Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Teksti mësimor i matematikës për klasën e 5-të. institucionet arsimore.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: tekst shkollor për klasën e 7-të. institucionet arsimore.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: Libër mësuesi për klasën e 8-të. institucionet arsimore.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: Libër mësuesi për klasën e 9-të. institucionet arsimore.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dhe të tjera Algjebra dhe fillimet e analizës: Libër mësuesi për klasat 10 - 11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (një manual për ata që hyjnë në shkolla teknike).

Më herët kemi folur tashmë se çfarë është fuqia e një numri. Ka veti të caktuara që janë të dobishme në zgjidhjen e problemeve: ne do t'i analizojmë ato dhe të gjithë eksponentët e mundshëm në këtë artikull. Gjithashtu do të tregojmë qartë me shembuj se si ato mund të vërtetohen dhe zbatohen drejt në praktikë.

Le të kujtojmë konceptin e formuluar më parë të një shkalle me një eksponent natyror: ky është prodhimi i numrit të n-të të faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me a. Do të na duhet gjithashtu të kujtojmë se si të shumëzojmë saktë numrat realë. E gjithë kjo do të na ndihmojë të formulojmë vetitë e mëposhtme për një shkallë me një eksponent natyror:

Përkufizimi 1

1. Vetia kryesore e shkallës: a m · a n = a m + n

Mund të përgjithësohet në: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Vetia e herësit për shkallët që kanë baza të njëjta: a m: a n = a m − n

3. Vetia e fuqisë së produktit: (a · b) n = a n · b n

Barazia mund të zgjerohet në: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. Vetia e herësit ndaj shkallës natyrore: (a: b) n = a n: b n

5. Ngritni fuqinë në fuqinë: (a m) n = a m n ,

Mund të përgjithësohet në: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

6. Krahasoni shkallën me zero:

• nëse a > 0, atëherë për çdo numër natyror n, do të jetë një n Mbi zero;
• me një të barabartë me 0, një n gjithashtu do të jetë e barabartë me zero;
• në një< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• në një< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Barazi a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Pabarazia a m > a n do të jetë e vërtetë me kusht që m dhe n të jenë numra natyrorë, m të jetë më i madh se n dhe a të jetë më i madh se zero dhe jo më i vogël se një.

Si rezultat, ne morëm disa barazi; nëse plotësohen të gjitha kushtet e mësipërme, ato do të jenë identike. Për secilën nga barazitë, për shembull, për pronën kryesore, mund të ndërroni anët e djathta dhe të majta: a m · a n = a m + n - njësoj si një m + n = a m · a n. Në këtë formë përdoret shpesh për të thjeshtuar shprehjet.

1. Le të fillojmë me vetinë bazë të shkallës: barazia a m · a n = a m + n do të jetë e vërtetë për çdo m dhe n natyrore dhe a reale. Si të vërtetohet kjo deklaratë?

Përkufizimi bazë i fuqive me eksponentë natyrorë do të na lejojë të transformojmë barazinë në një produkt faktorësh. Do të marrim një rekord si ky:

Kjo mund të shkurtohet në (kujtoni vetitë themelore të shumëzimit). Si rezultat, morëm fuqinë e numrit a me eksponent natyror m + n. Kështu, një m + n, që do të thotë se vetia kryesore e shkallës është vërtetuar.

Le të shohim një shembull specifik që e vërteton këtë.

Shembulli 1

Pra, ne kemi dy fuqi me bazën 2. Treguesit e tyre natyrorë janë përkatësisht 2 dhe 3. Kemi barazinë: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Le të llogarisim vlerat për të kontrolluar vlefshmërinë e kësaj barazie.

Le të kryejmë veprimet e nevojshme matematikore: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 dhe 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Si rezultat, ne morëm: 2 2 · 2 3 = 2 5. Prona eshte e vertetuar.

Për shkak të vetive të shumëzimit, ne mund ta përgjithësojmë vetinë duke e formuluar atë në formën e tre ose më shumë fuqive, eksponentët e të cilëve janë numrat natyrorë, dhe bazat janë të njëjta. Nëse shënojmë numrin e numrave natyrorë n 1, n 2, etj. me shkronjën k, marrim barazinë e saktë:

a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Shembulli 2

2. Më pas, duhet të vërtetojmë vetinë e mëposhtme, e cila quhet veti herës dhe është e natyrshme në fuqitë me të njëjtat baza: kjo është barazia a m: a n = a m − n, e cila është e vlefshme për çdo m dhe n natyrore (dhe m është më i madh se n)) dhe çdo real jozero a .

Për të filluar, le të sqarojmë se cili është saktësisht kuptimi i kushteve që përmenden në formulim. Nëse marrim një të barabartë me zero, atëherë përfundojmë me pjesëtim me zero, gjë që nuk mund ta bëjmë (në fund të fundit, 0 n = 0). Kushti që numri m duhet të jetë më i madh se n është i nevojshëm që të mund të qëndrojmë brenda kufijve të eksponentëve natyrorë: duke zbritur n nga m, marrim një numër natyror. Nëse kushti nuk plotësohet, do të përfundojmë me një numër negativ ose zero dhe përsëri do të shkojmë përtej studimit të shkallëve me eksponentë natyrorë.

Tani mund të kalojmë te prova. Nga ajo që kemi studiuar më parë, le të kujtojmë vetitë themelore të thyesave dhe të formulojmë barazinë si më poshtë:

a m − n · a n = a (m − n) + n = a m

Prej tij mund të nxjerrim: a m − n · a n = a m

Le të kujtojmë lidhjen midis pjesëtimit dhe shumëzimit. Prej tij rezulton se a m − n është herësi i fuqive a m dhe a n . Kjo është prova e vetive të dytë të shkallës.

Shembulli 3

Për qartësi, le të zëvendësojmë numra specifikë në eksponentë dhe bazën e shkallës e shënojmë si π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Më pas do të analizojmë vetinë e fuqisë së një produkti: (a · b) n = a n · b n për çdo a dhe b reale dhe n natyrore.

Sipas përkufizimit bazë të një fuqie me një eksponent natyror, ne mund ta riformulojmë barazinë si më poshtë:

Duke kujtuar vetitë e shumëzimit, shkruajmë: . Kjo do të thotë njësoj si një n · b n.

Shembulli 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

Nëse kemi tre ose më shumë faktorë, atëherë kjo veti vlen edhe për këtë rast. Le të prezantojmë shënimin k për numrin e faktorëve dhe të shkruajmë:

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

Shembulli 5

Me numra të caktuar marrim barazinë e saktë të mëposhtme: (2 · (- 2 , 3) ​​· a) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) ​​7 · a

4. Pas kësaj, do të përpiqemi të vërtetojmë vetinë e herësit: (a: b) n = a n: b n për çdo real a dhe b, nëse b nuk është i barabartë me 0 dhe n është një numër natyror.

Për ta vërtetuar këtë, mund të përdorni veçorinë e mëparshme të gradave. Nëse (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n , dhe (a: b) n · b n = a n , atëherë rrjedh se (a: b) n është herësi i pjesëtimit a n nga b n.

Shembulli 6

Le të llogarisim një shembull: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Shembulli 7

Le të fillojmë menjëherë me një shembull: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Tani le të formulojmë një zinxhir barazish që do të na vërtetojnë se barazia është e vërtetë:

Nëse në shembull kemi shkallë shkallësh, atëherë kjo veti është e vërtetë edhe për ta. Nëse kemi ndonjë numër natyror p, q, r, s, atëherë do të jetë e vërtetë:

a p q y s = a p q y s

Shembulli 8

Le të shtojmë disa specifika: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Një tjetër veti e fuqive me një eksponent natyror që duhet të vërtetojmë është vetia e krahasimit.

Së pari, le të krahasojmë shkallën me zero. Pse a n > 0, me kusht që a të jetë më e madhe se 0?

Nëse shumëzojmë një numër pozitiv me një tjetër, fitojmë gjithashtu një numër pozitiv. Duke e ditur këtë fakt, mund të themi se nuk varet nga numri i faktorëve - rezultati i shumëzimit të çdo numri numrash pozitivë është një numër pozitiv. Çfarë është një shkallë nëse jo rezultat i shumëzimit të numrave? Atëherë për çdo fuqi a n me bazë pozitive dhe eksponent natyror kjo do të jetë e vërtetë.

Shembulli 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 dhe 34 9 13 51 > 0

Është gjithashtu e qartë se një fuqi me një bazë të barabartë me zero është në vetvete zero. Pavarësisht se cilës fuqi e ngremë zeron, ajo do të mbetet zero.

Shembulli 10

0 3 = 0 dhe 0 762 = 0

Nëse baza e shkallës është një numër negativ, atëherë vërtetimi është pak më i ndërlikuar, pasi koncepti i eksponentit çift/tek bëhet i rëndësishëm. Le të marrim fillimisht rastin kur eksponenti është çift dhe ta shënojmë 2 · m, ku m është një numër natyror.

Le të kujtojmë se si të shumëzojmë saktë numrat negativë: produkti a · a është i barabartë me produktin e modulit, dhe, për rrjedhojë, do të jetë një numër pozitiv. Pastaj dhe shkalla a 2 m janë gjithashtu pozitive.

Shembulli 11

Për shembull, (− 6) 4 > 0, (− 2, 2) 12 > 0 dhe - 2 9 6 > 0

Po sikur eksponenti me bazë negative të jetë një numër tek? Le ta shënojmë 2 · m − 1 .

Pastaj

Të gjitha prodhimet a · a, sipas vetive të shumëzimit, janë pozitive, po kështu edhe prodhimi i tyre. Por nëse e shumëzojmë me numrin e vetëm të mbetur a, atëherë rezultati përfundimtar do të jetë negativ.

Pastaj marrim: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Si ta vërtetojmë këtë?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Shembulli 12

Për shembull, pabarazitë e mëposhtme janë të vërteta: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Thjesht duhet të vërtetojmë vetinë e fundit: nëse kemi dy fuqi, bazat e të cilave janë identike dhe pozitive, dhe eksponentët e të cilëve janë numra natyrorë, atëherë ai eksponenti i të cilit është më i vogël është më i madh; dhe prej dy fuqive me eksponentë natyrorë dhe baza identike më të mëdha se një, ai eksponenti i të cilit është më i madh është më i madh.

Le t'i vërtetojmë këto deklarata.

Fillimisht duhet të sigurohemi që një m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Le të marrim një n nga kllapat, pas së cilës ndryshimi ynë do të marrë formën a n · (a m − n − 1) . Rezultati i tij do të jetë negativ (sepse rezultati i shumëzimit të një numri pozitiv me një numër negativ është negativ). Në fund të fundit, sipas kushteve fillestare, m − n > 0, pastaj a m − n − 1 është negativ, dhe faktori i parë është pozitiv, si çdo fuqi natyrore me bazë pozitive.

Doli që një m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Mbetet të vërtetohet pjesa e dytë e pohimit të formuluar më sipër: a m > a është e vërtetë për m > n dhe a > 1. Le të tregojmë ndryshimin dhe të vendosim një n jashtë kllapave: (a m − n − 1 do të japë fuqia e një n për një më të madhe se një). rezultat pozitiv; dhe vetë ndryshimi do të dalë gjithashtu pozitiv për shkak të kushteve fillestare, dhe për a > 1 shkalla a m − n është më e madhe se një. Rezulton se a m − a n > 0 dhe a m > a n, që është ajo që na duhej të vërtetonim.

Shembulli 13

Shembull me numra specifikë: 3 7 > 3 2

Vetitë themelore të shkallëve me eksponentë numër të plotë

Për fuqitë me eksponentë të numrave të plotë pozitivë, vetitë do të jenë të ngjashme, sepse numrat e plotë pozitivë janë numra natyrorë, që do të thotë se të gjitha barazitë e vërtetuara më sipër janë gjithashtu të vërteta për ta. Ato janë gjithashtu të përshtatshme për rastet kur eksponentët janë negativë ose të barabartë me zero (me kusht që baza e vetë shkallës të jetë jo zero).

Kështu, vetitë e fuqive janë të njëjta për çdo bazë a dhe b (me kusht që këta numra të jenë real dhe jo të barabartë me 0) dhe çdo eksponent m dhe n (me kusht që të jenë numra të plotë). Le t'i shkruajmë shkurtimisht në formën e formulave:

Përkufizimi 2

1. a m · a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a · b) n = a n · b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (a m) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n subjekt i numrit të plotë pozitiv n, pozitiv a dhe b, a< b

Ora 7 e mëngjesit< a n , при условии целых m и n , m >n dhe 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Nëse baza e shkallës është zero, atëherë shënimet a m dhe a n kanë kuptim vetëm në rastin e m dhe n natyrore dhe pozitive. Si rezultat, konstatojmë se formulimet e mësipërme janë të përshtatshme edhe për rastet me fuqi me bazë zero, nëse plotësohen të gjitha kushtet e tjera.

Provat e këtyre vetive në këtë rast janë të thjeshta. Do të duhet të kujtojmë se çfarë është një shkallë me një eksponent natyror dhe numër të plotë, si dhe vetitë e veprimeve me numra realë.

Le të shohim vetinë e fuqisë në fuqi dhe të provojmë se është e vërtetë si për numrat e plotë pozitivë ashtu edhe për ato jopozitive. Le të fillojmë duke vërtetuar barazitë (a p) q = a p · q, (a − p) q = a (− p) · q, (a p) − q = a p · (− q) dhe (a − p) − q = a (− p) · (− q)

Kushtet: p = 0 ose numër natyror; q – e ngjashme.

Nëse vlerat e p dhe q janë më të mëdha se 0, atëherë marrim (a p) q = a p · q. Ne kemi vërtetuar tashmë një barazi të ngjashme më parë. Nëse p = 0, atëherë:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Prandaj, (a 0) q = a 0 q

Për q = 0 gjithçka është saktësisht e njëjtë:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Rezultati: (a p) 0 = a p · 0 .

Nëse të dy treguesit janë zero, atëherë (a 0) 0 = 1 0 = 1 dhe a 0 · 0 = a 0 = 1, që do të thotë (a 0) 0 = a 0 · 0.

Le të kujtojmë vetinë e herësve në një shkallë të provuar më sipër dhe të shkruajmë:

1 a p q = 1 q a p q

Nëse 1 p = 1 1 … 1 = 1 dhe a p q = a p q, atëherë 1 q a p q = 1 a p q

Ne mund ta transformojmë këtë shënim në bazë të rregullave bazë të shumëzimit në një (− p) · q.

Gjithashtu: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .

Dhe (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Vetitë e mbetura të shkallës mund të vërtetohen në mënyrë të ngjashme duke transformuar pabarazitë ekzistuese. Ne nuk do të ndalemi në këtë në detaje, do të theksojmë vetëm pikat e vështira.

Vërtetimi i vetive të parafundit: kujtoni se a − n > b − n është e vërtetë për çdo vlerë të plotë negativ n dhe çdo pozitiv a dhe b, me kusht që a të jetë më e vogël se b.

Atëherë pabarazia mund të transformohet si më poshtë:

1 a n > 1 b n

Le të shkruajmë anët e djathta dhe të majta si dallim dhe të kryejmë transformimet e nevojshme:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

Kujtojmë se në kushtin a është më i vogël se b, atëherë, sipas përkufizimit të një shkalle me një eksponent natyror: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n përfundon të jetë një numër pozitiv sepse faktorët e tij janë pozitiv. Si rezultat, kemi thyesën b n - a n a n · b n, e cila në fund të fundit gjithashtu jep një rezultat pozitiv. Prandaj 1 a n > 1 b n prej nga a − n > b − n , që është ajo që na duhej të vërtetonim.

Vetia e fundit e fuqive me eksponentë të plotë vërtetohet në mënyrë të ngjashme me vetinë e fuqive me eksponentë natyrorë.

Vetitë themelore të fuqive me eksponentë racional

Në artikujt e mëparshëm, ne shikuam se çfarë është një shkallë me një eksponent racional (fraksional). Vetitë e tyre janë të njëjta me ato të shkallëve me eksponentë numër të plotë. Le të shkruajmë:

Përkufizimi 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 për një > 0, dhe nëse m 1 n 1 > 0 dhe m 2 n 2 > 0, atëherë për një ≥ 0 (vetia e produktit gradë me të njëjtat baza).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, nëse a > 0 (vetia e herësit).

3. a · b m n = a m n · b m n për a > 0 dhe b > 0, dhe nëse m 1 n 1 > 0 dhe m 2 n 2 > 0, atëherë për një ≥ 0 dhe (ose) b ≥ 0 (vetia e produktit në shkalla e pjesshme).

4. a: b m n = a m n: b m n për a > 0 dhe b > 0, dhe nëse m n > 0, atëherë për a ≥ 0 dhe b > 0 (vetia e një herësi ndaj një fuqie thyesore).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 për një > 0, dhe nëse m 1 n 1 > 0 dhe m 2 n 2 > 0, atëherë për një ≥ 0 (vetia e shkallës në gradë).

6.a f< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0 ; nëse p< 0 - a p >b p (vetia e krahasimit të fuqive me eksponentë racionalë të barabartë).

7.a f< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q në 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Për të vërtetuar këto dispozita, duhet të kujtojmë se çfarë është një shkallë me një eksponent thyesor, cilat janë vetitë e rrënjës aritmetike të shkallës së n-të dhe cilat janë vetitë e një shkalle me eksponentë të plotë. Le të shohim çdo pronë.

Sipas asaj që është një shkallë me një eksponent thyesor, marrim:

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 dhe a m 2 n 2 = a m 2 n 2, pra, a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Vetitë e rrënjës do të na lejojnë të nxjerrim barazitë:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Nga kjo marrim: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Le të transformojmë:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Eksponenti mund të shkruhet si:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Kjo është prova. Vetia e dytë vërtetohet saktësisht në të njëjtën mënyrë. Le të shkruajmë një zinxhir barazish:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Provat e barazive të mbetura:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Vetia tjetër: le të vërtetojmë se për çdo vlerë të a dhe b më të madhe se 0, nëse a është më e vogël se b, do të plotësohet një p.< b p , а для p больше 0 - a p >b fq

Le ta paraqesim numrin racional p si m n. Në këtë rast, m është një numër i plotë, n është një numër natyror. Pastaj kushtet p< 0 и p >0 do të shtrihet në m< 0 и m >0 . Për m > 0 dhe a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Ne përdorim vetinë e rrënjëve dhe prodhimit: a m n< b m n

Duke marrë parasysh vlerat pozitive të a dhe b, ne e rishkruajmë pabarazinë si m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Në të njëjtën mënyrë për m< 0 имеем a a m >b m , marrim një m n > b m n që do të thotë a m n > b m n dhe a p > b p .

Na mbetet të japim një dëshmi të pasurisë së fundit. Le të vërtetojmë se për numrat racional p dhe q, p > q në 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 do të jetë e vërtetë a p > a q .

Numrat racional p dhe q mund të reduktohen në një emërues të përbashkët dhe të marrin thyesat m 1 n dhe m 2 n

Këtu m 1 dhe m 2 janë numra të plotë, dhe n është një numër natyror. Nëse p > q, atëherë m 1 > m 2 (duke marrë parasysh rregullin për krahasimin e thyesave). Pastaj në 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – pabarazi a 1 m > a 2 m.

Ato mund të rishkruhen si më poshtë:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Atëherë mund të bëni transformime dhe të përfundoni me:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Për ta përmbledhur: për p > q dhe 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Vetitë themelore të fuqive me eksponentë irracionalë

Në një shkallë të tillë mund të zgjerohen të gjitha vetitë e përshkruara më sipër që ka një shkallë me eksponentë racionalë. Kjo rrjedh nga vetë përkufizimi i tij, të cilin e dhamë në një nga artikujt e mëparshëm. Le të formulojmë shkurtimisht këto veti (kushtet: a > 0, b > 0, eksponentët p dhe q janë numra irracionalë):

Përkufizimi 4

1. a p · a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a · b) p = a p · b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p · q

6.a f< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >b fq

7.a f< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, pastaj a p > a q.

Kështu, të gjitha fuqitë, eksponentët e të cilëve p dhe q janë numra realë, me kusht a > 0, kanë të njëjtat veti.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Pamja paraprake:

INSTITUCIONI ARSIMOR BUXHETAR KOMUNAL

SHKOLLA E MESME Nr.11

QYTET FORMACIONI KOMUNAL – RESORT ANAPA

Nominimi "Shkencat fizike dhe matematikore (matematika)"

Plan - përmbledhje mësimi me temën:

klasa e 7-të

Zhvilluar nga: Bykova E.A., mësuese matematike e kategorisë më të lartë të kualifikimit

Anapa, 2013

Mësimi i hapur i algjebrës në klasën e 7-të me temën:

"Vetitë e një shkalle me një eksponent natyror"

Objektivat e mësimit:

Edukative:– zhvillimi i aftësisë për të sistemuar dhe përgjithësuar njohuritë për shkallët me një eksponent natyror, për të konsoliduar dhe përmirësuar aftësitë e shndërrimeve të thjeshta të shprehjeve që përmbajnë shkallë me një eksponent natyror.

Edukative: – nxitja e veprimtarisë njohëse, ndjenjës së përgjegjësisë, kulturës së komunikimit, kulturës së dialogut.

Edukative: - zhvillimi i kujtesës vizuale, matematikisht fjalim kompetent, të menduarit logjik, perceptim i ndërgjegjshëm i materialit edukativ.

Detyrat:

1. Tema: përsëritni, përgjithësoni dhe sistematizoni njohuritë për këtë temë, krijoni kushte për kontroll (kontroll të ndërsjellë) të asimilimit të njohurive dhe aftësive; vazhdojnë të ndërtojnë motivimin e nxënësve për të studiuar lëndën.

2. Meta-subjekt: të zhvillojnë një stil operacional të të menduarit, të nxisin përvetësimin e aftësive të komunikimit nga studentët kur punojnë së bashku dhe të aktivizojnë të menduarit e tyre krijues; të vazhdojë të zhvillojë disa kompetenca të nxënësve që do të kontribuojnë në shoqërizimin efektiv, vetë-edukimin dhe aftësitë e tyre vetë-edukuese.

3. Personale: kultivoni kulturën, promovoni formimin e cilësive personale që synojnë një qëndrim miqësor, tolerant ndaj njerëzve dhe jetës; kultivojnë iniciativën dhe pavarësinë në aktivitete; çojnë në kuptimin e nevojës së temës që studiohet për përgatitje të suksesshme për certifikimin përfundimtar shtetëror.

Lloji i mësimit: mësim i përgjithshëm mbi temën.

Lloji i mësimit: të kombinuara.

Struktura e mësimit:

1. Momenti organizativ.

2. Raportoni temën, qëllimet dhe objektivat e mësimit.

3. Riprodhimi i asaj që është mësuar dhe zbatimi i saj në situata standarde.

4. Transferimi i njohurive të marra, zbatimi parësor i tyre në kushte të reja ose të ndryshuara, me synim zhvillimin e aftësive.

5.Elementet e teknologjive të kursimit të shëndetit.

6.Nxënësit kryejnë në mënyrë të pavarur detyrat nën mbikëqyrjen e mësuesit.

7. Përmbledhja e mësimit dhe vendosja e detyrave të shtëpisë.

Pajisjet: projektor multimedial, kompjuter.

Prezantimi në Microsoft Office Power Point 2007(Shtojca 1)

Plani i mësimit:

Literatura:

1. Algjebra: tekst shkollor. për klasën e 7-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / Yu.N. Makarychev, N.G ​​Mindyuk dhe të tjerë; redaktuar nga S.A. Telyakovsky. – M.: Arsimi, 2008.

2. Zvavich L.I., Kuznetsova L.V., Suvorova S.B. Materiale didaktike mbi algjebër për klasën e 7-të. – M.: Arsimi, 2009.

3. Koleksioni detyrat e testimit për kontrollin tematik dhe përfundimtar. Algjebra klasa e 7-të / S.A. Pushkin, I.L. Gusev. – M.: “Inteligjenca”, 2013.

4. T.Yu.Dyumina, A.A.Makhonina, “Algjebra. Planet e mësimit." - Volgograd: "Mësues", 2013

Gjatë orëve të mësimit

1. Momenti organizativ.

2. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë

3. Tema e mësimit. Qëllimet dhe objektivat e orës së mësimit.

Matematikë, miq,

Absolutisht të gjithë kanë nevojë për të.

Punoni me zell në klasë

Dhe suksesi me siguri do t'ju presë!

4. Punë gojore.

a) Përsëritja e vetive të një shkalle me një eksponent natyror. Jepet një tabelë. Plotësoni hapësirat që mungojnë në kolonën e majtë dhe plotësoni detyrat në kolonën e djathtë.

b) Gjatë kryerjes së detyrave për të transformuar shprehjet që përmbajnë fuqi, nxënësi bëri gabimet e mëposhtme:(shkruani në tabelë)

1) a) ; b) ;

V) ; G) ;

2) a) ; b) ;

V) ; G) ;

3) a) ; b) ;

V) .

Cilat përkufizime, veti, rregulla nuk i di nxënësi?

5. Ushtrime stërvitore.

Nr.447 – në tabelë dhe në fletore me komentim të detajuar, duke përdorur vetitë e gradave;

Nr 450 (a, c) - në tabelë dhe në fletore;

Nr.445 – gojarisht.

6. Ushtrime fizike

Ata u ngritën shpejt në këmbë, buzëqeshën,

Ata e tërhoqën veten lart e më lart.

Epo, drejtoni shpatullat tuaja,

Ngrini, ulni.

Kthehu djathtas, kthehu majtas,

Prekni duart tuaja me gjunjë.

Ata u ulën, u ngritën, u ulën, u ngritën,

Dhe ata vrapuan në vend.

Të rinjtë studiojnë me ju

Zhvilloni vullnetin dhe zgjuarsinë.

7. Puna verifikuese individuale.

Çdo student kryen detyrat dhe shoqërohet nga një çelës që përdor të gjithë alfabetin për të parandaluar hamendjen e përgjigjeve me shkronjë. Në rast të vendimit të duhur, fjala e duhur.

Detyrat për çdo rresht janë individuale.

Celës

Rezultatet e punës shfaqen në një rrëshqitje për vetë-test:

Matematika

8. Përmbledhja e mësimit:

Përmbledhja e mësimit, vlerësimi.

– Listoni vetitë e një shkalle me një eksponent natyror.

Ne do të japim nota për mësimin pasi të kontrollojmë punën me testet, duke marrë parasysh përgjigjet e atyre nxënësve që janë përgjigjur gjatë orës së mësimit.

Zgjidh fjalëkryqin

Vertikalisht:

1. Ai e ndan dividentin
2. Figura elementare në një aeroplan
3. Barazi e vërtetë
4. Një e ndjekur nga nëntë zero
5. Është bërë pirg me të ngjashme
6. Dy në fuqinë e tre

Horizontalisht:

2. Numri i brinjëve në një trekëndësh

4. Shuma e monomëve

5. Përmblidhni

7. Një segment që lidh një pikë në një rreth me qendrën e tij

8. Ka një numërues dhe një emërues

9. Detyrë shtëpie:

Fuqia e një numri a me eksponent natyror n quhet ____________ n ____________, secili prej të cilëve është i barabartë me a. 1. Paraqisni produktin si fuqi: a). (-8) * (-8) * (-8) * (-8) * (-8) * ; b). (x-y)* (x-y) * (x-y) * (x-y) * ; 2. Ngritja në një fuqi: 3 4 ; (-0.2) 3; (2 /3) 2 Emërtoni bazën dhe eksponentin e fuqive të shkruara. Kur shumëzohen fuqitë me baza të njëjta, ___________ lihet i njëjtë dhe ___________ shtohen. Ndiqni këto hapa: a 4 * a 12 ; a 6 * a 9 * a; 3 2 * 3 3 Kur pjesëtohen fuqitë me baza të njëjta, ___________ lihet i njëjtë, kurse nga numëruesi __________ _________ __________ emërues. Ndiqni hapat: a 12: a 4 ; f 9: f 3: p; 3 5: 3 2 Kur ngrihet një fuqi në një fuqi, _______________ lihet e njëjtë dhe __________ shumëzohet. Ndiqni këto hapa: ; (m 3) 7 ; (k 4) 5 ; (4 2) 3 Kur rritet një produkt në një fuqi, _____________ ____________ ngrihet në atë fuqi dhe rezultatet shumëzohen. Kryeni fuqizimin: (-2 a 3 b 2) 5 ; (1 /3p 2 q 3) 3 Fuqia e një numri a, jo i barabartë me zero, me një eksponent zero është Njehsoni: 3 x 0 në x = 2,6 Le të përsërisim!

Stuhi mendimesh

Ata u ngritën shpejt në këmbë, buzëqeshën dhe u tërhoqën gjithnjë e më lart. Ejani, drejtoni shpatullat, ngrijini, ulni. Ktheni djathtas, majtas, prekni duart me gjunjë. U ulën, u ngritën, u ulën, u ngritën dhe vrapuan në vend. Të rinjtë mësojnë me ju të zhvillojnë vullnetin dhe zgjuarsinë.

Punë testimi individuale № p/p Detyra 1 rresht № p/p Detyra 2 rresht № p/p Detyra 3 rresht 1 m 3 * m 2 * m 8 1 a 4 * a 3 * a 2 1 a 4 * a * a 3 * a 2 p 20: p 17 2 (2 4) 5: (2 7) 2 2 (7x) 2 3 c 5: c 0 3 3 * 3 2 * 3 0 3 p * p 2 * p 0 4 (3a ) 3 4 (2y) 5 4 c * c 3 * c 5 m * m 5 * m 3 * m 0 5 (m 2) 4 * m 5 m * m 4 * (m 2) 2 * m 0 6 2 14 : 2 8 6 (2 3) 2 6 (2 3) 7: (2 5) 3 7 (-x) 3 * x 4 7 (-x 3) *(- x) 4 7 -x 3 * (-x ) 4 8 (p * p 3) : p 5 8 (p 2 * p 5) : p 4 * p 0 8 (p 2) 4: p 5 9 3 7 * (3 2) 3: 3 10 9 (3 5) 2 * 3 7: 3 14 9 (3 4) 2 * (3 2) 3: 3 11

Kontrolloni veten! Celës! A B C D E F G H I K m 9 32y 5 81 a 9 x 3 49x 2 m 5 p 4 c 5 27a 3 L M N O P R S T U V 64 3 4 p 3 27 2 5 x 7 p 6 m 3 m 13 a Ш 8 Хь ЦУ Ш3 7 16a 4 25 10y 5 9y 7 -x 7 a 2 32x 5 49y 3 I x 5

matematikë

MENDOS Fjalëkryqin vertikalisht: 1. Ndan dividentin 2. Një figurë elementare në një rrafsh 3. Barazi e vërtetë 4. Një me nëntë zero 5. Është shtuar në pëlqimin 6. Dy në fuqinë e tre Horizontalisht: 2. Numri i brinjëve në një trekëndësh 4. Shumës së monomëve 5. Shuma 7. Një segment që lidh një pikë në një rreth me qendrën e tij 8. Ka një numërues dhe një emërues

Përmbledhje e mësimit Vlerësimi i detyrave të shtëpisë, përgjigjet në pyetjet f. 101, nr.450(b,d), nr.534, nr.453.