Zgjidhja e ekuacioneve diferenciale johomogjene lineare të rendit më të lartë me metodën e Lagranzhit. ODE

Le të shqyrtojmë tani ekuacionin linear johomogjen
. (2)
Le të jetë y 1 ,y 2 ,.., y n një sistem themelor zgjidhjesh dhe le të jetë zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen përkatës L(y)=0. Ngjashëm me rastin e ekuacioneve të rendit të parë, ne do të kërkojmë një zgjidhje për ekuacionin (2) në formën
. (3)
Le të sigurohemi që ekziston një zgjidhje në këtë formë. Për ta bërë këtë, ne e zëvendësojmë funksionin në ekuacion. Për të zëvendësuar këtë funksion në ekuacion, gjejmë derivatet e tij. Derivati ​​i parë është i barabartë me
. (4)
Gjatë llogaritjes së derivatit të dytë, katër terma do të shfaqen në anën e djathtë të (4), kur llogaritet derivati ​​i tretë, do të shfaqen tetë terma, e kështu me radhë. Prandaj, për lehtësinë e llogaritjeve të mëtejshme, termi i parë në (4) është vendosur i barabartë me zero. Duke marrë parasysh këtë, derivati ​​i dytë është i barabartë me
. (5)
Për të njëjtat arsye si më parë, në (5) vendosëm edhe termin e parë të barabartë me zero. Së fundi, derivati ​​i n-të është
. (6)
Duke zëvendësuar vlerat e marra të derivateve në ekuacionin origjinal, kemi
. (7)
Termi i dytë në (7) është i barabartë me zero, pasi funksionet y j , j=1,2,..,n, janë zgjidhje të ekuacionit homogjen përkatës L(y)=0. Duke u kombinuar me atë të mëparshmin, marrim një sistem ekuacionesh algjebrike për gjetjen e funksioneve C" j (x)
(8)
Përcaktorja e këtij sistemi është përcaktorja Wronski e sistemit themelor të zgjidhjeve y 1 ,y 2 ,..,y n të ekuacionit homogjen përkatës L(y)=0 dhe për rrjedhojë nuk është e barabartë me zero. Rrjedhimisht, ekziston një zgjidhje unike për sistemin (8). Pasi e kemi gjetur atë, marrim funksionet C" j (x), j=1,2,…,n, dhe, rrjedhimisht, C j (x), j=1,2,…,n Duke i zëvendësuar këto vlera në (3), marrim një zgjidhje për një ekuacion linear johomogjen.
Metoda e paraqitur quhet metoda e variacionit të një konstante arbitrare ose metoda e Lagranzhit.

Shembulli nr. 1. Le të gjejmë zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Konsideroni ekuacionin homogjen përkatës y"" + 4y" + 3y = 0. Rrënjët e ekuacionit të tij karakteristik r 2 + 4r + 3 = 0 janë të barabarta me -1 dhe - 3. Prandaj, sistemi themelor i zgjidhjeve të një ekuacioni homogjen përbëhet nga funksionet y 1 = e - x dhe y 2 = e -3 x. Kërkojmë zgjidhje për ekuacionin johomogjen në formën y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Për të gjetur derivatet C" 1 , C" 2 ne hartojmë një sistem ekuacionesh (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
duke zgjidhur të cilat, gjejmë , Duke integruar funksionet e fituara, kemi
Më në fund arrijmë

Shembulli nr. 2. Zgjidh lineare ekuacionet diferenciale renditja e dytë me koeficientë konstante me metodën e ndryshimit të konstantave arbitrare:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Zgjidhja:
Ky ekuacion diferencial i referohet ekuacioneve diferenciale lineare me koeficientë konstante.
Ne do të kërkojmë një zgjidhje të ekuacionit në formën y = e rx. Për ta bërë këtë, ne përpilojmë ekuacionin karakteristik të një ekuacioni diferencial linear homogjen me koeficientë konstante:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Rrënjët e ekuacionit karakteristik: r 1 = 4, r 2 = 2
Rrjedhimisht, sistemi themelor i zgjidhjeve përbëhet nga funksionet: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen ka formën: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Kërkoni për një zgjidhje të veçantë me metodën e ndryshimit të një konstante arbitrare.
Për të gjetur derivatet e C" i krijojmë një sistem ekuacionesh:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Le të shprehim C" 1 nga ekuacioni i parë:
C" 1 = -c 2 e -2x
dhe zëvendësojeni me të dytin. Si rezultat marrim:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Ne integrojmë funksionet e marra C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln (2e 2x +1) - 2x+ C * 2

Meqenëse y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x, shprehjet rezultuese i shkruajmë në formën:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Kështu, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial ka formën:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
ose
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Le të gjejmë një zgjidhje të veçantë me kushtin:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Duke zëvendësuar x = 0 në ekuacionin e gjetur, marrim:
y (0) = 2 ln (3) - 1 + ln (3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Gjejmë derivatin e parë të zgjidhjes së përgjithshme të fituar:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Duke zëvendësuar x = 0, marrim:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Ne marrim një sistem prej dy ekuacionesh:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
ose
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
ose
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
Nga: C 1 = 0, C * 2 = 2
Zgjidhja private do të shkruhet si:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + 2 e 2x

Është shqyrtuar një metodë për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale johomogjene lineare të rendit më të lartë me koeficientë konstante me metodën e ndryshimit të konstantave të Lagranzhit. Metoda e Lagranzhit është gjithashtu e zbatueshme për zgjidhjen e çdo ekuacioni linear johomogjen nëse dihet sistemi themelor i zgjidhjeve të ekuacionit homogjen.

Shiko gjithashtu:

Metoda e Lagranzhit (ndryshimi i konstanteve)

Konsideroni një ekuacion diferencial johomogjen linear me koeficientë konstante të rendit të n-të arbitrar:
(1) .
Metoda e ndryshimit të një konstante, të cilën e konsideruam për një ekuacion të rendit të parë, është gjithashtu e zbatueshme për ekuacionet e rendit më të lartë.

Zgjidhja kryhet në dy faza. Në hapin e parë, hedhim anën e djathtë dhe zgjidhim ekuacionin homogjen. Si rezultat, marrim një zgjidhje që përmban n konstante arbitrare. Në fazën e dytë ne ndryshojmë konstantet. Kjo do të thotë, ne besojmë se këto konstante janë funksione të ndryshores së pavarur x dhe gjejmë formën e këtyre funksioneve.

Edhe pse këtu po shqyrtojmë ekuacione me koeficientë konstante, por Metoda e Lagranzhit është gjithashtu e zbatueshme për zgjidhjen e çdo ekuacioni linear johomogjen. Për ta bërë këtë, megjithatë, duhet të njihet sistemi themelor i zgjidhjeve të ekuacionit homogjen.

Hapi 1. Zgjidhja e ekuacionit homogjen

Ashtu si në rastin e ekuacioneve të rendit të parë, së pari kërkojmë zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen, duke barazuar anën johomogjene të djathtë me zero:
(2) .
Zgjidhja e përgjithshme e këtij ekuacioni është:
(3) .
Këtu janë konstante arbitrare; - n zgjidhje të pavarura lineare të ekuacionit homogjen (2), të cilat formojnë një sistem themelor zgjidhjesh të këtij ekuacioni.

Hapi 2. Variacioni i konstantave - zëvendësimi i konstanteve me funksione

Në fazën e dytë do të merremi me variacionin e konstantave. Me fjalë të tjera, ne do të zëvendësojmë konstantet me funksionet e ndryshores së pavarur x:
.
Kjo do të thotë, ne po kërkojmë një zgjidhje për ekuacionin origjinal (1) në formën e mëposhtme:
(4) .

Nëse zëvendësojmë (4) në (1), marrim një ekuacion diferencial për n funksione. Në këtë rast, ne mund t'i lidhim këto funksione me ekuacione shtesë. Pastaj ju merrni n ekuacione nga të cilat mund të përcaktohen n funksione. Mund të shkruhen ekuacione shtesë menyra te ndryshme. Por ne do ta bëjmë këtë në mënyrë që zgjidhja të ketë formën më të thjeshtë. Për ta bërë këtë, kur diferenconi, duhet të barazoni me zero termat që përmbajnë derivate të funksioneve. Le ta demonstrojmë këtë.

Për të zëvendësuar zgjidhjen e propozuar (4) në ekuacionin origjinal (1), duhet të gjejmë derivatet e n rendeve të para të funksionit të shkruar në formën (4). Ne dallojmë (4) duke përdorur rregullat e diferencimit të shumës dhe produktit:
.
Le të grupojmë anëtarët. Së pari, ne shkruajmë termat me derivate të , dhe më pas termat me derivate të :

.
Le të vendosim kushtin e parë për funksionet:
(5.1) .
Atëherë shprehja për derivatin e parë në lidhje me do të ketë një formë më të thjeshtë:
(6.1) .

Duke përdorur të njëjtën metodë, gjejmë derivatin e dytë:

.
Le të vendosim një kusht të dytë për funksionet:
(5.2) .
Pastaj
(6.2) .
Dhe kështu me radhë. Në kushte shtesë, ne barazojmë termat që përmbajnë derivate të funksioneve me zero.

Kështu, nëse zgjedhim ekuacionet shtesë të mëposhtme për funksionet:
(5.k) ,
atëherë derivatet e parë në lidhje me do të kenë formën më të thjeshtë:
(6.k) .
Këtu.

Gjeni derivatin e n-të:
(6.n)
.

Zëvendësoni në ekuacionin origjinal (1):
(1) ;






.
Le të marrim parasysh që të gjithë funksionet plotësojnë ekuacionin (2):
.
Atëherë shuma e termave që përmbajnë zero jep zero. Si rezultat marrim:
(7) .

Si rezultat, ne morëm një sistem ekuacionesh lineare për derivatet:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

Duke zgjidhur këtë sistem, gjejmë shprehje për derivatet në funksion të x. Duke u integruar, marrim:
.
Këtu janë konstante që nuk varen më nga x. Duke zëvendësuar në (4), marrim një zgjidhje të përgjithshme të ekuacionit origjinal.

Vini re se për të përcaktuar vlerat e derivateve, nuk kemi përdorur kurrë faktin që koeficientët a i janë konstante. Kjo është arsyeja pse Metoda e Lagranzhit është e zbatueshme për të zgjidhur çdo ekuacion linear johomogjen, nëse dihet sistemi themelor i zgjidhjeve të ekuacionit homogjen (2).

Shembuj

Të zgjidhin ekuacionet duke përdorur metodën e ndryshimit të konstanteve (Lagranzh).


Zgjidhja e shembujve > > >

Leksioni 44. Ekuacionet lineare johomogjene të rendit të dytë. Metoda e ndryshimit të konstantave arbitrare. Ekuacione lineare johomogjene të rendit të dytë me koeficientë konstante. (ana e djathtë speciale).

Transformimet shoqërore. Shteti dhe kisha.

Politika sociale e bolshevikëve u diktua kryesisht nga qasja e tyre klasore. Me dekret të 10 nëntorit 1917, sistemi i klasave u shkatërrua, gradat, titujt dhe çmimet pararevolucionare u hoqën. Është vendosur zgjedhja e gjyqtarëve; u krye laicizimi i shteteve civile. U krijua arsimi dhe kujdesi mjekësor falas (dekret i 31 tetorit 1918). Grave iu dhanë të drejta të barabarta me burrat (dekretet e 16 dhe 18 dhjetor 1917). Dekreti për martesën futi institucionin e martesës civile.

Me dekret të Këshillit të Komisarëve Popullorë të 20 janarit 1918, kisha u nda nga shteti dhe nga sistemi arsimor. Pjesa më e madhe e pasurisë së kishës u konfiskua. Patriarku i Moskës dhe Gjithë Rusisë Tikhon (i zgjedhur më 5 nëntor 1917) më 19 janar 1918 anatemoi fuqinë sovjetike dhe bëri thirrje për luftë kundër bolshevikëve.

Konsideroni një ekuacion linear johomogjen të rendit të dytë

Struktura e zgjidhjes së përgjithshme të një ekuacioni të tillë përcaktohet nga teorema e mëposhtme:

Teorema 1. Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit johomogjen (1) paraqitet si shuma e disa zgjidhjeve të veçanta të këtij ekuacioni dhe zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen përkatës.

Dëshmi. Është e nevojshme të vërtetohet se shuma

është një zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit (1). Le të provojmë fillimisht se funksioni (3) është një zgjidhje e ekuacionit (1).

Zëvendësimi i shumës në ekuacionin (1) në vend të në, do të ketë

Meqenëse ka një zgjidhje për ekuacionin (2), shprehja në kllapat e para është identike e barabartë me zero. Meqenëse ka një zgjidhje për ekuacionin (1), shprehja në kllapat e dyta është e barabartë me f(x). Prandaj, barazia (4) është një identitet. Kështu, pjesa e parë e teoremës vërtetohet.

Le të vërtetojmë pohimin e dytë: shprehja (3) është të përgjithshme zgjidhja e ekuacionit (1). Ne duhet të vërtetojmë se konstantat arbitrare të përfshira në këtë shprehje mund të zgjidhen në mënyrë që të plotësohen kushtet fillestare:

sido që të jenë numrat x 0, y 0 dhe (nëse vetëm x 0është marrë nga zona ku funksionon një 1, një 2 Dhe f(x) e vazhdueshme).

Duke vënë re se mund të paraqitet në formën . Pastaj, në bazë të kushteve (5), do të kemi

Le ta zgjidhim këtë sistem dhe ta përcaktojmë C 1 Dhe C 2. Le ta rishkruajmë sistemin në formën:

Vini re se përcaktorja e këtij sistemi është përcaktor Wronski për funksionet në 1 Dhe në 2 në pikën x=x 0. Meqenëse këto funksione janë linearisht të pavarur nga kushti, përcaktorja Wronski nuk është e barabartë me zero; prandaj sistemi (6) ka një zgjidhje të caktuar C 1 Dhe C 2, d.m.th. ka kuptime të tilla C 1 Dhe C 2, sipas së cilës formula (3) përcakton zgjidhjen e ekuacionit (1) duke plotësuar kushtet fillestare të dhëna. Q.E.D.

Le të kalojmë në metodë e përgjithshme gjetja e zgjidhjeve të pjesshme të një ekuacioni johomogjen.

Le të shkruajmë zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen (2)

Ne do të kërkojmë një zgjidhje të veçantë për ekuacionin johomogjen (1) në formën (7), duke marrë parasysh C 1 Dhe C 2 si disa funksione ende të panjohura nga X.

Le të dallojmë barazinë (7):

Le të zgjedhim funksionet që po kërkoni C 1 Dhe C 2 në mënyrë që barazia të mbahet

Nëse marrim parasysh këtë kusht shtesë, atëherë derivati ​​i parë do të marrë formën

Duke e dalluar tani këtë shprehje, gjejmë:

Duke zëvendësuar në ekuacionin (1), marrim

Shprehjet në dy kllapat e para bëhen zero, pasi y 1 Dhe y 2– zgjidhjet e një ekuacioni homogjen. Prandaj, barazia e fundit merr formën

Kështu, funksioni (7) do të jetë një zgjidhje për ekuacionin johomogjen (1) nëse funksionet C 1 Dhe C 2 plotësoni ekuacionet (8) dhe (9). Le të krijojmë një sistem ekuacionesh nga ekuacionet (8) dhe (9).

Meqenëse përcaktorja e këtij sistemi është përcaktorja Wronski për zgjidhjet lineare të pavarura y 1 Dhe y 2 ekuacioni (2), atëherë nuk është i barabartë me zero. Prandaj, duke zgjidhur sistemin, do të gjejmë të dy funksionet e caktuara të X:

Duke zgjidhur këtë sistem, gjejmë , nga ku, si rezultat i integrimit, marrim . Më pas, ne zëvendësojmë funksionet e gjetura në formulë, marrim një zgjidhje të përgjithshme për ekuacionin johomogjen, ku janë konstante arbitrare.

Metoda e ndryshimit të një konstante arbitrare, ose metoda e Lagranzhit, është një mënyrë tjetër për të zgjidhur ekuacionet diferenciale lineare të rendit të parë dhe ekuacionin e Bernulit.

Ekuacionet diferenciale lineare të rendit të parë janë ekuacione të formës y’+p(x)y=q(x). Nëse ka një zero në anën e djathtë: y’+p(x)y=0, atëherë kjo është një linjë lineare homogjene Ekuacioni i rendit të parë. Prandaj, një ekuacion me jozero anën e djathtë, y’+p(x)y=q(x), — heterogjene Ekuacioni linear i rendit të parë.

Metoda e ndryshimit të një konstante arbitrare (metoda Lagrange) është si më poshtë:

1) Kërkojmë një zgjidhje të përgjithshme të ekuacionit homogjen y’+p(x)y=0: y=y*.

2) Në zgjidhjen e përgjithshme, ne e konsiderojmë C jo një konstante, por një funksion të x: C = C (x). Gjejmë derivatin e zgjidhjes së përgjithshme (y*)’ dhe shprehjen rezultuese e zëvendësojmë me y* dhe (y*)’ në kushtin fillestar. Nga ekuacioni që rezulton gjejmë funksionin C(x).

3) Në zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen, në vend të C, zëvendësojmë shprehjen e gjetur C(x).

Le të shohim shembuj të metodës së ndryshimit të një konstante arbitrare. Le të marrim të njëjtat detyra si në, të krahasojmë përparimin e zgjidhjes dhe të sigurohemi që përgjigjet e marra përkojnë.

1) y’=3x-y/x

Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë standarde (ndryshe nga metoda e Bernulit, ku na duhej forma e shënimit vetëm për të parë që ekuacioni është linear).

y’+y/x=3x (I). Tani ne vazhdojmë sipas planit.

1) Zgjidhet ekuacioni homogjen y’+y/x=0. Ky është një ekuacion me variabla të ndashëm. Imagjinoni y’=dy/dx, zëvendësues: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me dx dhe pjesëtojmë me xy≠0: dy/y=-dx/x. Le të integrojmë:

2) Në zgjidhjen e përgjithshme rezultuese të ekuacionit homogjen, ne do ta konsiderojmë C jo një konstante, por një funksion të x: C=C(x). Nga këtu

Ne i zëvendësojmë shprehjet që rezultojnë në kushtin (I):

Le të integrojmë të dyja anët e ekuacionit:

këtu C është tashmë një konstante e re.

3) Në zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen y=C/x, ku supozuam C=C(x), pra y=C(x)/x, në vend të C(x) zëvendësojmë shprehjen e gjetur x³. +C: y=(x³ +C)/x ose y=x²+C/x. Morëm të njëjtën përgjigje si kur zgjidhëm me metodën e Bernulit.

Përgjigje: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Këtu ekuacioni është shkruar tashmë në formë standarde; nuk ka nevojë ta transformoni atë.

1) Të zgjidhet ekuacioni linear homogjen y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Le të integrojmë:

Për të marrë një formë më të përshtatshme shënimi, ne marrim eksponentin e fuqisë së C si C e re:

Ky transformim u krye për ta bërë më të përshtatshëm gjetjen e derivatit.

2) Në zgjidhjen e përgjithshme rezultuese të ekuacionit linear homogjen, ne e konsiderojmë C jo një konstante, por një funksion të x: C=C(x). Në këtë kusht

Ne zëvendësojmë shprehjet që rezultojnë y dhe y në kushtin:

Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me

Ne integrojmë të dy anët e ekuacionit duke përdorur formulën e integrimit sipas pjesëve, marrim:

Këtu C nuk është më një funksion, por një konstante e zakonshme.

3) Në zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen

zëvendësoni funksionin e gjetur C(x):

Morëm të njëjtën përgjigje si kur zgjidhëm me metodën e Bernulit.

Metoda e ndryshimit të një konstante arbitrare është gjithashtu e zbatueshme për zgjidhje.

y'x+y=-xy².

E sjellim ekuacionin në formën standarde: y’+y/x=-y² (II).

1) Zgjidhet ekuacioni homogjen y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. I shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me dx dhe pjesëtojmë me y: dy/y=-dx/x. Tani le të integrojmë:

Ne i zëvendësojmë shprehjet që rezultojnë në kushtin (II):

Le të thjeshtojmë:

Ne morëm një ekuacion me ndryshore të ndashme për C dhe x:

Këtu C është tashmë një konstante e zakonshme. Gjatë procesit të integrimit, ne kemi shkruar thjesht C në vend të C(x), në mënyrë që të mos mbingarkojmë shënimin. Dhe në fund u kthyem në C(x), për të mos ngatërruar C(x) me C-në e re.

3) Në zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen y=C(x)/x zëvendësojmë funksionin e gjetur C(x):

Ne morëm të njëjtën përgjigje si kur e zgjidhëm duke përdorur metodën e Bernulit.

Shembuj të vetë-testimit:

1. Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë standarde: y’-2y=x.

1) Zgjidhet ekuacioni homogjen y’-2y=0. y’=dy/dx, pra dy/dx=2y, shumëzoji të dyja anët e ekuacionit me dx, pjesëtoje me y dhe integro:

Nga këtu gjejmë y:

Ne zëvendësojmë shprehjet për y dhe y në kushtin (për shkurtësi do të përdorim C në vend të C(x) dhe C' në vend të C"(x)):

Për të gjetur integralin në anën e djathtë, ne përdorim formulën e integrimit sipas pjesëve:

Tani ne zëvendësojmë u, du dhe v në formulën:

Këtu C =konst.

3) Tani e zëvendësojmë homogjenin në tretësirë