Mësime të plota - Hipermarketi i njohurive. Përkufizimi i një katërkëndëshi

Një nga temat më interesante në gjeometri nga kursi shkollor është “Katërkëndëshat” (klasa e 8-të). Çfarë lloje të figurave të tilla ekzistojnë, çfarë veti të veçanta kanë ato? Çfarë është unike për katërkëndëshat me kënde nëntëdhjetë gradë? Le t'i kuptojmë të gjitha.

Cila figurë gjeometrike quhet katërkëndësh?

Shumëkëndëshat që përbëhen nga katër brinjë dhe, në përputhje me rrethanat, nga katër kulme (kënde) quhen katërkëndësh në gjeometrinë Euklidiane.

Historia e emrit të këtij lloji të figurës është interesante. Në gjuhën ruse, emri "katërkëndësh" formohet nga fraza "katër qoshe" (ashtu si "trekëndësh" - tre qoshe, "pentagon" - pesë qoshe, etj.).

Sidoqoftë, në latinisht (nëpërmjet të cilave shumë terma gjeometrikë erdhën në shumicën e gjuhëve të botës) quhet katërkëndësh. Kjo fjalë është formuar nga numri quadri (katër) dhe emri latus (ana). Pra, mund të konkludojmë se të lashtët e quajtën këtë shumëkëndësh asgjë më shumë se një "katërkëndësh".

Nga rruga, ky emër (me theks në praninë e katër anëve, në vend të qosheve, në figura të këtij lloji) u ruajt në disa gjuhët moderne. Për shembull, në anglisht - katërkëndësh dhe në frëngjisht - quadrilatère.

Për më tepër, në shumicën e gjuhëve sllave, lloji i figurës në fjalë ende identifikohet nga numri i këndeve dhe jo nga brinjët. Për shembull, në sllovakisht (štvoruholník), në bullgarisht ("chetirigalnik"), në bjellorusisht ("chatyrokhkutnik"), në ukrainisht ("chotirikutnik"), në çekisht (čtyřúhelník), por në polonisht katërkëndëshi quhet me numrin e anët - czworoboczny.

Cilat lloje të katërkëndëshave studiohen në kurrikulën shkollore?

Në gjeometrinë moderne, ekzistojnë 4 lloje poligonesh me katër anë.

Megjithatë, për shkak të vetive tepër komplekse të disa prej tyre, nxënësve të shkollës njihen vetëm me dy lloje në mësimet e gjeometrisë.

• Paralelogrami. Anët e kundërta të një katërkëndëshi të tillë janë paralele me njëra-tjetrën në çifte dhe, në përputhje me rrethanat, janë gjithashtu të barabarta në çifte.
• Trapezium (trapez ose trapez). Ky katërkëndësh përbëhet nga dy brinjë të kundërta paralele me njëra-tjetrën. Megjithatë, palët e tjera të palëve nuk e kanë këtë veçori.

Llojet e katërkëndëshave të pa studiuara në lëndën e gjeometrisë shkollore

Përveç sa më sipër, ka edhe dy lloje të tjera katërkëndëshash me të cilët nxënësit e shkollës nuk njihen në mësimet e gjeometrisë për shkak të kompleksitetit të tyre të veçantë.

• Deltoid (qift)- një figurë në të cilën secila prej dy palëve të brinjëve ngjitur është e barabartë në gjatësi. Ky katërkëndësh e ka marrë emrin për faktin se pamjen ajo ngjan shumë me shkronjën e alfabetit grek - "delta".
• Antiparalelogram- kjo shifër është po aq komplekse sa edhe emri i saj. Në të, dy anët e kundërta janë të barabarta, por në të njëjtën kohë ato nuk janë paralele me njëra-tjetrën. Veç kësaj, anët e gjata të kundërta të këtij katërkëndëshi kryqëzohen me njëra-tjetrën, si dhe zgjatimet e dy brinjëve të tjera, më të shkurtra.

Llojet e paralelogramit

Duke u marrë me llojet kryesore të katërkëndëshave, ia vlen t'i kushtohet vëmendje nënllojeve të tij. Pra, të gjithë paralelogramët, nga ana tjetër, ndahen gjithashtu në katër grupe.

• Paralelogrami klasik.
• Rombi- një figurë katërkëndore me brinjë të barabarta. Diagonalet e tij kryqëzohen në kënde të drejta, duke e ndarë rombin në katër trekëndësha të barabartë kënddrejtë.
• Drejtkëndësh. Emri flet vetë. Meqenëse është një katërkëndësh me kënde të drejta (secili prej tyre është i barabartë me nëntëdhjetë gradë). Anët e tij të kundërta janë jo vetëm paralele me njëra-tjetrën, por edhe të barabarta.
• Sheshi. Ashtu si një drejtkëndësh, ai është një katërkëndësh me kënde të drejta, por të gjitha anët e tij janë të barabarta. Në këtë mënyrë, kjo figurë është afër një rombi. Pra, mund të themi se një katror është një kryqëzim midis një rombi dhe një drejtkëndëshi.

Karakteristikat e veçanta të një drejtkëndëshi

Kur merren parasysh figurat në të cilat secili nga këndet midis anëve është i barabartë me nëntëdhjetë gradë, ia vlen t'i hedhim një vështrim më të afërt drejtkëndëshit. Pra, çfarë veçori të veçanta ka ai që e dallojnë atë nga paralelogramët e tjerë?

Për të pretenduar se paralelogrami në fjalë është një drejtkëndësh, diagonalet e tij duhet të jenë të barabarta me njëra-tjetrën dhe secili nga këndet duhet të jetë i drejtë. Për më tepër, katrori i diagonaleve të tij duhet të korrespondojë me shumën e katrorëve të dy anëve ngjitur të kësaj figure. Me fjalë të tjera, një drejtkëndësh klasik përbëhet nga dy trekëndësha kënddrejtë, dhe në to, siç dihet, diagonalja e katërkëndëshit në fjalë vepron si hipotenuzë.

E fundit nga veçoritë e renditura të kësaj figure është edhe vetia e saj e veçantë. Përveç kësaj, ka edhe të tjera. Për shembull, fakti që të gjitha anët e katërkëndëshit që studiohet me kënde të drejta janë edhe lartësitë e tij.

Përveç kësaj, nëse një rreth vizatohet rreth ndonjë drejtkëndëshi, diametri i tij do të jetë i barabartë me diagonalen e figurës së brendashkruar.

Ndër vetitë e tjera të këtij katërkëndëshi është se ai është i sheshtë dhe nuk ekziston në gjeometrinë jo-Euklidiane. Kjo për faktin se në një sistem të tillë nuk ka figura katërkëndëshe, shuma e këndeve të të cilave është e barabartë me treqind e gjashtëdhjetë gradë.

Sheshi dhe veçoritë e tij

Duke kuptuar shenjat dhe vetitë e një drejtkëndëshi, ia vlen t'i kushtohet vëmendje katërkëndëshit të dytë të njohur për shkencën me kënde të drejta (ky është një katror).

Duke qenë në fakt i njëjti drejtkëndësh, por me brinjë të barabarta, kjo figurë ka të gjitha vetitë e saj. Por ndryshe nga ai, katrori është i pranishëm në gjeometrinë jo-Euklidiane.

Përveç kësaj, kjo shifër ka veçori të tjera dalluese të veta. Për shembull, fakti që diagonalet e një katrori jo vetëm që janë të barabarta me njëra-tjetrën, por edhe kryqëzohen në kënde të drejta. Kështu, si një romb, një katror përbëhet nga katër trekëndësha kënddrejtë në të cilët diagonalet e ndajnë atë.

Për më tepër, kjo shifër është më simetrikja nga të gjithë katërkëndëshat.

Sa është shuma e këndeve të një katërkëndëshi?

Kur merren parasysh tiparet e katërkëndëshave të gjeometrisë Euklidiane, ia vlen t'i kushtohet vëmendje këndeve të tyre.

Pra, në secilën nga figurat e mësipërme, pavarësisht nëse ka kënde të drejta apo jo, shuma totale e tyre është gjithmonë e njëjtë - treqind e gjashtëdhjetë gradë. Ky është një tipar unik dallues i këtij lloji të figurës.

Perimetri i katërkëndëshave

Pasi të keni kuptuar se me çfarë është e barabartë shuma e këndeve të një katërkëndëshi dhe vetitë e tjera të veçanta të figurave të këtij lloji, ia vlen të zbuloni se cilat formula përdoren më së miri për të llogaritur perimetrin dhe sipërfaqen e tyre.

Për të përcaktuar perimetrin e çdo katërkëndëshi, mjafton të shtoni gjatësitë e të gjitha anëve të tij së bashku.

Për shembull, në figurën KLMN, perimetri i tij mund të llogaritet duke përdorur formulën: P = KL + LM + MN + KN. Nëse zëvendësoni numrat këtu, merrni: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

Në rastin kur figura në fjalë është romb ose katror, ​​për të gjetur perimetrin, mund ta thjeshtoni formulën duke shumëzuar gjatësinë e njërës anë me katër: P = KL x 4. Për shembull: 6 x 4 = 24 (cm).

Formulat për katërkëndëshat me sipërfaqe

Pasi të keni kuptuar se si të gjeni perimetrin e çdo figure me katër qoshe dhe anët, ia vlen të merren parasysh më të njohurat dhe mënyra të thjeshta gjetja e zonës së saj.

Veti të tjera të katërkëndëshave: rrethore dhe rrethore

Duke marrë parasysh tiparet dhe vetitë e një katërkëndëshi si një figurë e gjeometrisë Euklidiane, ia vlen t'i kushtohet vëmendje aftësisë për të përshkruar rrathët rreth ose brenda tij:

• Nëse shumat e këndeve të kundërta të një figure janë njëqind e tetëdhjetë gradë dhe janë të barabarta në çifte, atëherë një rreth mund të përshkruhet lirisht rreth një katërkëndëshi të tillë.
• Sipas teoremës së Ptolemeut, nëse një rreth është i rrethuar jashtë një shumëkëndëshi me katër brinjë, atëherë prodhimi i diagonaleve të tij është i barabartë me shumën e prodhimeve të anëve të kundërta të figurës së dhënë. Kështu, formula do të duket si kjo: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• Nëse ndërtoni një katërkëndësh në të cilin shumat e anëve të kundërta janë të barabarta me njëra-tjetrën, atëherë mund të futni një rreth në të.

Pasi të keni kuptuar se çfarë është një katërkëndësh, cilat lloje të tij ekzistojnë, cilat prej tyre kanë vetëm kënde të drejta midis anëve dhe cilat veti kanë, ia vlen të mbani mend gjithë këtë material. Në veçanti, merren parasysh formulat për gjetjen e perimetrit dhe sipërfaqes së poligoneve. Në fund të fundit, figurat e kësaj forme janë ndër më të zakonshmet, dhe kjo njohuri mund të jetë e dobishme për llogaritjet në jetën reale.

Me katër cepa dhe katër anë. Një katërkëndësh formohet nga një vijë e mbyllur e thyer e përbërë nga katër lidhje dhe ajo pjesë e rrafshit që është brenda vijës së thyer.

Emërtimi i një katërkëndëshi përbëhet nga shkronjat e vendosura në kulmet e tij, duke i emërtuar ato sipas radhës. Për shembull, thonë ose shkruajnë: katërkëndësh ABCD :

Në një katërkëndësh ABCD pikë A, B, C Dhe D- Kjo kulmet e një katërkëndëshi, segmente AB, B.C., CD Dhe D.A. - anët.

Kulmet që i përkasin njërës anë quhen fqinje, quhen kulmet që nuk janë fqinje e kundërt:

Në një katërkëndësh ABCD majat A Dhe B, B Dhe C, C Dhe D, D Dhe A- fqinje, dhe kulmet A Dhe C, B Dhe D- e kundërt. Këndet që shtrihen në kulmet ngjitur quhen gjithashtu ngjitur, dhe në kulmet e kundërta - të kundërta.

Brinjët e një katërkëndëshi gjithashtu mund të ndahen në çifte në ngjitur dhe të kundërt: brinjët që kanë një kulm të përbashkët quhen fqinje(ose ngjitur), anët që nuk kanë kulme të përbashkëta - e kundërt:

Partitë AB Dhe B.C., B.C. Dhe CD, CD Dhe D.A., D.A. Dhe AB- ngjitur, dhe anët AB Dhe DC, pas Krishtit Dhe B.C.- e kundërt.

Nëse kulmet e kundërta lidhen me një segment, atëherë një segment i tillë do të quhet diagonalja e katërkëndëshit. Duke marrë parasysh që një katërkëndësh ka vetëm dy palë kulme të kundërta, atëherë mund të ketë vetëm dy diagonale:

Segmentet A.C. Dhe BD- diagonale.

Le të shqyrtojmë llojet kryesore të katërkëndëshave konveks:

• Trapezoid- një katërkëndësh në të cilin një palë brinjë të kundërta janë paralele me njëra-tjetrën, dhe çifti tjetër nuk është paralel.
  • Trapezoid isosceles- një trapez anët e të cilit janë të barabarta.
  • Trapezoid drejtkëndor- një trapez në të cilin njëri nga këndet është i drejtë.
• Paralelogrami- një katërkëndësh në të cilin të dy palët e brinjëve të kundërta janë paralele me njëra-tjetrën.
  • Drejtkëndësh- një paralelogram në të cilin të gjitha këndet janë të barabarta.
  • Rombi- një paralelogram në të cilin të gjitha anët janë të barabarta.
  • Sheshi- një paralelogram brinjët dhe këndet e të cilit janë të barabarta. Si një drejtkëndësh ashtu edhe një romb mund të jenë një katror.

Vetitë e këndeve të katërkëndëshave konveks

Të gjithë katërkëndëshat konveks kanë dy vetitë e mëposhtme në këndet e tyre:

1. Çdo kënd i brendshëm më i vogël se 180°.
2. Shuma e këndeve të brendshme është 360°.

Në kurrikulën e shkollës në mësimet e gjeometrisë, duhet të merreni me lloje të ndryshme katërkëndëshash: rombe, paralelogramë, drejtkëndësha, trapezoide, katrorë. Format e para që duhen studiuar janë drejtkëndëshi dhe katrori.

Pra, çfarë është një drejtkëndësh? Përkufizimi për klasën e dytë të një shkolle të mesme do të duket kështu: ky është një katërkëndësh me të katër këndet drejt. Është e lehtë të imagjinohet se si duket një drejtkëndësh: është një figurë me 4 kënde të drejta dhe brinjë paralele me njëra-tjetrën në çifte.

Në kontakt me

Si mund të kuptojmë, kur zgjidhim një problem tjetër gjeometrik, me cilin katërkëndësh kemi të bëjmë? Ekzistojnë tre shenja kryesore, me anë të së cilës mund të përcaktohet pagabueshëm se po flasim për një drejtkëndësh. Le t'i quajmë ata:

• figura është një katërkëndësh, tre këndet e të cilit janë të barabartë me 90°;
• katërkëndëshi i paraqitur është një paralelogram me diagonale të barabarta;
• një paralelogram që ka të paktën një kënd të drejtë.

Është interesante të dihet: çfarë është konveks, tiparet dhe simptomat e tij.

Meqenëse një drejtkëndësh është një paralelogram (d.m.th., një katërkëndësh me palë brinjë paralele të kundërta), atëherë të gjitha vetitë dhe karakteristikat e tij do të përmbushen për të.

Formulat për llogaritjen e gjatësisë së anëve

Në një drejtkëndësh anët e kundërta janë të barabarta dhe reciprokisht paralele. Ana më e gjatë zakonisht quhet gjatësi (shënohet me a), ana më e shkurtër quhet gjerësi (shënohet me b). Në drejtkëndëshin në imazh, gjatësitë janë brinjët AB dhe CD, dhe gjerësia janë AC dhe B. D. Ato janë gjithashtu pingul me bazat (d.m.th., ato janë lartësitë).

Për të gjetur anët, mund të përdorni formulat e mëposhtme. Ata përdorin konventat e mëposhtme: a - gjatësia e drejtkëndëshit, b - gjerësia e tij, d - diagonalja (një segment që lidh kulmet e dy këndeve që shtrihen përballë njëri-tjetrit), S - zona e figurës, P - perimetri, α - këndi midis diagonales dhe gjatësisë, β është një kënd i mprehtë i formuar nga të dy diagonalet. Metodat për gjetjen e gjatësisë së anëve:

• Duke përdorur një diagonale dhe një anë të njohur: a = √(d² - b²), b = √(d² - a²).
• Bazuar në sipërfaqen e figurës dhe njërën nga anët e saj: a = S / b, b = S / a.
• Duke përdorur perimetrin dhe anën e njohur: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• Përmes diagonales dhe këndit ndërmjet saj dhe gjatësisë: a = d sinα, b = d cosα.
• Përmes diagonales dhe këndit β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Perimetri dhe zona

Perimetri i një katërkëndëshi quhet shuma e gjatësive të të gjitha brinjëve të saj. Për të llogaritur perimetrin, mund të përdoren formulat e mëposhtme:

• Nëpër të dy anët: P = 2 (a + b).
• Përmes zonës dhe njërës prej anëve: P = (2S + 2a²) / a, P = (2S + 2b²) / b.

Sipërfaqja është hapësira e mbyllur nga një perimetër. Tre mënyra kryesore për të llogaritur sipërfaqen:

• Nëpër gjatësitë e të dy anëve: S = a*b.
• Duke përdorur perimetrin dhe çdo anë të njohur: S = (Pa - 2 a²) / 2; S = (Pb - 2 b²) / 2.
• Diagonalisht dhe këndi β: S = 0,5 d² sinβ.

Problemet në një kurs të matematikës shkollore shpesh kërkojnë një zotërim të mirë të vetitë e diagonaleve të një drejtkëndëshi. Ne rendisim ato kryesore:

1. Diagonalet janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe ndahen në dy segmente të barabarta në pikën e kryqëzimit të tyre.
2. Diagonalja përcaktohet si rrënja e shumës së të dy anëve në katror (rrjedh nga teorema e Pitagorës).
3. Një diagonale ndan një drejtkëndësh në dy trekëndësha kënddrejtë.
4. Pika e kryqëzimit përkon me qendrën e rrethit të rrethuar, dhe vetë diagonalet përkojnë me diametrin e tij.

Formulat e mëposhtme përdoren për të llogaritur gjatësinë e diagonales:

• Duke përdorur gjatësinë dhe gjerësinë e figurës: d = √(a² + b²).
• Duke përdorur rrezen e një rrethi të rrethuar rreth një katërkëndëshi: d = 2 R.

Përkufizimi dhe vetitë e një katrori

Sheshi është rast i veçantë romb, paralelogram ose drejtkëndësh. Dallimi i tij nga këto figura është se të gjitha këndet e tij janë të drejta dhe të katër anët janë të barabarta. Një katror është një katërkëndësh i rregullt.

Një katërkëndësh quhet katror në rastet e mëposhtme:

1. Nëse është një drejtkëndësh, gjatësia a dhe gjerësia b janë të barabarta.
2. Nëse është një romb me gjatësi të barabartë diagonalesh dhe katër kënde të drejta.

Vetitë e një katrori përfshijnë të gjitha vetitë e diskutuara më parë në lidhje me një drejtkëndësh, si dhe sa vijon:

1. Diagonalet janë pingul me njëra-tjetrën (vetia e rombit).
2. Pika e kryqëzimit përkon me qendrën e rrethit të brendashkruar.
3. Të dy diagonalet e ndajnë katërkëndëshin në katër trekëndësha të barabartë kënddrejtë dhe dykëndësh.

Këtu janë formulat e përdorura shpesh për llogaritjet e perimetrit, sipërfaqes dhe elementeve katrore:

• Diagonalja d = a √2.
• Perimetri P = 4 a.
• Zona S = a².
• Rrezja e rrethit të rrethuar është gjysma e diagonales: R = 0,5 a √2.
• Rrezja e rrethit të brendashkruar përcaktohet si gjysma e gjatësisë së anës: r = a / 2.

Shembuj pyetjesh dhe detyrash

Le të shohim disa pyetje që mund të hasni kur studioni një kurs matematike në shkollë dhe të zgjidhim disa probleme të thjeshta.

Problemi 1. Si do të ndryshojë sipërfaqja e një drejtkëndëshi nëse gjatësia e brinjëve të tij trefishohet?

Zgjidhje : Le të shënojmë sipërfaqen e figurës origjinale si S0, dhe sipërfaqen e një katërkëndëshi me trefishin e gjatësisë së brinjëve të tij si S1. Duke përdorur formulën e diskutuar më parë, marrim: S0 = ab. Tani le të rrisim gjatësinë dhe gjerësinë me 3 herë dhe të shkruajmë: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Duke krahasuar S0 dhe S1, bëhet e qartë se zona e dytë është 9 herë më e madhe se e para.

Pyetja 1. A është katror një katërkëndësh me kënde të drejta?

Zgjidhje : Nga përkufizimi del se një figurë me kënde të drejta është katror vetëm nëse gjatësitë e të gjitha brinjëve të saj janë të barabarta. Në raste të tjera, figura është një drejtkëndësh.

Problemi 2. Diagonalet e një drejtkëndëshi formojnë një kënd prej 60 gradë. Gjerësia e drejtkëndëshit është 8. Njehsoni sa është diagonalja.

Zgjidhja: Kujtojmë se diagonalet ndahen në gjysmë me pikën e kryqëzimit. Kështu kemi të bëjmë me trekëndëshi dykëndësh me një kënd kulmi prej 60°. Meqenëse trekëndëshi është dykëndësh, këndet në bazë do të jenë gjithashtu të njëjta. Me llogaritje të thjeshta gjejmë se secila prej tyre është e barabartë me 60°. Nga kjo rezulton se trekëndëshi është barabrinjës. Gjerësia që ne njohim është baza e trekëndëshit, prandaj gjysma e diagonales është gjithashtu e barabartë me 8, dhe gjatësia e të gjithë diagonales është dy herë më e madhe dhe e barabartë me 16.

Pyetja 2. A i ka një drejtkëndësh të gjitha brinjët të barabarta apo jo?

Zgjidhje : Mjafton të kujtojmë se të gjitha anët duhet të jenë të barabarta në një katror, ​​i cili është një rast i veçantë i një drejtkëndëshi. Në të gjitha rastet e tjera, një kusht i mjaftueshëm është prania e të paktën 3 këndeve të drejta. Barazia e palëve nuk është karakteristikë e detyrueshme.

Problemi 3. Sipërfaqja e katrorit është e njohur dhe e barabartë me 289. Gjeni rrezet e rrethit të brendashkruar dhe të rrethuar.

Zgjidhje : Duke përdorur formulat për një katror, ​​ne do të kryejmë llogaritjet e mëposhtme:

• Le të përcaktojmë se me çfarë janë të barabartë elementët bazë të katrorit: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• Le të llogarisim rrezen e rrethit të rrethuar rreth katërkëndëshit: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Le të gjejmë rrezen e rrethit të brendashkruar: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

Përkufizimi. Një paralelogram është një katërkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele në çifte.

Prona. Në një paralelogram, anët e kundërta janë të barabarta dhe këndet e kundërta janë të barabarta.

Prona. Diagonalet e një paralelogrami ndahen në gjysmë me pikën e kryqëzimit.

1 shenjë e një paralelogrami. Nëse dy brinjë të një katërkëndëshi janë të barabarta dhe paralele, atëherë katërkëndëshi është paralelogram.

Shenja 2 e një paralelogrami. Nëse në një katërkëndësh anët e kundërta janë të barabarta në çifte, atëherë ky katërkëndësh është një paralelogram.

Shenja 3 e një paralelogrami. Nëse diagonalet e një katërkëndëshi priten dhe përgjysmohen nga pika e prerjes, atëherë katërkëndëshi është një paralelogram.

Përkufizimi. Një trapez është një katërkëndësh në të cilin dy anët janë paralele dhe dy anët e tjera nuk janë paralele. Brinjët paralele quhen arsye.

Trapezi quhet isosceles (barabrinjës), nëse anët e tij janë të barabarta. Në një trapezoid izoscelular, këndet në bazat janë të barabarta.

Një trapez, një nga këndet e të cilit është i drejtë, quhet drejtkëndëshe.

Segmenti që lidh mesin e anëve quhet vija e mesme e trapezit. Vija e mesme është paralele me bazat dhe e barabartë me gjysmën e shumës së tyre.

Përkufizimi. Një drejtkëndësh është një paralelogram këndet e të cilit janë të gjitha të drejta.

Prona. Diagonalet e një drejtkëndëshi janë të barabarta.

Shenjë drejtkëndëshe. Nëse diagonalet e një paralelogrami janë të barabarta, atëherë ky paralelogram është një drejtkëndësh.

Përkufizimi. Një romb është një paralelogram në të cilin të gjitha anët janë të barabarta.

Prona. Diagonalet e një rombi janë reciproke pingul dhe presin këndet e tij.

Përkufizimi. Një katror është një drejtkëndësh, brinjët e të cilit janë të gjitha të barabarta.

Ka një shesh pamje private drejtkëndësh, si dhe një lloj i veçantë rombi. Prandaj ka të gjitha vetitë e tyre.

Vetitë:
1. Të gjithë këndet e një katrori janë të drejta

2. Diagonalet e katrorit janë të barabarta, reciproke pingule, pika e kryqëzimit përgjysmon dhe përgjysmon këndet e katrorit.

Tema e mësimit

• Përkufizimi i një katërkëndëshi.

Objektivat e mësimit

• Edukative – përsëritje, përgjithësim dhe testim i njohurive me temën: “Katërkëndësh”; zhvillimi i aftësive bazë.
• Zhvillimore - për të zhvilluar vëmendjen, këmbënguljen, këmbënguljen e studentëve, të menduarit logjik, fjalim matematikor.
• Edukative - përmes mësimit, kultivoni një qëndrim të vëmendshëm ndaj njëri-tjetrit, rrënjosni aftësinë për të dëgjuar shokët, ndihmën e ndërsjellë dhe pavarësinë.

Objektivat e mësimit

• Zhvilloni aftësi në ndërtimin e një katërkëndëshi duke përdorur një vizore shkallësh dhe një trekëndësh vizatimi.
• Testoni aftësitë e nxënësve për zgjidhjen e problemeve.

Plani i mësimit

1. Referencë historike. Gjeometria jo-Euklidiane.
2. Katërkëndësh.
3. Llojet e katërkëndëshave.

Gjeometria jo-Euklidiane

Gjeometria jo-Euklidiane, gjeometri e ngjashme me gjeometrinë Euklidi në atë që përcakton lëvizjen e figurave, por ndryshon nga gjeometria Euklidiane në atë që një nga pesë postulatet e saj (i dyti ose i pesti) zëvendësohet nga mohimi i tij. Mohimi i një prej postulateve Euklidiane (1825) ishte një ngjarje e rëndësishme në historinë e mendimit, sepse shërbeu si hapi i parë drejt teoria e relativitetit.

Postulati i dytë i Euklidit thotë se çdo segment i drejtëz mund të zgjatet pafundësisht. Euklidi me sa duket besonte se ky postulat përmbante gjithashtu deklaratën se një vijë e drejtë ka një gjatësi të pafundme. Megjithatë në gjeometrinë "eliptike", çdo vijë e drejtë është e fundme dhe, si një rreth, e mbyllur.

Postulati i pestë thotë se nëse një drejtëz pret dy drejtëza të dhëna në atë mënyrë që dy këndet e brendshme në njërën anë të saj të mblidhen deri në më pak se dy kënde të drejta, atëherë këto dy drejtëza, nëse shtrihen pafundësisht, do të kryqëzohen në anën ku shuma e këtyre këndeve është më e vogël se shuma e dy drejtëzave. Por në gjeometrinë "hiperbolike" mund të ketë një drejtëz CB (shih figurën), pingul në pikën C me një drejtëz të caktuar r dhe që pret një drejtëz tjetër s në një kënd të mprehtë në pikën B, por, megjithatë, drejtëzat e pafundme r dhe s do të kurrë nuk kryqëzohen.

Nga këto postulate të rishikuara doli se shuma e këndeve të një trekëndëshi, e barabartë me 180° në gjeometrinë Euklidiane, është më e madhe se 180° në gjeometrinë eliptike dhe më pak se 180° në gjeometrinë hiperbolike.

Katërkëndësh