VIII . Grupet e detyrave të ndërtimit.
Zgjidhja e grupeve të problemeve duke përdorur një trekëndësh ndihmës.
Thelbi i metodës është ndërtimi i trekëndëshave ndihmës dhe përdorimi i vetive të tyre dhe elementëve të sapopërfituar për të zgjidhur përfundimisht problemin.
Analiza e ndërtimit përbëhet nga hapat e mëposhtëm:
Kërkoni një trekëndësh ndihmës në analizën tuaj.
Nëse shfaqen elementë të rinj me ndihmën e të cilit mund të ndërtohet trekëndëshi ABC, atëherë qëllimi është arritur.
Nëse kjo nuk ndodh, atëherë ndoshta mund të ndërtohet një trekëndësh tjetër ndihmës që do të sigurojë elementët që mungojnë.
Le të shohim thelbin e metodës duke përdorur shembuj.
Detyra 1. Ndërtoni një trekëndësh dykëndësh ABC ( b= c) Nga a, h b .
Ne po kërkojmë një trekëndësh ndihmës. Natyrisht, është e përshtatshme të konsiderohet trekëndëshi CDB si një trekëndësh i tillë.
Kjo do të japë këndin C, pra këndin ABC. Pra, ka a, kënd B, kënd C, që do të thotë se mund të ndërtojmë trekëndëshin ABC. Do ta shkruajmë në mënyrë skematike kështu:
(a, h b) → Δ CDB →< C.
(a,< B, < C) → Δ ABC.
Detyrat për zgjidhje të pavarur:
Duke përdorur arsyetime të ngjashme me sa më sipër, ne rekomandojmë ndërtimin e një trekëndëshi dykëndësh (b=c) duke përdorur të dhënat e mëposhtme:
A)< А, h b ;
b)< В, h с;
G)< В, h b ;
e)< С, h b .
Detyra 2. Ndërtoni një trekëndësh duke përdorur rrezen r të rrethit të brendashkruar, këndin A dhe këndin B.
Le të jem qendra e rrethit të gdhendur në trekëndëshin ABC.
(r; ½< А) → Δ AID → |AD|;
(r; ½< В) → Δ ВID → |ВD|;
(|AD| + |DD| = |AB|) → (c,< А, < В) → Δ ABC.
Detyrat për zgjidhje të pavarur:
Ndërtoni një trekëndësh duke përdorur elementët e mëposhtëm:
a) a, h c, h b; b) a, h a, h b; c) a, m a, m b;
G)< A, l A , b; д) R, h а, m a ; е) a, R, h b ;
g) b, h b, m b (ku m janë mesatare, l janë përgjysmues, h janë lartësitë).
Më vete:
Zgjidhja e grupeve të problemeve bazuar në atë kryesore.
Detyra kryesore:
ndërtoni një romb ABCD duke përdorur diagonalen BD dhe lartësinë BM. (ΔBHD →< BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);
ndërtoni një trapez në katër anët.
Ndërtoni një trekëndësh duke përdorur dy brinjë dhe këndin ndërmjet tyre.
Detyra kryesore:
Ndërtoni një trekëndësh kënddrejtë përgjatë dy brinjëve.
Ndërtoni një romb përgjatë dy diagonaleve.
Ndërtoni një drejtkëndësh me dy brinjë të pabarabarta.
Ndërtoni një paralelogram duke përdorur dy diagonale dhe këndin ndërmjet tyre.
Ndërtoni një drejtkëndësh duke përdorur diagonalet dhe këndin ndërmjet tyre.
Ndërtoni një trekëndësh duke përdorur një anë dhe dy kënde ngjitur.
Detyrat për zgjidhje të pavarur:
Detyra kryesore:
Ndërtoni një trekëndësh dykëndësh duke përdorur bazën dhe këndin e tij ngjitur.
Ndërtoni një trekëndësh kënddrejtë duke përdorur një këmbë dhe një kënd akut ngjitur.
Ndërtoni një romb duke përdorur një kënd dhe një diagonale që kalon nëpër kulmin e këtij këndi.
Ndërtoni një trekëndësh dykëndësh bazuar në lartësinë dhe këndin e kulmit.
Ndërtoni një katror përgjatë diagonales së dhënë.
Ndërtoni një trekëndësh kënddrejtë duke përdorur hipotenuzën dhe një kënd të mprehtë.
Detyrat për zgjidhje të pavarur:
Detyra kryesore:
Ndërtoni një trekëndësh dykëndësh përgjatë anës dhe këndit në bazë.
Ndërtoni një trekëndësh dykëndësh duke përdorur anën e tij dhe këndin e kulmit.
Ndërtoni një trekëndësh duke përdorur tre brinjë.
Detyrat për zgjidhje të pavarur:
Detyra kryesore:
Ndërtoni një trekëndësh dykëndësh duke përdorur bazën dhe brinjët e tij.
Ndërtoni një romb përgjatë anëve dhe diagonaleve.
Ndërtoni një paralelogram duke përdorur dy brinjë të pabarabarta dhe një diagonale.
Ndërtoni një paralelogram duke përdorur një anë dhe dy diagonale.
Ndërtoni një trekëndësh kënddrejtë duke përdorur një këmbë dhe një hipotenuzë.
Detyrat për zgjidhje të pavarur:
Ndërtoni një trekëndësh dykëndësh përgjatë lartësisë dhe anës.
Ndërtoni një trekëndësh dykëndësh duke përdorur bazën dhe një pingul nga fundi i bazës në anën.
Ndërtoni një paralelogram duke përdorur bazën, lartësinë dhe diagonalen e tij.
Ndërtoni një romb përgjatë lartësisë dhe diagonales së tij.
Ndërtoni një trekëndësh dykëndësh duke përdorur anën dhe lartësinë e ulur prej saj.
Ndërtoni një trekëndësh duke përdorur bazën, lartësinë dhe anën e tij.
Literatura:
B. I. Argunov, M. B. Balk “Ndërtimet gjeometrike në aeroplan”, M, “Prosveshchenie” 1955.
Glazer G.I “Historia e matematikës në shkollë” Klasat IV – VI, M, “Iluminizmi”, 1981.
I. Goldenblant “Përvoja në zgjidhjen e problemeve gjeometrike të ndërtimit” “Matematika në shkollë” nr.3, 1946
I. A. Kushnir "Në një mënyrë për të zgjidhur problemet e ndërtimit" "Matematika në shkollë" Nr. 2, 1984
A. I. Mostovoy "Zbato metoda të ndryshme për zgjidhjen e problemeve të ndërtimit" "Matematika në shkollë" Nr. 5, 1983
A. A. Popova Teksti mësimor “Matematika”. "Shteti Chelyabinsk Universiteti Pedagogjik”, 2005
E. M. Selezneva, M. N. Serebryakova “Ndërtimet gjeometrike në klasat I – V gjimnaz“Zhvillimet metodologjike. Sverdlovsk, 1974
Si të ndërtoni një trekëndësh dykëndësh? Kjo është e lehtë për t'u bërë me një vizore, laps dhe qeliza fletoreje.
Ne fillojmë ndërtimin e një trekëndëshi dykëndësh nga baza. Për ta bërë modelin çift, numri i qelizave në bazë duhet të jetë një numër çift.
Ndani segmentin - bazën e trekëndëshit - në gjysmë.
Kulmi i trekëndëshit mund të zgjidhet në çdo lartësi nga baza, por gjithmonë saktësisht mbi mes.
Si të ndërtoni një trekëndësh akute izosceles?
Këndet në bazën e një trekëndëshi dykëndësh mund të jenë vetëm akute. Në mënyrë që një trekëndësh dykëndësh të jetë i mprehtë, këndi në kulm duhet gjithashtu të jetë i mprehtë.
Për ta bërë këtë, zgjidhni kulmin e trekëndëshit më lart, larg bazës.
Sa më i lartë të jetë kulmi, aq më i vogël është këndi i majës. Këndet në bazë rriten në përputhje me rrethanat.
Si të ndërtoni një trekëndësh të ngjeshur dykëndësh?
Ndërsa kulmi i një trekëndëshi dykëndësh i afrohet bazës, masa e shkallës së këndit në kulm rritet.
Kjo do të thotë që për të ndërtuar një trekëndësh të mpirë izoscelular, ne zgjedhim një kulm më të ulët.
Si të ndërtoni një trekëndësh kënddrejtë dykëndësh?
Për të ndërtuar një trekëndësh kënddrejtë dykëndësh, duhet të zgjidhni një kulm në një distancë të barabartë me gjysmën e bazës (kjo është për shkak të vetive të një trekëndëshi kënddrejtë dykëndësh).
Për shembull, nëse gjatësia e bazës është 6 qeliza, atëherë kulmin e trekëndëshit e vendosim në një lartësi prej 3 qelizash mbi mesin e bazës. Ju lutemi vini re: në këtë rast, çdo qelizë në qoshet në bazë është e ndarë diagonalisht.
Ndërtimi i një trekëndëshi kënddrejtë dykëndësh mund të fillohet nga kulmi.
Ne zgjedhim një kulm dhe prej tij në kënde të drejta shtrojmë segmente të barabarta lart dhe djathtas. Këto janë anët e trekëndëshit.
Le t'i lidhim ato dhe të marrim një trekëndësh kënddrejtë dykëndësh.
Ne do të shqyrtojmë ndërtimin e një trekëndëshi dykëndësh duke përdorur një busull dhe një vizore pa ndarje në një temë tjetër.
Isosceles eshte keshtu trekëndëshi, në të cilën gjatësitë e dy brinjëve të saj janë të barabarta me njëra-tjetrën.
Gjatë zgjidhjes së problemeve në temë "Trekëndëshi isosceles"është e nevojshme të përdoren të njohurat e mëposhtme Vetitë:
1.
Këndet përballë brinjëve të barabarta janë të barabarta me njëri-tjetrin.
2.
Përgjysmuesit, mesataret dhe lartësitë e nxjerra nga kënde të barabarta, janë të barabartë me njëri-tjetrin.
3.
Përgjysmuesja, mesatarja dhe lartësia e tërhequr në bazën e një trekëndëshi izosceles përkojnë me njëra-tjetrën.
4.
Qendra e rrethit dhe qendra e rrethit shtrihen në lartësi, dhe për rrjedhojë në mesoren dhe përgjysmimin e tërhequr në bazë.
5.
Këndet që janë të barabartë në një trekëndësh dykëndësh janë gjithmonë akute.
Një trekëndësh është dykëndësh nëse ka sa vijon shenjat:
1.
Dy kënde të një trekëndëshi janë të barabartë.
2.
Lartësia përkon me mesataren.
3.
Përgjysmuesja përkon me mesataren.
4.
Lartësia përkon me përgjysmuesin.
5.
Dy lartësitë e një trekëndëshi janë të barabarta.
6.
Dy përgjysmuesit e një trekëndëshi janë të barabartë.
7.
Dy medianat e një trekëndëshi janë të barabarta.
Le të shqyrtojmë disa probleme në këtë temë "Trekëndëshi isosceles" dhe japin zgjidhjen e tyre të detajuar.
Detyra 1.
Në një trekëndësh dykëndësh, lartësia ndaj bazës është 8, dhe baza në anën është 6:5 Gjeni distancën nga kulmi i trekëndëshit deri në pikën e kryqëzimit të përgjysmuesve të tij.
Zgjidhje.
Le të jepet një trekëndësh dykëndësh ABC (Fig. 1).
1) Meqenëse AC: BC = 6: 5, atëherë AC = 6x dhe BC = 5x. ВН – lartësia e tërhequr në bazën AC të trekëndëshit ABC.
Meqenëse pika H është mesi i AC (sipas vetive të një trekëndëshi dykëndësh), atëherë HC = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.
BC 2 = VN 2 + NS 2;
(5x) 2 = 8 2 + (3x) 2;
x = 2, atëherë
AC = 6x = 6 2 = 12 dhe
BC = 5x = 5 2 = 10.
3) Meqenëse pika e kryqëzimit të përgjysmuesve të një trekëndëshi është qendra e rrethit të gdhendur në të, atëherë
OH = r. Ne gjejmë rrezen e rrethit të gdhendur në trekëndëshin ABC duke përdorur formulën
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (12 · 8) = 48;
p = 1/2 (AB + BC + AC); p = 1/2 · (10 + 10 + 12) = 16, pastaj OH = r = 48/16 = 3.
Prandaj VO = VN – OH; VO = 8 – 3 = 5.
Përgjigje: 5.
Detyra 2.
Në një trekëndësh dykëndësh ABC, përgjysmohet AD. Zonat e trekëndëshave ABD dhe ADC janë 10 dhe 12. Gjeni sipërfaqen e trefishuar të një katrori të ndërtuar në lartësinë e këtij trekëndëshi të tërhequr në bazën AC.
Zgjidhje.
Konsideroni trekëndëshin ABC - dykëndësh, AD - përgjysmues i këndit A (Fig. 2).
1) Le të shkruajmë sipërfaqet e trekëndëshave BAD dhe DAC:
S KEQ = 1/2 · AB · AD · mëkat α; S DAC = 1/2 · AC · AD · sin α.
2) Gjeni raportin e zonave:
S BAD /S DAC = (1/2 · AB · AD · sin α) / (1/2 · AC · AD · sin α) = AB/AC.
Meqenëse S BAD = 10, S DAC = 12, pastaj 10/12 = AB/AC;
AB/AC = 5/6, pastaj le të AB = 5x dhe AC = 6x.
AN = 1/2 AC = 1/2 · 6x = 3x.
3) Nga trekëndëshi ABN - drejtkëndëshe sipas teoremës së Pitagorës AB 2 = AN 2 + BH 2;
25x 2 = VN 2 + 9x 2;
4) S A ВС = 1/2 · АС · ВН; S A B C = 1/2 · 6x · 4x = 12x 2 .
Meqenëse S A BC = S BAD + S DAC = 10 + 12 = 22, atëherë 22 = 12x 2 ;
x 2 = 11/6; VN 2 = 16x 2 = 16 11/6 = 1/3 8 11 = 88/3.
5) Sipërfaqja e katrorit është e barabartë me VN 2 = 88/3; 3 88/3 = 88.
Përgjigje: 88.
Detyra 3.
Në një trekëndësh dykëndësh baza është 4 dhe brinja është 8. Gjeni katrorin e lartësisë së rënë në anë.
Zgjidhje.
Në trekëndëshin ABC - izosceles BC = 8, AC = 4 (Fig. 3).
1) ВН – lartësia e tërhequr në bazën AC të trekëndëshit ABC.
Meqenëse pika H është mesi i AC (sipas vetive të një trekëndëshi dykëndësh), atëherë HC = 1/2 AC = 1/2 4 = 2.
2) Nga trekëndëshi VNS - drejtkëndëshe sipas teoremës së Pitagorës BC 2 = VN 2 + NS 2;
64 = VN 2 + 4;
3) S ABC = 1/2 · (AC · BH), si dhe S ABC = 1/2 · (AM · BC), atëherë barazojmë anët e djathta të formulave, marrim
1/2 · AC · BH = 1/2 · AM · BC;
AM = (AC BH)/BC;
AM = (√60 · 4)/8 = (2√15 · 4)/8 = √15.
Përgjigje: 15.
Detyra 4.
Në një trekëndësh dykëndësh, baza dhe lartësia e ulur mbi të janë të barabarta me 16. Gjeni rrezen e rrethit të rrethuar rreth këtij trekëndëshi.
Zgjidhje.
Në trekëndëshin ABC – baza dykëndore AC = 16, ВН = 16 – lartësia e tërhequr në bazën AC (Fig. 4).
1) AN = NS = 8 (sipas vetive të një trekëndëshi dykëndësh).
2) Nga trekëndëshi VNS - drejtkëndëshe sipas teoremës së Pitagorës
BC 2 = VN 2 + NS 2;
BC 2 = 8 2 + 16 2 = (8 2) 2 + 8 2 = 8 2 4 + 8 2 = 8 2 5;
3) Konsideroni trekëndëshin ABC: nga teorema e sinuseve 2R = AB/sin C, ku R është rrezja e rrethit të rrethuar rreth trekëndëshit ABC.
sin C = BH/BC (nga trekëndëshi VNS sipas përkufizimit të sinusit).
sin C = 16/(8√5) = 2/√5, pastaj 2R = 8√5/(2/√5);
2R = (8√5 · √5)/2; R = 10.
Përgjigje: 10.
Detyra 5.
Gjatësia e lartësisë së tërhequr në bazën e një trekëndëshi dykëndësh është 36, dhe rrezja e rrethit të brendashkruar është 10. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit.
Zgjidhje.
Le të jepet një trekëndësh dykëndësh ABC.
1) Meqenëse qendra e një rrethi të gdhendur në një trekëndësh është pika e kryqëzimit të përgjysmuesve të tij, atëherë O ϵ VN dhe AO është përgjysmues i këndit A, dhe gjithashtu OH = r = 10 (Fig. 5).
2) VO = VN – OH; VO = 36 – 10 = 26.
3) Konsideroni trekëndëshin ABN. Nga teorema mbi përgjysmuesin e këndit të një trekëndëshi
AB/AN = VO/OH;
AB/AN = 26/10 = 13/5, pastaj le të AB = 13x dhe AN = 5x.
Sipas teoremës së Pitagorës, AB 2 = AN 2 + VN 2;
(13x) 2 = 36 2 + (5x) 2;
169x 2 = 25x 2 + 36 2;
144x 2 = (12 · 3) 2 ;
144x2 = 144 9;
x = 3, pastaj AC = 2 · AN = 10x = 10 · 3 = 30.
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (36 · 30) = 540;
Përgjigje: 540.
Detyra 6.
Në një trekëndësh dykëndësh dy brinjë janë të barabarta me 5 dhe 20. Gjeni përgjysmuesin e këndit në bazën e trekëndëshit.
Zgjidhje.
1) Supozoni se brinjët e trekëndëshit janë 5 dhe baza është 20.
Pastaj 5 + 5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (Fig. 6).
2) Le të jetë LC = x, pastaj BL = 20 – x. Nga teorema mbi përgjysmuesin e këndit të një trekëndëshi
AB/AC = BL/LC;
20/5 = (20 – x)/x,
atëherë 4x = 20 – x;
Kështu LC = 4; BL = 20 – 4 = 16.
3) Le të përdorim formulën për përgjysmuesin e një këndi trekëndësh:
AL 2 = AB AC – BL LC,
pastaj AL 2 = 20 5 – 4 16 = 36;
Përgjigje: 6.
Ende keni pyetje? Nuk dini si të zgjidhni problemet e gjeometrisë?
Për të marrë ndihmë nga një mësues, regjistrohu.
Mësimi i parë është falas!
faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.
