Dallimi i katrorëve
Le të nxjerrim formulën për diferencën e katrorëve $a^2-b^2$.
Për ta bërë këtë, mbani mend rregullin e mëposhtëm:
Nëse i shtojmë ndonjë monom shprehjes dhe zbresim të njëjtin monom, marrim identitetin e saktë.
Le t'i shtojmë shprehjes sonë dhe t'ia zbresim monomin $ab$:
Në total, marrim:
Kjo do të thotë, ndryshimi midis katrorëve të dy monomëve është i barabartë me produktin e ndryshimit të tyre dhe shumën e tyre.
Shembulli 1
Paraqisni si produkt $(4x)^2-y^2$
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\majtas(2x-y\djathtas)(2x+y)\]
Shuma e kubeve
Le të nxjerrim formulën për shumën e kubeve $a^3+b^3$.
Le të heqim faktorët e zakonshëm nga kllapat:
Le të marrim $\left(a+b\djathtas)$ nga kllapat:
Në total, marrim:
Kjo do të thotë, shuma e kubeve të dy monomëve është e barabartë me produktin e shumës së tyre dhe katrorin e pjesshëm të ndryshimit të tyre.
Shembulli 2
Paraqisni si produkt $(8x)^3+y^3$
Kjo shprehje mund të rishkruhet si më poshtë:
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
Duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve, marrim:
\[((2x))^3+y^3=\majtas(2x+y\djathtas)(4x^2-2xy+y^2)\]
Dallimi i kubeve
Le të nxjerrim formulën për diferencën e kubeve $a^3-b^3$.
Për ta bërë këtë, ne do të përdorim të njëjtin rregull si më sipër.
Le t'i shtojmë shprehjes sonë dhe t'i zbresim monomët $a^2b\ dhe\ (ab)^2$:
Le të heqim faktorët e zakonshëm nga kllapat:
Le të marrim $\left(a-b\right)$ nga kllapat:
Në total, marrim:
Kjo do të thotë, ndryshimi i kubeve të dy monomëve është i barabartë me produktin e ndryshimit të tyre me katrorin jo të plotë të shumës së tyre.
Shembulli 3
Paraqisni si produkt $(8x)^3-y^3$
Kjo shprehje mund të rishkruhet si më poshtë:
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
Duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve, marrim:
\[((2x))^3-y^3=\majtas(2x-y\djathtas)(4x^2+2xy+y^2)\]
Shembull i problemave duke përdorur formulat për ndryshimin e katrorëve dhe shumën dhe ndryshimin e kubeve
Shembulli 4
Faktorojeni atë.
a) $((a+5))^2-9$
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Zgjidhja:
a) $((a+5))^2-9$
\[((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
Duke zbatuar formulën e diferencës së katrorëve, marrim:
\[((a+5))^2-3^2=\majtas(a+5-3\djathtas)\majtas(a+5+3\djathtas)=\majtas(a+2\djathtas)(a +8)\]
Le ta shkruajmë këtë shprehje në formën:
Le të zbatojmë formulën e kubeve:
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Le ta shkruajmë këtë shprehje në formën:
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\majtas(\frac(1)(3)\djathtas))^3-x^3\]
Le të zbatojmë formulën e kubeve:
\[(\majtas(\frac(1)(3)\djathtas))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\djathtas)\majtas(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\djathtas)\]
Formulat ose rregullat e shkurtuara të shumëzimit përdoren në aritmetikë, më konkretisht në algjebër, për të përshpejtuar procesin e vlerësimit të shprehjeve të mëdha algjebrike. Vetë formulat rrjedhin nga rregullat ekzistuese në algjebër për shumëzimin e disa polinomeve.
Përdorimi i këtyre formulave ofron mjaftueshëm zgjidhje operative probleme të ndryshme matematikore, dhe gjithashtu ndihmon në thjeshtimin e shprehjeve. Rregullat e transformimeve algjebrike ju lejojnë të kryeni disa manipulime me shprehje, pas të cilave mund të merrni në anën e majtë të barazisë shprehjen në anën e djathtë, ose të transformoni anën e djathtë të barazisë (për të marrë shprehjen në anën e majtë pas shenjës së barazimit).
Është e përshtatshme të njihni formulat e përdorura për shumëzim të shkurtuar nga kujtesa, pasi ato shpesh përdoren në zgjidhjen e problemeve dhe ekuacioneve. Më poshtë janë formulat kryesore të përfshira në këtë listë dhe emrat e tyre.
Sheshi i shumës
Për të llogaritur katrorin e shumës, duhet të gjeni shumën që përbëhet nga katrori i termit të parë, dyfishi i produktit të termit të parë dhe i dyti dhe katrori i të dytës. Në formën e një shprehjeje, ky rregull shkruhet si më poshtë: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Diferenca në katror
Për të llogaritur katrorin e diferencës, duhet të llogaritni shumën që përbëhet nga katrori i numrit të parë, dyfishi i produktit të numrit të parë dhe i dyti (i marrë me shenjën e kundërt) dhe katrori i numrit të dytë. Në formën e një shprehjeje, ky rregull duket kështu: (a - c)² = a² - 2ac + c².
Dallimi i katrorëve
Formula për ndryshimin e dy numrave në katror është e barabartë me produktin e shumës së këtyre numrave dhe ndryshimin e tyre. Në formën e një shprehjeje, ky rregull duket kështu: a² - с² = (a + с)·(a - с).
Kub i shumës
Për të llogaritur kubin e shumës së dy termave, duhet të llogaritni shumën që përbëhet nga kubi i termit të parë, të trefishoni produktin e katrorit të termit të parë dhe të dytë, të trefishoni produktin e termit të parë dhe të dytë. në katror, dhe kubi i termit të dytë. Në formën e një shprehjeje, ky rregull duket kështu: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Shuma e kubeve
Sipas formulës, është e barabartë me produktin e shumës së këtyre termave dhe katrorin e tyre jo të plotë të diferencës. Në formën e një shprehjeje, ky rregull duket kështu: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).
Shembull.Është e nevojshme të llogaritet vëllimi i një figure të formuar duke shtuar dy kube. Dihen vetëm përmasat e anëve të tyre.
Nëse vlerat anësore janë të vogla, atëherë llogaritjet janë të thjeshta.
Nëse gjatësitë e anëve shprehen në numra të rëndë, atëherë në këtë rast është më e lehtë të përdoret formula "Shuma e kubeve", e cila do të thjeshtojë shumë llogaritjet.
Kubi i diferencës
Shprehja për ndryshimin kub tingëllon kështu: si shuma e fuqisë së tretë të termit të parë, trefishoni produktin negativ të katrorit të termit të parë me të dytin, trefishoni produktin e termit të parë me katrorin e të dytës dhe kubi negativ i termit të dytë. Në formën e një shprehjeje matematikore, kubi i diferencës duket kështu: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Dallimi i kubeve
Diferenca e formulës së kubeve ndryshon nga shuma e kubeve vetëm me një shenjë. Kështu, diferenca e kubeve është një formulë e barabartë me produktin e ndryshimit të këtyre numrave dhe katrorin e tyre jo të plotë të shumës. Në formë, ndryshimi i kubeve duket kështu: a 3 - c 3 = (a - c) (a 2 + ac + c 2).
Shembull.Është e nevojshme të llogaritet vëllimi i figurës që do të mbetet pas zbritjes së figurës vëllimore të verdhë, e cila është gjithashtu një kub, nga vëllimi i kubit blu. Dihet vetëm madhësia anësore e kubit të vogël dhe të madh.
Nëse vlerat anësore janë të vogla, atëherë llogaritjet janë mjaft të thjeshta. Dhe nëse gjatësitë e anëve shprehen në numra të konsiderueshëm, atëherë ia vlen të aplikoni formulën me titull "Diferenca e kubeve" (ose "Kubi i ndryshimit"), i cili do të thjeshtojë shumë llogaritjet.
Në mësimet e mëparshme, ne shikuam dy mënyra për të faktorizuar një polinom: vendosja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave dhe metodën e grupimit.
Në këtë mësim do të shikojmë një mënyrë tjetër për të faktorizuar një polinom duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit.
Ne ju rekomandojmë që të shkruani çdo formulë të paktën 12 herë. Për memorizimin më të mirë, shkruani të gjitha formulat e shkurtuara të shumëzimit në një fletë të vogël mashtrimi.
Le të kujtojmë se si duket ndryshimi i formulës së kubeve.
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)Dallimi i formulës së kubeve nuk është shumë i lehtë për t'u mbajtur mend, kështu që ju rekomandojmë të përdorni një metodë të veçantë për ta mbajtur mend atë.
Është e rëndësishme të kuptohet se çdo formulë e shkurtuar shumëzimi funksionon gjithashtu ana e kundërt.
(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3Le të shohim një shembull. Është e nevojshme të faktorizohet diferenca e kubeve.
Ju lutemi vini re se "27a 3" është "(3a) 3", që do të thotë se për ndryshimin e formulës së kubeve, në vend të "a" përdorim "3a".
Ne përdorim formulën e diferencës së kubeve. Në vend të "a 3" kemi "27a 3", dhe në vend të "b 3", si në formulë, është "b 3".
Zbatimi i diferencës së kubeve në drejtim të kundërt
Le të shohim një shembull tjetër. Ju duhet ta shndërroni produktin e polinomeve në diferencën e kubeve duke përdorur formulën e shkurtuar të shumëzimit.
Ju lutemi vini re se prodhimi i polinomeve "(x − 1) (x 2 + x + 1)" ngjan me anën e djathtë të diferencës së formulës së kubeve "", vetëm në vend të "a" ka "x" dhe në vend nga "b" ka "1" .
Për "(x − 1)(x 2 + x + 1)" përdorim ndryshimin e formulës së kubeve në drejtim të kundërt.
Le të shohim një shembull më të ndërlikuar. Kërkohet thjeshtimi i produktit të polinomeve.
Nëse krahasojmë "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)" me anën e djathtë dallimi i formulave të kubeve
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)”, atëherë mund të kuptoni se në vend të "a" nga kllapa e parë është "y 2", dhe në vend të "b" është "1".
Formulat e shkurtuara të shumëzimit.
Studimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit: katrori i shumës dhe katrori i ndryshimit të dy shprehjeve; dallimi i katrorëve të dy shprehjeve; kubi i shumës dhe kubi i ndryshimit të dy shprehjeve; shumat dhe dallimet e kubeve të dy shprehjeve.
Zbatimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit gjatë zgjidhjes së shembujve.
Për të thjeshtuar shprehjet, polinomet e faktorëve dhe për të reduktuar polinomet në formë standarde, përdoren formulat e shkurtuara të shumëzimit. Formulat e shkurtuara të shumëzimit duhet të njihen përmendësh.
Le të a, b R. Pastaj:
1. Katrori i shumës së dy shprehjeve është i barabartë me katrori i shprehjes së parë plus dyfishi i produktit të shprehjes së parë dhe i dyti plus katrori i shprehjes së dytë.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Katrori i diferencës së dy shprehjeve është i barabartë me katrorin e shprehjes së parë minus dyfishin e produktit të shprehjes së parë dhe të dytën plus katrorin e shprehjes së dytë.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Dallimi i katrorëve dy shprehje është e barabartë me produktin e ndryshimit të këtyre shprehjeve dhe shumën e tyre.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Kub i shumës dy shprehje është e barabartë me kubin e shprehjes së parë plus trefishin e produktit të katrorit të shprehjes së parë dhe të dytën plus trefishin e prodhimit të shprehjes së parë dhe katrorin e të dytës plus kubin e shprehjes së dytë.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Kubi i diferencës dy shprehje është e barabartë me kubin e shprehjes së parë minus trefishin e produktit të katrorit të shprehjes së parë dhe të dytën plus trefishin e produktit të shprehjes së parë dhe katrorin e të dytës minus kubin e shprehjes së dytë.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Shuma e kubeve dy shprehje është e barabartë me prodhimin e shumës së shprehjeve të parë dhe të dytë dhe katrorin jo të plotë të diferencës së këtyre shprehjeve.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Dallimi i kubeve dy shprehje është e barabartë me produktin e ndryshimit të shprehjes së parë dhe të dytë me katrorin jo të plotë të shumës së këtyre shprehjeve.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Zbatimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit gjatë zgjidhjes së shembujve.
Shembulli 1.
Llogaritni
a) Duke përdorur formulën për katrorin e shumës së dy shprehjeve, kemi
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Duke përdorur formulën për katrorin e diferencës së dy shprehjeve, marrim
98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604
Shembulli 2.
Llogaritni
Duke përdorur formulën për ndryshimin e katrorëve të dy shprehjeve, marrim
Shembulli 3.
Thjeshtoni një shprehje
(x - y) 2 + (x + y) 2
Le të përdorim formulat për katrorin e shumës dhe katrorin e diferencës së dy shprehjeve
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Formulat e shkurtuara të shumëzimit në një tabelë:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
