Këndet fqinje të një trekëndëshi. Kënde ngjitur dhe vertikale

Çfarë është një kënd ngjitur

Këndi- Kjo figura gjeometrike(Fig. 1), të formuara nga dy rreze OA dhe OB (anët e këndit), që dalin nga një pikë O (kulmi i këndit).

KËNDET AFRIJ- dy kënde shuma e të cilëve është 180°. Secili prej këtyre këndeve plotëson tjetrin me këndin e plotë.

Kënde ngjitur- (Agles adjacets) ato që kanë një majë të përbashkët dhe një anë të përbashkët. Kryesisht ky emër u referohet këndeve të të cilave dy anët e mbetura shtrihen në drejtime të kundërta të një vije të drejtë të tërhequr.

Dy kënde quhen ngjitur nëse kanë njërën anë të përbashkët, dhe anët e tjera të këtyre këndeve janë gjysmëdrejtëza plotësuese.

oriz. 2

Në figurën 2, këndet a1b dhe a2b janë ngjitur. Ata kanë një anë të përbashkët b, dhe anët a1, a2 janë gjysmëdrejtëza shtesë.

oriz. 3

Figura 3 tregon drejtëzën AB, pika C ndodhet midis pikave A dhe B. Pika D është një pikë që nuk shtrihet në të drejtën AB. Rezulton se këndet BCD dhe ACD janë ngjitur. Ata kanë një CD anësore të përbashkët, dhe anët CA dhe CB janë gjysmëdrejtëza shtesë të vijës së drejtë AB, pasi pikat A, B janë të ndara nga pika e fillimit C.

Teorema e këndit fqinj

Teorema: shuma e këndeve ngjitur është 180°

Dëshmi:
Këndet a1b dhe a2b janë ngjitur (shih Fig. 2) Rrezja b kalon ndërmjet brinjëve a1 dhe a2 të këndit të shpalosur. Prandaj, shuma e këndeve a1b dhe a2b është e barabartë me këndin e zhvilluar, pra 180°. Teorema është vërtetuar.

Një kënd i barabartë me 90° quhet kënd i drejtë. Nga teorema mbi shumën e këndeve ngjitur rezulton se një kënd ngjitur me një kënd të drejtë është gjithashtu një kënd i drejtë. Një kënd më i vogël se 90° quhet akut, dhe një kënd më i madh se 90° quhet i mpirë. Meqenëse shuma e këndeve ngjitur është 180°, atëherë këndi ngjitur me një kënd akut është një kënd i mpirë. Një kënd ngjitur me një kënd të mpirë është një kënd i mprehtë.

Kënde ngjitur- dy kënde me një kulm të përbashkët, njëra nga anët e të cilave është e përbashkët, dhe anët e mbetura shtrihen në të njëjtën drejtëz (nuk përputhen). Shuma e këndeve ngjitur është 180°.

Përkufizimi 1. Një kënd është një pjesë e një rrafshi të kufizuar nga dy rreze me një origjinë të përbashkët.

Përkufizimi 1.1. Një kënd është një figurë e përbërë nga një pikë - kulmi i këndit - dhe dy gjysmëdrejtëza të ndryshme që dalin nga kjo pikë - anët e këndit.
Për shembull, këndi BOC në Fig.1 Le të shqyrtojmë fillimisht dy drejtëza të kryqëzuara. Kur vijat e drejta kryqëzohen, ato formojnë kënde. Ka raste të veçanta:

Përkufizimi 2. Nëse brinjët e një këndi janë gjysmëdrejtëza shtesë të një vije të drejtë, atëherë këndi quhet i zhvilluar.

Përkufizimi 3. Një kënd i drejtë është një kënd me masë 90 gradë.

Përkufizimi 4. Një kënd më i vogël se 90 gradë quhet kënd akut.

Përkufizimi 5. Një kënd më i madh se 90 gradë dhe më i vogël se 180 gradë quhet kënd i mpirë.
vija të kryqëzuara.

Përkufizimi 6. Dy kënde, njëra anë e të cilave është e përbashkët dhe anët e tjera shtrihen në të njëjtën drejtëz, quhen fqinjë.

Përkufizimi 7. Këndet, brinjët e të cilëve vazhdojnë njëra-tjetrën quhen kënde vertikale.
Në figurën 1:
ngjitur: 1 dhe 2; 2 dhe 3; 3 dhe 4; 4 dhe 1
vertikale: 1 dhe 3; 2 dhe 4
Teorema 1. Shuma e këndeve ngjitur është 180 gradë.
Për provë, merrni parasysh në Fig. 4 kënde ngjitur AOB dhe BOC. Shuma e tyre është këndi i zhvilluar AOC. Prandaj, shuma e këtyre këndeve ngjitur është 180 gradë.

oriz. 4

Lidhja mes matematikës dhe muzikës

“Duke menduar për artin dhe shkencën, për lidhjet dhe kontradiktat e tyre të ndërsjella, arrita në përfundimin se matematika dhe muzika janë në polet ekstreme të shpirtit njerëzor, se e gjithë veprimtaria krijuese shpirtërore e njeriut kufizohet dhe përcaktohet nga këto dy antipode dhe se. çdo gjë qëndron mes tyre.çfarë ka krijuar njerëzimi në fushën e shkencës dhe të artit”.
G. Neuhaus
Duket se arti është një fushë shumë abstrakte nga matematika. Sidoqoftë, lidhja midis matematikës dhe muzikës përcaktohet si historikisht ashtu edhe nga brenda, përkundër faktit se matematika është shkenca më abstrakte, dhe muzika është forma më abstrakte e artit.
Konsonanca përcakton tingullin e këndshëm të një vargu
Ky sistem muzikor bazohej në dy ligje që mbajnë emrat e dy shkencëtarëve të mëdhenj - Pitagorës dhe Arkitas. Këto janë ligjet:
1. Dy vargje tingëlluese përcaktojnë konsonancën nëse gjatësitë e tyre lidhen si numra të plotë që formojnë një numër trekëndësh 10=1+2+3+4, d.m.th. si 1:2, 2:3, 3:4. Për më tepër, sa më i vogël të jetë numri n në raportin n:(n+1) (n=1,2,3), aq më konsonant është intervali që rezulton.
2. Frekuenca e vibrimit w të vargut tingëllues është në përpjesëtim të zhdrejtë me gjatësinë e tij l.
w = a:l,
ku a është një koeficient që karakterizon vetitë fizike të vargut.

Unë do t'ju ofroj gjithashtu një parodi qesharake rreth një debati midis dy matematikanëve =)

Gjeometria rreth nesh

Gjeometria në jetën tonë nuk ka rëndësi të vogël. Për faktin se kur shikoni përreth, nuk do të jetë e vështirë të vëreni se jemi të rrethuar nga forma të ndryshme gjeometrike. I ndeshim kudo: në rrugë, në klasë, në shtëpi, në park, në palestër, në kafenenë e shkollës, kryesisht kudo që jemi. Por tema e mësimit të sotëm është qymyri ngjitur. Pra, le të shohim përreth dhe të përpiqemi të gjejmë kënde në këtë mjedis. Nëse shikoni nga afër dritaren, mund të shihni se disa degë pemësh formojnë qoshe ngjitur, dhe në ndarjet në portë mund të shihni shumë kënde vertikale. Jepni shembujt tuaj të këndeve ngjitur që vëzhgoni në mjedisin tuaj.

Ushtrimi 1.

1. Ka një libër mbi tavolinë në një stendë librash. Çfarë këndi formon?
2. Por studenti është duke punuar në një laptop. Çfarë këndi shihni këtu?
3. Çfarë këndi formon korniza e fotografisë në stendë?
4. A mendoni se është e mundur që dy kënde fqinjë të jenë të barabartë?

Detyra 2.

Para jush është një figurë gjeometrike. Çfarë lloj figure është kjo, emërtoni? Tani emërtoni të gjitha këndet ngjitur që mund të shihni në këtë figurë gjeometrike.

Detyra 3.

Këtu është një imazh i një vizatimi dhe pikture. Shikojini me kujdes dhe më tregoni se çfarë lloje peshqish shihni në foto dhe çfarë këndesh shihni në foto.

Zgjidhja e problemeve

Diktim matematikor për të rishikuar materialin e mësuar më parë

Zgjidh probleme:

1. A mund të jetë shuma e 3 këndeve të formuara nga kryqëzimi i 2 drejtëzave 100°? 370°?
2. Në figurë gjeni të gjitha çiftet e këndeve ngjitur. Dhe tani këndet vertikale. Emërtoni këto kënde.

3. Ju duhet të gjeni një kënd kur është tre herë më i madh se ai fqinj.
4. Dy drejtëza kryqëzuan njëra-tjetrën. Si rezultat i këtij kryqëzimi u formuan katër kënde. Përcaktoni vlerën e ndonjërit prej tyre, me kusht që:

a) shuma e 2 këndeve nga katër është 84°;
b) diferenca ndërmjet 2 këndeve është 45°;
c) një kënd është 4 herë më i vogël se i dyti;
d) shuma e tre prej këtyre këndeve është 290°.

Përmbledhja e mësimit

1. emërtoni këndet që formohen kur kryqëzohen 2 drejtëza?
2. Emërtoni të gjitha çiftet e mundshme të këndeve në figurë dhe përcaktoni llojin e tyre.

Detyre shtepie:

1. Gjeni raportin e masave të shkallës së këndeve ngjitur kur njëri prej tyre është 54° më i madh se i dyti.
2. Gjeni këndet që formohen kur kryqëzohen 2 drejtëza, me kusht që njëri prej këndeve të jetë i barabartë me shumën e 2 këndeve të tjerë ngjitur me të.
3. Është e nevojshme të gjenden këndet ngjitur kur përgjysmuesja e njërit prej tyre formon një kënd me brinjën e sekondës që është 60° më i madh se këndi i dytë.
4. Ndryshimi ndërmjet 2 këndeve ngjitur është i barabartë me një të tretën e shumës së këtyre dy këndeve. Përcaktoni vlerat e 2 këndeve ngjitur.
5. Diferenca dhe shuma e 2 këndeve ngjitur janë përkatësisht në raport 1:5. Gjeni kënde ngjitur.
6. Dallimi midis dy fqinjëve është 25% e shumës së tyre. Si lidhen vlerat e 2 këndeve ngjitur? Përcaktoni vlerat e 2 këndeve ngjitur.

Pyetje:

1. Çfarë është një kënd?
2. Çfarë lloje këndesh ekzistojnë?
3. Cila është vetia e këndeve ngjitur?

Dy kënde quhen ngjitur nëse kanë një anë të përbashkët, dhe anët e tjera të këtyre këndeve janë rreze plotësuese. Në figurën 20, këndet AOB dhe BOC janë ngjitur.

Shuma e këndeve ngjitur është 180°

Teorema 1. Shuma e këndeve ngjitur është 180°.

Dëshmi. Trau OB (shih Fig. 1) kalon midis anëve të këndit të shpalosur. Kjo është arsyeja pse ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Nga teorema 1 rezulton se nëse dy kënde janë të barabartë, atëherë këndet e tyre ngjitur janë të barabartë.

Këndet vertikale janë të barabarta

Dy kënde quhen vertikale nëse brinjët e njërit kënd janë rreze plotësuese të brinjëve të tjetrit. Këndet AOB dhe COD, BOD dhe AOC, të formuara në kryqëzimin e dy vijave të drejta, janë vertikale (Fig. 2).

Teorema 2. Këndet vertikale janë të barabarta.

Dëshmi. Le të shqyrtojmë këndet vertikale AOB dhe COD (shih Fig. 2). Këndi BOD është ngjitur me secilin nga këndet AOB dhe COD. Nga teorema 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Nga kjo arrijmë në përfundimin se ∠ AOB = ∠ COD.

Përfundim 1. Një kënd ngjitur me një kënd të drejtë është një kënd i drejtë.

Konsideroni dy drejtëza të kryqëzuara AC dhe BD (Fig. 3). Ata formojnë katër qoshe. Nëse njëri prej tyre është i drejtë (këndi 1 në figurën 3), atëherë këndet e mbetura janë gjithashtu të drejta (këndet 1 dhe 2, 1 dhe 4 janë ngjitur, këndet 1 dhe 3 janë vertikalë). Në këtë rast, ata thonë se këto drejtëza kryqëzohen në kënde të drejta dhe quhen pingul (ose reciprokisht pingul). Perpendikulariteti i drejtëzave AC dhe BD shënohet si më poshtë: AC ⊥ BD.

Një përgjysmues pingul me një segment është një drejtëz pingul me këtë segment dhe që kalon nga mesi i tij.

AN - pingul me një vijë

Konsideroni një drejtëz a dhe një pikë A të mos shtrirë mbi të (Fig. 4). Le të lidhim pikën A me një segment me pikën H me drejtëz a. Segmenti AN quhet pingul i tërhequr nga pika A në drejtëzën a nëse drejtëzat AN dhe a janë pingule. Pika H quhet baza e pingules.

Vizatim katror

Teorema e mëposhtme është e vërtetë.

Teorema 3. Nga çdo pikë që nuk shtrihet në një vijë, është e mundur të vizatoni një pingul me këtë drejtëz dhe, për më tepër, vetëm një.

Për të vizatuar një pingul nga një pikë në një vijë të drejtë në një vizatim, përdorni një katror vizatimi (Fig. 5).

Komentoni. Formulimi i teoremës zakonisht përbëhet nga dy pjesë. Një pjesë flet për atë që jepet. Kjo pjesë quhet kushti i teoremës. Pjesa tjetër flet për atë që duhet të vërtetohet. Kjo pjesë quhet përfundimi i teoremës. Për shembull, kushti i Teoremës 2 është që këndet të jenë vertikale; përfundim - këto kënde janë të barabarta.

Çdo teoremë mund të shprehet në detaje me fjalë në mënyrë që gjendja e saj të fillojë me fjalën "nëse" dhe përfundimi i saj me fjalën "atëherë". Për shembull, Teorema 2 mund të shprehet në detaje si më poshtë: "Nëse dy kënde janë vertikale, atëherë ato janë të barabarta."

Shembulli 1. Një nga këndet ngjitur është 44°. Me çfarë barazohet tjetri?

Zgjidhje. Le të shënojmë masën e shkallës së një këndi tjetër me x, atëherë sipas teoremës 1.
44° + x = 180°.
Duke zgjidhur ekuacionin që rezulton, gjejmë se x = 136°. Prandaj, këndi tjetër është 136°.

Shembulli 2. Le të jetë këndi COD në figurën 21 45°. Cilat janë këndet AOB dhe AOC?

Zgjidhje. Këndet COD dhe AOB janë vertikale, prandaj sipas teoremës 1.2 janë të barabartë, d.m.th. ∠ AOB = 45°. Këndi AOC është ngjitur me këndin COD, që do të thotë sipas Teoremës 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Shembulli 3. Gjeni kënde ngjitur nëse njëri prej tyre është 3 herë më i madh se tjetri.

Zgjidhje. Le të shënojmë masën e shkallës së këndit më të vogël me x. Atëherë masa e shkallës së këndit më të madh do të jetë 3x. Meqenëse shuma e këndeve ngjitur është e barabartë me 180° (teorema 1), atëherë x + 3x = 180°, prej nga x = 45°.
Kjo do të thotë se këndet ngjitur janë 45° dhe 135°.

Shembulli 4. Shuma e dy këndeve vertikale është 100°. Gjeni madhësinë e secilit prej katër këndeve.

Zgjidhje. Le të plotësojë kushtet e problemit Figura 2. Këndet vertikale COD me AOB janë të barabarta (teorema 2), që do të thotë se edhe masat e shkallës së tyre janë të barabarta. Prandaj, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (shuma e tyre sipas kushtit është 100°). Këndi BOD (gjithashtu këndi AOC) është ngjitur me këndin COD, dhe për këtë arsye, nga Teorema 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Dy drejtëza BA dhe BC (Fig. 13), që kryqëzohen në të njëjtën pikë B, formojnë një kënd në pikën B.

Përkufizimi i këndit. Një kënd është një pjesë e pacaktuar e një rrafshi të kufizuar nga dy drejtëza të kryqëzuara. Një kënd është një sasi që përcakton prirjen e një drejtëze në tjetrën.

Anët e këndit. Vijat prerëse quhen brinjë të këndit.

Këndi i sipërm. Pika e prerjes së dy drejtëzave quhet kulm i këndit. Madhësia e këndit nuk varet nga gjatësia e anëve, kështu që anët e këndit mund të zgjaten pafundësisht.

Emri i këndit. a) Këndet quhen me shkronjën në kulm; kështu që këndi është i mallkuar. 13 quhet këndi B. b) Nëse ka disa kënde në kulm, atëherë këndet quhen tre shkronja që qëndrojnë në kulm dhe dy anët e saj. Në këtë rast, shkronja në krye shqiptohet dhe shkruhet në mes.

dreqin. 13 këndi B quhet këndi ABC. Drejtëzat BA dhe BC janë dy brinjë, dhe pika B është kulmi i këndit.

Kështu këndi ABC është këndi B ose

këndi ABC = këndi B.

Shenja e këndit. Fjala kënd ndonjëherë zëvendësohet me shenjën∠ .

Kështu, barazia e mëparshme paraqitet me shkrim:

Në rastin kur nga një pikë dalin disa drejtëza, në pikën B ka disa kënde.

dreqin. Nga pika B dalin 14 drejtëza BA, BC, BD dhe në kulmin B ka kënde ABC, CBD, ABD.

Kënde ngjitur. Dy kënde quhen ngjitur kur kanë një kulm të përbashkët, njërën anë të përbashkët dhe dy të tjerat shtrihen në të dy anët e brinjës së përbashkët.

Këndet ABC dhe CBD (Fig. 14) janë kënde ngjitur. Ata kanë një kulm të përbashkët B, një anë të përbashkët BC, dhe dy anët e tjera BA dhe BD shtrihen njëra sipër dhe tjetra poshtë anës së përbashkët BC.

Këndet ndryshojnë madhësinë e tyre nëse pjerrësia e njërës anë në tjetrën ndryshon. Nga dy kënde që kanë një kulm të përbashkët, këndi brenda të cilit përshtatet këndi tjetër quhet kënd i madh. Në vizatimin 14

ug. ABD > ang. ABC dhe ug. CBD< уг. ABD.

Për të pasur një ide të madhësisë së ndërsjellë të dy këndeve që kanë kulme të ndryshme, njëri kënd mbivendoset mbi tjetrin. Kur mbivendosen, kulmet e tyre kombinohen në njërën anë, atëherë drejtimi i anës tjetër do të bëjë të mundur krahasimin e vlerave të tyre. Për të krahasuar dy kënde ABC dhe DEF (Fig. 15), këndi DEF mbivendoset në këndin ABC në mënyrë që ana EF të shkojë përgjatë anës BC, pika E përkon me pikën B; atëherë ana ED mund të marrë tre pozicione: mund të përkojë me anën BA, mund të bjerë brenda dhe jashtë këndit ABC.

a) Nëse drejtëza ED përkon me drejtëzën BA, këndet quhen të barabartë

ug. ABC = ang. DEF.

b) Nëse drejtëza ED bie brenda këndit ABC dhe merr pozicionin BG, këndi ABC do të jetë më i madh se këndi DEF

ug. ABC > ang. DEF.

c) Nëse drejtëza ED bie jashtë këndit ABC në drejtimin BH, këndi ABC është më i vogël se këndi DEF

ug. ABC< уг. DEF.

Mbledhja, zbritja, shumëzimi dhe pjesëtimi i këndeve. Dy kënde ngjitur ABC dhe CBD (Fig. 14) formojnë një kënd ABC. Këndi ABD quhet shuma e këndeve ABC dhe CBD. Kjo shprehet me shkrim nga barazia:

∠ABD = ∠ABC + ∠CBD (a)

Nga barazia (a) rrjedh barazia:

∠ABC = ∠ABD - ∠CBD

∠CBD = ∠ABD - ∠ABC,

dmth këndi ABC është ndryshimi midis këndeve ABD dhe CBD, dhe këndi CBD është ndryshimi midis këndeve ABD dhe ABC.

Nëse në pikën O (Fig. 16) ka disa kënde të barabarta ngjitur, d.m.th

∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE,

atëherë këndi AOC i barabartë me shumën e këndeve AOB dhe BOC është i barabartë me dy kënde AOB,

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC, më pas. ∠AOC = 2AOB.

Këndi AOD është i barabartë me tre kënde AOB

Anasjelltas, këndi AOB është gjysmë këndi AOC, një kënd i tretë AOD, një çerek kënd AOE.

AOB = ½ AOC = 1/3 AOD = ¼ AOE.

Nga kjo nxjerrim përfundimin se këndet si sasi jo vetëm që mund të shtohen dhe zbriten, por gjithashtu mund të shumëzohen dhe pjesëtohen me një numër abstrakt.

Nëse nga dy kënde ngjitur ACD dhe DCB (Fig. 17), dy brinjët CA dhe CB shtrihen në të njëjtën drejtëz, ato quhen fqinje.

. Këndet ngjitur janë ato në të cilat njëra anë është e përbashkët dhe dy të tjerat shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë.

Nëse drejtëza CD, duke u kthyer rreth pikës C, merr pozicionin CE, atëherë këndi ACD, duke u zvogëluar, do të kthehet në kënd ACE, dhe këndi BCD, duke u rritur, do të kthehet në kënd BCE. Linja CD, duke vazhduar të rrotullohet, mund të marrë një pozicion të tillë që dy kënde ngjitur të bëhen të barabartë. Kur dy kënde ngjitur ACD dhe DCB janë të barabarta (Fig. 18), ato thirren kënde të drejta.

Në këtë rast, linja CD quhet pingul me drejtëzën AB ose thjesht pingul me drejtëzën AB.

Në vizatimin 19, një kënd i drejtë vizatohet pa një tjetër ngjitur me të.

Një kënd i drejtë është një nga këndet e barabarta ngjitur.

Një pingul është një vijë e drejtë që formon një kënd të drejtë me një vijë tjetër.

Në vizatimin 18, këndet ACD dhe DCB, ndërsa mbeten ngjitur dhe të barabartë, quhen kënde të drejta. Drejtëza DC do të jetë pingul me drejtëzën AB. Kjo marrëdhënie e ndërsjellë e dy rreshtave ndonjëherë shprehet me shkrim: CD ⊥ AB.

Meqenëse drejtëza AB do të jetë gjithashtu pingul me drejtëzën CD, atëherë drejtëza AB dhe CD do të jenë reciproke pingule, pra nëse CD ⊥ AB, atëherë AB ⊥ CD.

Taban pingul. Pika e takimit të ndërsjellë të dy drejtëzave pingule quhet këmbë e pingules.

Pika C (Fig. 18) është fundi i CD-së pingul.

Në çdo pikë të drejtëzës AB mund të vizatoni një pingul me drejtëzën AB.

Të vizatosh një pingul me një drejtëz (AB) nga një pikë që shtrihet në vijë do të thotë të ndërtosh një pingul. Të vizatosh një pingul (DC) në një vijë (AB) nga një pikë (D) që shtrihet jashtë vijës do të thotë të ulësh pingulën(Figura 18).

Vijë e pjerrët . Çdo drejtëz jo pingul me një tjetër quhet drejtëz e prirur drejt saj.

Në vizatimin 20, vija CE do të jetë e prirur me vijën AB dhe vija CD do të jetë pingul me vijën AB.

Këndi ECB është më i vogël se i drejtë, dhe këndi ACE është më shumë se i drejtë. Këndi ECB quhet akut dhe këndi ACE quhet i mpirë.

Këndi i mprehtë çdo kënd është më i vogël se një kënd i drejtë, A kënd i mpirë ka një kënd më të madh se një kënd i drejtë.

Të njëjtat dhe ndryshe nga këndet. Dy kënde të mprehta ose dy të mpirë quhen identike, dhe dy kënde, njëri i mprehtë dhe tjetri i mpirë quhen të kundërt.

Vija e pjerrët CE formon (Fig. 20) me drejtëzën AB dy kënde ngjitur, nga të cilët njëri është më i vogël dhe tjetri më i madh se këndi i drejtë, domethënë njëri është akut dhe tjetri i mpirë.

Teorema 3. Nga një pikë e marrë në një vijë të drejtë, vetëm një pingul mund të ndërtohet me të.

Dana drejtëza AB dhe pika C mbi të (Fig. 20).

Kërkohet të provohet, se vetëm një pingul mund t'i rikthehet asaj.

Dëshmi. Le të supozojmë se është e mundur të ndërtohen dy pingule (Fig. 20) CD dhe CE nga pika C në drejtëzën AB. Sipas vetive të pingulit

ug. DCB = ang. ACD(a)
ug. BCE = ang. ACE.

Nëse aplikojmë këndin ECD në pjesën e parë të mosbarazimit të fundit, fitojmë pabarazinë

ug. pes + ang. ECD > ang. ACE, ose ug. BCD > ang. ACE.

Zëvendësimi i ug-së në këtë pabarazi. BCD sipas këndit ACD (a) të barabartë me të, marrim

ug. DCA > ang. ACE,

pabarazia është padyshim absurde, sepse një pjesë nuk mund të jetë më e madhe se e tëra, prandaj supozimi se mund të ndërtohen dy pingule çon në absurditet, prandaj është i rremë. Falsiteti i supozimit bazohet në konsiderimin se një përfundim i gabuar nuk mund të nxirret nga një pozicion i saktë, prandaj, teorema jonë është e vërtetë.

Metoda e vërtetimit të vlefshmërisë së një teoreme të dhënë duke vënë në dukje pamundësinë dhe absurditetin e çdo supozimi tjetër quhet metoda e vërtetimit me kontradiktë ose metoda e reduktimit në absurd.

Teorema 4. Të gjitha këndet e drejta janë të barabarta.

Supozoni se kemi dy çifte këndesh të drejta: njëra palë përbëhet nga kënde ACD dhe DCB, dhe tjetra përbëhet nga kënde EGH dhe HGF, pra, CD ⊥ AB dhe HG ⊥ EF (Fig. 21).

Duhet të vërtetoni se këndet e drejta janë të barabarta.

Dëshmi. Le të mbivendosim drejtëzën EF në drejtëzën AB me pikën G në pikën C, atëherë drejtëza GH do të shkojë përgjatë drejtëzës CD, sepse nga pika C mund të ndërtohet vetëm një pingul, prandaj, këndi i drejtë DCB = kënd i drejtë HGF.

konkluzioni. Një kënd i drejtë është një vlerë konstante.

Matja e këndeve. Gjatë matjes së këndeve, një kënd i drejtë, si vlerë konstante, merret si njësi krahasimi. Vlera e saj shënohet me shkronjën d.

Në këtë rast
çdo kënd akut< d,
çdo kënd i mpirë > d.

Të gjitha këndet shprehen duke përdorur kënde të drejta. Kështu, për shembull, ata thonë: një kënd i caktuar është ½ d, 2/3 d, etj.

Teorema 5. Shuma e dy këndeve ngjitur është e barabartë me dy kënde të drejta.

Janë dhënë këndet ngjitur ACD dhe DCB (Fig. 22).

Duhet të vërtetojmë se ACD + DCB = 2d.

Dëshmi. Nga pika C ndërtojmë një pingul me CE, atëherë

ACD = ACE + ECD = d + ECD
DCB = ECB - ECD = d - ECD

Duke shtuar këto barazi, kemi:

ACD + DCB = ACE + ECB = 2d (që është ajo që duhej vërtetuar).

Dy kënde ngjitur plotësojnë njëri-tjetrin me dy kënde të drejta dhe për këtë arsye quhen kënde plotësuese.

Kjo rrjedh nga teorema 5 pasojë. Një çift këndesh ngjitur është i barabartë me një çift tjetër këndesh fqinjë.

Teorema 6(e anasjellta e teoremës 5). Nëse shuma e dy këndeve ngjitur është e barabartë me dy kënde të drejta, atëherë dy anët e tjera shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë.

Le të jetë shuma e dy këndeve ngjitur ACD dhe DCB e barabartë me dy kënde të drejta (Fig. 23).

Ne duhet të vërtetojmë se ACB është një vijë e drejtë.

Dëshmi. Le të supozojmë se ACB është një vijë e thyer dhe se vazhdimi i linjës AC është linja CE, atëherë

Pra, dy sasi të barabarta me të njëjtën të tretën janë të barabarta (aksioma 3).

ACD + DCB = ACD + DCE

nga vjen gjatë tkurrjes?

përfundimi është absurd (pjesa është e barabartë me të tërën, shih sëpatë. 1), prandaj vija ACB është një vijë e drejtë (që ishte ajo që duhej vërtetuar).

Teorema 7. Shuma e këndeve që kanë një kulm në të njëjtën pikë dhe ndodhen në të njëjtën anë të një drejtëze është e barabartë me dy kënde të drejta.

Janë dhënë këndet ACD, DCE, ECF, FCG, GCB, që kanë një kulm të përbashkët në pikën C dhe të vendosura në njërën anë të drejtëzës AB (Fig. 24).

Kërkohet të vërtetohet se

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d.

Dëshmi. NE e dimë se shuma e dy këndeve ngjitur ACF dhe FCB është e barabartë me dy kënde të drejta (pika 5).

Meqenëse ACF = ACD + DCE + ECF dhe FCB = FCG + GCB, atëherë duke zëvendësuar këndet ACF dhe FCB me vlerat e tyre, gjejmë:

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d (që është ajo që duhej vërtetuar).

Teorema 8. Shuma e të gjithë këndeve rreth një pike është e barabartë me katër kënde të drejta.

Janë dhënë këndet AOB, BOC, COD, DOE, EOA, me një kulm të përbashkët O dhe të vendosur rreth pikës O (Fig. 25).

Kërkohet të vërtetohet se

AOB + BOC + COD + DOE + EOA = 4d.

Dëshmi. Le të vazhdojmë anën OG në drejtimin OG (Fig. 25), pastaj

I ngjashëm

GOB + BOC + COD + DOE = 2d.

Duke shtuar këto barazi, kemi:

EOA + AOG + GOB + BOC + COD + DOE = 4d.

Meqenëse AOG + GOB = AOB, atëherë

EOA + AOB + BOC + COD + DOE = 4d (JO).

Këndi ACB me kënd DCE dhe këndi BCD me kënd ACE quhen vertikale (Fig. 26).

Kënde vertikale. Kënde vertikale janë ato kënde në të cilat brinjët e njërit përbëhen nga vazhdimi i brinjëve të këndit tjetër.

Teorema 9. Këndet vertikale janë të barabarta me njëri-tjetrin.

Janë dhënë këndet vertikale (vizatimi 26) ACB dhe DCE, si dhe BCD dhe ACE.

Duhet të vërtetoni se ACB = DCE dhe BCD = ACE.

Dëshmi. Bazuar në teoremën 5, barazitë e mëposhtme vlejnë:

ACB + BCD = 2d (si shuma e dy këndeve ngjitur)
BCD + DCE = 2d

prandaj,

ACB + BCD = BCD + DCE

nga ku, duke zbritur kënd të barabartë BCD, ne gjejmë

Në mënyrë të ngjashme vërtetohet se

∠BCD = ∠ACE.

Ekuisekant (përgjysmues ) ka një vijë që e ndan këndin në gjysmë.

Në vizatimin 27 BD ka një përgjysmues nëse ∠ABD = ∠DBC.

Teorema 10.

Janë dhënë këndet ngjitur ACB dhe BCD (Figura 28). Vijat e tyre përgjysmuese CF dhe CE përgjysmojnë këndet ngjitur BCD dhe BCA, pra BCF = FCD, ACE = ECB.

Duhet të vërtetojmë se EC ⊥ CF.

Dëshmi. Sipas kushteve

ECB = ½ ACB, BCF = ½ BCD

Duke shtuar këto barazi, kemi:

ECB + BCF = ½ ACB + ½ BCD = ½ (ACB + BCD).

Meqenëse ACB + BCD = 2d, atëherë

ECB + BCF = ½ · 2d = d.

Meqenëse ECB + BCF = ECF, atëherë

Këndi ECF është i drejtë, pra linjat CE dhe CF janë reciproke pingule (CPH).

Çdo kënd, në varësi të madhësisë së tij, ka emrin e vet:

Lloji i këndit	Madhësia në gradë	Shembull
pikante	Më pak se 90°
Drejt	E barabartë me 90°. Në një vizatim, një kënd i drejtë zakonisht shënohet me një simbol të tërhequr nga njëra anë e këndit në tjetrën.
E paqartë	Më shumë se 90° por më pak se 180°
Zgjeruar	E barabartë me 180° Një kënd i drejtë është i barabartë me shumën e dy këndeve të drejta, dhe një kënd i drejtë është gjysma e një këndi të drejtë.
Konveks	Më shumë se 180° por më pak se 360°
Plot	E barabartë me 360°

Të dy këndet quhen ngjitur, nëse kanë njërën anë të përbashkët, dhe dy anët e tjera formojnë një vijë të drejtë:

Kënde MOP Dhe PON ngjitur, që nga tra OP- ana e përbashkët dhe dy anët e tjera - OM Dhe AKTIV përbëjnë një vijë të drejtë.

Brinja e përbashkët e këndeve fqinjë quhet i zhdrejtë në të drejtë, në të cilën shtrihen dy anët e tjera, vetëm në rastin kur këndet ngjitur nuk janë të barabartë me njëri-tjetrin. Nëse këndet ngjitur janë të barabartë, atëherë ana e tyre e përbashkët do të jetë pingul.

Shuma e këndeve ngjitur është 180°.

Të dy këndet quhen vertikale, nëse anët e njërit kënd plotësojnë anët e këndit tjetër me vija të drejta:

Këndet 1 dhe 3, si dhe këndet 2 dhe 4, janë vertikale.

Këndet vertikale janë të barabarta.

Le të vërtetojmë se këndet vertikale janë të barabarta:

Shuma e ∠1 dhe ∠2 është një kënd i drejtë. Dhe shuma e ∠3 dhe ∠2 është një kënd i drejtë. Pra këto dy shuma janë të barabarta:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

Në këtë barazi, ka një term identik majtas dhe djathtas - ∠2. Barazia nuk do të cenohet nëse ky term majtas dhe djathtas hiqet. Pastaj e marrim.