Hur man korrekt beräknar arean av en oregelbunden geometrisk figur. Se vad "Area of a figure" är i andra ordböcker

I geometri är arean av en figur en av de viktigaste numeriska egenskaperna hos en platt kropp. Vad är område, hur man bestämmer det för olika figurer, liksom vilka egenskaper det har - vi kommer att överväga alla dessa frågor i den här artikeln.

Vad är område: definition

Arean av en figur är antalet enhetsrutor i den figuren; informellt sett är detta storleken på figuren. Oftast betecknas en figurs yta som "S". Det kan mätas med en palett eller en planimeter. Du kan också beräkna arean av en figur genom att känna till dess grundläggande dimensioner. Till exempel kan arean av en triangel beräknas med hjälp av tre olika formler:

Arean av en rektangel är lika med produkten av dess bredd med dess längd, och arean av en cirkel är lika med produkten av kvadraten på radien och talet π = 3,14.

Egenskaper för arean av en figur

arean är lika för lika siffror;
arean är alltid icke-negativ;
Måttenheten för area är arean av en kvadrat med en sida lika med 1 längdenhet;
om en figur är uppdelad i två delar, är figurens totala yta lika med summan av ytorna av dess beståndsdelar;
siffror lika i area kallas lika i area;
om en figur tillhör en annan figur, kan arean av den första inte överstiga arean av den andra.

Sats 1.

Arean av en kvadrat är lika med kvadraten på dess sida.

Låt oss bevisa att arean S av en kvadrat med sidan a är lika med en 2. Låt oss ta en kvadrat med sida 1 och dela upp den i n lika stora kvadrater som visas i figur 1. geometri area figursats

Bild 1.

Eftersom sidan på en kvadrat är 1, är arean på varje liten kvadrat lika stor. Sidan på varje liten ruta är lika, d.v.s. lika med a. Det följer att. Teoremet är bevisat.

Sats 2.

Arean av ett parallellogram är lika med produkten av dess sida och höjden ritad till denna sida (Fig. 2.):

S = a * h.

Låt ABCD vara det givna parallellogrammet. Om det inte är en rektangel är ett av dess hörn A eller B spetsigt. För tydlighetens skull, låt vinkel A vara spetsig (Fig. 2).

Figur 2.

Låt oss släppa en vinkelrät AE från vertex A till linje CB. Arean av trapetsformen AECD är lika med summan av ytorna i parallellogrammet ABCD och triangeln AEB. Låt oss släppa en vinkelrät DF från vertex D till linje CD. Då är arean för den trapetsformade AECD lika med summan av områdena för rektangeln AEFD och triangeln DFC. De räta trianglarna AEB och DFC är kongruenta och har därför lika stora arealer. Det följer att arean av parallellogram ABCD är lika med arean av rektangel AEFD, dvs. är lika med AE * AD. Segment AE är höjden på parallellogrammet sänkt till sidan AD, och därför S = a * h. Teoremet är bevisat.

Sats 3

Arean av en triangel är lika med hälften av produkten av dess sida och dess höjd(Fig. 3.):

Figur 3.

Bevis.

Låt ABC vara den givna triangeln. Låt oss lägga till det till parallellogram ABCD, som visas i figuren (Fig. 3.1.).

Figur 3.1.

Arean av ett parallellogram är lika med summan av ytorna av trianglarna ABC och CDA. Eftersom dessa trianglar är kongruenta är parallellogrammets area lika med två gånger arean av triangeln ABC. Höjden på parallellogrammet som motsvarar sidan CB är lika med höjden på triangeln ritad till sidan CB. Detta innebär att satsen är bevisad.

Sats 3.1.

Arean av en triangel är lika med halva produkten av dess två sidor och sinus av vinkeln mellan dem(Figur 3.2.).

Figur 3.2.

Bevis.

Låt oss introducera ett koordinatsystem med origo i punkt C så att B ligger på den positiva halvaxeln C x och punkt A har en positiv ordinata. Arean av en given triangel kan beräknas med formeln, där h är triangelns höjd. Men h är lika med ordinatan för punkten A, dvs. h=b sin C. Därför, . Teoremet är bevisat.

Sats 4.

Arean av en trapets är lika med produkten av halva summan av dess baser och dess höjd(Fig. 4.).

Figur 4.

Bevis.

Låt ABCD vara den givna trapetsen (Fig. 4.1.).

Figur 4.1.

En trapets diagonal AC delar upp den i två trianglar: ABC och CDA.

Därför är arean av trapetsen lika med summan av områdena för dessa trianglar.

Arean av triangeln ACD är lika med arean av triangeln ABC. Höjden AF och CE för dessa trianglar är lika med avståndet h mellan parallella linjer BC och AD, dvs. trapetsens höjd. Därav, . Teoremet är bevisat.

Figurområdena är av stor betydelse inom geometri, liksom inom vetenskap. När allt kommer omkring är area en av de viktigaste storheterna inom geometri. Utan kunskap om områden är det omöjligt att lösa många geometriska problem, bevisa satser och motivera axiom. Figurområdena var av stor betydelse för många århundraden sedan, men har inte förlorat sin betydelse i modern värld. Områdesbegrepp används inom många yrken. De används i konstruktion, design och många andra typer av mänsklig aktivitet. Av detta kan vi dra slutsatsen att utan utvecklingen av geometri, i synnerhet begreppen områden, skulle mänskligheten inte ha kunnat göra ett så stort genombrott inom området vetenskap och teknik.

Instruktioner

Det är bekvämt att agera om din figur är en polygon. Du kan alltid dela upp det till ett ändligt tal, och du behöver bara komma ihåg en formel - arean av en triangel. Så en triangel är halva produkten av längden på dess sida och längden på höjden som dras till just denna sida. Genom att summera områdena av enskilda trianglar till vilka en mer komplex triangel har omvandlats av din vilja, kommer du att ta reda på det önskade resultatet.

Det är svårare att lösa problemet med att bestämma området för en godtycklig figur. En sådan figur kan ha inte bara utan också böjda gränser. Det finns sätt att göra en ungefärlig beräkning. Enkel.

Först kan du använda en palett. Detta är ett verktyg tillverkat av transparent material med ett rutnät av kvadrater eller trianglar applicerat på dess yta. känt område. Genom att placera paletten ovanpå formen som du letar efter område för, räknar du om antalet dina måttenheter som överlappar bilden. Kombinera ofullständigt slutna måttenheter med varandra, fyll i dem i ditt sinne för att slutföra dem. Därefter, genom att multiplicera arean av en palettform med det antal du beräknade, kommer du att ta reda på den ungefärliga arean av din godtyckliga form. Det är tydligt att ju tätare rutnätet appliceras på din palett, desto mer exakt blir resultatet.

För det andra kan du beskriva det maximala antalet trianglar inom gränserna för en godtycklig figur som du bestämmer arean för. Bestäm arean för var och en och lägg till deras områden. Detta kommer att bli ett väldigt grovt resultat. Om du vill kan du också separat bestämma området för segmenten som begränsas av bågarna. För att göra detta, föreställ dig att segmentet är en del av en cirkel. Konstruera denna cirkel och dra sedan radier från dess mitt till bågens kanter. Segmenten bildar en vinkel α mellan sig. Arean av hela sektorn bestäms av formeln π*R^2*α/360. För varje mindre del av din figur bestämmer du arean och får övergripande resultat, lägga till de resulterande värdena.

Den tredje metoden är svårare, men mer exakt och för vissa lättare. Arean av vilken figur som helst kan bestämmas med hjälp av integralkalkyl. Den bestämda integralen av en funktion visar arean från grafen för funktionen till abskissan. Arean som är innesluten mellan två grafer kan bestämmas genom att subtrahera en viss integral, med ett mindre värde, från en integral inom samma gränser, men med ett större värde. För att använda den här metoden är det bekvämt att överföra din godtyckliga figur till ett koordinatsystem och sedan bestämma deras funktioner och agera med metoderna för högre matematik, som vi inte kommer att fördjupa oss i här och nu.

Om du planerar att göra renoveringen själv, måste du göra en uppskattning av konstruktions- och efterbehandlingsmaterial. För att göra detta måste du beräkna arean av rummet där du planerar att utföra renoveringsarbeten. Huvudassistenten i detta är en specialutvecklad formel. Rummets yta, nämligen dess beräkning, gör att du kan spara mycket pengar på byggmaterial och styra de frigjorda ekonomiska resurserna i en lämpligare riktning.

Geometrisk form av rummet

Formeln för att beräkna arean av ett rum beror direkt på dess form. De mest typiska för inhemska byggnader är rektangulära och kvadratiska rum. Dock under ombyggnaden standardformulär kan vara förvrängd. Rummen är:

Rektangulär.
Fyrkant.
Komplex konfiguration (till exempel rund).
Med nischer och projektioner.

Var och en av dem har sina egna beräkningsfunktioner, men som regel används samma formel. Arean av ett rum av vilken form och storlek som helst, på ett eller annat sätt, kan beräknas.

Rektangulärt eller kvadratiskt rum

För att beräkna arean av ett rektangulärt eller kvadratiskt rum, kom bara ihåg dina geometrilektioner i skolan. Därför borde det inte vara svårt för dig att bestämma rummets yta. Beräkningsformeln ser ut så här:

S rum=A*B, där

A är längden på rummet.

B är rummets bredd.

För att mäta dessa värden behöver du ett vanligt måttband. För att få de mest exakta beräkningarna är det värt att mäta väggen på båda sidor. Om värdena inte överensstämmer, ta medelvärdet av de resulterande data som grund. Men kom ihåg att alla beräkningar har sina egna fel, så materialet bör köpas med en reserv.

Ett rum med en komplex konfiguration

Om ditt rum inte passar definitionen av "typiskt", dvs. har formen av en cirkel, triangel, polygon, då kan du behöva en annan formel för beräkningar. Du kan försöka att grovt dela upp arean av ett rum med denna egenskap i rektangulära element och göra beräkningar på ett vanligt sätt. Om du inte har denna möjlighet, använd följande metoder:

Formel för att hitta arean av en cirkel:

S rum=π*R 2, där

R är rummets radie.

Formel för att hitta arean av en triangel:

S rum = √ (P(P - A) x (P - B) x (P - C)), där

P är triangelns halvomkrets.

A, B, C är längderna på dess sidor.

Därför P=A+B+C/2

Om du har några svårigheter under beräkningsprocessen, är det bättre att inte tortera dig själv och vända dig till proffs.

Område av rummet med projektioner och nischer

Ofta är väggarna dekorerade med dekorativa element i form av olika nischer eller projektioner. Deras närvaro kan också bero på behovet av att dölja några oestetiska element i ditt rum. Närvaron av avsatser eller nischer på din vägg innebär att beräkningen bör utföras i etapper. De där. Först hittas området för en platt del av väggen, och sedan läggs området av nischen eller utsprånget till det.

Ytan av väggen hittas av formeln:

S väggar = P x C, där

P - omkrets

C - höjd

Du måste också överväga närvaron av fönster och dörrar. Deras area måste subtraheras från det resulterande värdet.

Rum med tak i flera nivåer

Ett tak i flera nivåer komplicerar inte beräkningarna så mycket som det verkar vid första anblicken. Om han har enkel design, då kan du göra beräkningar baserade på principen att hitta området av väggar komplicerat av nischer och projektioner.

Men om din takdesign har välvda och vågliknande element, är det mer lämpligt att bestämma dess yta med hjälp av golvytan. För att göra detta behöver du:

Hitta måtten på alla raka sektioner av väggar.
Hitta golvytan.
Multiplicera längden och höjden på de vertikala sektionerna.
Summa det resulterande värdet med golvarean.

Steg-för-steg-instruktioner för att bestämma det allmänna

rumsyta

Rensa rummet från onödiga saker. Under mätningsprocessen behöver du fri tillgång till alla delar av ditt rum, så du måste bli av med allt som kan störa detta.
Visuellt dela upp rummet i sektioner av korrekt och oregelbunden form. Om ditt rum är strikt fyrkantigt eller rektangulär form, då kan du hoppa över det här steget.
Gör en slumpmässig layout av rummet. Denna ritning behövs så att all data alltid finns till hands. Dessutom kommer det inte att ge dig möjlighet att bli förvirrad i många mätningar.
Mätningar måste göras flera gånger. Detta viktig regel för att eliminera fel i beräkningar. Om du använder den, se också till att balken ligger plant på väggytan.
Hitta hela rummets yta. Formeln för den totala arean av ett rum är att hitta summan av alla ytor av enskilda delar av rummet. De där. S totalt = S väggar+S golv+S tak

Arean av en geometrisk figur- ett numeriskt kännetecken för en geometrisk figur som visar storleken på denna figur (en del av ytan begränsad av den slutna konturen av denna figur). Storleken på området uttrycks av antalet kvadratenheter som finns i det.

Formler för triangelarea

Formel för arean av en triangel vid sida och höjd
Arean av en triangel lika med halva produkten av längden av en sida av en triangel och längden av höjden som dras till denna sida
Formel för arean av en triangel baserad på tre sidor och radien på den omslutna cirkeln
Formel för arean av en triangel baserad på tre sidor och radien för den inskrivna cirkeln
Arean av en triangelär lika med produkten av triangelns halvomkrets och radien för den inskrivna cirkeln.

Formler för kvadratyta

Formel för arean av en kvadrat vid sida längd
Fyrkantigt område lika med kvadraten på längden på dess sida.
Formel för arean av en kvadrat längs den diagonala längden
Fyrkantigt område lika med halva kvadraten av längden på dess diagonal.
S= 1 2
2

Formel för rektangelyta

Arean av en rektangel

Parallelogram area formler

Formel för arean av ett parallellogram baserat på sidolängd och höjd
Arean av ett parallellogram
Formel för arean av ett parallellogram baserat på två sidor och vinkeln mellan dem
Arean av ett parallellogramär lika med produkten av längderna på dess sidor multiplicerat med sinus för vinkeln mellan dem.
a b sin α

Formler för området av en romb

Formel för arean av en romb baserad på sidolängd och höjd
Område av en romb lika med produkten av längden på dess sida och längden på höjden sänkt till denna sida.
Formel för arean av en romb baserad på sidolängd och vinkel
Område av en rombär lika med produkten av kvadraten av längden på dess sida och sinus av vinkeln mellan rombens sidor.
Formel för arean av en romb baserad på längden på dess diagonaler
Område av en romb lika med hälften av produkten av längderna på dess diagonaler.