Një paraqitje gjeometrike ekspresive e sistemit të numrave racionalë mund të merret si më poshtë.
Oriz. 8. Boshti i numrave
Në një vijë të caktuar të drejtë, "boshtin e numrit", ne shënojmë segmentin nga 0 në 1 (Fig. 8). Kjo përcakton gjatësinë e një segmenti njësi, i cili, në përgjithësi, mund të zgjidhet në mënyrë arbitrare. Më pas, numrat e plotë pozitivë dhe negativë përshkruhen nga një grup pikash të barabarta në boshtin e numrave, domethënë, numrat pozitivë janë shënuar në të djathtë, dhe numrat negativë në të majtë të pikës 0. Për të përshkruar numrat me një emërues, ne ndajmë secilin prej segmentet rezultuese të gjatësisë së njësisë në pjesë të barabarta; Pikat e ndarjes do të përfaqësojnë thyesat me një emërues Nëse e bëjmë këtë për vlerat që korrespondojnë me të gjithë numrat natyrorë, atëherë çdo numër racional do të përshkruhet nga një pikë në boshtin e numrave. Ne do të biem dakord t'i quajmë këto pika "racionale"; Në përgjithësi, ne do të përdorim termat "numër racional" dhe "pikë racionale" si sinonime.
Në kapitullin I, § 1, u përcaktua marrëdhënia e pabarazisë për numrat natyrorë. Në boshtin numerik kjo marrëdhënie pasqyrohet si më poshtë: nëse numri natyror A është më e vogël se numri natyror B, atëherë pika A shtrihet në të majtë të pikës B. Meqenëse lidhja gjeometrike e treguar është vendosur për çdo çift pikash racionale, është e natyrshme të përpiqemi të përgjithësojmë relacionin e pabarazisë aritmetike në një mënyrë të tillë si për të ruajtur këtë renditje gjeometrike për pikat në shqyrtim. Kjo është e mundur nëse pranojmë përkufizimin e mëposhtëm: themi se një numër racional A është më i vogël se një numër racional ose se një numër B është më i madh se një numër nëse ndryshimi është pozitiv. Nga kjo rrjedh (në ) se pikat (numrat) ndërmjet janë ato që
njëkohësisht Çdo çift i tillë pikash, së bashku me të gjitha pikat ndërmjet tyre, quhet segment (ose segment) dhe shënohet (dhe bashkësia e pikave të ndërmjetme quhet vetëm një interval (ose interval), shënohet
Distanca e një pike arbitrare A nga origjina 0, e konsideruar si numër pozitiv, quhet vlerë absolute e A dhe shënohet me simbolin
Koncepti i "vlerës absolute" përcaktohet si më poshtë: nëse , atëherë nëse atëherë është e qartë se nëse numrat kanë të njëjtën shenjë, atëherë barazia është e vërtetë nëse ata kanë shenja të ndryshme, Kjo . Duke i bashkuar këto dy rezultate, arrijmë në pabarazinë e përgjithshme
e cila është e vërtetë pavarësisht nga shenjat
Një fakt me rëndësi thelbësore shprehet me fjalinë e mëposhtme: pikat racionale janë të vendosura dendur kudo në vijën numerike. Kuptimi i kësaj deklarate është se çdo interval, sado i vogël, përmban pika racionale. Për të verifikuar vlefshmërinë e pohimit të deklaruar, mjafton të merret një numër aq i madh sa intervali ( do të jetë më i vogël se intervali i dhënë; atëherë të paktën një nga pikat e formularit do të jetë brenda intervalit të dhënë. Pra, aty nuk është një interval i tillë në boshtin numerik (madje edhe ai më i vogli, që mund të imagjinohet), brenda të cilit nuk do të kishte asnjë pikë racionale numër i kufizuar i pikave racionale, atëherë brenda intervalit të formuar nga dy pika të tilla ngjitur, nuk do të kishte më pika racionale, dhe kjo bie ndesh me atë që sapo është vërtetuar.
Konceptet e "bashkësisë", "elementit", "përkatësisë së një elementi në një grup" janë konceptet kryesore të matematikës. Një tufë me- çdo koleksion (grumbullim) i ndonjë objekti .
A është një nëngrup i grupit B, nëse çdo element i grupit A është një element i grupit B, d.m.th. AÌB Û (ХОА Þ ХОВ).
Dy grupe janë të barabarta, nëse përbëhen nga të njëjtat elementë. Ne po flasim për barazinë teorike të grupeve (të mos ngatërrohet me barazinë midis numrave): A=B Û AÌB Ù VA.
Bashkimi i dy grupeve përbëhet nga elementë që i përkasin të paktën njërës prej grupeve, d.m.th. KHOAÈV Û KHOAÚ KHOV.
Kryqëzimi përbëhet nga të gjithë elementët që i përkasin njëkohësisht grupit A dhe grupit B: хоАХВ Û хоА Ù хоВ.
Diferenca përbëhet nga të gjithë elementët e A-së që nuk i përkasin B-së, d.m.th. xО A\B Û xОА ÙхПВ.
Produkt kartezian C=A´B e grupeve A dhe B është bashkësia e të gjitha çifteve të mundshme ( x, y), ku elementi i parë Xçdo çift përmban A, dhe elementin e tij të dytë në i përket V.
Një nëngrup F i produktit kartezian A´B quhet hartëzimi i grupit A në grupin B , nëse plotësohet kushti: (" X OA)($! çift ( x.y)ÎF). Në të njëjtën kohë ata shkruajnë: A V.
Termat "ekran" dhe "funksion" janë sinonime. Nëse ("хоА)($! уУВ): ( x, y)ОF, pastaj elementi nëÎ NË thirrur mënyrë X kur shfaqni F dhe shkruani kështu: në=F( X). Elementi X në të njëjtën kohë është prototip (një nga të mundshmet) elementi y.
Le të shqyrtojmë bashkësia e numrave racionalë Q - bashkësia e të gjithë numrave të plotë dhe bashkësia e të gjitha thyesave (pozitive dhe negative). Çdo numër racional mund të paraqitet si një herës, për shembull, 1 =4/3=8/6=12/9=…. Ka shumë paraqitje të tilla, por vetëm njëri prej tyre është i pakalueshëm .
NË Çdo numër racional mund të përfaqësohet në mënyrë unike si një thyesë p/q, ku pÎZ, qÎN, numrat p, q janë të dyfishtë.
Vetitë e grupit Q:
1. Mbyllja sipas veprimeve aritmetike. Rezultati i mbledhjes, zbritjes, shumëzimit, ngritjes në shkallë natyrore, pjesëtimi (përveç pjesëtimit me 0) i numrave racionalë është një numër racional: ; ; 
.
2. Rregulli: (" x, y IQ, x¹y)®( x
Për më tepër: 1) a>b, b>c Þ a>c; 2)a -b.
3. Dendësia. Midis çdo dy numrash racionalë x, y ekziston një numër i tretë racional (për shembull, c= ):
("x, y IQ, x<y) ($cÎQ) : ( X
Në grupin Q mund të kryeni 4 veprime aritmetike, të zgjidhni sisteme ekuacionesh lineare, por ekuacione kuadratike të formës x 2 =a, aÎ N nuk janë gjithmonë të zgjidhshme në bashkësinë Q.
Teorema. Nuk ka asnjë numër xÎQ, katrori i të cilit është 2.
g Le të jetë një thyesë e tillë X=p/q, ku numrat p dhe q janë të dyfishtë dhe X 2 = 2. Pastaj (p/q) 2 =2. Prandaj,
Ana e djathtë e (1) pjesëtohet me 2, që do të thotë se p 2 është një numër çift. Kështu p=2n (n-numër i plotë). Atëherë q duhet të jetë një numër tek.
Duke u kthyer te (1), kemi 4n 2 =2q 2. Prandaj q 2 = 2n 2. Në mënyrë të ngjashme, ne sigurohemi që q të jetë i pjesëtueshëm me 2, d.m.th. q është numër çift. Teorema vërtetohet me kontradiktë.n
paraqitje gjeometrike e numrave racionalë. Duke vendosur një segment njësi nga origjina e koordinatave 1, 2, 3... herë në të djathtë, marrim pika në vijën e koordinatave që u përgjigjen numrave natyrorë. Duke u zhvendosur në mënyrë të ngjashme në të majtë, marrim pikë që korrespondojnë me numrat e plotë negativë. Le ta marrim 1/q(q= 2,3,4 … ) pjesë e një segmenti njësi dhe do ta vendosim në të dy anët e origjinës R një herë. Ne marrim pikat e rreshtit që korrespondojnë me numrat e formularit ±p/q (pОZ, qON). Nëse p, q kalojnë nëpër të gjitha çiftet e numrave relativisht të thjeshtë, atëherë në vijën e drejtë kemi të gjitha pikat që u korrespondojnë numrave thyesorë. Kështu, Sipas metodës së pranuar, çdo numër racional korrespondon me një pikë të vetme në vijën koordinative.
A është e mundur të specifikohet një numër i vetëm racional për çdo pikë? A është rreshti i mbushur tërësisht me numra racionalë?
Rezulton se ka pika në vijën koordinative që nuk korrespondojnë me ndonjë numër racional. Ndërtojmë një trekëndësh kënddrejtë dykëndësh në një segment njësi. Pika N nuk i përgjigjet një numri racional, sepse nëse ON=x- në mënyrë racionale, pra x 2 = 2, që nuk mund të jetë.
Ka pafundësisht shumë pika të ngjashme me pikën N në një vijë të drejtë. Le të marrim pjesët racionale të segmentit x=ON, ato. X. Nëse i lëvizim djathtas, atëherë asnjë numër racional nuk do t'i korrespondojë secilit prej skajeve të ndonjërit prej këtyre segmenteve. Duke supozuar se gjatësia e segmentit shprehet me një numër racional x=, ne e kuptojmë atë x=- racionale. Kjo bie ndesh me atë që u vërtetua më lart.
Numrat racional nuk janë të mjaftueshëm për të lidhur një numër të caktuar racional me secilën pikë në një vijë koordinative.
Le të ndërtojmë bashkësia e numrave realë R përmes dhjetore të pafundme.
Sipas algoritmit të ndarjes "qoshe", çdo numër racional mund të përfaqësohet si një thyesë dhjetore periodike e fundme ose e pafundme. Kur emëruesi i thyesës p/q nuk ka faktorë të thjeshtë përveç 2 dhe 5, d.m.th. q=2 m ×5 k, atëherë rezultati do të jetë thyesa dhjetore përfundimtare p/q=a 0,a 1 a 2 …a n. Thyesat e tjera mund të kenë vetëm zgjerime dhjetore të pafundme.
Duke ditur një thyesë dhjetore periodike të pafundme, mund të gjeni numrin racional të të cilit është një paraqitje. Por çdo thyesë dhjetore e fundme mund të përfaqësohet si një thyesë dhjetore e pafundme në një nga mënyrat e mëposhtme:
a 0 ,a 1 a 2 …a n = a 0 ,a 1 a 2 …a n 000…=a 0 ,a 1 a 2 …(a n -1)999… (2)
Për shembull, për një thyesë dhjetore të pafundme X=0,(9) kemi 10 X=9, (9). Nëse e zbresim numrin origjinal nga 10x, marrim 9 X=9 ose 1=1,(0)=0,(9).
Krijohet një korrespodencë një-për-një midis grupit të të gjithë numrave racionalë dhe grupit të të gjithë thyesave dhjetore periodike të pafundme nëse identifikojmë thyesën dhjetore të pafundme me numrin 9 në periudhën me thyesën dhjetore të pafundme korresponduese me numrin 0 in. periudha sipas rregullit (2).
Le të biem dakord të përdorim thyesa periodike të tilla të pafundme që nuk kanë numrin 9 në periudhë. Nëse në procesin e arsyetimit lind një thyesë dhjetore periodike e pafundme me numrin 9 në periudhë, atëherë do ta zëvendësojmë me një thyesë dhjetore të pafundme me një zero në periodë, d.m.th. ne vend te 1999... do marrim 2000...
Përkufizimi i një numri irracional. Përveç thyesave dhjetore periodike të pafundme, ekzistojnë edhe thyesat dhjetore jo periodike. Për shembull, 0.1010010001... ose 27.1234567891011... (numrat natyrorë shfaqen radhazi pas presjes dhjetore).
Konsideroni një thyesë dhjetore të pafundme të formës ±a 0, a 1 a 2 …a n… (3)
Kjo fraksion përcaktohet duke specifikuar shenjën "+" ose "-", një numër të plotë jo negativ një 0 dhe një sekuencë të numrave dhjetorë a 1 , a 2 ,…, a n ,... (bashkësia e numrave dhjetorë përbëhet nga dhjetë numra : 0, 1, 2,…, 9).
Le të thërrasim çdo thyesë të formës (3) numër real (real). Nëse ka një shenjë "+" përpara thyesës (3), ajo zakonisht hiqet dhe shkruhet një 0 , a 1 a 2 ...a n ... (4)
Ne do të thërrasim një numër të formularit (4) numër real jo negativ, dhe në rastin kur të paktën njëri nga numrat a 0 , a 1 , a 2 , ..., a n është i ndryshëm nga zero, - numër real pozitiv. Nëse shenja "-" merret në shprehjen (3), atëherë ky është një numër negativ.
Bashkimi i bashkësive të numrave racionalë dhe irracionalë formojnë bashkësinë e numrave realë (QÈJ=R). Nëse thyesa dhjetore e pafundme (3) është periodike, atëherë është numër racional, kur thyesa është jo periodike, është irracionale.
Dy numra realë jonegativë a=a 0 ,a 1 a 2 …a n …, b=b 0 ,b 1 b 2 …b n …. thirrur të barabartë(ata shkruajne a=b), Nëse a n = b n në n=0,1,2… Numri a është më i vogël se numri b(ata shkruajne a<b), nëse ose a 0 ose a 0 =b 0 dhe ka një numër të tillë m,Çfarë a k =b k (k=0,1,2,…m-1), A jam , d.m.th. a Û (a 0 Ú ($mÎN: a k =b k (k= ), a m ). Koncepti " A>b».
Për të krahasuar numra realë arbitrarë, ne prezantojmë konceptin " moduli i numrit a» . Moduli i një numri real a=±a 0, a 1 a 2 …a n… Ky është një numër real jo negativ që mund të përfaqësohet nga e njëjta thyesë dhjetore e pafundme, por e marrë me një shenjë "+", d.m.th. ½ A½= a 0, a 1 a 2 …a n… dhe ½ A½³0. Nëse A - jo negative, bështë një numër negativ, pastaj merrni parasysh a>b. Nëse të dy numrat janë negativë ( a<0, b<0 ), atëherë do të supozojmë se: 1) a=b, nëse ½ A½ = ½ b½; 2) A , nëse ½ A½ > ½ b½.
Vetitë e grupit R:
I. Vetitë e rendit:
1. Për çdo çift numrash realë A Dhe b ka një dhe vetëm një lidhje: a=b,a
2. Nëse a
3. Nëse a , atëherë ekziston një numër c i tillë që a< с .
II. Vetitë e veprimeve të mbledhjes dhe zbritjes:
4. a+b=b+a(komutativiteti).
5. (a+b)+c=a+(b+c) (shoqërim).
6. a+0=a.
7. a+(-a)= 0.
8. nga a Þ a+c
III. Vetitë e veprimeve të shumëzimit dhe pjesëtimit:
9. a×b=b×a .
10. (a×b)×c=a×(b×c).
11. a×1=a.
12. a×(1/a)=1 (a¹0).
13. (a+b)×c = ac + bc(shpërndarja).
14. nëse a dhe c>0, atëherë a×s
IV. Vetia e Arkimedit("cÎR)($nÎN) : (n>c).
Cilido qoftë numri cÎR, ka nÎN të tillë që n>c.
V. Vetia e vazhdimësisë së numrave realë. Le të jenë dy bashkësi jo bosh AÌR dhe BÌR të tilla që çdo element A OA nuk do të jetë më ( a£ b) të çdo elementi bОB. Pastaj Parimi i vazhdimësisë së Dedekindit pohon ekzistencën e një numri c të tillë që për të gjithë A OА dhe bОB vlen kushti i mëposhtëm: a£c£ b:
("AÌR, BÌR):(" aÎA, bÎB ® a£b) ($cÎR): (" aÎA, bÎB® a£c£b).
Ne do të identifikojmë grupin R me grupin e pikave në vijën numerike dhe do t'i quajmë numrat realë pika.
NUMRAT REAL II
§ 37 Paraqitja gjeometrike e numrave racional
Le Δ është një segment i marrë si njësi gjatësie, dhe l - vijë e drejtë arbitrare (Fig. 51). Le të marrim një pikë mbi të dhe ta caktojmë me shkronjën O.
Çdo numër racional pozitiv m / n le ta përputhim pikën me një vijë të drejtë l , i shtrirë në të djathtë të C në një distancë prej m / n njësitë e gjatësisë.
Për shembull, numri 2 do t'i korrespondojë pikës A, i shtrirë në të djathtë të O në një distancë prej 2 njësi të gjatësisë, dhe numri 5/4 do t'i korrespondojë pikës B, i shtrirë në të djathtë të O në një distancë prej 5. /4 njësi gjatësie. Çdo numër racional negativ k / l le të lidhim një pikë me një vijë të drejtë që shtrihet në të majtë të O në një distancë prej | k / l | njësitë e gjatësisë. Pra, numri - 3 do të korrespondojë me pikën C, e shtrirë në të majtë të O në një distancë prej 3 njësi gjatësi, dhe numri - 3/2 në pikën D, i shtrirë në të majtë të O në një distancë prej 3/ 2 njësi gjatësi. Së fundi, ne e lidhim numrin racional "zero" me pikën O.
Natyrisht, me korrespondencën e zgjedhur, numra të barabartë racional (për shembull, 1/2 dhe 2/4) do të korrespondojnë me të njëjtën pikë, dhe pika të ndryshme të vijës nuk do të korrespondojnë me numra të barabartë. Le të supozojmë se numri m / n pika P korrespondon, dhe numri k / l pika Q. Atëherë nëse m / n > k / l , atëherë pika P do të shtrihet në të djathtë të pikës Q (Fig. 52, a); nëse m / n < k / l , atëherë pika P do të vendoset në të majtë të pikës Q (Fig. 52, b).
Pra, çdo numër racional mund të përfaqësohet gjeometrikisht si një pikë e përcaktuar mirë në një drejtëz. A është e vërtetë deklarata e kundërt? A mund të konsiderohet çdo pikë në një vijë si një imazh gjeometrik i një numri racional? Vendimin e kësaj çështjeje do ta shtyjmë deri në § 44.
Ushtrime
296. Vizato numrat racionalë të mëposhtëm si pika në drejtëz:
3; - 7 / 2 ; 0 ; 2,6.
297. Dihet se shërben pika A (Fig. 53). imazh gjeometrik numri racional 1/3. Cilët numra përfaqësojnë pikat B, C dhe D?
298. Në një drejtëz jepen dy pika, të cilat shërbejnë si paraqitje gjeometrike e numrave racionalë. A Dhe b a + b Dhe a - b .
299. Në një drejtëz jepen dy pika, të cilat shërbejnë si paraqitje gjeometrike e numrave racionalë. a + b Dhe a - b . Gjeni pikat që përfaqësojnë numrat në këtë rresht A Dhe b .
BILETA 1
Racionale numrat – numrat e shkruar në formën p/q, ku q është numër natyror. numër, dhe p është një numër i plotë.
Dy numra a=p1/q1 dhe b=p2/q2 quhen të barabartë nëse p1q2=p2q1, dhe p2q1 dhe a>b nëse p1q2
BILETA 2
Numrat kompleks. Numrat kompleks
Një ekuacion algjebrik është një ekuacion i formës: P n ( x) = 0, ku P n ( x) - polinom n- Oh gradë. Nja dy numra realë x Dhe në Le ta quajmë të renditur nëse tregohet se cili prej tyre konsiderohet i pari dhe cili konsiderohet i dyti. Shënimi i çiftit të porositur: ( x, y). Një numër kompleks është një çift i renditur arbitrar i numrave realë. z = (x, y)-numër kompleks.
x-pjesa reale z, y-pjesa imagjinare z. Nëse x= 0 dhe y= 0, atëherë z= 0. Konsideroni z 1 = (x 1 , y 1) dhe z 2 = (x 2 , y 2).
Përkufizimi 1. z 1 = z 2 nëse x 1 = x 2 dhe y 1 = y 2.
Konceptet > dhe< для комплексных чисел не вводятся.
Paraqitja gjeometrike dhe forma trigonometrike e numrave kompleks.
M( x, y) « z = x + iy.
½ OM½ = r =½ z½ = .(foto)
r quhet moduli i një numri kompleks z.
j quhet argument i një numri kompleks z. Përcaktohet me një saktësi prej ± 2p n.
X= rcosj, y= rsinj.
z= x+ iy= r(cosj + i sinj) është forma trigonometrike e numrave kompleks.
Deklarata 3.
= (cos + i mëkat),
= (cos + i mëkat), atëherë
= (cos( + ) + i mëkat ( + )),
= (cos( - )+ i sin( - )) në 10.
Deklarata 4.
Nëse z=r(cosj+ i sinj), pastaj “natyrore n:
= (cos nj + i mëkat nj),
BILETA 3
Le X- një grup numerik që përmban të paktën një numër (grup jo bosh).
xÎ X- x të përfshira në X. ; xÏ X- x nuk bëjnë pjesë X.
Përkufizimi: Një tufë me X quhet i kufizuar sipër (poshtë) nëse ka një numër M(m) të tillë që për ndonjë x Î X pabarazia qëndron x £ M (x ³ m), ndërsa numri M quhet kufiri i sipërm (i poshtëm) i grupit X. Një tufë me X thuhet se kufizohet më lart nëse $ M, " x Î X: x £ M. Përkufizimi set i pakufizuar nga lart. Një tufë me X thuhet se është i pakufizuar nga lart nëse " M $ x Î X: x> M. Përkufizimi një tufë me X quhet i kufizuar nëse është i kufizuar lart dhe poshtë, që është $ M, m sikurse " x Î X: m £ x £ M. Përkufizimi ekuivalent i ogre mn-va: Set X quhet i kufizuar nëse $ A > 0, " x Î X: ½ x½£ A. Përkufizim: Kufiri i sipërm më i vogël i një grupi të kufizuar më sipër X quhet supremum i saj dhe shënohet Sup X
(suprem). =Sup X. Në mënyrë të ngjashme, mund të përcaktohet saktë
buza e poshtme. Ekuivalente përkufizimi kufiri i saktë i sipërm:
Numri quhet suprem i grupit X, Nëse: 1) " x Î X: X£ (ky kusht tregon se është një nga kufijtë e sipërm). 2) " < $ x Î X: X> (ky kusht tregon se -
më e vogla nga fytyrat e sipërme).
Sup X= :
1. " xÎ X: x £ .
2. " < $ xÎ X: x> .
inf X(infimum) është infimum i saktë. Le të shtrojmë pyetjen: a ka çdo grup i kufizuar skaje të sakta?
Shembull: X= {x: x>0) nuk ka një numër më të vogël.
Teorema mbi ekzistencën e një fytyre të saktë të sipërme (të poshtme).. Çdo kufi i sipërm (i poshtëm) jo bosh xÎR ka një fytyrë ekzakte të sipërme (të poshtme).
Teorema mbi ndashmërinë e shumësit numerik:▀▀▄
BILETA 4
Nëse çdo numri natyror n (n=1,2,3..) i caktohet një numër përkatës Xn, atëherë ata thonë se është përcaktuar dhe dhënë. pasues x1, x2..., shkruani (Xn), (Xn Shembull: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,...Emri i limitit. nga lart (nga poshtë) nëse bashkësia e pikave x=x1,x2,...xn që shtrihen në boshtin numerik kufizohet nga lart (nga poshtë), d.m.th. $S:Xn£C" Kufiri i sekuencës: numri a quhet kufiri i sekuencës nëse për çdo ε>0 $ : N (N=N/(ε)). "n>N pabarazia |Xn-a|<ε. Т.е. – ε
në n>N.
Unike e kufirit sekuencë e kufizuar dhe konvergjente
Vetia 1: Një sekuencë konvergjente ka vetëm një kufi.
Vërtetim: me kontradiktë le A Dhe b kufijtë e një sekuence konvergjente (x n), dhe a nuk është e barabartë me b. marrim parasysh sekuencat infiniteminale (α n )=(x n -a) dhe (β n )=(x n -b). Sepse të gjithë elementët b.m. sekuencat (α n -β n ) kanë të njëjtën vlerë b-a, pastaj nga vetia e b.m. sekuencat b-a=0 d.m.th. b=a dhe kemi arritur në një kontradiktë.
Vetia 2: Një sekuencë konvergjente është e kufizuar.
Vërtetim: Le të jetë a kufiri i një sekuence konvergjente (x n), atëherë α n =x n -a është një element i b.m. sekuencat. Le të marrim çdo ε>0 dhe ta përdorim për të gjetur N ε: / x n -a/< ε при n>N ε . Le të shënojmë me b më të madhin nga numrat ε+/a/, /x1/, /x2/,…,/x N ε-1 /,x N ε. Është e qartë se / x n /
Shënim: sekuenca e kufizuar mund të mos jetë konvergjente.
BILETA 6
Sekuenca a n quhet infinitezimale, që do të thotë se kufiri i kësaj sekuence pas është 0.
a n – Û lim(n ® + ¥)a n =0, për çdo ε>0 ekziston N i tillë që për çdo n>N |a n |<ε
Teorema. Shuma e një infinite vogël është një infinite vogël.
a n b n ®pafundësi i vogël Þ a n +b n – infinit i vogël.
Dëshmi.
a n - Û pafundësisht i vogël "ε>0 $ N 1:" n >N 1 Þ |a n |<ε
b n - Û pafundësisht i vogël "ε>0 $ N 2:" n >N 2 Þ |b n |<ε
Le të vendosim N=max(N 1 ,N 2 ), atëherë për çdo n>N Þ të dyja pabarazitë plotësohen njëkohësisht:
|a n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>N
Le të vendosim "ε 1 >0, vendosim ε=ε 1 /2. Pastaj për çdo ε 1 >0 $N=maxN 1 N 2: " n>N Þ |a n +b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
është a n + b n – infinite vogël.
Teorema Prodhimi i një infinite vogël është një infinite vogël.
a n ,b n – pafundësisht i vogël Þ a n b n – pafundësisht i vogël.
Dëshmi:
Le të vendosim "ε 1 >0, vendosim ε=Öε 1, meqë a n dhe b n janë infiniteminale për këtë ε>0, atëherë ka N 1: " n>N Þ |a n |<ε
$N 2: " n>N 2 Þ |b n |<ε
Le të marrim N=max (N 1 ;N 2 ), pastaj "n>N = |a n |<ε
|a n b n |=|a n ||b n |<ε 2 =ε 1
" ε 1 >0 $N:"n>N |a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n =0 Û a n b n – pafundësisht e vogël, që është ajo që duhej vërtetuar.
Teorema Prodhimi i një sekuence të kufizuar dhe një sekuence infinite vogël është një sekuencë infinite vogël
dhe n është një sekuencë e kufizuar
a n – sekuencë pafundësisht e vogël Þ a n a n – sekuencë infinite vogël.
Vërtetim: Meqenëse një n është e kufizuar Û $С>0: "nО NÞ |a n |£C
Le të vendosim "ε 1 >0; vendosim ε=ε 1 /C; meqenëse një n është infinite vogël, atëherë ε>0 $N:"n>NÞ |a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε 1 >0 $N: "n>N Þ |a n a n |=Cε=ε 1 Þ lim(n ® ¥) a n a n =0Û a n a n – pafundësisht Sekuenca quhet BBP(në sekuencë) nëse shkruajnë. Natyrisht, BBP nuk është i kufizuar. Deklarata e kundërt është përgjithësisht e rreme (shembull). Nëse për të mëdhenjtë n anëtarët, pastaj shkruani kjo do të thotë se sa më shpejt. Kuptimi i hyrjes përcaktohet në mënyrë të ngjashme Sekuenca pafundësisht të mëdha a n =2 n ;
b n =(-1) n 2 n ;c n =-2 n Përkufizimi(sekuenca pafundësisht të mëdha) 1) lim(n® ¥)a n =+¥, nëse "ε>0$N:"n>N Þ a n >ε ku ε është arbitrarisht i vogël. 2) lim(n ® ¥)a n =-¥, nëse "ε>0 $N:"n>N Þ a n<-ε 3) lim(n ® ¥)a n =¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |a n |>ε BILETA 7 Teorema “Për konvergjencën e monotonit. e fundit" Çdo sekuencë monotonike është konvergjente, d.m.th. ka kufij. Dokumenti Le të jetë sekuenca (xn) në rritje monotonike. dhe kufizohet nga lart. X – i gjithë grupi i numrave që pranon elementin e kësaj sekuence sipas konventës. Teoremat janë të kufizuara në numër, prandaj, sipas Teorema ajo ka një kufi të sipërm ekzakt të fundëm. fytyra supX xn®supX (supX e shënojmë me x*). Sepse x* maja e saktë. fytyrë, pastaj xn£x* "n. " e >0 nervi është jashtë $ xm (le të jetë m n me kapak): xm>x*-e me "n>m => nga 2 pabarazitë e treguara marrim pabarazia e dytë x*-e£xn£x*+e për n>m është ekuivalente me ½xn-x*1 BILETA 8 Eksponenti ose numri e Numri R-Romak sekuencë me një term të përbashkët xn=(1+1/n)^n (në fuqinë n)(1) . Rezulton se vargu (1) rritet monotonisht, kufizohet nga lart dhe është konvergjent, kufiri i këtij vargu quhet eksponencial dhe shënohet me simbolin e»2.7128; Numri e BILETA 9 Parimi i segmenteve të mbivendosur Le t'i jepet boshtit numerik një sekuencë segmentesh ,,...,,... Për më tepër, këto segmente plotësojnë sa vijon. kusht: 1) secila pasardhëse është e futur në të mëparshmen, d.m.th. М, "n=1,2,…; 2) Gjatësia e segmenteve ®0 me rritjen n, d.m.th. lim(n®¥)(bn-an)=0. Sekuencat me shenjtorët e specifikuar quhen të mbivendosur. TeoremaÇdo sekuencë e segmenteve të mbivendosur përmban një pikë të vetme c që i përket të gjitha segmenteve të sekuencës njëkohësisht, me pikën e përbashkët të të gjithë segmenteve në të cilët janë kontraktuar. Dokumenti(an) - sekuenca e skajeve të majta të segmenteve të fenomeneve. monotonisht jozvogëlues dhe i kufizuar më sipër me numrin b1. (bn) - sekuenca e skajeve të djathta nuk është në rritje monotonike, prandaj këto sekuenca dukurish. konvergjente, d.m.th. ka numra c1=lim(n®¥)an dhe c2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - vlera e tyre e përbashkët. Në të vërtetë, ai ka kufirin lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) për shkak të kushtit 2) o= lim(n®¥) (bn- an)=с2-с1=> с1=с2=с Është e qartë se t.c është e zakonshme për të gjitha segmentet, pasi "n an £ c£bn. Tani do të vërtetojmë se është një. Le të supozojmë se $ është një tjetër c' në të cilën janë kontraktuar të gjithë segmentet. Nëse marrim ndonjë segment jo të kryqëzuar c dhe c', atëherë në njërën anë i gjithë "bishti" i sekuencave (an), (bn) duhet të vendoset në afërsi të pikës c'' (pasi an dhe bn konvergojnë në c dhe c' njëkohësisht). Kontradikta është e vërtetë. BILETA 10 Teorema Bolzano-Weierstrass
Nga çdo prerje. Më pas mund të zgjidhni mbledhjen. në vijim. 1. Meqenëse sekuenca është e kufizuar, atëherë $ m dhe M, të tilla që " m£xn£ M, " n. D1= – segment në të cilin shtrihen të gjitha sekuencat t-ki. Le ta ndajmë përgjysmë. Të paktën një nga gjysmat do të përmbajë pafundësi numri t-k pas. D2 është gjysma ku shtrihet një numër i pafund i sekuencave t-k. E ndajmë përgjysmë. Të paktën në njërën nga gjysmat neg. D2 ka një numër të pafund sekuencash. Kjo gjysmë është D3. Ndani segmentin D3... etj. fitojmë një sekuencë segmentesh të mbivendosur, gjatësitë e të cilave priren në 0. Sipas rregullit për segmentet e mbivendosur, njësi $. t-ka S, mace. përkatësia të gjithë segmentet D1, çdo t-tu Dn1. Në segmentin D2 zgjedh pikën xn2, në mënyrë që n2>n1. Në segmentin D3... etj. Si rezultat, fjala e fundit është xnkÎDk. BILETA 11 BILETA 12 themelore Si përfundim, shqyrtojmë çështjen e kriterit për konvergjencën e një sekuence numerike. Le d.m.th.: Ne morëm deklaratën e mëposhtme: Nëse sekuenca konvergon, kushti është i kënaqur Cauchy: Një sekuencë numrash që plotëson kushtin Cauchy quhet themelore. Mund të vërtetohet se e kundërta është gjithashtu e vërtetë. Pra, kemi një kriter (kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm) për konvergjencën e sekuencës. Kriteri Cauchy. Në mënyrë që një sekuencë të ketë një kufi, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ajo të jetë themelore. Kuptimi i dytë i kriterit Cauchy. Anëtarët e sekuencës dhe ku n Dhe m– çdo afrim pa kufi në . BILETA 13 Kufijtë e njëanshëm. Përkufizimi 13.11. Numri A quhet kufiri i funksionit y = f(x) në X, duke u përpjekur për x 0 majtas (djathtas), nëse është e tillë që | f(x)-A|<ε при x 0 – x< δ
(x - x 0< δ
). Emërtimet: Teorema 13.1 (përkufizimi i dytë i kufirit). Funksioni y=f(x) ka në X, duke u përpjekur për X 0, kufiri i barabartë me A, nëse dhe vetëm nëse të dy kufijtë e tij të njëanshëm në këtë pikë ekzistojnë dhe janë të barabartë A. Dëshmi. 1) Nëse , atëherë dhe për x 0 – x< δ, и для x - x 0< δ
|f(x) - A|<ε, то есть 1) Nëse , atëherë ekziston δ 1: | f(x) - A| < ε при x 0 – x< δ 1 и δ 2: |f(x) - A| < ε при x - x 0<
δ2. Duke zgjedhur më të voglin nga numrat δ 1 dhe δ 2 dhe duke e marrë si δ, marrim se për | x - x 0| < δ |f(x) - A| < ε, то есть . Теорема доказана. Koment. Meqenëse është vërtetuar ekuivalenca e kërkesave që përmban përcaktimi i kufirit 13.7 dhe i kushteve për ekzistencën dhe barazinë e kufijve të njëanshëm, ky kusht mund të konsiderohet si përkufizimi i dytë i kufirit. Përkufizimi 4 (sipas Heine) Numri A quhet kufiri i një funksioni nëse ndonjë BBP e vlerave të argumentit, sekuenca e vlerave të funksionit përkatës konvergjon në A. Përkufizimi 4 (sipas Cauchy). Numri A thirret nëse . Është vërtetuar se këto përkufizime janë ekuivalente. BILETA 14 dhe 15 Vetitë e kufirit të funksionit në një pikë 1) Nëse ka një kufi, atëherë ai është i vetmi 2) Nëse në tka x0 kufiri i funksionit f(x) lim(x®x0)f(x)=A lim(x®x0)g(x)£B=> atëherë në këtë rast $ është kufiri i shumës, diferencës, produktit dhe koeficientit. Ndarja e këtyre 2 funksioneve. a) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B b) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B c) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B d) lim(x®x0)C=C e) lim(x®x0)C*f(x)=C*A Teorema 3. nese ( pergjegjes A ) pastaj $ lagjen në të cilën qëndron pabarazia >B (përkat Duke supozuar në teoremën 3 B=0, marrim: nëse ( respekt), pastaj $ , në të gjitha pikat, të cilat do të jenë >0 (përkat<0),
ato. funksioni ruan shenjën e kufirit të tij. Teorema 4(në kalimin në kufirin në pabarazi). Nëse në ndonjë lagje të një pike (përveç ndoshta vetë kësaj pike) kushti është i plotësuar dhe këto funksione kanë kufij në pikë, atëherë . Në gjuhën dhe. Le të prezantojmë funksionin. Është e qartë se në afërsi të t. Atëherë, me teoremën për ruajtjen e një funksioni, kemi vlerën e kufirit të tij, por Teorema 5.(në kufirin e një funksioni të ndërmjetëm). (1) Nëse BILETA 16 Përkufizimi 14.1. Funksioni y=α(x) quhet infinite vogël në x→x 0, Nëse Vetitë e infinitesimaleve. 1. Shuma e dy infinitezimaleve është infinite vogël. Dëshmi. Nëse α(x) Dhe β(x) – pafundësisht i vogël në x→x 0, atëherë ekzistojnë δ 1 dhe δ 2 të tilla që | α(x)|<ε/2 и |β(x)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|<ε, то есть |(α(x)+β(x))-0|<ε. Следовательно, Koment. Nga kjo rrjedh se shuma e çdo numri të fundëm të infinitezimaleve është infinite vogël. 2. Nëse α( X) – pafundësisht i vogël në x→x 0, A f(x) – funksion i kufizuar në një lagje të caktuar x 0, Kjo α(x)f(x) – pafundësisht i vogël në x→x 0. Dëshmi. Le të zgjedhim një numër M e tillë që | f(x)| Përfundim 1. Prodhimi i një infinite vogël me një numër të fundëm është një infinite vogël. Përfundim 2. Prodhimi i dy ose më shumë infinitezimaleve është një infinitezimal. Përfundim 3. Një kombinim linear i infinitezimaleve është infinite vogël. 3. (Përkufizimi i tretë i kufirit). Nëse , atëherë kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për këtë është që funksioni f(x) mund të paraqitet në formë f(x)=A+α(x), Ku α(x) – pafundësisht i vogël në x→x 0. Dëshmi. 1)
Le Pastaj | f(x)-A|<ε при x→x 0, kjo eshte α(x)=f(x)-A– pafundësisht i vogël në x→x 0 . Prandaj , f(x)=A+α(x). 2) Le f(x)=A+α(x). Pastaj Koment. Kështu, fitohet një përkufizim tjetër i kufirit, i barabartë me dy të mëparshmet. Funksione pafundësisht të mëdha. Përkufizimi 15.1. Funksioni f(x) thuhet se është pafundësisht i madh për x x 0 nëse Për pafundësisht të mëdha, mund të prezantoni të njëjtin sistem klasifikimi si për pafundësisht të vogla, domethënë: 1. F(x) dhe g(x) pafundësisht të mëdha konsiderohen sasi të rendit të njëjtë nëse 2. Nëse , atëherë f(x) konsiderohet pafundësisht e madhe e rendit më të lartë se g(x). 3. Një f(x) pafundësisht i madh quhet një sasi e rendit kth në raport me një g(x) pafundësisht të madhe nëse . Koment. Vini re se një x është pafundësisht i madh (për a>1 dhe x) i një renditje më të lartë se x k për çdo k, dhe log a x është pafundësisht i madh i rendit më të ulët se çdo fuqi e x k. Teorema 15.1. Nëse α(x) është pafundësisht e vogël sa x→x 0, atëherë 1/α(x) është pafundësisht e madhe sa x→x 0. Dëshmi. Le të vërtetojmë se për |x - x 0 |< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, |1/α(x)|>M. Kjo do të thotë se 1/α(x) është pafundësisht i madh sa x→x 0. BILETA 17 Teorema 14.7 (kufiri i parë i shquar). . Dëshmi. Konsideroni një rreth me rreze njësi me qendër në origjinë dhe supozoni se këndi AOB është i barabartë me x (radianët). Le të krahasojmë sipërfaqet e trekëndëshit AOB, sektorit AOB dhe trekëndëshit AOC, ku drejtëza OS është tangjente me rrethin që kalon në pikën (1;0). Është e qartë se. Duke përdorur formulat gjeometrike përkatëse për sipërfaqet e figurave, marrim nga kjo se §1.1. Numrat realë Numrat realë ndahen në dy klasa: klasa e numrave racionalë dhe klasa e numrave irracionalë. Racionale janë numra që kanë formën , ku m Dhe n janë numra të plotë coprime, por Për shembull, numri Numrat realë mund të ndahen gjithashtu në algjebrikë - rrënjët e një polinomi me koeficientë racionalë (këta përfshijnë, në veçanti, të gjithë numrat racionalë - rrënjët e ekuacionit Bashkësitë e të gjithë numrave natyrorë, të plotë dhe realë shënohen në përputhje me rrethanat si më poshtë: NZ, R §1.2. Imazhi i numrave realë në vijën numerike. Intervalet Gjeometrikisht (për qartësi), numrat realë përfaqësohen me pika në një drejtëz të pafundme (në të dy drejtimet) e quajtur numerike
boshti. Për këtë qëllim, merret një pikë në vijën në shqyrtim (origjina është pika 0), tregohet një drejtim pozitiv, përshkruhet me një shigjetë (zakonisht në të djathtë) dhe zgjidhet një njësi e shkallës, e cila lihet mënjanë për një kohë të pacaktuar. në të dy anët e pikës 0. Kështu paraqiten numrat e plotë. Për të paraqitur një numër me një numër dhjetor, duhet të ndani çdo segment në dhjetë pjesë, etj. Kështu, çdo numër real përfaqësohet nga një pikë në vijën numerike. Kthehu në çdo pikë Simboli Oriz. 1.1. Boshti i numrave. Oriz. 1.2. Intervali Oriz. 1.3. Interval i mbyllur Heqja e fjalëve "bashkësia e të gjithë numrave (pikave) x të tillë që”, etj., vërejmë më tej: §1.3. Vlera absolute (ose moduli) i një numri real Për shembull, Gjeometrikisht nënkupton distancën e pikës a tek origjina. Nëse kemi dy pika dhe , atëherë distanca ndërmjet tyre mund të përfaqësohet si Vetitë e sasive absolute. 1. Nga përkufizimi del se 2. Vlera absolute e shumës dhe diferencës nuk e kalon shumën e vlerave absolute: 3. 4. 5. 6. Pabarazia 7. Pabarazia 8. §1.4. Disa koncepte dhe shënime 1
. Koncepti grupeështë një nga themelorët në matematikë, fillestare, universale - dhe për këtë arsye nuk mund të përcaktohet. Mund të përshkruhet vetëm (zëvendësohet me sinonime): është një koleksion, një koleksion i disa objekteve, gjërave, të bashkuara nga disa karakteristika. Këto objekte quhen elementet turmave. Shembuj: shumë kokrra rëre në breg, yje në Univers, nxënësit në klasë, rrënjët e një ekuacioni, pikat e një segmenti. Quhen bashkësitë, elementët e të cilave janë numra grupe numerike. Për disa grupe standarde, futet një shënim i veçantë, për shembull, N,Z,R- shih § 1.1. Le A- shumë dhe xështë elementi i tij, atëherë ata shkruajnë: Nëse xështë një emërtim i përgjithshëm për elementet e një grupi A, pastaj shkruajnë Kompleti quhet final, nëse përbëhet nga një numër i kufizuar elementësh. Nëse, pavarësisht se cili numër natyror N merret, në bashkësinë A atëherë ka më shumë elementë se N A thirrur pafund grup: ka pafundësisht shumë elementë në të. Nëse çdo element i grupit ^A i takon shumë B, Kjo Bashkësia e elementeve të të dy grupeve A Dhe B thirrur unifikimin vendos dhe shënohet Nëse mund të krijohet një korrespondencë një-për-një midis elementeve të grupeve, atëherë ata thonë se këto grupe janë ekuivalente dhe shkruajnë 2
. Le të jenë dy deklarata, dy fakte: dhe Hyrja: 
Së bashku me një numër natyror, ju mund të zëvendësoni një numër tjetër natyror në pabarazinë e fundit 
, Pastaj
dhe në ndonjë fqinjësi të pikës (përveç ndoshta vetë pikës) kushti (2) është i plotësuar, atëherë funksioni ka një kufi në pikë dhe ky kufi është i barabartë me A. sipas kushtit (1) $ për (këtu është lagja më e vogël e pikës ). Por më pas, për shkak të kushtit (2), vlera do të vendoset edhe në afërsi të pikës A, ato. .
, kjo eshte α(x)+β(x) – pafundësisht i vogël.
do të thotë | f(x)-A|<ε при |x - x 0| < δ(ε). Cледовательно, .
, ose sinx
Njohja e parë me numrat real ndodh në një kurs të matematikës shkollore. Çdo numër real përfaqësohet nga një thyesë dhjetore e fundme ose e pafundme.
. (Bashkimi i numrave racionalë shënohet me shkronjë P). Numrat realë të mbetur thirren irracionale. Numrat racional përfaqësohen nga një thyesë periodike e fundme ose e pafundme (njëlloj si thyesat e zakonshme), atëherë ata dhe vetëm ata numra realë që mund të përfaqësohen nga thyesat e pafundme jo periodike do të jenë iracionalë.
- racionale, dhe 
, 
, 
e kështu me radhë. – numrat irracionalë.
) - dhe për ato transcendenciale - të gjitha të tjerat (për shembull, numrat 
dhe të tjerët).
(gërmat fillestare të fjalëve Naturel, Zahl, Reel).
korrespondon me një numër real të barabartë me gjatësinë e segmentit 
dhe merret me shenjën “+” ose “–”, në varësi të faktit nëse pika ndodhet në të djathtë apo në të majtë të origjinës. Në këtë mënyrë, krijohet një korrespodencë një me një midis bashkësisë së të gjithë numrave realë dhe bashkësisë së të gjitha pikave në boshtin numerik. Termat "numër real" dhe "pika e boshtit të numrave" përdoren si sinonime. 
Ne do të shënojmë një numër real dhe pikën që i korrespondon atij. Numrat pozitivë janë të vendosur në të djathtë të pikës 0, numrat negativë janë të vendosur në të majtë. Nëse 
, pastaj në boshtin numerik pika 
shtrihet në të majtë të pikës 
. Lëreni pikën 
korrespondon me numrin, atëherë numri quhet koordinata e pikës, shkruani 
; Më shpesh, vetë pika shënohet me të njëjtën shkronjë si numri. Pika 0 është origjina e koordinatave. Boshti shënohet gjithashtu me shkronjë 
(Fig. 1.1).
Grupi i të gjithë numrave të gënjyer ndërmjet jepen numra dhe quhet interval ose boshllëk; skajet mund t'i përkasin ose jo. Le ta sqarojmë këtë. Le 
. Një grup numrash që plotësojnë kushtin 
, i quajtur një interval (në kuptimin e ngushtë) ose një interval i hapur, i shënuar me simbolin 
(Fig. 1.2).
Një grup numrash të tillë që 
quhet interval i mbyllur (segment, segment) dhe shënohet me 
; në boshtin e numrave shënohet si më poshtë:
Ai ndryshon nga boshllëku i hapur vetëm me dy pika (skajet) dhe . Por ky ndryshim është thelbësor, domethënës, siç do ta shohim më vonë, për shembull, kur studiojmë vetitë e funksioneve.
Dhe 
, shënohet 
Dhe 
intervale gjysmë të hapura ose gjysmë të mbyllura (ndonjëherë: gjysmë intervale);
ose 
do të thotë: 
ose 
dhe është caktuar 
ose 
;
ose 
do të thotë 
ose 
dhe është caktuar 
ose 
;
, shënohet 
bashkësia e të gjithë numrave realë. Shenjat 
simbolet e "pafundësisë"; quhen numra të papërshtatshëm ose idealë. 
Përkufizimi. Vlera absolute (ose moduli) numër quhet vetë numri nëse 
ose 
Nëse 
. Vlera absolute tregohet nga simboli 
. Kështu që, 
, 
, 
.
(ose 
). Për shembull, 
pastaj distanca 
.
, 
, kjo eshte 
.
. 
1) Nëse 
, Kjo 
. 2) Nëse 
, Kjo . ▲
.
, pastaj nga vetia 2: 
, d.m.th. 
. Po kështu, nëse imagjinoni 
, atëherë arrijmë te pabarazia 
▲ 
– rrjedh nga përkufizimi: shqyrtoni rastet 
Dhe 
. 
, me kusht që 
E njëjta gjë rrjedh nga përkufizimi.
,
, do të thotë 
. Kjo pabarazi plotësohet nga pikat që shtrihen ndërmjet 
Dhe 
.
baraz me pabarazi 
, d.m.th. . Ky është një interval i përqendruar në një pikë gjatësie 
. Quhet 
fqinjësia e një pike (numri). Nëse 
, atëherë lagjja quhet e shpuar: kjo është ose 
. (Fig.1.4).
prej nga rezulton se pabarazia 
(
) është ekuivalente me pabarazinë 
ose 
; dhe pabarazia 
përcakton një grup pikash për të cilat 
, d.m.th. këto janë pika që shtrihen jashtë segmentit 
, saktësisht: 
Dhe 
.
Le të paraqesim disa koncepte dhe shënime të përdorura gjerësisht nga teoria e grupeve, logjika matematikore dhe degë të tjera të matematikës moderne.
; lexon " x i takon A» ( 
Shenja e përfshirjes për elementet). Nëse objekti x nuk përfshihet në A, pastaj shkruajnë 
; lexon: " x nuk bëjnë pjesë A" Për shembull, 
N; 8,51
N; por 8.51 
R.
. Nëse është e mundur të shkruani përcaktimin e të gjithë elementëve, atëherë shkruani 
, 
etj Një bashkësi që nuk përmban një element të vetëm quhet bashkësi boshe dhe shënohet me simbolin ; për shembull, bashkësia e rrënjëve (reale) e ekuacionit 
ka bosh.
quhet një pjesë ose nëngrup i një bashkësie B dhe shkruani 
; lexon " A të përfshira në B» ( 
ka një shenjë përfshirjeje për grupe). Për shembull, NZR. Nëse 
, pastaj thonë se kompletet A Dhe B janë të barabartë dhe shkruajnë 
. Ndryshe shkruajnë 
. Për shembull, nëse 
, A 
grupi i rrënjëve të ekuacionit 
, Kjo .
(Ndonjehere 
). Një grup elementesh që i përkasin dhe A Dhe B, thirri kryqëzim vendos dhe shënohet 
. Bashkësia e të gjithë elementëve të një grupi ^A, të cilat nuk përfshihen në B, thirri dallimi vendos dhe shënohet 
. Këto operacione mund të paraqiten skematikisht si më poshtë:
. Çdo grup A, ekuivalente me bashkësinë e numrave natyrorë N= thirrur të numërueshme ose të numërueshme. Me fjalë të tjera, një grup quhet i numërueshëm nëse elementët e tij mund të numërohen dhe renditen në një pafundësi pasues 
, të gjithë anëtarët e së cilës janë të ndryshëm: 
në 
, dhe mund të shkruhet në formën . Quhen grupe të tjera të pafundme të panumërta. I numërueshëm, me përjashtim të vetë grupit N, do të ketë, për shembull, grupe 
, Z. Rezulton se bashkësitë e të gjithë numrave racionalë dhe algjebrikë janë të numërueshëm, dhe bashkësitë ekuivalente të të gjithë numrave dhe pikave iracionale, transcendentale, reale të çdo intervali janë të panumërueshme. Ata thonë se këto të fundit kanë fuqinë e vazhdimësisë (fuqia është një përgjithësim i konceptit të numrit (numrit) të elementeve për një grup të pafund).
. Simboli 
do të thotë: "nëse është e vërtetë, atëherë e vërtetë dhe" ose "pason", "do të thotë që rrënja e ekuacionit ka vetinë nga anglishtja ekzistojnë- ekzistojnë.
, ose 
, do të thotë: ka (të paktën një) objekt që ka pronën 
. Dhe regjistrimi 
, ose 
, do të thotë: të gjithë e kanë pronën. Në veçanti, mund të shkruajmë: 
Dhe .
