ATSITIKTINĖS VERTĖS

§ 1. ATSITIKTINĖS VERTĖS SAMPRATA.

Fizikoje ir kituose gamtos moksluose yra daug įvairių skirtingo pobūdžio dydžių, tokių kaip laikas, ilgis, tūris, svoris ir kt. Pastovi vertė yra tokia, kuri turi tik vieną fiksuotą reikšmę. Reikšmės, kurios gali įgyti skirtingas reikšmes, vadinamos kintamaisiais. Vertė laikoma duota, jei nurodyta reikšmių rinkinys, kurį ji gali turėti. Jei vienareikšmiškai žinoma, kokią reikšmę iš aibės ji paims susidarius tam tikroms sąlygoms, tai vadinama „normalia“, deterministine reikšme. Tokios reikšmės pavyzdys yra raidžių skaičius žodyje. Dauguma fizikinių dydžių matuojami naudojant prietaisus, kurių matavimo tikslumas yra būdingas, ir pagal pirmiau pateiktą apibrėžimą jie nėra „įprasti“. Tokie „neįprasti“ kiekiai vadinami atsitiktinis . Atsitiktinių dydžių rinkinį tikslinga vadinti galimų reikšmių rinkiniu. Atsitiktinis dydis su tam tikra tikimybe įgauna vienokią ar kitokią reikšmę. Atkreipkite dėmesį, kad visi dydžiai gali būti laikomi atsitiktiniais, nes deterministinis kintamasis yra atsitiktinis kintamasis, kurio kiekviena reikšmė yra lygi vienetui. Visa tai, kas išdėstyta aukščiau, yra pakankamas pagrindas atsitiktinių dydžių tyrimui.

Apibrėžimas. Atsitiktinis kintamasis vadinamas dydis, kuris eksperimento rezultatu gali įgauti vienokią ar kitokią (bet tik vieną) reikšmę, o iš anksto, prieš eksperimentą, nežinia kurią.

Atsitiktinių dydžių sąvoka yra pagrindinė tikimybių teorijos sąvoka ir atlieka svarbų vaidmenį ją taikant.

Atsitiktiniai dydžiai žymimi: , o jų reikšmės atitinkamai: .

Yra dvi pagrindinės atsitiktinių dydžių klasės: diskretieji ir tęstiniai.

Apibrėžimas. Diskretus atsitiktinis dydis yra atsitiktinis dydis, kurio galimų reikšmių skaičius yra baigtinis arba skaičiuojamas.

Pavyzdžiai diskretieji atsitiktiniai dydžiai:

1. - smūgių dažnis trimis šūviais. Galimos reikšmės:

2. - sugedusių gaminių skaičius iš vienetų. Galimos reikšmės:

3. – šūvių skaičius iki pirmojo smūgio. Galimos reikšmės:

Apibrėžimas. Nuolatinis atsitiktinis dydis yra atsitiktinis dydis, kurio galimos reikšmės nepertraukiamai užpildo tam tikrą intervalą (baigtinį arba begalinį).

Pavyzdžiai nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai:

1. - atsitiktinis diapazono nuokrypis nuo smūgio taško iki taikinio šaudant iš ginklo.

Kadangi sviedinys gali pataikyti į bet kurį intervalo tašką, kurį riboja minimalios ir didžiausios tam tikro pistoleto sviedinio skrydžio nuotolio vertės, galimos atsitiktinio dydžio reikšmės užpildo spragą tarp minimalių ir didžiausių verčių.

2. - matavimo radaru paklaidos.

3. - įrenginio veikimo laikas.

Atsitiktinis kintamasis yra tam tikra abstrakti kokio nors atsitiktinio įvykio išraiška. Kiekvienas atsitiktinis įvykis gali būti susietas su vienu ar daugiau jį apibūdinančių atsitiktinių kintamųjų. Pavyzdžiui, šaudant į taikinį galima atsižvelgti į tokius atsitiktinius dydžius: pataikymų į taikinį skaičių, smūgių į taikinį dažnumą, surinktų taškų skaičių pataikant į tam tikras taikinio vietas ir kt.

§ 2 TIKIMUMU PASKIRSTYMO DĖSNIAI

ATSITIKTINĖS VERTĖS.

Apibrėžimas. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis vadinamas bet koks ryšys, nustatantis ryšį tarp galimų atsitiktinio dydžio reikšmių ir jas atitinkančių tikimybių.

Jei prisiminsime funkcijos apibrėžimą, tada paskirstymo dėsnis yra funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra atsitiktinio dydžio reikšmių sritis, o nagrinėjamos funkcijos reikšmių sritis susideda iš reikšmių tikimybės. atsitiktinio dydžio.

2.1. SERIJŲ PLATINIMAS

Apsvarstykite diskrečiųjį atsitiktinį kintamąjį, kurio galimos reikšmės mums žinomos. Tačiau atsitiktinio dydžio reikšmių žinojimas, aišku, neleidžia jo iki galo apibūdinti, nes negalime pasakyti, kaip dažnai reikėtų tikėtis vienos ar kitos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės, kai eksperimentas kartojamas tomis pačiomis sąlygomis. Norėdami tai padaryti, turite žinoti tikimybių pasiskirstymo dėsnį.

Eksperimento rezultate diskretusis atsitiktinis dydis įgauna vieną iš galimų jo reikšmių, t.y. įvyks vienas iš šių įvykių:

kurios sudaro ištisą nesuderinamų įvykių grupę.

Šių įvykių tikimybė yra tokia:

Paprasčiausias diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnis yra lentelė, kurioje išvardytos visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės ir atitinkamos jų tikimybės:

Tokia lentelė vadinama netoli platinimo atsitiktinis kintamasis.

Aiškumo dėlei pasiskirstymo seriją galima pavaizduoti diagrama:

Ši nutrūkusi linija vadinama paskirstymo daugiakampis . Tai taip pat yra viena iš diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnio nustatymo formų.

Pasiskirstymo daugiakampio ordinačių suma, parodanti visų galimų atsitiktinio dydžio reikšmių tikimybių sumą, yra lygi vienetui.

1 pavyzdysĮ taikinį buvo paleisti trys šūviai. Kiekvieno šūvio pataikymo tikimybė yra 0,7. Sudarykite įvykių skaičiaus paskirstymo seriją.

Atsitiktinis kintamasis - „patikimų skaičius“ gali turėti reikšmes nuo 0 iki 3 - x, o šiuo atveju tikimybės nustatomos pagal Bernulio formulę:

.

Apžiūra

2 pavyzdys Urnoje yra 4 balti ir 6 juodi rutuliai. Atsitiktinai ištraukiami 4 rutuliai. Raskite atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį – „baltų rutulių skaičius tarp pasirinktų“.

Šis atsitiktinis dydis gali turėti reikšmes nuo 0 iki 4 - x. Raskime atsitiktinio dydžio galimų reikšmių tikimybes.

Galime patikrinti, ar gautų tikimybių suma lygi vienetui.

2.2. PASKIRSTYMO FUNKCIJA.

Paskirstymo serija negali būti sudaryta nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui, nes ji įgyja be galo daug reikšmių. Universalesnis pasiskirstymo dėsnis, tinkantis tiek diskretiesiems, tiek nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams, yra pasiskirstymo funkcija.

Apibrėžimas. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija (integralinio skirstinio dėsnis) yra nelygybės įvykdymo tikimybės priskyrimas, t.y.

(1)

Taigi pasiskirstymo funkcija yra lygi tikimybei, kad atsitiktinis kintamasis eksperimento rezultatas nukris į kairę nuo taško .

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui, kurio paskirstymo seriją žinome:

paskirstymo funkcija atrodys taip:

Diskretaus atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcijos grafikas yra nepertraukiamo žingsnio figūra. Kad būtų aiškumo, pažvelkime į pavyzdį.

3 pavyzdys Pateikiama paskirstymo serija. Raskite paskirstymo funkciją ir sukurkite jos grafiką

Pagal apibrėžimą,

PASKIRSTYMO FUNKCIJOS SAVYBĖS

1 Paskirstymo funkcija yra neneigiama funkcija, kurios reikšmės yra nuo 0 iki 1, t.y.

2 Atsitiktinio dydžio atsiradimo intervale tikimybė yra lygi skirtumui tarp pasiskirstymo funkcijos reikšmių intervalo galuose:

3 Pasiskirstymo funkcija yra nemažėjanti funkcija, t.y. kai baigta: ;

Pereikime lygybe (2) iki ribos ties . Vietoj tikimybės, kad atsitiktinis dydis pateks į intervalą, gauname atsitiktinio dydžio taško reikšmės tikimybę, t.y.

Šios ribos reikšmė priklauso nuo to, ar taškas yra funkcijos tęstinumo taškas, ar šiuo metu funkcija turi pertrūkį. Jei funkcija yra ištisinė taške , tada riba yra 0, t.y. . Jei šiuo metu funkcija turi netolydumą (1-ojo tipo), tada riba yra lygi funkcijos šuolio reikšmei taške .

Kadangi nenutrūkstamas atsitiktinis dydis turi tolydžio pasiskirstymo funkciją, iš ribos lygybės iki nulio (3) išplaukia, kad bet kurios pastovaus atsitiktinio dydžio fiksuotos vertės tikimybė yra lygi nuliui. Tai išplaukia iš to, kad yra be galo daug galimų nuolatinio atsitiktinio dydžio verčių. Iš to visų pirma išplaukia, kad šios tikimybės sutampa:

Aukščiau pateiktas skirstinio funkcijos savybes galima suformuluoti taip: pasiskirstymo funkcija yra neneigiama nemažėjanti funkcija, kuri tenkina sąlygas: Taip pat vyksta atvirkštinis teiginys: monotoniškai didėjanti tolydi funkcija, kuri tenkina sąlygas.

yra tam tikro nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija. Jei šio dydžio reikšmės yra sutelktos į tam tikrą intervalą, šios funkcijos grafiką galima schematiškai pavaizduoti taip:

Apsvarstykite pavyzdys. Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija pateikiama taip:

Raskite reikšmę „ “, sukurkite grafiką ir raskite tikimybę

Kadangi nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija yra nepertraukiama, tai yra nuolatinė funkcija ir turi būti įvykdyta ši lygybė:

arba t.y.

Nubraižykime šią funkciją

Raskite reikiamą tikimybę

komentuoti. Paskirstymo funkcija, kartais dar vadinama integraliojo paskirstymo dėsnis . Žemiau paaiškinsime kodėl.

2.3 TANKIS .

Kadangi pasiskirstymo funkcijos pagalba diskretinė

atsitiktinis kintamasis bet kuriame taške, galime nustatyti galimų reikšmių tikimybę, tada jis vienareikšmiškai nustato diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį.

Tačiau iš pasiskirstymo funkcijos sunku spręsti apie nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo pobūdį mažoje vieno ar kito taško kaimynystėje realioje ašyje.

Vizualesnį nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo šalia įvairių taškų pobūdį pateikia funkcija, vadinama pasiskirstymo tankis (arba diferencinio pasiskirstymo dėsnis)

Leisti būti nuolatinis atsitiktinis dydis su pasiskirstymo funkcija . Raskime tikimybę pataikyti į šį atsitiktinį kintamąjį elementariojoje dalyje.

Pagal formulę (2) turime

Padalinkime šią lygtį į

Santykis kairėje vadinamas vidutinė tikimybė vienam ilgio vienetui.

Laikydami, kad funkcija yra diferencijuota, pereiname prie ribos ir šioje lygybėje pereiname prie ribos

Apibrėžimas. Tolydinio atsitiktinio dydžio pataikyti į elementariąją atkarpą tikimybės ir šios atkarpos ilgio santykio riba vadinama pasiskirstymo tankis nuolatinis atsitiktinis ve - maskuoja ir yra žymimas Todėl,

Pasiskirstymo tankis parodo, kaip dažnai atsitiktinis dydis atsiranda tam tikroje taško kaimynystėje, kai eksperimentai kartojami.

Kreivė, vaizduojanti pasiskirstymo tankio grafiką, vadinama pasiskirstymo kreivė.

Jei galimos atsitiktinio dydžio reikšmės užpildo tam tikrą intervalą , tada už šio intervalo ribų.

Apibrėžimas. Atsitiktinis dydis vadinamas nenutrūkstamas – nenutrūkstamas , jei jo pasiskirstymo funkcija yra ištisinė visoje realioje tiesėje, o pasiskirstymo tankis yra tolydis visur, išskyrus baigtinį taškų skaičių (1-osios rūšies nenutrūkstamumo taškai).

TANKIO SAVYBĖS

1. Pasiskirstymo tankis yra neneigiamas, t.y.

(tai išplaukia iš to, kad tai yra nemažėjančios funkcijos išvestinė).

2. Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija

yra lygūs pasiskirstymo tankio integralui (ir todėl yra integralinio skirstinio dėsnis), t.y.

Iš tiesų (pagal funkcijos diferencialą). Vadinasi,

Pasiskirstymo tankio diagramoje pasiskirstymo funkcija

pavaizduotas užtamsintos srities plotu.

3. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis pataikys į atkarpą, yra lygi pasiskirstymo tankio integralui per šį intervalą, t.y.

Iš tikrųjų,

4. Integralas begalinėse pasiskirstymo tankio ribose lygus vienetui, t.y.

Kitaip tariant, figūros plotas po pasiskirstymo tankio grafiku yra lygus 1. Visų pirma, jei galimos atsitiktinio dydžio reikšmės yra sutelktos į segmentą , tada

Pavyzdys. Tegul pasiskirstymo tankį apima funkcija

Raskite: a) parametro reikšmę ; b) pasiskirstymo funkcija c) Apskaičiuokite tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis paims reikšmę iš intervalo .

a) Pagal 4 savybę, . Tada

b) pagal 2 savybę, Jeigu

Jeigu , .

Šiuo būdu,

c) pagal 3 savybę,

§ 3. ATSITIKTINĖS SKAIČIŲ CHARAKTERISTIKOS

Sprendžiant daugelį praktinių uždavinių, nereikia žinoti visų atsitiktinio dydžio tikimybinių charakteristikų. Kartais pakanka žinoti tik kai kurias skaitines skirstinio dėsnio charakteristikas.

Skaitmeninės charakteristikos leidžia glaustai išreikšti reikšmingiausius konkretaus skirstinio požymius.

Apie kiekvieną atsitiktinį kintamąjį, visų pirma, reikia žinoti jo vidutinę reikšmę, aplink kurią sugrupuojamos visos galimos šio kintamojo reikšmės, taip pat tam tikrą skaičių, apibūdinantį šių reikšmių sklaidos laipsnį, palyginti su vidutinis.

Skiriamos padėties charakteristikos ir sklaidos charakteristikos. Viena iš svarbiausių pozicijos savybių yra matematinis lūkestis.

3.1 Matematinis lūkestis (vidutinė vertė).

Pirmiausia apsvarstykite diskrečiųjį atsitiktinį kintamąjį, kuris turi galimas reikšmes su tikimybėmis

Apibrėžimas. matematinis lūkestis Diskretusis atsitiktinis dydis yra visų galimų šio kintamojo reikšmių ir jų tikimybių sandaugų suma, t.y.

Kitaip tariant, matematinis lūkestis yra žymimas

Pavyzdys. Pateikiame paskirstymo seriją:

Dabar apsvarstykite nuolatinį atsitiktinį kintamąjį, kurio visos galimos reikšmės yra intervale .

Šį segmentą padalijame į dalinius segmentus, kurių ilgius žymime: , ir kiekviename daliniame intervale atitinkamai paimame savavališką tašką.

Kadangi sandauga apytiksliai lygi tikimybei , kad atsitiktinis dydis pataikys į elementarų segmentą , sandaugų suma sudarytas pagal analogiją su diskretiškojo atsitiktinio dydžio matematinio lūkesčio apibrėžimu, yra apytiksliai lygus matematiniam nuolatinio atsitiktinio dydžio lūkesčiui Let .

Tada

Apibrėžimas. matematinis lūkestis nuolatinis atsitiktinis kintamasis yra šis apibrėžtasis integralas:

(2)

Jei nuolatinis atsitiktinis kintamasis įgauna reikšmes visoje skaičių eilutėje, tada

Pavyzdys. Tegu pateikiamas nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis:

Tada jo matematinė viltis yra tokia:

Matematinių lūkesčių sąvoka turi paprastą mechaninį aiškinimą. Atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymas gali būti interpretuojamas kaip masės vieneto pasiskirstymas išilgai tiesės. Diskretus atsitiktinis kintamasis, kurio reikšmės yra su tikimybėmis, atitinka tiesę, kurioje masės sutelktos taškuose. Nuolatinis atsitiktinis dydis atitinka nuolatinį masių pasiskirstymą visoje tiesėje arba baigtinėje šios tiesės atkarpoje. Tada laukiama vertė yra svorio centro abscisė .

MATEMATINIŲ LŪKČIŲ SAVYBĖS

1. Matematinis pastovios reikšmės lūkestis yra lygus pačiai konstantai:

2. Iš lūkesčio ženklo galima išimti pastovų faktorių:

3. Atsitiktinių dydžių algebrinės sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių algebrinei sumai:

4. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai:

5. Atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo jo matematinio lūkesčio matematinis lūkestis yra lygus nuliui:

3.2. Atsitiktinio dydžio režimas ir mediana.

Tai dar dvi atsitiktinio dydžio padėties charakteristikos.

Apibrėžimas. Mada Diskretus atsitiktinis kintamasis vadinamas labiausiai tikėtinu jo dydžiu. Nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui režimas yra maksimalus funkcijos taškas.

Jei pasiskirstymo daugiakampis (diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui) arba pasiskirstymo kreivė (ištisiniam atsitiktiniam dydžiui) turi du ar daugiau maksimalių taškų, tada skirstinys atitinkamai vadinamas bimodaliniu arba multimodaliniu.

Jei maksimalaus taško nėra, pasiskirstymas vadinamas antimodaliniu.

Apibrėžimas. mediana Atsitiktiniu dydžiu vadinama jo reikšmė, kurios atžvilgiu vienodai tikėtina gauti didesnę ar mažesnę atsitiktinio dydžio reikšmę, t.y.

Kitaip tariant, yra taško, kuriame plotas po pasiskirstymo tankio diagrama (paskirstymo daugiakampis) yra padalintas į pusę, abscisė.

Pavyzdys. Atsižvelgiant į atsitiktinio dydžio tankį:

Raskite šio atsitiktinio dydžio medianą.

Raskite medianą iš sąlygos . Mūsų atveju,

Iš keturių šaknų reikia pasirinkti tą, kuri yra nuo 0 iki 2, t.y.

komentuoti. Jei atsitiktinio dydžio skirstinys yra unimodalinis ir simetriškas (normalus), tai visos trys padėties charakteristikos: matematinis lūkestis, režimas ir mediana sutampa.

3.3 Dispersija ir standartinis nuokrypis.

Stebimų atsitiktinių dydžių reikšmės paprastai svyruoja daugiau ar mažiau apie tam tikrą vidutinę vertę. Šis reiškinys vadinamas atsitiktinio dydžio išsibarstymu aplink jo vidutinę vertę. Skaitmeninės charakteristikos, parodančios, kaip tankiai galimos atsitiktinio dydžio reikšmės yra sugrupuotos aplink vidurkį, vadinamos sklaidos charakteristikomis. Iš matematinio lūkesčio 5 savybės išplaukia, kad atsitiktinio dydžio reikšmių tiesinis nuokrypis nuo vidutinės vertės negali būti sklaidos charakteristika, nes teigiami ir neigiami nuokrypiai „užgesina“ vienas kitą. Todėl pagrindine atsitiktinio dydžio sklaidos charakteristika laikomas atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo vidurkio kvadrato matematinis lūkestis.

Apibrėžimas. dispersija vadinamas matematiniu lūkesčiu – suteikiantis atsitiktinio dydžio nuokrypį kvadratu nuo jo matematinio lūkesčio (vidutinės reikšmės), t.y.

(3)

(4) nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui:

(5)

Tačiau, nepaisant šios sklaidos charakteristikos patogumo, pageidautina, kad sklaidos charakteristika būtų proporcinga pačiam atsitiktiniam dydžiui ir jo matematiniams lūkesčiams.

Todėl įvedama dar viena sklaidos charakteristika, kuri vadinama standartinis nuokrypis ir lygus dispersijos šaknei, t.y. .

Sklaidai apskaičiuoti patogu naudoti formulę, pateiktą pagal šią teoremą.

TEOREMA. Atsitiktinio dydžio dispersija lygi skirtumui tarp atsitiktinio dydžio kvadrato matematinio lūkesčio ir jo matematinio lūkesčio kvadrato, t.y.

Iš tiesų, pagal apibrėžimą

Nes .

DISPERSINĖS SAVYBĖS:

1. Pastovaus atsitiktinio dydžio dispersija lygi nuliui, t.y.

2. Atsitiktinės reikšmės pastovus koeficientas išimamas iš dispersijos su kvadratu, t.y.

3. Dviejų atsitiktinių dydžių algebrinės sumos dispersija lygi jų dispersijų sumai, t.y.

Pasekmė iš 2 ir 3 savybių:

Pažiūrėkime į keletą pavyzdžių..

1 pavyzdys Pateikta diskrečiojo atsitiktinio dydžio skirstinio serija. Raskite jo standartinį nuokrypį.

Pirmiausia randame

Tada standartinis nuokrypis

2 pavyzdys. Tegu pateikiamas nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis:

Raskite jo dispersiją ir standartinį nuokrypį.

3.4 Atsitiktinių dydžių momentai.

Yra dviejų tipų momentai: pradinis ir centrinis.

Apibrėžimas. Pradinis užsakymo momentas atsitiktinis

reikšmės vadinamos matematiniu vertės lūkesčiu, t.y. .

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui:

Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui:

Visų pirma, matematinis lūkestis yra pirmosios eilės pradinis momentas.

Apibrėžimas. Centrinis pusės eilės momentas atsitiktinis kintamasis yra matematinis reikšmės lūkestis, t.y.

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui:

Nuolatiniam -

1 eilės centrinis momentas lygus nuliui (matematinio lūkesčio 5 savybė); ; apibūdina pasiskirstymo tankio grafiko asimetriją (kreipumą). paskambino asimetrijos koeficientas.

Skirta apibūdinti paskirstymo ryškumą.

Apibrėžimas. kurtosis atsitiktinis dydis yra skaičius

Nominaliai paskirstytam atsitiktiniam dydžiui santykis . Todėl pasiskirstymo kreivės, kurios yra smailesnės nei įprasta, turi teigiamą kreivę (), o daugiau plokščių turi neigiamą kreivę ().

Pavyzdys. Pateikiame atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankį:

Raskite šio atsitiktinio dydžio iškrypimą ir kurtozę.

Raskime tam reikalingus momentus:

Tada asimetrijos koeficientas: (neigiama asimetrija).

Tegu ištisinis atsitiktinis dydis X yra pateiktas skirstinio funkcija F(X) . Tarkime, kad visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės priklauso intervalui [ A, B].

Apibrėžimas. matematinis lūkestis Ištisinis atsitiktinis dydis X, kurio galimos reikšmės priklauso segmentui , vadinamas apibrėžtuoju integralu

Jei galimos atsitiktinio dydžio reikšmės nagrinėjamos visoje skaičių ašyje, tada matematinis lūkestis randamas pagal formulę:

Šiuo atveju, žinoma, daroma prielaida, kad netinkamas integralas suartėja.

Apibrėžimas. dispersija nuolatinis atsitiktinis kintamasis vadinamas jo nuokrypio kvadrato matematiniu lūkesčiu.

Analogiškai su diskretinio atsitiktinio dydžio dispersija, praktiniam dispersijos skaičiavimui naudojama ši formulė:

Apibrėžimas. Standartinis nuokrypis Ji vadinama dispersijos kvadratine šaknimi.

Apibrėžimas. Mada Diskretaus atsitiktinio dydžio M0 vadinamas labiausiai tikėtinu jo dydžiu. Nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui režimas yra atsitiktinio dydžio, kuriame pasiskirstymo tankis yra didžiausias, reikšmė.

Jeigu pasiskirstymo daugiakampis diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui arba pasiskirstymo kreivė ištisiniam atsitiktiniam dydžiui turi du ar daugiau maksimumų, tai toks skirstinys vadinamas Dvigubas modalas arba Multimodalinis.

Jei skirstinys turi minimumą, bet ne maksimumą, tada jis vadinamas Antimodalinis.

Apibrėžimas. mediana Atsitiktinio dydžio X MD yra jo reikšmė, kurios atžvilgiu vienodai tikėtina, kad jis gaus didesnę ar mažesnę atsitiktinio dydžio reikšmę.

Geometriškai mediana yra taško, kuriame plotas, ribojamas pasiskirstymo kreivės, abscisė yra padalinta per pusę.

Atkreipkite dėmesį, kad jei pasiskirstymas yra unimodalinis, režimas ir mediana sutampa su matematiniais lūkesčiais.

Apibrėžimas. Pradžios momentasĮsakymas K Atsitiktinis dydis X yra matematinis reikšmės X lūkestis K.

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui: .

.

Pirmosios eilės pradinis momentas yra lygus matematiniam lūkesčiui.

Apibrėžimas. Centrinis momentasĮsakymas K atsitiktinis kintamasis X vadinamas matematiniu reikšmės lūkesčiu

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui: .

Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui: .

Pirmosios eilės centrinis momentas visada lygus nuliui, o antros eilės centrinis momentas lygus dispersijai. Trečios eilės centrinis momentas apibūdina skirstinio asimetriją.

Apibrėžimas. Vadinamas trečiojo laipsnio centrinio momento ir standartinio nuokrypio santykis trečiajame laipsnyje Asimetrijos koeficientas.

Apibrėžimas. Pasiskirstymo aštrumui ir plokštumui apibūdinti vadinamas dydis kurtosis.

Be svarstomų kiekių, taip pat naudojami vadinamieji absoliutieji momentai:

Absoliutus pradžios momentas: .

Absoliutus centrinis momentas: .

Absoliutus centrinis pirmosios eilės momentas vadinamas Vidutinis aritmetinis nuokrypis.

Pavyzdys. Aukščiau nagrinėtame pavyzdyje nustatykite atsitiktinio dydžio X matematinį lūkestį ir dispersiją.

Pavyzdys. Urnoje yra 6 balti ir 4 juodi rutuliai. Iš jo penkis kartus iš eilės išimamas kamuolys, o kiekvieną kartą išimtas kamuolys grąžinamas atgal ir kamuoliukai sumaišomi. Atsitiktiniu dydžiu X paėmę išgautų baltų rutuliukų skaičių, sudarykite šio dydžio pasiskirstymo dėsnį, nustatykite jo matematinį lūkestį ir dispersiją.

Kadangi kiekvieno eksperimento rutuliai grąžinami atgal ir sumaišomi, bandymai gali būti laikomi nepriklausomais (ankstesnio eksperimento rezultatas neturi įtakos įvykio atsiradimo ar neįvykimo kitam eksperimente tikimybei).

Taigi kiekvieno eksperimento balto rutulio atsiradimo tikimybė yra pastovi ir lygi

Taigi, po penkių iš eilės bandymų baltas rutulys gali visai nepasirodyti, pasirodyti vieną, du, tris, keturis ar penkis kartus.

Norėdami sudaryti paskirstymo įstatymą, turite rasti kiekvieno iš šių įvykių tikimybę.

1) Baltas rutulys iš viso nepasirodė:

2) Baltas rutulys pasirodė vieną kartą:

3) Baltas rutulys pasirodys du kartus: .

4) Baltas rutulys pasirodys tris kartus:

Diskretusis atsitiktinis dydis ir jo pasiskirstymo dėsnis

Kartu su atsitiktinio įvykio sąvoka tikimybių teorijoje naudojama ir patogesnė sąvoka atsitiktinis kintamasis.

Apibrėžimas. Atsitiktinis kintamasis Vadinamas dydis, kuris dėl eksperimento įgauna vieną iš galimų reikšmių, o iš anksto nežinoma, kurią.

Atsitiktinius kintamuosius žymėsime lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis ( X, Y, Z,…) ir galimos jų reikšmės atitinkamomis mažomis raidėmis ( x i, y i,…).

Pavyzdžiai: taškų, kurie krito metant kauliuką, skaičius; herbo pasirodymų skaičius 10 monetų metimų; šūvių skaičius prieš pirmąjį pataikymą į taikinį; atstumas nuo taikinio centro iki skylės smūgio metu.

Galima pastebėti, kad išvardytų atsitiktinių dydžių galimų reikšmių rinkinys turi skirtingą formą: pirmiems dviem kiekiams jis yra baigtinis (atitinkamai 6 ir 11 reikšmių), trečiam kiekiui reikšmių rinkinys yra begalinis ir yra natūraliųjų skaičių rinkinys ir už ketvirtą- visi atkarpos taškai, kurių ilgis lygus taikinio spinduliui. Taigi pirmųjų trijų dydžių verčių rinkinį gauname iš atskirų (diskrečių) verčių, atskirtų viena nuo kitos, o ketvirtajam tai yra ištisinė sritis. Pagal šį rodiklį atsitiktiniai dydžiai skirstomi į dvi grupes: diskretuosius ir tęstinius.

Apibrėžimas. diskretus, jei jis įgauna atskiras, izoliuotas galimas reikšmes su tam tikromis tikimybėmis. Diskretaus atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius gali būti baigtinis arba begalinis.

Apibrėžimas. Atsitiktinis dydis vadinamas tęstinis, jei jo galimų reikšmių rinkinys visiškai užpildo kokį nors baigtinį arba begalinį intervalą. Ištisinio atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius yra begalinis.

Norėdami nurodyti diskrečiųjį atsitiktinį kintamąjį, turite žinoti galimas jo reikšmes ir tikimybes, su kuriomis šios reikšmės bus priimtos. Susirašinėjimas tarp jų vadinamas paskirstymo įstatymas atsitiktinis kintamasis. Jis gali būti lentelės, formulės ar grafiko pavidalu.

Iškviečiama lentelė, kurioje išvardytos galimos diskretinio atsitiktinio dydžio reikšmės ir jų atitinkamos tikimybės netoli platinimo:

Atkreipkite dėmesį, kad įvykis, kai atsitiktinis kintamasis įgauna vieną iš galimų reikšmių, yra tikras, todėl arba

Užduotis. Moneta metama 5 kartus. Atsitiktinė vertė X- herbo praradimo skaičius. Sudarykite atsitiktinio dydžio skirstinio seką X.

Sprendimas. Tai akivaizdu X gali turėti 5 reikšmes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, tai yra X= 0, 1, 2, 3, 4, 5. Pagal sąlygą , . Apskaičiuokime kiekvienos reikšmės tikimybę naudodami Bernulio formulę: .

Herbas niekada nenukris (k = 0): .

Arba .

Herbas nukris vieną kartą (k = 1):
.

Herbas nukris du kartus (k = 2):

Herbas nukris tris kartus (k = 3):

Herbas nukris keturis kartus (k = 4):

Herbas nukris penkis kartus (k = 5):

Todėl paskirstymo serija turi tokią formą:

Šiuo atveju tikimybių suma lygi vienetui:

Grafiškai diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį galima pavaizduoti kaip paskirstymo daugiakampis– polilinija, jungianti plokštumos taškus su koordinatėmis ( x i , p i). Tai yra, galimos atsitiktinio dydžio reikšmės brėžiamos išilgai abscisių ašies, o šių verčių tikimybės – išilgai ordinačių ašies. Aiškumo dėlei gauti taškai sujungiami tiesiomis atkarpomis. Pasiskirstymo daugiakampis, kaip ir skirstinio eilutė, visiškai apibūdina atsitiktinį kintamąjį ir yra viena iš skirstinio dėsnio formų.

Siųsti savo gerą darbą žinių bazėje yra paprasta. Naudokite žemiau esančią formą

Studentai, magistrantai, jaunieji mokslininkai, kurie naudojasi žinių baze savo studijose ir darbe, bus jums labai dėkingi.

Publikuotas http://www.allbest.ru/

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai

Tegul atliekamas koks nors testas, kurio rezultatas yra vienas iš nesuderinamų atsitiktinių įvykių (įvykių skaičius yra baigtinis arba skaičiuojamas, tai yra, įvykiai gali būti sunumeruoti). Kiekvienam rezultatui priskiriamas tam tikras tikrasis skaičius, tai yra, reali funkcija X su reikšmėmis pateikiama atsitiktinių įvykių rinkinyje. Ši X funkcija vadinama diskretus atsitiktinis dydžio(Sąvoka "diskretus" vartojama, nes atsitiktinio dydžio reikšmės yra pavieniai skaičiai, o ne nuolatinės funkcijos). Kadangi atsitiktinių dydžių reikšmės kinta priklausomai nuo atsitiktinių įvykių, svarbiausia yra tikimybė, su kuria atsitiktinis dydis įgis įvairias skaitines reikšmes. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra bet koks ryšys, nustatantis ryšį tarp galimų atsitiktinio dydžio reikšmių ir jų atitinkamų tikimybių. Pasiskirstymo dėsnis gali būti įvairių formų. Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui pasiskirstymo dėsnis yra skaičių porų rinkinys (), kur yra galimos atsitiktinio dydžio reikšmės ir tikimybė, su kuria jis gauna šias reikšmes: . Kuriame.

Į poras galima žiūrėti kaip į taškus tam tikroje koordinačių sistemoje. Šiuos taškus sujungę tiesių atkarpomis, gauname grafinį pasiskirstymo dėsnio vaizdą – skirstinio daugiakampį. Dažniausiai diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis rašomas lentelės, kurioje įvedamos poros, forma.

Pavyzdys. Moneta išverčiama du kartus. Nubraižykite šiame teste iškritusių „herbų“ skaičiaus pasiskirstymo dėsnį.

Sprendimas. Atsitiktinis kintamasis X – „herbo“ skaičius šiame teste. Akivaizdu, kad X gali turėti vieną iš trijų reikšmių: 0, 1, 2. Tikimybė, kad išmetus monetą atsiras „herbas“, yra p=0,5, o „uodega“ yra q = 1 – p = 0,5 . Tikimybes, su kuriomis atsitiktinis dydis įgis išvardytas reikšmes, galima rasti naudojant Bernulio formulę:

Atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo dėsnį rašome pasiskirstymo lentelės pavidalu

Kontrolė:

Kai kurie diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsniai, su kuriais dažnai susiduriama sprendžiant įvairias problemas, gavo specialius pavadinimus: geometrinis skirstinys, hipergeometrinis skirstinys, binominis skirstinys, Puasono skirstinys ir kt.

Diskretaus atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti naudojant pasiskirstymo funkciją F(x), kuri yra lygi tikimybei, kad atsitiktinis dydis X įgis reikšmes intervale ????x?: F(x) = P(X

Funkcija F(x) yra apibrėžta visoje realioje ašyje ir turi šias savybes:

vienas)? ? F(x)? vienas;

2) F(x) – nemažėjanti funkcija;

3) F(??) = 0, F(+?) = 1;

4) F(b) – F(a) = P(a ? X< b) - вероятность того, что случайная величина Х примет значения на промежутке 2 =(1-2.3) 2 =1.69

2 =(2-2.3) 2 =0.09

2 =(5-2.3) 2 =7.29

Parašykime kvadratinio nuokrypio pasiskirstymo dėsnį:

Sprendimas: Raskite matematinį lūkestį M(x):

M(x)=2*0,1+3*0,6+5*0,3=3,5

Parašykime atsitiktinio dydžio X 2 pasiskirstymo dėsnį

Raskime matematinį lūkestį M(x 2):

M(x 2) = 4 * 0,1 + 9 * 0,6 + 25 * 0,3 = 13,5

Norima dispersija D (x) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 13,3- (3,5) 2 \u003d 1,05

Dispersijos savybės

1. Konstantos C dispersija lygi nuliui: D(C)=0

2. Pastovų koeficientą galima paimti iš dispersijos ženklo, padalijus jį kvadratu. D(Cx) = C 2 D(x)

3. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija lygi šių dydžių dispersijų sumai. D(X 1 +X 2 +...+X n) = D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)

4. Binominio skirstinio dispersija lygi bandymų skaičiaus ir įvykio atsiradimo ir neįvykimo tikimybės sandaugai viename bandyme D(X)=npq.

Norint įvertinti galimų atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidą aplink jo vidutinę vertę, be dispersijos, taip pat naudojamos kai kurios kitos charakteristikos. Tarp jų yra standartinis nuokrypis.

APIBRĖŽIMAS. Standartinis atsitiktinio dydžio X nuokrypis yra dispersijos kvadratinė šaknis:

8 pavyzdys. Atsitiktinis kintamasis X pateikiamas pasiskirstymo dėsniu

Raskite standartinį nuokrypį y(x)

Sprendimas: Raskite matematinį lūkestį X:

M(x)=2*0,1+3*0,4+10*0,5=6,4

Raskite matematinį lūkestį X 2:

M(x 2) = 2 2 * 0,1 + 3 2 * 0,4 + 10 2 * 0,5 = 54

Raskime dispersiją:

D (x) \u003d M (x 2) \u003d M (x 2) - 2 = 54-6,4 2 = 13,04

Reikalingas standartinis nuokrypis

y(X)=vD(X)=v13.04?3.61

Teorema. Baigtinio skaičiaus vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos standartinis nuokrypis yra lygus šių kintamųjų standartinių nuokrypių kvadratų sumos kvadratinei šakniai:

atsitiktiniai dydžiai

Atsitiktinio dydžio sąvoka yra esminė tikimybių teorijoje ir jos taikymuose. Atsitiktiniai dydžiai, pavyzdžiui, yra taškų, numestų per vieną kauliuko metimą, suirusių radžio atomų skaičius per tam tikrą laikotarpį, skambučių skaičius telefono stotyje per tam tikrą laikotarpį, nuokrypis. nuo tam tikro dydžio detalės nominalios vertės su tinkamai nustatytu technologiniu procesu ir kt.

Šiuo būdu, atsitiktinis dydžio Kintamuoju vadinamas kintamasis, kuris dėl patirties gali įgyti vienokią ar kitokią skaitinę reikšmę.

Toliau apžvelgsime dviejų tipų atsitiktinius dydžius – diskretuosius ir tęstinius.

1. Diskretieji atsitiktiniai dydžiai

Apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį *, kurio galimos reikšmės sudaro baigtinę arba begalinę skaičių seką x1 , x2 , . .., xn, . .. . Tegul funkcija p(x), kurios reikšmė kiekviename taške x=xi(i=1,2,. ..) yra lygi tikimybei, kad vertė įgis vertę xi.

Šis atsitiktinis dydis vadinamas diskretus (su pertrūkiais). Funkcija p(x) paskambino įstatymas paskirstymas tikimybės atsitiktinis kiekiai arba trumpai, įstatymas paskirstymas. Ši funkcija apibrėžiama sekos taškuose x1 , x2 , . .., xn, . .. . Kadangi kiekviename iš testų atsitiktinis kintamasis visada įgauna tam tikrą reikšmę iš jo pokyčio srities, tada

Pavyzdys1. Atsitiktinis kintamasis – taškų, kurie iškrenta metant vieną kauliuką, skaičius. Galimos reikšmės yra skaičiai 1, 2, 3, 4, 5 ir 6. Be to, tikimybė, kad kuri nors iš šių reikšmių bus tokia pati ir lygi 1/6. Koks bus platinimo įstatymas? ( Sprendimas)

Pavyzdys2. Tegul atsitiktinis dydis yra įvykio pasikartojimo skaičius A per vieną testą ir P(A)=p. Galimų reikšmių rinkinys susideda iš 2 skaičių 0 ir 1: =0 jei įvykis A neįvyko ir =1 jei įvykis Aįvyko. Šiuo būdu,

Tarkime, kad jis pagamintas n nepriklausomi testai, kurių kiekvienas gali sukelti įvykį arba ne A. Tegul įvykio tikimybė A kiekvienam bandymui yra p A adresu n nepriklausomi testai. Diapazoną sudaro visi sveikieji skaičiai nuo 0 prieš n imtinai. Tikimybių skirstymo dėsnis p(m) nustatomas pagal Bernulio formulę (13"):

Dažnai vadinamas tikimybių pasiskirstymo dėsnis pagal Bernulio formulę dvinario, nes Pn(m) atstovauja m dvinario plėtimosi terminas.

Tegul atsitiktinis dydis įgauna bet kokią neneigiamą sveikojo skaičiaus reikšmę ir

kur yra kokia nors teigiama konstanta. Šiuo atveju sakoma, kad atsitiktinis kintamasis yra paskirstytas įstatymas nuodai, Atkreipkite dėmesį, kad kai k=0 reikėtų įdėti 0!=1 .

Kaip žinome, dideliems skaičiams n nepriklausomo testo tikimybė Pn(m) agresyvus m renginio laikai A patogiau rasti ne pagal Bernulio formulę, o pagal Laplaso formulę [žr. formulė (15)]. Tačiau pastarasis suteikia didelių klaidų su maža tikimybe Rįvykio atsiradimas BET viename teste. Šiuo atveju, norint apskaičiuoti tikimybę Pn(m) patogu naudoti Puasono formulę, kurioje

Puasono formulę galima gauti kaip ribinį Bernulio formulės atvejį su neribotu bandymų skaičiaus padidėjimu n ir kadangi tikimybė linkusi į nulį.

Pavyzdys3. Į gamyklą atkeliavo 1000 vienetų dalių partija. Tikimybė, kad dalis bus sugedusi, yra 0,001. Kokia tikimybė, kad tarp atvežtų dalių bus 5 sugedusios dalys? ( Sprendimas)

Su Puasono paskirstymu dažnai susiduriama ir kitose problemose. Taigi, pavyzdžiui, jei telefono operatorius vidutiniškai gauna N skambučius, tada, kaip galima parodyti, tikimybė P(k) kad per vieną minutę ji gaus k skambučius, išreiškiamas Puasono formule, jei įdėtume.

Jei galimos atsitiktinio dydžio reikšmės sudaro baigtinę seką x1 , x2 , . .., xn, tada atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo dėsnis pateikiamas tokios lentelės pavidalu, kurioje

Ši lentelė vadinama šalia paskirstymas atsitiktinis kintamasis. Vizualiai veikia p(x) gali būti parodytas kaip grafikas. Norėdami tai padaryti, plokštumoje paimame stačiakampę koordinačių sistemą.

Galimas atsitiktinio dydžio reikšmes nubraižysime išilgai horizontalios ašies, o funkcijos reikšmes – vertikalioje ašyje. Funkcijų grafikas p(x) parodyta pav. 2. Jei šio grafiko taškus sujungsite su tiesiomis atkarpomis, gausite figūrą, vadinamą poligonas paskirstymas.

Pavyzdys4. Tegul renginys BET- vieno taško atsiradimas metant kauliuką; P(A) = 1/6. Apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį – įvykio įvykių skaičių BET su dešimčia kauliuko metimų. Funkcijų reikšmės p(x)(paskirstymo įstatymas) pateikiami šioje lentelėje:

Tikimybės p(xi) apskaičiuojamas pagal Bernulio formulę n = 10. Dėl x>6 jų beveik nulis. Funkcijos p(x) grafikas parodytas pav. 3.

Atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo funkcija ir jos savybės

Apsvarstykite funkciją F(x), apibrėžiamas visoje skaitinėje ašyje taip: kiekvienam X prasmė F(x) yra lygi tikimybei, kad diskrečiojo atsitiktinio dydžio reikšmė bus mažesnė už X, t.y.

Ši funkcija vadinama funkcija paskirstymas tikimybės arba trumpai, funkcija paskirstymas.

Pavyzdys1. Raskite 1 pavyzdžio 1 punkte pateikto atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkciją. ( Sprendimas)

Pavyzdys2. Raskite 2 pavyzdžio 1 punkte pateikto atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkciją. ( Sprendimas)

Paskirstymo funkcijos žinojimas F(x), nesunku rasti tikimybę, kad atsitiktinis dydis tenkina nelygybes.

Apsvarstykite įvykį, kai atsitiktinis kintamasis įgyja mažesnę reikšmę. Šis įvykis suskaidomas į dviejų nesuderinamų įvykių sumą: 1) atsitiktinis dydis įgauna mažesnes reikšmes, t.y. ; 2) atsitiktinis dydis įgauna reikšmes, kurios tenkina nelygybes. Naudodami sudėjimo aksiomą gauname

Bet pagal paskirstymo funkcijos apibrėžimą F(x)[cm. formulė (18)], turime

todėl,

Šiuo būdu, tikimybė hitai diskretus atsitiktinis kiekiai in intervalas yra lygus prieaugis funkcijas paskirstymas ant tai intervalas.

Apsvarstykitepagrindinissavybesfunkcijaspaskirstymas.

1°. Funkcija paskirstymas yra nemažėjantis.

Tikrai, tegul< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то. Поэтому из формулы (19) следует, что

2°. Vertybės funkcijas paskirstymas Patenkinti nelygybės .

Ši savybė kyla iš to, kad F(x) apibrėžta kaip tikimybė [plg. formulė (18)]. Akivaizdu, kad * ir.

3°. Tikimybė Eiti, ką diskretus atsitiktinis dydžio priims vienas iš galima vertybes xi, yra lygus šuolis funkcijas paskirstymas in tašką xi.

Tikrai, tegul xi- diskretiškojo atsitiktinio dydžio reikšme ir. Darydami prielaidą, kad formulėje (19) gauname

Riboje ties vietoj tikimybės, kad atsitiktinis kintamasis pateks į intervalą, gauname tikimybę, kad reikšmė įgis tam tikrą reikšmę xi:

Kita vertus, gauname, t.y. funkcijos riba F(x) teisingai, nes. Todėl ribinėje formulėje (20) įgauna formą

tie. prasmė p(xi) lygus funkcijos šuoliui** xi. Ši savybė aiškiai parodyta fig. 4 ir pav. 5.

Nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai

Be diskrečiųjų atsitiktinių dydžių, kurių galimos reikšmės sudaro baigtinę arba begalinę skaičių seką, kuri visiškai neužpildo jokio intervalo, dažnai yra atsitiktinių dydžių, kurių galimos reikšmės sudaro tam tikrą intervalą. Tokio atsitiktinio dydžio pavyzdys yra tam tikro dydžio detalės nuokrypis nuo nominalios vertės, esant tinkamai nustatytam technologiniam procesui. Tokio tipo atsitiktinių dydžių negalima nurodyti naudojant tikimybių pasiskirstymo dėsnį p(x). Tačiau juos galima nurodyti naudojant tikimybių pasiskirstymo funkciją F(x). Ši funkcija apibrėžiama lygiai taip pat, kaip ir diskrečiojo atsitiktinio dydžio atveju:

Taigi čia taip pat funkcija F(x) apibrėžta sveikojo skaičiaus ašyje, o jo reikšmė taške X yra lygi tikimybei, kad atsitiktinis dydis įgis mažesnę nei X.

Formulė (19) ir savybės 1° ir 2° galioja bet kurio atsitiktinio dydžio skirstinio funkcijai. Įrodymas atliekamas panašiai kaip ir diskrečiojo dydžio atveju.

Atsitiktinis dydis vadinamas tęstinis, jei jai yra neneigiama ištisinė funkcija*, atitinkanti bet kokias reikšmes x lygybė

Funkcija vadinama tankis paskirstymas tikimybės arba trumpai, tankis paskirstymas. Jeigu x 1 2 , tada pagal (20) ir (22) formules turime

Remdamiesi integralo, kaip srities, geometrine reikšme, galime teigti, kad nelygybių išsipildymo tikimybė yra lygi kreivinės trapecijos su pagrindu plotui. viršuje apribotas kreive (6 pav.).

Kadangi ir remiantis (22) formule

Naudojant (22) formulę, randame kaip integralo išvestinę kintamojo viršutinės ribos atžvilgiu, darant prielaidą, kad pasiskirstymo tankis yra tęstinis**:

Atkreipkite dėmesį, kad nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui paskirstymo funkcija F(x) nuolatinis bet kuriame taške X, kur funkcija yra ištisinė. Tai išplaukia iš to, kad F(x)šiuose taškuose skiriasi.

Remiantis (23) formule, darant prielaidą x 1 =x, mes turime

Dėl funkcijos tęstinumo F(x) mes tai gauname

Vadinasi

Šiuo būdu, tikimybė Eiti, ką tęstinis atsitiktinis dydžio gal būt sutikti bet koks atskirti prasmė X, yra lygus nulis.

Iš to išplaukia, kad įvykiai susideda iš kiekvienos nelygybės išsipildymo

Jie turi vienodą tikimybę, t.y.

Tikrai, pvz.

komentuoti. Kaip žinome, jei įvykis neįmanomas, tada jo atsiradimo tikimybė lygi nuliui. Klasikiniame tikimybės apibrėžime, kai testo rezultatų skaičius yra baigtinis, galioja ir atvirkštinis teiginys: jei įvykio tikimybė lygi nuliui, tai įvykis neįmanomas, nes šiuo atveju nė viena iš testo baigčių jam nepalanki. Nepertraukiamo atsitiktinio dydžio atveju jo galimų reikšmių skaičius yra begalinis. Tikimybė, kad ši vertė įgis kokią nors konkrečią vertę x 1 kaip matėme, yra lygus nuliui. Tačiau iš to nereiškia, kad šis įvykis neįmanomas, nes atlikus testą atsitiktinis kintamasis visų pirma gali įgyti reikšmę x 1 . Todėl esant nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui, prasminga kalbėti apie tikimybę, kad atsitiktinis dydis pateks į intervalą, o ne apie tikimybę, kad jis įgis tam tikrą reikšmę.

Taigi, pavyzdžiui, gaminant volą, mūsų nedomina tikimybė, kad jo skersmuo bus lygus vardinei vertei. Mums svarbi tikimybė, kad volo skersmuo neišeis iš tolerancijos ribų.

Pavyzdys. Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis pateikiamas taip:

Funkcijos grafikas parodytas fig. 7. Nustatykite tikimybę, kad atsitiktinis dydis įgis nelygybes tenkinančią reikšmę Raskite duoto atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkciją. ( Sprendimas)

Kitos dvi pastraipos yra skirtos nuolatinių atsitiktinių dydžių, su kuriais dažnai susiduriama praktikoje, skirstiniams – vienodais ir normaliojo skirstinio.

* Funkcija vadinama ištisine ištisine visoje skaitinėje ašyje, jei ji yra ištisinė bet kurioje atkarpoje arba turi baigtinį skaičių pirmos rūšies nenutrūkstamumo taškų.

** Integralo su kintamąja viršutine riba diferencijavimo taisyklė, gauta baigtinės apatinės ribos atveju, galioja integralams su begaline apatine riba. Iš tikrųjų,

Kadangi integralas

yra pastovi vertė.

atsitiktiniai dydžiai

Atsitiktiniai dydžiai supranta atsitiktinių įvykių skaitines charakteristikas. Kitaip tariant, atsitiktiniai dydžiai yra skaitiniai eksperimentų rezultatai, kurių reikšmės (tam tikru metu) negali būti iš anksto nuspėjamos.

Pavyzdžiui, šie dydžiai gali būti laikomi atsitiktiniais:

2. Berniukų procentas tarp vaikų, gimusių tam tikroje gimdymo namuose tam tikrą dieną.

3. Saulės dėmių, matomų tam tikroje observatorijoje per tam tikrą dieną, skaičius ir plotas.

4. Studentų, kurie pavėlavo į šią paskaitą, skaičius.

5. Dolerio kursas biržoje (tarkim, MICEX), nors gal ir nėra toks „atsitiktinis“, kaip atrodo gyventojams.

6. Įrangos gedimų skaičius tam tikrą dieną konkrečioje įmonėje.

Atsitiktiniai dydžiai skirstomi į diskrečius ir nuolatinius, priklausomai nuo to, ar visų galimų atitinkamos charakteristikos reikšmių rinkinys yra diskretinis ar tęstinis.

Šis skirstymas gana sąlyginis, tačiau naudingas renkantis adekvačius tyrimo metodus. Jei galimų atsitiktinio dydžio reikšmių skaičius yra baigtinis arba palyginamas su visų natūraliųjų skaičių rinkiniu (ty gali būti pernumeruotas), tada atsitiktinis kintamasis PDF sukurtas naudojant FinePrint pdfFactory bandomąją versiją http://www.fineprint. com vadinamas diskrečiu. Priešingu atveju jis vadinamas tęstiniu, nors iš tikrųjų, tarsi netiesiogiai, daroma prielaida, kad iš tikrųjų nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai įgyja savo reikšmes tam tikru paprastu skaitiniu intervalu (segmentu, intervalu). Pavyzdžiui, atsitiktiniai dydžiai bus diskretūs, pateikti aukščiau 4 ir 6 skaičiais, o tęstiniai - skaičiais 1 ir 3 (taškinės sritys). Kartais atsitiktinis kintamasis turi mišrų pobūdį. Toks, pavyzdžiui, yra dolerio (ar kitos valiutos) kursas, kuris iš tikrųjų užima tik atskirą reikšmių rinkinį, tačiau pasirodo, kad patogu manyti, kad jo verčių rinkinys yra „nepertraukiamas“. “.

Atsitiktiniai kintamieji gali būti nurodyti įvairiais būdais.

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai paprastai pateikiami pagal jų pasiskirstymo dėsnį. Čia kiekviena galima atsitiktinio dydžio X reikšmė x1, x2,... susieta su šios reikšmės tikimybe p1,p2,.... Rezultatas yra lentelė, sudaryta iš dviejų eilučių:

Tai yra atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis.

Neįmanoma nurodyti ištisinių atsitiktinių dydžių pagal pasiskirstymo dėsnius, nes pagal jų apibrėžimą jų reikšmės negali būti pernumeruojamos, todėl priskyrimas lentelės pavidalu čia neįtraukiamas. Tačiau nenutrūkstamiems atsitiktiniams dydžiams yra ir kitas būdas nurodyti (beje, taikytinas ir diskretiesiems kintamiesiems) – tai paskirstymo funkcija:

lygi įvykio tikimybei, kuri susideda iš to, kad atsitiktinis kintamasis X įgyja reikšmę, mažesnę už nurodytą skaičių x.

Dažnai vietoj pasiskirstymo funkcijos patogu naudoti kitą funkciją – atsitiktinio dydžio X skirstinio pasiskirstymo tankį f(x). Ji taip pat kartais vadinama diferencialinio pasiskirstymo funkcija, o šioje terminologijoje – F(x). vadinama integraliąja paskirstymo funkcija. Šios dvi funkcijos viena kitą nustato pagal šias formules:

Jei atsitiktinis dydis yra diskretus, tada pasiskirstymo funkcijos sąvoka jam taip pat turi prasmę, šiuo atveju pasiskirstymo funkcijos grafiką sudaro horizontalios atkarpos, kurių kiekviena yra virš ankstesnės dydžiu, lygiu pi.

Svarbūs diskrečiųjų dydžių pavyzdžiai yra, pavyzdžiui, binomiliai paskirstyti kiekiai (Bernoulli paskirstymas), kuriems PDF sukurta naudojant FinePrint pdfFactory bandomąją versiją http://www.fineprint.com

pk(1-p)n-k= !()!

kur p yra vieno įvykio tikimybė (ji kartais sąlygiškai vadinama „sėkmės tikimybe“). Taip paskirstomi viena po kitos einančių vienarūšių testų rezultatai (Bernoulli schema). Ribinis dvinario skirstinio atvejis (didėjant bandymų skaičiui) yra Puasono skirstinys, kuriam

pk=?k/k! exp(-?),

kur?>0 yra koks nors teigiamas parametras.

Paprasčiausias tolydžio pasiskirstymo pavyzdys yra tolygus pasiskirstymas. Jo pasiskirstymo tankis segmente yra pastovus, lygus 1 / (b-a), o už šio segmento ribų tankis yra 0.

Itin svarbus nepertraukiamo pasiskirstymo pavyzdys yra normalusis skirstinys. Jis pateikiamas dviem parametrais m ir? (laukimas ir standartinis nuokrypis - žr. toliau), jo pasiskirstymo tankis yra toks:

1 eksp(-(x-m)2/2?2)

Esminis normaliojo skirstinio vaidmuo tikimybių teorijoje paaiškinamas tuo, kad pagal centrinės ribos teoremą (CLT) yra daugybė atsitiktinių dydžių, kurie yra nepriklausomi poromis (žr. toliau apie nepriklausomumo sąvoką). atsitiktiniai dydžiai) arba silpnai priklausomi pasirodo esantys apytiksliai pasiskirstę pagal normalųjį dėsnį. Iš to išplaukia, kad atsitiktinis dydis, kurio atsitiktinumą sukelia daugybės atsitiktinių veiksnių, kurie yra silpnai priklausomi vienas nuo kito, superpozicija, gali būti laikomas maždaug normaliai pasiskirstytu (nepriklausomai nuo to, kaip buvo pasiskirstę jį sudarantys veiksniai). . Kitaip tariant, normalaus skirstymo dėsnis yra labai universalus.

Yra keletas skaitinių charakteristikų, kurias patogu naudoti tiriant atsitiktinius dydžius. Tarp jų išskiriame matematinį lūkestį

lygi atsitiktinio dydžio vidutinei reikšmei – dispersijai

D(X)=M(X-M(X))2,

lygus atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo vidutinės reikšmės kvadrato matematiniam lūkesčiui ir dar vienai praktikoje patogiai papildomai (to paties matmens kaip ir pirminis atsitiktinis kintamasis):

vadinamas standartiniu nuokrypiu. Darysime prielaidą (to daugiau nenurodydami), kad visi rašytiniai integralai egzistuoja (t. y. susilieja į visą realiąją ašį). Kaip žinoma, dispersija ir standartinis nuokrypis apibūdina atsitiktinio dydžio dispersijos laipsnį aplink jo vidutinę vertę. Kuo mažesnė dispersija, tuo atsitiktinių dydžių klasterio reikšmės artimesnės jo vidutinei vertei.

Pavyzdžiui, Puasono skirstinio vidurkis yra ?, tolygaus skirstinio – (a+b)/2, o normaliojo – m. Puasono skirstinio dispersija yra ?, vienodo (b-a) 2/12, o normaliojo - ?2. Toliau bus naudojamos šios matematinių lūkesčių ir dispersijos savybės:

1. M(X+Y)= M(X)+M(Y).

3. D(cX)=c2D(X), kur c yra savavališkas pastovus skaičius.

4. D(X+A)=D(A) savavališkai pastoviai (neatsitiktinei) vertei A.

Atsitiktinis dydis?=U-MU vadinamas centruotu. Iš 1 savybės išplaukia, kad M?=M(U-MU)=M(U)-M(U)=0, tai yra, jos vidutinė reikšmė yra 0 (čia yra jos pavadinimas). Be to, dėl 4 savybės turime D(?)=D(U).

Taip pat yra naudingas santykis, kurį patogu naudoti praktiškai apskaičiuojant dispersiją ir susijusius dydžius:

5. D(X)=M(X2)-M(X)2

Atsitiktiniai kintamieji X ir Y vadinami nepriklausomais, jei pagal jų savavališkas reikšmes x ir y įvykiai ir yra nepriklausomi. Pavyzdžiui, elektros tinklo įtampos matavimo rezultatai ir įmonės pagrindinio energetiko inžinieriaus augimas bus nepriklausomi (matyt ...). Tačiau šio elektros tinklo pajėgumas ir įmonių vyriausiojo energetiko atlyginimas nebe visada gali būti laikomi nepriklausomais.

Jei atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi, galioja ir šios savybės (kurios gali negalioti atsitiktiniams atsitiktiniams dydžiams):

5. M(XY)=M(X)M(Y).

6. D(X+Y)=D(X)+D(Y).

Be atskirų atsitiktinių dydžių X,Y,..., tiriamos ir atsitiktinių dydžių sistemos. Pavyzdžiui, (X,Y) atsitiktinių dydžių pora gali būti laikoma nauju atsitiktiniu dydžiu, kurio reikšmės yra dvimačiai vektoriai. Panašiai galima apsvarstyti ir didesnio skaičiaus atsitiktinių dydžių sistemas, vadinamas daugiamačiais atsitiktiniais dydžiais. Tokias dydžių sistemas suteikia ir jų paskirstymo funkcija. Pavyzdžiui, dviejų atsitiktinių dydžių sistemai ši funkcija turi formą

F(x,y)=P,

y., jis yra lygus įvykio tikimybei, kad atsitiktinis dydis X įgis reikšmę, mažesnę už nurodytą skaičių x, o atsitiktinis dydis Y yra mažesnis už duotą skaičių y. Ši funkcija taip pat vadinama jungtine atsitiktinių dydžių X ir Y pasiskirstymo funkcija. Taip pat galite atsižvelgti į vidutinį vektorių – natūralų matematinio lūkesčio analogą, tačiau vietoj dispersijos reikia ištirti keletą skaitinių charakteristikų, vadinamų antros eilės. akimirkos. Tai, pirma, dvi dalinės dispersijos DX ir DY PDF, sukurtos naudojant FinePrint pdfFactory bandomąją versiją http://www.fineprint.com iš atsitiktinių dydžių X ir Y, nagrinėjamos atskirai, ir, antra, kovariacijos momentas, išsamiau aptariamas toliau. .

Jei atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi, tai

F(x,y)=FX(x)FY(y)

Atsitiktinių dydžių X ir Y pasiskirstymo funkcijų sandauga, taigi ir nepriklausomų atsitiktinių dydžių poros tyrimas, daugeliu atžvilgių redukuojamas tiesiog į X ir Y tyrimą atskirai.

atsitiktiniai dydžiai

Pirmiau buvo svarstomi eksperimentai, kurių rezultatai yra atsitiktiniai įvykiai. Tačiau dažnai prireikia kiekybiškai pavaizduoti eksperimento rezultatus tam tikro dydžio forma, kuri vadinama atsitiktiniu dydžiu. Atsitiktinis dydis yra antrasis (po atsitiktinio įvykio) pagrindinis tikimybių teorijos tyrimo objektas ir suteikia bendresnį būdą apibūdinti patirtį su atsitiktine baigtimi nei atsitiktinių įvykių rinkinys.

Atsižvelgdami į eksperimentus su atsitiktiniu rezultatu, mes jau nagrinėjome atsitiktinius kintamuosius. Taigi, sėkmingų bandymų skaičius yra atsitiktinio dydžio pavyzdys. Kiti atsitiktinių dydžių pavyzdžiai: skambučių skaičius telefono stotyje per laiko vienetą; kito skambučio laukimo laikas; dalelių, turinčių tam tikrą energiją, skaičius statistinėje fizikoje nagrinėjamose dalelių sistemose; vidutinė paros temperatūra tam tikroje vietovėje ir kt.

Atsitiktiniam dydžiui būdinga tai, kad neįmanoma tiksliai numatyti jo vertės, kurios jis imsis, tačiau, kita vertus, paprastai žinoma jo galimų reikšmių rinkinys. Taigi, atsižvelgiant į sėkmingų bandymų sekos skaičių, šis rinkinys yra baigtinis, nes sėkmės skaičius gali įgyti reikšmes. Atsitiktinių dydžių reikšmių rinkinys gali sutapti su realia pusiau ašimi, kaip ir laukimo laiko atveju ir pan.

Panagrinėkime eksperimentų su atsitiktine baigtimi pavyzdžius, kurie dažniausiai apibūdinami atsitiktiniais įvykiais, ir įveskime lygiavertį aprašymą, nurodydami atsitiktinį kintamąjį.

vienas). Tegul patirties rezultatas būna įvykis ar įvykis. Tada šis eksperimentas gali būti susietas su atsitiktiniu dydžiu, kuris, pavyzdžiui, įgauna dvi reikšmes, ir su tikimybėmis ir, be to, vyksta lygybės: ir. Taigi, patirtį apibūdina du rezultatai su tikimybėmis ir (arba) ta pati patirtis apibūdinama atsitiktiniu dydžiu, kuris įgauna dvi reikšmes ir su tikimybe ir.

2). Apsvarstykite eksperimentą su kauliukų metimu. Čia eksperimento rezultatas gali būti vienas iš įvykių, kur yra veido su skaičiumi praradimas. tikimybės. Pateiksime lygiavertį šio eksperimento aprašymą, naudodami atsitiktinį kintamąjį, kuris gali gauti reikšmes su tikimybe.

3). Nepriklausomų testų seka apibūdinama visa nesuderinamų įvykių grupe, kur yra įvykis, susidedantis iš sėkmės pasirodymo eksperimentų serijoje; be to, įvykio tikimybę lemia Bernulio formulė, t.y. Čia galite įvesti atsitiktinį kintamąjį - sėkmės skaičių, kuris paima reikšmes su tikimybėmis. Taigi, nepriklausomų bandymų seka apibūdinama atsitiktiniais įvykiais su jų tikimybėmis arba atsitiktiniu dydžiu su tikimybe, kad jis įgauna reikšmes.

keturi). Tačiau ne bet kokia atsitiktinių rezultatų patirtis yra tokia paprasta atsitiktinio kintamojo ir atsitiktinių įvykių rinkinio atitikimas. Pavyzdžiui, apsvarstykite eksperimentą, kurio metu taškas atsitiktinai metamas ant linijos. Čia natūralu įvesti atsitiktinį kintamąjį – atkarpos, į kurią patenka taškas, koordinatę. Taigi galime kalbėti apie atsitiktinį įvykį, kur yra skaičius. Tačiau šio įvykio tikimybė. Galite padaryti kitaip - padalinkite segmentą į baigtinį skaičių nesikertančių segmentų ir apsvarstykite atsitiktinius įvykius, susidedančius iš to, kad atsitiktinis kintamasis paima reikšmes iš intervalo. Tada tikimybės yra baigtinės. Tačiau šis metodas taip pat turi reikšmingą trūkumą, nes segmentai parenkami savavališkai. Siekiant pašalinti šį trūkumą, formos segmentai, kuriuose atsižvelgiama į kintamąjį. Tada atitinkama tikimybė yra argumento funkcija. Tai apsunkina matematinį atsitiktinio dydžio apibūdinimą, tačiau tuo pačiu aprašymas (29.1) tampa vieninteliu, o atkarpų pasirinkimo dviprasmiškumas eliminuojamas.

Kiekvienam nagrinėjamam pavyzdžiui nesunku nustatyti tikimybių erdvę, kur yra elementarių įvykių erdvė, yra įvykių (pogrupių) algebra, ar bet kuriai apibrėžta tikimybė. Pavyzdžiui, paskutiniame pavyzdyje - yra visų segmentų, esančių šiame, algebra.

Apsvarstyti pavyzdžiai veda į tokį atsitiktinio dydžio apibrėžimą.

Tegul yra tikimybės erdvė. Atsitiktinis dydis yra vienareikšmė realioji funkcija, apibrėžta, kurios formos elementariųjų įvykių aibė yra kiekvieno realaus skaičiaus įvykis (t.y. priklauso).

Taigi apibrėžimas to reikalauja kiekvienai realiajai aibei, o ši sąlyga užtikrina, kad kiekvienai iš jų būtų apibrėžta įvykio tikimybė. Šis įvykis paprastai žymimas trumpesniu įrašu.

Tikimybių pasiskirstymo funkcija

Funkcija vadinama atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo funkcija.

Funkcija kartais vadinama trumpai - pasiskirstymo funkcija, taip pat - atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo integraliniu dėsniu. Funkcija yra visa atsitiktinio dydžio charakteristika, tai yra, matematinis visų atsitiktinio dydžio savybių aprašymas, ir nėra išsamesnio būdo apibūdinti šias savybes.

Atkreipiame dėmesį į tokią svarbią apibrėžimo ypatybę (30.1). Dažnai funkcija apibrėžiama skirtingai:

Pagal (30.1) funkcija yra dešinė-tęstinė. Šis klausimas bus nagrinėjamas išsamiau toliau. Tačiau jei naudojamas apibrėžimas (30.2), tai - yra tęstinis kairėje, o tai yra griežtos nelygybės taikymo santykyje (30.2) pasekmė. Funkcijos (30.1) ir (30.2) yra lygiaverčiai atsitiktinio dydžio aprašymai, nes nesvarbu, kurį apibrėžimą naudoti tiek nagrinėjant teorines problemas, tiek sprendžiant uždavinius. Siekiant apibrėžtumo, toliau naudosime tik apibrėžimą (30.1).

Apsvarstykite funkcijos grafiko braižymo pavyzdį. Tegul atsitiktinis kintamasis įgauna reikšmes su tikimybėmis. Taigi šis atsitiktinis kintamasis įgauna kitas reikšmes, išskyrus tas, kurios nurodytos su nuline tikimybe: bet kuriai,. Arba, kaip sakoma, atsitiktinis kintamasis negali įgyti kitų reikšmių. Leiskite konkretumui. Raskite funkcijos reikšmes iš intervalų: 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7). Pirmajame intervale, taigi paskirstymo funkcija. 2). Jei tada. Akivaizdu, kad atsitiktiniai įvykiai ir yra nesuderinami, todėl pagal tikimybių pridėjimo formulę. Pagal sąlygą įvykis neįmanomas ir, a. Štai kodėl. 3). Leisk tada. Čia pirmas terminas, o antrasis, nes įvykis neįmanomas. Taigi visiems, kurie tenkina sąlygą. keturi). Leisk tada. 5). Jei tada. 6) Kai turime. 7) Jei, tada. Skaičiavimo rezultatai parodyti Fig. 30.1 funkcijų grafikas. Nutraukimo taškuose nurodomas funkcijos tęstinumas dešinėje.

Pagrindinės tikimybių skirstinio funkcijos savybės

Apsvarstykite pagrindines paskirstymo funkcijos savybes, kurios tiesiogiai išplaukia iš apibrėžimo:

1. Įveskime žymėjimą:. Tada tai išplaukia iš apibrėžimo. Čia išraiška traktuojama kaip neįmanomas įvykis su nuline tikimybe.

2. Leiskite. Tada tai išplaukia iš funkcijos apibrėžimo. Atsitiktinis įvykis yra tikras ir jo tikimybė lygi vienetui.

3. Atsitiktinio įvykio tikimybė, susidedanti iš to, kad atsitiktinis kintamasis įgauna reikšmę iš intervalo at, nustatoma per funkciją pagal šią lygybę

Norėdami įrodyti šią lygybę, apsvarstykite ryšį.

Įvykiai ir yra nenuoseklūs, todėl pagal tikimybių pridėjimo formulę iš (31.3) išplaukia, kad ir sutampa su (31.2) formule, kadangi ir.

4. Funkcija nemažėja. Pažiūrėkime į įrodymą. Šiuo atveju galioja lygybė (31.2). Kairėje pusėje, nes tikimybė paima reikšmes iš intervalo. Todėl dešinioji lygybės pusė (31.2) taip pat yra neneigiama:, arba. Ši lygybė gaunama su sąlyga, todėl yra nemažėjanti funkcija.

5. Funkcija yra teisingai tolydi kiekviename taške, t.y.

kur yra bet kokia seka, linkusi į dešinę, t.y. ir.

Norėdami tai įrodyti, funkciją pavaizduojame tokia forma:

Dabar, remiantis skaičiuojamo tikimybės adityvumo aksioma, išraiška skliausteliuose yra lygi, taigi, tai įrodo teisingą funkcijos tęstinumą.

Taigi kiekviena tikimybių skirstinio funkcija turi 1-5 savybes. Teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei tenkina 1-5 sąlygas, tai galima laikyti kokio nors atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija.

Diskretinio atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo funkcija

Atsitiktinis dydis vadinamas diskrečiu, jei jo reikšmių rinkinys yra baigtinis arba skaičiuojamas.

Norint pilnai tikimybiniam diskretiškojo atsitiktinio dydžio, kuris įgauna reikšmes, aprašymas, pakanka nurodyti tikimybes, kad atsitiktinis kintamasis įgaus reikšmę. Jei ir yra pateikti, tai diskretinio atsitiktinio kintamojo tikimybės pasiskirstymo funkcija gali būti pavaizduota taip:

Čia sumuojama pagal visus sąlygą tenkinančius indeksus.

Diskretaus atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo funkcija kartais vaizduojama vadinamąja vienetinio šuolio funkcija.

Šiuo atveju jis įgauna formą, jei atsitiktinis dydis įgauna baigtinę reikšmių rinkinį, o viršutinė sumavimo riba (32.4) laikoma lygia, jei atsitiktinis dydis įgauna skaičiuojamą reikšmių rinkinį.

Diskretaus atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo funkcijų grafiko sudarymo pavyzdys buvo nagrinėjamas 30 skyriuje.

Tikimybių tankis

Tegu atsitiktinis dydis turi diferencijuojamą tikimybių pasiskirstymo funkciją, tada funkcija vadinama atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo tankiu (arba tikimybių tankiu), o atsitiktinis dydis vadinamas nuolatiniu atsitiktiniu dydžiu.

Apsvarstykite pagrindines tikimybės tankio savybes.

Išvestinės apibrėžimas reiškia lygybę:

Pagal funkcijos savybes vyksta lygybė. Todėl (33.2) įgauna tokią formą:

Šis ryšys paaiškina funkcijos pavadinimą. Iš tiesų, pagal (33.3) funkcija yra intervalo vieneto tikimybė taške, kadangi. Taigi (33.3) santykio apibrėžtas tikimybių tankis yra panašus į kitų fizikoje žinomų dydžių tankių apibrėžimus, tokius kaip srovės tankis, medžiagos tankis, krūvio tankis ir kt.

2. Kadangi yra nemažėjanti funkcija, tai jos išvestinė yra neneigiama funkcija:

3. Iš (33.1) išplaukia, nes. Taigi, lygybė

4. Kadangi tai išplaukia iš santykio (33.5)

Lygybė, kuri vadinama normalizavimo sąlyga. Kairėje jo pusėje yra tam tikro įvykio tikimybė.

5. Leiskite, tada iš (33.1) seka

Šis ryšys yra svarbus programoms, nes jis leidžia apskaičiuoti tikimybę pagal tikimybių tankį arba tikimybių pasiskirstymo funkciją. Jei nustatome, tai santykis (33.6) išplaukia iš (33.7).

Ant pav. 33.1 pateikti pasiskirstymo funkcijos ir tikimybių tankio grafikų pavyzdžiai.

Atkreipkite dėmesį, kad tikimybių pasiskirstymo tankis gali turėti keletą maksimumų. Argumento reikšmė, kuriai esant tankis turi maksimumą, vadinama atsitiktinio dydžio pasiskirstymo režimu. Jei tankis turi daugiau nei vieną režimą, jis vadinamas multimodaliniu.

Diskretaus atsitiktinio dydžio tikimybės tankis

pasiskirstymo diskrečiųjų tikimybių tankis

Tegul atsitiktinis kintamasis įgauna reikšmes su tikimybėmis,. Tada jo tikimybių pasiskirstymo funkcija yra kur yra vieneto šuolio funkcija. Atsitiktinio dydžio tikimybės tankį galima nustatyti pagal jo pasiskirstymo funkciją, atsižvelgiant į lygybę. Tačiau šiuo atveju iškyla matematinių sunkumų dėl to, kad vieneto šuolio funkcija (34.1) turi pirmos rūšies pertrūkį at. Todėl funkcijos išvestinė taške neegzistuoja.

Norint įveikti šį sudėtingumą, įvedama funkcija -. Vieneto šuolio funkcija funkcija -funkcija gali būti pavaizduota tokia lygybe:

Tada formaliai iš (34.1) santykio kaip funkcijos išvestinė nustatoma diskretiškojo atsitiktinio dydžio išvestinė ir tikimybės tankis:

Funkcija (34.4) turi visas tikimybės tankio savybes. Apsvarstykite pavyzdį. Tegul diskretinis atsitiktinis kintamasis įgyja reikšmes su tikimybėmis ir tegul . Tada tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis paims reikšmę iš segmento, galima apskaičiuoti pagal bendras tankio savybes pagal formulę:

Čia, kadangi funkcijos vienaskaitos taškas, kurį lemia sąlyga, yra integracijos srities viduje, o vienaskaitos taškas yra už integracijos srities. Šiuo būdu.

Funkcija (34.4) taip pat atitinka normalizavimo sąlygą:

Atkreipkite dėmesį, kad matematikoje formos (34.4) įrašas laikomas neteisingu (neteisinga), o įrašas (34.2) laikomas teisingu. Taip yra dėl to, kad funkcija - su nuliniu argumentu ir sako, kad ji neegzistuoja. Kita vertus, (34.2) funkcija - yra po integralu. Šiuo atveju dešinioji (34.2) pusė yra baigtinė bet kurios reikšmės, t.y. funkcijos -integralas egzistuoja. Nepaisant to, fizikoje, inžinerijoje ir kituose tikimybių teorijos taikymuose dažnai naudojamas tankio vaizdavimas forma (34.4), kuris, pirma, leidžia gauti teisingus rezultatus taikant savybes – funkcijas, antra, turi akivaizdžią fizikinę interpretaciją. .

Tankių ir tikimybių skirstinių pavyzdžiai

35.1. Atsitiktinis dydis vadinamas tolygiai paskirstytu segmente, jei jo tikimybės pasiskirstymo tankis

kur yra skaičius, nustatytas iš normalizavimo sąlygos:

Pakeitimas (35.1) į (35.2) veda į lygybę, kurios sprendimas santykinai turi formą:.

Tolygiai paskirstyto atsitiktinio dydžio tikimybės pasiskirstymo funkciją galima rasti pagal (33.5) formulę, kuri per tankį nustato:

Ant pav. Pateikiami 35.1 funkcijų grafikai ir tolygiai paskirstytas atsitiktinis dydis.

35.2. Atsitiktinis dydis vadinamas normaliuoju (arba Gauso), jei jo pasiskirstymo tankis yra toks:

kur yra skaičiai, vadinami funkcijų parametrais. Kai funkcija įgauna didžiausią reikšmę:. Parametras turi efektyvaus pločio reikšmę. Be šios geometrinės interpretacijos, parametrai taip pat turi tikimybinį aiškinimą, kuris bus aptartas vėliau.

Iš (35.4) seka tikimybių skirstinio funkcijos išraiška

kur yra Laplaso funkcija. Ant pav. Pateikiami 35.2 funkcijų grafikai ir normalus atsitiktinis dydis. Norint nurodyti, kad atsitiktinis dydis turi normalųjį pasiskirstymą su parametrais ir dažnai naudojamas žymėjimas.

35.3. Atsitiktinis dydis turi Cauchy tikimybės tankį, jei

Šis tankis atitinka pasiskirstymo funkciją

35.4. Atsitiktinis kintamasis vadinamas eksponentiniu pasiskirstymu, jei jo pasiskirstymo tankis yra toks:

Apibrėžkime jos tikimybių skirstinio funkciją. Nes iš (35.8) seka. Jei tada

35.5. Atsitiktinio dydžio Reilio tikimybės skirstinys nustatomas pagal formos tankį

Šis tankis atitinka tikimybių pasiskirstymo funkciją at ir lygus at.

35.6. Apsvarstykite diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcijos ir tankio konstravimo pavyzdžius. Tegul atsitiktinis kintamasis yra sėkmingų nepriklausomų bandymų skaičius. Tada atsitiktinis kintamasis įgauna reikšmes su tikimybe, kuri nustatoma pagal Bernulio formulę:

kur yra sėkmės ir nesėkmės viename eksperimente tikimybė. Taigi atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo funkcija turi formą

kur yra vieneto šuolio funkcija. Taigi pasiskirstymo tankis:

kur yra delta funkcija.

Vienetiniai atsitiktiniai dydžiai

Be diskrečiųjų ir nuolatinių atsitiktinių dydžių, yra ir vadinamųjų vienaskaitos atsitiktinių dydžių. Šie atsitiktiniai dydžiai pasižymi tuo, kad jų tikimybių pasiskirstymo funkcija yra ištisinė, tačiau augimo taškai sudaro nulinio mato aibę. Funkcijos augimo taškas yra jos argumento vertė, tokia, kad išvestinė.

Taigi beveik visur funkcijos srityje. Funkcija, kuri tenkina šią sąlygą, dar vadinama vienaskaita. Vienaskaitos skirstinio funkcijos pavyzdys yra Kantoro kreivė (36.1 pav.), kuri sukonstruota taip. Remiasi ir toliau. Tada intervalas padalijamas į tris lygias dalis (segmentus) ir nustatoma vidinio segmento vertė - kaip pusė jau nustatytų verčių artimiausiuose segmentuose dešinėje ir kairėje. Šiuo metu funkcija yra apibrėžta, jos reikšmė ir už su reikšme. Šių reikšmių pusė yra lygi ir nustato vertę vidiniame segmente. Tada nagrinėjami segmentai ir, kiekvienas iš jų yra padalintas į tris vienodus segmentus, o funkcija vidiniuose segmentuose apibrėžiama kaip arčiausiai dešinėje ir kairėje esančios funkcijos nurodytų verčių pusės sumos. Taigi funkcijai - kaip skaičių ir pusę sumos. Panašiai ir intervalo funkcija. Tada funkcija apibrėžiama intervale, kuriame ir kt.

...

Panašūs dokumentai

atsitiktiniai dydžiai. Diskretinio atsitiktinio dydžio funkcijos ir tikimybių pasiskirstymo tankis. Vienetiniai atsitiktiniai dydžiai. Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis. Čebyševo nelygybė. Momentai, kumuliantai ir charakteristika.

santrauka, pridėta 2007 12 03


Tikimybių teorijos ir matematinės statistikos sampratos, jų taikymas praktikoje. Atsitiktinio dydžio apibrėžimas. Atsitiktinių dydžių rūšys ir pavyzdžiai. Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis. Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsniai.

santrauka, pridėta 2015-10-25


Tikimybė pataikyti į atsitiktinį kintamąjį X tam tikrame intervale. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcijos braižymas. Tikimybės, kad atsitiktinai pasirinktas produktas atitiks standartą, nustatymas. Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis.

testas, pridėtas 2013-01-24


Diskretieji atsitiktiniai dydžiai ir jų skirstiniai. Bendrosios tikimybės formulė ir Bayes formulė. Bendrosios matematinių lūkesčių savybės. Atsitiktinio dydžio dispersija. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija. Klasikinis tikimybių apibrėžimas.

kontrolinis darbas, pridėtas 2010-12-13


Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija. Ištisinio atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis, sistemos tikimybių pasiskirstymo tankis. kovariacija. Koreliacijos koeficientas.

laboratorinis darbas, pridėtas 2002-08-19


Pasiskirstymo funkcijos, kaip universaliausios atsitiktinio dydžio charakteristikos, ypatybės. Jo savybių aprašymas, jų vaizdavimas geometrinės interpretacijos pagalba. Diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tikimybės skaičiavimo modeliai.

pristatymas, pridėtas 2013-11-01


Įvairių įvykių tikimybių nustatymas naudojant Bernulio formulę. Diskretaus atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnio sudarymas, atsitiktinio dydžio matematinės lūkesčių, dispersijos ir standartinio nuokrypio, tikimybių tankių skaičiavimas.

kontrolinis darbas, pridėtas 2013-10-31


Naudojant Bernulio formulę, norint rasti įvykio tikimybę. Diskretaus atsitiktinio dydžio braižymas. Integralinio skirstinio funkcijos matematinė lūkestis ir savybės. Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija.

testas, pridėtas 2014-01-29


Masinių atsitiktinių reiškinių tikimybių ir dėsningumų teorija. Nelygybė ir Čebyševo teorema. Atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos. Pasiskirstymo tankis ir Furjė transformacija. Būdinga Gauso atsitiktinio dydžio funkcija.

santrauka, pridėta 2011-01-24


Atsitiktinio dydžio matematinių lūkesčių, dispersijos, pasiskirstymo funkcijos ir standartinio nuokrypio skaičiavimas. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis. Klasikinis įvykio tikimybės apibrėžimas. Pasiskirstymo tankio radimas.

Švietimo įstaiga „Baltarusijos valstybė

žemės ūkio akademija“

Aukštosios matematikos katedra

Gairės

apie temos „Atsitiktiniai kintamieji“ studiją Korespondencinio ugdymo apskaitos fakulteto (NISPO) studentams

Gorkis, 2013 m

atsitiktiniai dydžiai

Diskretieji ir nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai

Viena iš pagrindinių tikimybių teorijos sąvokų yra sąvoka atsitiktinis kintamasis . Atsitiktinis kintamasis Vadinamas dydis, kuris, atlikus bandymą, iš galimų reikšmių rinkinio paima tik vieną, ir iš anksto nežinoma, kuri.

Atsitiktiniai kintamieji yra diskretiškas ir tęstinis . Diskretusis atsitiktinis kintamasis (DSV) vadinamas atsitiktiniu dydžiu, kuris gali įgauti baigtinį skaičių reikšmių, atskirtų viena nuo kitos, t.y. jei galima perskaičiuoti galimas šio dydžio vertes. Nuolatinis atsitiktinis kintamasis (CRV) vadinamas atsitiktiniu dydžiu, kurio visos galimos reikšmės visiškai užpildo tam tikrą tikrosios linijos intervalą.

Atsitiktiniai kintamieji žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis X, Y, Z ir kt. Galimos atsitiktinių dydžių reikšmės žymimos atitinkamomis mažomis raidėmis.

Įrašymas
reiškia „tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis X reikšmė bus lygi 5, lygi 0,28".

1 pavyzdys . Vieną kartą metamas kauliukas. Tokiu atveju gali pasirodyti skaičiai nuo 1 iki 6, nurodantys taškų skaičių. Pažymėkite atsitiktinį kintamąjį X=(sukritusių taškų skaičius). Šis atsitiktinis dydis testo rezultatu gali turėti tik vieną iš šešių reikšmių: 1, 2, 3, 4, 5 arba 6. Todėl atsitiktinis dydis X yra DSV.

2 pavyzdys . Kai mestas akmuo, jis nuskrenda tam tikrą atstumą. Pažymėkite atsitiktinį kintamąjį X=(akmens skrydžio nuotolis). Šis atsitiktinis kintamasis gali gauti bet kurią, bet tik vieną, reikšmę iš tam tikro intervalo. Todėl atsitiktinis dydis X yra NSV.

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis

Diskretus atsitiktinis kintamasis apibūdinamas reikšmėmis, kurias jis gali gauti, ir tikimybes, su kuriomis šios reikšmės paimamos. Tai vadinama galimų diskretiškojo atsitiktinio dydžio reikšmių ir atitinkamų tikimybių atitikimu diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis .

Jei žinomos visos galimos reikšmės
atsitiktinis kintamasis X ir tikimybės
šių reikšmių atsiradimas, manoma, kad paskirstymo dėsnis DSV X yra žinomas ir gali būti parašytas kaip lentelė:

DSV paskirstymo dėsnį galima pavaizduoti grafiškai, jei taškai nubrėžti stačiakampėje koordinačių sistemoje
,
, …,
ir sujunkite juos tiesiomis linijomis. Gauta figūra vadinama pasiskirstymo daugiakampiu.

3 pavyzdys . Valymui skirtuose grūduose yra 10% piktžolių. Atsitiktinai parenkami 4 grūdai. Pažymėkite atsitiktinį kintamąjį X=(piktžolių skaičius tarp keturių pasirinktų). Sukurkite DSV platinimo dėsnį X ir paskirstymo daugiakampis.

Sprendimas . Pagal pavyzdį. Tada:

DSV X paskirstymo dėsnį užrašome lentelės pavidalu ir sukuriame paskirstymo daugiakampį:

Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis

Svarbiausios diskretinio atsitiktinio dydžio savybės apibūdinamos jo charakteristikomis. Viena iš šių savybių yra tikėtina vertė atsitiktinis kintamasis.

Tegul DSV platinimo įstatymas yra žinomas X:

matematinis lūkestis DSV X kiekvienos šio dydžio vertės sandaugų suma pagal atitinkamą tikimybę vadinama:
.

Atsitiktinio dydžio matematinė tikėtis yra maždaug lygi visų jo reikšmių aritmetiniam vidurkiui. Todėl praktiniuose uždaviniuose vidutinė šio atsitiktinio dydžio reikšmė dažnai laikoma matematiniu lūkesčiu.

Pavyzdys 8 . Šaulys išmuša 4, 8, 9 ir 10 taškų su 0,1, 0,45, 0,3 ir 0,15 tikimybėmis. Raskite matematinį taškų skaičių vienu šūviu.

Sprendimas . Pažymėkite atsitiktinį kintamąjį X=(surinktų taškų skaičius). Tada . Taigi, vienu metimu numatomas pelnytų taškų vidurkis – 8,2, o su 10 metimų – 82.

Pagrindinės savybės matematiniai lūkesčiai yra:

.

.

, kur
,
.

.

, kur X ir Y

Skirtumas
paskambino nukrypimas atsitiktinis kintamasis X nuo jo matematinių lūkesčių. Šis skirtumas yra atsitiktinis dydis ir jo matematinis lūkestis lygus nuliui, t.y.
.

Diskretinio atsitiktinio dydžio sklaida

Atsitiktiniam dydžiui apibūdinti, be matematinio lūkesčio, taip pat naudojamas dispersija , kuris leidžia įvertinti atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidą (sklaidą) aplink jo matematinį lūkestį. Lyginant du vienarūšius atsitiktinius dydžius su vienodais matematiniais lūkesčiais, „geriausiu“ laikomas tas, kurio sklaida mažesnė, t.y. mažesnė dispersija.

dispersija atsitiktinis kintamasis X vadinamas atsitiktinio dydžio kvadratinio nuokrypio nuo jo matematinio lūkesčio matematiniu lūkesčiu: .

Praktiniuose uždaviniuose dispersijai apskaičiuoti naudojama lygiavertė formulė.

Pagrindinės dispersijos savybės yra šios:

.

.

, kur X ir Y yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai.

Dispersija apibūdina atsitiktinio dydžio sklaidą aplink jo matematinius lūkesčius ir, kaip matyti iš formulės, matuojama kvadratiniais vienetais, palyginti su paties atsitiktinio dydžio vienetais. Todėl, norėdami suderinti atsitiktinio dydžio sklaidos matavimo vienetus su pačios vertės matavimo vienetais, pristatome standartinis nuokrypis
.

Pavyzdys 9 . Raskite DSW dispersiją ir standartinį nuokrypį X pagal platinimo įstatymą:

Sprendimas . DSW dispersija X apskaičiuojamas pagal formulę

Raskime matematinį šio atsitiktinio dydžio lūkestį: . Rašome atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį
:

,
.

Žinių savikontrolės klausimai

Kas yra atsitiktinis dydis?

Kuris atsitiktinis dydis vadinamas diskrečiu, o kuris tolydiniu?

Kaip vadinamas diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnis?

Kas vadinama diskretinio atsitiktinio dydžio matematiniu lūkesčiu ir kokios jo pagrindinės savybės?

Koks yra atsitiktinio dydžio nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio?

Kas vadinama diskretinio atsitiktinio dydžio dispersija ir kokios jo pagrindinės savybės?

Kodėl įvedamas standartinis nuokrypis ir kaip jis apskaičiuojamas?

Savarankiško darbo užduotys