Hur man hittar arean av en triangel om sinus är känt. Arean av en triangel

Om problemet ger längden på två sidor av en triangel och vinkeln mellan dem, kan du använda formeln för arean av en triangel genom sinus.

Ett exempel på att beräkna arean av en triangel med sinus. Angivna sidor är a = 3, b = 4 och vinkeln γ = 30°. Sinus för en vinkel på 30° är 0,5

Arean av triangeln kommer att vara 3 kvadratmeter. centimeter.

Arean blir lika med halva kvadraten på sidan multiplicerat med bråket. Dess täljare är produkten av sinusen för intilliggande vinklar, och dess nämnare är sinus för den motsatta vinkeln. Nu beräknar vi arean med hjälp av följande formler:

Till exempel, givet en triangel med sidan a=3 och vinklarna γ=60°, β=60°. Beräkna den tredje vinkeln:
Ersätter data i formeln
Vi finner att arean av triangeln är 3,87 kvadratmeter. centimeter.

II. Arean av en triangel genom cosinus

För att hitta arean av en triangel måste du veta längden på alla sidor. Med hjälp av cosinussatsen kan du hitta okända sidor, och först då använda dem.
Enligt cosinussatsen är kvadraten på den okända sidan i en triangel lika med summan av kvadraterna på de återstående sidorna minus två gånger produkten av dessa sidor och cosinus för vinkeln mellan dem.

Från satsen härleder vi formler för att hitta längden på den okända sidan:

Genom att veta hur man hittar den saknade sidan, med två sidor och vinkeln mellan dem, kan du enkelt beräkna arean. Formeln för arean av en triangel genom cosinus hjälper till att snabbt och enkelt hitta lösningar på olika problem.

Ett exempel på att beräkna formeln för arean av en triangel med hjälp av cosinus
Givet en triangel med kända sidor a = 3, b = 4 och vinkeln γ = 45°. Låt oss först hitta den saknade sidan Med. Cosinus 45°=0,7. För att göra detta ersätter vi data i ekvationen som härleds från cosinussatsen.
Nu använder vi formeln, vi hittar

Triangelareasats

Sats 1

Arean av en triangel är lika med halva produkten av de två sidorna och sinus för vinkeln mellan dessa sidor.

Bevis.

Låt oss ges en godtycklig triangel $ABC$. Låt oss beteckna längderna på sidorna i denna triangel som $BC=a$, $AC=b$. Låt oss introducera ett kartesiskt koordinatsystem, så att punkten $C=(0,0)$, punkten $B$ ligger på den högra halvaxeln $Ox$, och punkten $A$ ligger i den första koordinatkvadranten. Låt oss rita höjden $h$ från punkten $A$ (Fig. 1).

Figur 1. Illustration av sats 1

Höjden $h$ är därför lika med ordinatan för punkten $A$

Sinussats

Sats 2

Sidorna i en triangel är proportionella mot sinusen i de motsatta vinklarna.

Bevis.

Låt oss ges en godtycklig triangel $ABC$. Låt oss beteckna längderna på sidorna i denna triangel som $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (Fig. 2).

Figur 2.

Låt oss bevisa det

Genom sats 1 har vi

Att likställa dem i par, det får vi

Cosinussatsen

Sats 3

Kvadraten på en sida i en triangel är lika med summan av kvadraterna på de andra två sidorna av triangeln utan två gånger produkten av dessa sidor med cosinus av vinkeln mellan dessa sidor.

Bevis.

Låt oss ges en godtycklig triangel $ABC$. Låt oss beteckna längderna på dess sidor som $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Låt oss introducera ett kartesiskt koordinatsystem, så att punkten $A=(0,0)$, punkten $B$ ligger på den positiva halvaxeln $Ox$ och punkten $C$ ligger i den första koordinatkvadranten (Fig. 3).

Figur 3.

Låt oss bevisa det

I detta koordinatsystem får vi det

Hitta längden på sidan $BC$ med hjälp av formeln för avståndet mellan punkter

Ett exempel på ett problem som använder dessa satser

Exempel 1

Bevisa att den omskrivna cirkeldiametern för en godtycklig triangel är lika med förhållandet mellan valfri sida av triangeln och sinus för vinkeln motsatt den sidan.

Lösning.

Låt oss ges en godtycklig triangel $ABC$. $R$ är radien för den omskrivna cirkeln. Låt oss rita diametern $BD$ (Fig. 4).

Arean av en triangel är lika med halva produkten av dess sidor och sinus av vinkeln mellan dem.

Bevis:

Betrakta en godtycklig triangel ABC. Låt sidan BC = a, sidan CA = b och S vara arean av denna triangel. Det är nödvändigt att bevisa det S = (1/2)*a*b*sin(C).

Till att börja med, låt oss introducera ett rektangulärt koordinatsystem och placera origo för koordinater vid punkt C. Låt oss placera vårt koordinatsystem så att punkt B ligger på den positiva riktningen av Cx-axeln, och punkt A har en positiv ordinat.

Om allt är gjort korrekt bör du få följande ritning.

Arean av en given triangel kan beräknas med följande formel: S = (1/2)*a*h, där h är triangelns höjd. I vårt fall är höjden på triangeln h lika med ordinatan för punkten A, det vill säga h = b*sin(C).

Med hänsyn till de erhållna resultaten kan formeln för arean av en triangel skrivas om enligt följande: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

Problemlösning

Uppgift 1. Hitta arean av triangeln ABC, om a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, vinkel A = 60 grader b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, vinkel B = 45 grader c ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, vinkel C = 48 grader.

Enligt satsen som bevisats ovan är arean S av triangeln ABC lika med:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Låt oss göra beräkningarna:

a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.

c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.

Vi beräknar värdet på vinkelns sinus på en miniräknare eller använder värdena från värdetabellen trigonometriska vinklar. Svar:

a) 12*√6 cm^2.

c) ungefär 36,41 cm^2.

Uppgift 2. Arean av triangeln ABC är 60 cm^2. Hitta sidan AB om AC = 15 cm, vinkel A = 30˚.

Låt S vara arean av triangeln ABC. Genom satsen om arean av en triangel har vi:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Låt oss ersätta de värden vi har i det:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

Härifrån uttrycker vi längden på sidan AB: AB = (60*4)/15 = 16.

Enkelt uttryckt är dessa grönsaker kokta i vatten enligt ett speciellt recept. Jag kommer att överväga två initiala komponenter (grönsakssallad och vatten) och det färdiga resultatet - borsjtj. Geometriskt kan det ses som en rektangel, där ena sidan representerar sallad och den andra sidan representerar vatten. Summan av dessa två sidor kommer att indikera borsjtj. Diagonalen och området för en sådan "borsjtj"-rektangel är rent matematiska begrepp och används aldrig i borsjtrecept.

Du hittar inget om linjära vinkelfunktioner i matteläroböcker. Men utan dem kan det inte finnas någon matematik. Matematikens lagar, liksom naturlagarna, fungerar oavsett om vi vet om deras existens eller inte.

Linjära vinkelfunktioner är additionslagar. Se hur algebra förvandlas till geometri och geometri förvandlas till trigonometri.

Är det möjligt att klara sig utan linjära vinkelfunktioner? Det är möjligt, eftersom matematiker fortfarande klarar sig utan dem. Knepet med matematiker är att de alltid bara berättar om de problem som de själva vet hur de ska lösa, och aldrig pratar om de problem som de inte kan lösa. Se. Om vi ​​vet resultatet av addition och en term använder vi subtraktion för att hitta den andra termen. Allt. Vi känner inte till andra problem och vi vet inte hur vi ska lösa dem. Vad ska vi göra om vi bara vet resultatet av tillägget och inte känner till båda termerna? I detta fall måste resultatet av additionen delas upp i två termer med hjälp av linjära vinkelfunktioner. Därefter väljer vi själva vad en term kan vara, och linjära vinkelfunktioner visar vad den andra termen ska vara så att resultatet av additionen blir precis vad vi behöver. Det kan finnas ett oändligt antal sådana termpar. I Vardagsliv Vi klarar oss fint utan att bryta ner summan. Men i vetenskaplig forskning om naturlagarna kan det vara mycket användbart att sönderdela en summa i dess komponenter.

En annan tilläggslag som matematiker inte gillar att prata om (ett annat av deras knep) kräver att termerna har samma måttenheter. För sallad, vatten och borsjtj kan dessa vara vikt-, volym-, värde- eller måttenheter.

Figuren visar två skillnadsnivåer för matematiska . Den första nivån är skillnaderna i fältet för siffror, som anges a, b, c. Detta är vad matematiker gör. Den andra nivån är skillnaderna i fältet för måttenheter, som visas inom hakparenteser och indikeras med bokstaven U. Detta är vad fysiker gör. Vi kan förstå den tredje nivån - skillnader i området för de föremål som beskrivs. Olika objekt kan ha samma antal identiska måttenheter. Hur viktigt detta är kan vi se i exemplet med borsjtjtrigonometri. Om vi ​​lägger till subskript till samma enhetsbeteckning för olika objekt kan vi säga exakt vilken matematisk storhet som beskriver ett visst objekt och hur det förändras över tid eller på grund av våra handlingar. Brev W Jag kommer att beteckna vatten med en bokstav S Jag betecknar salladen med en bokstav B- borsch. Så här kommer linjära vinkelfunktioner för borsjtj att se ut.

Om vi ​​tar en del av vattnet och en del av salladen, blir de tillsammans till en portion borsjtj. Här föreslår jag att du tar en liten paus från borsjtj och minns din avlägsna barndom. Kommer du ihåg hur vi fick lära oss att sätta ihop kaniner och ankor? Det var nödvändigt att hitta hur många djur det skulle finnas. Vad fick vi lära oss att göra då? Vi fick lära oss att skilja måttenheter från siffror och lägga till siffror. Ja, vilket nummer som helst kan läggas till vilket annat nummer som helst. Detta är en direkt väg till den moderna matematikens autism - vi gör det obegripligt vad, obegripligt varför, och mycket dåligt förstår hur detta relaterar till verkligheten, på grund av de tre skillnadsnivåerna arbetar matematiker med endast en. Det skulle vara mer korrekt att lära sig hur man flyttar från en måttenhet till en annan.

Kaniner, ankor och små djur kan räknas i bitar. En gemensam måttenhet för olika objekt gör att vi kan lägga ihop dem. Detta är en barnversion av problemet. Låt oss titta på ett liknande problem för vuxna. Vad får du när du lägger till kaniner och pengar? Det finns två möjliga lösningar här.

Första alternativet. Vi bestämmer marknadsvärdet på kaninerna och lägger till det till den tillgängliga summan pengar. Vi fick det totala värdet av vår förmögenhet i monetära termer.

Andra alternativet. Du kan lägga till antalet kaniner till antalet sedlar vi har. Vi kommer att ta emot mängden lös egendom i bitar.

Som du kan se tillåter samma tilläggslag dig att få olika resultat. Allt beror på vad vi exakt vill veta.

Men låt oss återgå till vår borsjtj. Nu får vi se vad som händer när olika betydelser vinkel för linjära vinkelfunktioner.

Vinkeln är noll. Vi har sallad, men inget vatten. Vi kan inte laga borsjtj. Mängden borsjtj är också noll. Detta betyder inte alls att noll borsjtj är lika med noll vatten. Det kan vara noll borsjtj med noll sallad (rät vinkel).

För mig personligen är detta det viktigaste matematiska beviset på det faktum att . Noll ändrar inte numret när det läggs till. Detta händer eftersom addition i sig är omöjligt om det bara finns en term och den andra termen saknas. Du kan känna om detta som du vill, men kom ihåg - alla matematiska operationer med noll uppfanns av matematiker själva, så kasta bort din logik och dumt fylla på definitionerna som uppfunnits av matematiker: "division med noll är omöjlig", "vilket tal multiplicerat med noll är lika med noll", "bortom noll" och annat nonsens. Det räcker att komma ihåg en gång att noll inte är ett tal, och du kommer aldrig mer att ha en fråga om noll är ett naturligt tal eller inte, eftersom en sådan fråga förlorar all betydelse: hur kan något som inte är ett tal betraktas som ett tal ? Det är som att fråga vilken färg en osynlig färg ska klassas som. Att lägga till en nolla till ett tal är detsamma som att måla med färg som inte finns där. Vi viftade med en torr pensel och sa till alla att "vi målade." Men jag avviker lite.

Hörn Över noll, men mindre än fyrtiofem grader. Vi har mycket sallad, men inte tillräckligt med vatten. Som ett resultat kommer vi att få tjock borsjtj.

Vinkeln är fyrtiofem grader. Vi har lika stora mängder vatten och sallad. Det här är den perfekta borsjtj (förlåt mig, kockar, det är bara matematik).

Vinkeln är större än fyrtiofem grader, men mindre än nittio grader. Vi har mycket vatten och lite sallad. Du kommer att få flytande borsjtj.

Rätt vinkel. Vi har vatten. Allt som återstår av salladen är minnen, då vi fortsätter att mäta vinkeln från linjen som en gång markerade salladen. Vi kan inte laga borsjtj. Mängden borsjtj är noll. I det här fallet, håll ut och drick vatten medan du har det)))

Här. Något som det här. Jag kan berätta andra historier här som skulle vara mer än lämpliga här.

Två vänner hade sina andelar i en gemensam verksamhet. Efter att ha dödat en av dem gick allt till den andra.

Framväxten av matematik på vår planet.

Alla dessa berättelser berättas på matematikens språk med hjälp av linjära vinkelfunktioner. En annan gång kommer jag att visa dig den verkliga platsen för dessa funktioner i matematikens struktur. Under tiden, låt oss återgå till borsjtjtrigonometri och överväga projektioner.

Lördagen den 26 oktober 2019

Jag såg en intressant video om Grundy-serien Ett minus ett plus ett minus ett - Numberphile. Matematiker ljuger. De gjorde ingen jämställdhetskontroll under sina resonemang.

Detta återspeglar mina tankar om .

Låt oss ta en närmare titt på tecknen på att matematiker lurar oss. Allra i början av argumentationen säger matematiker att summan av en sekvens BERÖR på om den har ett jämnt antal element eller inte. Detta är ett objektivt ETABLERAT FAKTUM. Vad händer sen?

Därefter subtraherar matematiker sekvensen från enhet. Vad leder detta till? Detta leder till en förändring av antalet element i sekvensen - ett jämnt tal ändras till ett udda tal, ett udda tal ändras till ett jämnt tal. När allt kommer omkring lade vi till ett element lika med ett till sekvensen. Trots all yttre likhet är sekvensen före transformationen inte lika med sekvensen efter transformationen. Även om vi talar om en oändlig sekvens måste vi komma ihåg att en oändlig sekvens med ett udda antal element inte är lika med en oändlig sekvens med ett jämnt antal element.

Genom att sätta ett likhetstecken mellan två sekvenser med olika antal element, hävdar matematiker att summan av sekvensen INTE BERÖR på antalet element i sekvensen, vilket motsäger ett objektivt ETABLISTERAT FAKTA. Ytterligare resonemang om summan av en oändlig sekvens är falsk, eftersom den bygger på en falsk likhet.

Om du ser att matematiker under bevisförloppet placerar parenteser, ordnar om element i ett matematiskt uttryck, lägger till eller tar bort något, var mycket försiktig, troligtvis försöker de lura dig. Liksom kortmagiker använder matematiker olika manipulationer av uttryck för att avleda din uppmärksamhet för att så småningom glida dig falskt resultat. Om du inte kan upprepa ett korttrick utan att känna till bedrägeriernas hemlighet, är allt mycket enklare i matematik: du misstänker inte ens något om bedrägeri, men genom att upprepa alla manipulationer med ett matematiskt uttryck kan du övertyga andra om riktigheten av resultatet, precis som när -de övertygade dig.

Fråga från publiken: Är oändligheten (som antalet element i sekvensen S) jämnt eller udda? Hur kan du ändra pariteten för något som inte har någon paritet?

Infinity är för matematiker, som Himmelriket är för präster - ingen har någonsin varit där, men alla vet exakt hur allt fungerar där))) Jag håller med, efter döden kommer du att vara absolut likgiltig om du levde ett jämnt eller udda tal dagar, men... Lägger du bara till en dag i början av ditt liv kommer vi att få en helt annan person: hans efternamn, förnamn och patronym är exakt samma, bara födelsedatumet är helt annorlunda - han var född en dag före dig.

Låt oss nu komma till saken))) Låt oss säga att en finit sekvens som har paritet förlorar denna paritet när den går till oändligheten. Då måste alla ändliga segment av en oändlig sekvens förlora paritet. Vi ser inte detta. Det faktum att vi inte kan säga säkert om en oändlig sekvens har ett jämnt eller udda antal element betyder inte att pariteten har försvunnit. Paritet, om den existerar, kan inte försvinna spårlöst in i det oändliga, som i en spetsärm. Det finns en mycket bra analogi för detta fall.

Har du någonsin frågat göken som sitter i klockan åt vilket håll klockvisaren roterar? För henne roterar pilen i motsatt riktning mot vad vi kallar "medurs". Hur paradoxalt det än kan låta beror rotationsriktningen enbart på vilken sida vi observerar rotationen från. Och så har vi ett hjul som roterar. Vi kan inte säga i vilken riktning rotationen sker, eftersom vi kan observera den både från ena sidan av rotationsplanet och från den andra. Vi kan bara vittna om att det finns rotation. Komplett analogi med pariteten för en oändlig sekvens S.

Låt oss nu lägga till ett andra roterande hjul, vars rotationsplan är parallellt med rotationsplanet för det första roterande hjulet. Vi kan fortfarande inte säga säkert i vilken riktning dessa hjul roterar, men vi kan absolut avgöra om båda hjulen roterar i samma riktning eller i motsatt riktning. Jämför två oändliga sekvenser S Och 1-S, Jag visade med hjälp av matematik att dessa sekvenser har olika pariteter och att sätta ett likhetstecken mellan dem är ett misstag. Personligen litar jag på matematik, jag litar inte på matematiker))) Förresten, för att helt förstå geometrin för transformationer av oändliga sekvenser, är det nödvändigt att introducera konceptet "samtidighet". Detta kommer att behöva ritas.

Onsdagen den 7 augusti 2019

Avsluta samtalet om, måste vi överväga en oändlig uppsättning. Poängen är att begreppet "oändlighet" påverkar matematiker som en boakonstriktor påverkar en kanin. Oändlighetens darrande fasa berövar matematiker sunt förnuft. Här är ett exempel:

Den ursprungliga källan finns. Alpha står för riktigt nummer. Likhetstecknet i uttrycken ovan indikerar att om du lägger till ett tal eller oändlighet till oändlighet kommer ingenting att förändras, resultatet blir samma oändlighet. Om vi ​​tar den oändliga mängden som exempel naturliga tal, då kan de övervägda exemplen presenteras enligt följande:

För att tydligt bevisa att de hade rätt kom matematiker på många olika metoder. Personligen ser jag på alla dessa metoder som shamaner som dansar med tamburiner. I grund och botten handlar de alla om att antingen är några av rummen obebodda och nya gäster flyttar in, eller att några av besökarna kastas ut i korridoren för att göra plats för gäster (mycket mänskligt). Jag presenterade min syn på sådana beslut i form av en fantasiberättelse om blondinen. Vad bygger mitt resonemang på? Att flytta ett oändligt antal besökare tar oändligt lång tid. Efter att vi har lämnat det första rummet för en gäst, kommer en av besökarna alltid att gå längs korridoren från sitt rum till nästa till tidens slut. Naturligtvis kan tidsfaktorn ignoreras dumt, men detta kommer att vara i kategorin "ingen lag är skriven för dårar." Allt beror på vad vi gör: att anpassa verkligheten till matematiska teorier eller vice versa.

Vad är ett "ändlöst hotell"? Ett oändligt hotell är ett hotell som alltid har hur många tomma bäddar som helst, oavsett hur många rum som är upptagna. Om alla rum i den ändlösa "besökar"-korridoren är upptagna, finns det ytterligare en ändlös korridor med "gäst"-rum. Det kommer att finnas ett oändligt antal sådana korridorer. Dessutom har det "oändliga hotellet" ett oändligt antal våningar i ett oändligt antal byggnader på ett oändligt antal planeter i ett oändligt antal universum skapade av ett oändligt antal gudar. Matematiker kan inte ta avstånd från banala vardagsproblem: det finns alltid bara en Gud-Allah-Buddha, det finns bara ett hotell, det finns bara en korridor. Så matematiker försöker jonglera med serienumren på hotellrum och övertygar oss om att det är möjligt att "skjuta in det omöjliga."

Jag kommer att visa logiken i mitt resonemang för dig med exemplet med en oändlig uppsättning naturliga tal. Först måste du svara på en mycket enkel fråga: hur många uppsättningar naturliga tal finns det - en eller många? Det finns inget korrekt svar på denna fråga, eftersom vi själva uppfann siffror finns inte i naturen. Ja, naturen är bra på att räkna, men för detta använder hon andra matematiska verktyg som inte är bekanta för oss. Jag ska berätta vad naturen tycker en annan gång. Eftersom vi uppfann siffror kommer vi själva att bestämma hur många uppsättningar naturliga tal det finns. Låt oss överväga båda alternativen, som det anstår verkliga vetenskapsmän.

Alternativ ett. "Låt oss ges" en enda uppsättning naturliga tal, som ligger lugnt på hyllan. Vi tar detta set från hyllan. Det är det, det finns inga andra naturliga tal kvar på hyllan och ingenstans att ta dem. Vi kan inte lägga till en till denna uppsättning, eftersom vi redan har den. Tänk om du verkligen vill? Inga problem. Vi kan ta en från uppsättningen vi redan har tagit och lämna tillbaka den till hyllan. Efter det kan vi ta en från hyllan och lägga till det vi har kvar. Som ett resultat kommer vi återigen att få en oändlig uppsättning naturliga tal. Du kan skriva ner alla våra manipulationer så här:

Jag skrev ner åtgärderna i algebraisk notation och i mängdteorinotation, med en detaljerad lista över elementen i mängden. Underskriften indikerar att vi har en och enda uppsättning naturliga tal. Det visar sig att mängden naturliga tal kommer att förbli oförändrad endast om ett subtraheras från det och samma enhet läggs till.

Alternativ två. Vi har många olika oändliga uppsättningar av naturliga tal på vår hylla. Jag betonar - OLIKA, trots att de är praktiskt taget omöjliga att skilja. Låt oss ta en av dessa uppsättningar. Sedan tar vi en från en annan uppsättning naturliga tal och lägger till den till den uppsättning vi redan har tagit. Vi kan till och med lägga till två uppsättningar naturliga tal. Detta är vad vi får:

Undertexterna "ett" och "två" indikerar att dessa element tillhörde olika uppsättningar. Ja, om du lägger till en till en oändlig uppsättning blir resultatet också en oändlig uppsättning, men det blir inte samma sak som originaluppsättningen. Om du lägger till ytterligare en oändlig uppsättning till en oändlig uppsättning, blir resultatet en ny oändlig uppsättning som består av elementen i de två första uppsättningarna.

Mängden naturliga tal används för att räkna på samma sätt som en linjal används för att mäta. Föreställ dig nu att du lagt till en centimeter till linjalen. Detta kommer att vara en annan linje, inte lika med den ursprungliga.

Du kan acceptera eller inte acceptera mitt resonemang – det är din egen sak. Men om du någonsin stöter på matematiska problem, fundera på om du följer den väg av falska resonemang som trampats av generationer av matematiker. När allt kommer omkring, att studera matematik, först och främst, bildar en stabil stereotyp av tänkande i oss, och först då ökar våra mentala förmågor (eller, omvänt, berövar oss fritt tänkande).

pozg.ru

Söndagen den 4 augusti 2019

Jag höll på att avsluta ett efterskrift till en artikel om och såg denna underbara text på Wikipedia:

Vi läser: "... den rika teoretiska grunden för matematiken i Babylon hade inte en holistisk karaktär och reducerades till en uppsättning olika tekniker, utan ett gemensamt system och bevisbas."

Wow! Hur smarta vi är och hur väl vi kan se andras brister. Är det svårt för oss att se modern matematik i samma sammanhang? Lite omskrivning av texten ovan fick jag personligen följande:

Den rika teoretiska grunden för modern matematik är inte holistisk till sin natur och reduceras till en uppsättning disparata avsnitt, utan ett gemensamt system och bevisbas.

Jag ska inte gå långt för att bekräfta mina ord - det har ett språk och konventioner som skiljer sig från språket och konventionerna i många andra grenar av matematiken. Samma namn inom olika grenar av matematiken kan ha olika betydelser. Jag vill ägna en hel serie publikationer åt de mest uppenbara misstagen i modern matematik. Ses snart.

Lördagen den 3 augusti 2019

Hur delar man upp en uppsättning i delmängder? För att göra detta måste du ange en ny måttenhet som finns i några av elementen i den valda uppsättningen. Låt oss titta på ett exempel.

Må vi ha massor A bestående av fyra personer. Denna uppsättning är bildad på basis av "människor." A, kommer prenumerationen med ett nummer att indikera serienumret för varje person i denna uppsättning. Låt oss introducera en ny måttenhet "kön" och beteckna den med bokstaven b. Eftersom sexuella egenskaper är inneboende hos alla människor, multiplicerar vi varje element i uppsättningen A baserat på kön b. Lägg märke till att vår uppsättning "människor" nu har blivit en uppsättning "människor med könsegenskaper." Efter detta kan vi dela upp de sexuella egenskaperna i manliga bm och kvinnors bw sexuella egenskaper. Nu kan vi tillämpa ett matematiskt filter: vi väljer en av dessa sexuella egenskaper, oavsett vilken - man eller kvinna. Om en person har det, multiplicerar vi det med ett, om det inte finns något sådant tecken, multiplicerar vi det med noll. Och så använder vi vanlig skolmatematik. Titta vad som hände.

Efter multiplikation, reduktion och omarrangering slutade vi med två delmängder: delmängden män Bm och en undergrupp av kvinnor Bw. Matematiker resonerar ungefär på samma sätt när de tillämpar mängdlära i praktiken. Men de berättar inte detaljerna för oss, utan ger oss det färdiga resultatet - "många människor består av en undergrupp av män och en undergrupp av kvinnor." Naturligtvis kan du ha en fråga: hur korrekt har matematiken tillämpats i de transformationer som beskrivs ovan? Jag vågar försäkra dig om att i princip allt gjordes korrekt, det räcker med att känna till den matematiska grunden för aritmetik, boolesk algebra och andra grenar av matematiken. Vad det är? Någon annan gång ska jag berätta om detta.

När det gäller supermängder kan du kombinera två uppsättningar till en superset genom att välja måttenheten som finns i elementen i dessa två uppsättningar.

Som du kan se gör måttenheter och vanlig matematik mängdlära till en kvarleva från det förflutna. Ett tecken på att allt inte är bra med mängdlära är att matematiker har kommit på ett eget språk och notation för mängdlära. Matematiker agerade som shamaner en gång gjorde. Endast shamaner vet hur man "korrekt" tillämpar sin "kunskap". De lär oss denna "kunskap".

Avslutningsvis vill jag visa dig hur matematiker manipulerar
Låt oss säga att Akilles springer tio gånger snabbare än sköldpaddan och är tusen steg bakom den. Under den tid det tar Achilles att springa denna sträcka kommer sköldpaddan att krypa hundra steg åt samma håll. När Akilles springer hundra steg, kryper sköldpaddan ytterligare tio steg, och så vidare. Processen kommer att fortsätta i det oändliga, Achilles kommer aldrig ikapp sköldpaddan.

Detta resonemang blev en logisk chock för alla efterföljande generationer. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... De betraktade alla Zenons aporia på ett eller annat sätt. Chocken var så stark att " ...diskussioner fortsätter än i dag, det vetenskapliga samfundet har ännu inte kunnat komma fram till en gemensam uppfattning om paradoxernas väsen...var inblandade i studien av frågan; matematisk analys, mängdlära, nya fysiska och filosofiska tillvägagångssätt; ingen av dem blev en allmänt accepterad lösning på problemet..."[Wikipedia, "Zenos Aporia". Alla förstår att de blir lurade, men ingen förstår vad bedrägeriet består av.

Ur en matematisk synvinkel visade Zeno i sin aporia tydligt övergången från kvantitet till . Denna övergång innebär tillämpning istället för permanenta. Så vitt jag förstår har den matematiska apparaten för att använda variabla måttenheter antingen inte utvecklats ännu, eller så har den inte tillämpats på Zenos aporia. Att tillämpa vår vanliga logik leder oss in i en fälla. Vi, på grund av tänkandets tröghet, tillämpar konstanta tidsenheter på det ömsesidiga värdet. Ur fysisk synvinkel ser det ut som att tiden saktar ner tills den stannar helt i det ögonblick då Akilles kommer ikapp sköldpaddan. Om tiden stannar kan Achilles inte längre springa ur sköldpaddan.

Om vi ​​vänder på vår vanliga logik faller allt på plats. Akilles springer i konstant hastighet. Varje efterföljande segment av hans väg är tio gånger kortare än den föregående. Följaktligen är tiden för att övervinna det tio gånger mindre än den föregående. Om vi ​​tillämpar begreppet "oändlighet" i denna situation, skulle det vara korrekt att säga "Akilles kommer ikapp sköldpaddan oändligt snabbt."

Hur undviker man denna logiska fälla? Förbli i konstanta tidsenheter och byt inte till ömsesidiga enheter. På Zenos språk ser det ut så här:

Under den tid det tar Akilles att springa tusen steg kommer sköldpaddan att krypa hundra steg åt samma håll. Under nästa tidsintervall lika med det första kommer Akilles att springa ytterligare tusen steg, och sköldpaddan kommer att krypa hundra steg. Nu är Akilles åttahundra steg före sköldpaddan.

Detta tillvägagångssätt beskriver verkligheten adekvat utan några logiska paradoxer. Men detta är inte en fullständig lösning på problemet. Einsteins uttalande om ljushastighetens oemotståndlighet är mycket lik Zenons aporia "Akilles och sköldpaddan". Vi måste fortfarande studera, tänka om och lösa detta problem. Och lösningen måste sökas inte i oändligt stora antal, utan i måttenheter.

En annan intressant aporia av Zeno berättar om en flygande pil:

En flygande pil är orörlig, eftersom den vid varje tidpunkt är i vila, och eftersom den är i vila vid varje tidpunkt, är den alltid i vila.

I denna aporia övervinns den logiska paradoxen väldigt enkelt - det räcker för att klargöra att en flygande pil vid varje tidpunkt är i vila på olika punkter i rymden, vilket i själva verket är rörelse. En annan punkt måste noteras här. Från ett fotografi av en bil på vägen är det omöjligt att avgöra vare sig rörelsen eller avståndet till den. För att avgöra om en bil rör sig behöver du två fotografier tagna från samma punkt vid olika tidpunkter, men du kan inte bestämma avståndet från dem. För att bestämma avståndet till en bil behöver du två fotografier tagna från olika punkter i rymden vid en tidpunkt, men från dem kan du inte bestämma rörelsen (naturligtvis behöver du fortfarande ytterligare data för beräkningar, trigonometri hjälper dig ). Vad jag vill påpeka Särskild uppmärksamhet, är att två punkter i tid och två punkter i rummet är olika saker som inte bör förväxlas, eftersom de ger olika möjligheter till forskning.
Jag ska visa dig processen med ett exempel. Vi väljer den "röda fasta delen i en finne" - det här är vår "helhet". Samtidigt ser vi att dessa saker är med båge, och det finns utan båge. Efter det väljer vi en del av "helheten" och bildar en uppsättning "med en båge". Detta är hur shamaner får sin mat genom att binda sin uppsättningsteori till verkligheten.

Låt oss nu göra ett litet trick. Låt oss ta "fast med en finne med en rosett" och kombinera dessa "helheter" efter färg och välja de röda elementen. Vi fick mycket "rött". Nu är den sista frågan: är de resulterande seten "med båge" och "röda" samma set eller två olika set? Bara shamaner vet svaret. Mer exakt, de själva vet ingenting, men som de säger, så kommer det att bli.

Detta enkla exempel visar att mängdlära är helt värdelös när det kommer till verkligheten. Vad är hemligheten? Vi bildade en uppsättning av "röd fast med en finne och en rosett." Formningen skedde i fyra olika måttenheter: färg (röd), styrka (fast), grovhet (finnig), dekoration (med rosett). Endast en uppsättning måttenheter tillåter oss att adekvat beskriva verkliga objekt på matematikens språk. Så här ser det ut.

Bokstaven "a" med olika index betyder olika enheter mätningar. De måttenheter med vilka "helheten" särskiljs i det preliminära skedet är markerade inom parentes. Måttenheten med vilken uppsättningen bildas tas ur parentes. Den sista raden visar det slutliga resultatet - en del av uppsättningen. Som du kan se, om vi använder måttenheter för att bilda en uppsättning, beror resultatet inte på ordningen på våra handlingar. Och det här är matematik, och inte shamanernas dans med tamburiner. Shamaner kan "intuitivt" komma till samma resultat, och hävda att det är "uppenbart", eftersom måttenheter inte är en del av deras "vetenskapliga" arsenal.

Med hjälp av måttenheter är det mycket enkelt att dela upp en uppsättning eller kombinera flera uppsättningar till en superset. Låt oss ta en närmare titt på algebra för denna process.