Në trigonometri, shumë formula janë më të lehta për t'u nxjerrë sesa për t'u mësuar përmendësh. Kosinusi i këndit të dyfishtë është një formulë e mrekullueshme! Ju lejon të merrni formula për zvogëlimin e shkallëve dhe formula për gjysmë kënde.
Pra, na duhet kosinusi i këndit të dyfishtë dhe njësia trigonometrike:
Madje ato janë të ngjashme: në formulën e kosinusit me kënd të dyfishtë është diferenca midis katrorëve të kosinusit dhe sinusit, dhe në njësinë trigonometrike është shuma e tyre. Nëse shprehim kosinusin nga njësia trigonometrike:
dhe e zëvendësojmë atë në kosinusin e këndit të dyfishtë, marrim:
Kjo është një tjetër formulë kosinusi me kënd të dyfishtë:
Kjo formulë është çelësi për të marrë formulën e reduktimit:
Pra, formula për uljen e shkallës së sinusit është:
Nëse në të këndi alfa zëvendësohet nga një gjysmë kënd alfa në gjysmë, dhe këndi i dyfishtë dy alfa zëvendësohet nga një kënd alfa, atëherë marrim formulën e gjysmëkëndit për sinusin:
Tani mund të shprehim sinusin nga njësia trigonometrike:
Le ta zëvendësojmë këtë shprehje në formulën e kosinusit me kënd të dyfishtë:
Ne morëm një formulë tjetër për kosinusin e një këndi të dyfishtë:
Kjo formulë është çelësi për gjetjen e formulës për reduktimin e fuqisë së kosinusit dhe gjysmës së këndit për kosinusin.
Kështu, formula për zvogëlimin e shkallës së kosinusit është:
Nëse e zëvendësojmë α me α/2 dhe 2α me α, marrim formulën për gjysmën e argumentit për kosinusin:
Meqenëse tangjentja është raporti i sinusit me kosinusin, formula për tangjenten është:
Kotangjenti është raporti i kosinusit me sinusin. Prandaj, formula për kotangjent është:
Sigurisht, në procesin e thjeshtimit të shprehjeve trigonometrike, nuk ka kuptim të nxjerrim formulën për gjysmë këndi ose të zvogëlojmë një shkallë çdo herë. Është shumë më e lehtë të vendosni një fletë letre me formula para jush. Dhe thjeshtimi do të ecë më shpejt, dhe kujtesa vizuale do të aktivizojë memorizimin.
Por ende ia vlen t'i nxjerrim këto formula disa herë. Atëherë do të jeni absolutisht i sigurt se gjatë provimit, kur nuk është e mundur të përdorni një fletë mashtrimi, do t'i merrni lehtësisht nëse lind nevoja.
Janë dhënë marrëdhëniet ndërmjet funksioneve bazë trigonometrike - sinus, kosinus, tangjent dhe kotangjent. formulat trigonometrike. Dhe meqenëse ka mjaft lidhje midis funksioneve trigonometrike, kjo shpjegon bollëkun e formulave trigonometrike. Disa formula lidhin funksione trigonometrike të të njëjtit kënd, të tjera - funksione të një këndi të shumëfishtë, të tjera - ju lejojnë të zvogëloni shkallën, e katërta - shprehni të gjitha funksionet përmes tangjentës së një gjysmë këndi, etj.
Në këtë artikull do të rendisim me radhë të gjitha formulat bazë trigonometrike, të cilat janë të mjaftueshme për të zgjidhur shumicën dërrmuese të problemeve të trigonometrisë. Për lehtësinë e memorizimit dhe përdorimit, ne do t'i grupojmë ato sipas qëllimit dhe do t'i vendosim në tabela.
Navigimi i faqes.
Identitetet bazë trigonometrike
Identitetet bazë trigonometrike Përcaktoni marrëdhënien midis sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi. Ato rrjedhin nga përkufizimi i sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës, si dhe konceptit të rrethit njësi. Ato ju lejojnë të shprehni një funksion trigonometrik në terma të çdo funksioni tjetër.
Për një përshkrim të hollësishëm të këtyre formulave të trigonometrisë, derivimin e tyre dhe shembujt e aplikimit, shihni artikullin.
Formulat e reduktimit
Formulat e reduktimit vijojnë nga vetitë e sinusit, kosinusit, tangjentit dhe kotangjentit, domethënë ato pasqyrojnë vetinë e periodicitetit funksionet trigonometrike, vetia e simetrisë, si dhe vetia e zhvendosjes me një kënd të caktuar. Këto formula trigonometrike ju lejojnë të kaloni nga puna me kënde arbitrare në punën me kënde që variojnë nga zero në 90 gradë.
Arsyeja për këto formula, një rregull kujtues për memorizimin e tyre dhe shembuj të zbatimit të tyre mund të studiohen në artikull.
Formulat e shtimit
Formulat trigonometrike shtesë tregojnë se si funksionet trigonometrike të shumës ose ndryshimit të dy këndeve shprehen në funksion të funksioneve trigonometrike të atyre këndeve. Këto formula shërbejnë si bazë për nxjerrjen e formulave trigonometrike të mëposhtme.
Formulat për dyshe, treshe etj. këndi
Formulat për dyshe, treshe etj. këndi (ato quhen edhe formula këndore të shumëfishta) tregojnë se si funksionet trigonometrike të dyfishit, trefishit, etj. këndet () shprehen me funksione trigonometrike të një këndi të vetëm. Derivimi i tyre bazohet në formulat e mbledhjes.
Informacion më të detajuar është mbledhur në formulat e artikullit për dyfishin, trefishin, etj. këndi
Formulat e gjysmëkëndit
Formulat e gjysmëkëndit tregojnë se si shprehen funksionet trigonometrike të një gjysmëkëndi me kosinusin e një këndi të plotë. Këto formula trigonometrike rrjedhin nga formulat e këndit të dyfishtë.
Përfundimi i tyre dhe shembujt e aplikimit mund të gjenden në artikull.
Formulat e reduktimit të shkallës
Formulat trigonometrike për reduktimin e shkallëve kanë për qëllim të lehtësojnë kalimin nga shkallë natyrore funksionet trigonometrike në sinus dhe kosinus në shkallën e parë, por kënde të shumta. Me fjalë të tjera, ato ju lejojnë të zvogëloni fuqitë e funksioneve trigonometrike në të parën.
Formulat për shumën dhe ndryshimin e funksioneve trigonometrike
Qëllimi kryesor formulat për shumën dhe ndryshimin e funksioneve trigonometrikeështë të shkosh te produkti i funksioneve, gjë që është shumë e dobishme kur thjeshtohen shprehjet trigonometrike. Këto formula përdoren gjithashtu gjerësisht në zgjidhje ekuacionet trigonometrike, pasi ato ju lejojnë të faktorizoni shumën dhe ndryshimin e sinuseve dhe kosinuseve.
Formulat për prodhimin e sinuseve, kosinuseve dhe sinusit për kosinus
Kalimi nga produkti i funksioneve trigonometrike në një shumë ose diferencë kryhet duke përdorur formulat për prodhimin e sinuseve, kosinuseve dhe sinusit për kosinus.
Zëvendësimi universal trigonometrik
Ne e plotësojmë rishikimin tonë të formulave bazë të trigonometrisë me formula që shprehin funksionet trigonometrike në termat e tangjentës së një gjysmë këndi. Ky zëvendësim u thirr zëvendësimi universal trigonometrik. Komoditeti i tij qëndron në faktin se të gjitha funksionet trigonometrike shprehen në terma të tangjentës së një gjysmë këndi në mënyrë racionale pa rrënjë.
Bibliografi.
- Algjebra: Libër mësuesi për klasën e 9-të. mesatare shkolla/Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Arsimi, 1990. - 272 f.: i sëmurë - ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M. I. Algjebra dhe fillimet e analizës: Teksti mësimor. për klasat 10-11. mesatare shkolla - botimi i 3-të. - M.: Arsimi, 1993. - 351 f.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algjebër dhe fillimi i analizës: Proc. për klasat 10-11. arsimi i përgjithshëm institucionet / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dhe të tjerë; Ed. A. N. Kolmogorov - Botimi i 14-të - M.: Arsimi, 2004. - 384 f.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematikë (një manual për ata që hyjnë në shkollat teknike): Proc. shtesa.- M.; Më e lartë shkolla, 1984.-351 f., ill.
E drejta e autorit nga studentë të zgjuar
Të gjitha të drejtat e rezervuara.
Mbrojtur nga ligji për të drejtën e autorit. Asnjë pjesë e faqes, duke përfshirë materialet e brendshme dhe pamjen, nuk mund të riprodhohet në asnjë formë ose të përdoret pa lejen paraprake me shkrim të mbajtësit të së drejtës së autorit.
Tani do të shqyrtojmë pyetjen se si të vizatojmë funksionet trigonometrike të këndeve të shumëfishta ωx, Ku ω - një numër pozitiv.
Për të grafikuar një funksion y = mëkat ωx Le ta krahasojmë këtë funksion me funksionin që kemi studiuar tashmë y = mëkat x. Le të supozojmë se kur x = x 0 funksionin y = mëkat x merr vlerën e barabartë me 0. Pastaj
y 0 = mëkat x 0 .
Le ta transformojmë këtë marrëdhënie si më poshtë:
Prandaj, funksioni y = mëkat ωx në X = x 0 / ω merr të njëjtën vlerë në 0 , i cili është i njëjtë me funksionin y = mëkat x në x = x 0 . Kjo do të thotë se funksioni y = mëkat ωx përsërit kuptimet e saj në ω herë më shpesh se funksioni y = mëkat x. Prandaj, grafiku i funksionit y = mëkat ωx përftohet duke “ngjeshur” grafikun e funksionit y = mëkat x V ω herë përgjatë boshtit x.
Për shembull, grafiku i një funksioni y = mëkat 2x përftohet duke “ngjeshur” një sinusoid y = mëkat x dy herë përgjatë boshtit x.
Grafiku i një funksioni y = mëkat x / 2 fitohet duke “shtrirë” sinusoidin y = sin x dy herë (ose duke e “ngjeshur” atë me 1 / 2 herë) përgjatë boshtit x.
Që nga funksioni y = mëkat ωx përsërit kuptimet e saj në ω
herë më shpesh se funksioni
y = mëkat x, atëherë periudha e saj është ω
herë më pak se periudha e funksionit y = mëkat x. Për shembull, periudha e funksionit y = mëkat 2x barazohet 2π/2 = π
, dhe periudhën e funksionit y = mëkat x / 2
barazohet π
/
x/ 2
= 4π .
Është interesante të studiohet sjellja e funksionit y = mëkat sëpatë duke përdorur shembullin e animacionit, i cili mund të krijohet shumë lehtë në program Panje:
Grafikët e funksioneve të tjera trigonometrike të këndeve të shumëfishta janë ndërtuar në mënyrë të ngjashme. Figura tregon grafikun e funksionit y = cos 2x, e cila përftohet nga “ngjeshja” e valës kosinus y = cos x dy herë përgjatë boshtit x.
Grafiku i një funksioni y = cos x / 2 e fituar nga “shtrirja” e valës kosinus y = cos x dyfishuar përgjatë boshtit x.
Në figurë shihni grafikun e funksionit y = tan 2x, e përftuar nga “ngjeshja” e tangentsoideve y = tan x dy herë përgjatë boshtit x.
Grafiku i një funksioni y = tg x/ 2 , e fituar nga “shtrirja” e tangentsoideve y = tan x dyfishuar përgjatë boshtit x.
Dhe së fundi, animacioni i realizuar nga programi Panje:
Ushtrime
1. Ndërtoni grafikët e këtyre funksioneve dhe tregoni koordinatat e pikave të kryqëzimit të këtyre grafikëve me boshtet koordinative. Përcaktoni periudhat e këtyre funksioneve.
A). y = mëkat 4x/ 3 G). y = tan 5x/ 6 dhe). y = cos 2x/ 3
b). y= cos 5x/ 3 d). y = ctg 5x/ 3 h). y=ctg x/ 3
V). y = tan 4x/ 3 e). y = mëkat 2x/ 3
2. Përcaktoni periudhat e funksioneve y = mëkat (πх) Dhe y = tg (πх/2).
3. Jepni dy shembuj funksionesh që marrin të gjitha vlerat nga -1 në +1 (përfshirë këta dy numra) dhe ndryshojnë periodikisht me periudhën 10.
4 *. Jepni dy shembuj funksionesh që marrin të gjitha vlerat nga 0 në 1 (duke përfshirë këta dy numra) dhe ndryshojnë periodikisht me një pikë π/2.
5. Jepni dy shembuj funksionesh që marrin të gjitha vlerat reale dhe ndryshojnë periodikisht me periudhën 1.
6 *. Jepni dy shembuj funksionesh që pranojnë të gjitha vlerat negative dhe zero, por nuk pranojnë vlera pozitive dhe ndryshojnë periodikisht me një periudhë prej 5.
