පාසල් පාඨමාලාවේ සිට ජ්යාමිතිය පිළිබඳ වඩාත් සිත්ගන්නා මාතෘකාවක් වන්නේ "චතුරස්රය" (8 ශ්රේණිය) ය. එවැනි රූප මොනවාද, ඒවාට ඇති විශේෂ ගුණාංග මොනවාද? අංශක අනූ හතරේ විශේෂත්වය කුමක්ද? අපි මේ සියල්ල දෙස බලමු.
ජ්යාමිතික හැඩය හතරැස් ලෙස හැඳින්වේ
පැති හතරකින් සහ ඒ අනුව සිරස් හතරකින් (කොන්) සමන්විත බහුඅස්ර යුක්ලීඩීය ජ්යාමිතියෙහි චතුරස්‍ර ලෙස හැඳින්වේ.
මෙම වර්ගයේ රූපවල නමේ ඉතිහාසය සිත්ගන්නා සුළුය. රුසියානු භාෂාවෙන්, "චතුරස්රය" යන නාම පදය සෑදී ඇත්තේ "කොනර් හතර" යන වාක්‍ය ඛණ්ඩයෙන් ("ත්‍රිකෝණය" මෙන් - කෝණ තුනක්, "පෙන්ටගනය" - කොන් පහක් යනාදිය).
කෙසේ වෙතත්, ලතින් භාෂාවෙන් (ලෝකයේ බොහෝ භාෂාවන් සඳහා බොහෝ ජ්යාමිතික යෙදුම් පැමිණ ඇත) එය චතුරස්රාකාර ලෙස හැඳින්වේ. මෙම වචනය සෑදී ඇත්තේ quadri (හතර) සහ latus (පැත්ත) යන නාම පදයෙන් ය. එබැවින් පැරැන්නන් මෙම බහුඅස්‍රය හැඳින්වූයේ "සතර පැත්ත" ලෙසින් බව අපට නිගමනය කළ හැක.
මාර්ගය වන විට, මෙම නම (මෙම වර්ගයේ රූපවල පැති හතරක් තිබීම අවධාරණය කරමින්, කොන් නොවේ) සමහර නවීන භාෂාවල සංරක්ෂණය කර ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, ඉංග්‍රීසියෙන් එය quadrilateral වන අතර ප්‍රංශ භාෂාවෙන් එය quadrilatère වේ.
එපමනක් නොව, බොහෝ ස්ලාවික් භාෂාවල, ප්‍රශ්නගත රූප වර්ගය තවමත් හඳුනාගෙන ඇත්තේ පැතිවලින් නොව කෝණ ගණනෙනි. උදාහරණයක් ලෙස, ස්ලෝවැක් (štvoruholník), බල්ගේරියානු ("chetyr'g'lnik"), බෙලාරුසියානු ("chatyrokhkutnik"), යුක්රේනියානු ("chotirikutnik"), චෙක් (čtyřúhelník) භාෂාවෙන්, නමුත් පෝලන්ත භාෂාවෙන් චතුරස්රය ලෙස හැඳින්වේ. පැති ගණන අනුව - cz.
පාසල් විෂය මාලාවේ අධ්‍යයනය කරන්නේ කුමන ආකාරයේ චතුරස්‍රද යන්නයි
නූතන ජ්යාමිතිය තුළ පැති හතරක් සහිත බහුඅස්ර වර්ග 4 ක් ඇත.
කෙසේ වෙතත්, ඒවායින් සමහරක් ඉතා සංකීර්ණ ගුණාංග නිසා, ජ්යාමිතික පාඩම් වලදී, පාසල් සිසුන් හඳුන්වා දෙනු ලබන්නේ වර්ග දෙකකට පමණි.
- සමාන්තර චලිතයඑවැනි චතුරස්රයේ ප්රතිවිරුද්ධ පැති යුගල වශයෙන් එකිනෙකට සමාන්තර වන අතර, ඒ අනුව, යුගල වශයෙන් ද සමාන වේ.
- Trapezium (trapezium හෝ trapezoid).මෙම චතුරස්රය එකිනෙකට සමාන්තරව ප්රතිවිරුද්ධ පැති දෙකකින් සමන්විත වේ. කෙසේ වෙතත්, අනෙක් පැති යුගලයේ මෙම අංගය නොමැත.
පාසල් ජ්යාමිතික පාඨමාලාවේ අධ්‍යයනය නොකළ හතරැස් වර්ග
ඉහත කරුණු වලට අමතරව, ඒවායේ විශේෂිත සංකීර්ණත්වය හේතුවෙන් පාසල් සිසුන්ට ජ්යාමිතික පාඩම් වලදී හඳුන්වා නොදෙන තවත් හතරැස් වර්ග දෙකක් තිබේ.
- ඩෙල්ටොයිඩ් (සරුංගලය)- යාබද පැති යුගල දෙක බැගින් දිගට සමාන වන රූපයක්. එවැනි හතරැස් කොටුවකට එහි නම ලැබුණේ පෙනුමෙන් එය ග්‍රීක හෝඩියේ අකුරට දැඩි ලෙස සමාන වන බැවිනි - "ඩෙල්ටා".
- Antiparalllelogram- මෙම රූපය එහි නම තරම්ම සංකීර්ණයි. එහි දී, ප්රතිවිරුද්ධ පැති දෙකක් සමාන වේ, නමුත් ඒ සමගම ඒවා එකිනෙකට සමාන්තර නොවේ. මීට අමතරව, මෙම චතුරස්රයේ දිගු ප්රතිවිරුද්ධ පැති ඡේදනය වන අතර, අනෙකුත් කෙටි පැති දෙකේ දිගු වේ.
සමාන්තර චලිත වර්ග
ප්රධාන චතුරස්රාකාර වර්ග සමඟ කටයුතු කිරීමෙන් පසු, ඔබ එහි උප විශේෂ කෙරෙහි අවධානය යොමු කළ යුතුය. එබැවින්, සියලුම සමාන්තර චලිතයන් ද කණ්ඩායම් හතරකට බෙදා ඇත.
- සම්භාව්ය සමාන්තර චලිතය.
- රොම්බස් (රොම්බස්)- සමාන පැති සහිත හතරැස් රූපයක්. එහි විකර්ණ සෘජු කෝණවලින් ඡේදනය වන අතර, රොම්බස් සමාන සෘජුකෝණාස්‍ර ත්රිකෝණ හතරකට බෙදේ.
- සෘජුකෝණාස්රයනම තමාටම කතා කරයි. එය සෘජු කෝණ සහිත සෘජුකෝණාස්රයක් බැවින් (ඒවා එක් එක් අංශක අනූවකට සමාන වේ). එහි ප්රතිවිරුද්ධ පැති එකිනෙකට සමාන්තරව පමණක් නොව, සමාන වේ.
- චතුරස්රයසෘජුකෝණාස්රයක් මෙන්, එය සෘජු කෝණ සහිත සෘජුකෝණාස්රයක් වේ, නමුත් එහි සියලු පැති සමාන වේ. මෙය මෙම රූපය රොම්බස් වලට සමීප කරයි. එබැවින් චතුරස්රයක් යනු රොම්බස් සහ සෘජුකෝණාස්රය අතර හරස්කඩක් බව තර්ක කළ හැකිය.
සෘජුකෝණාස්රයක විශේෂ ගුණාංග
පැති අතර ඇති එක් එක් කෝණ අංශක අනූවකට සමාන වන සංඛ්‍යා සලකා බැලීමේදී, සෘජුකෝණාස්රය කෙරෙහි වැඩි අවධානයක් යොමු කිරීම වටී. එසේ නම්, අනෙකුත් සමාන්තර චලිතයන්ගෙන් එය වෙන්කර හඳුනාගත හැකි විශේෂ ලක්ෂණ මොනවාද?
අදාළ සමාන්තර චලිතය සෘජුකෝණාස්රයක් බව තර්ක කිරීමට, එහි විකර්ණ එකිනෙක සමාන විය යුතු අතර, එක් එක් කොන් කෙළින් විය යුතුය. ඊට අමතරව, එහි විකර්ණවල වර්ග මෙම රූපයේ යාබද පැති දෙකේ වර්ගවල එකතුවට අනුරූප විය යුතුය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, සම්භාව්ය සෘජුකෝණාස්රයක් සෘජු කෝණික ත්රිකෝණ දෙකකින් සමන්විත වන අතර, ඒවායෙහි, දන්නා පරිදි, සලකා බලනු ලබන චතුරස්රයේ විකර්ණය කර්ණය ලෙස ක්‍රියා කරයි.
මෙම රූපයේ ලැයිස්තුගත කර ඇති අවසාන ලක්ෂණය ද එහි විශේෂ දේපලයි. මෙයට අමතරව තවත් ඒවා තිබේ. නිදසුනක් ලෙස, සෘජු කෝණ සහිත අධ්‍යයනය කරන ලද චතුරස්රයේ සියලුම පැති එකවර එහි උස වේ.
ඊට අමතරව, ඔබ කිසියම් සෘජුකෝණාස්රයක් වටා රවුමක් අඳින්නේ නම්, එහි විෂ්කම්භය සෙල්ලිපියේ රූපයේ විකර්ණයට සමාන වේ.
මෙම චතුරස්රයේ අනෙකුත් ගුණාංග අතර, එය පැතලි වන අතර යුක්ලීඩීය නොවන ජ්යාමිතිය තුළ නොපවතී. මෙයට හේතුව එවැනි පද්ධතියක චතුරස්රාකාර රූප නොමැති වීමයි, එහි කෝණවල එකතුව අංශක තුන්සිය හැටකට සමාන වේ.
චතුරස්රය සහ එහි ලක්ෂණ
සෘජුකෝණාස්රයක සලකුණු සහ ගුණාංග සමඟ කටයුතු කිරීමෙන්, විද්යාව දන්නා සෘජු කෝණ සහිත දෙවන චතුරස්රය කෙරෙහි අවධානය යොමු කිරීම වටී (මෙය චතුරස්රයකි).
ඇත්ත වශයෙන්ම එකම සෘජුකෝණාස්රය වීම, නමුත් සමාන පැති සහිතව, මෙම රූපය එහි සියලු ගුණාංග ඇත. නමුත් ඔහු මෙන් නොව, චතුරස්රය යුක්ලීඩීය නොවන ජ්යාමිතිය තුළ පවතී.
මීට අමතරව, මෙම රූපයට තමන්ගේම වෙනත් සුවිශේෂී ලක්ෂණ ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, චතුරස්රයක විකර්ණ එකිනෙකට සමාන නොවේ, නමුත් සෘජු කෝණවලින් ඡේදනය වේ. මේ අනුව, රොම්බස් මෙන්, චතුරස්රයක් සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණ හතරකින් සමන්විත වන අතර, එය විකර්ණ මගින් බෙදනු ලැබේ.
මීට අමතරව, මෙම රූපය සියලු හතරැස් වලින් වඩාත් සමමිතික වේ.
චතුරස්රයක කෝණවල එකතුව යනු කුමක්ද?
යුක්ලීඩීය ජ්යාමිතියෙහි චතුරස්රයේ ලක්ෂණ සැලකිල්ලට ගනිමින්, ඒවායේ කෝණ කෙරෙහි අවධානය යොමු කිරීම වටී.
එබැවින්, ඉහත එක් එක් රූපවල, සෘජු කෝණ තිබේද නැද්ද යන්න නොසලකා, ඒවායේ සම්පූර්ණ එකතුව සෑම විටම සමාන වේ - අංශක තුන්සිය හැටක්. මෙය මෙම වර්ගයේ රූපයේ සුවිශේෂී ලක්ෂණයකි.
චතුරස්රාකාර පරිමිතිය
චතුරස්රයක කෝණවල එකතුව සහ මෙම වර්ගයේ රූපවල වෙනත් විශේෂ ගුණාංග සමාන වන්නේ කුමක් දැයි සොයා බැලීමෙන් පසු, ඒවායේ පරිමිතිය සහ ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා භාවිතා කිරීමට වඩාත් සුදුසු සූත්ර මොනවාදැයි සොයා බැලීම වටී.
ඕනෑම චතුරස්රයක පරිමිතිය තීරණය කිරීම සඳහා, ඔබ එහි සියලු පැතිවල දිග එකට එකතු කළ යුතුය.
උදාහරණයක් ලෙස, KLMN හැඩයකින්, එහි පරිමිතිය සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක: P = KL + LM + MN + KN. ඔබ මෙහි අංක ආදේශ කරන්නේ නම්, ඔබට ලැබෙන්නේ: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).
අදාළ රූපය රොම්බස් හෝ හතරැස් නම්, පරිමිතිය සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබට එහි එක් පැත්තක දිග හතරකින් ගුණ කිරීමෙන් සූත්‍රය සරල කළ හැකිය: P = KL x 4. උදාහරණයක් ලෙස: 6 x 4 = 24 (සෙ.මී.).
ප්‍රදේශ චතුරස්‍ර සූත්ර
කොන් හතරක් සහ පැති සහිත ඕනෑම හැඩයක පරිමිතිය සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි සොයා බැලීමෙන් පසුව, එහි ප්රදේශය සොයා ගැනීමට වඩාත් ජනප්රිය හා සරල ක්රම සලකා බැලීම වටී.
හතරැස් වල අනෙකුත් ගුණාංග: ශිලාලේඛන සහ වටකුරු කව
යුක්ලිඩීය ජ්‍යාමිතියේ රූපයක් ලෙස චතුරස්රයක ලක්ෂණ සහ ගුණාංග සලකා බැලීමෙන් පසු, එය වටා කවයන් විස්තර කිරීමට හෝ සටහන් කිරීමට ඇති හැකියාව කෙරෙහි අවධානය යොමු කිරීම වටී:
- රූපයේ ප්රතිවිරුද්ධ කෝණවල එකතුව අංශක එකසිය අසූවක් නම් සහ යුගල වශයෙන් සමාන නම්, එවැනි චතුරස්රයක් වටා කවයක් නිදහසේ විස්තර කළ හැකිය.
- ටොලමිගේ ප්‍රමේයයට අනුව, පැති හතරක් සහිත බහුඅස්‍රයකින් පිටත කවයක් විස්තර කරන්නේ නම්, එහි විකර්ණවල ගුණිතය මෙම රූපයේ ප්රතිවිරුද්ධ පැතිවල නිෂ්පාදනවල එකතුවට සමාන වේ. මේ අනුව, සූත්‍රය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
- ඔබ ප්රතිවිරුද්ධ පැතිවල එකතුව එකිනෙකට සමාන වන චතුරස්රයක් ගොඩනඟන්නේ නම්, එය තුළට රවුමක් සටහන් කළ හැකිය.
චතුරස්රයක් යනු කුමක්ද, එය පවතින්නේ කුමන ආකාරයේද, පැති අතර සෘජු කෝණ පමණක් ඇති ඒවා සහ ඒවායේ ඇති ගුණාංග මොනවාදැයි සොයා බැලීමෙන් පසුව, මෙම සියලු ද්රව්ය මතක තබා ගැනීම වටී. විශේෂයෙන්, සලකා බැලූ බහුඅස්‍රවල පරිමිතිය සහ ප්රදේශය සොයා ගැනීමේ සූත්‍රය. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම හැඩයේ රූප වඩාත් සුලභ එකක් වන අතර, මෙම දැනුම සැබෑ ජීවිතයේ ගණනය කිරීම් සඳහා ප්රයෝජනවත් විය හැකිය.
කොන් හතරක් සහ පැති හතරක් සමඟ. සිව්පාර්ශ්විකයක් සෑදී ඇත්තේ සංවෘත බහු රේඛාවක් මගිනි, එය සබැඳි හතරකින් සමන්විත වන අතර, එම බහු රේඛාව තුළ ඇති තලයේ එම කොටස මගිනි.
චතුරස්රයේ නම් කිරීම සෑදී ඇත්තේ එහි සිරස් වල ඇති අකුරු වලින්, ඒවා පිළිවෙලට නම් කිරීමෙනි. උදාහරණයක් ලෙස, ඔවුන් පවසන්නේ හෝ ලියන්නේ: හතරැස් ඒ බී සී ඩී :
චතුරස්රයක ඒ බී සී ඩීලකුණු ඒ, බී, සීහා ඩී- මෙය චතුරස්රයේ සිරස්, කොටස් AB, ක්රි.පූ, සීඩීහා ඩී.ඒ - පාර්ශවයන්.
එක් පැත්තකට අයත් සිරස් ලෙස හැඳින්වේ අසල්වැසි, යාබද නොවන සිරස් ලෙස හැඳින්වේ විරුද්ධයි:
චතුරස්රයක ඒ බී සී ඩීමුදුන් ඒහා බී, බීහා සී, සීහා ඩී, ඩීහා ඒ- යාබද, සහ සිරස් ඒහා සී, බීහා ඩී- විරුද්ධ. යාබද සිරස් වල පිහිටා ඇති කෝණ යාබද ලෙසද, ප්රතිවිරුද්ධ සිරස් වල - ප්රතිවිරුද්ධ ලෙසද හැඳින්වේ.
චතුරස්රයක පැති යාබද සහ ප්රතිවිරුද්ධ ඒවාට යුගල වශයෙන් බෙදිය හැකිය: පොදු ශීර්ෂයක් ඇති පැති ලෙස හැඳින්වේ. අසල්වැසි(හෝ යාබද), පොදු සිරස් නොමැති පැති - විරුද්ධයි:
පාර්ශවයන් ABහා ක්රි.පූ, ක්රි.පූහා සීඩී, සීඩීහා ඩී.ඒ, ඩී.ඒහා AB- යාබද, සහ පැති ABහා ඩීසී, දැන්වීමහා ක්රි.පූ- විරුද්ධ.
ප්රතිවිරුද්ධ සිරස් කොටසකින් සම්බන්ධ වී ඇත්නම්, එවැනි කොටසක් කැඳවනු ලැබේ චතුරස්රයේ විකර්ණය මගින්... චතුරස්රයක ඇත්තේ ප්රතිවිරුද්ධ සිරස් යුගල දෙකක් පමණක් බව සලකන විට, තිබිය හැක්කේ විකර්ණ දෙකක් පමණි:
කොටස් ACහා BD- විකර්ණ.
උත්තල හතරැස් වල ප්රධාන වර්ග සලකා බලන්න:
- ට්රේප්සොයිඩ්- ප්රතිවිරුද්ධ පැති එක් යුගලයක් එකිනෙකට සමාන්තර වන අතර අනෙක් යුගලය සමාන්තර නොවන චතුරස්රයක්.
- සමස්ථානික trapezoid- පැති සමාන වන trapezoid.
- සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoid- එක් කෙළවරක් කෙළින් වන trapezoid.
- සමාන්තර චලිතය- ප්රතිවිරුද්ධ පැති යුගල දෙකම එකිනෙකට සමාන්තර වන චතුරස්රයක්.
- සෘජුකෝණාස්රය- සියලු කෝණ සමාන වන සමාන්තර චලිතයක්.
- රොම්බස්- සියලු පැති සමාන වන සමාන්තර චලිතයක්.
- චතුරස්රය- පැති සහ කෝණ දෙකම සමාන වන සමාන්තර චලිතයක්. සෘජුකෝණාස්රය සහ රොම්බස් දෙකම හතරැස් විය හැක.
උත්තල චතුරස්රාකාර කෙළවරේ ගුණ
සියලුම උත්තල හතරැස් වලට පහත ගුණාංග දෙකක් ඇත:
- ඕනෑම අභ්යන්තර කෝණය 180 ° ට අඩු.
- අභ්යන්තර කෝණයන් 360 ° දක්වා එකතු වේ.
ජ්යාමිතික පාඩම් වල පාසල් විෂය මාලාවේදී, ඔබට විවිධ වර්ගවල හතරැස් සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදුවේ: rhombuses, parallelograms, සෘජුකෝණාස්‍ර, trapezoids, වර්ග. අධ්‍යයනය කළ යුතු පළමු හැඩතල වන්නේ සෘජුකෝණාස්රයක් සහ හතරැස් වර්ගයකි.
ඉතින් ඇත්තටම සෘජුකෝණාස්රයක් යනු කුමක්ද? සාමාන්‍ය අධ්‍යාපන පාසලක 2 ශ්‍රේණියේ නිර්වචනය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත: එය හතරැස් කොටුවකි, එහි කොන් හතරම කෙළින් වේ. සෘජුකෝණාස්රය කෙබඳුදැයි සිතීම අපහසු නැත: එය යුගල වශයෙන් එකිනෙකට සමාන්තරව සෘජු කෝණ 4 ක් සහ පැති සහිත රූපයකි.
සමඟ සම්බන්ධ වේ
මීළඟ ජ්යාමිතික ගැටලුව විසඳීම, අප ගනුදෙනු කරන්නේ කුමන විශේෂිත චතුරස්රය සමඟද යන්න තේරුම් ගන්නේ කෙසේද? ප්රධාන සංඥා තුනක් තිබේ, අපි සෘජුකෝණාස්රයක් ගැන කතා කරන බව ඔබට නිවැරදිව තීරණය කළ හැකිය. අපි ඔවුන්ව හඳුන්වමු:
- රූපය 90 ° ට සමාන කෝණ තුනක් සහිත චතුරස්රයකි;
- ඉදිරිපත් කරන ලද චතුරස්රය සමාන විකර්ණ සහිත සමාන්තර චලිතයකි;
- අවම වශයෙන් එක් සෘජු කෝණයක් ඇති සමාන්තර චලිතයකි.
දැන ගැනීමට සිත්ගන්නා සුළුය: උත්තල යනු කුමක්ද, එහි ලක්ෂණ සහ සංඥා.
සෘජුකෝණාස්රයක් සමාන්තර චලිතයක් වන බැවින් (එනම්, යුගල වශයෙන් සමාන්තර ප්රතිවිරුද්ධ පැති සහිත චතුරස්රයක්), එවිට එහි සියලු ගුණාංග සහ ලක්ෂණ ඒ සඳහා සම්පූර්ණ වනු ඇත.
පැතිවල දිග ගණනය කිරීම සඳහා සූත්ර
සෘජුකෝණාස්රයකප්රතිවිරුද්ධ පැති සමාන වන අතර අන්යෝන්ය වශයෙන් සමාන්තර වේ. දිගු පැත්ත සාමාන්යයෙන් දිග (a මගින් දක්වනු ලැබේ), කෙටි - පළල (b මගින් දැක්වේ) ලෙස හැඳින්වේ. රූපයේ ඇති සෘජුකෝණාස්රයේ දිග AB සහ CD යන පැති වන අතර පළල AC සහ B. D වේ. ඒවා ද පාදවලට ලම්බක වේ (එනම් ඒවා උස වේ).
පාර්ශවයන් සොයා ගැනීමට, ඔබට පහත සූත්ර භාවිතා කළ හැකිය. ඔවුන් සම්මුතීන් අනුගමනය කළහ: a යනු සෘජුකෝණාස්රයේ දිග, b යනු එහි පළල, d යනු විකර්ණය (එකිනෙකාට ප්‍රතිවිරුද්ධව පිහිටා ඇති කොන් දෙකක සිරස් සම්බන්ධ කරන කොටස), S යනු රූපයේ ප්රදේශය, P යනු පරිමිතිය , α යනු විකර්ණ සහ දිග අතර කෝණය වන අතර, β යනු විකර්ණ දෙකෙන්ම සෑදෙන තියුණු කෝණයකි. පැතිවල දිග සොයා ගැනීමට ක්රම:
- විකර්ණ සහ දන්නා පැත්ත භාවිතා කරමින්: a = √ (d ² - b ²), b = √ (d ² - a ²).
- රූපයේ ප්රදේශය සහ එහි එක් පැත්තක් අනුව: a = S / b, b = S / a.
- පරිමිතිය සහ දන්නා පැත්ත භාවිතා කරමින්: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
- විකර්ණ සහ එය සහ දිග අතර කෝණය හරහා: a = d sinα, b = d cosα.
- විකර්ණ සහ කෝණය β හරහා: a = d sin 0.5 β, b = d cos 0.5 β.
පරිමිතිය සහ ප්රදේශය
චතුරස්රයක පරිමිතිය ලෙස හැඳින්වේඑහි සියලු පැතිවල දිග එකතුව. පරිමිතිය ගණනය කිරීම සඳහා, පහත සූත්ර භාවිතා කළ හැකිය:
- දෙපැත්තෙන්ම: P = 2 (a + b).
- ප්රදේශය හරහා සහ පැතිවලින් එකක්: P = (2S + 2a ²) / a, P = (2S + 2b ²) / b.
ප්‍රදේශයක් යනු පරිමිතියකින් සීමා වූ අවකාශයකි... ප්රදේශය ගණනය කිරීමට ප්රධාන ක්රම තුනක් තිබේ:
- දෙපැත්තේ දිග හරහා: S = a * b.
- පරිමිතිය සහ දන්නා ඕනෑම පැත්තක ආධාරයෙන්: S = (Pa - 2 a²) / 2; S = (Pb - 2 b²) / 2.
- විකර්ණ සහ කෝණය β: S = 0.5 d² sinβ.
පාසල් ගණිත පාඨමාලාවේ කර්තව්යයන්හිදී, එය බොහෝ විට හොඳ විධානයක් අවශ්ය වේ සෘජුකෝණාස්රයේ විකර්ණ වල ගුණාංග... අපි ප්රධාන ඒවා ලැයිස්තුගත කරමු:
- විකර්ණ එකිනෙකට සමාන වන අතර ඒවායේ ඡේදනය වන ස්ථානයේ සමාන රේඛා කොටස් දෙකකට බෙදා ඇත.
- විකර්ණය යනු වර්ග දෙකේ එකතුවේ මූලය ලෙස අර්ථ දැක්වේ (පයිතගරස් ප්‍රමේයයෙන් පහත දැක්වේ).
- විකර්ණයක් සෘජුකෝණාස්රයක් සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණ දෙකකට බෙදයි.
- ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය වටකුරු රවුමේ කේන්ද්‍රය සමඟ සමපාත වන අතර විකර්ණ - එහි විෂ්කම්භය සමඟ.
විකර්ණයේ දිග ගණනය කිරීම සඳහා පහත සූත්ර භාවිතා කරයි:
- හැඩයේ දිග සහ පළල භාවිතා කරමින්: d = √ (a ² + b ²).
- චතුරස්රයක් වටා රවුමක අරය භාවිතා කිරීම: d = 2 R.
චතුරස්රයක අර්ථ දැක්වීම සහ ගුණාංග
චතුරස්රයක් යනු රොම්බස්, සමාන්තර චලිතය හෝ සෘජුකෝණාස්රයක විශේෂ අවස්ථාවකි. එය මෙම සංඛ්‍යා වලින් වෙනස් වන්නේ එහි සියලුම කොන් සෘජු වන අතර පැති හතරම සමාන වන බැවිනි. චතුරස්රයක් යනු නිත්ය චතුරස්රයකි.
පහත දැක්වෙන අවස්ථා වලදී චතුරස්රයක් චතුරස්රයක් ලෙස හැඳින්වේ:
- එය දිග a සහ පළල b සමාන වන සෘජුකෝණාස්රයක් නම්.
- එය සමාන විකර්ණ දිග සහ සෘජු කෝණ හතරක් සහිත රොම්බස් එකක් නම්.
චතුරස්රයක ගුණවලට සෘජුකෝණාස්රයක් සම්බන්ධ කලින් සලකා බැලූ සියලුම ගුණාංග මෙන්ම පහත සඳහන් දේද ඇතුළත් වේ:
- විකර්ණ එකිනෙකට ලම්බක වේ (රොම්බස් දේපල).
- ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය ශිලාලේඛන රවුමේ කේන්ද්‍රය වේ.
- විකර්ණ දෙකම හතරැස් එක සමාන සෘජුකෝණික සහ සමද්වීපාද ත්රිකෝණ හතරකට බෙදා ඇත.
සඳහා නිතර භාවිතා කරන සූත්ර අපි ඉදිරිපත් කරමු 
පරිමිතිය, ප්රදේශය සහ හතරැස් මූලද්රව්ය ගණනය කිරීම:
- විකර්ණ d = a √2.
- පරිමිතිය P = 4 a.
- ප්රදේශය S = a ².
- වටකුරු රවුමේ අරය විකර්ණයෙන් අඩකි: R = 0.5 a √2.
- ලියා ඇති කවයේ අරය පැත්තේ අර්ධ දිග ලෙස අර්ථ දැක්වේ: r = a / 2.
ප්රශ්න සහ කාර්යයන් සඳහා උදාහරණ
පාසැලේදී ගණිත පාඨමාලාවක් හැදෑරීමේදී ඇති විය හැකි ප්රශ්න කිහිපයක් අපි විශ්ලේෂණය කරමු, අපි සරල ගැටළු කිහිපයක් විසඳන්නෙමු.
ගැටලුව 1... ඔබ එහි පැතිවල දිග තුන් ගුණයකින් වැඩි කළහොත් සෘජුකෝණාස්රයේ ප්රදේශය වෙනස් වන්නේ කෙසේද?
විසඳුමක් : අපි මුල් රූපයේ ප්රදේශය S0 ලෙසත්, පැතිවල දිග මෙන් තුන් ගුණයක් සහිත චතුරස්රයක ප්රදේශය - S1 ලෙසත් දක්වමු. කලින් සලකා බැලූ සූත්‍රය අනුව, අපට ලැබෙන්නේ: S0 = ab. දැන් අපි දිග සහ පළල 3 ගුණයකින් වැඩි කර ලියන්න: S1 = 3 a 3 b = 9 ab. S0 සහ S1 සසඳන විට, දෙවන ප්රදේශය පළමු ප්‍රදේශයට වඩා 9 ගුණයකින් විශාල බව පැහැදිලි වේ.
ප්‍රශ්නය 1. සෘජු කෝණ සහිත සෘජුකෝණාස්රයක් චතුරස්රයක් ද?
විසඳුමක් : සෘජු කෝණ සහිත රූපයක් චතුරස්රයක් වන්නේ එහි සියලු පැතිවල දිග සමාන නම් පමණක් බව අර්ථ දැක්වීමෙන් එය අනුගමනය කරයි. එසේ නොමැති නම්, හැඩය සෘජුකෝණාස්රය වේ.
කාර්යය 2... සෘජුකෝණාස්රයේ විකර්ණ අංශක 60 ක කෝණයක් සාදයි. සෘජුකෝණාස්රයේ පළල 8. විකර්ණයේ අගය ගණනය කරන්න.
විසඳුමක්:ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යයෙන් විකර්ණ දෙකට බෙදී ඇති බව මතක තබා ගන්න. මේ අනුව, අපි 60 ° ට සමාන අග්ර කෝණයක් සහිත සමද්විපාද ත්රිකෝණයක් සමඟ කටයුතු කරන්නෙමු. ත්‍රිකෝණය සමද්වීපක බැවින් පාදයේ ඇති කෝණ ද සමාන වේ. සරල ගණනය කිරීම් මගින්, ඒ සෑම එකක්ම 60 ° ට සමාන බව අපට පෙනී යයි. ත්‍රිකෝණය සමපාර්ශ්වික බව එයින් කියවේ. අප දන්නා පළල ත්‍රිකෝණයේ පාදයයි, එබැවින් විකර්ණයේ අඩක් ද 8 වන අතර සම්පූර්ණ විකර්ණයේ දිග මෙන් දෙගුණයක් විශාල වන අතර 16 ට සමාන වේ.
ප්‍රශ්නය 2. සෘජුකෝණාස්රයක සියලුම පැති සමානද නැද්ද?
විසඳුමක් : සෘජුකෝණාස්රයක විශේෂ අවස්ථාවක් වන චතුරස්රයක් සඳහා සියලු පැති සමාන විය යුතු බව සිහිපත් කිරීම ප්රමාණවත්ය. අනෙක් සියලුම අවස්ථාවන්හිදී, ප්රමාණවත් කොන්දේසියක් වන්නේ අවම වශයෙන් සෘජු කෝණ 3 ක් තිබීමයි. පාර්ශවයන්ගේ සමානාත්මතාවය විකල්ප වේ.
ගැටලුව 3... චතුරස්රයේ ප්රදේශය දන්නා අතර එය 289 ට සමාන වේ. ලියා ඇති සහ වටකුරු රවුම් වල අරය සොයන්න.
විසඳුමක් :
චතුරස්රය සඳහා සූත්ර භාවිතා කරමින්, අපි පහත ගණනය කිරීම් සිදු කරන්නෙමු:
- චතුරස්රයේ මූලික මූලද්රව්ය සමාන වන්නේ කුමක් දැයි නිර්වචනය කරමු: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 = 1 7√2.
- චතුරස්රයක් වටා ඇති වෘත්තයක අරය සමාන වන්නේ කුමක් දැයි ගණනය කරමු: R = 0.5 d = 8.5√2.
- ලියා ඇති කවයේ අරය සොයන්න: r = a / 2 = 17/2 = 8.5.
අර්ථ දැක්වීම.සමාන්තර චලිතයක් යනු ප්රතිවිරුද්ධ පැති යුගල වශයෙන් සමාන්තර වන චතුරස්රයකි.
දේපල.සමාන්තර චලිතයක ප්රතිවිරුද්ධ පැති සමාන වන අතර ප්රතිවිරුද්ධ කෝණ සමාන වේ.
දේපල.සමාන්තර චලිතයේ විකර්ණ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයෙන් අඩකින් අඩු වේ.
සමාන්තර චලිතයක 1 ලකුණ.චතුරස්රයක පැති දෙකක් සමාන සහ සමාන්තර නම්, මෙම චතුරස්රය සමාන්තර චලිතයකි.
සමාන්තර චලිතයක 2 ලකුණ.චතුරස්රයක ප්රතිවිරුද්ධ පැති යුගල වශයෙන් සමාන නම්, මෙම චතුරස්රය සමාන්තර චලිතයකි.
සමාන්තර චලිතයක 3 ලකුණ.චතුරස්රයක විකර්ණ ඡේදනය වන අතර ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය අඩකින් බෙදේ නම්, මෙම චතුරස්රය සමාන්තර චලිතයකි.
අර්ථ දැක්වීම. trapezoid යනු පැති දෙකක් සමාන්තර වන අතර අනෙක් පැති දෙක සමාන්තර නොවන චතුරස්රයකි. සමාන්තර පැති ලෙස හැඳින්වේ භූමිය.
trapezoid ලෙස හැඳින්වේ සමද්වීපක (සමද්වීප)එහි පැති සමාන නම්. සමද්වීපක trapezoid තුළ, පාදවල කෝණ සමාන වේ.
trapezoid එකක්, එහි එක් කෙළවරක් සෘජු ලෙස හැඳින්වේ සෘජුකෝණාස්රාකාර.
පැතිවල මැද ලක්ෂ්ය සම්බන්ධ කරන කොටස හැඳින්වේ trapezoid හි මැද රේඛාව... මැද රේඛාව පාදවලට සමාන්තර වන අතර ඒවායේ අර්ධ එකතුවට සමාන වේ.
අර්ථ දැක්වීම.සෘජුකෝණාස්රයක් යනු සියලු කොන් සෘජු වන සමාන්තර චලිතයකි.
දේපල.සෘජුකෝණාස්රයේ විකර්ණ සමාන වේ.
සෘජුකෝණාස්රාකාර ගුණාංගය.සමාන්තර චලිතයක විකර්ණ සමාන නම්, මෙම සමාන්තර චලිතය සෘජුකෝණාස්‍රයකි.
අර්ථ දැක්වීම.රොම්බස් සියලු පැති සමාන වන සමාන්තර චලිතයක් ලෙස හැඳින්වේ.
දේපල.රොම්බස් වල විකර්ණ අන්යෝන්ය වශයෙන් ලම්බක වන අතර එහි කොන් අඩකින් අඩු කරයි.
අර්ථ දැක්වීම.හතරැස් යනු සියලු පැති සමාන වන සෘජුකෝණාස්‍රයකි.
චතුරස්රයක් යනු සෘජුකෝණාස්රයක විශේෂිත දසුනක් මෙන්ම රොම්බස් විශේෂ දර්ශනයකි. එමනිසා, එය ඔවුන්ගේ සියලු ගුණාංග ඇත.
දේපළ:
1. චතුරස්රයේ සියලුම කොන් කෙළින් වේ
2. චතුරස්රයේ විකර්ණ සමාන, අන්යෝන්ය වශයෙන් ලම්බක වන අතර, ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය අඩකින් සහ චතුරස්රයේ කොන් අඩකින් අඩු වේ.
පාඩම් මාතෘකාව
- චතුරස්රයක අර්ථ දැක්වීම.
පාඩම් අරමුණු
- අධ්යාපනික - මාතෘකාව පිළිබඳ දැනුම පුනරාවර්තනය කිරීම, සාමාන්යකරණය කිරීම සහ පරීක්ෂා කිරීම: "චතුරස්රය"; මූලික කුසලතා වර්ධනය කිරීම.
- සංවර්ධනය කිරීම - සිසුන්ගේ අවධානය, නොපසුබට උත්සාහය, නොපසුබට උත්සාහය, තාර්කික චින්තනය, ගණිතමය කථාව වර්ධනය කිරීම.
- අධ්යාපනික - පාඩම හරහා එකිනෙකා කෙරෙහි අවධානය යොමු කිරීමේ ආකල්පයක් ඇති කිරීම, සහෝදරවරුන්ට සවන් දීමේ හැකියාව, අන්යෝන්ය සහාය, ස්වාධීනත්වය ඇති කිරීම.
පාඩම් අරමුණු
- පරිමාණ පාලකයක් සහ ඇඳීම් ත්රිකෝණයක් භාවිතා කරමින් චතුරස්රයක් ගොඩනැගීමේ කුසලතා වර්ධනය කිරීම.
- ගැටළු විසඳීමට සිසුන්ගේ හැකියාව පරීක්ෂා කරන්න.
පාඩම් සැලැස්ම
- ඓතිහාසික යොමු. යුක්ලීඩීය නොවන ජ්යාමිතිය.
- චතුරස්රාකාර.
- හතරැස් වර්ග.
යුක්ලීඩීය නොවන ජ්යාමිතිය
යුක්ලීඩීය නොවන ජ්යාමිතිය, ජ්යාමිතිය හා සමාන ජ්යාමිතිය යුක්ලිඩ්එහි දී සංඛ්‍යා චලනය අර්ථ දක්වා ඇත, නමුත් එය යුක්ලීඩීය ජ්‍යාමිතියට වඩා වෙනස් වන්නේ එහි උපකල්පන පහෙන් එකක් (දෙවන හෝ පස්වන) එහි නිෂේධනය මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය වීමෙනි. යුක්ලීඩියානු උපකල්පන වලින් එකක් ප්‍රතික්ෂේප කිරීම (1825) චින්තන ඉතිහාසයේ වැදගත් සිදුවීමක් විය, මන්ද එය එහි පළමු පියවර විය. සාපේක්ෂතාවාදයේ න්යාය.
යුක්ලිඩ්ගේ දෙවන උපදේශයේ සඳහන් වන්නේ එයයි සරල රේඛාවක ඕනෑම කොටසක් දින නියමයක් නොමැතිව දිගටම කරගෙන යා හැක... යුක්ලිඩ්, පෙනෙන විදිහට, මෙම උපමාවේ රේඛාවට අනන්ත දිගක් ඇති බවට ප්‍රකාශය ද අඩංගු බව විශ්වාස කළේය. ඒත් "ඉලිප්සාකාර" ජ්යාමිතිය තුළ ඕනෑම සරල රේඛාවක් පරිමිත වන අතර, රවුමක් මෙන්, වසා ඇත.
පස්වන උපකල්පිතයේ දැක්වෙන්නේ සරල රේඛාවක් ලබා දී ඇති සරල රේඛා දෙකක් ඡේදනය වන අතර එහි එක් පැත්තක ඇති අභ්යන්තර කෝණ දෙක සෘජු කෝණ දෙකකට වඩා අඩුවෙන් නම්, මෙම සරල රේඛා දෙක, ඒවා දින නියමයක් නොමැතිව ඉදිරියට ගියහොත්, පැත්තෙන් ඡේදනය වන බවයි. මෙම කෝණවල එකතුව සරල රේඛා දෙකේ එකතුවට වඩා අඩුය. නමුත් "හයිපර්බොලික්" ජ්යාමිතිය තුළ CB යන සරල රේඛාවක් තිබිය හැක (රූපය බලන්න.), C ලක්ෂ්‍යයේ දී ලබා දී ඇති සරල රේඛාවකට ලම්බකව r සහ තවත් සරල රේඛාවක් ඡේදනය වීම B ලක්ෂ්‍යයේ දී තීව්‍ර කෝණයකින්, නමුත් එසේ වුවද අනන්ත සරල රේඛා r සහ s කිසිදා ඡේදනය නොවනු ඇත ...
මෙම සංශෝධිත උපකල්පනවලින් එය අනුගමනය කළේ යුක්ලීඩීය ජ්යාමිතියෙහි 180 ° ට සමාන ත්‍රිකෝණයක කෝණවල එකතුව ඉලිප්සීය ජ්‍යාමිතියේදී 180 ° ට වඩා වැඩි වන අතර හයිපර්බෝලික් ජ්‍යාමිතියේදී 180 ° ට අඩු බවයි.
