodėl

i = cos π / 2 + i nuodėmė π / 2 .

4 pavyzdys Parašykite kompleksinį skaičių 3 trigonometrine forma.

Kompleksinis skaičius 3 atitinka vektorių OA > X abscisė 3 (334 pav.).

Tokio vektoriaus ilgis yra 3, o kampas, kurį jis daro su x ašimi, yra 0. Todėl

3 = 3 (cos 0 + i nuodėmė 0),

5 pavyzdys Trigonometrine forma parašykite kompleksinį skaičių -5.

Kompleksinis skaičius -5 atitinka vektorių OA> baigiasi ašies taške X su abscisėmis -5 (335 pav.). Tokio vektoriaus ilgis yra 5, o kampas, kurį jis sudaro su x ašimi, yra π . Štai kodėl

5 = 5 (kai π + i nuodėmė π ).

Pratimai

2047. Parašykite šiuos kompleksinius skaičius trigonometrine forma, nurodydami jų modulius ir argumentus:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Plokštumoje nurodykite kompleksinius skaičius reprezentuojančių taškų aibes, kurių moduliai r ir argumentai φ tenkina sąlygas:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Ar skaičiai vienu metu gali būti kompleksinio skaičiaus modulis? r Ir - r ?

2050. Ar kompleksinio skaičiaus argumentas vienu metu gali būti ir kampai φ Ir - φ ?

Pateikite šiuos kompleksinius skaičius trigonometrine forma, apibrėždami jų modulius ir argumentus:

2051*. 1 + cos α + i nuodėmė α . 2054*. 2 (cos 20° - i sin 20°).

2052*. nuodėmė φ + i cos φ . 2055*. 3 (- 15°- i sin 15°).