සංඛ්‍යාත්මක ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර පරිවර්තනය. පාඩම "ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන සරල කිරීම"

වී සමාන පරිවර්තනයන් ත්රිකෝණමිතික ප්රකාශනපහත වීජීය ශිල්පීය ක්‍රම භාවිතා කළ හැක: එකම නියමයන් එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම; වරහන් වලින් පොදු සාධකය ගැනීම; එකම ප්රමාණයෙන් ගුණ කිරීම සහ බෙදීම; සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්‍ර යෙදීම; සම්පූර්ණ චතුරස්රයක් තෝරාගැනීම; හතරැස් ත්රිකෝණයක සාධකකරණය; පරිවර්තනයන් සරල කිරීම සඳහා නව විචල්‍යයන් හඳුන්වා දීම.

භාග අඩංගු ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කරන විට, ඔබට සමානුපාතික ගුණ, භාග අඩු කිරීම හෝ භාග පොදු හරයකට පරිවර්තනය කළ හැකිය. ඊට අමතරව, ඔබට භාගයේ පූර්ණ සංඛ්‍යා කොටස තෝරා ගැනීම, භාගයේ සංඛ්‍යාව සහ හරය එම ප්‍රමාණයෙන් ගුණ කිරීම සහ, හැකි නම්, සංඛ්‍යාංකයේ හෝ හරයේ සමජාතීයතාවය සැලකිල්ලට ගත හැකිය. අවශ්ය නම්, ඔබට සරල භාග කිහිපයක එකතුවක් හෝ වෙනස ලෙස කොටසක් නියෝජනය කළ හැකිය.

ඊට අමතරව, ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීම සඳහා අවශ්‍ය සියලුම ක්‍රම යොදන විට, පරිවර්තනය කරන ලද ප්‍රකාශනවල අවසර ලත් අගයන් පරාසය නිරන්තරයෙන් සැලකිල්ලට ගැනීම අවශ්‍ය වේ.

අපි උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

උදාහරණ 1.

ගණනය කරන්න А = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π / 2) cos (x + π / 2)) 2 + (cos (x - π / 2) cos ( 2x - 7π / 2) +
+ පාපය (3π / 2 - x) පාපය (2x -5π / 2)) 2

විසඳුමක්.

එය අඩු කිරීමේ සූත්‍ර වලින් පහත දැක්වේ:

sin (2x - π) = -sin 2x; cos (3π - x) = -cos x;

sin (2x - 9π / 2) = -cos 2x; cos (x + π / 2) = -sin x;

cos (x - π / 2) = sin x; cos (2x - 7π / 2) = -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) = -cos x; sin (2x - 5π / 2) = -cos 2x.

තර්ක එකතු කිරීමේ සූත්‍ර සහ මූලික ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවය අනුව, අපි ලබා ගන්නේ කොහෙන්ද

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

පිළිතුර: 1.

උදාහරණ 2.

М = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β - sin (α + β) sin γ + cos γ යන ප්‍රකාශනය නිෂ්පාදනයක් බවට පරිවර්තනය කරන්න.

විසඳුමක්.

ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල එකතුව අනුරූප කාණ්ඩගත කිරීමෙන් පසු නිෂ්පාදනයක් බවට පරිවර්තනය කිරීම සඳහා තර්ක සහ සූත්‍ර එකතු කිරීම සඳහා වන සූත්‍ර වලින්, අපට තිබේ

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + 2cos (α + (β + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2)) =

2cos ((β + γ) / 2) (cos ((β - γ) / 2) + cos (α + (β + γ) / 2)) =

2cos ((β + γ) / 2) 2cos ((β - γ) / 2 + α + (β + γ) / 2) / 2) cos ((β - γ) / 2) - (α + ( β + γ) / 2) / 2) =

4cos ((β + γ) / 2) cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2).

පිළිතුර: М = 4cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2).

උදාහරණය 3.

A = cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) යන ප්‍රකාශය එකම අර්ථයක් ගන්නා බව පෙන්වන්න. මෙම අගය සොයා ගන්න.

විසඳුමක්.

මෙම ගැටළුව විසඳීමට ක්රම දෙකක් මෙන්න. පළමු ක්‍රමය යෙදීමෙන්, සම්පූර්ණ චතුරස්‍රයක් තෝරාගෙන ඊට අනුරූප මූලික ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර භාවිතා කිරීමෙන්, අපට ලැබේ

А = (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) =

4sin 2 x sin 2 π / 6 + 1/2 (cos 2x + cos π / 3) =

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

දෙවන ආකාරයෙන් ගැටළුව විසඳීම, R වෙතින් x හි ශ්රිතයක් ලෙස A සලකා එහි ව්යුත්පන්නය ගණනය කරන්න. පරිවර්තනයෙන් පසු, අපට ලැබේ

A´ = -2cos (x + π / 6) sin (x + π / 6) + (sin (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos (x + π / 6) sin (x + π / 6)) - 2cos (x - π / 6) sin (x - π / 6) =

Sin 2 (x + π / 6) + sin ((x + π / 6) + (x - π / 6)) - sin 2 (x - π / 6) =

Sin 2x - (sin (2x + π / 3) + sin (2x - π / 3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos π / 3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0.

එබැවින්, අන්තරයකදී අවකලනය කළ හැකි ශ්‍රිතයක ස්ථාවරත්වය සඳහා වන නිර්ණායකය අනුව, අපි නිගමනය කරන්නේ

A (x) ≡ (0) = cos 2 π / 6 - cos 2 π / 6 + cos 2 π / 6 = (√3 / 2) 2 = 3/4, x € R.

පිළිතුර: x € R සඳහා A = 3/4.

ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතා ඔප්පු කිරීමේ ප්‍රධාන ක්‍රම වන්නේ:

ඒ)සුදුසු පරිවර්තනයන් මගින් අනන්‍යතාවයේ වම් පැත්ත දකුණට අඩු කිරීම;
බී)අනන්යතාවයේ දකුණු පස වම් පසට අඩු කිරීම;
v)අනන්‍යතාවයේ දකුණු සහ වම් කොටස් එකම ආකාරයකට අඩු කිරීම;
G)ඔප්පු වෙමින් පවතින අනන්‍යතාවයේ වම් සහ දකුණු පැති අතර වෙනස බිංදුවට අඩු කිරීම.

උදාහරණය 4.

cos 3x = -4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3) දැයි පරීක්ෂා කරන්න.

විසඳුමක්.

පරිවර්තනය කිරීම දකුණු පැත්තඅනුරූප ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර මගින් මෙම අනන්‍යතාවය අපට ඇත

4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3) =

2cos x (cos ((x + π / 3) + (x + 2π / 3)) + cos ((x + π / 3) - (x + 2π / 3)) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π / 3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

අනන්‍යතාවයේ දකුණු පැත්ත වමට අඩු කර ඇත.

උදාහරණ 5.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α cos β cos γ = 2 නම් α, β, γ යම් ත්‍රිකෝණයක අභ්‍යන්තර කෝණ බව ඔප්පු කරන්න.

විසඳුමක්.

α, β, γ යනු යම් ත්‍රිකෝණයක අභ්‍යන්තර කෝණ බව සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි එය ලබා ගනිමු.

α + β + γ = π සහ, එබැවින්, γ = π - α - β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2 cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 - cos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

මුල් සමානාත්මතාවය ඔප්පු කර ඇත.

උදාහරණය 6.

ත්‍රිකෝණයේ එක් කෝණ α, β, γ 60 ° ට සමාන බව ඔප්පු කිරීමට, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0 අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ.

විසඳුමක්.

මෙම ගැටලුවේ තත්ත්වය අවශ්යතාවය සහ ප්රමාණවත් බව යන දෙකම සනාථ කරයි.

පළමුව, අපි ඔප්පු කරමු අවශ්යයි.

ඒක පෙන්නන්න පුළුවන්

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2).

එබැවින්, cos (3/2 60 °) = cos 90 ° = 0 බව සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි ලබා ගන්නේ α, β හෝ γ කෝණවලින් එකක් 60 ° ට සමාන නම්, එවිට

cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) = 0 සහ, එබැවින්, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

අපි දැන් ඔප්පු කරමු ප්රමාණවත් බවනිශ්චිත කොන්දේසිය.

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0 නම්, cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) = 0, සහ ඒ නිසා

cos (3α / 2) = 0, හෝ cos (3β / 2) = 0, හෝ cos (3γ / 2) = 0.

එබැවින්,

හෝ 3α / 2 = π / 2 + πk, i.e. α = π / 3 + 2πk / 3,

හෝ 3β / 2 = π / 2 + πk, එනම්, β = π / 3 + 2πk / 3,

හෝ 3γ / 2 = π / 2 + πk,

එම. γ = π / 3 + 2πk / 3, මෙහි k ϵ Z.

α, β, γ යනු ත්‍රිකෝණයේ කෝණ වන බැවින්, අප සතුව ඇත

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

එබැවින්, α = π / 3 + 2πk / 3 හෝ β = π / 3 + 2πk / 3 හෝ

සියලුම kϵZ වලින් γ = π / 3 + 2πk / 3 පමණක් k = 0 ගැලපේ.

එය අනුගමනය කරන්නේ α = π / 3 = 60 °, හෝ β = π / 3 = 60 °, හෝ γ = π / 3 = 60 °.

ප්රකාශය ඔප්පු කර ඇත.

තවමත් ප්‍රශ්න තිබේද? ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන සරල කරන්නේ කෙසේදැයි විශ්වාස නැද්ද?
උපදේශකයෙකුගෙන් උපකාර ලබා ගැනීමට - ලියාපදිංචි වන්න.
පළමු පාඩම නොමිලේ!

වෙබ් අඩවිය, ද්රව්යයේ සම්පූර්ණ හෝ අර්ධ වශයෙන් පිටපත් කිරීම සමඟ, මූලාශ්රය වෙත සබැඳියක් අවශ්ය වේ.

Voronkova Olga Ivanovna

MBOU "ද්විතියික පාසල

අංක 18 "

එංගල්ස්, සරතොව් කලාපය.

ගණිත ගුරුවරයා.

"ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන සහ ඒවායේ පරිවර්තනයන්"

හැඳින්වීම ……………………………………………………………………………… 3

1 වන පරිච්ඡේදය ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශනවල පරිවර්තන භාවිතය සඳහා කාර්යයන් වර්ගීකරණය …………………………………………………… 5

1.1 ගණනය කිරීමේ කාර්යයන් ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශනවල අගයන්........ .5

1.2.ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන සරල කිරීමේ කාර්ය ... 7

1.3 සංඛ්‍යාත්මක ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීමේ කාර්ය ... ..7

1.4 මිශ්‍ර පැවරුම් …………………………………………………… ..... 9

පරිච්ඡේදය 2. "ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශනවල පරිවර්තනය" යන මාතෘකාවේ අවසාන පුනරාවර්තනය සංවිධානය කිරීමේ ක්‍රමවේද අංග ………………………………… 11

2.1 10 ශ්‍රේණියේ තේමාත්මක පුනරාවර්තනය …………………………………………………… ... 11

පරීක්ෂණය 1 ………………………………………………………………… ..12

පරීක්ෂණය 2 ………………………………………………………………… ..13

පරීක්ෂණය 3 ………………………………………………………………………… ..14

2.2 11 ශ්‍රේණියේ අවසාන පුනරාවර්තනය ………………………………………… ... 15

පරීක්ෂණය 1 ………………………………………………………………………… ..17

පරීක්ෂණය 2 ………………………………………………………………… ..17

පරීක්ෂණය 3 ………………………………………………………………………… ..18

නිගමනය ……………………………………………………………………………… 19

භාවිතා කරන ලද සාහිත්‍ය ලැයිස්තුව ………………………………………… .. …… .20

හැදින්වීම.

වර්තමාන තත්වයන් තුළ, වඩාත්ම වැදගත් ප්රශ්නය වන්නේ: "ශිෂ්යයින්ගේ දැනුමේ යම් හිඩැස් ඉවත් කිරීමට සහ විභාගයේදී සිදුවිය හැකි වැරදි වලට එරෙහිව අනතුරු ඇඟවීමට අපට උපකාර කළ හැක්කේ කෙසේද?" මෙම ගැටළුව විසඳීම සඳහා, සිසුන්ගෙන් වැඩසටහන් ද්‍රව්‍ය විධිමත් ලෙස උකහා ගැනීම නොව, එහි ගැඹුරු සහ සවිඥානික අවබෝධය, වාචික ගණනය කිරීම් සහ පරිවර්තනයන්හි වේගය වර්ධනය කිරීම මෙන්ම සරලම ගැටළු විසඳීම සඳහා කුසලතා වර්ධනය කිරීම අවශ්‍ය වේ. "මනස තුළ." එය සිසුන්ට ඒත්තු ගැන්වීමට අවශ්ය වන්නේ ක්රියාකාරී ස්ථානයක් තිබේ නම් පමණක්, ගණිතය අධ්යයනය කිරීමේදී, ප්රායෝගික කුසලතා, කුසලතා සහ ඒවායේ භාවිතය අත්පත් කර ගැනීමට යටත්ව, ඔබට සැබෑ සාර්ථකත්වය මත විශ්වාසය තැබිය හැකිය. 10-11 ශ්‍රේණිවල තේරී පත් වූ විෂයයන් ඇතුළුව ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයට සූදානම් වීමට සෑම අවස්ථාවක්ම භාවිතා කිරීම අවශ්‍ය වේ, සිසුන් සමඟ සංකීර්ණ කාර්යයන් නිතිපතා විශ්ලේෂණය කිරීම, පාඩම් සහ අමතර පන්ති වලදී විසඳීමේ වඩාත් තාර්කික ක්‍රමය තෝරා ගැනීම.ධනාත්මක ප්රතිඵලය තුළසාමාන්‍ය ගැටළු විසඳීමේ ක්ෂේත්‍ර ගණිත ගුරුවරුන් නිර්මාණය කරන්නේ නම් සාක්ෂාත් කරගත හැකියසිසුන්ගේ හොඳ මූලික පුහුණුව, අප ඉදිරියේ විවෘත වී ඇති ගැටළු විසඳීමේ නව ක්‍රම සොයන්න, ක්‍රියාකාරීව අත්හදා බැලීම, නවීන අධ්‍යාපනික තාක්ෂණයන්, ක්‍රම, නව සමාජ තත්වයන් තුළ සිසුන්ගේ ස්වයං අවබෝධය සහ ස්වයං නිර්ණය සඳහා හිතකර කොන්දේසි නිර්මානය කරන ක්‍රමවේද යෙදීම .

ත්‍රිකෝණමිතිය පාසල් ගණිත පාඨමාලාවේ අනිවාර්ය අංගයකි. ත්‍රිකෝණමිතිය පිළිබඳ හොඳ දැනුමක් සහ ශක්තිමත් කුසලතා ප්‍රමාණවත් ගණිතමය සංස්කෘතියක් පිළිබඳ සාක්ෂියකි, ගණිතය, භෞතික විද්‍යාව, තාක්ෂණික ගණනාවක් සාර්ථක අධ්‍යයනය සඳහා අත්‍යවශ්‍ය කොන්දේසියකි.විනය.

කාර්යයේ අදාළත්වය. පාසල් උපාධිධාරීන්ගෙන් සැලකිය යුතු කොටසක් වසරින් වසර මෙම වැදගත් ගණිත අංශයේ ඉතා දුර්වල සූදානමක් පෙන්නුම් කරයි, පෙර වසරවල ප්‍රති results ල මගින් (2011 දී සම්පූර්ණ කිරීමේ ප්‍රතිශතය - 48.41%, 2012 - 51.05%), විශ්ලේෂණයෙන් පසුව පෙන්නුම් කරයි. ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගය සමත් වීමෙන් පෙන්නුම් කළේ මෙම විශේෂිත කොටසේ පැවරුම් සම්පූර්ණ කිරීමේදී සිසුන් බොහෝ වැරදි කරන බව හෝ එවැනි පැවරුම් කිසිසේත් භාර නොගන්නා බවයි. එකකින් රාජ්ය විභාගයේ දී, ත්රිකෝණමිතිය ප්රශ්න පැවරුම් වර්ග තුනකින් පාහේ දක්නට ලැබේ. මෙය B5 කාර්යයේ ඇති සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල විසඳුම වන අතර B7 කාර්යයේ ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන සමඟ වැඩ කිරීම සහ B14 කාර්යයේ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අධ්‍යයනය කිරීම මෙන්ම භෞතික සංසිද්ධි විස්තර කරන සහ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අඩංගු සූත්‍ර ඇති B12 කාර්යය. මෙය B ගේ කාර්යයේ කොටසක් පමණි! නමුත් C1 මූලයන් තෝරාගැනීම සමඟ ප්රියතම ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ ද ඇත, සහ "බොහෝ ප්රියතම" ජ්යාමිතික කාර්යයන් C2 සහ C4.

කාර්යයේ අරමුණ. ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශනවල පරිවර්තනයන් සඳහා කැප වූ B7 කාර්යයන් පිළිබඳ ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේ ද්‍රව්‍ය විශ්ලේෂණය කිරීම සහ පරීක්ෂණ වලදී ඒවා ඉදිරිපත් කරන ආකාරය අනුව කාර්යයන් වර්ගීකරණය කරන්න.

කෘතිය හැඳින්වීමක් සහ නිගමනයක් ලෙස පරිච්ඡේද දෙකකින් සමන්විත වේ. හැඳින්වීම කාර්යයේ අදාළත්වය අවධාරණය කරයි. පළමු පරිච්ඡේදය පරීක්ෂණයේදී ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශනවල පරිවර්තනයන් භාවිතා කිරීම සඳහා කාර්යයන් වර්ගීකරණයක් සපයයි විභාගයේ කාර්යයන්(2012)

දෙවන පරිච්ඡේදයේ, 10, 11 ශ්‍රේණිවල "ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන පරිවර්තනය" යන මාතෘකාව පුනරාවර්තනය කිරීම සංවිධානය කිරීම සලකා බලනු ලබන අතර මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ පරීක්ෂණ සංවර්ධනය කෙරේ.

සාහිත්‍ය ලැයිස්තුවට මූලාශ්‍ර 17ක් ඇතුළත් වේ.

පරිච්ඡේදය 1. ත්රිකෝණමිතික ප්රකාශනවල පරිවර්තන භාවිතා කිරීම සඳහා කාර්යයන් වර්ගීකරණය.

ද්විතීයික (සම්පූර්ණ) අධ්‍යාපනයේ ප්‍රමිතිය සහ සිසුන්ගේ පුහුණු මට්ටම සඳහා වන අවශ්‍යතා අනුව, ත්‍රිකෝණමිතිය පිළිබඳ මූලික කරුණු පිළිබඳ දැනුම සඳහා කාර්යයන් අවශ්‍යතා කේතකාරකයට ඇතුළත් වේ.

ත්‍රිකෝණමිතිය පිළිබඳ මූලික කරුණු ඉගෙනීම වඩාත් ඵලදායී වනුයේ:

කලින් අධ්‍යයනය කළ ද්‍රව්‍ය නැවත කිරීමට සිසුන්ගේ ධනාත්මක අභිප්‍රේරණය ලබා දෙනු ඇත;

අධ්‍යාපන ක්‍රියාවලිය තුළ ශිෂ්‍ය කේන්ද්‍රීය ප්‍රවේශයක් ක්‍රියාත්මක කරනු ඇත;

සිසුන්ගේ දැනුම පුළුල් කිරීමට, ගැඹුරු කිරීමට, ක්‍රමානුකූල කිරීමට දායක වන කාර්ය පද්ධතියක් යොදනු ලැබේ;

උසස් අධ්‍යාපනික තාක්ෂණයන් භාවිතා කරනු ඇත.

විභාගය සඳහා සූදානම් වීම පිළිබඳ සාහිත්‍යය සහ අන්තර්ජාල සම්පත් විශ්ලේෂණය කිරීමෙන් පසු, අපි B7 (KIM USE 2012-ත්‍රිකෝණමිතිය) කාර්යයන් වර්ගීකරණය කළ හැකි එකක් යෝජනා කළෙමු: ගණනය කිරීමේ කාර්යයන්ත්රිකෝණමිතික ප්රකාශනවල අගයන්; සඳහා පැවරුම්සංඛ්‍යාත්මක ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීම; අකාරාදී ත්රිකෝණමිතික ප්රකාශන පරිවර්තනය කිරීම සඳහා කාර්යයන්; මිශ්ර කාර්යයන්.

1.1 ගණනය කිරීමේ කාර්යයන් ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශනවල අගයන්.

සරල ත්‍රිකෝණමිතික ගැටළු වල වඩාත් සුලභ වර්ගයක් වන්නේ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල අගයන් ඒවායින් එකක අගය අනුව ගණනය කිරීමයි:

a) මූලික ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවය සහ එහි ප්‍රතිවිපාක භාවිතා කිරීම.

උදාහරණ 1 ... නම් සොයන්න
හා
.

විසඳුමක්.
,
,

නිසා , එවිට
.

පිළිතුර.

උදාහරණ 2 ... සොයන්න
, නම්
හා .

විසඳුමක්.
,
,
.

නිසා , එවිට
.

පිළිතුර. ...

b) ද්විත්ව කෝණ සූත්‍ර භාවිතා කිරීම.

උදාහරණය 3 ... සොයන්න
, නම්
.

විසඳුමක්. , .

පිළිතුර.
.

උදාහරණය 4 ... ප්රකාශනයේ තේරුම සොයන්න
.

විසඳුමක්. ...

පිළිතුර.
.

, නම්
හා
... පිළිතුර. -0.2

2. සොයන්න , නම්
හා
... පිළිතුර. 0,4

, නම් . පිළිතුර. -12.88

සොයන්න

, නම්
... පිළිතුර. -0.84

... පිළිතුර. 6

1.2.ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන සරල කිරීමට කාර්යයන්. බලහත්කාර සූත්‍ර සිසුන් විසින් හොඳින් ප්‍රගුණ කළ යුතුය, මන්ද ඔවුන් ජ්‍යාමිතිය, භෞතික විද්‍යාව සහ වෙනත් ආශ්‍රිත විෂයයන් පිළිබඳ පාඩම් වල වැඩිදුර යෙදුම සොයා ගනු ඇත.

උදාහරණ 5 . ප්‍රකාශන සරල කරන්න
.

විසඳුමක්. ...

පිළිතුර.
.

ස්වයං උපකාරක කාර්යයන්:

ප්රකාශනය සරල කරන්න
.

සොයන්න
, නම්
හා

ප්රකාශනයේ තේරුම සොයන්න
, නම්
.

1.3 සංඛ්‍යාත්මක ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීමේ කාර්යයන්.

සංඛ්‍යාත්මක ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන පරිවර්තනය කිරීම සඳහා කාර්යයන්හි කුසලතා සහ හැකියාවන් පුහුණු කිරීමේදී, ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල අගයන් වගුව, ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල සමානාත්මතාවයේ ගුණාංග සහ ආවර්තිතා පිළිබඳ දැනුම කෙරෙහි ඔබ අවධානය යොමු කළ යුතුය.

අ) සමහර කෝණ සඳහා ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල නියම අගයන් භාවිතා කිරීම.

උදාහරණය 6 ... ගණනය කරන්න
.

විසඳුමක්.
.

පිළිතුර.
.

b) සමානාත්මතා ගුණාංග භාවිතා කිරීම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත.

උදාහරණ 7 ... ගණනය කරන්න
.

විසඳුමක්. .

පිළිතුර.

v) ආවර්තිතා ගුණාංග භාවිතා කිරීමත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත.

උදාහරණ 8 . ප්රකාශනයේ තේරුම සොයන්න
.

විසඳුමක්. ...

පිළිතුර.
.

ස්වයං උපකාරක කාර්යයන්:

ප්රකාශනයේ තේරුම සොයන්න
.

2. ප්රකාශනයේ තේරුම සොයන්න
.

3. ප්රකාශනයේ තේරුම සොයන්න
. පිළිතුර. 6

.

1.4 මිශ්ර පැවරුම්.

සහතික කිරීමේ පරීක්ෂණ ආකෘතිය ඉතා වැදගත් ලක්ෂණ ඇත, එබැවින් එකවර ත්රිකෝණමිතික සූත්ර කිහිපයක් භාවිතා කිරීම හා සම්බන්ධ කාර්යයන් කෙරෙහි අවධානය යොමු කිරීම වැදගත් වේ.

උදාහරණ 9. සොයන්න
, නම්
.

විසඳුමක්.
.

පිළිතුර.
.

උදාහරණ 10 ... සොයන්න
, නම්
හා
.

විසඳුමක්. .

නිසා , එවිට
.

පිළිතුර.
.

උදාහරණ 11. සොයන්න
, නම් .

විසඳුමක්. , ,
,
,
,
,
.

පිළිතුර.

උදාහරණ 12. ගණනය කරන්න
.

විසඳුමක්. .

පිළිතුර.
.

උදාහරණ 13. ප්රකාශනයේ තේරුම සොයන්න
, නම්
.

විසඳුමක්. .

පිළිතුර.
.

ස්වයං උපකාරක කාර්යයන්:

සොයන්න
, නම්
.

සොයන්න
, නම්
.

3. සොයන්න
, නම් .

4. ප්රකාශනයේ තේරුම සොයන්න
, නම්
.

5. ප්රකාශනයේ තේරුම සොයන්න
, නම්
.

පරිච්ඡේදය 2. "ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශනවල පරිවර්තනය" යන මාතෘකාවේ අවසාන පුනරාවර්තනය සංවිධානය කිරීමේ ක්‍රමවේදයන්.

අධ්‍යයන කාර්ය සාධනය තවදුරටත් වැඩිදියුණු කිරීම සඳහා දායක වන වැදගත්ම කරුණක් නම්, සිසුන් අතර ගැඹුරු හා කල්පවත්නා දැනුමක් සාක්ෂාත් කර ගැනීමයි, කලින් සමත් වූ ද්‍රව්‍ය පුනරාවර්තනය කිරීමේ ප්‍රශ්නය. පුහුණුවීම්වලින් පෙනී යන්නේ 10 ශ්‍රේණියේ තේමාත්මක පුනරාවර්තනයක් සංවිධානය කිරීම වඩාත් සුදුසු බවයි; 11 ශ්‍රේණියේ - අවසාන පුනරාවර්තනය.

2.1 10 ශ්‍රේණියේ තේමාත්මක පුනරාවර්තනය.

විශේෂයෙන්ම ගණිතමය ද්රව්ය මත වැඩ කිරීමේ ක්රියාවලියේදී විශාල වැදගත්කමක්සම්පූර්ණ කරන ලද එක් එක් මාතෘකාවේ පුනරාවර්තනයක් හෝ පාඨමාලාවේ සම්පූර්ණ කොටස ලබා ගනී.

තේමාත්මක පුනරාවර්තනය සමඟ, මාතෘකාවක් පිළිබඳ සිසුන්ගේ දැනුම එහි ඡේදයේ අවසාන අදියරේදී හෝ විවේකයකින් පසුව ක්‍රමානුකූල කර ඇත.

තේමාත්මක පුනරාවර්තනය සඳහා, විශේෂ පාඩම් වෙන් කරනු ලැබේ, එක් මාතෘකාවක ද්රව්ය සංකේන්ද්රනය කර සාමාන්යකරණය කරනු ලැබේ.

පාඩමෙහි පුනරාවර්තනය සිදු කරනු ලබන්නේ මෙම සංවාදයේ සිසුන්ගේ පුළුල් සහභාගීත්වය සමඟ සංවාදයක් මගිනි. ඊට පසු, නිශ්චිත මාතෘකාවක් නැවත නැවත කිරීමට සිසුන්ගෙන් ඉල්ලා සිටින අතර පරීක්ෂණ කටයුතු සිදු කරන බවට අනතුරු අඟවයි.

මාතෘකාවක් පිළිබඳ පරීක්ෂණයකට එහි මූලික ප්‍රශ්න සියල්ල ඇතුළත් විය යුතුය. කාර්යය සම්පූර්ණ කිරීමෙන් පසු, ලාක්ෂණික දෝෂ විශ්ලේෂණය කර ඒවා ඉවත් කිරීම සඳහා පුනරාවර්තනය සංවිධානය කරනු ලැබේ.

තේමාත්මක පුනරාවර්තනයේ පාඩම් සඳහා, අපි සංවර්ධිත දේ ඉදිරිපත් කරමු පරීක්ෂණ පත්රිකාමාතෘකාව මත "ත්රිකෝණමිතික ප්රකාශන පරිවර්තනය"

පරීක්ෂණ අංක 1

පරීක්ෂණ අංක 2

පරීක්ෂණ අංක 3

පිළිතුරු වගුව

පරීක්ෂණය

2.2 11 ශ්‍රේණියේ අවසාන පුනරාවර්තනය.

අවසාන පුනරාවර්තනය ගණිත පාඨමාලාවේ ප්රධාන ගැටළු අධ්යයනය කිරීමේ අවසන් අදියරේදී සිදු කරනු ලබන අතර මෙම කොටස හෝ සමස්තයක් වශයෙන් පාඨමාලා සඳහා අධ්යාපනික ද්රව්ය අධ්යයනය කිරීම සමඟ තාර්කික සම්බන්ධතාවයක් තුළ සිදු කරනු ලැබේ.

පුහුණු ද්රව්යයේ අවසාන පුනරාවර්තනය පහත සඳහන් ඉලක්ක ඇත:

1. එහි තාර්කික ව්‍යුහය පැහැදිලි කිරීම සහ විෂය සහ අන්තර් විෂය සම්බන්ධතා තුළ පද්ධතියක් ගොඩනැගීම සඳහා සම්පූර්ණ පුහුණු පාඨමාලාවේ ද්‍රව්‍ය සක්‍රීය කිරීම.

2. පුනරාවර්තන ක්රියාවලියේදී පාඨමාලාවේ ප්රධාන ගැටළු පිළිබඳව සිසුන්ගේ දැනුම ගැඹුරු කිරීම සහ, හැකි නම්, පුළුල් කිරීම.

සියලුම උපාධිධාරීන් සඳහා අනිවාර්ය ගණිත විභාගයක් ලබා දී ඇති හෙයින්, USE ක්‍රමානුකූලව හඳුන්වාදීම ගුරුවරුන්ට පාඩම් සකස් කිරීම සහ බෙදා හැරීම සඳහා නව ප්‍රවේශයක් ගැනීමට බල කරයි, සියලු පාසල් සිසුන් මූලික මට්ටමින් අධ්‍යාපනික ද්‍රව්‍ය ප්‍රගුණ කිරීම සහතික කිරීමේ අවශ්‍යතාවය සැලකිල්ලට ගනිමින්. විශ්ව විද්‍යාලයකට ඇතුළත් වීම සඳහා ඉහළ ලකුණු ලබා ගැනීමට උනන්දුවක් දක්වන අභිප්‍රේරිත සිසුන්ට ඇති අවස්ථාව, උසස් හා ඉහළ මට්ටමකින් ද්‍රව්‍ය ප්‍රගුණ කිරීමේ ගතික ප්‍රගතිය.

අවසාන පුනරාවර්තනයේ පාඩම් වලදී, ඔබට පහත සඳහන් කාර්යයන් සලකා බැලිය හැකිය:

විසඳුමක්. =
= =
=
=
=
=0,5.

ප්‍රකාශනයට ගත හැකි විශාලතම පූර්ණ සංඛ්‍යා අගය සඳහන් කරන්න
.

විසඳුමක්. නිසා
ඛණ්ඩයට අයත් ඕනෑම අගයක් ගත හැක [–1; 1], පසුව
කොටසේ ඕනෑම අගයක් ගනී [–0.4; 0.4], එබැවින්. ප්‍රකාශනයේ පූර්ණ සංඛ්‍යා අගය එකකි - අංක 4.

ප්රකාශනය සරල කරන්න
.

විසඳුම: කැටවල එකතුව සාධක කිරීම සඳහා සූත්‍රය භාවිතා කරමු:. අපිට තියෙනවා

අපිට තියෙනවා:
.

පිළිතුර: 1

උදාහරණය 4. ගණනය කරන්න
.

විසඳුමක්. ...

පිළිතුර: 0.28

අවසාන පුනරාවර්තනයේ පාඩම් සඳහා, අපි "ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශනවල පරිවර්තනය" යන මාතෘකාව මත සංවර්ධිත පරීක්ෂණ ඉදිරිපත් කරමු.

කරුණාකර 1 නොඉක්මවන විශාලතම පූර්ණ සංඛ්‍යාව ඇතුළත් කරන්න

නිගමනය.

මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ අදාළ ක්රමවේදය සාහිත්යය හරහා වැඩ කිරීමෙන්, පාසල් ගණිත පාඨමාලාවේ ත්රිකෝණමිතික පරිවර්තනයන් සම්බන්ධ කාර්යයන් විසඳීමට ඇති හැකියාව සහ කුසලතා ඉතා වැදගත් බව අපට නිගමනය කළ හැකිය.

සිදු කරන ලද කාර්යයේ දී, කාර්යයන් B7 වර්ගීකරණය සිදු කරන ලදී. 2012 CMM වල බහුලව භාවිතා වන ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර සැලකේ. විසඳුම් සහිත කාර්යයන් සඳහා උදාහරණ ලබා දී ඇත. විභාගය සඳහා සූදානම් වීමේ දී දැනුම පුනරාවර්තනය කිරීම සහ ක්‍රමානුකූල කිරීම සංවිධානය කිරීම සඳහා වෙනස් කළ හැකි පරීක්ෂණ සංවර්ධනය කරන ලදී.

සලකා බැලීමෙන් ආරම්භ කරන ලද කාර්යය දිගටම කරගෙන යාම සුදුසුය කාර්ය B5 හි සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල විසඳුම, B14 කාර්යයේ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අධ්‍යයනය කිරීම, කාර්ය B12, භෞතික සංසිද්ධි විස්තර කරන සහ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අඩංගු සූත්‍ර අඩංගු වේ.

අවසාන වශයෙන්, විභාගය සමත් වීමේ ඵලදායිතාවය බොහෝ දුරට තීරණය වන්නේ, සියලුම අධ්‍යාපන මට්ටම්වල, සියලු වර්ගවල සිසුන් සමඟ සූදානම් වීමේ ක්‍රියාවලිය කෙතරම් ඵලදායි ලෙස සංවිධානය කර ඇත්ද යන්න මත බව සටහන් කිරීමට කැමැත්තෙමි. සිසුන්ගේ ස්වාධීනත්වය, වගකීම සහ ඔවුන්ගේ පසුකාලීන ජීවිත කාලය පුරාම ඉගෙනීමට ඇති සූදානම සැකසීමට අප සමත් වුවහොත්, අපි රාජ්‍යයේ සහ සමාජයේ අනුපිළිවෙල ඉටු කරනවා පමණක් නොව, අපගේම ආත්ම අභිමානය ද ඉහළ නංවන්නෙමු.

ඉගැන්වීමේ ද්රව්ය පුනරාවර්තනය කිරීම සඳහා ගුරුවරයාගෙන් නිර්මාණාත්මක කාර්යයක් අවශ්ය වේ. ඔහු පුනරාවර්තන වර්ග අතර පැහැදිලි සම්බන්ධතාවයක් සැපයිය යුතුය, ගැඹුරින් සිතා බලා පුනරාවර්තන පද්ධතියක් ක්රියාත්මක කළ යුතුය. පුනරාවර්තනය සංවිධානය කිරීමේ කලාව ප්‍රගුණ කිරීම ගුරුවරයාගේ කාර්යයකි. සිසුන්ගේ දැනුමේ ශක්තිය බොහෝ දුරට එහි විසඳුම මත රඳා පවතී.

සාහිත්යය.

Vygodsky Ya.Ya., මූලික ගණිතයේ අත්පොත. - එම්.: Nauka, 1970.

වීජ ගණිතයේ වැඩි දුෂ්කරතා සහ විශ්ලේෂණයේ මූලධර්ම: ද්විතියික පාසලේ 10-11 ශ්රේණි සඳහා පෙළපොත / බී.එම්. ඉව්ලෙව්, ඒ.එම්. Abramov, Yu.P. ඩඩ්නිට්සින්, එස්.අයි. ෂ්වාස්බර්ඩ්. - එම්.: අධ්‍යාපනය, 1990.

ප්‍රකාශන පරිවර්තනය සඳහා මූලික ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර යෙදීම (10 වැනි ශ්‍රේණිය) // අධ්‍යාපනික අදහස් උළෙල. 2012-2013.

A.G. කොරියානොව් , Prokofiev A.A. අපි විභාගය සඳහා හොඳ සිසුන් සහ විශිෂ්ට සිසුන් සූදානම් කරමු. - M .: Pedagogical University "සැප්තැම්බර් පළමු", 2012. - 103 පි.

කුස්නෙට්සෝවා ඊ.එන්.ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන සරල කිරීම. ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම විවිධ ක්රම(විභාගය සඳහා සූදානම් වීම). 11 වන ශ්රේණියේ. 2012-2013.

Kulanin E. D. 3000 ගණිතයේ තරඟ ගැටළු. 4 වන ඔවුන්., Rev. සහ එකතු කරන්න. - එම්.: රෝල්ෆ්, 2000.

මොර්ඩ්කොවිච් ඒ.ජී. ද්විතීයික පාසලේ ත්‍රිකෝණමිතිය හැදෑරීමේ ක්‍රමවේද ගැටළු // පාසලේ ගණිතය. 2002. අංක 6.

පිචුරින් එල්.එෆ්. ත්රිකෝණමිතිය ගැන සහ ඒ ගැන පමණක් නොවේ: -එම්. අධ්යාපනය, 1985

රෙෂෙට්නිකොව් එන්.එන්. පාසලේ ත්‍රිකෝණමිතිය: - එම්. : Pedagogical University "සැප්තැම්බර් පළමු", 2006, lk 1.

Shabunin M.I., Prokofiev A.A. ගණිතය. වීජ ගණිතය. ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ ආරම්භය පැතිකඩ මට්ටම: 10 ශ්‍රේණිය සඳහා පෙළපොත - M .: BINOM. දැනුම රසායනාගාරය, 2007.

විභාගයට සූදානම් වීම සඳහා අධ්‍යාපනික ද්වාරය.

ගණිතයේ විභාගයට සූදානම් වෙමින් "අනේ මේ ත්‍රිකෝණමිතිය! http://festival.1september.ru/articles/621971/

ව්යාපෘතිය "ගණිතය? පහසු !!!" http://www.resolventa.ru/

කොටස්: ගණිතය

පන්තිය: 11

පාඩම 1

තේමාව: 11 ශ්‍රේණිය (විභාගයට සූදානම් වීම)

ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන සරල කිරීම.

සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම. (පැය 2)

ඉලක්ක:

• ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර භාවිතය සහ සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල විසඳුම හා සම්බන්ධ සිසුන්ගේ දැනුම හා කුසලතා ක්‍රමානුකූල කිරීම, සාමාන්‍යකරණය කිරීම, පුළුල් කිරීම.

පාඩම සඳහා උපකරණ:

පාඩම් ව්යුහය:

1. සංවිධානාත්මක මොහොත
2. ලැප්ටොප් මත පරීක්ෂා කිරීම. ප්රතිඵල පිළිබඳ සාකච්ඡාව.
3. ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන සරල කිරීම
4. සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම
5. ස්වාධීන වැඩ.
6. පාඩම් සාරාංශය. නිවසේ පැවරුම පැහැදිලි කිරීම.

1. සංවිධානාත්මක මොහොත. (මිනිත්තු 2.)

ගුරුවරයා සබයට ආචාර කරයි, පාඩමේ මාතෘකාව නිවේදනය කරයි, ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර පුනරුච්චාරණය කිරීමට කලින් ලබා දුන් කාර්යය ඔවුන්ට මතක් කර දෙයි, සහ සිසුන් පරීක්ෂා කිරීම සඳහා සකස් කරයි.

2. පරීක්ෂා කිරීම. (විනාඩි 15 + මිනිත්තු 3 සාකච්ඡාව)

ඉලක්කය වන්නේ ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර පිළිබඳ දැනුම සහ ඒවා යෙදීමේ හැකියාව පරීක්ෂා කිරීමයි. සෑම සිසුවෙකුටම ඔහුගේ මේසය මත පරීක්ෂණ අනුවාදයක් සහිත ලැප්ටොප් එකක් තිබේ.

ඔබ කැමති තරම් විකල්ප තිබිය හැකිය, මම ඒවායින් එකක් සඳහා උදාහරණයක් දෙන්නෙමි:

විකල්පය I.

ප්‍රකාශන සරල කරන්න:

a) මූලික ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතා

1.sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

ආ) එකතු කිරීමේ සූත්ර

3.sin5x - sin3x;

ඇ) නිෂ්පාදිතය එකතුවක් බවට පරිවර්තනය කිරීම

6.2sin8y සුවපහසු;

ඈ) ද්විත්ව කෝණ සූත්ර

7.2sin5x cos5x;

e) අර්ධ කෝණ සූත්ර

f) ත්රිත්ව කෝණ සූත්ර

g) විශ්වීය ආදේශනය

h) උපාධිය අඩු කිරීම

16.cos 2 (3x / 7);

ලැප්ටොප් එකක සිටින සිසුන් එක් එක් සූත්‍රයට විරුද්ධ ඔවුන්ගේ පිළිතුරු දකිති.

කාර්යය ක්ෂණිකව පරිගණකය විසින් පරීක්ෂා කරනු ලැබේ. ප්‍රතිඵල සියල්ලන්ටම පෙනෙන පරිදි විශාල තිරයක දර්ශනය වේ.

එසේම, කාර්යය අවසන් වූ පසු, සිසුන්ගේ ලැප්ටොප් පරිගණකවල නිවැරදි පිළිතුරු පෙන්වයි. සෑම සිසුවෙකුටම වැරැද්ද සිදු වූයේ කොතැනද සහ ඔහුට නැවත කිරීමට අවශ්‍ය සූත්‍ර මොනවාදැයි දකී.

3. ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන සරල කිරීම. (විනාඩි 25)

මූලික ත්‍රිකෝණමිතිය සූත්‍රවල යෙදුම සමාලෝචනය කිරීම, පුහුණු කිරීම සහ ඒකාබද්ධ කිරීම ඉලක්කයයි. විභාගයෙන් B7 ගැටළු විසඳීම.

මෙම අදියරේදී, ගුරුවරයා සමඟ වැඩ කරන ශක්තිමත් (පසුකාලීන සත්යාපනය සමඟ ස්වාධීනව වැඩ කරන්න) සහ දුර්වල සිසුන්ගේ කණ්ඩායම් වලට පන්තිය බෙදීම යෝග්ය වේ.

ශක්තිමත් ඉගෙන ගන්නන් සඳහා පැවරුම (මුද්‍රිත පදනමක් මත කල්තියා සූදානම් කර ඇත). USE 2011 ට අනුව ප්‍රධාන අවධාරනය වන්නේ අඩු කිරීමේ සහ ද්විත්ව කෝණයේ සූත්‍ර මතය.

ප්‍රකාශන සරල කරන්න (ශක්තිමත් ඉගෙන ගන්නන් සඳහා):

සමාන්තරව, ගුරුවරයා දුර්වල සිසුන් සමඟ වැඩ කරයි, සිසුන්ගේ නියෝගය යටතේ තිරය මත කාර්යයන් සාකච්ඡා කිරීම සහ විසඳීම.

ගණනය කරන්න:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

6)

සරල කරන්න:

එය ශක්තිමත් කණ්ඩායමේ කාර්යයේ ප්රතිඵල පිළිබඳ සාකච්ඡාවේ වාරය විය.

පිළිතුරු තිරය මත දිස්වන අතර, වීඩියෝ කැමරාවක් ආධාරයෙන්, විවිධ සිසුන් 5 දෙනෙකුගේ කෘති ප්රදර්ශනය කෙරේ (එක් එක් කාර්යය සඳහා එක් කාර්යයක්).

දුර්වල කණ්ඩායම විසඳුමේ තත්ත්වය සහ ක්රමය දකියි. සාකච්ඡා සහ විශ්ලේෂණය සිදු වෙමින් පවතී. තාක්ෂණික ක්රම භාවිතයෙන්, මෙය ඉක්මනින් සිදු වේ.

4. සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල විසඳුම. (විනාඩි 30.)

ඉලක්කය වන්නේ සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල විසඳුම නැවත නැවත කිරීම, ක්‍රමානුකූල කිරීම සහ සාමාන්‍යකරණය කිරීම, ඒවායේ මූලයන් වාර්තා කිරීමයි. B3 ගැටලුවට විසඳුම.

ඕනෑම ත්රිකෝණමිතික සමීකරණය, අපි එය විසඳන ආකාරය කුමක් වුවත්, සරලම දේ වෙත යොමු කරයි.

පැවරුම සම්පූර්ණ කරන විට, විශේෂිත අවස්ථාවන්හි සමීකරණවල මූලයන් වාර්තා කිරීම සහ සාමාන්ය ආකෘතිය සහ අවසාන සමීකරණයේ මූලයන් තෝරාගැනීම සඳහා සිසුන් යොමු කළ යුතුය.

සමීකරණ විසඳන්න:

ප්‍රතිචාර වශයෙන් කුඩාම ධන මූලය ලියන්න.

5. ස්වාධීන වැඩ (විනාඩි 10)

ඉලක්කය වන්නේ අත්පත් කරගත් කුසලතා පරීක්ෂා කිරීම, ගැටළු හඳුනා ගැනීම, දෝෂ සහ ඒවා ඉවත් කිරීම සඳහා ක්රම.

ශිෂ්‍යයාගේ තේරීම අනුව විවිධ මට්ටමේ වැඩ පිරිනමනු ලැබේ.

"3" සඳහා විකල්පය

1) ප්‍රකාශනයක අගය සොයන්න

2) 1 - sin 2 3α - cos 2 3α ප්‍රකාශනය සරල කරන්න

3) සමීකරණය විසඳන්න

"4" සඳහා විකල්පය

1) ප්‍රකාශනයක අගය සොයන්න

2) සමීකරණය විසඳන්න පිළිතුරේ කුඩාම ධන මූලය ලියන්න.

"5" සඳහා විකල්පය

1) tgα if සොයන්න

2) සමීකරණයේ මුල සොයන්න ඔබේ පිළිතුරේ කුඩාම ධනාත්මක මූලය ලියන්න.

6. පාඩම් සාරාංශය (විනාඩි 5)

ගුරුවරයා පාඩමේදී ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර පුනරාවර්තනය කර ඒකාබද්ධ කර ඇති බව සාරාංශ කරයි, සරලම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල විසඳුම.

දෙන ලද ගෙදර වැඩ(මුද්‍රිත පදනමක් මත කල්තියා සකස් කර ඇත) මීළඟ පාඩමේ ස්ථාන පරීක්ෂාවන් සමඟ.

සමීකරණ විසඳන්න:

9)

10) ඔබේ පිළිතුරේ කුඩාම ධන මූලය දක්වන්න.

සැසිය 2

තේමාව: 11 ශ්‍රේණිය (විභාගයට සූදානම් වීම)

ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා ක්රම. මූලයන් තෝරා ගැනීම. (පැය 2)

ඉලක්ක:

• විවිධ වර්ගවල ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම පිළිබඳ දැනුම සාමාන්‍යකරණය කිරීම සහ ක්‍රමානුකූල කිරීම.
• සිසුන්ගේ ගණිතමය චින්තනය වර්ධනය කිරීම ප්රවර්ධනය කිරීම, නිරීක්ෂණය කිරීම, සංසන්දනය කිරීම, සාමාන්යකරණය කිරීම, වර්ගීකරණය කිරීමේ හැකියාව.
• මානසික ක්‍රියාකාරකම් ක්‍රියාවලියේ දුෂ්කරතා මඟහරවා ගැනීමට, ස්වයං පාලනයට, ඔවුන්ගේ ක්‍රියාකාරකම් පිළිබඳ ස්වයං විමර්ශනයට සිසුන් දිරිමත් කරන්න.

පාඩම සඳහා උපකරණ: KRMu, සෑම සිසුවෙකුටම ලැප්ටොප්.

පාඩම් ව්යුහය:

1. සංවිධානාත්මක මොහොත
2. සාකච්ඡාව d / h සහ samot. අවසාන පාඩමේ වැඩ
3. ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා ක්රම නැවත නැවත කිරීම.
4. ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම
5. ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල මූලයන් තෝරාගැනීම.
6. ස්වාධීන වැඩ.
7. පාඩම් සාරාංශය. ගෙදර වැඩ.

1. සංවිධානාත්මක මොහොත (මිනිත්තු 2)

ගුරුවරයා සබයට ආචාර කරයි, පාඩමේ මාතෘකාව සහ වැඩ සැලැස්ම නිවේදනය කරයි.

2. අ) ගෙදර වැඩ පිළිබඳ සමාලෝචනය (විනාඩි 5)

ඉලක්කය වන්නේ ක්රියාත්මක කිරීම පරීක්ෂා කිරීමයි. වීඩියෝ කැමරාවක් ආධාරයෙන් එක් කාර්යයක් තිරය මත දර්ශනය වේ, ඉතිරිය ගුරුවරයාගේ චෙක්පත සඳහා තෝරා ගනු ලැබේ.

b) ස්වාධීන වැඩ විශ්ලේෂණය (විනාඩි 3)

ඉලක්කය වන්නේ වැරදි විශ්ලේෂණය කිරීම, ඒවා ජය ගැනීමට මාර්ග දැක්වීමයි.

තිරය ​​මත, පිළිතුරු සහ විසඳුම්, සිසුන්ට ඔවුන්ගේ වැඩ කලින් පවරා ඇත. විශ්ලේෂණය වේගයෙන් ඉදිරියට යයි.

3. ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා ක්‍රම නැවත නැවත කිරීම (මිනිත්තු 5)

ඉලක්කය වන්නේ ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා ක්රම සිහිපත් කිරීමයි.

ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම සඳහා ඔවුන් දන්නා ක්‍රම මොනවාදැයි සිසුන්ගෙන් විමසන්න. ඊනියා මූලික (නිතර භාවිතා කරන) ක්රම ඇති බව අවධාරණය කරන්න:

• විචල්ය ප්රතිස්ථාපනය,
• සාධකකරණය,
• සමජාතීය සමීකරණ,

සහ ව්යවහාරික ක්රම තිබේ:

• එකතුවක් නිෂ්පාදනයක් බවටත් නිෂ්පාදනයක් එකතුවක් බවටත් පරිවර්තනය කිරීමේ සූත්‍ර අනුව,
• උපාධි අඩු කිරීමේ සූත්‍ර මගින්,
• විශ්වීය ත්රිකෝණමිතික ආදේශනය
• සහායක කෝණයක් හඳුන්වාදීම,
• සමහරක් විසින් ගුණ කිරීම ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතය.

එක් සමීකරණයක් විවිධ ආකාරවලින් විසඳිය හැකි බව ද මතක තබා ගත යුතුය.

4. ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ විසඳීම (විනාඩි 30)

ඉලක්කය වන්නේ මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ දැනුම සහ කුසලතා සාමාන්‍යකරණය කිරීම සහ ඒකාබද්ධ කිරීම, විභාගයෙන් C1 තීරණය සඳහා සූදානම් වීමයි.

සිසුන් සමඟ එක්ව එක් එක් ක්‍රමය සඳහා සමීකරණ විසඳීම සුදුසු යැයි මම සලකමි.

ශිෂ්‍යයා තීරණය නියම කරයි, ගුරුවරයා එය ටැබ්ලටයේ ලියා තබයි, සම්පූර්ණ ක්‍රියාවලිය තිරය මත පෙන්වයි. කලින් ආවරණය කරන ලද ද්රව්ය ඉක්මනින් හා කාර්යක්ෂමව සිහිපත් කිරීමට මෙය ඔබට ඉඩ සලසයි.

සමීකරණ විසඳන්න:

1) 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0 විචල්‍යයේ වෙනසක්

2) සාධකකරණය 3cos (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) = 0

3) සමජාතීය සමීකරණ පව් 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) එකතුව cos5x + cos7x = cos (π + 6x) නිෂ්පාදනයට පරිවර්තනය කිරීම

5) නිෂ්පාදනය 2sinx sin2x + cos3x = 0 එකතුවට පරිවර්තනය කිරීම

6) sin2x බලය අඩු කිරීම - sin 2 2x + sin 2 3x = 0.5

7) විශ්ව ත්‍රිකෝණමිතික ආදේශනය sinx + 5cosx + 5 = 0.

මෙම සමීකරණය විසඳන විට, භාවිතා කරන බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය මෙම ක්රමයසයින් සහ කොසයින් tg (x / 2) මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය වන බැවින්, අර්ථ දැක්වීමේ වසම පටු වීමක් ඇති කරයි. එමනිසා, පිළිතුර ලිවීමට පෙර, π + 2πn, n Z කට්ටලයේ අංක මෙම සමීකරණයේ අශ්වයන් දැයි ඔබ පරීක්ෂා කළ යුතුය.

8) සහායක කෝණයක් හඳුන්වාදීම √3sinx + cosx - √2 = 0

9) යම් ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයකින් ගුණ කිරීම cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණවල මූලයන් තෝරාගැනීම (මිනිත්තු 20)

විශ්ව විද්‍යාලවලට ඇතුළුවීමේදී දැඩි තරඟකාරී තත්වයන් යටතේ, විභාගයේ පළමු කොටස විසඳීම ප්‍රමාණවත් නොවන බැවින්, බොහෝ සිසුන් දෙවන කොටසේ (C1, C2, C3) කාර්යයන් කෙරෙහි අවධානය යොමු කළ යුතුය.

එමනිසා, පාඩමෙහි මෙම අදියරෙහි අරමුණ වන්නේ 2011 දී ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයෙන් C1 ගැටළුව විසඳීම සඳහා සූදානම් වීම සඳහා කලින් අධ්යයනය කරන ලද ද්රව්ය සිහිපත් කිරීමයි.

පිළිතුරක් ලිවීමේදී මූලයන් තෝරාගත යුතු ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ ඇත. මෙය සමහර සීමා කිරීම් නිසා ය, උදාහරණයක් ලෙස: භාගයේ හරය ශුන්‍ය නොවේ, ඉරට්ටේ බලයේ මූලය යටතේ ප්‍රකාශනය ඍණාත්මක නොවේ, ලඝුගණකයේ ලකුණ යටතේ ප්‍රකාශනය ධනාත්මක ය, යනාදිය.

එවැනි සමීකරණ වැඩි සංකීර්ණත්වයේ සමීකරණ ලෙස සැලකේ විභාගයේ අනුවාදයදෙවන කොටසේ ඇත, එනම් C1.

සමීකරණය විසඳන්න:

එසේ නම් භාගය ශුන්‍ය වේ ඒකක කවය භාවිතා කරමින්, අපි මූලයන් තෝරා ගනිමු (රූපය 1 බලන්න)

පින්තූරය 1.

අපට x = π + 2πn, n Z ලැබේ

පිළිතුර: π + 2πn, n Z

තිරය ​​මත, මූලයන් තෝරාගැනීම වර්ණ රූපයක රවුමක දැක්වේ.

අවම වශයෙන් එක් සාධකයක් ශුන්‍යයට සමාන වන විට නිෂ්පාදිතය ශුන්‍යයට සමාන වන අතර චාපය මේ අවස්ථාවේ දී එහි අර්ථය නැති නොවේ. ඉන්පසු

ඒකක කවය භාවිතා කරමින්, මූලයන් තෝරන්න (රූපය 2 බලන්න)

රූපය 2.

5)

අපි පද්ධතියට යමු:

පද්ධතියේ පළමු සමීකරණයේදී, අපි වෙනස් කිරීමේ ලොගය 2 (සින්ක්ස්) = y බවට පත් කරමු, එවිට අපට සමීකරණය ලැබේ. , පද්ධතිය වෙත ආපසු

ඒකක කවය භාවිතා කරමින් මූලයන් තෝරන්න (රූපය 5 බලන්න),

රූපය 5.

6. ස්වාධීන වැඩ (විනාඩි 15)

ඉලක්කය වන්නේ ද්රව්යයේ උකහා ගැනීම තහවුරු කිරීම සහ පරීක්ෂා කිරීම, දෝෂ හඳුනා ගැනීම, ඒවා නිවැරදි කිරීමට ක්රම ගෙනහැර දැක්වීමයි.

සිසුන් තෝරා ගැනීම සඳහා මුද්‍රිත පදනමක් මත කල්තියා සකස් කරන ලද වැඩ අනුවාද තුනකින් ඉදිරිපත් කෙරේ.

ඔබට ඕනෑම ආකාරයකින් සමීකරණ විසඳා ගත හැකිය.

"3" සඳහා විකල්පය

සමීකරණ විසඳන්න:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

"4" සඳහා විකල්පය

සමීකරණ විසඳන්න:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3) ලොග් 8 (cosx) = 0

"5" සඳහා විකල්පය

සමීකරණ විසඳන්න:

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. පාඩම් සාරාංශය, ගෙදර වැඩ (විනාඩි 5)

ගුරුවරයා පාඩම සාරාංශ කරයි, ත්රිකෝණමිතික සමීකරණය ක්රම කිහිපයකින් විසඳිය හැකි බව නැවත වරක් අවධානය යොමු කරයි. බොහෝ හොඳම මාර්ගයඉක්මන් ප්‍රතිඵලයක් ලබා ගැනීම සඳහා, එම ශිෂ්‍යයා විසින් වඩාත් හොඳින් ඉගෙන ගනු ලබන්නේ එයයි.

විභාගය සඳහා සූදානම් වන විට, සමීකරණ විසඳීම සඳහා සූත්ර සහ ක්රම ක්රමානුකූලව නැවත නැවතත් කළ යුතුය.

ගෙදර වැඩ (මුද්‍රිත පදනම මත කල්තියා සූදානම් කර ඇත) බෙදා හරින අතර සමහර සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳව අදහස් දක්වයි.

සමීකරණ විසඳන්න:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin (x / 6) - cos (x / 3) + 3 = 0

3) 4sin 2 x + sin2x = 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx) ලොග් 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx) ලොගය 7 (-tgx) = 0

11)

"ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන සරල කිරීම" වීඩියෝ පාඩම සැලසුම් කර ඇත්තේ මූලික ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතා භාවිතයෙන් ත්‍රිකෝණමිතික ගැටළු විසඳීම සඳහා සිසුන්ගේ කුසලතා වර්ධනය කිරීම සඳහා ය. වීඩියෝ පාඩම අතරතුර, ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතා වර්ග, ඒවා භාවිතා කිරීමේ ගැටළු විසඳීමේ උදාහරණ සලකා බලනු ලැබේ. දෘශ්‍ය ආධාරක භාවිතා කිරීමෙන් ගුරුවරයාට පාඩම් අරමුණු සාක්ෂාත් කර ගැනීම පහසු වේ. ද්රව්යයේ විචිත්රවත් ඉදිරිපත් කිරීම වැදගත් කරුණු මතක තබා ගැනීමට උපකාරී වේ. සජීවිකරණ බලපෑම් සහ ශබ්ද විකාශනය භාවිතා කිරීම ද්රව්යය පැහැදිලි කිරීමේ අදියරේදී ගුරුවරයා සම්පූර්ණයෙන්ම ප්රතිස්ථාපනය කිරීමට හැකි වේ. මේ අනුව, ගණිත පාඩම් වලදී මෙම දෘශ්‍ය ආධාරය භාවිතා කිරීමෙන් ගුරුවරයාට ඉගැන්වීමේ කාර්යක්ෂමතාව වැඩි කළ හැකිය.

වීඩියෝ පාඩම ආරම්භයේදී, එහි මාතෘකාව නිවේදනය කරනු ලැබේ. එවිට කලින් අධ්‍යයනය කළ ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතා නැවත කැඳවනු ලැබේ. තිරය ​​සමානතා sin 2 t + cos 2 t = 1, tg t = sin t / cos t, මෙහි kϵZ සඳහා t ≠ π / 2 + πk, ctg t = cos t / sin t, t ≠ πk සඳහා වලංගු වේ, මෙහි kϵZ, tg t · ctg t = 1, t ≠ πk / 2 සඳහා, kϵZ, මූලික ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතා ලෙස හැඳින්වේ. සමානාත්මතාවය ඔප්පු කිරීමට හෝ ප්‍රකාශනයක් සරල කිරීමට අවශ්‍ය වන ගැටළු විසඳීමේදී මෙම අනන්‍යතා බොහෝ විට භාවිතා වන බව සටහන් වේ.

තවද, ගැටළු විසඳීමේදී මෙම අනන්‍යතා යෙදීම පිළිබඳ උදාහරණ සලකා බලනු ලැබේ. පළමුව, ප්රකාශයන් සරල කිරීම සඳහා ගැටළු විසඳීම සලකා බැලීමට යෝජනා කෙරේ. උදාහරණ 1 හි, cos 2 t- cos 4 t + sin 4 t යන ප්‍රකාශනය සරල කිරීම අවශ්‍ය වේ. උදාහරණය විසඳීම සඳහා, පළමුව වරහන් වලින් පිටත පොදු සාධකය cos 2 t තබන්න. වරහන් තුළ එවැනි පරිවර්තනයක ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, 1- cos 2 t යන ප්‍රකාශනය ලබා ගන්නා අතර, ත්‍රිකෝණමිතියෙහි මූලික අනන්‍යතාවයෙන් එහි අගය sin 2 t ට සමාන වේ. ප්‍රකාශනය පරිවර්තනය කිරීමෙන් පසුව, තවත් එක් පොදු සාධකය sin 2 t වරහන් කළ හැකි බව පැහැදිලිය, ඉන්පසු ප්‍රකාශනය sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t) ආකාරය ගනී. එකම මූලික අනන්‍යතාවයෙන්, අපි වරහන් තුළ ප්‍රකාශනයේ අගය 1 ට සමාන කරමු. සරල කිරීමේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, අපි cos 2 t- cos 4 t + sin 4 t = sin 2 t ලබා ගනිමු.

උදාහරණ 2 ට ප්‍රකාශන පිරිවැය / (1- sint) + පිරිවැය / (1+ sint) සරල කිරීමට ද අවශ්‍ය වේ. ප්‍රකාශන පිරිවැය භාග දෙකෙහිම සංඛ්‍යාවල ඇති බැවින්, එය පොදු සාධකයක් ලෙස වරහන් කළ හැක. එවිට වරහන් තුළ ඇති භාග (1-සින්ට්) (1+ sint) ගුණ කිරීමෙන් පොදු හරයකට අඩු වේ. සංඛ්‍යාංකයේ එවැනි නියමයන් ගෙන ඒමෙන් පසු 2 ඉතිරිව ඇති අතර, හරයේ 1 - sin 2 t. තිරයේ දකුණු පැත්තේ, මූලික ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතා sin 2 t + cos 2 t = 1 මතක් කර ඇත. එය භාවිතා කරමින්, ටී 2 ක භාගයේ හරය අපට හමු වේ. භාගය අඩු කිරීමෙන් පසු, අපට ප්‍රකාශන පිරිවැය / (1- sint) + පිරිවැය / (1+ sint) = 2 / පිරිවැය යන සරල ආකාරයක් ලැබේ.

තවද, ත්‍රිකෝණමිතියේ මූලික අනන්‍යතා පිළිබඳ ලබාගත් දැනුම යෙදෙන අනන්‍යතා සාක්ෂි සඳහා උදාහරණ සලකා බලනු ලැබේ. උදාහරණ 3 හි, අනන්‍යතාවය ඔප්පු කිරීම අවශ්‍ය වේ (tg 2 t-sin 2 t) · ctg 2 t = sin 2 t. තිරයේ දකුණු පැත්තේ, සාධනය සඳහා අවශ්‍ය අනන්‍යතා තුනක් ප්‍රදර්ශනය කෙරේ - tg t · ctg t = 1, ctg t = cos t / sin t සහ tan t = sin t / cos t සීමා සහිතව. අනන්‍යතාවය ඔප්පු කිරීම සඳහා, පළමුව වරහන් විස්තාරණය කරනු ලැබේ, ඉන් පසුව ප්‍රධාන ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවයේ ප්‍රකාශනය පිළිබිඹු කරන නිෂ්පාදනයක් සාදනු ලැබේ tg t · ctg t = 1. ඉන්පසුව, කෝටැන්ජන්ට් නිර්වචනයේ අනන්‍යතාවයට අනුව, ctg 2 t පරිවර්තනය වේ. පරිවර්තනයන්හි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, ප්රකාශනය 1-cos 2 t ලබා ගනී. මූලික අනන්‍යතාවය භාවිතා කරමින්, අපි ප්‍රකාශනයේ තේරුම සොයා ගනිමු. මේ අනුව, (tan 2 t-sin 2 t) ctg 2 t = sin 2 t බව ඔප්පු වී ඇත.

උදාහරණ 4 හි, ඔබ tg t + ctg t = 6 නම් tg 2 t + ctg 2 t යන ප්‍රකාශනයේ අගය සොයා ගත යුතුය. ප්රකාශනය ගණනය කිරීම සඳහා, සමානාත්මතාවයේ දකුණු සහ වම් පැති (tg t + ctg t) 2 = 6 2 පළමුව වර්ග කර ඇත. සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්‍රය තිරයේ දකුණු පැත්තට සමාන වේ. ප්‍රකාශනයේ වම් පැත්තේ වරහන් ප්‍රසාරණය කිරීමෙන් පසුව, tg 2 t + 2 · tg t · ctg t + ctg 2 t එකතුව සාදනු ලැබේ, එහි පරිවර්තනය සඳහා tg t · ctg t = 1 ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතා වලින් එකක් විය හැක. යෙදිය යුතුය, එහි ආකෘතිය තිරයේ දකුණු පැත්තේ මතක් කර ඇත. පරිවර්තනයෙන් පසුව, සමානාත්මතාවය tg 2 t + ctg 2 t = 34 ලබා ගනී. සමානාත්මතාවයේ වම් පැත්ත ගැටලුවේ තත්වය සමග සමපාත වේ, එබැවින් පිළිතුර 34. ගැටළුව විසඳා ඇත.

"ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන සරල කිරීම" යන වීඩියෝ පාඩම සම්ප්‍රදායික පාසල් ගණිත පාඩමක භාවිතය සඳහා නිර්දේශ කෙරේ. එසේම, දුරස්ථ ඉගෙනීම සිදු කරන ගුරුවරයෙකුට ද්රව්ය ප්රයෝජනවත් වනු ඇත. ත්රිකෝණමිතික ගැටළු විසඳීමේ කුසලතා වර්ධනය කිරීම සඳහා.

පාඨ කේතය:

"ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන සරල කිරීම."

සමානාත්මතාවය

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sine වර්ග te සහ cosine වර්ග te එක සමාන වේ)

2) tgt =, t ≠ + πk සඳහා, kϵZ (ස්පර්ශක te යනු sine te සහ cosine te අනුපාතයට සමාන වේ, te pi ට සමාන නොවන විට pi ka, ka zet ට අයත් වේ)

3) ctgt =, t ≠ πk සඳහා, kϵZ (cotangent te යනු cosine te හි අනුපාතයට sine te ට සමාන වන විට te උපරිමයට සමාන නොවන විට ka zet ට අයත් වේ).

4) tgt ∙ ctgt = 1 සඳහා t ≠, kϵZ (ස්පර්ශක te සහ cotangent te හි ගුණිතය එකකට සමාන වේ නම්, te උපරිමයට සමාන නොවේ නම්, දෙකකින් බෙදීම, ka z ට අයත් වේ)

මූලික ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතා ලෙස හැඳින්වේ.

ඒවා බොහෝ විට ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන සරල කිරීමට සහ ඔප්පු කිරීමට යොදා ගනී.

ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන සරල කිරීමට මෙම සූත්‍ර භාවිතා කිරීමේ උදාහරණ බලමු.

උදාහරණ 1: ප්‍රකාශනය සරල කරන්න: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (ප්‍රකාශනය හතරවන අංශක කොසයින් ටී සහ සිව්වන අංශක සයින් ටී වලින් අඩු කරන ලද කෝසයින වර්ගයකි).

විසඳුමක්. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t ∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1 = sin 2 t

(අපි cosine වර්ග te යන පොදු සාධකය ඉවත් කරමු, වරහන් තුළ අපට cosine te හි ඒකකය සහ වර්ග අතර වෙනස ලැබේ, එය sine te හි වර්ගයට පළමු අනන්‍යතාවයෙන් සමාන වේ. අපට සයින් එකතුව ලැබේ නිෂ්පාදන cosine වර්ග te සහ sine වර්ග te යන නිෂ්පාදනයේ හතරවන උපාධියේ te. වරහන් තුළ, අපි cosine සහ sine යන වර්ගවල එකතුව ලබා ගනිමු, එය මූලික ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවයෙන් 1 ට සමාන වේ. ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි සයින් ටී හි චතුරස්රය ලබා ගන්න).

උදාහරණ 2: ප්‍රකාශනය සරල කරන්න: +.

(ප්‍රකාශනය ba යනු හරයේ පළමු cosine te හි සංඛ්‍යාවේ භාග දෙකේ එකතුව 1 සයින් te අඩු වේ, දෙවන cosine te හි අගයේ හරයේ දෙවන ඒකකය සහ sine te).

(අපි cosine te යන පොදු සාධකය වරහන් වලින් ඉවතට ගනිමු, සහ වරහන් තුළ අපි එය පොදු හරයට ගෙනෙමු, එය සයින් ටී එකක් සහ වන් ප්ලස් සයින් ටී හි ගුණිතය වේ.

අපට ලැබෙන සංඛ්‍යාංකයේ: one plus sine te plus one minus sine te, අපි සමාන ඒවා ලබා දෙමු, සංඛ්‍යාංකය සමාන ඒවායින් පසු දෙකකට සමාන වේ.

හරය තුළ, ඔබට සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ (වර්ගවල වෙනස) සූත්‍රය යෙදිය හැකි අතර, මූලික ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවයට අනුව, සයින් ටී හි ඒකකය සහ වර්ග අතර වෙනස ලබා ගත හැකිය.

කොසයින් ටී හි චතුරස්‍රයට සමාන වේ. cosine te මගින් අවලංගු කිරීමෙන් පසුව, අපට අවසාන පිළිතුර ලැබේ: දෙකක් cosine te මගින් බෙදනු ලැබේ).

ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශන ඔප්පු කිරීමේදී මෙම සූත්‍ර භාවිතා කිරීමේ උදාහරණ සලකා බලමු.

උදාහරණය 3. අනන්‍යතාවය ඔප්පු කරන්න (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (ස්පර්ශක te සහ sine te යන වර්ග අතර වෙනසෙහි ගුණිතය සහ cotangent te හි වර්ගය සමාන වේ සයින් ටී හි චතුරස්රය).

සාක්ෂි.

සමානාත්මතාවයේ වම් පැත්ත පරිවර්තනය කරමු:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 ටී = පාපය 2 ටී

(වරහන් විවෘත කරමු, කලින් ලබාගත් සම්බන්ධතාවයෙන් එය ස්පර්ශක te සහ cotangent te යන වර්ගවල ගුණිතය එකකට සමාන බව දන්නා කරුණකි. cotangent te යනු cosine te සහ sine අනුපාතයට සමාන බව මතක තබා ගන්න. te, එයින් අදහස් කරන්නේ කෝටැන්ජන්ට් වර්ගය යනු කොසයින් ටී සහ සයින් ටී හි වර්ගයෙහි අනුපාතය බවයි.

සයින් විසින් වර්ග te අවලංගු කිරීමෙන් පසුව, අපි වර්ග te හි ඒකක සහ කෝසයින් අතර වෙනස ලබා ගනිමු, එය වර්ග te හි සයිනයට සමාන වේ). Q.E.D.

උදාහරණ 4 tgt + ctgt = 6 නම් tg 2 t + ctg 2 t ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න.

(ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් වල එකතුව හය නම්, ස්පර්ශක te සහ cotangent te යන වර්ගවල එකතුව).

විසඳුමක්. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

මුල් සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තම වර්ග කරමු:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (ස්පර්ශක te සහ cotangent te හි එකතුවේ වර්ග හය වර්ග වේ). සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීම සඳහා වූ සූත්‍රය සිහිපත් කරන්න: ප්‍රමාණ දෙකක එකතුවේ වර්ගය, පළමු ප්‍රමාණයේ ගුණිතයේ ගුණිතයේ දෙගුණයක් සහ දෙවැන්නේ වර්ගයට සමාන වේ. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 අපට tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t = 36 (ස්පර්ශක වර්ග te සහ ස්පර්ශක te හි ද්විත්ව ගුණය සහ cotangent te සහ cotangent te plus cotangent වර්ග te 30 ට සමාන වේ. - හය) ...

ස්පර්ශක te සහ cotangent te වල ගුණිතය එකකට සමාන වන බැවින්, tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (ස්පර්ශක te සහ cotangent te සහ දෙකෙහි වර්ගවල එකතුව තිස් හයකි),