Główne metody rozwiązania równania trygonometryczne to: redukcja równań do najprostszych (za pomocą wzory trygonometryczne), wprowadzenie nowych zmiennych, faktoryzacja. Przyjrzyjmy się ich zastosowaniu na przykładach. Zwróć uwagę na format zapisywania rozwiązań równań trygonometrycznych.
Warunkiem koniecznym pomyślnego rozwiązywania równań trygonometrycznych jest znajomość wzorów trygonometrycznych (temat 13 pracy 6).
Przykłady.
1. Równania zredukowane do najprostszych.
1) Rozwiąż równanie
Rozwiązanie:
Odpowiedź:
2) Znajdź pierwiastki równania
(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, należący do segmentu.
Rozwiązanie:
Odpowiedź:
2. Równania redukujące do kwadratu.
1) Rozwiąż równanie 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.
Rozwiązanie: Za pomocą formuła grzechu 2 x = 1 – cos 2 x, otrzymujemy
Odpowiedź:
2) Rozwiąż równanie cos 2x = 1 + 4 cosx.
Rozwiązanie: Korzystając ze wzoru cos 2x = 2 cos 2 x – 1, otrzymujemy
Odpowiedź:
3) Rozwiąż równanie tgx – 2ctgx + 1 = 0
Rozwiązanie:
Odpowiedź:
3. Równania jednorodne
1) Rozwiąż równanie 2sinx – 3cosx = 0
Rozwiązanie: Niech cosx = 0, wtedy 2sinx = 0 i sinx = 0 – sprzeczność z faktem, że sin 2 x + cos 2 x = 1. Oznacza to, że cosx ≠ 0 i możemy podzielić równanie przez cosx. Dostajemy
Odpowiedź:
2) Rozwiąż równanie 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x
Rozwiązanie:
Używamy wzorów 1 = sin 2 x + cos 2 x i sin 2x = 2 sinxcosx, otrzymujemy
grzech 2 x + sałata 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
grzech 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0
Niech cosx = 0, następnie sin 2 x = 0 i sinx = 0 – sprzeczność z faktem, że sin 2 x + cos 2 x = 1.
Oznacza to, że cosx ≠ 0 i możemy podzielić równanie przez cos 2 x .
Dostajemy
tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Oznaczmy tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y1 = 4; y2=2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .
Odpowiedź: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k
4. Równania postaci A grzech + B cosx = SS≠ 0.
1) Rozwiąż równanie.
Rozwiązanie:
Odpowiedź:
5. Równania rozwiązywane metodą faktoryzacji.
1) Rozwiąż równanie sin2x – sinx = 0.
Pierwiastek równania F (X) = φ ( X) może służyć tylko jako liczba 0. Sprawdźmy to:
cos 0 = 0 + 1 – równość jest prawdziwa.
Liczba 0 jest jedynym pierwiastkiem tego równania.
Odpowiedź: 0.
Temat:„Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych”.
Cele Lekcji:
edukacyjny:
Rozwijanie umiejętności rozróżniania typów równań trygonometrycznych;
Pogłębienie zrozumienia metod rozwiązywania równań trygonometrycznych;
edukacyjny:
Kultywowanie zainteresowania poznawczego procesem edukacyjnym;
Kształtowanie umiejętności analizy postawionego zadania;
rozwijanie:
Wykształcenie umiejętności analizy sytuacji, a następnie wyboru najbardziej racjonalnego wyjścia z niej.
Sprzęt: plakat z podstawowymi wzorami trygonometrycznymi, komputer, projektor, ekran.
Zacznijmy lekcję od powtórzenia podstawowej techniki rozwiązywania dowolnego równania: sprowadzenia go do postaci standardowej. Poprzez transformacje równania liniowe sprowadzić do postaci akh = b, kwadrat - do formy topór 2 +bx +c =0. W przypadku równań trygonometrycznych należy je sprowadzić do najprostszej postaci: sinx = a, cosx = a, tgx = a, którą można łatwo rozwiązać.
Przede wszystkim oczywiście trzeba w tym celu skorzystać z podstawowych wzorów trygonometrycznych przedstawionych na plakacie: wzorów na dodawanie, wzorów na podwójny kąt, zmniejszających krotność równania. Wiemy już, jak rozwiązać takie równania. Powtórzmy niektóre z nich:
Jednocześnie istnieją równania, których rozwiązanie wymaga znajomości specjalnych technik.
Tematem naszej lekcji jest rozważenie tych technik i usystematyzowanie metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.
Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.
1. Konwersja na równanie kwadratowe w odniesieniu do dowolnego funkcja trygonometryczna po którym następuje zamiana zmiennych.
Przyjrzyjmy się każdej z wymienionych metod z przykładami, ale przyjrzyjmy się bardziej szczegółowo dwóm ostatnim, ponieważ pierwsze dwa wykorzystaliśmy już przy rozwiązywaniu równań.
1. Konwersja do równania kwadratowego ze względu na jakąś funkcję trygonometryczną.
2. Rozwiązywanie równań metodą faktoryzacji.
3. Rozwiązywanie równań jednorodnych.
Równania jednorodne pierwszego i drugiego stopnia są równaniami postaci:
odpowiednio (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).
Rozwiązując równania jednorodne, podziel obie strony wyrazu równania przez cosx dla (1) równania i przez cos 2 x dla (2). Podział ten jest możliwy, ponieważ sinx i cosx nie są jednocześnie równe zeru - w różnych punktach stają się zerem. Rozważmy przykłady rozwiązywania jednorodnych równań pierwszego i drugiego stopnia.
Zapamiętajmy to równanie: rozważając kolejną metodę - wprowadzając argument pomocniczy, rozwiążmy to w inny sposób.
4. Wprowadzenie argumentu pomocniczego.
Rozważmy równanie już rozwiązane poprzednią metodą:
Jak widać, uzyskuje się ten sam wynik.
Spójrzmy na inny przykład:
W rozpatrywanych przykładach było w zasadzie jasne, co należy rozłożyć na pierwotne równanie, aby wprowadzić argument pomocniczy. Może się jednak zdarzyć, że nie będzie oczywiste, który dzielnik wybrać. Istnieje do tego specjalna technika, którą teraz rozważymy ogólnie. Niech zostanie dane równanie.
Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych. Spis treści
- Zmienna metoda wymiany
- Metoda faktoryzacji
- Równania trygonometryczne jednorodne
- Korzystanie ze wzorów trygonometrycznych:
- Formuły dodawania
- Formuły redukcyjne
- Formuły z podwójnym argumentem
Stosując zamianę t = sinx lub t = cosx, gdzie t∈ [−1;1] rozwiązanie pierwotnego równania sprowadza się do rozwiązania równania kwadratowego lub innego równania algebraicznego.
Zobacz przykłady 1 – 3
Czasami stosuje się uniwersalne podstawienie trygonometryczne: t = tg
Przykład 1 Przykład 2 Przykład 3 Metoda faktoryzacji
Istota tej metody polega na tym, że iloczyn kilku czynników jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z nich jest równy zero, a pozostałe nie tracą na znaczeniu:
f(x) g(x) h(x) … = 0⟺ f(x) = 0 lub g(x) = 0 lub h(x) = 0
itp. pod warunkiem, że istnieje każdy z czynników
Patrz przykłady 4 – 5
Przykład 4 Przykład 5 Jednorodne równania trygonometryczne Równanie w postaci a sin x + b cos x = 0 nazywane jest jednorodnym równaniem trygonometrycznym pierwszego stopnia.
a grzech x + b cos x = 0
Komentarz.
Dzielenie przez cos x jest prawidłowe, ponieważ rozwiązania równania cos x = 0 nie są rozwiązaniami równania a sin x + b cos x = 0.
a grzech x b cos x 0
a tan x + b = 0
brązowy x = –
Równania trygonometryczne jednorodne
a sin2x + b grzech x cos x + c cos2x = 0
Równanie w postaci a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 nazywane jest jednorodnym równaniem trygonometrycznym drugiego stopnia.
a tg2x + b tg x + do = 0
a sin2x b grzech x cos x c cos2x 0
Komentarz. Jeżeli w tym równaniu a = 0 lub c = 0, to równanie rozwiązuje się metodą rozwinięcia
przez mnożniki.
Przykład 6
Przykład 8 Przykład 9 Przykład 10 Przykład 11 1. Wzory dodawania:
grzech (x + y) = sinx przytulny + cosx siny
cos (x + y) = cosx przytulny − sinx siny
tg + tg
tan (x + y) =
1 - tgx tgy
grzech (x − y) = sinx przytulny + cosx siny
cos (x − y) = cosx przytulny + sinx siny
tgx – tgy
tg (x - y) =
1 + tgx tgy
сtgx сtgy – 1
сtg (x + y) =
сtгу + с tgх
сtgx сtgy + 1
сtg (x - y) =
сtгу - с tgх
Przykład 12 Przykład 13 Stosowanie wzorów trygonometrycznych 2. Wzory redukcyjne:
Zasada konia
Za dawnych dobrych czasów żył roztargniony matematyk, który szukając odpowiedzi zmieniał lub nie zmieniał nazwy funkcji ( Zatoka NA cosinus), spojrzała na jego bystrego konia, a ona skinęła głową wzdłuż osi współrzędnych, do której należał punkt odpowiadający pierwszemu członowi argumentu π/ 2 + α Lub π + α .
Jeśli koń skinął głową wzdłuż osi Jednostka organizacyjna, wówczas matematyk uwierzył, że odpowiedź została uzyskana „tak, zmień”, jeśli wzdłuż osi OH, To „nie, nie zmieniaj się”.
Korzystanie ze wzorów trygonometrycznych 3. Formuły z podwójnym argumentem:
grzech 2x = 2sinx cosx
cos 2x = cos2x – sin2x
cos 2x = 2cos2x – 1
cos 2x = 1 – 2sin2x
1 – tg2x
ctg 2x =
ctg2x – 1
Przykład 14 Stosowanie wzorów trygonometrycznych 4. Wzory na zmniejszenie stopnia:
5. Wzory na półkąt:
Korzystanie ze wzorów trygonometrycznych 6. Wzory na sumę i różnicę: Korzystanie ze wzorów trygonometrycznych 7. Formuły produktu: Reguła mnemoniczna „Trygonometria w dłoni”
Bardzo często trzeba znać znaczenia na pamięć sałata, grzech, tg, ctg dla kątów 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
Ale jeśli nagle zapomnisz o jakimś znaczeniu, możesz skorzystać z reguły ręki.
Reguła: Jeśli narysujesz linie przez mały palec i kciuk,
następnie przetną się w punkcie zwanym „księżycowym wzgórzem”.
Powstaje kąt 90°. Linia małego palca tworzy kąt 0°.
Przeciągając promienie z „księżycowego wzgórza” przez palec serdeczny, środkowy i wskazujący, uzyskujemy kąty odpowiednio 30°, 45°, 60°.
Zamiast tego zastępuje N: 0, 1, 2, 3, 4, otrzymujemy wartości grzech, dla kątów 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
Dla sałata Odliczanie następuje w odwrotnej kolejności.
