Różnica kwadratów
Wyprowadźmy wzór na różnicę kwadratów $a^2-b^2$.
Aby to zrobić, pamiętaj o następującej zasadzie:
Jeśli dodamy do wyrażenia dowolny jednomian i odejmiemy ten sam jednomian, otrzymamy poprawną tożsamość.
Dodajmy do naszego wyrażenia i odejmijmy od niego jednomian $ab$:
W sumie otrzymujemy:
Oznacza to, że różnica między kwadratami dwóch jednomianów jest równa iloczynowi ich różnicy i ich sumy.
Przykład 1
Obecny jako produkt $(4x)^2-y^2$
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\lewo(2x-y\prawo)(2x+y)\]
Suma kostek
Wyprowadźmy wzór na sumę kostek $a^3+b^3$.
Wyjmijmy wspólne czynniki z nawiasów:
Weźmy $\left(a+b\right)$ z nawiasów:
W sumie otrzymujemy:
Oznacza to, że suma kostek dwóch jednomianów jest równa iloczynowi ich sumy i niepełnego kwadratu ich różnicy.
Przykład 2
Obecny jako produkt $(8x)^3+y^3$
Wyrażenie to można przepisać w następujący sposób:
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów otrzymujemy:
\[((2x))^3+y^3=\lewo(2x+y\prawo)(4x^2-2xy+y^2)\]
Różnica kostek
Wyprowadźmy wzór na różnicę kostek $a^3-b^3$.
Aby to zrobić, zastosujemy tę samą zasadę, co powyżej.
Dodajmy do naszego wyrażenia i odejmijmy od niego jednomiany $a^2b\ i\ (ab)^2$:
Wyjmijmy wspólne czynniki z nawiasów:
Weźmy $\left(a-b\right)$ z nawiasów:
W sumie otrzymujemy:
Oznacza to, że różnica kostek dwóch jednomianów jest równa iloczynowi ich różnicy przez niepełny kwadrat ich sumy.
Przykład 3
Prezentuj jako produkt $(8x)^3-y^3$
Wyrażenie to można przepisać w następujący sposób:
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów otrzymujemy:
\[((2x))^3-y^3=\lewo(2x-y\prawo)(4x^2+2xy+y^2)\]
Przykład problemów ze stosowaniem wzorów na różnicę kwadratów oraz sumę i różnicę kostek
Przykład 4
Rozkładać na czynniki.
a) $((a+5))^2-9$
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Rozwiązanie:
a) $((a+5))^2-9$
\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
Stosując wzór na różnicę kwadratów otrzymujemy:
\[((a+5))^2-3^2=\lewo(a+5-3\prawo)\lewo(a+5+3\prawo)=\lewo(a+2\prawo)(a +8)\]
Zapiszmy to wyrażenie w postaci:
Zastosujmy wzór na sześciany:
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Zapiszmy to wyrażenie w postaci:
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\lewo(\frac(1)(3)\prawo))^3-x^3\]
Zastosujmy wzór na sześciany:
\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\prawo)\]
Skrócone wzory lub reguły mnożenia są używane w arytmetyce, a dokładniej w algebrze, w celu przyspieszenia procesu obliczania dużych wyrażeń algebraicznych. Same wzory wywodzą się z istniejących w algebrze reguł mnożenia kilku wielomianów.
Zastosowanie tych formuł zapewnia wystarczające rozwiązanie operacyjne różne problemy matematyczne, a także pomaga uprościć wyrażenia. Zasady przekształceń algebraicznych pozwalają na dokonanie pewnych manipulacji na wyrażeniach, po czym można otrzymać po lewej stronie równości wyrażenie po prawej stronie lub przekształcić prawą stronę równości (aby otrzymać wyrażenie po lewej stronie po znaku równości).
Wygodnie jest znać wzory używane do skróconego mnożenia z pamięci, ponieważ często są one używane do rozwiązywania problemów i równań. Poniżej znajdują się główne formuły zawarte na tej liście i ich nazwy.
Kwadrat sumy
Aby obliczyć kwadrat sumy, musisz znaleźć sumę składającą się z kwadratu pierwszego wyrazu, dwukrotności iloczynu pierwszego wyrazu i drugiego oraz kwadratu drugiego. W formie wyrażenia reguła ta jest zapisana w następujący sposób: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Kwadratowa różnica
Aby obliczyć kwadrat różnicy, należy obliczyć sumę składającą się z kwadratu pierwszej liczby, dwukrotności iloczynu pierwszej liczby i drugiej (wziętej z przeciwnym znakiem) oraz kwadratu drugiej liczby. W formie wyrażenia zasada ta wygląda następująco: (a - c)² = a² - 2ac + c².
Różnica kwadratów
Wzór na różnicę dwóch liczb do kwadratu jest równy iloczynowi sumy tych liczb i ich różnicy. W formie wyrażenia reguła ta wygląda następująco: a² - с² = (a + с)·(a - с).
Sześcian sumy
Aby obliczyć sześcian sumy dwóch wyrazów, należy obliczyć sumę składającą się z sześcianu pierwszego wyrazu, potrójnego iloczynu kwadratu pierwszego wyrazu i drugiego, potrójnego iloczynu pierwszego wyrazu i drugiego wyrazu do kwadratu i sześcian drugiego wyrazu. W formie wyrażenia reguła ta wygląda następująco: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Suma kostek
Zgodnie ze wzorem jest on równy iloczynowi sumy tych wyrazów i ich niepełnej kwadratowej różnicy. W formie wyrażenia reguła ta wygląda następująco: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).
Przykład. Konieczne jest obliczenie objętości figury utworzonej przez dodanie dwóch kostek. Znane są jedynie rozmiary ich boków.
Jeśli wartości boczne są małe, obliczenia są proste.
Jeśli długości boków wyrażone są uciążliwymi liczbami, wówczas w tym przypadku łatwiej jest zastosować wzór „Suma kostek”, co znacznie uprości obliczenia.
Kostka różnicowa
Wyrażenie różnicy sześciennej brzmi następująco: jako suma trzeciej potęgi pierwszego członu, potrójny iloczyn ujemny kwadratu pierwszego wyrazu przez drugi, potrójny iloczyn pierwszego wyrazu przez kwadrat drugiego wyrazu i sześcian ujemny drugiego członu. W formie wyrażenia matematycznego sześcian różnicy wygląda następująco: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Różnica kostek
Wzór na różnicę kostek różni się od sumy kostek tylko jednym znakiem. Zatem różnica kostek jest wzorem równym iloczynowi różnicy tych liczb i ich niepełnego kwadratu sumy. W formie różnica kostek wygląda następująco: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).
Przykład. Konieczne jest obliczenie objętości figury, która pozostanie po odjęciu żółtej figury wolumetrycznej, która jest również sześcianem, od objętości niebieskiej kostki. Znany jest tylko rozmiar boku małego i dużego sześcianu.
Jeśli wartości boczne są małe, obliczenia są dość proste. A jeśli długości boków wyrażone są w liczbach znaczących, warto zastosować wzór zatytułowany „Różnica kostek” (lub „Kostka różnicy”), co znacznie uprości obliczenia.
Na poprzednich lekcjach przyglądaliśmy się dwóm sposobom rozkładu wielomianu na czynniki: umieszczaniu wspólnego czynnika w nawiasach i metodzie grupowania.
W tej lekcji przyjrzymy się innemu sposobowi rozkładu wielomianu na czynniki stosując skrócone wzory na mnożenie.
Zalecamy zapisanie każdej formuły co najmniej 12 razy. Dla lepszego zapamiętywania zapisz wszystkie skrócone wzory na mnożenie na małej ściągawce.
Przypomnijmy sobie, jak wygląda wzór na różnicę kostek.
za 3 - b 3 = (a - b)(za 2 + ab + b 2)Różnica w formule sześcianów nie jest łatwa do zapamiętania, dlatego zalecamy użycie specjalnej metody jej zapamiętywania.
Ważne jest, aby zrozumieć, że działa również każda skrócona formuła mnożenia Odwrotna strona.
(a - b)(a 2 + ab + b 2) = za 3 - b 3Spójrzmy na przykład. Konieczne jest uwzględnienie różnicy kostek.
Należy pamiętać, że „27a 3” to „(3a) 3”, co oznacza, że dla wzoru na różnicę sześcianów zamiast „a” używamy „3a”.
Korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów. Zamiast „a 3” mamy „27a 3”, a zamiast „b 3”, jak we wzorze, jest „b 3”.
Zastosowanie różnicy kostek w przeciwnym kierunku
Spójrzmy na inny przykład. Musisz przeliczyć iloczyn wielomianów na różnicę kostek, korzystając ze skróconej formuły mnożenia.
Należy pamiętać, że iloczyn wielomianów „(x − 1)(x 2 + x + 1)” przypomina prawą stronę różnicy wzoru sześcianów „”, tyle że zamiast „a” jest „x”, a na miejscu z „b” jest „1”.
Dla „(x − 1)(x 2 + x + 1)” używamy wzoru na różnicę sześcianów w przeciwnym kierunku.
Spójrzmy na bardziej skomplikowany przykład. Wymagane jest uproszczenie iloczynu wielomianów.
Jeśli porównamy „(y 2 - 1) (y 4 + y 2 + 1)” z prawa strona różnica we wzorach kostek
« za 3 - b 3 = (a - b)(za 2 + ab + b 2)„, to można zrozumieć, że zamiast „a” z pierwszego nawiasu jest „y 2”, a zamiast „b” jest „1”.
Skrócone wzory na mnożenie.
Badanie skróconych wzorów mnożenia: kwadratu sumy i kwadratu różnicy dwóch wyrażeń; różnica kwadratów dwóch wyrażeń; sześcian sumy i sześcian różnicy dwóch wyrażeń; sumy i różnice kostek dwóch wyrażeń.
Zastosowanie skróconych wzorów na mnożenie przy rozwiązywaniu przykładów.
Aby uprościć wyrażenia, rozłożyć wielomiany i sprowadzić wielomiany do postaci standardowej, stosuje się skrócone wzory na mnożenie. Skrócone wzory na mnożenie należy znać na pamięć.
Niech a, b R. Następnie:
1. Kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy kwadrat pierwszego wyrażenia plus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i drugi plus kwadrat drugiego wyrażenia.
(a + b) 2 = za 2 + 2ab + b 2
2. Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy kwadrat pierwszego wyrażenia minus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i drugi plus kwadrat drugiego wyrażenia.
(a - b) 2 = za 2 - 2ab + b 2
3. Różnica kwadratów dwa wyrażenia są równe iloczynowi różnicy tych wyrażeń i ich sumy.
za 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Sześcian sumy dwa wyrażenia są równe sześcianowi pierwszego wyrażenia plus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugie plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia i kwadratu drugiego plus sześcian drugiego wyrażenia.
(a + b) 3 = za 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Kostka różnicowa dwa wyrażenia są równe sześcianowi pierwszego wyrażenia minus trzykrotność iloczynu kwadratu pierwszego wyrażenia i drugiego plus trzykrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i kwadratu drugiego minus sześcian drugiego wyrażenia.
(a - b) 3 = za 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Suma kostek dwa wyrażenia są równe iloczynowi sumy pierwszego i drugiego wyrażenia oraz niepełnego kwadratu różnicy tych wyrażeń.
za 3 + b 3 = (a + b) (za 2 - ab + b 2)
7. Różnica kostek dwa wyrażenia są równe iloczynowi różnicy pierwszego i drugiego wyrażenia przez niepełny kwadrat sumy tych wyrażeń.
za 3 - b 3 = (a - b) (za 2 + ab + b 2)
Zastosowanie skróconych wzorów na mnożenie przy rozwiązywaniu przykładów.
Przykład 1.
Oblicz
a) Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń, mamy
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń, otrzymujemy
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Przykład 2.
Oblicz
Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń, otrzymujemy
Przykład 3.
Uprość wyrażenie
(x - y) 2 + (x + y) 2
Skorzystajmy ze wzorów na kwadrat sumy i kwadrat różnicy dwóch wyrażeń
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Skrócone wzory mnożenia w jednej tabeli:
(a + b) 2 = za 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = za 2 - 2ab + b 2
za 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = za 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = za 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
za 3 + b 3 = (a + b) (za 2 - ab + b 2)
za 3 - b 3 = (a - b) (za 2 + ab + b 2)
