Shndërroni shprehjet numerike të formulës trigonometrike. Mësimi "Thjeshtimi i shprehjeve trigonometrike"

NË transformimet e identitetit shprehjet trigonometrike Mund të përdoren teknikat e mëposhtme algjebrike: mbledhja dhe zbritja e termave identikë; nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave; shumëzimi dhe pjesëtimi me të njëjtën sasi; aplikimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit; zgjedhja e një katrori të plotë; faktorizimi i një trinomi kuadratik; futja e variablave të rinj për të thjeshtuar transformimet.

Kur konvertoni shprehjet trigonometrike që përmbajnë thyesa, mund të përdorni vetitë e proporcionit, duke reduktuar thyesat ose duke reduktuar thyesat në një emërues të përbashkët. Përveç kësaj, ju mund të përdorni zgjedhjen e të gjithë pjesës së thyesës, duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin e fraksionit me të njëjtën sasi, dhe gjithashtu, nëse është e mundur, të merrni parasysh homogjenitetin e numëruesit ose emëruesit. Nëse është e nevojshme, ju mund të përfaqësoni një thyesë si shumë ose ndryshim të disa thyesave më të thjeshta.

Për më tepër, kur aplikoni të gjitha metodat e nevojshme për konvertimin e shprehjeve trigonometrike, është e nevojshme që vazhdimisht të merret parasysh diapazoni i vlerave të lejuara të shprehjeve që konvertohen.

Le të shohim disa shembuj.

Shembulli 1.

Llogaritni A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+ mëkat (3π/2 – x) mëkat (2x –5π/2)) 2

Zgjidhje.

Nga formulat e reduktimit rezulton:

sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.

Nga ku, në bazë të formulave për shtimin e argumenteve dhe identitetit kryesor trigonometrik, ne marrim

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= mëkat 2 3x + cos 2 3x = 1

Përgjigje: 1.

Shembulli 2.

Shndërroni shprehjen M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ në produkt.

Zgjidhje.

Nga formulat e shtimit të argumenteve dhe formulave për shndërrimin e shumës së funksioneve trigonometrike në produkt pas grupimit të duhur, kemi

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).

Përgjigje: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

Shembulli 3.

Tregoni se shprehja A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) merr një për të gjitha x nga R dhe të njëjtin kuptim. Gjeni këtë vlerë.

Zgjidhje.

Këtu janë dy mënyra për të zgjidhur këtë problem. Duke zbatuar metodën e parë, duke izoluar një katror të plotë dhe duke përdorur formulat përkatëse bazë trigonometrike, marrim

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Duke zgjidhur problemin në mënyrën e dytë, konsideroni A si funksion të x nga R dhe llogaritni derivatin e tij. Pas transformimeve marrim

А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =

Sin 2x – (mëkat (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Prandaj, për shkak të kriterit të qëndrueshmërisë së një funksioni të diferencueshëm në një interval, arrijmë në përfundimin se

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Përgjigje: A = 3/4 për x € R.

Teknikat kryesore për vërtetimin e identiteteve trigonometrike janë:

A) reduktimi i anës së majtë të identitetit në të djathtë përmes transformimeve të duhura;
b) zvogëlimi i anës së djathtë të identitetit në të majtë;
V) reduktimi i anës së djathtë dhe të majtë të identitetit në të njëjtën formë;
G) duke reduktuar në zero diferencën ndërmjet anës së majtë dhe të djathtë të identitetit që vërtetohet.

Shembulli 4.

Kontrolloni që cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Zgjidhje.

Duke u transformuar anën e djathtë të këtij identiteti duke përdorur formulat përkatëse trigonometrike, kemi

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) - (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Ana e djathtë e identitetit është reduktuar në të majtë.

Shembulli 5.

Vërtetoni se sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2 nëse α, β, γ janë këndet e brendshme të një trekëndëshi.

Zgjidhje.

Duke marrë parasysh që α, β, γ janë këndet e brendshme të një trekëndëshi, ne marrim atë

α + β + γ = π dhe, për rrjedhojë, γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Barazia origjinale është vërtetuar.

Shembulli 6.

Vërtetoni se që njëri nga këndet α, β, γ të trekëndëshit të jetë i barabartë me 60°, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Zgjidhje.

Kushti i këtij problemi përfshin vërtetimin e domosdoshmërisë dhe mjaftueshmërisë.

Së pari le të vërtetojmë domosdoshmëri.

Mund të tregohet se

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Prandaj, duke marrë parasysh që cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, marrim se nëse njëri nga këndet α, β ose γ është i barabartë me 60°, atëherë

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 dhe, si rrjedhim, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Le të provojmë tani përshtatshmërisë kushtin e specifikuar.

Nëse sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, atëherë cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, dhe për këtë arsye

ose cos (3α/2) = 0, ose cos (3β/2) = 0, ose cos (3γ/2) = 0.

Prandaj,

ose 3α/2 = π/2 + πk, d.m.th. α = π/3 + 2πk/3,

ose 3β/2 = π/2 + πk, d.m.th. β = π/3 + 2πk/3,

ose 3γ/2 = π/2 + πk,

ato. γ = π/3 + 2πk/3, ku k ε Z.

Nga fakti që α, β, γ janë kënde të një trekëndëshi, kemi

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Prandaj, për α = π/3 + 2πk/3 ose β = π/3 + 2πk/3 ose

γ = π/3 + 2πk/3 nga të gjithë kϵZ vetëm k = 0 është i përshtatshëm.

Nga kjo rrjedh se ose α = π/3 = 60°, ose β = π/3 = 60°, ose γ = π/3 = 60°.

Deklarata është vërtetuar.

Ende keni pyetje? Nuk jeni i sigurt se si të thjeshtoni shprehjet trigonometrike?
Për të marrë ndihmë nga një mësues, regjistrohu.
Mësimi i parë është falas!

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Voronkova Olga Ivanovna

MBOU "Shkolla e mesme"

nr. 18"

Engels, rajoni i Saratovit.

Mësues matematike.

« Shprehjet trigonometrike dhe transformimet e tyre"

Hyrje……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Kapitulli 1 Klasifikimi i detyrave për përdorimin e shndërrimeve të shprehjeve trigonometrike …………………………………………………………………

1.1. Detyrat e llogaritjes vlerat e shprehjeve trigonometrike……….5

1.2.Detyra për thjeshtimin e shprehjeve trigonometrike... 7

1.3. Detyra për shndërrimin e shprehjeve numerike trigonometrike.....7

1.4 Detyra të tipit të përzier………………………………………………………………………………………………

Kapitulli 2. Aspekte metodologjike të organizimit të përsëritjes përfundimtare të temës “Transformimi i shprehjeve trigonometrike”………………………………………

2.1 Përsëritje tematike në klasën e 10-të…………………………………………………………………………………………………………………….

Testi 1………………………………………………………………………………..12

Testi 2…………………………………………………………………………………..13

Testi 3………………………………………………………………………………..14

2.2 Përsëritja përfundimtare në klasën e 11-të……………………………………………………………………15

Testi 1…………………………………………………………………………………..17

Testi 2…………………………………………………………………………………..17

Testi 3………………………………………………………………………………..18

përfundimi.………………………………………………………………………………………………………………………………………

Lista e referencave………………………………………………………..……….20

Prezantimi.

Në kushtet e sotme, pyetja më e rëndësishme është: “Si mund të ndihmojmë në eliminimin e disa boshllëqeve në njohuritë e studentëve dhe t'i paralajmërojmë ata për gabime të mundshme në Provimin e Unifikuar të Shtetit?” Për të zgjidhur këtë çështje, është e nevojshme të arrihet nga studentët jo një asimilim formal i materialit programor, por kuptimi i tij i thellë dhe i ndërgjegjshëm, zhvillimi i shpejtësisë së llogaritjeve dhe transformimeve gojore, si dhe zhvillimi i aftësive në zgjidhjen e problemeve të thjeshta "në mendja." Është e nevojshme të binden studentët se vetëm nëse kanë një pozicion aktiv, kur studiojnë matematikën, me kusht që të fitojnë aftësi dhe aftësi praktike dhe përdorimin e tyre, mund të llogarisin në suksesin e vërtetë. Është e nevojshme të përdoret çdo mundësi për t'u përgatitur për Provimin e Unifikuar të Shtetit, përfshirë lëndët me zgjedhje në klasat 10-11, dhe të rishikohen rregullisht detyrat komplekse me studentët, duke zgjedhur mënyrën më racionale për t'i zgjidhur ato në mësime dhe klasa shtesë.Rezultat pozitiv nëfushat e zgjidhjes së problemeve standarde mund të arrihen nëse mësuesit e matematikës, duke krijuartrajnime të mira bazë për studentët, kërkoni mënyra të reja për të zgjidhur problemet që na janë hapur, eksperimentoni në mënyrë aktive, aplikoni teknologji moderne pedagogjike, metoda, teknika që krijojnë kushte të favorshme për vetërealizim efektiv dhe vetëvendosje të nxënësve në kushte të reja shoqërore.

Trigonometria - komponent kursi i matematikës shkollore. Njohuritë e mira dhe aftësitë e forta në trigonometri janë dëshmi e një niveli të mjaftueshëm të kulturës matematikore, një kusht i domosdoshëm për të studiuar me sukses matematikën, fizikën dhe një sërë fushash teknike në një universitet. disiplinat.

Rëndësia e punës. Një pjesë e konsiderueshme e maturantëve tregojnë nga viti në vit përgatitje shumë të dobët në këtë seksion të rëndësishëm të matematikës, siç dëshmohet nga rezultatet e viteve të kaluara (përqindja e përfundimit në 2011 - 48,41%, 2012 - 51,05%), që nga analiza e kalueshmërisë Provimi i unifikuar i shtetit tregoi se studentët bëjnë shumë gabime kur kryejnë detyra në këtë pjesë të veçantë ose nuk marrin fare detyra të tilla. Në një provimin e shtetit Pyetjet e trigonometrisë gjenden pothuajse në tre lloje detyrash. Kjo përfshin zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike në detyrën B5 dhe punën me shprehjet trigonometrike në detyrën B7 dhe studimin e funksioneve trigonometrike në detyrën B14, si dhe detyrat B12, të cilat përmbajnë formula që përshkruajnë fenomene fizike dhe përmbajnë funksione trigonometrike. Dhe kjo është vetëm një pjesë e detyrave B! Por ka edhe ekuacione trigonometrike të preferuara me zgjedhjen e rrënjëve C1, dhe detyrat gjeometrike "jo aq të preferuara" C2 dhe C4.

Qëllimi i punës. Analizoni Materiali i Provimit të Unifikuar të Shtetit detyrat B7, kushtuar transformimeve të shprehjeve trigonometrike dhe klasifikimi i detyrave sipas formës së paraqitjes së tyre në teste.

Puna përbëhet nga dy kapituj, hyrje dhe përfundim. Hyrja thekson rëndësinë e punës. Kapitulli i parë ofron një klasifikim të detyrave për përdorimin e transformimeve të shprehjeve trigonometrike në test Detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit(2012).

Në kapitullin e dytë trajtohet organizimi i përsëritjes së temës “Transformimi i shprehjeve trigonometrike” në klasat 10 dhe 11 dhe zhvillohen teste për këtë temë.

Lista e referencave përfshin 17 burime.

Kapitulli 1. Klasifikimi i detyrave duke përdorur shndërrimet e shprehjeve trigonometrike.

Në përputhje me standardin e arsimit të mesëm (të plotë) dhe kërkesat për nivelin e përgatitjes së nxënësve, kodifikuesi i kërkesave përfshin detyra për njohjen e bazave të trigonometrisë.

Mësimi i bazave të trigonometrisë do të jetë më efektiv kur:

Nxënësve do t'u sigurohet motivim pozitiv për të përsëritur materialin e mësuar më parë;

do të zbatohet një qasje e orientuar drejt personit në procesin arsimor;

do të përdoret një sistem detyrash që ndihmon në zgjerimin, thellimin dhe sistemimin e njohurive të studentëve;

Do të përdoren teknologji të avancuara pedagogjike.

Pasi kemi analizuar literaturën dhe burimet e Internetit për përgatitjen për Provimin e Unifikuar të Shtetit, ne kemi propozuar një nga klasifikimet e mundshme të detyrave B7 (KIM Unified State Exam 2012-trigonometri): detyrat e llogaritjesvlerat e shprehjeve trigonometrike; detyra përkonvertimi i shprehjeve numerike trigonometrike; detyra për konvertimin e shprehjeve trigonometrike të fjalëpërfjalshme; detyra të tipit të përzier.

1.1. Detyrat e llogaritjes kuptimet e shprehjeve trigonometrike.

Një nga llojet më të zakonshme të problemeve të thjeshta të trigonometrisë është llogaritja e vlerave të funksioneve trigonometrike nga vlera e njërit prej tyre:

a) Përdorimi i identitetit bazë trigonometrik dhe pasojat e tij.

Shembulli 1 . Gjeni nëse
Dhe
.

Zgjidhje.
,
,

Sepse , Kjo
.

Përgjigju.

Shembulli 2 . Gjej
, Nëse
Dhe .

Zgjidhje.
,
,
.

Sepse , Kjo
.

Përgjigju. .

b) Përdorimi i formulave me kënd të dyfishtë.

Shembulli 3 . Gjej
, Nëse
.

Zgjidhje. , .

Përgjigju.
.

Shembulli 4 . Gjeni kuptimin e shprehjes
.

Zgjidhje. .

Përgjigju.
.

, Nëse
Dhe
. Përgjigju. -0.2

2. Gjej , Nëse
Dhe
. Përgjigju. 0.4

, Nëse . Përgjigju. -12,88

Gjej

, Nëse
. Përgjigju. -0,84

. Përgjigju. 6

1.2.Detyra për thjeshtimin e shprehjeve trigonometrike. Formulat e reduktimit duhet të kuptohen mirë nga studentët, pasi ato do të gjejnë zbatim të mëtejshëm në gjeometri, fizikë dhe disiplina të tjera të ngjashme.

Shembulli 5 . Thjeshtimi i shprehjeve
.

Zgjidhje. .

Përgjigju.
.

Detyrat për zgjidhje të pavarur:

Thjeshtoni shprehjen
.

Gjej
, Nëse
Dhe

Gjeni kuptimin e shprehjes
, Nëse
.

1.3. Detyra për konvertimin e shprehjeve numerike trigonometrike.

Kur praktikoni aftësitë e detyrave për konvertimin e shprehjeve numerike trigonometrike, duhet t'i kushtoni vëmendje njohurive të tabelës së vlerave të funksioneve trigonometrike, vetive të barazisë dhe periodicitetit të funksioneve trigonometrike.

a) Përdorimi i vlerave të sakta të funksioneve trigonometrike për disa kënde.

Shembulli 6 . Llogaritni
.

Zgjidhje.
.

Përgjigju.
.

b) Përdorimi i vetive të barazisë funksionet trigonometrike.

Shembulli 7 . Llogaritni
.

Zgjidhje. .

Përgjigju.

V) Përdorimi i vetive të periodicitetitfunksionet trigonometrike.

Shembulli 8 . Gjeni kuptimin e shprehjes
.

Zgjidhje. .

Përgjigju.
.

Detyrat për zgjidhje të pavarur:

Gjeni kuptimin e shprehjes
.

2. Gjeni kuptimin e shprehjes
.

3. Gjeni kuptimin e shprehjes
. Përgjigju. 6

.

1.4 Detyra të tipit të përzier.

Formulari i testit të certifikimit ka karakteristika shumë domethënëse, ndaj është e rëndësishme t'i kushtohet vëmendje detyrave që lidhen me përdorimin e disa formulave trigonometrike në të njëjtën kohë.

Shembulli 9. Gjej
, Nëse
.

Zgjidhje.
.

Përgjigju.
.

Shembulli 10 . Gjej
, Nëse
Dhe
.

Zgjidhje. .

Sepse , Kjo
.

Përgjigju.
.

Shembulli 11. Gjej
, Nëse .

Zgjidhje. , ,
,
,
,
,
.

Përgjigju.

Shembulli 12. Llogaritni
.

Zgjidhje. .

Përgjigju.
.

Shembulli 13. Gjeni kuptimin e shprehjes
, Nëse
.

Zgjidhje. .

Përgjigju.
.

Detyrat për zgjidhje të pavarur:

Gjej
, Nëse
.

Gjej
, Nëse
.

3. Gjeni
, Nëse .

4. Gjeni kuptimin e shprehjes
, Nëse
.

5. Gjeni kuptimin e shprehjes
, Nëse
.

Kapitulli 2. Aspekte metodologjike të organizimit të përsëritjes përfundimtare të temës “Transformimi i shprehjeve trigonometrike”.

Një nga çështjet më të rëndësishme që kontribuon në përmirësimin e mëtejshëm të performancës akademike dhe arritjen e njohurive të thella dhe të qëndrueshme mes studentëve është çështja e përsëritjes së materialit të trajtuar më parë. Praktika tregon se në klasën e 10-të është më e përshtatshme të organizohet përsëritja tematike; në klasën e 11-të - përsëritje përfundimtare.

2.1. Rishikim tematik në klasën e 10-të.

Në procesin e punës në materialin matematikor, veçanërisht rëndësi të madhe përvetëson përsëritjen e çdo teme të përfunduar ose të gjithë seksionit të kursit.

Me përsëritjen tematike, njohuritë e nxënësve për një temë sistemohen në fazën përfundimtare të përfundimit të saj ose pas një pushimi të caktuar.

Për përsëritjen tematike, ndahen mësime speciale, në të cilat materiali i një teme të veçantë përqendrohet dhe përgjithësohet.

Përsëritja në mësim realizohet nëpërmjet bashkëbisedimit me përfshirjen e gjerë të nxënësve në këtë bashkëbisedim. Pas kësaj, nxënësve u jepet detyrë të përsërisin një temë të caktuar dhe paralajmërohen se do të kryhet punë testuese.

Një test mbi një temë duhet të përfshijë të gjitha pyetjet e tij kryesore. Pas përfundimit të punës analizohen gabimet karakteristike dhe organizohet përsëritja për eliminimin e tyre.

Për mësimet e përsëritjes tematike, ne ofrojmë të zhvilluara punë vlerësuese në formën e testeve me temën “Transformimi i shprehjeve trigonometrike”.

Testi nr. 1

Testi nr. 2

Testi nr. 3

Tabela e përgjigjeve

Test

2.2. Shqyrtimi përfundimtar në klasën e 11-të.

Përsëritja përfundimtare kryhet në fazën përfundimtare të studimit të çështjeve kryesore të kursit të matematikës dhe kryhet në një lidhje logjike me studimin e materialit arsimor për këtë pjesë ose kursin në tërësi.

Përsëritja përfundimtare e materialit arsimor ndjek qëllimet e mëposhtme:

1. Aktivizimi i materialit të të gjithë kursit të trajnimit për të qartësuar strukturën logjike të tij dhe për të ndërtuar një sistem brenda lidhjeve lëndore dhe ndërlëndore.

2. Thellimi dhe, nëse është e mundur, zgjerimi i njohurive të studentëve për çështjet kryesore të lëndës në procesin e përsëritjes.

Në kuadrin e një provimi të detyrueshëm të matematikës për të gjithë maturantët, futja graduale e Provimit të Unifikuar të Shtetit i detyron mësuesit të marrin një qasje të re në përgatitjen dhe zhvillimin e mësimeve, duke marrë parasysh nevojën për të siguruar që të gjithë nxënësit të zotërojnë materialin arsimor në bazë. niveli, si dhe mundësia për studentë të motivuar të interesuar për të marrë rezultate të larta për pranim në universitet, progres dinamik në përvetësimin e materialit në nivel të avancuar dhe të lartë.

Gjatë mësimeve të rishikimit përfundimtar, mund të merrni parasysh detyrat e mëposhtme:

Zgjidhje. =
= =
=
=
=
=0,5.

Specifikoni vlerën më të madhe të numrit të plotë që shprehja mund të pranojë
.

Zgjidhje. Sepse
mund të marrë çdo vlerë që i përket segmentit [–1; 1], atëherë
merr çdo vlerë të segmentit [–0,4; 0.4], pra. Shprehja ka një vlerë të plotë - numrin 4.

Thjeshtoni shprehjen
.

Zgjidhje: Le të përdorim formulën për faktorizimin e shumës së kubeve: . Ne kemi

Ne kemi:
.

Përgjigje: 1

Shembulli 4. Llogaritni
.

Zgjidhje. .

Përgjigje: 0.28

Për mësimet e rishikimit përfundimtar, ne ofrojmë teste të zhvilluara me temën "Transformimi i shprehjeve trigonometrike".

Futni numrin më të madh të plotë që nuk kalon 1

konkluzioni.

Duke punuar me të përshtatshme literaturë metodologjike për këtë temë mund të konkludojmë se aftësia dhe shkathtësia për të zgjidhur problema që lidhen me transformimet trigonometrike në lëndën e matematikës shkollore është shumë e rëndësishme.

Gjatë punës së bërë, u krye një klasifikim i detyrave B7. Janë marrë parasysh formulat trigonometrike të përdorura më shpesh në CMM në vitin 2012. Jepen shembuj detyrash me zgjidhje. Janë zhvilluar teste të diferencuara për të organizuar përsëritjen dhe sistematizimin e njohurive në përgatitjen për Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Këshillohet që të vazhdoni punën e nisur duke marrë parasysh zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike më të thjeshta në detyrën B5, studimi i funksioneve trigonometrike në detyrën B14, detyrat B12, të cilat përmbajnë formula që përshkruajnë dukuri fizike dhe përmbajnë funksione trigonometrike.

Si përfundim, do të doja të theksoja se efektiviteti dhënien e Provimit të Unifikuar të Shtetit përcaktohet kryesisht nga sa efektivisht është organizuar procesi i trajnimit në të gjitha nivelet e arsimit, me të gjitha kategoritë e studentëve. Dhe nëse arrijmë t'u rrënjosim studentëve pavarësinë, përgjegjësinë dhe gatishmërinë për të vazhduar mësimin gjatë gjithë jetës së tyre, atëherë jo vetëm që do të përmbushim urdhrin e shtetit dhe të shoqërisë, por do të rrisim edhe vetëvlerësimin tonë.

Përsëritja e materialit edukativ kërkon nga mësuesi punë krijuese. Ai duhet të sigurojë një lidhje të qartë midis llojeve të përsëritjes dhe të zbatojë një sistem përsëritjeje të menduar thellë. Zotërimi i artit të organizimit të përsëritjes është detyrë e mësuesit. Fuqia e njohurive të studentëve varet kryesisht nga zgjidhja e saj.

Letërsia.

Vygodsky Ya.Ya., Manual i matematikës elementare. -M.: Nauka, 1970.

Probleme të vështirësisë së shtuar në algjebër dhe analiza bazë: Libër mësuesi për klasat 10-11 gjimnaz/ B.M. Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn, S.I. Schwartzburd. – M.: Arsimi, 1990.

Zbatimi i formulave bazë trigonometrike në transformimin e shprehjeve (klasa e 10-të) // Festivali i ideve pedagogjike. 2012-2013.

Koryanov A.G. , Prokofiev A.A. Përgatisim studentë të mirë dhe të shkëlqyer për Provimin e Unifikuar të Shtetit. - M.: Universiteti Pedagogjik “I Shtatori i Parë”, 2012.- 103 f.

Kuznetsova E.N. Thjeshtimi i shprehjeve trigonometrike. Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike metoda të ndryshme(përgatitje për Provimin e Unifikuar të Shtetit). klasa e 11-të. 2012-2013.

Kulanin E. D. 3000 probleme konkurruese në matematikë. Botimi i 4-të, i saktë. dhe shtesë - M.: Rolf, 2000.

Mordkovich A.G. Problemet metodologjike të studimit të trigonometrisë në shkollat ​​e mesme // Matematika në shkollë. 2002. Nr. 6.

Pichurin L.F. Rreth trigonometrisë dhe jo vetëm rreth saj: -M. Iluminizmi, 1985

Reshetnikov N.N. Trigonometria në shkollë: -M. : Universiteti Pedagogjik “I Shtatori i Parë”, 2006, lx 1.

Shabunin M.I., Prokofiev A.A. Matematika. Algjebër. Fillimet e analizës matematikore Niveli i profilit: Teksti mësimor për klasën 10 - M.: BINOM. Laboratori i Dijes, 2007.

Portali arsimor për përgatitjen për Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit në Matematikë “Oh, kjo trigonometri! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Projekti "Matematikë? Lehtë!!!" http://www.resolventa.ru/

Seksionet: Matematika

Klasa: 11

Mesimi 1

Tema: Klasa e 11-të (përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit)

Thjeshtimi i shprehjeve trigonometrike.

Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike. (2 orë)

Qëllimet:

• Sistematizoni, përgjithësoni, zgjeroni njohuritë dhe aftësitë e nxënësve në lidhje me përdorimin e formulave të trigonometrisë dhe zgjidhjen e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike.

Pajisjet për mësimin:

Struktura e mësimit:

1. Momenti organizativ
2. Testimi në laptopë. Diskutimi i rezultateve.
3. Thjeshtimi i shprehjeve trigonometrike
4. Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike
5. Punë e pavarur.
6. Përmbledhja e mësimit. Shpjegimi i detyrës së shtëpisë.

1. Momenti organizativ. (2 minuta.)

Mësuesi përshëndet të pranishmit, shpall temën e mësimit, u kujton atyre se më parë iu dha detyra të përsërisnin formulat e trigonometrisë dhe përgatit nxënësit për testim.

2. Testimi. (15 min + 3 min diskutim)

Qëllimi është të testohen njohuritë e formulave trigonometrike dhe aftësia për t'i zbatuar ato. Çdo student ka një laptop në tavolinën e tij me një version të testit.

Mund të ketë çdo numër opsionesh, unë do të jap një shembull të njërës prej tyre:

Opsioni I.

Thjeshtoni shprehjet:

a) identitetet bazë trigonometrike

1. mëkat 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) formulat e mbledhjes

3. sin5x - sin3x;

c) shndërrimi i një produkti në një shumë

6. 2sin8y cos3y;

d) formulat me kënd të dyfishtë

7. 2sin5x cos5x;

e) formulat për gjysmëkëndësh

f) formulat e këndit të trefishtë

g) zëvendësim universal

h) ulje në shkallë

16. cos 2 (3x/7);

Nxënësit shohin përgjigjet e tyre në laptop pranë çdo formule.

Puna kontrollohet menjëherë nga kompjuteri. Rezultatet shfaqen në një ekran të madh për t'i parë të gjithë.

Gjithashtu, pas përfundimit të punës, përgjigjet e sakta shfaqen në laptopët e nxënësve. Secili nxënës sheh se ku është bërë gabimi dhe çfarë formulash duhet të përsërisë.

3. Thjeshtimi i shprehjeve trigonometrike. (25 min.)

Qëllimi është të përsëritet, të praktikohet dhe të konsolidohet përdorimi i formulave bazë të trigonometrisë. Zgjidhja e problemave B7 nga Provimi i Unifikuar i Shtetit.

Aktiv në këtë fazë Këshillohet që klasa të ndahet në grupe nxënësish të fortë (punë në mënyrë të pavarur me testimin pasues) dhe nxënës të dobët që punojnë me mësuesin.

Detyrë për nxënës të fortë (i përgatitur paraprakisht në bazë të shtypur). Theksi kryesor është në formulat e reduktimit dhe këndit të dyfishtë, sipas Provimit të Unifikuar të Shtetit 2011.

Thjeshtoni shprehjet (për nxënësit e fortë):

Në të njëjtën kohë, mësuesi punon me nxënës të dobët, duke diskutuar dhe zgjidhur detyra në ekran nën diktimin e nxënësve.

Llogaritni:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Thjeshtoni:

Ishte koha për të diskutuar rezultatet e punës së grupit të fortë.

Përgjigjet shfaqen në ekran dhe gjithashtu duke përdorur një videokamerë shfaqet puna e 5 nxënësve të ndryshëm (një detyrë për secilin).

Grupi i dobët sheh gjendjen dhe metodën e zgjidhjes. Diskutimet dhe analizat janë duke u zhvilluar. Duke përdorur mjete teknike ndodh shpejt.

4. Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike. (30 min.)

Qëllimi është të përsëritet, të sistemohet dhe të përgjithësohet zgjidhja e ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike dhe të shënohen rrënjët e tyre. Zgjidhja e problemit B3.

Çdo ekuacion trigonometrik, pavarësisht se si e zgjidhim, të çon në më të thjeshtën.

Gjatë kryerjes së detyrës, nxënësit duhet t'i kushtojnë vëmendje shkrimit të rrënjëve të ekuacioneve të rasteve të veçanta dhe formës së përgjithshme dhe përzgjedhjes së rrënjëve në ekuacionin e fundit.

Zgjidh ekuacionet:

Shkruani rrënjën më të vogël pozitive si përgjigje.

5. Punë e pavarur (10 min.)

Qëllimi është të testohen aftësitë e fituara, të identifikohen problemet, gabimet dhe mënyrat për t'i eliminuar ato.

Puna me shumë nivele ofrohet sipas zgjedhjes së studentit.

Opsioni "3"

1) Gjeni vlerën e shprehjes

2) Thjeshtoni shprehjen 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Zgjidhe ekuacionin

Opsioni për "4"

1) Gjeni vlerën e shprehjes

2) Zgjidhe ekuacionin Shkruani rrënjën më të vogël pozitive në përgjigjen tuaj.

Opsioni "5"

1) Gjeni tana nëse

2) Gjeni rrënjën e ekuacionit Shkruani rrënjën më të vogël pozitive si përgjigje.

6. Përmbledhje e mësimit (5 min.)

Mësuesi/ja përmbledh faktin se gjatë orës së mësimit përsëritën dhe përforcuan formulat trigonometrike dhe zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike më të thjeshta.

Set detyre shtepie(përgatitur në bazë të shtypur paraprakisht) me një kontroll në vend në mësimin e ardhshëm.

Zgjidh ekuacionet:

9)

10) Në përgjigjen tuaj, tregoni rrënjën më të vogël pozitive.

Mësimi 2

Tema: Klasa e 11-të (përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit)

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike. Zgjedhja e rrënjës. (2 orë)

Qëllimet:

• Përgjithësoni dhe sistematizoni njohuritë për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike të llojeve të ndryshme.
• Për të nxitur zhvillimin e të menduarit matematikor të nxënësve, aftësinë për të vëzhguar, krahasuar, përgjithësuar dhe klasifikuar.
• Nxitini nxënësit të kapërcejnë vështirësitë në procesin e aktivitetit mendor, të vetëkontrollohen dhe të përvetësojnë aktivitetet e tyre.

Pajisjet për mësimin: KRMu, laptopë për çdo student.

Struktura e mësimit:

1. Momenti organizativ
2. Diskutim i d/z dhe vetes. punë nga mësimi i fundit
3. Rishikimi i metodave për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.
4. Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike
5. Zgjedhja e rrënjëve në ekuacionet trigonometrike.
6. Punë e pavarur.
7. Përmbledhja e mësimit. Detyre shtepie.

1. Momenti organizativ (2 min.)

Mësuesi përshëndet auditorin, shpall temën e mësimit dhe planin e punës.

2. a) Analizë e detyrave të shtëpisë (5 min.)

Qëllimi është të kontrolloni ekzekutimin. Një punë shfaqet në ekran duke përdorur një videokamerë, pjesa tjetër mblidhet në mënyrë selektive për kontrollin e mësuesit.

b) Analiza e punës së pavarur (3 min.)

Qëllimi është të analizohen gabimet dhe të tregohen mënyrat për t'i kapërcyer ato.

Përgjigjet dhe zgjidhjet janë në ekran; nxënësve u jepet paraprakisht puna e tyre. Analiza vazhdon shpejt.

3. Rishikim i metodave për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike (5 min.)

Qëllimi është të kujtojmë metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.

Pyesni nxënësit se çfarë metodash të zgjidhjes së ekuacioneve trigonometrike njohin. Theksoni se ekzistojnë të ashtuquajturat metoda themelore (të përdorura shpesh):

• zëvendësim i ndryshueshëm,
• faktorizimi,
• ekuacionet homogjene,

dhe ka metoda të aplikuara:

• duke përdorur formulat për shndërrimin e një shume në një produkt dhe një produkti në një shumë,
• sipas formulave për uljen e shkallës,
• zëvendësimi universal trigonometrik
• Prezantimi kënd ndihmës,
• shumëzim me disa funksioni trigonometrik.

Duhet të kujtojmë gjithashtu se një ekuacion mund të zgjidhet në mënyra të ndryshme.

4. Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike (30 min.)

Qëllimi është përgjithësimi dhe konsolidimi i njohurive dhe aftësive për këtë temë, përgatitja për zgjidhjen C1 nga Provimi i Unifikuar i Shtetit.

E konsideroj të këshillueshme zgjidhjen e ekuacioneve për secilën metodë së bashku me studentët.

Nxënësi dikton zgjidhjen, mësuesi e shkruan në tabletë dhe i gjithë procesi shfaqet në ekran. Kjo do t'ju lejojë të kujtoni shpejt dhe në mënyrë efektive materialet e mbuluara më parë në kujtesën tuaj.

Zgjidh ekuacionet:

1) duke zëvendësuar variablin 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizimi 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogjene ekuacionet e mëkatit 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) konvertimi i shumës në një produkt cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) konvertimi i produktit në shumën 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) zvogëlimi i shkallës sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0.5

7) zëvendësimi universal trigonometrik sinx + 5cosx + 5 = 0.

Gjatë zgjidhjes së këtij ekuacioni duhet theksuar se duke përdorur këtë metodëçon në një ngushtim të diapazonit të përkufizimit, pasi sinusi dhe kosinusi zëvendësohen me tg(x/2). Prandaj, para se të shkruani përgjigjen, duhet të kontrolloni nëse numrat nga bashkësia π + 2πn, n Z janë kuaj të këtij ekuacioni.

8) futja e një këndi ndihmës √3sinx + cosx - √2 = 0

9) shumëzimi me ndonjë funksion trigonometrik cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Zgjedhja e rrënjëve të ekuacioneve trigonometrike (20 min.)

Duke qenë se në kushtet e konkurrencës së ashpër gjatë hyrjes në universitete nuk mjafton vetëm zgjidhja e pjesës së parë të provimit, shumica e studentëve duhet t'u kushtojnë vëmendje detyrave të pjesës së dytë (C1, C2, C3).

Prandaj, qëllimi i kësaj faze të mësimit është të kujtojmë materialin e studiuar më parë dhe të përgatitemi për të zgjidhur problemin C1 nga Provimi i Unifikuar i Shtetit 2011.

Ka ekuacione trigonometrike në të cilat ju duhet të zgjidhni rrënjët kur shkruani përgjigjen. Kjo është për shkak të disa kufizimeve, për shembull: emëruesi i thyesës nuk është i barabartë me zero, shprehja nën rrënjën çift është jo negative, shprehja nën shenjën e logaritmit është pozitive, etj.

Ekuacione të tilla konsiderohen ekuacione me kompleksitet të shtuar dhe në versioni i Provimit të Unifikuar të Shtetit janë në pjesën e dytë, përkatësisht C1.

Zgjidhe ekuacionin:

Një thyesë është e barabartë me zero nëse atëherë duke përdorur rrethi njësi le të zgjedhim rrënjët (shih Figurën 1)

Foto 1.

marrim x = π + 2πn, n Z

Përgjigje: π + 2πn, n Z

Në ekran, zgjedhja e rrënjëve shfaqet në një rreth në një imazh me ngjyra.

Produkti është i barabartë me zero kur të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero, dhe harku nuk e humb kuptimin e tij. Pastaj

Duke përdorur rrethin e njësisë, ne zgjedhim rrënjët (shih Figurën 2)

Figura 2.

5)

Le të shkojmë te sistemi:

Në ekuacionin e parë të sistemit bëjmë regjistrin e zëvendësimit 2 (sinx) = y, më pas marrim ekuacionin , le të kthehemi te sistemi

duke përdorur rrethin e njësisë ne zgjedhim rrënjët (shih Figurën 5),

Figura 5.

6. Punë e pavarur (15 min.)

Qëllimi është të konsolidohet dhe të kontrollohet asimilimi i materialit, të identifikohen gabimet dhe të përshkruhen mënyrat për t'i korrigjuar ato.

Puna ofrohet në tre versione, të përgatitura paraprakisht në mënyrë të printuar, për të zgjedhur studentët.

Ju mund të zgjidhni ekuacionet në çdo mënyrë.

Opsioni "3"

Zgjidh ekuacionet:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Opsioni për "4"

Zgjidh ekuacionet:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Opsioni "5"

Zgjidh ekuacionet:

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. Përmbledhje e mësimit, detyra shtëpie (5 min.)

Mësuesi/ja përmbledh mësimin dhe tërheq edhe një herë vëmendjen se një ekuacion trigonometrik mund të zgjidhet në disa mënyra. Shumica Menyra me e mire për të arritur një rezultat të shpejtë, është ai që mësohet më mirë nga një nxënës i caktuar.

Kur përgatiteni për provimin, duhet të përsërisni sistematikisht formulat dhe metodat për zgjidhjen e ekuacioneve.

Shpërndahen detyrat e shtëpisë (të përgatitura paraprakisht në shtyp) dhe komentohen metodat e zgjidhjes së disa ekuacioneve.

Zgjidh ekuacionet:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2 x + sin2x = 3

4) mëkat 2 x + mëkat 2 2x - mëkat 2 3x - mëkat 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8)cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8)cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

Mësimi video “Thjeshtimi i shprehjeve trigonometrike” është krijuar për të zhvilluar aftësitë e nxënësve në zgjidhjen e problemeve trigonometrike duke përdorur identitetet bazë trigonometrike. Gjatë video-mësimit diskutohen llojet e identiteteve trigonometrike dhe shembuj të zgjidhjes së problemave duke përdorur ato. Duke përdorur mjete pamore, mësuesi e ka më të lehtë të arrijë objektivat e mësimit. Paraqitja e gjallë e materialit ndihmon për të kujtuar pikat e rëndësishme. Përdorimi i efekteve të animacionit dhe zërit ju lejon të zëvendësoni plotësisht mësuesin në fazën e shpjegimit të materialit. Kështu, duke përdorur këtë mjet pamor në mësimet e matematikës, mësuesi mund të rrisë efektivitetin e mësimdhënies.

Në fillim të mësimit video, shpallet tema e tij. Më pas kujtojmë identitetet trigonometrike të studiuara më parë. Ekrani shfaq barazitë sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, ku t≠π/2+πk për kϵZ, ctg t=cos t/sin t, e saktë për t≠πk, ku kϵZ, tg t· ctg t=1, për t≠πk/2, ku kϵZ, quhen identitetet bazë trigonometrike. Vihet re se këto identitete përdoren shpesh në zgjidhjen e problemeve kur është e nevojshme të provohet barazia ose të thjeshtohet një shprehje.

Më poshtë do të shqyrtojmë shembuj të aplikimit të këtyre identiteteve në zgjidhjen e problemeve. Së pari, propozohet të merret në konsideratë zgjidhja e problemeve të thjeshtimit të shprehjeve. Në shembullin 1, është e nevojshme të thjeshtohet shprehja cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t. Për të zgjidhur shembullin, së pari merrni faktorin e përbashkët cos 2 t nga kllapat. Si rezultat i këtij transformimi në kllapa, fitohet shprehja 1- cos 2 t, vlera e së cilës nga identiteti kryesor i trigonometrisë është e barabartë me sin 2 t. Pas transformimit të shprehjes, është e qartë se një faktor më i zakonshëm sin 2 t mund të hiqet nga kllapat, pas të cilit shprehja merr formën sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Nga i njëjti identitet bazë nxjerrim vlerën e shprehjes në kllapa të barabartë me 1. Si rezultat i thjeshtimit, fitojmë cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

Në shembullin 2, shprehja kosto/(1- sint)+ kosto/(1+ sint) duhet të thjeshtohet. Meqenëse numëruesit e të dy thyesave përmbajnë shprehjen kosto, ajo mund të hiqet nga kllapat si një faktor i përbashkët. Pastaj thyesat në kllapa reduktohen në një emërues të përbashkët duke shumëzuar (1- sint)(1+ sint). Pas sjelljes së termave të ngjashëm, numëruesi mbetet 2, dhe emëruesi 1 - sin 2 t. Në anën e djathtë të ekranit, kujtohet identiteti bazë trigonometrik sin 2 t+cos 2 t=1. Duke e përdorur atë gjejmë emëruesin e thyesës cos 2 t. Pas zvogëlimit të thyesës, marrim një formë të thjeshtuar të shprehjes kosto/(1- sint)+ kosto/(1+ sint)=2/kosto.

Më pas, shqyrtojmë shembuj të provave të identiteteve që përdorin njohuritë e marra për identitetet bazë të trigonometrisë. Në shembullin 3, është e nevojshme të vërtetohet identiteti (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Ana e djathtë e ekranit shfaq tre identitete që do të nevojiten për vërtetimin - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t dhe tg t=sin t/cos t me kufizime. Për të vërtetuar identitetin, fillimisht hapen kllapat, pas së cilës formohet një produkt që pasqyron shprehjen e identitetit kryesor trigonometrik tg t·ctg t=1. Më pas, sipas identitetit nga përkufizimi i kotangjentes, transformohet ctg 2 t. Si rezultat i shndërrimeve fitohet shprehja 1-cos 2 t. Duke përdorur identitetin kryesor, gjejmë kuptimin e shprehjes. Kështu, është vërtetuar se (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

Në shembullin 4, duhet të gjeni vlerën e shprehjes tg 2 t+ctg 2 t nëse tg t+ctg t=6. Për të llogaritur shprehjen, fillimisht katrore anët e djathta dhe të majta të barazisë (tg t+ctg t) 2 =6 2. Formula e shkurtuar e shumëzimit kujtohet në anën e djathtë të ekranit. Pas hapjes së kllapave në anën e majtë të shprehjes, formohet shuma tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, për të transformuar të cilën mund të aplikoni një nga identitetet trigonometrike tg t·ctg t=1. , forma e së cilës kujtohet në anën e djathtë të ekranit. Pas transformimit fitohet barazia tg 2 t+ctg 2 t=34. Ana e majtë e barazisë përkon me kushtin e problemit, kështu që përgjigja është 34. Problemi është zgjidhur.

Mësimi video "Thjeshtimi i shprehjeve trigonometrike" rekomandohet për përdorim në një mësim tradicional të matematikës shkollore. Materiali do të jetë i dobishëm edhe për mësuesin që zbaton të mësuarit në distancë. Për të zhvilluar aftësitë në zgjidhjen e problemeve trigonometrike.

DEKODIMI I TEKSTIT:

“Thjeshtimi i shprehjeve trigonometrike”.

Barazitë

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sine katror te plus kosinus katror te barazohet me një)

2)tgt =, për t ≠ + πk, kϵZ (tangjentja te është e barabartë me raportin e sinus te ndaj kosinusit te me te jo e barabartë me pi me dy plus pi ka, ka i takon zet)

3)ctgt = , për t ≠ πk, kϵZ (kotangjentja te është e barabartë me raportin e kosinusit te ndaj sine te me te jo i barabartë me pi ka, ka i takon zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 për t ≠ , kϵZ (produkti i tangjentes te nga kotangjentja te është i barabartë me një kur te nuk është i barabartë me majën ka, pjesëtuar me dy, ka i takon zet)

quhen identitete bazë trigonometrike.

Ato përdoren shpesh në thjeshtimin dhe vërtetimin e shprehjeve trigonometrike.

Le të shohim shembuj të përdorimit të këtyre formulave për të thjeshtuar shprehjet trigonometrike.

SHEMBULL 1. Thjeshtoni shprehjen: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (shprehja e një kosinusi në katror te minus kosinusi i shkallës së katërt te plus sinusi i shkallës së katërt te).

Zgjidhje. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = mëkat 2 t 1= mëkat 2 t

(Nxjerrim faktorin e përbashkët kosinus katror te, në kllapa marrim ndryshimin midis njësisë dhe kosinusit në katror te, i cili është i barabartë me sinusin në katror te sipas identitetit të parë. Marrim shumën e fuqisë së katërt sine te të produkti kosinus katror te dhe sinus katror te.Nxjerrim faktorin e perbashket sine katror te jashte kllapave, ne kllapa marrim shumen e katroreve te kosinusit dhe sinusit, i cili sipas identitetit themelor trigonometrik eshte i barabarte me 1. Si rezultat, marrim katrorin e sinusit te).

SHEMBULL 2. Thjeshtoni shprehjen: + .

(shprehja është shuma e dy thyesave në numëruesin e kosinusit të parë te në emëruesin një minus sine te, në numëruesin e kosinusit të dytë te në emëruesin e të dytit plus sine te).

(Le të nxjerrim faktorin e përbashkët kosinus te nga kllapat dhe në kllapa e sjellim atë në një emërues të përbashkët, i cili është prodhimi i një minus sine te me një plus sine te.

Në numërues marrim: një plus sine te plus një minus sine te, japim të ngjashëm, numëruesi është i barabartë me dy pasi sjellim të ngjashëm.

Në emërues, mund të aplikoni formulën e shkurtuar të shumëzimit (diferenca e katrorëve) dhe të merrni diferencën midis unitetit dhe katrorit të sinusit te, i cili, sipas identitetit bazë trigonometrik

e barabartë me katrorin e kosinusit te. Pas reduktimit me kosinus te marrim përgjigjen përfundimtare: dy pjesëtohen me kosinus te).

Le të shohim shembuj të përdorimit të këtyre formulave gjatë vërtetimit të shprehjeve trigonometrike.

SHEMBULL 3. Vërtetoni identitetin (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (produkti i ndryshimit midis katrorëve të tangjentes te dhe sine te me katrorin e kotangjentes te është i barabartë me katrorin e sine te).

Dëshmi.

Le të transformojmë anën e majtë të barazisë:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - mëkat 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = mëkat 2 t

(Të hapim kllapat; nga marrëdhënia e fituar më parë dihet se prodhimi i katrorëve të tangjentes te me kotangjente te është i barabartë me një. Kujtojmë se kotangjentja te është e barabartë me raportin e kosinusit te me sine te, i cili do të thotë se katrori i kotangjentës është raporti i katrorit të kosinusit te me katrorin e sinusit te.

Pas reduktimit me sinus katror te fitojmë diferencën ndërmjet njësisë dhe kosinusit katror te, i cili është i barabartë me sinus katror te). Q.E.D.

SHEMBULL 4. Gjeni vlerën e shprehjes tg 2 t + ctg 2 t nëse tgt + ctgt = 6.

(shuma e katrorëve të tangjentes te dhe kotangjentes te, nëse shuma e tangjentes dhe kotangjentes është gjashtë).

Zgjidhje. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Le të vendosim në katror të dy anët e barazisë origjinale:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (katrori i shumës së tangjentes te dhe kotangjentes te është i barabartë me gjashtë në katror). Le të kujtojmë formulën e shumëzimit të shkurtuar: Katrori i shumës së dy sasive është i barabartë me katrorin e së parës plus dyfishin e produktit të së parës me të dytën plus katrorin e së dytës. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Marrim tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (tangjentja në katror te plus dyfishi i produktit të tangjentes te dhe kotangjentes te plus kotangjentes në katror te është e barabartë tridhjetë e gjashtë) .

Meqenëse prodhimi i tangjentës te dhe kotangjentes te është i barabartë me një, atëherë tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (shuma e katrorëve të tangjentes te dhe kotangjentes te dhe dy është e barabartë me tridhjetë e gjashtë),